ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1665-1681

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

УДК 519.642.2

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СОБОЛЕВСКОГО ТИПА ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Изучаются краевые задачи для одномерного по пространственной переменной нагружен-

ного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа с перемен-

ными коэффициентами и дробной по времени производной, а также разностные схемы,

аппроксимирующие эти задачи на равномерной сетке. Граничные условия являются ло-

кальными первого и третьего рода. Рассматривающееся уравнение представляет собой ма-

тематическую модель движения влаги и солей в почвах с фрактальной структурой. Для

решения рассматриваемых задач получены априорные оценки в дифференциальной и раз-

ностной трактовках, из которых следуют единственность решения и его устойчивость по

правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к

решению дифференциальной задачи со скоростью O(h² + τ²), где h и τ - шаги по про-

странственной и временной переменным.

DOI: 10.31857/S0374064121120098

Введение. Нагруженными дифференциальными уравнениями принято называть уравне-

ния, содержащие функции от решения на многообразиях размерности меньшей, чем размер-

ность области определения искомой функции [1]. Краевые задачи для нагруженных дифферен-

циальных уравнений возникают, например, при изучении движения подземных вод, в задачах

управления качеством водных ресурсов, когда в водоём из нескольких источников поступает

загрязняющее вещество определённой интенсивности, при построении математической модели

переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы.

В разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений большой вклад внесён

авторами работ [1-4]. В обзорных статьях A.M. Нахушева на многочисленных примерах пока-

зана практическая и теоретическая важность исследований нагруженных дифференциальных

уравнений. Одним из методов приближённого решения краевых задач для дифференциаль-

ных уравнений является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции интегро-дифферен-

циальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В работе [1] впервые

указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа

Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентным образом ре-

дуцированы к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений.

Хорошо известно, что вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [5, 6], передачи

тепла в гетерогенной среде [7, 8], влагопереноса в почво-грунтах [9] (см. [10, c. 137]) приво-

дят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных

производных соболевского типа:

u_xxt + du_t + ηu_xx + au_x + bu = q(x,t),

(0.1)

где η = η(x, t), a = a(x, t), b = b(x, t), d = d(x, t). Уравнение (0.1) часто называют также

псевдопараболическим уравнением или уравнением псевдопараболического типа.

Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений рассматривались в

работах [11-13]. Задачи расчёта тепломассообмена с сосредоточенными источниками (стока-

ми) переносимой субстанции [14] и, подобно [15, 16], задачи регулирования уровня грунтовых

1665

1666

БЕШТОКОВ

вод при орошении приводят к необходимости исследования краевых задач для нагруженных

псевдопараболических уравнений.

В работе [17] предложены и исследованы математические модели водного режима в почво-

грунтах с фрактальной структурой. В основе этих моделей лежит уравнение Аллера дробного

порядка.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного поряд-

ка посвящены работы [18-24]. В частности, в [20] получены результаты, позволяющие, как и

в классическом случае (α = 1), применять метод энергетических неравенств для нахожде-

ния априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной

трактовке. В работе [21] построен новый разностный аналог (называемый формулой L2 - 1_σ),

обеспечивающий порядок аппроксимации дробной производной Капуто O(τ3-α). Доказаны

устойчивость предлагаемых схем, а также их сходимость в L₂-норме со скоростью, равной

порядку погрешности аппроксимации.

В настоящей работе рассматриваются краевые задачи для нагруженного уравнения собо-

левского типа с переменными коэффициентами и дробной производной Герасимова-Капуто.

Основной результат работы заключается в доказательстве априорных оценок для решения

задачи как в дифференциальном, так и в разностном виде. Полученные оценки означают

устойчивость решения относительно возмущения входных данных задачи и в предположении

существования точного её решения в классе достаточно гладких функций, а также в силу ли-

нейности задачи позволяют утверждать сходимость приближённых решений к точному при

увеличении точности аппроксимации.

1. Постановка первой краевой задачи. В замкнутом прямоугольнике Q_T = {(x,t) :

0≤x≤l,

0 ≤ t ≤ T} для нагруженного псевдопараболического уравнения с дробной произ-

водной Герасимова-Капуто порядка α

(

)

(

)

∂

∂u

∂

∂u

∂α0tu =

k(x, t)

+∂^α

η(x)

+ r(x,t)

- q(x,t)u(x₀,t) + f(x,t),

∂x

0t ∂x

∂x

здесь 0 < x < l, 0 < t ≤ T, рассмотрим первую краевую задачу

u(0, t) = u(l, t) = 0,

0≤t≤T,

(1.2)

u(x, 0) = u₀(x),

0≤x≤l,

(1.3)

∫

u_τ (x,τ)

где ∂α0tu =

dτ - дробная производная в смысле Герасимова-Капуто поряд-

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

ка α,

0 < α < 1, x₀ - фиксированная точка интервала (0,l), функции k, η, r, q, f и u₀

заданы и первые четыре из них удовлетворяют условиям

0 < c₀ ≤ k(x,t),η(x) ≤ c₁,

|q(x, t)|, |r(x, t)|, |r_x(x, t)|, |k_x(x, t)| ≤ c₂

(1.4)

(c_i, i = 0, 1, 2, - положительные постоянные); считаем, что коэффициенты и свободный член

уравнения (1.1), а также начальное условие (1.3) задачи имеют такую гладкость, которая

обеспечивает нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

Отметим, что приведённая выше конструкция дробной производной введена [25] итальян-

ским механиком М. Капуто в 1967 г. Поэтому за рубежом её называют дробной производной

Капуто. Однако правильнее называть её дробной производной Герасимова-Капуто, так как

ещё в 1948 г. советский механик А.Н. Герасимов рассматривал [26] подобные выражения:

∫

u_τ (x,τ)

dτ.

Γ(α)

(t - τ)^α

-∞

Как отмечено в работе [10, с. 159], второе слагаемое в правой части уравнения (1.1) очень

мало при впитывании влаги и велико при испарении.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1667

В дальнейшем предполагаем, что задача (1.1)-(1.3) имеет единственное решение, обла-

дающее нужными для справедливости проводимых рассуждений производными. Через M_i,

i = 1, 2, . . . , обозначаем положительные постоянные, зависящие только от входных данных

рассматриваемой задачи. При этом нумерация постоянных в каждом пункте статьи самосто-

ятельная.

2. Априорная оценка в дифференциальной форме. Чтобы получить априорную

оценку решения задачи (1.1)-(1.3) в дифференциальной форме, введём скалярное произве-

дение и норму в следующем виде:

∫l

(a, b) = ab dx, (a, a) = ∥a∥²⁰,

(2.1)

где a и b - заданные на [0, l] функции. Умножив уравнение (1.1) скалярно на u, получим

(∂α0tu, u) = ((ku_x)_x, u) + (∂α0t(ηu_x)_x, u) + (ru_x, u) - (qu(x₀, t), u) + (f, u).

(2.2)

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (2.2), пользуясь неравенством Коши с ε [27,

с. 100]. Тогда

∫

(∂α0tu, u) =

u dx u_τ (x, τ)(t - τ)^-α dτ.

(2.3)

Γ(1 - α)

Справедлива следующая

Лемма 1 [20]. Для любой абсолютно непрерывной на [0, T ] функции υ(t)

справедливо

неравенство

υ(t)∂α0tυ(t) ≥

∂α0tυ²(t),

0 < α < 1.

Пользуясь формулой (2.1) для скалярного умножения и леммой 1, получаем

(∂α0tu, u) ≥

(1, ∂α0tu²) =

∂α0t∥u∥²⁰,

(2.4)

∫^l



∫

^l

((ku_x)_x, u) =

u(ku_x)_x dx = uku_x

- ku2x dx,

(2.5)



∫l



∫

^l



(∂α0t(ηu_x)_x, u) =

u∂α0t(ηu_x)_x dx = u∂α0t(ηu_x)

- η(x)u_x∂α0tu_x dx ≤



∫

^l

≤ u∂α0t(ηu_x)^

η∂α0t(u_x)² dx,

(2.6)

∫l

∫

∫l

c₂

(ru_x, u) = ruu_x dx ≤

u² dx +

u2x dx ≤ M₁(∥u∥²⁰ + ∥u_x∥²⁰),

(2.7)

∫l

∫

−(qu(x₀, t), u) = - qu(x₀, t)u dx = -u(x₀, t) qu dx ≤

(∫l

)₂

≤

u²(x₀,t) +

qudx

≤ M₂(∥u∥²⁰ + ∥u_x∥²⁰),

(2.8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1668

БЕШТОКОВ

∫l

(f, u) = fu dx ≤ ε∥u∥²⁰ + M₃(ε)∥f∥²⁰.

(2.9)

В силу соотношений (2.3)-(2.9) из тождества (2.2) и условий (1.2) следует неравенство

∫

∂α0t∥u∥²⁰ + ∂α0t η(u_x)² dx + ∥u_x∥²⁰ ≤ M₄∥u∥2W1

+ M₅∥f∥²⁰,

(0,l)

где ∥u∥²

= ∥u∥²⁰ + ∥u_x∥²⁰, применяя к обеим частям которого оператор дробного интегри-

W¹²(0,l)

рования D-α0t, получаем

∥u∥2W1

+ D-α0t∥u_x∥²⁰ ≤ M₄D-α0t∥u∥2W1

+ M₆(D-α0t∥f∥²⁰ + ∥u₀(x)∥2W1

(2.10)

(0,l)

∫t

u(x, τ) dτ

где D-α0tu =

- дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка α, 0 < α < 1.

Γ(α)

(t - τ)1-α

Для оценки первого слагаемого в правой части неравенства (2.10) воспользуемся следую-

щим утверждением.

Лемма 2 [20]. Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция y(t) удовле-

творяет при почти всех t из [0, T ] неравенству ∂α0ty(t) ≤ c₁y(t) + c₂(t),

0 ≤ α ≤ 1, где

c₁ = const > 0, а c₂(t) - суммируемая на [0,T] неотрицательная функция. Тогда

y(t) ≤ y(0)E_α(c₁t^α) + Γ(α)E_α,α(c₁t^α)D-α0tc₂(t),

где

∑

zⁿ

E_α(z) =

E_α,μ(z) =

Γ(αn + 1)

Γ(αn + μ)

n=0

– функции Миттаг-Лёффлера.

На основании леммы 2 оценим первое слагаемое в правой части неравенства (2.10). Пусть

y(t) = D-α0t∥u∥²

∂α0ty(t) = ∥u(x,t)∥²

, тогда

W¹²(0,l)

D-α0t∥u∥2W1

≤ M₇(D-2α0t∥f∥²⁰ + ∥u₀(x)∥2W1

(2.11)

(0,l)

Так как для любой неотрицательной интегрируемой на [0, T ] функции g(t) справедливо нера-

венство

t^αΓ(α)

D-2α0tg(t) ≤

D-α0tg(t),

(2.12)

Γ(2α)

то из (2.10) с учётом неравенств (2.11) и (2.12) находим искомую априорную оценку

∥u∥2W1

+ D-α0t∥u_x∥²⁰ ≤ M₈(D-α0t∥f∥²⁰ + ∥u₀(x)∥2W1

(2.13)

(0,l)

Теорема 1. Если k(x, t)∈ C1,0(Q_T ), η(x)∈ C¹[0, l], r(x, t), q(x, t), f(x, t)∈ C(Q_T ), u(x, t)∈

∈ C2,0(Q_T )

^⋂C1,0(Q_T ),

∂α0tu(x,t) ∈ C(Q_T ), ∂α0tuxx(x,t) ∈ C(QT ) и выполнены условия (1.4),

то для решения задачи (1.1)-(1.3) справедлива априорная оценка (2.13).

Из оценки (2.13) следуют единственность решения задачи (1.1)-(1.3) и его непрерывная

зависимость от входных данных в смысле нормы ∥u∥²¹ = ∥u∥²

+ D-α0t∥u∥²⁰.

W¹²(0,l)

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Для приближённого решения за-

дачи (1.1)-(1.3) применим метод конечных разностей. Построим монотонную схему второго

порядка точности, содержащую односторонние производные и учитывающую знак функции

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1669

r(x, t). Для этого рассмотрим вместо уравнения (1.1) следующее уравнение с возмущёнными

коэффициентами [27]:

∂α0tu = κ(x,t)(k(x,t)u_x)_x + ∂α0t(η(x)u_x)_x + r(x,t)u_x - q(x,t)u(x₀,t) + f(x,t),

где κ(x, t) = 1/(1 + R(x, t)), R(x, t) = 0.5h|r(x, t)|/k(x, t) - разностное число Рейнольдса.

На равномерной сетке ω_hτ дифференциальной задаче (1.1)-(1.3) поставим в соответствие

разностную схему второго порядка аппроксимации по h и τ :

Δα0t

y = κ^ji(a^jiy(σ)¯x)_x,i + Δα0t

(γ_iy_x)_x,i + b^-ji a^jiy(σ)¯x,i + b+jiaji+1y(σ)x,i -

j+σ

- d^ji(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i) + ϕji, (x,t) ∈ ωh,τ,

(3.1)

0+1

y(σ)0 = y(σ)N = 0,

(3.2)

y(x, 0) = u₀(x),

(3.3)

где

1-α

∑

Δα0t

c(α,σ)j-sy^st

(3.4)

j+σ

Γ(2 - α)

s=0

- дискретный аналог дробной производной Герасимова-Капуто порядка α,

0 < α < 1, обес-

печивающий порядок точности O(τ3-α) [21]. Величины в правой части равенства (3.1) опре-

деляются соотношениями

a^ji = k(xi-0.5,tj+σ), γ_i = η(xi-0.5), b^±ji =r±j(x,tj+σ)

ϕji = f(x_i, tj+σ), σ = 1 -α,

k(x_i, tj+σ)

r(x, tj+σ) = r⁺(x, tj+σ) + r^-(x, tj+σ),

|r(x, tj+σ)| = r⁺(x, tj+σ) + r^-(x, tj+σ),

r⁺(x,tj+σ) = 0.5(r(x,tj+σ) + |r(x,tj+σ)|) ≥ 0, r^-(x,tj+σ) = 0.5(r(x,tj+σ) - |r(x,tj+σ)|) ≤ 0,

y(σ) = σyj+1 + (1 - σ)y^j, d^ji = d(x_i,tj+σ), a⁽⁺¹⁾ = ai+1,

xi0+1 - x0

x₀ - xi0

x^-i

x+i

xi0 ≤ x₀ ≤ xi0+1.

Чтобы определить коэффициенты в дискретном аналоге (3.4), зададим сначала величины

a(α,σ)0 = σ1-α, a(α,σ)l = (l + σ)1-α - (l - 1 + σ)1-α, l ≥ 1,

b(α,σ)l =

[(l + σ)2-α - (l - 1 + σ)2-α] -

[(l + σ)1-α + (l - 1 + σ)1-α], l ≥ 1.

2-α

Тогда

c(α,σ)0 = a(α,σ)0 при j = 0;

⎧

⎨

a(α,σ)0 + b(α,σ)1,

если s = 0,

c(α,σ)s =

asα,σ) + b(α,σ)s+1 - bsα,σ), если

1 ≤ s ≤ j - 1, при j > 0.

⎩

a(α,σ)j - b(α,σ)j,

если s = j,

Несложно видеть, что csα,σ) > (1 - α)(s + σ)^-α/2 > 0.

Априорную оценку найдём методом энергетических неравенств, для этого введём скаляр-

ные произведения и норму следующим образом:

∑

(u, v) =

u_iv_ih, (u,v] =

u_iv_ih, (u,u) = (1,u²) = ∥u∥²⁰.

i=1

Умножив равенство (3.2) скалярно на y(σ), получим

(Δα0t

y,y(σ)) = (κ(ay(σ)¯x)_x,y(σ)) + (Δα0t

(γ_iy_x)_x, y(σ)) + (b^-ay(σ)¯x, y(σ)) +

j+σ

+ (b⁺a⁽⁺¹⁾y(σ)x, y(σ)) - (d(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x⁺),y(σ)) + (ϕ,y(σ)).

(3.5)

0+1

i₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

6^∗

1670

БЕШТОКОВ

Справедлива следующая

Лемма 3 [21]. Для любой функции y(t), заданной на сетке ω_τ , справедливо неравенство

y(σ)Δα0t

y≥

Δ^α (y²).0t

j+σ

Преобразуем суммы, входящие в равенство (3.5), с учётом условий (3.2) и леммы 3:

(Δα0t

y,y(σ)) ≥

(1, Δ^α (y²));

(3.6)

j+σ

0tj+σ

(κ(ay(σ)¯x)_x, y(σ)) = κay(σ)¯xy(σ)|N0 - (ay(σ)¯x, (κy(σ))_x] = -(aκ_x, y(σ)¯xy(σ)] - (aκ(-1), (y(σ)¯x)²] ≤

≤ -(aκ_x,y(σ)¯xy(σ)] -

(aκ, (y(σ)¯x)²];

(3.7)

(1 + hM₁)

(Δα0t

(γy_x)_x, y(σ)) = y(σ)Δα0t

(γy_x)|N0 - (γ, y(σ)¯xΔα0t

(y_x)] ≤

j+σ

c₀

≤ -(γ_i/2,Δα0t

(y_x)²] ≤ -

Δα0t

∥y_x]|²⁰;

(3.8)

j+σ

− (d(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x+i), y(σ)) = -(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x⁺)(d,y(σ)) ≤_i

0+1

≤

(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x+i)2 +

(d, y(σ))² ≤ M₁(∥y(σ)∥²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰);

(3.9)

0+1

(ϕ, y(σ)) ≤ ε∥y(σ)∥²⁰ +

∥ϕ∥²⁰.

(3.10)

4ε

В силу соотношений (3.6)-(3.10) из равенства (3.5) следует, что

)

⁽1

,Δα0t

(y²)

(aκ, (y(σ)¯x)²] +c0Δα0t

∥y_x]|²⁰ ≤ -(aκ_x, y(σ)¯xy(σ)] + (b^-ay(σ)¯x, y(σ)) +

j+σ

(1 + hM₁)

+ (b⁺a⁽⁺¹⁾y(σ)x, y(σ)) + M₁(∥y(σ)∥²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰) + ε∥y(σ)∥²⁰ +

∥ϕ∥²⁰.

(3.11)

4ε

Выбирая ε = 1/2, из (3.11) находим

Δα0t

∥y∥²⁰ + c₀Δα0t

∥y_x]|²⁰ + M₂∥y(σ)¯x]|²⁰ ≤ -(aκ_x, y(σ)¯xy(σ)] + (b^-a, y(σ)¯xy(σ)) +

j+σ

+ (b⁺a⁽⁺¹⁾y(σ)x, y(σ)) + M₂(∥y(σ)∥²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰) + M₃∥ϕ∥²⁰.

(3.12)

Преобразуем первое, второе и третье слагаемые в правой части неравенства (3.12):

- (aκ_x, y(σ)¯xy(σ)] + (b^-a, y(σ)¯xy(σ)) + (b⁺a⁽⁺¹⁾y(σ)x, y(σ)) ≤ M₄(∥y(σ)∥²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰).

(3.13)

Учитывая (3.13), из (3.12) получаем оценку

Δα0t

∥y∥2W1

+ ∥y^σx]|²⁰ ≤ M₅∥y^σ∥2W1

+ M₆∥ϕ∥²⁰,

(3.14)

j+σ

(0,l)

где ∥y∥²

= ∥y∥²⁰ + ∥y_x]|²⁰, которую запишем в виде

W¹²(0,l)

Δα0t

∥y∥2W1

≤ Mσ7 ∥yj+1∥2W1

+ Mσ8 ∥y^j∥2W1

+ M₉∥ϕ∥²⁰.

(3.15)

j+σ

(0,l)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1671

Справедлива

Лемма 4. Пусть {p_j } - последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

∑

p₀ = 1, σ1-αp_j = (c(α,σ)s-1 - c(α,σ)s)p_j-s, j ≥ 1,

s=1

где σ1-α = σ1-α, если j = 0, и

σ1-α =

((1 + σ)2-α - σ2-α) -

((1 + σ)1-α - σ1-α), если j ≥ 1.

2-α

Тогда

∑

0 < p_j < 1,

p_j-sc(α,σ)s-k = σ1-α,

1 ≤ k ≤ j,

(3.16)

s=k

∑

p_j-sc(α,σ)s <

p_j-sc(α,σ)s = p₀c₀ = σ1-α.

(3.17)

s=1

s=0

Доказательство. Следуя [28], докажем равенство (3.16). Тогда, учитывая, что csα,σ) <

< c(α,σ)s-1 для s ≥ 1, получаем

∑

p_j-sc(α,σ)s <

p_j-sc(α,σ)s-1,

s=1

где

∑

I_j =

p_j-sc(α,σ)s-1 =

p_j-sc(α,σ)s =

pj+1-sc(α,σ)s = Ij+1, j ≥ 1.

(3.18)

s=1

s=0

s=1

Из (3.18) следует, что

∑

I₁ =

p1-sc(α,σ)s-1 = p₀c₀ = σ1-α, p₀ = 1.

(3.19)

s=1

Учитывая (3.17) и (3.19), получаем

∑

p_j-sc(α,σ)s-1 = σ1-α,

p_j-sc(α,σ)s < σ1-α,

p_j-s(c(α,σ)s-1 - c(α,σ)s) < σ1-α,

s=1

∑

p_j-sc(α,σ)s <

p_j-sc(α,σ)s + p_jc₀, p_jc₀ > 0, c₀ = σ1-α.

(3.20)

s=1

Из равенства в (3.18) вытекает, что

∑

c₀p_j =

(c(α,σ)s-1 - c(α,σ)s)p_j-s.

s=1

Поэтому в силу (3.19), (3.20) верны неравенства 0 < p_jc₀ < σ1-α, 0 < pj < 1. Пусть s = l +

+ k - 1, тогда с учётом равенства (3.19) получаем

∑

p_j-sc(α,σ)s-k =

pj-k+1-lc(α,σ)l-1 = Ij-k+1 = I₁ = σ1-α,

1 ≤ k ≤ j.

s=k

l=1

Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1672

БЕШТОКОВ

Справедливы следующие три леммы.

Лемма 5. Пусть выполнено неравенство (3.16), тогда для k = 1, 2, . . . справедлива

оценка

∑

Γ(2 - α)

σ1-αj^kα

p_j-ss(k-1)α ≤

(3.21)

Γ(1 + (k - 1)α)

Γ(1 + kα)

s=1

Лемма 5 доказывается аналогично лемме 3.2 из [28].

Лемма 6. Пусть

e = (1,1,...,1)^т ∈ R^j, j × j-матрица J задана равенством

⎡

⎤

p₁

... pj-2 p

j-1

⎢0

... p

j-3

pj-2⎥

⎢

⎥

J = 2σα-1Γ(2 - α)λτ^α

⎢

⎥

⎣

⎦

p₁

и выполнена оценка (3.21). Тогда Jⁱ = 0, i ≥ j, и

J^k

e ≤

((2λt^αj)^k, (2λtαj-1)^k, . . . , (2λtα1)^k)^т, k = 0, 1, 2, . . . ,

Γ(1 + kα)

∑

J^s

e = J^s

e ≤ (E_α(2λtαj ),E_α(2λtαj-1),...,E_α(2λtα1))^т, i ≥ j.

s=0

Лемма 6 доказывается аналогично лемме 3.3 в [28] с помощью метода математической

индукции и неравенства (3.21). Знак неравенства между векторами понимается поэлементно,

т.е. между всеми элементами соответствующих векторов с одноимёнными координатами.

Лемма 7. Пусть последовательности {y^j }, {ϕj }, j = 0, 1, 2, . . . , неотрицательных чи-

сел удовлетворяют неравенству Δα0tj+σ y^j ≤ λ₁yj+1 + λ₂y^j + ϕ^j , j ≥ 1, где λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0 -

константы. Тогда существует такое τ₀, что при τ ≤ τ₀ справедливы оценки

(

)

t^αj

yj+1 ≤ 2 y0 +

max

ϕj^′ E_α(2λt^αj),

1≤j ≤j₀,

Γ(1 + α)

0≤j^′≤j

∑_∞

где E_α(z) =

z^k/Γ(1 + kα) - функция Миттаг-Лёффлера, λ = λ₁ + λ₂/(2 + 21-α).

k=0

Лемма 7 доказывается на основании лемм 4-6 аналогично лемме 3.1 из [28].

Вследствие леммы 7 и оценки (3.15) получаем

(

)

t^αj

∥yj+1∥2W1

≤ M ∥y⁰∥2W1

max

∥ϕj′ ∥²

(3.22)

(0,l)

Γ(1 + α)

0≤j^′≤j

где M - положительная постоянная, не зависящая от h и τ, а τ ≤ τ₀.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.4). Тогда существует такое τ₀, что при τ ≤ τ₀

для решения разностной задачи (3.1)-(3.3) справедлива априорная оценка (3.22), а значит,

имеют место единственность решения и его устойчивость по правой части и начальным

данным.

Пусть u(x, t) - решение задачи (1.1)-(1.3), а y(x_i, t_j ) = y^ji - решение разностной зада-

чи (3.1)-(3.3). Обозначим u^ji = u(x_i, t_j ). Для оценки точности разностной схемы (3.1)-(3.3)

рассмотрим разность z^ji = y^ji - u^ji . Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (3.1)-(3.3),

получаем для функции z следующую задачу:

Δα0t

z = κji (a^jiz(σ)¯x)_x,i + Δα0t

(γ_iz_x)_x,i + b^-jia^ji z(σ)¯x,i + b+jiaji+1z(σ)x,i,

j+σ

-d^ji(z(σ)i

x^-i

+z(σ)i

x+i) + Ψji, (x,t) ∈ ωh,τ,

(3.23)

0+1

z(σ)0 = z(σ)N = 0,

(3.24)

z(x, 0) = 0,

(3.25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1673

где Ψ = O(h² + τ²) - погрешность аппроксимации дифференциальной задачи (1.1)-(1.3) раз-

ностной схемой (3.1)-(3.3) решения задачи (1.1)-(1.3).

Применяя априорную оценку (3.22) к решению задачи (3.23)-(3.25), получаем, что

∥zj+1∥2W1

≤ M max

∥Ψj′ ∥²⁰,

(3.26)

(0,l)

0≤j^′≤j

где M - положительная постоянная, не зависящая от h и τ.

Из априорной оценки (3.26) вытекает сходимость решения разностной задачи (3.1)-(3.3) к

решению дифференциальной задачи (1.1)-(1.3) в смысле нормы ∥zj+1∥²

на каждом слое:

W¹²(0,l)

существует такое τ₀, что при τ ≤ τ₀ справедлива оценка

∥yj+1 - uj+1∥_W 1

≤ M(h² + τ²).

(0,l)

4. Постановка третьей краевой задачи и априорная оценка в дифференциальной

форме. Рассмотрим для уравнения (1.1) третью краевую задачу:

Π(0, t) = β₁(t)u(0, t) - μ₁(t),

-Π(l, t) = β₂(t)u(l, t) - μ₂(t),

(4.1)

где Π(x, t) ≡ k(x, t)u_x + ∂α0t(ηu_x), а функции β₁, β₂ и μ₁, μ₁ удовлетворяют условиям

|β₁|, |β₂, | ≤ c₂, μ₁(t), μ₂(t) - непрерывные функции.

(4.2)

Умножив уравнение (1.1) скалярно на u, получим равенство (2.2), из которого в силу

соотношений (2.4)-(2.9) вытекает неравенство

∫

∂α0t∥u∥²⁰ +

∂^α

η(u_x)² dx + c₀∥u_x∥²⁰ ≤ uΠ(x, t)|l0 + M₁(∥u∥²⁰ + ∥u_x∥²⁰) + M₂∥f∥²⁰.

(4.3)

Оценим первое слагаемое в правой части этого неравенства:

uΠ(x, t)|l0 = Π(l, t)u(l, t) - Π(0, t)u(0, t) = u(l, t)(μ₂(t) - β₂(t)u(l, t)) +

+ u(0, t)(μ₁(t) - β₁(t)u(0, t)) = -β₂(t)u²(l, t) + μ₂(t)u(l, t) - β₁(t)u²(0, t) + μ₁(t)u(0, t) ≤

≤ M₃(u²(0,t) + u²(l,t)) +

(μ²¹(t) + μ²²(t)) ≤ M₄(∥u∥²⁰ + ∥u_x∥²⁰) +

(μ²¹(t) + μ²²(t)).

(4.4)

Тогда из (4.3) и (4.4) следует оценка

∫

∂α0t∥u∥²⁰ + ∂α0t η(u_x)² dx + ∥u_x∥²⁰ ≤ M₅∥u∥2W1

+ M₆(∥f∥²⁰ + μ²¹(t) + μ²²(t)),

(4.6)

(0,l)

применяя к обеим частям которой оператор дробного интегрирования D-α0t и повторяя те же

рассуждения, что и для неравенств (2.11)-(2.13), находим априорную оценку

∥u∥2W1

+ D-α0t∥u_x∥²⁰ ≤ M₆(D-α0t(∥f∥²⁰ + μ²¹(t) + μ²²(t)) + ∥u₀(x)∥2W1

(4.5)

(0,l)

Теорема 3. Если k(x, t)∈C1,0(Q_T ), η(x)∈C¹[0, l], r(x, t), q(x, t), f(x, t)∈C(Q_T ), u(x, t) ∈

∈ C2,0(Q_T )

^⋂C1,0(Q_T ),

∂α0tu(x,t) ∈ C(Q_T ), ∂α0tuxx(x,t) ∈ C(QT ) и выполнены условия (1.4),

(4.2), то для решения задачи (1.1), (4.1), (1.3) справедлива априорная оценка (4.5).

Из оценки (4.5) следуют единственность решения и его устойчивость по правой части и

начальным данным в смысле нормы ∥u∥²¹ = ∥u∥²

+ D-α0t∥u_x∥²⁰.

W¹²(0,l)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1674

БЕШТОКОВ

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы. На равномерной сетке ω_hτ диф-

ференциальной задаче (1.1), (4.1), (1.3) поставим в соответствие разностную схему второго

порядка аппроксимации по h и τ :

Δα0t

y = κ^ji(a^jiy(σ)¯x)_x,i + Δα0t

(γ_iy_x)_x,i + b^-ji a^jiy(σ)¯x,i + b+jiaji+1y(σ)x,i -

j+σ

- d^ji(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i) + ϕji, (x,t) ∈ ωh,τ,

(5.1)

0+1

κ₀a₁y(σ)x,0 + Δα0t

(γ₁yx,0) = β₁y(σ)0 +

j+σ

+ 0.5h(Δα0t

y₀ + dj0(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i)) - μ1, x = 0,

(5.2)

j+σ

0+1

−(κ_N a_N y(σ)¯x,N + Δα0t

(γ_N y_x,N )) = β₂y(σ)N +

j+σ

+ 0.5h(Δα0t

y_N + d^jN (y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i)) - μ2, x = l,

(5.3)

j+σ

0+1

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h,

(5.4)

где μ1(tj+σ) = μ1(tj+σ) + 0.5hϕ0,

μ₂(tj+σ) = μ₂(tj+σ) + 0.5hϕ_N .

Запишем схему (5.1)-(5.4) в операторном виде

{

Δα0tj+σ y = Λ(tj+σ)y(σ) + Δ^α δ(t)y + Φ,0t

j+σ

(5.5)

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h,

где

⎧

⎨

^Λy(σ)i =κ(ay(σ)¯x)_x + b^-ay(σ)¯x + b⁺a⁽⁺¹⁾yxσ) - d(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x⁺),

i=1,N-1,

0+1

i₀

Λ(tj+σ)y(σ) =

Λ^-y(σ)0 =(κ₀a₁y(σ)x,0 - β₁y(σ)0 - 0.5hdj0(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x⁺))/(0.5h),

i=0,

0+1

i₀

⎩

Λ⁺y(σ)N =(-κ_Na_Ny(σ)x,N - β₂y(σ)N- 0.5hd^jN (y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x⁺))/(0.5h), i=N,_i

0+1

⎧

⎨δyi = (γiyx)x,

i = 1,N - 1,

⎨ϕ=ϕi,

i = 1,N - 1,

δy =

δ^-y₀ = 2(γ₁yx,0)_t/h,

i = 0,

ϕ- = 2μ₁/h,

i = 0,

⎩

^Φ=⎪⎩

δ⁺y_N = -2(γ_N y_x,N)/h,

i=N,

ϕ+ = 2μ₂/h,

i=N,

⎧

⎨κ = (1 + 0.5h|r|/k)-1,

κ₀ = (1 + 0.5h|r₀|/k0.5)-1,

r₀ ≤ 0,

⎩

κ_N = (1 + 0.5h|r_N |/kN-0.5)-1,

r_N ≥ 0,

r₀ = r(0,tj+σ) = rj+σ0 ≤ 0, r_N = r(x_N,tj+σ) = rj+σN ≥ 0.

Введём скалярное произведение и норму следующим образом:

∑

[u, v] =

u_iv_iℏ, где ℏ = 0.5h, если i = 0,N, и ℏ = h, если i = 0,N;

i=0

[u, u] = [1, u²] = |[u]|²⁰.

Умножив первое равенство в (5.5) скалярно на y(σ), получим

[Δα0t

y,y(σ)] = [Λ(tj+σ)y(σ),y(σ)] + [Δ^α

δy,y(σ)] + [Φ,y(σ)].

(5.6)

j+σ

0tj+σ

Оценим и преобразуем суммы, входящие в это равенство:

[Δα0t

y,y(σ)] ≥

[1, Δ^α (y²)],

(5.7)

j+σ

0tj+σ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1675

[Λ(tj+σ)y(σ), y(σ)] = (Λ(tj+σ)y(σ), y(σ)) + 0.5hy(σ)0Λ^-y(σ)0 + 0.5hy(σ)NΛ⁺y(σ)N = (κ(ay(σ)¯x)_x, y(σ)) +

+ (b^-ay(σ)¯x, y(σ)) + (b⁺a⁽⁺¹⁾y(σ)x, y(σ)) - (d(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i

), y(σ)) + κ₀a₁y(σ)x,0y(σ)0 - β₁(y(σ)0)² -

0+1

− 0.5hd₀(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x+i

)y(σ)0 - κ_N a_N y(σ)¯x,N y(σ)N - β₂(y(σ)N)² - 0.5hd_N (y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x+i)y(σ)N =

0+1

= -(ay(σ)¯x,(κy(σ))_x] + (b^-a,y(σ)¯xy(σ)) + (b⁺a⁽⁺¹⁾,y(σ)xy(σ)) - [d(y(σ)i

x^-i

+y(σ)i

x⁺),y(σ)] -_i

0+1

− β₁(y(σ)0)² - β₂(y(σ)N)².

(5.8)

Оценивая сумму первых трёх слагаемых в правой части равенства (5.8), будем иметь

-(ay(σ)¯x, (κy(σ))_x] + (b^-a, y(σ)¯xy(σ)) + (b⁺a⁽⁺¹⁾, y(σ)xy(σ)) = -(aκ(-1), (y(σ)¯x)²] - (aκ_x, y(σ)¯xy(σ)] +

(

]

κa

+ (b^-a, y(σ)¯xy(σ)) + (b⁺a⁽⁺¹⁾, y(σ)xy(σ)) ≤ -

, (yσ¯x)²

+ M₁(|[y(σ)]|²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰),

(5.9)

1 + hM₁

- [d(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x+i

), y(σ)] - β₁(y(σ)0)² - β₂(y(σ)N)² ≤¹

(y(σ)ix-i

+y(σ)i

x+i)2 +

[d, y(σ)]² -

0+1

− β₁(y(σ)0)² - β₂(y(σ)N)² ≤ M₂(|[y(σ)]|²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰).

(5.10)

В силу оценок (5.9) и (5.10) из (5.8) следует, что

[Λ(tj+σ)y(σ), y(σ)] ≤ -M₃∥y(σ)¯x]|²⁰ + M₄(|[y(σ)]|²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰).

(5.11)

Для двух последних слагаемых в (5.6) справедливы оценки

[Δα0t

δy,y(σ)] = (Δα0t

δy,y(σ)) + 0.5hy(σ)0Δα0t

δ^-y₀ + 0.5hy(σ)NΔα0t

δ⁺y_N =

j+σ

= -(y(σ)¯x,Δα0t

(γ_iy_x)] ≤ -(γ/2, Δα0t

(y_x)²] ≤ -c₀Δα0t

∥y_x]|²⁰/2,

(5.12)

j+σ

[Φ, y(σ)] = (ϕ, y(σ)) + 0.5hy(σ)0ϕ^- + 0.5hy(σ)Nϕ⁺ = [ϕ, y(σ)] + μ₁y(σ)0 + μ₂y(σ)N ≤

≤ M₅(|[y(σ)]|²⁰ + ∥y(σ)¯x]|²⁰) + M₆(|[ϕ]|²⁰ + μj21 + μj22 ).

(5.13)

Поэтому, учитывая в равенстве (5.6) неравенства (5.7), (5.11)-(5.13), получаем

Δα0t

|[y]|2W1

+ M₇∥y(σ)¯x]|²⁰ ≤ M₈|[y(σ)]|2W1

+ M₉(|[ϕ]|²⁰ + μ²¹ + μ²²),

(5.14)

j+σ

(0,l)

где |[y]|²

= |[y]|²⁰ + ∥y_x]|²⁰.

W¹²(0,l)

Повторяя те же рассуждения, что и для неравенств(3.14)-(3.22), из (5.14) на основании

леммы 7 находим априорную оценку

(

)

t^αj

|[yj+1]|2W1

≤ M |[y⁰]|2W1

max

(|[ϕj′ ]|²⁰ + μ²¹ + μ²²) ,

(5.15)

(0,l)

Γ(1 + α)

0≤j^′≤j

где M - положительная постоянная, не зависящая от h и τ.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (1.4) и (4.2). Тогда существует такое τ, что

при τ ≤ τ₀ для решения разностной задачи (5.1)-(5.4) справедлива априорная оценка (5.15),

а значит, имеют место единственность решения и его устойчивость по правой части и

начальным данным.

Пусть u(x, t) - решение задачи (1.1), (4.1), (1.3), а y(x_i, t_j ) = y^ji - решение разностной

задачи (5.1)-(5.4). Обозначим u^ji = u(x_i, t_j ). Для оценки точности разностной схемы (5.1)-

(5.4) рассмотрим разность z^ji = y^ji -u^ji . Тогда, подставляя y = z+u в соотношения (5.1)-(5.4),

получаем для функции z следующую задачу:

Δα0t

z = κji (a^jiz(σ)¯x)_x,i + Δα0t

(γ_iz_x)_x,i + b^-ji a^jiz(σ)¯x,i + b+ji aji+1z(σ)x,i-

j+σ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1676

БЕШТОКОВ

- d^ji(z(σ)i

x^-i

+z(σ)i

x+i) + Ψji, (x,t) ∈ ωh,τ,

(5.16)

0+1

κ₀a₁z(σ)x,0 + Δα0t

(γ₁zx,0) = β₁z(σ)0 + 0.5h(Δα0t

z₀ + dj0(z(σ)i

x^-i

+z(σ)i

x+i)) - ν1, x = 0, (5.17)

j+σ

0+1

− (κ_N a_N z(σ)¯x,N + Δα0t

(γ_N z_x,N )) =

j+σ

= β₂z(σ)N + 0.5h(Δα0t

z_N + d^jN (z(σ)i

x^-i

+z(σ)i

x+i)) - ν2, x = l,

(5.18)

j+σ

0+1

z(x, 0) = 0,

(5.19)

где Ψ = O(h² + τ²),

ν₁ = O(h² + τ²),

ν₂ = O(h² + τ²) - погрешности аппроксимации диф-

ференциальной задачи (1.1), (4.1), (1.3) разностной схемой (5.1)-(5.4) решения задачи (1.1),

(4.1), (1.3).

Применяя априорную оценку (5.15) к решению задачи (5.16)-(5.19), получаем, что

|[zj+1]|2W1

≤ M max

(|[Ψj′ ]|²⁰ + νj′21 + νj′22),

(5.20)

(0,l)

0≤j^′≤j

где M - положительная постоянная, не зависящая от h и τ.

Из априорной оценки (5.20) вытекает сходимость решения разностной задачи (5.1)-(5.4) к

решению дифференциальной задачи (1.1), (4.1), (1.3) в смысле нормы |[zj+1]|²

на каждом

W¹²(0,l)

слое: существует такое τ₀, что при τ ≤ τ₀ справедлива оценка

|[yj+1 - uj+1]|_W 1

≤ M(h² + τ²).

(0,l)

Замечание. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда урав-

нение (1.1) имеет вид

(

)

(

)

∑

∂

∂u

∂

∂u

∂α0tu =

k(x, t)

+∂^α

η(x)

+ r(x,t)

- q_s(x,t)u(x_s,t) + f(x,t),

∂x

0t ∂x

∂x

s=1

где x_s, s = 1, p, - некоторые фиксированные точки интервала (0, l), если потребовать выпол-

нения условия |q_s| ≤ c₂, s = 1, p.

6. Алгоритм численного решения. Для численного решения рассматриваемых в дан-

ной работе краевых задач для дифференциального уравнения соболевского типа с дробной

производной Герасимова-Капуто порядка α приведём разностную схему (5.1)-(5.4) к расчёт-

ному виду. Для этого воспользуемся методом параметрической прогонки [29]. Тогда уравнение

(5.1) приводится к следующему виду:

A_iyj+1i-1 - C_iyj+1i + B_iyj+1i+1 - h²τσd^ji(yj+1i

x^-i

+yj+1i

x+i

) = -F_i, i = 1,N - 1.

(6.1)

0+1

Прежде чем привести формулы для коэффициентов A_i, B_i, C_i и свободного члена F_i в урав-

нении (5.1), введём для упрощения записи обозначения δ = τ1-α/Γ(2-α) и Δ = c(α,σ)0δ. Тогда

A_i = τσκ^jia^ji + γ_iΔ - τhσb^-jia_i, B_i = τσκ^jiaji+1 + γi+1Δ + τhσb+jiai+1, C_i = A_i + B_i + h²Δ,

Fi = AAiyi-1 - CCiyⁱ + BBiyi+1 + h²τϕⁱ - τ(1 - σ)h²dⁱ (yi0 xi0 + yi0+1xⁱ ) +₀

∑

+ δ c(α,σ)j-s[(γi+1yi+1)s+1 - (γi+1yi+1)^s - h²(ys+1i - y^si)] +

s=0

∑

+ δ c(α,σ)j-s[(γ_iyi-1)s+1 - (γ_iyi-1)^s - ((γ_i + γi+1)y_i)s+1 + ((γ_i + γi+1)y_i)^s],

s=0

где AA_i = -A_i +τ(κ^jia^ji -hb^-jia_i), BB_i = -B_i +τ(κ^jiaji+1 +hb+jiai+1), CC_i = AA_i +BB_i -h²Δ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1677

Запишем, какой вид примут краевые условия (5.2) и (5.3). Для упрощения записи введём

обозначения

Υ₀ = (τσκ₀aj1 + (γj+11 + 0.5h²)Δ + σhτβj1)-1 и Υ_N = (τσκ_Na^jN + (γj+1N + 0.5h²)Δ+ σhτβj2)-1.

Краевое условие (5.2) принимает вид

y₀ = κ₁₁y₁ + κ₁₂yi0 + κ₁₃yi0+1 + μ1,

(6.2)

где

κ₁₁ = (τσκ₀a₁ + γ₁Δ)Υ₀, κ₁₂ = -0.5d₀σhτ(xi0+1 - x0)Υ0, κ13 = -0.5d0σhτ(x0 - xi₀ )Υ0,

{

μ₁ = Υ₀

μ₁hτ - (1 - σ)hτβ₁yj0 + τ(1 - σ)κ₀a₁(yj1 - yj0) - γ₁Δ(yj1 - yj0) + 0.5h²Δy₀ -

∑

− 0.5h²δ

c(α,σ)j-s(ys+10 - ys0) + δ

c(α,σ)j-s[(γ₁y₁)s+1 - (γ₁y₁)^s - (γ₁y₀)s+1 + (γ₁y₀)^s] -

s=0

}

- 0.5h²τ(1 - σ)d₀x^-iyi0 - 0.5h2τ(1 - σ)d0x+i

yi0+1

Краевое условие (5.3) принимает вид

y_N = κ₂₁yN-1 + κ₂₂yi0 + κ₂₃yi0+1 + μ2,

(6.3)

где

κ₂₁ =(τσκ_Na_N +γ_NΔ)Υ_N, κ₂₂ =-0.5d_N σhτ(xi0+1 -x0)ΥN, κ23 =-0.5dN σhτ(x0 -xi₀+1)ΥN,

{

μ₂ = Υ_N

μ₂hτ - (1 - σ)hτβ₂y^jN - τ(1 - σ)κ_N a_N(y^jN - yjN-1) + γ_NΔ(y^jN - yjN-1) + 0.5h²Δy_N -

∑

− 0.5h²δ

c(α,σ)j-s(ys+1N - y^sN) - δ

c(α,σ)j-s[(γ_N y_N)s+1 - (γ_N y_N)^s - (γ_N yN-1)s+1 + (γ_N yN-1)^s] -

s=0

}

- 0.5h²τ(1 - σ)d_N x^-iyi0 - 0.5h2τ(1 - σ)d0x+i

yi0+1

Таким образом, с учётом (6.1)-(6.3) разностная схема (5.1)-(5.4) приводится к следующей

системе линейных алгебраических уравнений:

A_iyj+1i-1 - C_iyj+1i + B_iyj+1i+1 - h²τσd_i(yj+1i

x^-i

+yj+1i

x+i) = -Fi,

0+1

y₀ = κ₁₁y₁ + κ₁₂yi0 + κ₁₃yi0+1 + μ1,

y_N = κ₂₁yN-1 + κ₂₂yi0 + κ₂₃yi0+1 + μ2,

y(x, 0) = u₀(x).

(6.4)

Решение системы (6.4) ищем в виде

y_i = αi+1yi+1 + βi+1yi0 + γi+1yi0+1 + δi+1, i = 0,N - 1.

(6.5)

Найдём величины α_i, β_i, γ_i, δ_i, i = 1, N . Из условия (6.2) следует, что

α₁ = κ₁₁, β₁ = κ₁₂, γ₁ = κ₁₃, δ₁ = μ₁.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1678

БЕШТОКОВ

Подставляя выражения

y_i = αi+1yi+1 + βi+1yi0 + γi+1yi0+1 + δi+1,

yi-1 = α_iy_i + β_iyi0 + γ_iyi0+1 + δi

в уравнение (6.1), находим, что

B_i

A_iB_i - h²τσd_ix^-i

A_iγ_i - h²τσd_ix+i

Fi + Aiδi

αi+1 =

βi+1 =

γi+1 =

δi+1 =

C_i - A_iα_i

Выразим неизвестные y_i, i = 0, N , через yi0 , yi0+1 следующим образом:

y_i = H_iyi0 + T_iyi0+1 + Φi.

(6.6)

В представлении (6.6) найдём H_N , T_N и Φ_N . Учитывая условие (6.3), а также равенства

y_N = H_Nyi0 + T_Nyi0+1 + ΦN и yN-1 = αN yN + βNyi₀ + γNyi₀+1 + δN, получаем

κ₂₁β_N + κ₂₂

κ₂₁γ_N + κ₂₃

κ₂₁δ_N + μ₂

H_N =

T_N =

Φ_N =

1-κ₂₁α_N

Найдём теперь H_i, T_i и Φ_i. Подставляя выражение (6.6) в (6.5), будем иметь

H_i = αi+1Hi+1 + βi+1, T_i = αi+1Ti+1 + γi+1, Φ_i = αi+1Φi+1 + δi+1, i = N - 1,0.

Выразим yi0 , yi0+1 через Hi, Ti, Φi. Для этого рассмотрим выражения

yi0 = Hi0yi0 + Ti0 yi0+1 + Φi₀ и yi₀+1 = Hi₀+1yi₀ + Ti₀+1yi₀+1 + Φi₀+1,

учитывая которые, получаем

Hi0+1Φi₀ + Φi₀+1(1 - Hi₀)

Ti0

Φi0

yi0+1 =

yi0 =

yi0+1 +

(1 - Hi0 )(1 - Ti0+1) - Ti₀ Hi₀+1

1-Hi0

Подставляя эти выражения для yi0+1 и yi₀ в представление (6.6), находим решение yi сис-

темы (6.4).

В случае, когда рассматривается первая краевая задача, необходимо в (6.2), (6.3) учесть, что

κk1 = 0, κk2 = 0, κk3 = 0, μ_k = 0, k = 1,2.

7. Результаты численного эксперимента. Для задачи (1.1), (4.1), (1.3) рассмотрим

тестовый пример, в котором

k(x, t) = ex+t, η(x) = e^x, r(x, t) = (x - 0.5) cos(x + t), q(x, t) = cos(x - t),

(

)

3-α

6t3-α

24t4-α

f (x, t) = e^x

-2t³e2x+t-2e2x

-t³e^x(x-0.5)cos(x+t)+t³ex0 cos(x-t),

Γ(4-α)

Γ(5-α)

3-α

24t4-α

β₁ = 0.5e^t, β₂ = el+t, μ₁ = -

- 0.5t³e^t,

Γ(4 - α)

Γ(5 - α)

3-α

24t4-α

μ₂ = 2t³e2l+t + e2l

+e2l

u₀(x) = 0, l = 1, T = 1.

Γ(4 - α)

Γ(5 - α)

Точное решение задачи, как несложно убедиться, u(x, t) = t³e^x.

Ниже в таблице при различных значениях параметров α = 0.01, 0.5, 0.99; x0 = 0.1, 0.5,

0.9 и уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности (z = y - u)

и порядок сходимости (ПС) в нормах |[·]|₀ и ∥ · ∥_C

w_hτ ), где

∥y∥_C

w_hτ ) = max

|y|, когда

(x_i,t_j )∈ w_hτ

h = τ. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком O(h² + τ²) аппроксимации.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1679

Таблица. Изменение погрешности

и порядка сходимости

в нормах

|[·]|0

∥ · ∥C(whτ) при уменьшении размера сетки при значениях α = 0.01,

0.5,

0.99;

x0 =

0.1,

0.5,

0.9

на

t = 1, когда

h=τ.

max

|[z^j ]|0

ПС в |[·]|0

∥z∥C(whτ)

ПС в ∥ · ∥C(whτ)

0<j<m

0.1

0.01

1/10

2.8622E-3

3.8970E-3

1/20

7.1728E-4

1.9965

9.8010E-4

1.9914

1/40

1.7943E-4

1.9991

2.4533E-4

1.9982

1/80

4.4863E-5

1.9998

6.1359E-5

1.9994

1/160

1.1216E-5

2.0000

1.5340E-5

1.9999

0.50

1/10

2.8449E-3

3.8733E-3

1/20

7.1296E-4

1.9965

9.7431E-4

1.9911

1/40

1.7834E-4

1.9991

2.4385E-4

1.9984

1/80

4.4593E-5

1.9998

6.0993E-5

1.9993

1/160

1.1148E-5

2.0000

1.5248E-5

2.0000

0.99

1/10

2.8602E-3

3.8943E-3

1/20

7.1678E-4

1.9965

9.7943E-4

1.9913

1/40

1.7930E-4

1.9991

2.4516E-4

1.9982

1/80

4.4832E-5

1.9998

6.1316E-5

1.9994

1/160

1.1208E-5

2.0000

1.5330E-5

2.0000

0.5

0.01

1/10

2.9887E-3

4.0537E-3

1/20

7.4905E-4

1.9964

1.0236E-3

1.9855

1/40

1.8713E-4

2.0010

2.5573E-4

2.0010

1/80

4.6724E-5

2.0018

6.3852E-5

2.0018

1/160

1.1667E-5

2.0016

1.5945E-5

2.0016

0.50

1/10

2.9761E-3

4.0376E-3

1/20

7.4592E-4

1.9963

1.0194E-3

1.9857

1/40

1.8635E-4

2.0010

2.5468E-4

2.0010

1/80

4.6531E-5

2.0018

6.3592E-5

2.0018

1/160

1.1619E-5

2.0016

1.5881E-5

2.0016

0.99

1/10

2.9885E-3

4.0534E-3

1/20

7.4901E-4

1.9963

1.0236E-3

1.9855

1/40

1.8713E-4

2.0010

2.5572E-4

2.0010

1/80

4.6724E-5

2.0018

6.3852E-5

2.0018

1/160

1.1668E-5

2.0016

1.5945E-5

2.0016

0.9

0.01

1/10

3.0540E-3

4.1615E-3

1/20

7.6739E-4

1.9926

1.0485E-3

1.9888

1/40

1.9205E-4

1.9985

2.6269E-4

1.9969

1/80

4.8017E-5

1.9999

6.5681E-5

1.9998

1/160

1.2002E-5

2.0003

1.6419E-5

2.0001

0.50

1/10

3.0458E-3

4.1510E-3

1/20

7.6535E-4

1.9926

1.0457E-3

1.9889

1/40

1.9154E-4

1.9984

2.6201E-4

1.9968

1/80

4.7890E-5

1.9999

6.5511E-5

1.9998

1/160

1.1970E-5

2.0003

1.6377E-5

2.0001

0.99

1/10

3.0546E-3

4.1623E-3

1/20

7.6755E-4

1.9926

1.0487E-3

1.9888

1/40

1.9209E-4

1.9984

2.6274E-4

1.9969

1/80

4.8027E-5

1.9999

6.5694E-5

1.9998

1/160

1.2004E-5

2.0003

1.6422E-5

2.0001

Порядок сходимости определяется по формуле

)

⁽ |[z₁]|₀

ПС = logh1/h

|[z₂]|₀

где z_i - это погрешность, соответствующая h_i.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1680

БЕШТОКОВ

Заключение. В настоящей работе изучены краевые задачи для одномерного по прост-

ранству нагруженного дифференциального уравнения в частных производных соболевского

типа с переменными коэффициентами и дробной производной Герасимова-Капуто, а также

разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи на равномерной сетке. Рассмотрены гра-

ничные условия локальные (первого и третьего рода). Для решения краевых задач в диф-

ференциальной и разностной трактовках получены априорные оценки, из которых следуют

единственность решения и его устойчивость по начальным данным и правой части, а также

сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью

O(h² + τ²), где h и τ - шаги по пространственной и временной переменным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19.

№ 1. C. 86-94.

2. Будак В.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными // Докл.

АН СССР. 1967. Т. 176. № 1. 20-23.

3. Казиев В.М. Задача Tрикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц.

уравнения. 1979. Т. 15. № 1. C. 173-175.

4. Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rock.

Moun. J. Math. 1975. V. 5. № 4. C. 493-542.

5. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации

однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 25.

Вып. 5. C. 852-864.

6. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных

средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220. № 3. C. 540-543.

7. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Изв. АН

СССР. Сер. геогр. 1948. Т. 12. № 1. C. 27-45.

8. Ting T.W. A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction // J. Math. Anal.

Appl. 1974. Т. 45. № 9.

9. Hallaire M. Le potentiel efficace de l’eau dans le sol en regime de dessechement // L ’Eau et la Production

Vegetale / Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. V. 9. P. 27-62.

10. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М., 1976.

11. Канчукоев В.З. Краевые задачи для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-псевдопа-

раболического типа: дис

канд. физ.-мат. наук. М., 1984.

12. Бештоков М.Х. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and

grid methods of their numerical implementation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. V. 158. № 1.

P. 12-19.

13. Бештоков М.Х. Дифференциальные и разностные краевые задачи для нагруженных псевдопара-

болических уравнений третьего порядка и разностные методы их численной реализации // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2017. Т. 57. № 12. C. 2021-2041.

14. Канчукоев В.З. Краевые задачи для уравнений псевдопараболического и смешанного гипербо-

ло-псевдопараболического типов и их приложения к расчету тепломассообмена в почвогрунтах

// САПР и АСПР в мелиорации. Нальчик, 1983.

15. Кочина Н.И. Вопросы регулирования уровня грунтовых вод при поливах // Докл. АН СССР. 1973.

Т. 213. № 1. С. 51-54.

16. Нахушев А.М., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их

приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. C. 105-

110.

17. Беданокова С.Ю. Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания

почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера // Вестн. Адыгейск. гос. ун-та. Сер. 4. Естеств.-

мат. и техн. науки. 2007. № 4. С. 68-71.

18. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.И. Некоторые особенности вычисли-

тельных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М., 2002.

19. Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для диф-

ференциальных уравнений дробного порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2006.

Т. 46. № 10. C. 1871-1881.

20. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка

// Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 5. C. 658-664.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

1681

21. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Comput. Phys.

2015. V. 280. P. 424-438.

22. Бештоков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невырождаю-

щихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля // Дифференц.

уравнения. 2018. Т. 54. № 6. C. 763-778.

23. Бештоков М.Х. Краевые задачи для псевдопараболического уравнения с дробной производной Ка-

путо // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 7. C. 919-928.

24. Бештоков М.Х. Краевые задачи для уравнения влагопереноса с дробной производной Капуто и

оператором Бесселя // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 3. C. 353-365.

25. Caputo H. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent-II, Geophys // J.

Royal Astronom. Soc. 1967. V. 13. P. 529-539.

26. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего

трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12. C. 251-260.

27. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1983.

28. Li D., Liao H.L., Sun W., Wang J., Zhang J. Analysis of L1-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear

parabolic problems // Commun. Comput. Phys. 2018. V. 24. P. 86-103.

29. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск, 1981.

Институт прикладной математики и автоматизации

Поступила в редакцию 29.04.2019 г.

Кабардино-Балкарского научного центра РАН,

После доработки 16.12.2020 г.

г. Нальчик

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021