ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1705-1714

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

УДК 519.63+519.651:517.956.4

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

И ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

ОПТИМАЛЬНОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АГРЕГАТА

В рамках общей постановки задачи восстановления оператора решена задача дискрети-

зации решений уравнения теплопроводности с начальным условием f из периодического

анизотропного класса Соболева вычислительными агрегатами, построенными по тригоно-

метрическим коэффициентам Фурье

f (m), в метрике пространства L^∞,q, q ≥ 2. Найдена

также погрешность ε_N вычисления тригонометрических коэффициентов Фурье началь-

ного условия f, соответствующих оптимальному вычислительному агрегату, и доказана

неулучшаемость порядка погрешности ε_N .

DOI: 10.31857/S0374064121120128

1. Постановка задачи. Впервые задача дискретизации рассматривалась Н.М. Коробовым

для уравнения Пуассона [1, с. 185-190]. Затем в работах [2, 3] С.А. Смоляком был предложен

оригинальный метод - метод тензорных произведений классов, позволяющий строить опти-

мальные вычислительные агрегаты в задачах восстановления интеграла, функций и решений

уравнения в частных производных. Впоследствии метод Смоляка и его различные применения

стали предметом изучения многих математиков (см., например, [4], а также [5] и имеющую-

ся в ней библиографию). Задачами дискретизации занимались и китайские математики: в

монографии [6] Хуа Ло Кен и Вань Юань рассмотрели, в частности, уравнение теплопровод-

ности с начальным условием из класса Коробова. Н. Темиргалиевым и его учениками, кроме

уравнений из работ [1, 6], рассматривались и другие классические уравнения математической

физики и в рамках общей постановки задачи восстановления оператора были установлены

точные или близкие к точным порядки погрешности оптимальной дискретизации, а также

найдены предельные погрешности оптимальных вычислительных агрегатов (см., например,

[7] и имеющуюся в ней библиографию).

Приведём общую постановку задачи восстановления оператора в редакции работы [8].

Пусть F - какой-либо класс числовых функций, заданных на множестве Ω_F , а Y - неко-

торое нормированное пространство числовых функций, заданных на множестве Ω_Y , норму

в котором обозначим через ∥ · ∥_Y . Для каждого целого N ≥ 1 через {(l(N), ϕ_N )} обозна-

чим множество всевозможных пар (l(N), ϕ_N ), где l(N) = (l(1)N, . . . , l(N)N) - набор функционалов

l(1)N : F → C, ..., l(N)N : F → C, а ϕ_N - функция ϕ_N(z₁,... ,z_N ;y) : C^N ×Ω_Y → C, которая при

всяком фиксированном (z₁, . . . , z_N ) ∈ C^N как функция от переменной y принадлежит прост-

ранству Y. Далее при каждой фиксированной f ∈ F функцию ϕ_N (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); y) от

переменной y, определяемую парой (l(N), ϕ_N ), будем называть вычислительным агрегатом.

Всюду ниже для любого числа A и положительного числа B запись A

≪ B будет озна-

α,β,...

чать существование постоянной C(α, β, . . .) > 0, зависящей лишь от указанных под знаком ≪

параметров, такой, что |A| ≤ C(α, β, . . .)B. Отсутствие под знаком ≪ параметров означает,

что постоянная может быть выбрана одной и той же для всех рассматривающихся парамет-

ров. Для положительных чисел A и B одновременное выполнение соотношений A

≪ B и

α,β,...

B ≪

A записывается в виде A ≻≺ B.

α,β,...

1705

1706

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

Пусть заданы класс F, пространство Y и оператор T : F → Y. Тогда для множества

D_N ⊂ {(l(N),ϕ_N )} положим

δ_N (D_N;T;F)_Y =

inf

δ_N((l(N),ϕ_N );T;F)_Y ,

(1)

(l(N),ϕ_N )∈D_N

где

δ_N ((l(N),ϕ_N );T;F)_Y = sup ∥(Tf)(·) - ϕ_N (l(1)N(f),... ,l(N)N(f);·)∥_Y .

f ∈F

Задача восстановления оператора T f вычислительными агрегатами

(l(N), ϕ_N ) ≡ ϕ_N (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); ·)

в метрике пространства Y заключается в установлении точного порядка величины (1) (т.е. в

нахождении последовательности {ψ_N }N≥1 положительных чисел, удовлетворяющей соотно-

шению δ_N (D_N ; T ; F )_Y ≻≺ ψ_N ) и в указании такого вычислительного агрегата (l(N), ϕ_N ) ≡

≡ ϕ_N(l(1)N (f),...,l(N)N(f);·), для которого δ_N((l(N),ϕ_N);T;F)_Y ≻≺ ψ_N (в этом случае вычис-

лительный агрегат (l(N), ϕ_N ) называется оптимальным).

Пусть u(t, x; f) - решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

∂u

∂²u

+...+

0 ≤ t < +∞, x = (x₁,...,x_s)^т ∈ R^s,

∂t

∂x²¹

∂x2s

с 1-периодическим начальным условием u(0, x; f) = f(x), разлагающимся в абсолютно сходя-

∑

щийся тригонометрический ряд Фурьеm∈Z

f (m) exp(2πi(m, x)), где

∫

f (m) =

f (x) exp(-2πi(m, x)) dx.

[0,1]^s

Тогда имеет место следующее равенство (см., например, [9, лемма В]):

∑

u(t, x; f) =

f (m) exp(-4π²(m, m)t) exp(2πi(m, x)).

(2)

m∈Z^s

Поэтому возникает задача дискретизации решений u(t, x; f) вычислительными агрегата-

ми, построенными по тригонометрическим коэффициентам Фурье

f (m⁽¹⁾), . . .

f (m(N)) объё-

ма N, где m⁽¹⁾ ∈ Z^s, . . . , m(N) ∈ Z^s. Задача дискретизации бесконечного объекта (в нашем

случае решения дифференциального уравнения или ряда) состоит в его приближении простым

(в некотором смысле) конечным объектом и в указании точности предложенного приближе-

ния.

В данной работе эта задача изучается в рамках сформулированной выше задачи восста-

новления оператора при (необходимые определения даны ниже в п. 2)

(T f)(·) = u(· ; f), F = Wr1,...,rs2[0, 1]^s, Y = L^∞,q ≡ L^∞,q([0, +∞) × [0, 1]^s),

D_N = Φ_N ≡ {(l(N),ϕ_N ) : l(1)N(f)

f (m⁽¹⁾), . . . , l(N)N(f)

f (m(N))}.

Задачи дискретизации решений u(t, x; f) в других конкретизациях F, Y и D_N изу-

чены в работах [9-11]. В них в качестве классов F, содержащих начальные условия, рас-

сматривались периодические изотропные классы Никольского-Бесова, Коробова и Соболе-

ва. В [12] в задачах дискретизации решений уравнений в частных производных впервые был

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

1707

рассмотрен анизотропный класс Соболева Wr1,...,rs2[0, 1]^s и найден точный порядок погреш-

ности дискретизации при Y

= L∞,2 и D_N = P_N ≡ {(l(N),ϕ_N) : l(τ)N(f) = f(ξ(τ)N), τ =

= 1, N }, где ξ(1)N ∈ [0, 1]^s, . . . , ξ(N)N ∈ [0, 1]^s. Рассмотрение анизотропного класса Соболе-

[0, 1]^s точ-

ва Wr1,...,rs2[0, 1]^s обусловлено тем, что в случае изотропного класса Соболева

ный порядок δ_N (Φ_N ; (T f)(·) = u(· ; f); Wr2[0, 1]^s)_L∞,2 ≻≺ N-r/s ухудшается с увеличением

размерности s, а в случае анизотропного класса Соболева Wr1,...,rs2[0, 1]^s точный порядок

δ_N (Φ_N;(Tf)(·) = u(·;f);Wr1,...,rs[0,1]^s)_L∞,2 ≻≺ N-(1/r1+...+1/rs)-1 не зависит от s. Подчерк-

нём, что в работе [12] задача нахождения предельной погрешности оптимального вычисли-

тельного агрегата не изучалась (эта задача пока остаётся нерешённой).

В настоящей работе при Y = L^∞,q, 2 ≤ q ≤ ∞ и DN = ΦN установлен точный порядок

погрешности дискретизации решений u(t, x; f) и найдена предельная погрешность оптималь-

ного вычислительного агрегата ϕ_N

f (m⁽¹⁾), . . .

f (m(N)); t, x).

2. Необходимые определения и полученные результаты. Сначала условимся об

используемых обозначениях и приведём определения класса Wr1,...,rs2[0, 1]^s и пространства

L^∞,q([0;+∞)×[0,1]^s). Для конечного множества E через |E| обозначаем количество его эле-

ментов. Как обычно, [a] - целая часть числа a. Всюду m = (m₁, . . . , m_s) ∈ Z^s. Для упрощения

записи вместо ∥f∥_L∞,q ,

≫

≪

будем писать ∥f∥_q,

≫

≪ соответственно.

s,q,r₁,...,rs

s,q,r

Пусть s = 2, 3, . . . и r = (r₁, . . . , r_s) - вектор с положительными компонентами. Анизотроп-

[0, 1]^s по определению состоит из всех суммируемых

ный класс Соболева Wr1,...,rs2 ≡

1-периодических по каждой переменной функций f(x) = f(x₁, . . . , x_s), тригонометрические

коэффициенты Фурье

f (m), m ∈ Z^s, которых удовлетворяют условию

∑

f (m)|²( m2r11 + . . . + msrs ) ≤ 1,

m∈Z^s

где mi = max{1,|mi|} для каждого i = 1,s.

Нормированное пространство L^∞,q ≡ L^∞,q([0; +∞) × [0, 1]^s), 1 ≤ q ≤ ∞, определяется как

линейное пространство всех функций g : [0, +∞)×R^s → C таких, что для каждого t ∈ [0, +∞)

функция g_t(x) = g(t, x) как функция аргумента x ∈ R^s является измеримой, 1-периодической

по каждой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству

∥g∥_L∞,q ≡ sup vrai∥g(t, · )∥_q < +∞ (L^∞[0, 1]^s ≡ C[0, 1]^s).

t≥0

Приведём определение предельной погрешности (см., например, [7, с. 10]). Предельной по-

грешностью оптимального вычислительного агрегата ϕ_N(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);·), N ∈ N, на-

зывается последовательность {ε_N } положительных чисел такая, что:

во-первых, для всех N имеет место соотношение

△_N(ε_N ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y ≻≺ δN (DN ; T ; F )Y ;

(3)

где

△_N(ε_N ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y =

= sup sup {∥(Tf)(·) - ϕ_N(z₁,... ,z_N ;·)∥_Y : |z_i - l(i)N (f)| < ε_N , i = 1,N} =

f ∈F z1,...,zN

= sup

sup

∥(T f)(·) - ϕ_N (l(1)N(f) + γ(1)N ε_N , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N ε_N ; ·)∥_Y ;

f ∈F |γ(1)N|≤1,...,|γ(N)N|≤1

во-вторых, справедливо равенство

△_N(η_N ε_N ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y

lim

= +∞

(4)

N→+∞

δ_N(D_N ;T;F)_Y

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1708

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

для любой сколь угодно медленно возрастающей к +∞ последовательности {η_N }N≥1 поло-

жительных чисел.

Соотношение (3) означает, что при вычислении значений оптимального вычислительного

агрегата ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); ·) функционалl(τ)N(f), τ = 1, N , можно заменить неточными

значениями z_τ такими, что |z_τ -l(τ)N(f)| < ε_N (τ = 1, N ), сохраняя при этом точный порядок

погрешности оптимального восстановления. Выполнение же равенства (4) означает неулучша-

емость порядка погрешности ε_N , так как сколь угодно медленное возрастание к бесконечности

величины ε_N нарушает точный порядок погрешности восстановления.

Далее для упрощения записи положим (T f)(·) = u(· ; f) и

δ_N (Φ_N;(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]^s)L^∞,q ≡ δN (ΦN)L^∞,q ,

δ_N ((l(N),ϕ_N );(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]^s)L^∞,q ≡ δN ((l(N),ϕN ))L^∞,q ,

△_N(ε_N ;(l(N),ϕ_N);(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]^s)L^∞,q ≡ △N(εN ;(l(N),ϕN))L^∞,q .

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть даны числа s (s = 2, 3, . . .), r₁ > 0, . . . , r_s > 0, q ∈ [2, ∞], а числа λ

и N_i для каждого i = 1,s определены равенствами λ ≡ λ(r₁,...,r_s) = (1/r1 +...+1/r_s)-1 >

∏_s

> 1/2 и N_i ≡ N_i(K) = [Kλ/ri ], K ∈ N. Тогда для любого N ≡ N(K) =

(2N_i + 1) имеют

i=1

место соотношения

1/2-1/q

δ_N (Φ_N)_L∞,q ≻≺

δ_N ((l(N),ϕ_N))_L∞_,q ≻≺N

(5)

s,r,q

N^λ

здесь пара (l(N), ϕ_N ) состоит из функционаловl(1)N(f) = f(m⁽¹⁾), . . . ,

l(N)

(f) = f(m(N)) и

∑_N

функции ϕ_N (z₁, . . . , z_N ; t; x) =

z_τ exp(2πi(m(τ),x)), а s-мерные целочисленные векторы

τ=1

⋃_N

m⁽¹⁾, ... , m(N) такие, что m(i) = m(j) при i = j и

{m(τ)} = A_K , где A_K = {m ∈

τ=1

∈ Z^s : |m₁| ≤ N₁, ..., |ms| ≤ Ns}.

Теорема 2. Для оптимального вычислительного агрегата ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); ·) вели-

чина ε_N = N-λ-1/2 является предельной погрешностью, т.е. имеет место соотношение

△_N(ε_N ;(l(N),ϕ_N))_L∞,q ≻≺

δ_N (Φ_N)_L∞,q

(6)

s,r,q

и для любой сколь угодно медленно возрастающей к +∞ последовательности {η_K}K≥1 по-

ложительных чисел справедливо равенство

△_N(η_N ε_N;(l(N),ϕ_N))_L∞,q

lim

= +∞.

(7)

K→+∞

δ_N (Φ_N)_L∞,q

Тем самым, нами получены следующие результаты:

(i) найден точный порядок погрешности оптимальной дискретизации решений u(t, x; f)

уравнения теплопроводности с начальным условием из анизотропного класса Соболева вы-

числительными агрегатами ϕ_N

f (m⁽¹⁾), . . .

f (m(N)); t, x) в метрике пространства L^∞,q, 2≤

q ≤ ∞;

(ii) доказано, что функция

∑

ϕ_N(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);t,x) =

f (m(τ)) exp(-4π²(m(τ), m(τ))t) exp(2πi(m(τ), x))

(8)

τ=1

является оптимальным вычислительным агрегатом;

(iii) выяснено, что при построении оптимального вычислительного агрегата (8) тригономет-

рические коэффициенты Фурье

f (m(τ)), τ = 1, N , можно заменить неточными значениями

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

1709

z_τ такими, что |z_τ

f (m(τ))| ≤ ε_N , τ = 1, N , сохраняя при этом точный порядок погрешности

оптимальной дискретизации;

(iv) установлена неулучшаемость порядкa погрешности

εN вычисления коэффициентов

Фурье

f (m(τ)), τ = 1, N .

3. Доказательство теоремы 1. Нам понадобятся следующие две леммы.

Лемма 1 ([13]). Пусть дан вектор (r₁, . . . , r_s) с положительными компонентами такой,

что λ = (1/r₁ + . . . + 1/r_s)-1 > 1/2. Тогда тригонометрический ряд Фурье каждой функции

f ∈ Wr1,...,rs2 сходится абсолютно (и равномерно при любом методе суммирования).

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда сходится кратный интеграл

∫

dx₁ · · · dx_s

(9)

x2r11 + ... + x

Доказательство. Cходимость интеграла (9) в случае s ≥ 4 устанавливается аналогично

случаям s = 2 и s = 3, рассмотренным в [14, с. 104-109]. Лемма доказана.

Приступим к доказательству теоремы 1. Cначала оценим величину δ_N ((l(N), ϕ_N ))_L∞,q свер-

ху. Так как

∑

ϕ_N(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);t,x) =

f (m(τ)) exp(-4π²(m(τ), m(τ))t) exp(2πi(m(τ), x)) =

τ=1

∑

f (m) exp(-4π²(m, m)t) exp(2πi(m, x)),

m∈A_K

то, согласно равенству (2) и лемме 1, получаем

∑

u(t, x; f) - ϕ_N (l(1)N(f) . . . ,l(N)N(f); t, x) =

f (m) exp(-4π²(m, m)t) exp(2πi(m, x)).

m∈Z^s\A_K

Следовательно, в случае q = 2 при каждом фиксированном t ∈ [0, ∞) в силу равенства

Парсеваля и определения пространства L∞,2 приходим к оценке сверху

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥₂ ≪

(10)

s,r N^λ

Далее, рассмотрим случай q = ∞. Очевидно, что для каждого t ∈ [0, +∞) справедливо

неравенство

∑

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥_∞ ≤

f (m)|,

m∈Z^s\A_K

откуда, используя неравенства Гёльдера и учитывая определение пространства L^∞,∞, имеем

(

)1/2

∑

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥_∞ ≪

(11)

s,r

m∈Z^s\A_K

m2r11 + ... + msr

Теперь каждому l ∈ Z

^⋂ [1, s - 1] поставим в соответствие множество T_l, образованное

всеми векторами (a₁, a₂, . . . , a_l) такими, что a_i ∈ Z

^⋂ [1, s] для каждого i = 1, l. Далее в

случае l = 1 по каждому элементу (a₁, a₂, . . . , a_l) ∈ T_l, удовлетворяющему неравенству a₁ <

< a₂ < ... < a_l, определим множество A(a1,a2,...,al), состоящее из векторов (m₁,...,m_s) ∈ Z^s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1710

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

таких, что |m_i| > N_i, если i ∈ {a₁, a₂, . . . , a_l}, и |m_i| ≤ N_i, если i ∈ (Z

^⋂ [1, s])\{a₁, a₂, . . . , a_l}.

⋃s-1

Очевидно, что Z^s\A_K = (

B_l)

^⋃A^∗, где

l=1

⋃

B_l =

A(a1,...,al),

A^∗ = {(m₁,... ,m_s) ∈ Z^s : |m₁| > N₁, ... ,

|m_s| > N_s}.

(a₁,...,a_l)∈T_l

Следовательно,

∑

≤

(12)

2rs

m2r11 + ... + m

m2r11 + ... + msr

m∈Z^s/A_K

l=1 m∈B_l

m∈A^∗

Рассмотрим кратный интеграл

∫

dx₁ · · · dx_s

x2r11 + ... + xsr

N₁

Проведя в этом интеграле замену переменных x_i = N_iu_i, i = 1, s, получим

∫

dx₁ · · · dx_s

N₁ ... N_s

du₁ · · · du_s

≤

≪

(13)

N2λ

s,r N2λ

x2r11 + ... + xsrs

u2r11 + ... + usrs

N₁

∏_s

∫+∞

поскольку

N_i ≻≺

N и интеграл

i=1

(u2r11 + . . . + usrs )-1du1 · · · dus, согласно

лемме 2, сходится при λ > 1/2.

Так как

∫

∑

dx₁ · · · dx_s

≪

2r₁

+...+ msrs

s,r

m∈A^∗

x2r11 + ... + xsr

N₁

то в силу оценки (13) имеем

∑

≪

(14)

2r₁

+...+ msrs

s,r N2λ

m∈A^∗

Пусть U - декартово произведение множеств [0, N_i], i ∈ (Z

^⋂ [1, s])\{a₁, a₂, . . . , a_l}, а V -

множеств [N_i, +∞), i ∈ {a₁, a₂, . . . , a_l} (здесь, как и выше, при l = 1 предполагается выпол-

нение неравенств a₁ < a₂ < . . . < a_l). Тогда

}

∫

∑{

dx₁ · · · dx_s

:m∈A(a1,a2,...,al)

≪

2r₁

+...+ msrs

s,r

+...+xsrs

s,r

x2r11

U V

(

∫

∏

dxa1 · · · dxal

≪

N_i

≪

s,r

⋂

(xa1 )2ra1 + . . . + (x_a

)2ral

s,r

i∈(Z

[1,s])\{a₁,a₂,...,a_l}

N^a1

Nal

(замена переменных xa1 = Na1 u₁, . . . , xal = Nal u_l)

(

∫

∏

)(_l∏

du₁ · · · du_l

≪

N_i

Naτ

s,r N2λ

⋂

i∈(Z

[1,s])\{a₁,a₂,...,a_l}

τ=1

u2ra11 + ... + ulral

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

1711

отсюда в силу равенства

(

) ∏s

∏

)(_l∏

N_i

Naτ

= N_i

⋂

i∈(Z

[1,s])\{a₁,a₂,...,a_l}

τ=1

i=1

∏_s

и соотношения

N_i ≻≺ N с учётом сходимости последнего интеграла при λ > 1/2 по-

i=1

s,r

лучим

}

∑{

:m∈A(a1,a2,...,al)

≪ N/N2λ.

2r₁

+...+ msrs

s,r

Стало быть, справедливо соотношение

∑∑

≪

(15)

s,r N2λ

l=1 m∈B_l

m2r11 + ... + msrs

Из соотношений (11), (12), (14) и (15) вытекает, что

1/2

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥_∞ ≪N

(16)

s,r N^λ

Хорошо известно, что для любой функции g ∈ C[0, 1]^s при q ∈ [2, ∞] имеет место нера-

венство (см., например, [15, с. 50])

∥g∥_q ≤ ∥g∥2/q2 ∥g∥1-2/q∞ .

(17)

Следовательно, в силу (10), (16) и (17) получаем

1/2-1/q

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥q ≪

(18)

s,r,q

N^λ

откуда, поскольку переменная t и функция f произвольны, заключаем, что

1/2-1/q

δ_N ((l(N),ϕ_N ))_L∞,q ≪

q ∈ [2,∞].

(19)

s,r,q

N^λ

Оценим величину δ_N (Φ_N )_L∞,q снизу. Пусть заданы число N (N = 2, 3, . . .), функционалы

l(1)N(f)

f (m⁽¹⁾), . . . , l(N)N(f)

f (m(N)) и функция ϕ_N (z₁, . . . , z_N ; ·) - алгоритм переработки

числовой информации объёма N.

Введём в рассмотрение функцию

∑

f_N(x) =

√

exp(2πi(m, x)),

N^λ

m∈C_N \B_N

где C_N = {m ∈ Z^s : |m₁| ≤ [Nλ/r1 ], . . . , |m_s| ≤ [Nλ/rs ]}, B_N = {m⁽¹⁾, m⁽²⁾, . . . , m(N)} ⊂ Z^s.

При∑

∑

1≤

1 < 3^sN имеем

венствm∈CN \B_N

m∈C_N

∑

C²

f_N(m)|²(m2r11 + ... + msrs) =

(m2r11 + . . . + msrs ) ≤

2λN

m∈C_N \B_N

∑

≤

((Nλ/r1 )2r1 + . . . + (Nλ/rs )2rs ) < s3^sC².

N2λN

m∈C_N \B_N

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1712

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

∏_s

√

Так как

[Nλ/ri ] ≻≺

N и ∥f_N∥_∞ ≫

N /N^λ, то вследствие неравенства Никольского

i=1

s,r

[16, с. 256] получаем

1/2-1/q

∥f_N ∥_q ≫

(20)

s,r

N^λ

В силу включения Cf_N ∈ Wr1,...,rs2 и равенств u(0, x; CfN ) = CfN (x), lN1)(CfN ) = 0,

..., l(N)N(Cf_N) = 0 имеет место следующая цепочка неравенств:

sup

∥u(· ; f) - ϕ_N (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); ·)∥_L∞,q ≥

f ∈Wr1,...,rs

≥ max{∥(Cf_N)(·) - ϕ_N (0,... ,0;0,·)∥_q,∥(-Cf_N)(·) - ϕ_N (0,... ,0;0,·)∥_q} ≥

≥

(∥(Cf_N )(·) - ϕ_N (0, . . . , 0; 0, ·)∥_q + ∥(-Cf_N )(·) - ϕ_N (0, . . . , 0; 0, ·)∥_q ) ≥ ∥Cf_N ∥_q.

Отсюда, принимая во внимание соотношение (20), получаем

1/2-1/q

δ_N (Φ_N)_L∞,q ≫

(21)

s,r

N^λ

Так как очевидно неравенство δ_N (Φ_N )_L∞,q ≤ δ_N ((l(N), ϕ_N ))_L∞,q , то из (19) и (21) вытекают

соотношения (5). Теорема 1 доказана.

4. Доказательство теоремы 2. Для произвольно заданных чисел γ(τ)N таких, что |γ(τ)N| ≤

≤ 1 (τ = 1,N) и для каждого фиксированного t ∈ [0,∞) справедливо неравенство

∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f) + γ(1)N ε_N , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N ε_N ; t, ·)∥_q ≤

≤ ∥u(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N (f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥_q +



∑



+^

(-γ(τ)N)ε_N exp(-4π²(m(τ), m(τ))) exp(2πi(m(τ), · ))

(22)

 .

τ=1

В силу (17), (18) и (22) имеет место соотношение



N1/2-1/q



(t, · ; f) - ϕ_N (l(1)N(f) + γ(1)N ε_N , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N ε_N ; t, ·)

≪

^u



s,r,q

N^λ

откуда, поскольку переменная t, числа γ(τ)N, τ = 1, N , и функция f произвольны, следу-

ет, что

1/2-1/q

△_N(ε_N ;(l(N),ϕ_N))_L∞,q ≪N

q ∈ [2,∞].

(23)

s,r

N^λ

Так как

δ_N (Φ_N)_L∞,q ≤ δ_N((l(N),ϕ_N))_L∞,q ≤ △_N(ε_N ;(l(N),ϕ_N))_L∞,q ,

то вследствие (21) и (23) приходим к соотношению (6).

Теперь убедимся в справедливости равенства (7). Для каждого K ∈ N определим мно-

жество H_K = {m ∈ Z^s : |m₁| ≤ [Nλ/r1 β-α/r1K ], . . . , |ms| ≤ [Nλ/rs βKα/rs ]}, где N = N(K),

β_K = min{η_N ,ln(N + 1)} и α - некоторое число из интервала (2λ/(2λ + 1),λq/(q - 1)). Здесь

же заметим, что условие λ > 1/2 обеспечивает выполнение неравенства

2λ/(2λ + 1) < λq/(q - 1).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

1713

Так как lim

β_K = +∞, то существует номер K₀ такой, что для всех K ≥ K₀ имеет

K→+∞

место неравенство β_K ≥ 1.

∑

Для каждого K ≥ K₀ функция h_K (x) = (3^ss)-1/2β_K ε

exp(2πi(m, x)) принад-

N m∈H_K

|H_K | < 3^sNβ^-α/λK, 2α - 2 +

лежит классу Wr1,...,rs2. Действительно, используя неравенства

+ α/λ > 0 и β_K ≥ 1 (K ≥ K₀), имеем

∑

|ĥK(m)|²(m2r11 + ... + msrs ) =

|ĥK(m)|²(m2r11 + ... + msrs ) ≤

m∈Z^s

m∈H_K

∑

β2K ε2N

≤

sN2λβ-2αK =

β2-2α

1≤

≤ 1.

3ss

3sN

β2α-2+α/λ

m∈H_K

Так как ∥h_K ∥_∞ ≫

β_K ε_N|H_K| и Nβ^-α/λK < |H_K|, то ∥h_K∥_∞ ≫

N-λ+1/2β1-α/λK. Поэтому в

силу неравенства Никольского и соотношения (5) получаем, что

∥h_K ∥_q ≫

δ_N (Φ_N)_L∞,q β1-α(1-1/q)/λK.

(24)

Для каждого K ≥ K₀ определим наборы (γ(1)N, . . . , γ(N)N) и (ω(1)N, . . . , ω(N)N), где N = N(K),

с компонентами γ(τ)N = -ĥK (m(τ))(ε_N η_N )-1, τ = 1, N , и ω(τ)N = -(-ĥK )(m(τ))(ε_N η_N )-1, τ =

= 1, N . Так как для каждого τ = 1, N выполнены неравенства |γ(τ)N| ≤ 1,

|ω(τ)N| ≤ 1 и равен-

стваĥK (m(τ)) + η_N γ(τ)N ε_N = 0,

(-ĥK )(m(τ)) + η_N ω(τ)N ε_N = 0, то для всякой пары (l(N), ϕ_N ) ∈

∈ Φ_N будем иметь



sup

∥u(· ; f) - ϕ_N

f (m⁽¹⁾) + γ(1)Nη_N ε_N , . . .

f (m(N)) + γ(N)Nη_N ε_N ; ·)

≥

L^∞,q

(1)

f ∈Wr1,...,rs

|γ_N |≤1

|γ(N)N|≤1

≥ max{∥h_K(·) - ϕ_N (ĥK(m⁽¹⁾) + γ(1)Nη_N ε_N ,... ,ĥK(m(N)) + γ(N)Nη_N ε_N ;0,·)∥,

∥(-h_K )(·) - ϕ_N ((-ĥK )(m⁽¹⁾) + ω(1)Nη_N ε_N , . . . , (-h_K )(m(N)) + ω(N)Nη_N ε_N ; 0, · )∥_q } =

= max{∥h_K(·) - ϕ_N (0,... ,0;0,·)∥_q,

∥(-h_K )(·) - ϕ_N (0, . . . , 0; 0, · )∥_q } ≥ ∥h_K ∥_q.

(25)

Сопоставляя соотношения (24) и (25), заключаем, что

△_N(η_N ε_N;(l(N),ϕ_N ))_L∞,q ≫

δ_N(Φ_N )_L∞,q β1-α(1-1/q)/λK,

откуда, поскольку 1 - αλ-1(1 - 1/q) > 0, следует равенство (7). Теорема 2 доказана.

Замечание. Так как равенство (7) доказано для каждой пары (l(N), ϕ_N ) ∈ Φ_N , то ника-

кой оптимальный вычислительный агрегат ϕ_N

f (m⁽¹⁾), . . .

f (m(N)); ·), N = N(K), не имеет

большей (по порядку) предельной погрешности, чем ε_N .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М., 1963.

2. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых

классов функций // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1042-1045.

3. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: дис

канд.

физ.-мат. наук. М., 1965.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1714

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

4. Sickel W., Ullrich T. The Smolyak’s algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of

dominating mixed smoothness // East J. Approx. 2007. V. 13. № 4. P. 287-425.

5. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С.С., Шоманова А.А. Применение квадратурных формул Смоляка

к численному интегрированию коэффициентов Фурье и в задачах восстановления // Изв. вузов.

Математика. 2010. № 3. С. 52-71.

6. Loo Keng Hua, Yang Wang. Application of Number Theory to Numerical Analysis. Berlin; Heidelberg;

New York, 1981.

7. Темиргалиев Н., Таугынбаева Г.Е., Абикенова Ш.К. Дискретизация решений уравнений в частных

производных в контексте Компьютерного (вычислительного) поперечника // Вестн. Евразийского

нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2019. Т. 126. № 1. С. 8-51.

8. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам анализа.

Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестн.

Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 1997. № 3. С. 90-144.

9. Ажгалиев Ш. О дискретизации решений уравнения теплопроводности // Мат. заметки. 2007. Т. 82.

№ 2. С. 177-182.

10. Шерниязов К.Е. Приближенное восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с

функциями распределения начальных температур из классов E, SW и B: дис

канд. физ.-мат.

наук. Алматы, 1998.

11. Таугынбаева Г.Е. О предельной погрешности неточной информации при оптимальной дискретиза-

ции решений уравнения теплопроводности по тригонометрическим коэффициентам Фурье // Вестн.

Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2010. Т. 79. № 6. С. 35-48.

12. Утесов А.Б. Задача восстановления функций и интегралов на обобщенных классах и решений

уравнения теплопроводности: дис

канд. физ.-мат. наук. Алматы, 2001.

13. Утесов А.Б., Абдыкулов А.Т. Полное К(В)П-исследование задачи восстановления функций из ани-

зотропных классов Соболева по неточным значениям их тригонометрических коэффициентов Фу-

рье // Вестн. Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2018. № 1 (122).

С. 90-98.

14. Ляшко И.И.и др. Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Т. 3. М., 2001.

15. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та

им. В.А. Стеклова. 1986. Т. 178. С. 3-113.

16. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории

дифференцируемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1951. Т. 38.

С. 244-278.

Актюбинский региональный университет

Поступила в редакцию 06.05.2021 г.

им. К. Жубанова, г. Актобе, Казахстан,

После доработки 26.08.2021 г.

Назарбаев Университет,

Принята к публикации 08.09.2021 г.

г. Нур-Султан, Казахстан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021