ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1698-1704
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
УДК 517.972.7+517.972.5
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ 2D СИСТЕМ
© 2021 г. Г. А. Курина
Установлены условия разрешимости обратной задачи оптимизации для одного класса дис-
кретных 2D-систем. Получено в явном виде выражение для функционала, для которого
данная система из рассматриваемого класса доставляет необходимое условие экстремума.
Приведены иллюстрирующие примеры.
DOI: 10.31857/S0374064121120116
Введение. Обратная задача вариационного исчисления состоит в нахождении функциона-
ла, для которого данное уравнение представляет собой необходимое условие экстремума этого
функционала. Решение различных задач такого типа изложено, например, в [1-3]. Сформу-
лированная задача для системы дискретных уравнений рассматривалась в [4]. Разрешимость
обратной задачи для некоторого уравнения позволяет использовать для его решения вариа-
ционные методы.
В последние десятилетия активно изучаются дискретные 2D-системы. Так, например, для
таких систем в [5] исследовалась линейно-квадратичная задача оптимального управления, а
в [6] - стохастическая устойчивость.
В настоящей работе рассматривается дискретная 2D-система вида
ϕij (z(i-1)j , zi(j-1), zij , z(i+1)j , zi(j+1), z(i-1)(j+1), z(i+1)(j-1)) ≡
≡ Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)) + Bij(zij,z(i-1)j,z(i-1)(j+1)) +
+ Cij(z(i+1)(j-1),zi(j-1),zij) = 0, i = 1,m - 1, j = 1,n - 1,
(1)
где функции Aij , Bij, Cij заданы и непрерывно дифференцируемы, а значения
zi0, i = 1,m - 1, z0j, j = 1,n - 1, zin, i = 0,m - 1, zmj, j = 0,n - 1,
(2)
известны.
Системы вида (1) возникают при дискретизации задачи на экстремум двойного интеграла
по прямоугольнику такого, что его подынтегральная функция зависит только от переменных
интегрирования, искомой функции и её частных производных первого порядка, при этом зна-
чения искомой функции на границе области интегрирования заданы.
1. Условия разрешимости обратной задачи оптимизации.
Теорема. Необходимое условие экстремума для функционала
∑
∑
J =
Vij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)),
(3)
i=0 j=0
где натуральные числа m и n фиксированы, дважды непрерывно дифференцируемые функции
Vij заданы, а значения (2) и z00 известны, записывается в виде системы (1) с функциями
∂Vij
∂V(i-1)j
∂Vi(j-1)
Aij =
,
Bij =
,
Cij =
;
(4)
∂zij
∂zij
∂zij
1698
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
1699
при этом выполняются условия
∂Ai(j-1)
∂Cij
=
,
i = 1,m - 1, j = 2,n - 1,
∂zij
∂zi(j-1)
∂A(i-1)j
∂Bij
=
,
i = 2,m - 1, j = 1,n - 1,
∂zij
∂z(i-1)j
∂B(i+1)(j-1)
∂Cij
=
,
i = 1,m - 2, j = 2,n - 1.
(5)
∂zij
∂z(i+1)(j-1)
Обратно, если для системы (1) выполняются условия (5), то эта система доставляет
необходимое условие экстремума для функционала вида (3), где в качестве V00(z10,z00,z01)
может быть взята любая постоянная, а
zi1
Vi0 = Ci1(z(i+1)0,zi0,zi1)dzi1, i = 1,m - 1,
0
∫
V0j = B1j(z1j,z0j,z0(j+1))dz1j, j = 1,n - 1,
0
∫
z(i+1)j∫
Vij = Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1))dzij +
B(i+1)j(z(i+1)j,0,0)dz(i+1)j +
0
0
zi(j+1)∫
+
Ci(j+1)(z(i+1)j,0,zi(j+1))dzi(j+1), i = 1,m - 2, j = 1,n - 2,
0
zi(n-1)∫
Vi(n-1) =
Ai(n-1)(z(i+1)(n-1),zi(n-1),zin)dzi(n-1) +
0
z(i+1)(n-1)∫
+
B(i+1)(n-1)(z(i+1)(n-1),0,zin)dz(i+1)(n-1), i = 1,m - 2,
0
z(m-1)j∫
V(m-1)j =
A(m-1)j(zmj,z(m-1)j,z(m-1)(j+1))dz(m-1)j +
0
z(m-1)(j+1)∫
+
C(m-1)(j+1)(zmj,0,z(m-1)(j+1))dz(m-1)(j+1), j = 1,n - 2,
0
z(m-1)(n-1)∫
V(m-1)(n-1) =
A(m-1)(n-1)(zm(n-1), z(m-1)(n-1), z(m-1)n) dz(m-1)(n-1).
(6)
0
Доказательство. Необходимость. Запишем необходимое условие экстремума для функ-
ционала (3), зависящего от переменных zij :
∂J
= 0, i = 1, m - 1, j = 1, n - 1.
∂zij
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1700
КУРИНА
Из вида функционала (3) следует равенство
∂J
∂(Vij + V(i-1)j + Vi(j-1))
=
(7)
∂zij
∂zij
Вводя обозначения (4), получаем необходимое условие экстремума функционала (3) в виде
системы (1).
Дифференцируя в (4) равенство для Ai(j-1) по zij , а равенство для Cij по zi(j-1), в силу
равенства смешанных частных производных второго порядка получаем первое из условий (5).
Аналогичным образом устанавливаются второе и третье условия в (5).
Достаточность. Пусть задана система (1), для которой выполняются условия (5). Пока-
жем, что этих условий достаточно для построения функционала вида (3), для которого необхо-
димое условие экстремума представляет собой систему вида (1). Тем самым будет установлена
разрешимость обратной задачи оптимизации для такой дискретной 2D-системы (1).
Используя выражения (6), запишем функционал J вида (3) и найдём его частные произ-
водные.
Сначала рассмотрим случай i = 2, m - 2, j = 1. Используя представления (7), (6) и
независимость от zi1 второго и третьего слагаемых в выражении для Vi1, получаем
∂J
∂(Vi1 + V(i-1)1 + Vi0)
=
= Ai1(z(i+1)1,zi1,zi2) +
∂zi1
∂zi1
z(i-1)1∫
∂
+
A(i-1)1(zi1,z(i-1)1,z(i-1)2)dz(i-1)1 + Bi1(zi1,0,0) +
∂zi1
0
z(i-1)2∫
∂
+
C(i-1)2(zi1,0,z(i-1)2)dz(i-1)2 + Ci1(z(i+1)0,zi0,zi1).
∂zi1
0
Для производных воспользуемся следующими равенствами из (5):
∂A(i-1)1
∂Bi1
∂C(i-1)2
∂Bi1
=
,
=
∂zi1
∂z(i-1)1
∂zi1
∂z(i-1)2
Применяя затем формулу Ньютона-Лейбница, находим, что
∂J
= Ai1(z(i+1)1,zi1,zi2) + Bi1(zi1,z(i-1)1,z(i-1)2) + Ci1(z(i+1)0,zi0,zi1).
∂zi1
Пусть теперь i = 2, m - 2, j = 2, n - 2. Учитывая представления (7), (6) и независимость
от zij второго и третьего слагаемых в выражении для Vij , а также второго слагаемого в
выражении для Vi(j-1), имеем
z(i-1)j∫
∂J
∂
= Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)) +
A(i-1)j(zij,z(i-1)j,z(i-1)(j+1))dz(i-1)j + Bij(zij,0,0) +
∂zij
∂zij
0
z(i-1)(j+1)∫
∂
+
C(i-1)(j+1)(zij,0,z(i-1)(j+1))dz(i-1)(j+1) +
∂zij
0
zi(j-1)∫
∂
+
Ai(j-1)(z(i+1)(j-1),zi(j-1),zij)dzi(j-1) + Cij(z(i+1)(j-1),0,zij).
∂zij
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
1701
Для производных по zij функций A(i-1)j , C(i-1)(j+1), Ai(j-1) используем равенства из (5):
∂A(i-1)j
∂Bij
∂C(i-1)(j+1)
∂Bij
∂Ai(j-1)
∂Cij
=
,
=
,
=
∂zij
∂z(i-1)j
∂zij
∂z(i-1)(j+1)
∂zij
∂zi(j-1)
Применяя затем формулу Ньютона-Лейбница, получаем последовательно равенства
z(i-1)j∫
∂J
∂Bij
= Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)) +
(zij , z(i-1)j , z(i-1)(j+1)) dz(i-1)j + Bij (zij , 0, 0) +
∂zij
∂z(i-1)j
0
z(i-1)(j+1)∫
∂Bij
+
(zij , 0, z(i-1)(j+1)) dz(i-1)(j+1) +
∂z(i-1)(j+1)
0
zi(j-1)∫
∂Cij
+
(z(i+1)(j-1), zi(j-1), zij ) dzi(j-1) + Cij (z(i+1)(j-1), 0, zij ) =
∂zi(j-1)
0
= Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)) + Bij(zij,z(i-1)j,z(i-1)(j+1)) - Bij(zij,0,z(i-1)(j+1)) +
+ Bij(zij,0,0) + Bij(zij,0,z(i-1)(j+1)) - Bij(zij,0,0) +
+ Cij(z(i+1)(j-1),zi(j-1),zij) - Cij(z(i+1)(j-1),0,zij) + Cij(z(i+1)(j-1),0,zij) =
= Aij(z(i+1)j,zij,zi(j+1)) + Bij(zij,z(i-1)j,z(i-1)(j+1)) + Cij(z(i+1)(j-1),zi(j-1),zij).
Аналогичным образом устанавливаются равенства
∂J
= ϕij(z(i-1)j, zi(j-1), zij, z(i+1)j, zi(j+1), z(i-1)(j+1), z(i+1)(j-1))
∂zij
для остальных значений i и j.
Следовательно, функционал (3) с функциями Vij, определяемыми формулами (6), явля-
ется решением обратной задачи оптимизации для системы (1). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим систему
z210z20 exp(z210z20z11) + 4z11z21z12 exp(z211z21z12) = 0,
2z211z21 exp(z211z21z12) + 6z12z22z13 exp(z212z22z13) = 0,
2z211z12 exp(z211z21z12) + 4z220z30 exp(4z220z30z21) + 16z21z31z22 exp(4z221z31z22) = 0,
3z212z13 exp(z212z22z13) + 8z221z31 exp(4z221z31z22) + 24z22z32z23 exp(4z222z32z23) = 0,
(8)
где zi0, i = 1, 2, 3, zi3, i = 1, 2, z3j , j = 1, 2, известны.
Несложно проверить, что последняя система имеет вид (1) при m = n = 3 и выполняются
условия (5). Действительно, из каждого уравнения этой системы имеем последовательно
A11 = 4z11z21z12 exp(z211z21z12), C12 = 2z211z21 exp(z211z21z12),
A21 = 16z21z31z22 exp(4z221z31z22), C22 = 8z221z31 exp(4z221z31z22).
Отсюда видно, что первое условие из (5) выполняется. Аналогичным образом из вида функций
Aij, Bij, Cij следует выполнение второго и третьего условий в (5). Поэтому в силу доказанной
теоремы система (8) доставляет необходимое условие экстремума для функционала вида (3).
Используя формулы (6), запишем явное выражение для этого функционала. В частности,
поскольку
B21 = 2z211z12 exp(z211z21z12),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
8∗
1702
КУРИНА
то, учитывая выражения для A11 и C12, в силу третьей формулы в (6) получаем
V11 = 2exp(z211z21z12) - 2.
Таким же способом находим остальные слагаемые в выражении (3). Постоянные слагаемые
в J не влияют на условия экстремума, поэтому их можно отбросить. В итоге имеем
∑∑
J =
(j + 1) exp(i2z2ij z(i+1)j zi(j+1)).
i=0 j=0
Слагаемое при i = j = 0, вообще говоря, можно опустить, поскольку оно известно.
2. Интегрирующий множитель. Если в системе (8) разделим второе уравнение на 2,
то получим другую запись этого уравнения. Изменённую таким образом в (8) функцию C12
обозначим через
C12. Так как
∂A11
C12
=
,
∂z12
∂z11
то для полученной системы не выполняются условия (5), а значит, обратная задача оптими-
зации для неё не разрешима.
Обратно, если в качестве исходной 2D-системы взять преобразованную указанным образом
систему (8), то для неё, как сказано, обратная задача оптимизации не разрешима, но умножив
второе уравнение этой системы на 2, получим систему (8), для которой обратная задача
оптимизации уже будет разрешимой.
Ненулевые функции такие, что после умножения на них уравнений системы, для кото-
рой обратная задача вариационного исчисления не разрешима, она становится системой, для
которой обратная задача вариационного исчисления разрешима, назовём интегрирующими
множителями. Такое название используется в [2, с. 57] применительно к функции, обеспечи-
вающей существование вариационного интеграла при умножении исследуемого выражения на
эту функцию. Как видим из приведённого примера, это понятие оказывается содержательным
и для дискретных 2D-систем.
3. Дискретизация. Отметим, что функционал вида (3) возникает при дискретизации
двойного интеграла по прямоугольнику с подынтегральной функцией, зависящей от частных
производных первого порядка.
Вариационная задача на экстремум функционала
∫∫ (
)
∂z
∂z
J (z(x, y)) =
F x,y,z,
,
dx dy
∂x
∂y
D
c заданными значениями функции z(x, y) на границе области D рассматривалась в [7, с. 312-
317]. В качества примера в [7] изучается вариационная задача на экстремум для интеграла
∫∫
((∂z)2
(∂z)2)
J (z(x, y)) =
+
dx dy.
(9)
∂x
∂y
D
Применяя необходимое условие экстремума из [7, с. 314], получаем уравнение
)
(∂2z
∂2z
-2
+
= 0,
(10)
∂x2
∂y2
т.е. решение рассматриваемой вариационной задачи должно являться решением задачи Дири-
хле для уравнения Лапласа.
Пример 2. Пусть областью D является прямоугольник, одна сторона которого лежит на
оси OX, а другая - на оси OY. Разобьём горизонтальную сторону на m равных частей длины
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
1703
hx, а вертикальную сторону на n равных частей длины hy. Проведя через точки деления
прямые, параллельные сторонам прямоугольника, получим его разбиение на равные между
собой прямоугольники с площадью hxhy. Для интеграла (9) запишем интегральную сумму,
отвечающую взятому разбиению прямоугольника на части, взяв промежуточные значения
подынтегральной функции в левом нижнем углу соответствующего меньшего прямоугольника.
Все слагаемые в интегральной сумме будут содержать общий множитель hxhy, который не
оказывает влияния на процедуру отыскания экстремума, поэтому опустим его.
Частные производные ∂z/∂x, ∂z/∂y в подынтегральной функции в точке (i,j) заменим
соответственно разностными отношениями
z(i+1)j - zij
zi(j+1) - zij
,
hx
hy
В результате получим функционал вида (3):
)2
∑
∑
((z(i+1)j - zij
(zi(j+1) -zij)2)
J =
+
,
(11)
hx
h
y
i=0 j=0
где zi0, i = 0, m - 1, z0j , j = 1, n - 1, zin, i = 0, m - 1, zmj , j = 0, n - 1, известны,
поскольку функция z(x, y) задана на границе области интегрирования.
Учитывая равенство (7), запишем необходимое условие экстремума
)
∂J
(z(i+1)j-2zij+z(i-1)j
zi(j+1)-2zij +zi(j-1)
=-2
+
= 0, i=1, m-1, j =1, n-1.
(12)
∂zij
h2x
h2y
Если использовать для дискретизации частных производных второго порядка ∂2z/∂x2,
∂2z/∂y2 соответственно выражения
z(i+1)j - 2zij + z(i-1)j
zi(j+1) - 2zij + zi(j-1)
,
,
h2x
h2y
то нетрудно видеть, что система (12) является дискретизацией уравнения (10).
Теперь для системы (12) рассмотрим обратную задачу оптимизации. Так как эта система
представляет собой необходимое условие экстремума функционала (11), то обратная задача
оптимизации для системы (12) разрешима.
Как показано в [4], в общем случае нет связи между разрешимостью обратной задачи вари-
ационного исчисления и разрешимостью обратной задачи оптимизации для соответствующего
дискретного по времени аналога.
Решим обратную задачу с помощью доказанной теоремы. Чтобы воспользоваться этой тео-
ремой, нужно записать систему (12) в виде (1). Это можно сделать разными способами. Будем
выбирать функции Aij , Bij , Cij таким образом, чтобы выполнялись условия (5) разреши-
мости обратной задачи оптимизации. Нетрудно проверить, что для этого достаточно взять
)
(z
(i+1)j - zij
zi(j+1) - zij
z(i-1)j - zij
zi(j-1) - zij
Aij = -2
+
,
Bij = -2
,
Cij = -2
h2x
h2y
h2x
h2y
Используя представления (6), найдём явный вид функционала (3) для этого примера.
При i = 1, m - 2, j = 1, n - 2 имеем
∫
)
(z(i+1)j -zij
zi(j+1) - zij
Vij = -2
+
dzij -
h2x
h2y
0
z(i+1)j∫
(
)
zi(j+1)∫
(
)
)2
z(i+1)j
zi(j+1)
(z(i+1)j -zij
(zi(j+1) -zij)2
-2
-
dz(i+1)j - 2
-
dzi(j+1) =
+
,
h2x
h2y
hx
hy
0
0
что совпадает с соответствующим слагаемым в (11).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1704
КУРИНА
Подобным образом находятся остальные слагаемые (11), причём они восстанавливаются с
учётом заданных условий с точностью до известных слагаемых, что не влияет на необходимое
условие экстремума.
Например, при j = 1, n - 1 получаем
∫
z0j - z1j
z21j - 2z0jz1j
V0j = -2
dz1j =
h2x
h2x
0
Прибавив к этому выражению известную величину
z20j
(z0(j+1) -z0j)2
+
,
h2x
hy
найдём соответствующее слагаемое в (11).
Автор выражает глубокую благодарность В.Г. Задорожнему за полезное обсуждение ре-
зультата статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-11-
00202).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных опе-
раторов // Итоги науки и техники. Сер. Совр. проблемы математики. Новые достижения. 1992.
Т. 40. С. 3-176.
2. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа. М.; Ижевск, 2006.
3. Kurina G. On some inverse problems of the calculus of variations for second order differential equations
with deviating arguments and partial derivatives // New Prospects in Direct, Inverse and Control
Problems for Evolution Equations. Springer INdAM Series. V. 10. Cham, 2014. P. 253-270.
4. Kurina G., Zadorozhniy V. Inverse problems of the calculus of variations for discrete-time systems // Pure
and Appl. Func. Anal. 2016. V. 1. № 4. P. 573-582.
5. Гайшун И.В., Дымков М.П. Линейно-квадратичная задача оптимизации композитных дискретных
2-D систем управления // Автоматика и телемеханика. 2002. № 2. С. 71-83.
6. Пакшин П.В., Емельянова Ю.П., Емельянов М.А., Галковский К., Роджерс Э. Стохастическая
устойчивость некоторых классов 2D-систем // Автоматика и телемеханика. 2018. № 1. С. 113-129.
7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1965.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 03.06.2021 г.
Федеральный исследовательский центр
После доработки 03.06.2021 г.
“Информатика и управление” РАН, г. Москва
Принята к публикации 08.09.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
