ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1644-1653
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.955+517.956+517.983
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
АБСТРАКТНЫХ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
© 2021 г. Б. Чаучи, В. Е. Федоров, М. Костич
Рассматриваются мультипликативные возмущения субгенераторов вырожденных аналити-
ческих разрешающих семейств операторов. Получены достаточные условия, при выполне-
нии которых произведение многозначных линейных операторов является субгенератором
аналитического (a, k)-регуляризованного C-разрешающего семейства операторов. Приво-
дятся некоторые приложения этого результата к начально-краевым задачам для уравнений
в частных производных с производной Капуто по времени.
DOI: 10.31857/S0374064121120074
1. Введение и предварительные сведения. Теория абстрактных некорректных задач
Коши является областью активных исследований для многих авторов (см. монографии [1-6]
в качестве основных источников информации в этом направлении), как и теория возмущений
для абстрактных некорректных задач Коши. Насколько известно авторам, первый результат о
мультипликативных возмущениях сильно непрерывных полугрупп был получен Дж.Р. Дорро
в 1966 г. [7]; более подробная информация об исследованиях мультипликативных возмущений
абстрактных задач Коши первого и второго порядков содержится в работах [1, 8-15]. Муль-
типликативные возмущения абстрактных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры
и абстрактных дробных интегро-дифференциальных уравнений исследовались в [16-20].
В качестве основного источника информации об абстрактных вырожденных дифференци-
альных уравнениях первого и второго порядков мы отсылаем читателя к монографиям [6,
21, 22]. Теория абстрактных вырожденных дифференциальных уравнений с дробными произ-
водными всё ещё далека от завершения (см., например, [6] и недавние работы [23-25]). (Да-
лее для краткости дифференциальные уравнения с дробными производными будем называть
дробными дифференциальными уравнениями.)
Теория абстрактных вырожденных дробных дифференциальных уравнений все ещё далека
от завершения (см., например, [6] и недавние работы [23-25]).
Основная цель данной статьи - описать новый результат о мультипликативных возмуще-
ниях дробных разрешающих семейств операторов, порождённых многозначными линейными
операторами. Мы также приводим некоторые интересные приложения этого результата к аб-
страктным дробным дифференциальным уравнениям с производными Капуто.
Данная работа существенно основывается на некоторых результатах, установленных в [9]
Р. де Лаубенфельсом. Более конкретно, формула представления для резольвенты оператора
BA, которая была установлена в доказательстве леммы 2.8 [9], будет по существу использо-
вана в доказательстве нашего основного результата (см. также замечание 1 и приложения,
приведённые в п. 3 ниже).
Структура работы следующая. В пп. 1.1 напоминаются основные определения и результаты
теории многозначных линейных операторов; основная цель пп. 1.2 - напомнить основные фак-
ты о разрешающих семействах операторов вырожденных эволюционных уравнений, исполь-
зуемые в статье. В п. 2 формулируется и доказывается теорема, представляющая собой новый
результат о мультипликативных возмущениях вырожденных разрешающих семейств операто-
ров, который, по-видимому, является новым даже в случае, когда линейный оператор A = A
является однозначным, а регуляризующий оператор C равен тождественному оператору I
на банаховом пространстве X (см. также замечание 1, в котором обсуждаются дальнейшие
обобщения в различных направлениях этой теоремы). Наши основные приложения приведены
1644
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
1645
в п. 3: в пп. 3.1 рассматриваются приложения доказанной теоремы к абстрактным невырож-
денным дробным дифференциальным уравнениям с некоэрцитивными дифференциальными
операторами; пп. 3.2 содержит некоторые её приложения к абстрактным вырожденным дроб-
ным дифференциальным уравнениям с некоэрцитивными дифференциальными операторами.
Для краткости и лучшего изложения в данной работе не рассматривается корректность соот-
ветствующих дробных задач Коши [6].
В работе используются стандартные обозначения. Через (X, ∥·∥) обозначается комплексное
банахово пространство. Обозначим Σα := X{z ∈ C \ {0} : |arg z| < α} (α ∈ (0, π]) и Nn :=
:= {1, . . . , n} (n ∈ N). Пусть α > 0, m = ⌈α⌉ и I = (0, T ) при некотором T ∈ (0, ∞].
Положим gα(t) := tα-1/Γ(α), где через Γ(·) обозначена гамма-функция Эйлера. Напомним,
что дробная производная Капуто Dαtu(t) определена для функций u ∈ Cm-1([0, ∞); X), для
∑m-1
которых gm-α ∗ (u -
u(k)(0)gk+1) ∈ Cm([0,∞);X), и имеет вид
k=0
[
)]
m
∑
d
Dαtu(t) :=
gm-α ∗ u -
u(k)(0)gk+1
,
dtm
k=0
где через ∗ обозначена свёртка функций.
Пусть α > 0 и β ∈ R. Функция Миттаг-Лёффлера Eα,β(z) определяется равенством
∑
zn
Eα,β(z) :=
,
z ∈ C.
Γ(αn + β)
n=0
С теорией векторного преобразования Лапласа можно ознакомиться по монографиям [2, 3, 5, 6].
1.1. Многозначные линейные операторы. Доказательства приведённых ниже утвер-
ждений можно найти в [21].
Напомним, что многозначное отображение A: X → P (X) называется многозначным ли-
нейным оператором (МЛО) в X, если выполняются следующие два условия:
(i) D(A) := {x ∈ X : Ax = ∅} - линейное подпространство в X;
(ii) Ax + Ay ⊆ A(x + y), x, y ∈ D(A), и λAx ⊆ A(λx), λ ∈ C, x ∈ D(A).
Известно, что при любых x, y ∈ D(A) и λ, η ∈ C,
|λ| + |η| = 0, справедливо равенство
λAx + ηAy = A(λx + ηy). Более того, A0 - линейное подпространство в X и Ax = f + A0
при любых x ∈ D(A) и f ∈ Ax. Определим множество значений R(A) := {Ax : x ∈ D(A)}.
Множество A-10 := N(A) := {x ∈ D(A) : 0 ∈ Ax} называется ядром оператора A. Обратный
оператор A-1 задаётся равенствами D(A-1) := R(A) и A-1y := {x ∈ D(A) : y ∈ Ax}.
Нетрудно показать, что A-1 - МЛО в X, а также, что N(A-1) = A0 и (A-1)-1 = A. Если
N (A) = {0}, т.е. если A-1 однозначен, то A инъективен.
Предположим, что A, B являются МЛО в X. Тогда их сумма A + B определяется
равенствами D(A + B) := D(A)
⋂D(B) и (A+B)x := Ax+Bx, x ∈ D(A+B). Этот оператор
также является МЛО в X. Произведение BA определяется следующим образом:
D(BA) := {x ∈ D(A) : D(B)
⋂Ax = ∅} и BAx := B(D(B)⋂ Ax).
Тогда BA также является МЛО в X и (BA)-1 = A-1B-1. Будем писать A ⊆ B, если
D(A) ⊆ D(B) и Ax ⊆ Bx для всех x ∈ D(A). Произведение zA МЛО A и числа z ∈ C
определяется равенствами
D(zA) := D(A) и (zA)(x) := zAx, x ∈ D(A).
МЛО A называется замкнутым, если для любых последовательностей (xn) в D(A) и
(yn) в X таких, что yn ∈ Axn при всех n ∈ N, равенства lim
xn = x и lim
yn = y влекут
n→∞
n→∞
за собой включения x ∈ D(A) и y ∈ Ax.
Пусть C ∈ L(X). Для МЛО A его C-резольвентным множеством ρC (A) называется
объединение всех комплексных чисел λ ∈ C, для которых R(C) ⊆ R(λ - A), и (λ - A)-1C -
однозначный ограниченный оператор на X.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1646
ЧАУЧИ и др.
Нетрудно показать, что резольвентное множество ρ(A) := ρI (A) оператора A является
открытым в C. Оператор λ → (λ - A)-1C называется C-резольвентой оператора A (λ ∈
∈ ρC(A)). C-спектр σC(A) оператора A определяется как дополнение множества ρC(A)
в C; спектр оператора A - множество σ(A) := σI(A).
1.2. Вырожденные разрешающие семейства операторов. Напомним следующие оп-
ределения [6].
Определение 1. Пусть 0 < τ ≤ ∞, k ∈ C([0,τ)), k = 0, a ∈ L1loc([0,τ)), a = 0, A: X →
→ P(X) является МЛО, C1 ∈ L(Y,X) и C2 ∈ L(X) инъективен.
(i) Тогда A называется субгенератором (локального, если τ < ∞) слабого (a, k)-регуля-
ризованного семейства (C1,C2)-существования и единственности
(R1(t), R2(t))t∈[0,τ) ⊆ L(Y, X) × L(X),
если отображения t → R1(t)y, t ≥ 0, и t → R2(t)x, t ∈ [0, τ), непрерывны при всех фикси-
рованных x ∈ X, y ∈ Y и выполняются следующие условия:
(∫t
)
a(t - s)R1(s)y ds, R1(t)y - k(t)C1y
∈ A, t ∈ [0,τ), y ∈ Y,
(1)
0
t
∫
a(t - s)R2(s)y ds = R2(t)x - k(t)C2x при всех t ∈ [0, τ) и (x, y) ∈ A,
(2)
0
где запись (x, y) ∈ A означает, что y ∈ Ax.
(ii) Пусть (R1(t))t∈[0,τ) ⊆ L(Y, X) - сильно непрерывное семейство. Тогда A называется
субгенератором (локального, если τ < ∞) слабого (a,k)-регуляризованного семейства C1-су-
ществования (R1(t))t∈[0,τ), если выполняется условие (1).
(iii) Пусть семейство (R2(t))t∈[0,τ) ⊆ L(X) сильно непрерывно. Тогда A называется суб-
генератором (локального, если τ < ∞) слабого (a,k)-регуляризованного семейства C2-един-
ственности (R2(t))t∈[0,τ), если выполняется условие (2).
Определение 2. Пусть 0 < τ ≤ ∞, k ∈ C([0,τ)), k = 0, a ∈ L1loc([0,τ)), a = 0,
A: X → P(X) - МЛО, C ∈ L(X) инъективен и CA ⊆ AC. Тогда сильно непрерывное семей-
ство операторов (R(t))t∈[0,τ) ⊆ L(X) называется (a, k)-регуляризованным C-разрешающим
семейством с субгенератором A, если (R(t))t∈[0,τ) является слабым (a, k)-регуляризован-
ным семейством C-единственности, имеющим A в качестве субгенератора, R(t)C = CR(t) и
R(t)A ⊆ AR(t) (t ≥ 0).
Если τ = ∞, то семейство (R(t))t≥0 называется экспоненциально ограниченным (огра-
ниченным), если существуют действительные числа M ≥ 1 и ω ∈ R (ω = 0) такие, что
∥R(t)∥ ≤ Meωt, t ≥ 0.
Приведённые выше понятия используются для классов слабых (a, k)-регуляризованных
семейств C1-существования и слабых (a, k)-регуляризованных семейств C2-единственности.
Определение 3.
(i) Пусть A - МЛО в пространстве X, α ∈ (0, π] и (R(t))t≥0 - (a, k)-регуляризованное C-
разрешающее семейство, которое имеет субгенератор A. Тогда (R(t))t≥0 называется анали-
тическим (a,k)-регуляризованным C-разрешающим семейством с углом α, если существует
функция R : Σα → L(X), для которой при каждом x ∈ X отображение z → R(z)x, z ∈ Σα
аналитично и выполняются условия:
(a) R(t) = R(t), t > 0,
(b)
lim R(z)x = k(0)Cx для всех γ ∈ (0, α) и x ∈ X.
z→0, z∈Σγ
(ii) Аналитическое (a, k)-регуляризованное C-разрешающее семейство (R(t))t≥0 с углом
α ∈ (0,π] называется экспоненциально ограниченным, если для всех γ ∈ (0,α) существует
ωγ ≥ 0 такое, что семейство {e-ωγ RezR(z) : z ∈ Σγ} ⊆ L(X) ограничено. Если в этом
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
1647
определении для всех γ ∈ (0, α) можно взять ωγ = 0, то семейство (R(t))t≥0 называется
ограниченным.
В дальнейшем будем отождествлять функции R(·) и R(·).
2. Мультипликативные возмущения для вырожденных дробных разрешающих
семейств операторов. Сформулируем основной результат работы. Отметим, что в форму-
лировке используются определённые во введении функции gα.
Теорема. Пусть A и B - замкнутые МЛО, B-1 ∈ L(X), C ∈ L(X) инъективен, CA ⊆
⊆ AC, CB ⊆ BC, [(λ - A)-1C][(λ′ - B)-1] = [(λ′ - B)-1][(λ - A)-1C] для всех λ ∈ ρC(A),
λ′ ∈ ρ(B), и существуют положительные числа α и β такие, что α < β и σ(B) ⊆ [α,β].
Пусть, кроме того, a ∈ (0, 2], Σaπ/2 ⊆ ρC (A), отображение λ → (λ - A)-1Cx, λ ∈ Σaπ/2,
непрерывно при любом фиксированном x ∈ X и при каждом a′ ∈ (0,a) существует ca′ > 0,
при котором
∥λ(λ - A)-1C∥ ≤ ca′ , λ ∈ Σa′π/2.
(3)
Тогда при каждом a′ ∈ (0, a) справедливы следующие утверждения:
(i) если оператор BA плотно определён, то BA - субгенератор ограниченного аналити-
ческого (ga′ , g1)-регуляризованного C-разрешающего семейства (RB(t))t≥0 с углом
α ≡ min(π/2,π(a - a′)/(2a′)).
(4)
(ii) если оператор BA не является плотно определённым, то BA при каждом b′ >
> 0 - субгенератор экспоненциально ограниченного аналитического (ga′,gb′+1)-регуляризо-
ванного C-разрешающего семейства (RB,b′ (t))t≥0 с углом (4) и при каждом γ ∈ (0, α) суще-
ствует dγ > 0 такое, что ∥RB(z)∥ ≤ dγ|z|b′ , z ∈ Σγ.
Доказательство следует идее, предложенной в работе [9] при доказательстве леммы 2.8.
Прежде всего, существование оператора B-1 ∈ L(X) позволяет заключить, что многозначный
линейный оператор BA замкнут, поэтому оператор s - BA также замкнут при любом s ∈
∈ C. Действительно, пусть (xn) и (yn) - последовательности в X такие, что lim
xn = x,
n→∞
lim
yn = y и yn ∈ BAxn при всех n ∈ N. Отсюда следует существование последовательности
n→∞
(zn) в X, для которой zn ∈ Axn и yn ∈ Bzn. Очевидна сходимость zn = B-1yn → B-1y при
n → ∞, поскольку B-1 ∈ L(X). Так как оператор A замкнут, то это означает, что x ∈ D(A)
и B-1y ∈ Ax, поэтому x ∈ D(BA) и y ∈ BAx, что и утверждалось.
Далее предложение 1.2.6 (iii) [6] показывает, что отображение λ → (λ - A)-1Cx, λ ∈
∈ Σaπ/2, аналитично при каждом фиксированном x ∈ X. Предположим теперь, что s ∈
∈ Σaπ/2 и |arg(s)| + ε < aπ/2 при достаточно малом ε > 0. Пусть Γ - некоторый замкнутый
контур в комплексной плоскости, окружающий спектр σ(B), такой, что Γ ⊆ Σε. Определим
отображение
∫
dω
F (s)x :=
((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1x
,
x∈X.
2πiω
Γ
Так как подынтегральная функция ω → ((s/ω)-A)-1C(ω-B)-1x/(2πiω) аналитична при лю-
бом x ∈ X, то по теореме Коши значение F (s)x не зависит от выбора контура Γ, удовлетво-
ряющего указанным выше требованиям; более того, несложно показывается, что отображение
s → F(s)x, s ∈ Σaπ/2, аналитично при каждом x ∈ X.
Согласно нашим предположениям о коммутировании операторов C и A, C и B, (λ -
-A)-1C и (λ′ -B)-1, можно использовать теорему 1.2.4 (i) [6] для того, чтобы показать, что
при любых s ∈ Σaπ/2, ω ∈ Γ и x ∈ X выполняются следующие включения:
x
(s - BA)((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1
∋
2πiω
x
x
∋ s((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1
- B[((s/ω) - A)-1C - C](ω - B)-1
=
2πiω
2πiω
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1648
ЧАУЧИ и др.
x
x
= s((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1
- B(ω - B)-1[((s/ω) - A)-1C - C]
∋
2πiω
2πiω
x
x
∋ s((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1
- [ω(ω - B)-1 - I][((s/ω) - A)-1C - C]
=
2πiω
2πiω
x
x
= C(ω - B)-1
+ [((s/ω) - A)-1C - C]
2πiω
2πiω
Тогда по теореме Коши
∫
dω
[((s/ω) - A)-1Cx - Cx]
= 0, s ∈ Σaπ/2.
(5)
2πiω
Γ
С другой стороны, используя предложение 3.10.1 [6], получаем, что σ(B-1) ⊆ [1/β, 1/α] и
при этом
(λ - B-1)-1 = λ-1[I - λ-1(λ-1 - B)-1], λ ∈ C \ [1/β, 1/α].
Из этого равенства, формулы Коши и элементарных свойств функционального исчисления
Данфорда следует, что
∫
∫
[
]
∫
∫
x
x
2πix = (λ - B-1)-1x dλ =
(λ - B-1)-1x -
dλ = - (λ-1 - B)-1
dλ = (λ - B)-1x dλ,
λ
λ2
Γ1
Γ1
Γ1
Γ
где Γ1 := {λ-1 : λ ∈ Γ}. В силу теоремы 1.2.3 [6] из равенства (5) вытекает включение
Cx ∈ (s - BA)F(s)x, s ∈ Σaπ/2, x ∈ X.
(6)
Далее предположение (x, y) ∈ A влечёт за собой в силу теоремы 1.2.4 (i) [6] равенство
((s/ω) - A)-1Cy = (s/ω)((s/ω) - A)-1Cx - Cx, s ∈ Σaπ/2, ω ∈ Γ, x ∈ X.
Используя те же аргументы для МЛО B и почти дословно повторяя приведённые выше
вычисления, убеждаемся, что из включений (x, y) ∈ A и (y, z) ∈ B следует равенство
sF(s)x - F(s)z = Cx, s ∈ Σaπ/2.
(7)
Теперь докажем, что оператор (s-BA)-1C однозначен при всех s ∈ Σaπ/2. Предположим,
что x ∈ (s - BA)-1C0 при некотором s ∈ Σaπ/2, т.е. 0 ∈ (s - BA)x. Отсюда вытекает
существование элементов y ∈ Ax и z ∈ By таких, что sx = z, поэтому sF (s)x - F (s)z =
= 0. В силу равенства (7) получаем, что Cx = 0, а значит, x = 0, так как C инъективен.
Следовательно, (s - BA)-1C = F (s) при всех s ∈ Σaπ/2.
Зафиксируем γ ∈ (0, aπ/2), для которого γ +ε < aπ/2. Тогда в силу оценки (3) существует
число c′γ+ε > 0 такое, что
∫
∫
ω
d|ω|
∥sF (s)∥ = s((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1 d
|ω|cγ+ε∥(ω - B)-1∥
≤c′γ+ε, s ∈ Σγ.
≤
2πiω
|ω|
Γ
Γ
Для завершения доказательства остаётся применить теорему 3.2.19 [6] и интегральные вы-
числения, проведённые при доказательстве теоремы 2.6.1 [6]. Теорема доказана.
Замечание 1.
(i) Хорошо известно, что отображение λ → (λ - A)-1C ∈ L(X), λ ∈ Σaπ/2, аналитично,
если C = I (см. [6, 21]).
(ii) Даже в случае, когда a = 1, оператор A = A однозначный и C = I, сделанные вы-
ше предположения не означают, что оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
1649
(см., например, хорошо известный контрпример Комацу из [26, § 1.3.6]). Наш основной резуль-
тат и вывод из следующего пункта этого замечания можно переформулировать в терминах
(почти) C-секториальных операторов [5, 6, 26].
(iii) Заметим, что оценка (3) использована только в финальной части доказательства теоре-
мы. Предположим, вместо этого условия, что существует такое действительное число η ≥ -1,
что при каждом a′ ∈ (0, a) найдётся такое ca′ > 0, для которого
∥(λ - A)-1C∥ ≤ ca′ (1 + |λ|)η, λ ∈ Σa′π/2.
Тогда можно утверждать, как и выше, что при всех b′ ≥ a′(1 + η) [ b′ > a′(1 + η) ] МЛО BA
является субгенератором экспоненциально ограниченного, аналитического (ga′ , gb′+1)-регуля-
ризованного C-разрешающего семейства (RB(t))t≥0 с углом (4), если BA плотно определён
[BA не является плотно определённым].
(iv) Утверждения теоремы и пункт (iii) этого замечания могут быть обобщены следующим
образом. Всё ещё предполагая, что B-1 ∈ L(X), теперь вместо остальных условий предполо-
жим, что существует инъективный оператор D ∈ L(X), коммутирующий с A, B и C, такой,
что σD(B) ⊆ [α, β], отображение λ → (λ - B)-1Dx, λ ∈ C \ [α, β], аналитично при каждом
фиксированном x ∈ X и
[(λ - A)-1C][(λ′ - B)-1D] = [(λ′ - B)-1D][(λ - A)-1C]
для всех λ ∈ ρC (A), λ′ ∈ ρD(B). Вычисления для выражения
∫
dω
FD(s)x :=
((s/ω) - A)-1C(ω - B)-1Dx
,
x∈X,
2πiω
Γ
почти такие же, как в случае D = I, и разрешающие семейства операторов будут CD-регу-
ляризованными. Отметим только, что уравнение (7) в рассматриваемой ситуации имеет вид
sF(s)x - F(s)z = CDx, s ∈ Σaπ/2, и что будет иметь место равенство
∫
(ω - B)-1Dx dω = 2πiDx,
Γ
справедливость которого может быть показана с помощью замены контура Γ окружностью
{z ∈ C : |z| = R}, где R → +∞, последующей подстановки z = 1/ω и применения теоремы о
вычетах.
(v) Утверждения теоремы работы и разделы (iii), (iv) этого замечания могут быть обоб-
щены на случай, когда спектр оператора B (D-спектр оператора B) не является подмно-
жеством R. Предположим, например, что существует такой угол θ ∈ (0, aπ/2), при котором
спектр σ(B) ⊆ Σθ является компактным множеством. Тогда утверждения остаются верными
для всех значений a′ ∈ (0, a - (2θ/π)) с углом аналитичности
α = min(π/2,π(a - a′)/(2a′) - (θ/a′)).
3. Приложения к абстрактным дробным дифференциальным уравнениям. Вэтом
пункте доказанная теорема будет использована для исследовании абстрактных дробных диф-
ференциальных уравнений. Отдельно рассмотрим приложения к невырожденным и к вырож-
денным дробным дифференциальным уравнениям.
3.1. Невырожденные дробные дифференциальные уравнения. Здесь будет исполь-
зовано хорошо известное функциональное исчисление для коммутирующих генераторов огра-
ниченных C0-групп. Мы используем идею примера 3.4 [9].
Пусть n ∈ N и iAj ,
1 ≤ j ≤ n, - коммутирующие генераторы ограниченных C0-групп в
банаховом пространстве X. Пусть k = 1 + ⌊n/2⌋, A = (A1, . . . , An) и Aη = Aη11 · · · Ann для
любого η = (η1, . . . , ηn) ∈ Nn0. Символами F и F-1 обозначим преобразование Фурье на Rn
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1650
ЧАУЧИ и др.
и обратное преобразование Фурье соответственно. Если ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn и u ∈ FL1(Rn) =
∑n
∑n
= {Ff : f ∈ L1(Rn)}, положим |ξ| := (
ξ2j)1/2, (ξ,A) :=
ξjAj и
j=1
j=1
∫
u(A)x := F-1u(ξ)e-i(ξ,A)x dξ, x ∈ X.
Rn
Тогда u(A) ∈ L(X), u ∈ FL1(Rn) и существует такое M > 0, что ∥u(A)∥ ≤ M∥F-1u∥L1(Rn),
∑
u ∈ FL1(Rn). Пусть N ∈ N. По комплексному многочлену Q(x) =
aηxη, x ∈ Rn, сте-
|η|≤N
∑
∑
n
пени N
(|η| :=
ηj) определим оператор Q(A) :=
aηAη с максимальной областью
j=1
|η|≤N
определения. Напомним, что если X - функциональное пространство, на котором перено-
сы равномерно ограничены и сильно непрерывны, то очевидным выбором для Aj является∑
оператор -i∂/∂xj . Пусть Q(x) =
aηxη, x ∈ Rn, и X такое пространство, тогда
|η|≤N
∑
∑
Q(A) ≡ Q(D; x) ≡
aηDη
(8)
aη(-i)|η|∂|η|/∂xη11 ··· ∂xnn ≡
|η|≤N
|η|≤N
– оператор, действующий на максимальной области определения.
Вопросы порождения дробного разрешающего семейства некоэрцитивными дифференци-
альными операторами проанализированы в теореме 2.5.3 и замечании 2.5.4 [5].
Лемма 1. Пусть 0 < a < 2, ω ≥ 0 Q(x - комплексный многочлен степени N ∈ N,
nN
1
1
N
β >
(соответственно β = n
если X = Lp(Rn) при некотором
2min(1,a)
p-
2min(1,a),
1 < p < ∞) и справедлива импликация:
если Q(Rn) ⊆ C \ (ω + Σaπ/2), то sup Re (Q(x)1/a) ≤ ω1/a.
x∈Rn
Положим Ra(t) := (Ea(taQ(x))(1 + |x|2)-β/2)(A), t ≥ 0. Тогда (Ra(t))t≥0 - глобальное экспо-
ненциально ограниченное (ga,Ra(0))-регуляризованное разрешающее семейство с интеграль-
nN
ным генератором Q(A) непрерывно по норме при β >
, при этом
2min(1,a)
∥Ra(t)∥ ≤ M(1 + tmax(1,a)n/2)eωt, t ≥ 0
(∥Ra(t)∥ ≤ M(1 + tmax(1,a)n|1/p-1/2|)eωt, t ≥ 0).
(9)
Рассмотрим теперь случай n ≥ 2, a ∈ Nn-1, X := Lp(Rn) при некотором p ∈ [1, ∞),
X := C0(Rn) или X = BUC(Rn) с оператором P (A) вида (8). Определим Bf(x1, . . . , xn) :=
:= h(x1, . . . , xa)f(x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn, где h(·) - ограниченная измеримая функция,
и предположим, что многочлен P (x) не зависит от переменных x1, . . . , xa. Тогда P (A) -
интегральный генератор глобального экспоненциально ограниченного (ga, Ra(0))-регуляризо-
ванного разрешающего семейства (Ra(t))t≥0 и выполняется соотношение (9), из которого сле-
дует, что
∫∞
λa-1(λa - A)-1C = e-λtRa(t)xdt, x ∈ X, Reλ > 0,
0
при этом для всех a′′ ∈ (0, π/2) существует такая константа ca′′ > 0, что
∥λa-1(λa - A)-1C∥ ≤ ca′′ [|λ|-1 + |λ|-1-max(1,a)n/2], λ ∈ Σa′′ ,
соответственно
∥λa-1(λa - A)-1C∥ ≤ ca′′ [|λ|-1 + |λ|-1-max(1,a)n|1/p-1/2|], λ ∈ Σa′′ .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
1651
При a = 1 или a = 2 в предположении, что существенный образ функции h(·) является
компактным C подмножеством, содержащимся в секторе Σθ при некотором θ ∈ (0, aπ/2), из
теоремы 1 и замечания 1 (iv) несложно получаем, что при всех a′ ∈ (0, a - (2θ/π)) оператор
BP(A) является интегральным генератором экспоненциально ограниченного (ga′,gb′+1)-ре-
гуляризованного C-разрешающего семейства при каждом b′ ≥ max(0, a′ - 1) с углом анали-
тичности α = min(π/2, π(a - a′)/(2a′) - (θ/a′)) (см. также теорему 2.9.48 [5] о полугруппах,
порождённых дробными степенями почти C-неотрицательных операторов).
Отметим, что вопросы порождения дробного разрешающего семейства операторов степе-
нями почти C-неотрицательных операторов до сих пор не исследовались.
Замечание 2. Напомним, что многочлен P (x) называется r-коэрцитивным (0 < r ≤ N),
если существуют такие положительные постоянные M и L, что |P (x)| ≥ M|x|r при |x| ≥ L.
К сожалению, мы не можем распространить наши рассуждения на дифференциальные опера-
торы, символы которых являются r-коэрцитивными многочленами.
Очевидно, что доказанная теорема (см. также замечание 1 (iii)) может быть использова-
на при исследовании класса почти секториальных операторов в банаховых пространствах. К
сожалению, подход, использованный в примере 3.4 [9] и в приведённом выше приложении,
не может быть использован при рассмотрении дифференциальных операторов высокого по-
рядка с переменными показателями в гёльдеровых пространствах, исследованных впервые в
работе [27] (см. также [5, 6, 28]). В самом деле, предположим, что α ∈ (0, 1), m ∈ N, Ω -
ограниченная область в Rn с границей класса C4m и X := Cα(Ω). Рассмотрим оператор
A : D(A) ⊆ Cα(Ω) → Cα(Ω) вида
∑
Au(x) :=
aβ(x)Dβu(x) при всех x ∈ Ω
|β|≤2m
с областью определения D(A) := {u ∈ C2m+α(Ω) : Dβu|∂Ω = 0 при всех |β| ≤ m - 1}. Здесь
∑n
β ∈Nn0, |β| =
βj и функции aβ : Ω → C удовлетворяют следующим условиям:
i=1
(a) aβ(x) ∈ R при всех x ∈ Ω и |β| = 2m,
(b) aβ ∈ Cα(Ω) для всех |β| ≤ 2m,
(c) существует такое M > 0, что
∑
M-1|ξ|2m ≤
aβ(x)ξβ ≤ M|ξ|2m при всех ξ ∈ Rn и x ∈ Ω.
|β|=2m
В таком случае хорошо известно, что оператор A не плотно определён и существует доста-
точно большое число σ > 0 такое, что для оператора -Aσ ≡ -(A+σ) выполняется включение
Σω
⋃ {0} ⊆ ρ(-Aσ) с некоторым ω ∈ (π/2, π) и ∥R(λ : -Aσ)∥ = O(|λ|-1+α/(2m)), λ ∈ Σω. Ес-
ли мы хотим применить подход из примера 3.4 [9] (с оператором B, определённым выше), то
необходимо потребовать, чтобы выполнялось тождество aβ(x) ≡ 0 для всех наборов β ∈ Nn0,
для которых существует такое j ∈ Na, что βj > 0. Но это противоречит условию (c).
3.2. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения. Этот пункт начнём
с наблюдения, что доказанная в работе теорема может быть применена к ситуации с чисто
многозначными линейными операторами A и B. Рассмотрим самый простой пример, в кото-
ром X := Lp(1, ∞) с некоторым p ∈ [1, ∞] и A представляет собой оператор умножения на
функцию m-1b(x)ma(x), где ma(x) := x + iex, mb(x) := χ[a,b](x) и 1 < a < b < ∞.
Тогда для каждого a ∈ (0, 1) существует такое ωa > 0, что требования теоремы работы
выполнены при замене в ней МЛО A на МЛО A-ωa. Предположим теперь, что na(·) и nb(·) -
некоторые измеримые комплекснозначные функции, для которых nb(·)/na(·) ∈ L∞(1, ∞), а
также что при каждом a ∈ (0, 1) существует число d > 0, угол θ ∈ (0, a) и компактное
множество K ⊆ Σθ такие, что расстояние до существенного образа функции nb(·)/na(·) от
каждой точки λ-1, где λ не лежит в K, не менее d. Пусть B - умножение на n-1b(x)na(x);
тогда σ(B) ⊆ K и теорема работы может быть использована (см. также замечание 1 (iii)).
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1652
ЧАУЧИ и др.
Теперь применим доказанную теорему к абстрактным вырожденным дифференциальным
уравнениям в Lp-пространствах. Предположим, что n ∈ N, P1(x) и P2(x) - ненулевые мно-
гочлены и sup Re ((P1(x)/P2(x))1/α) ≤ 0. В § 3.10.1 [6] был получен следующий результат
x∈Rn
(формулировка теоремы 3.10.17 (i) [6] содержит некоторые типографские опечатки, исправ-
ленные здесь).
Лемма 2. Предположим, что 0 < a < 2, P1(x) и P2(x) - ненулевые комплексные мно-
гочлены, N1 = dg(P1(x)), N2 = dg(P2(x)), N ∈ N и r ∈ (0, N]. Пусть Q(x) - r-коэр-(
)
n
N1 + N2
цитивный комплексный многочлен степени N, a ∈ C \ Q(Rn), γ >
max N,
2r
min(1,a)
(
)
n1
1
N1 + N2
(соответственно γ =
ax N,
, если X = Lp(Rn) при некотором 1 <
m
rp-
2
min(1,a)
< p < ∞), P2(x) = 0, x ∈ Rn,
0 ∈ P1(Rn) и sup Re((P1(x)/P2(x))1/a) ≤ 0. Положим
x∈Rn
A ≡ P2(A) · P1(A)-1, C := ((a - Q(x))-γ)(A), δ := max(1,a)n/2, если X = Lp(Rn) при
каком-либо p ∈ (1, ∞), и δ := max(1, a)n|(1/p) - (1/2)|, если X = Lp(Rn) для некоторо-
го p ∈ (1, ∞). Тогда C ∈ L(X) инъективен и при каждом γ > 2δ + (1/2) многозначный
линейный оператор A является субгенератором глобального экспоненциально ограниченного
(ga, gγ+1)-регуляризованного C-разрешающего семейства (Ra(t))t≥0, для которого семейство
операторов {[tγ(1 + t-δ)]-1Ra(t) : t > 0} ⊆ L(X) ограничено.
Рассмотрим теперь обычные дифференциальные операторы P1(D; x) и P2(D; x). Пред-
положим, что n ≥ 2, a ∈ Nn-1, многочлены P1(x) и P2(x) не зависят от переменных
x1,... ,xa, X := Lp(Rn) при некотором p ∈ (1, ∞) и (Bf)(x) := b(x1, . . . , xa)f(x1, . . . , xn),
(x1, . . . , xn) ∈ Rn, f ∈ X, где b(·) - существенно ограниченная функция. Из доказательств
теорем 3.10.17 (i) и 3.10.9 [6] следует, что
∫∞
λa-γ-1(λa - A)-1Cx = e-λtRa(t)xdt, x ∈ X, Re λ > 0.
0
Учитывая это равенство и показатель роста для (Ra(t))t≥0, нетрудно видеть, что при каж-
дом a′ ∈ (0, a) существует такое ca′ > 0, при котором ∥(λ - A)-1∥ ≤ ca′ (|λ|-1 + |λ|(δ-α)/α),
λ ∈ Σa′π/2. Положим η := max(-1,-1+(δ/α)). Если a = 1 или a = 2, то, применяя теорему
работы (см. также замечание 1 (iii)), получаем, что при каждом b′ > a′(1 + η) МЛО BA
является субгенератором экспоненциально ограниченного, аналитического (ga′ , gb′+1)-регуля-
ризованного C-разрешающего семейства (RB(t))t≥0 с углом аналитичности (4); более того,
интегральные вычисления, выполненные при доказательстве теоремы 2.6.1 [3], показывают,
что имеет место равенство
∥RB(t)∥ = O(tb′+1-a′ [ta′ + t(a′/α)(α-δ)]), t > 0.
Это может быть использовано при анализе корректности следующей абстрактной вырожден-
ной дробной задачи:
{
Dαt[P1(D;x)u(t)] = b(x)P2(D;x)u(t) + f(t,x), t ≥ 0, vx ∈ Rn;
(DFP)r,b :
u(0, x) = Cu0(x);
((∂j /∂tj )u(t, x))|t=0 = 0,
1 ≤ j ≤ ⌈α⌉ - 1 (x ∈ Rn).
Замечание 3. Так как многочлен P1(x) не зависит от переменных x1, . . . , xa, то из
предположения 0 ∈ P1(Rn) следует, что нуль принадлежит остаточному спектру оператора
P1(D;x). В самом деле, остаточный спектр этого оператора совпадает с точечным спектром
его сопряжённого оператора, который всегда содержит нуль.
Работа Федорова В.Е. выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-
ментальных исследований и Вьетнамской Академии наук и технологий (проект 21-51-54003).
Работа Костича М. выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства науки и
технологического развития Республики Сербия (грант 451-03-68/2020/14/200156).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
1653
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. deLaubenfels R. Existence Families. Functional Calculi and Evolution Equations. Berlin; Heidelberg, 1994.
2. Xiao T.-J., Liang J. The Cauchy Problem for Higher-Order Abstract Differential Equations. Berlin, 1998.
3. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy
Problems. Basel, 2001.
4. Kostić M. Generalized Semigroups and Cosine Functions. Belgrade, 2011.
5. Kostić M. Abstract Volterra Integro-Differential Equations. Boca Raton, 2015.
6. Kostić M. Abstract Degenerate Volterra Integro-Differential Equations. Belgrade, 2020.
7. Dorroh J.R. Contraction semigroups in a function space // Pacific J. Math. 1966. V. 19. P. 35-38.
8. Gustafson K., Lumer G. Multiplicative perturbations of semigroup generators // Pacific J. Math. 1972.
V. 41. P. 731-742.
9. deLaubenfels R. Bounded, commuting multiplicative perturbations of strongly continuous group genera-
tors // Houston J. Math. 1991. V. 17. P. 299-310.
10. deLaubenfels R., Jazar M. Commuting multiplicative perturbations // Houston J. Math. 1994. V. 20.
P. 425-434.
11. Holderrieth A. Multiplicative Perturbations. PhD. Thesis. Tübingen, 1992.
12. Dorroh J.R., Holderrieth A. Multiplicative perturbation of semigroups generators // Boll. Unione Mat.
Ital. Sez. A. 1993. V. 7. P. 47-57.
13. Holderrieth A. Commuting Multiplicative Perturbations. Book Chapter in: Evolution Equations, Control
Theory and Biomathematics / Eds. P. Clement, G. Lumer. New York, 1994, P. 285-290.
14. Jung M. Some perturbation results for semigroups // Arch. Math. 1995. V. 64. P. 475-483.
15. Xiao T.-J., Liang J. Multiplicative perturbations of C-regularized semigroups // Comput. Math. Appl.
2001. V. 41. P. 1215-1221.
16. Rhandi A. Multiplicative perturbations of linear Volterra equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1993.
V. 119. P. 493-501.
17. Chang J.-C., Shaw S.-Y. Multiplicative and additive perturbations of resolvent families // Int. Math. J.
2002. V. 2. P. 841-853.
18. Xin Y., Liang C. Multiplicative perturbations of C-regularized resolvent families // J. Zheijang
University Science. 2004. V. 5. P. 528-532.
19. Lizama C., Poblete V. On multiplicative perturbation of integral resolvent families // J. Math. Anal.
Appl. 2007. V. 327. P. 1335-1359.
20. Kostić M. (a, k)-Regularized C-resolvent families: regularity and local properties // Abstract Appl.
Anal. 2009. V. 2009. Art. ID 858242.
21. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. New York, 1998.
22. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators.
Utrecht; Boston, 2003.
23. Федоров В.Е., Гордиевских Д.М., Плеханова М.В. Уравнения в банаховых пространствах с вырож-
денным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10.
С. 1367-1375.
24. Федоров В.Е., Авилович А.С. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной
Римана-Лиувилля в секториальном случае // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60. № 2. С. 461-477.
25. Fedorov V.E., Filin N.V. On strongly continuous resolving families of operators for fractional distributed
order equations // Fractal and Fractional. 2021. V. 5. № 20. P. 1-14.
26. Martinez C., Sanz M. The Theory of Fractional Powers of Operators. Amsterdam, 2001.
27. von Wahl W. Gebrochene Potenzen eines elliptischen Operators und parabolische Differentialgleichungen
in Räumen hölderstetiger Funktionen // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. 1972. Bd. 11.
S. 231-258.
28. Periago F., Straub B. A functional calculus for almost sectorial operators and applications to abstract
evolution equations // J. Evolution Equat. 2002. V. 2. P. 41-68.
Университет Кхеми Мильяны,
Поступила в редакцию 20.10.2021 г.
г. Кхеми Мильяна, Алжир,
После доработки 20.10.2021 г.
Челябинский государственный университет,
Принята к публикации 23.11.2021 г.
Университет Нови-Сада,
г. Нови-Сад, Сербия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
5∗
