ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1635-1643

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:532

ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Рассматривается третья краевая задача в полуполосе для уравнения диффузии дробно-

го порядка. Доказаны теоремы существования и единственности. Представление решения

найдено в терминах свёртки Лапласа функции Райта и функции типа Миттаг-Лёффлера

со степенными множителями. Единственность решения доказана в классе функций быст-

рого роста.

DOI: 10.31857/S0374064121120062

Введение. Оператор D^νay дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиу-

вилля порядка ν ∈ R с началом в точке a и c концом в точке y определяется следующим

образом [1-3]:

∫

sign (y - a)

g(t)

D^νayg(y) =

dt, если ν < 0,

Γ(-ν)

|y - t|ν+1

D^νayg(y) = g(y), если ν = 0,

D^νayg(y) = signⁿ(y - a)

D^ν-nayg(y), если n - 1 < ν ≤ n, n ∈ N,

dyⁿ

а регуляризованная дробная производная (производная Капуто) ∂ν0y задаётся равенством [2,

с. 11; 3, с. 14]

∂ν0yg(y) = Dν-n0yg(n)(y), n - 1 < ν ≤ n, n ∈ N.

Производная Капуто также известна под названием производной Герасимова-Капуто [4, с. 9;

5, с. 12].

Рассмотрим уравнение

u_xx(x,y) - ∂α0yu(x,y) = 0,

(1)

которое называется уравнением диффузии дробного порядка, если 0 < α ≤ 1, и волновым

уравнением дробного порядка, если 1 < α < 2, или в общем случае - диффузионно-волновым

уравнением [3, с. 103].

Интерес к изучению уравнений вида (1) вызван их многочисленными приложениями при

математическом моделировании процессов, протекающих во фрактальных средах [6-9].

Различные краевые задачи для уравнения (1) при 0 < α < 2, а также для многомерных

его обобщений обстоятельно исследованы в работах многих авторов (см., например, [10-23] и

библиографию в них).

Далее в работе будем полагать 0 < α ≤ 1. Регулярным решением уравнения (1) в области

Ω назовём функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (1) в области Ω, и такую, что

u, u_x ∈ C(Ω), u_xx, ∂α0yu ∈ C(Ω), где Ω - замыкание области Ω.

Задача A. Найти регулярное в полуполосе

Ω = {(x,y) : 0 < x < ∞,

0<y<T}

решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

u(x, 0) = 0,

0 < x < ∞,

(2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1636

ХУШТОВА

u_x(0,y) = hu(0,y) - ν(y),

0<y<T,

(3)

где ν(y) и h - заданные функция и постоянная.

При α = 1 данная задача переходит в третью краевую задачу на полуограниченной прямой

для уравнения теплопроводности [24, с. 234]. По аналогии с этим назовём её третьей краевой

задачей для уравнения диффузии дробного порядка.

Вспомогательные сведения. Далее будем обозначать как через f(y) ∗ g(y), так и через

(f ∗ g)(y) свёртку Лапласа функций f(y) и g(y), т.е. функцию, определяемую равенством

∫

f (y) ∗ g(y) = f(t)g(y - t) dt.

Из определения оператора дробного интегро-дифференцирования следуют равенства

Dν0y(f ∗ g)(y) = Dν0yf(y) ∗ g(y) = f(y) ∗ Dν0yg(y), ν < 0,

(4)

∂ν0y(f ∗ g)(y) = (f ∗ ∂ν0yg)(y) + Dν-10yf(y) lim g(y),

0 < ν ≤ 1.

(5)

y→0

Для всех g(y) ∈ AC[a, b] справедлива формула [2, с. 11; 3, с. 14]

-ν

g(0)y

Dν0yg(y) =

+ ∂ν0yg(y),

0 < ν < 1.

(6)

Γ(1 - ν)

Здесь AC[a, b] - класс абсолютно непрерывных на отрезке [a, b] функций. При ν = 1 имеем

D10yg(y) = ∂10yg(y) = g^′(y).

Функцией типа Миттаг-Лёффлера называется функция, определяемая рядом [25, с. 117]

∑

z^k

E_ρ,μ(z) =

ρ > 0.

(7)

Γ(μ + kρ)

k=0

Для этой функции в работе [25] принято обозначение E_σ(z; μ). Eё представление совпадает с

рядом (7), если положить в последнем ρ = 1/σ. Ниже в этой работе будем придерживаться

обозначения (7), которое в настоящее время получило широкое распространение.

Известно [26, с. 101], что если ρ < 1, ρ ≤ μ, то

E_ρ,μ(-y) > 0, y > 0.

(8)

Справедлива формула [25, с. 118]

E_ρ,μ(z) = 1/Γ(μ) + zEρ,μ+ρ(z).

(9)

Для любого μ > 0 и ν ∈ R выполняется равенство [3, с. 15]

Dν0yyμ-1E_ρ,μ(λy^ρ) = yμ-ν-1E_ρ,μ-ν(λy^ρ).

(10)

В случае, когда ν ∈ N, значение μ может быть произвольным.

Имеет место представление [27]

E1/2,1/2(-z) =

(11)

√π-zez2 erfc(z),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ

1637

где erfc (z) - дополнительный интеграл вероятности, т.е.

∞

∫

erfc (z) =

√πe-t2 dt.

Функцией Райта называется функция, определяемая рядом [28, 29]

∑

z^k

φ(ρ, δ; z) =

ρ > -1.

(12)

k!Γ(ρk + δ)

k=0

Известно [30], что если δ ≥ 0, то

yδ-1φ(ρ,δ;-y^ρ) > 0, y > 0.

(13)

Справедлива формула [28]

φ(ρ, δ; z) = φ(ρ, δ + ρ; z).

(14)

Для любого δ ∈ R выполняется равенство [3, с. 25]

Dν0yyδ-1φ(ρ,δ;-λy^ρ) = yδ-ν-1φ(ρ,δ - ν;-λy^ρ), λ > 0.

(15)

При y → ∞ имеет место асимптотическое представление [31]

)

(M-1∑

φ(-ρ, δ; -y) = Y1/2-δe^-Y

A_mY^-m + O(Y^-M ) ,

(16)

m=0

где Y = (1 - ρ)(ρ^ρy)1/(1-ρ), A_m - константы, зависящие от ρ и δ.

Известно [3, с. 88], что

√πφ(-1/2,1/2;-z) = exp(-z²/4).

(17)

Основные результаты. Примем обозначения: β = α/2,

K_β(x,y) = yβ-1φ(-β,β;-xy^-β), E(y) = yβ-1E_β,β(-hy^β),

(18)

^K(x, y) = K_β (x, y) - hK_β(x, y) ∗ E(y).

(19)

Теорема 1. Пусть ν(y) ∈ C[0, T ], ν(0) = 0. Тогда функция

∫

u(x, y) =

^K(x, y - η)ν(η) dη

(20)

является решением задачи А.

Доказательство проводится непосредственной проверкой, т.е. показывается, что функция

(20) удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2), (3).

Дифференцируемость под знаком интеграла следует из непрерывности подынтегральных

функций и оценки (16). Запишем равенство (20) в виде

u(x, y) = ν(y) ∗K(x, y)

(21)

и преобразуем функцию

K(x,y).Всилуравенства(15)представимфункциюKβ(x,y) в виде

K_β(x,y) = D-β0yK(x,y) = K(x,y) ∗ (yβ-1/Γ(β)),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

4^∗

1638

ХУШТОВА

где

K(x, y) = y-1φ(-β, 0; -xy^-β ).

(22)

Тогда из (19) и (4) следует, что

^K(x, y) = K_β(x, y) - hK(x, y) ∗ D-β0yE(y).

Согласно формулам (10) и (9) имеем

hD-β0yE(y) = hy2β-1Eβ,2β(-hy^β ) = yβ-1/Γ(β) - E(y).

Таким образом,

^K(x, y) = K(x, y) ∗ E(y).

(23)

Продифференцируем обе части равенства (21) по x, учитывая представление (23) и ис-

пользуя формулу (14). Получим

u_x(x,y) = ν(y) ∗Kx(x,y),

(24)

где

K_x(x,y) = K_x(x,y) ∗ E(y),

(25)

K_x(x,y) = -y-β-1φ(-β,-β;-xy^-β).

(26)

Продифференцировав по x равенство (24), будем иметь

u_xx(x,y) = ν(y) ∗Kxx(x,y),

(27)

где

K_xx(x,y) = K_xx(x,y) ∗ E(y), K_xx(x,y) = y-2β-1φ(-β,-2β;-xy^-β).

Применив оператор ∂α0y к равенству (21), в силу (5) найдём, что

∂α0yu(x,y) = ν(y) ∗ ∂α0y K(x,y) + Dα-10yν(y) lim^K(x,y),

(28)

y→0

где

∂α0y K(x,y) = E(y) ∗ ∂α0yK(x,y) + Dα-10yE(y) lim K(x,y).

y→0

Из (16) следует, что

lim

K(x, y) = 0, lim^K(x, y) = 0.

(29)

y→0

Тогда из (6), (15) и (29) вытекает равенство

∂α0yK(x,y) = y-2β-1φ(-β,-2β;-xy^-β).

Подставляя выражения (27) и (28) в уравнение (1) и учитывая соотношения (29), видим,

что равенство (1) обращается в тождество.

Выполнимость условия (2) следует из непрерывности функций ν(y) и

^K(x, y).

Проверим выполнимость условия (3). Рассмотрим разность

w(x, y) = u_x(x, y) - hu(x, y).

(30)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ

1639

Учитывая представления (21) и (24), запишем эту функцию в виде

∫

w(x, y) =

(Kx(x,y - η) - hK(x,y - η))(ν(η) - ν(y))dη +

∫

(Kx(x,y - η) - hK(x,y - η))(ν(η) - ν(y))dη + ν(y)

(Kx(x,t) - hK(x,t))dt ≡

y-ε

≡ J₁(x,y) + J₂(x,y) + ν(y)J₃(x,y),

(31)

где ε - произвольное малое положительное число.

Найдём предельное значение разности

K_x(x,t) - hK(x,t) при x → 0 и t = 0. Из (25) и

(9) следует, что

K_x(x,t) = K_x(x,t) ∗ (yβ-1/Γ(β)) - hK_x(x,t) ∗ D-β0tE(t).

Тогда из формул (15) и (4) вытекает равенство

K_x(x,t) = -K(x,t) + hK(x,t) ∗ E(t),

вследствие которого и равенства (23) получаем

K_x(x,t) - hK(x,t) = -K(x,t).

Переходя в последнем выражении к пределу при x → 0, в силу (22) и (12) будем иметь

lim(Kx(x,t) - hK(x,t)) = 0.

x→0

Таким образом, lim

J₁(x,y) = 0.

x→0

Обозначим ω(ε) := sup |ν(η)-ν(y)|, где η ∈ [y -ε, y]. Так как функция ν(y) непрерывна в

окрестности точки y, то ω(ε) → 0 при ε → 0. Учитывая определение величины ω(ε), оценим

интеграл J₂(x, y):

∫ε

|J₂(x, y)| ≤ ω(ε)

|Kx(x,t) - hK(x,t)|dt.

В силу равенств (23) и (25), а также свойств (8) и (13) получаем

(∫ε

∫

)

|J₂(x, y)| ≤ ω(ε)

|K_x(x, t)|∗E(t) dt+|h| K(x, t)∗E(t) dt

= ω(ε)(J₂₁(x,ε)+J₂₂(x,ε)). (32)

Согласно (4) первый интеграл J₂₁ запишется в виде

J₂₁(x,ε) = D-10ε|K_x(x,ε)| ∗ E(ε).

Тогда из равенств (26) и (15) и свойства (13) следует, что

J₂₁(x,ε) = ε^-βφ(-β,1 - β;-xε^-β) ∗ E(ε).

Переходя к пределу при x → 0, с помощью (12) и (10) получаем

lim

J₂₁(x,ε) = Dβ-10εE(ε) = Eβ,1(-hε^β).

(33)

x→0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1640

ХУШТОВА

Аналогично, для второго интеграла J₂₂ имеем

J₂₂(x,ε) = |h|D-10εK(x,ε) ∗ E(ε) = |h|φ(-β,1;-xε^-β) ∗ E(ε),

lim

J₂₂(x,ε) = |h|D-10εE(ε) = |h|ε^βEβ,β+1(-hε^β).

(34)

x→0

Таким образом, вследствие соотношений (32)-(34), непрерывности функции ν(y) при y > 0

и произвольного выбора ε заключаем, что

lim

J₂(x,y) = 0.

x→0

Вычислим интеграл J₃(x, y). Из формулы (4) следует, что

J₃(x,y) = D-10y[K_x(x,y) - hK(x,y)] ∗ E(y).

(35)

Согласно формуле (15) в силу равенств (26) и (22) имеем

D-10yK_x(x,y) = -y^-βφ(-β,1 - β;-xy^-β), D-10yK(x,y) = φ(-β,1;-xy^-β).

Подставляя последние выражения в равенство (35) и переходя затем к пределу при x → 0, с

помощью (10) приходим к равенствам

lim

J₃(x,y) = Dβ-10yE(y) - hD-10yE(y) = Eβ,1(-hy^β) - hy^βEβ,1+β(-hy^β).

(36)

x→0

Учитывая формулу (9), вследствие (36) заключаем, что lim

J₃(x,y) = -1.

x→0

В силу найденных предельных значений для интегралов J_k(x, y), k = 1, 3, из представле-

ния (31) следует, что

lim w(x, y) = -ν(y).

x→0

Таким образом, из последнего равенства и обозначения (30) вытекает выполнимость условия

(3). Теорема доказана.

Частные случаи. В случае, когда уравнение (1) совпадает с классическим уравнением

диффузии, т.е. α = 1 (β = 1/2), в силу представлений (11) и (17) функции K_β(x, y) и E(y)

примут вид

(

)

x²

K1/2(x,y) =

E(y) =

√y).

√πy^exp

√πy-hexp(h2y)erfc(h

Если в условии (3) h = 0, то для уравнения (1) получим решение второй краевой задачи

в виде

∫

u(x, y) = K_β(x, y - η)ν(η) dη,

где функция K_β (x, y) определена в (18).

Теорема 2. Существует не более одного регулярного решения задачи А, удовлетворяю-

щего для некоторого k > 0 условию

lim u(x, y) exp(-kx2/(2-α)) = 0.

(37)

x→∞

Доказательство. Пусть h_r(ξ) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, обла-

дающая следующими свойствами:

{

0 ≤ ξ ≤ r,

h_r(ξ) =

(38)

ξ ≥ r + 1,

0 ≤ h_r(ξ) ≤ 1, |h′r(ξ)| + |h′′r(ξ)| ≤ C, где C - постоянная, не зависящая от ξ и r.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ

1641

Рассмотрим функцию

v(x, ξ, y, η) = h_r(ξ)^G(x, ξ, y - η),

здесь

^G(x, ξ, y) = G(x, ξ, y) - hG₀(x, ξ, y) ∗ E(y),

где

G(x, ξ, y) = yβ-1(φ(-β, β; -(x + ξ)y^-β) + φ(-β, β; -|x - ξ|y^-β))/2,

G₀(x,ξ,y) = yβ-1φ(-β,β;-(x + ξ)y^-β).

Нетрудно показать, что имеют место равенства

L^∗v(x,ξ,y,η) = v_ξξ - D^αyηv = 2h^′r(ξ)Gξ(x,ξ,y - η) + h^′′r(ξ)^G(x,ξ,y - η),

(39)

v_ξ(x,0,y,η) - hv(x,0,y,η) = 0.

(40)

Из оценки (16) следует, что при ξ → ∞ справедливы неравенства



 ∂ⁿ



(x, ξ, y)

const · P_n(x, ξ, y) exp[-α₀|x - ξ|2/(2-α)y-α/(2-α)],

(41)

≤

^∂ξⁿG



 ∂ⁿ



0(x, ξ, y)

const · Q_n(x, ξ, y) exp[-α₀|x + ξ|2/(2-α)y-α/(2-α)],

(42)

≤

^∂ξⁿG

где

α₀ = (2 - α)2-2/(2-α)αα/(2-α), P_n(x,ξ,y) = |x - ξ|(1-α(1-n))/(2-α)y-1+α(1-2n)/(2(2-α)),

Q_n(x,ξ,y) = |x + ξ|(1-α(2-n))/(2-α)y-1+α(3-2n)/(2(2-α)), n = 0,1,...

Пусть δ - некоторое положительное достаточно малое число. Если u(x, y) - решение урав-

нения (1), удовлетворяющее условию (2), то из (38) и теоремы об общем представлении реше-

ния уравнения (1) [20, с. 134] следует, что в области Ω₀ = {(x, y) : 0 < x < r + 1,

0<y <δ}

оно представимо в виде

∫

u(x, y) = (v(x, r + 1, y, η)u_ξ (r + 1, η) - v_ξ(x, r + 1, y, η)u(r + 1, η)) dη -

∫

− (v(x, 0, y, η)u_ξ (0, η) - v_ξ(x, 0, y, η)u(0, η)) dη +

u(ξ, η)L^∗v(x, ξ, y, η) dξ dη.

(43)

Из (38) и (39) следует, что L^∗v(x, ξ, y, η) = 0 при 0 ≤ ξ ≤ r. Полагая в условии (3) ν(y) ≡ 0

и учитывая равенство (40) и свойства функции h_r(ξ), из представления (43) получаем

r+1

∫

u(x, y) =

u(ξ, η)L^∗v(x, ξ, y, η) dξ dη.

(44)

В силу условия (37) и оценок (41), (42) из представления (44) следует неравенство

r+1

∫

|u(x, y)| ≤

H exp{-α₀|x - ξ|2/(2-α)(y - η)-α/(2-α) + kξ2/(2-α)} dξ dη,

(45)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1642

ХУШТОВА

в котором H = max{P_i, Q_i}, i = 0, 1. Правая часть неравенства (45) при r → ∞ стре-

мится к нулю, если существует внутренний интеграл. Это можно обеспечить выбором δ <

< (α₀/k)(2-α)/α. Тогда u(x, y) ≡ 0 в области Ω₁ = {(x, y) : 0 < x < ∞, 0 < y < δ}.

Докажем, что u(x, y) ≡ 0 для любого 0 < y < T. Пусть t = y - δ, δ ≤ y < 2δ. Рассмотрим

функцию w(x, t) = u(x, δ + t). Так как u(x, y) ≡ 0 при 0 < y < δ, то

∂α0yu(x,y) = ∂^αδyu(x,y) = ∂α0tw(x,t).

Отсюда следует, что функция w(x, t) удовлетворяет уравнению w_xx(x, t) - ∂α0tw(x, t) = 0,

условию (37) и условиям

w(x, 0) = 0,

0 < x < ∞,

w_x(0,t) = hw(0,t),

0 < t < δ.

Тогда, согласно доказанному выше, w(x, t) ≡ 0 в Ω₂ = {(x, y) : 0 < x < ∞,

0 < t < δ},

т.е. u(x, y) ≡ 0 в Ω₂ = {(x, y) : 0 < x < ∞, δ ≤ y < 2δ}. Точно так же доказывается, что

u(x, y) ≡ 0 в полосах (n - 1)δ ≤ y < nδ, n = 3, 4, . . . Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

2. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.

3. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., 2005.

4. Килбас А.А. Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка. Самара, 2009.

5. Новоженова О.Г. Биография и научные труды Алексея Никифоровича Герасимова. О линейных

операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных. М., 2018.

6. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore, 2000.

7. Weiss M., Hashimoto H., Nilsson T. Anomalous protein diffusion in living cells as seen by fluorescence

correlation spectroscopy // Biophys. J. 2003. V. 84. № 6. P. 4043-4052.

8. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the

description of anomalous transport by fractional dynamics // J. of Phys. A. 2004. V. 37. № 31. P. 161-208.

9. Uchaikin V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. V. I. Background and Theory. V. II:

Applications. Springer, 2013.

10. Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equation // Radiophysics and Quantum Electronics. 1995.

V. 38. № 1-2. P. 13-24.

11. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett.

1996. V. 9. № 6. P. 23-28.

12. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego, 1999.

13. Mainardi F., Luchko Yu., Pagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion

equation // Fract. Calc. Appl. Anal. 2001. V. 4. № 2. P. 153-192.

14. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в по-

лубесконечной области // Изв. Кабардино-Балкарского науч. центра РАН. 2002. № 1 (8). С. 6-8.

15. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции

Грина // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 10. С. 1430-1433.

16. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной про-

изводной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 5. С. 599-609.

17. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения // Изв. РАН. Сер. мат.

2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.

18. Pskhu A.V. Multi-time fractional diffusion equation // Eur. Phys. J. Special Topics. 2013. V. 222. № 8.

P. 1939-1950.

19. Pagnini G. The M-Wright function as a generalization of the Gaussian density for fractional diffusion

processes // Fract. Calc. Appl. Anal. 2013. V. 16. № 2. P. 436-453.

20. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дроб-

ного порядка. Нальчик, 2013.

21. Kochubei A.N. Asymptotic properties of solutions of the fractional diffusion-wave equation // Fract. Calc.

Appl. Anal. 2014. V. 17. № 3. P. 881-896.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ

1643

22. Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion-wave equations with variable coefficients // Appl.

Anal. 2014. V. 93. № 10. P. 2211-2242.

23. Псху А.В. Первая краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения в нецилиндри-

ческой области // Изв. РАН. Сер. мат. 2017. Т. 81. № 6. С. 158-179.

24. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977.

25. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.

М., 1966.

26. Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера // Совр. матема-

тика. Фунд. направления. 2011. Т. 40. С. 3-171.

27. Хуштова Ф.Г. Третья краевая задача в полуполосе для B-параболического уравнения // Мат.

заметки. 2021. Т. 109. Вып. 2. С. 290-301.

28. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. of the London

Math. Soc. 1933. V. s1-8. № 1. P. 71-79.

29. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quarterly J. of Math. 1940.

V. 11. № 1. P. 36-48.

30. Stanković B. On the function of E.M. Wright // Publ. de l’Institut Math. 1970. V. 10 (24). P. 113-124.

Институт прикладной математики и автоматизации

Поступила в редакцию 15.02.2021 г.

Кабардино-Балкарского научного цента РАН,

После доработки 11.06.2021 г.

г. Нальчик

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021