ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1705-1714
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
УДК 519.63+519.651:517.956.4
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
ОПТИМАЛЬНОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АГРЕГАТА
© 2021 г. А. Б. Утесов, А. А. Базарханова
В рамках общей постановки задачи восстановления оператора решена задача дискрети-
зации решений уравнения теплопроводности с начальным условием f из периодического
анизотропного класса Соболева вычислительными агрегатами, построенными по тригоно-
метрическим коэффициентам Фурье
f (m), в метрике пространства L∞,q, q ≥ 2. Найдена
также погрешность εN вычисления тригонометрических коэффициентов Фурье началь-
ного условия f, соответствующих оптимальному вычислительному агрегату, и доказана
неулучшаемость порядка погрешности εN .
DOI: 10.31857/S0374064121120128
1. Постановка задачи. Впервые задача дискретизации рассматривалась Н.М. Коробовым
для уравнения Пуассона [1, с. 185-190]. Затем в работах [2, 3] С.А. Смоляком был предложен
оригинальный метод - метод тензорных произведений классов, позволяющий строить опти-
мальные вычислительные агрегаты в задачах восстановления интеграла, функций и решений
уравнения в частных производных. Впоследствии метод Смоляка и его различные применения
стали предметом изучения многих математиков (см., например, [4], а также [5] и имеющую-
ся в ней библиографию). Задачами дискретизации занимались и китайские математики: в
монографии [6] Хуа Ло Кен и Вань Юань рассмотрели, в частности, уравнение теплопровод-
ности с начальным условием из класса Коробова. Н. Темиргалиевым и его учениками, кроме
уравнений из работ [1, 6], рассматривались и другие классические уравнения математической
физики и в рамках общей постановки задачи восстановления оператора были установлены
точные или близкие к точным порядки погрешности оптимальной дискретизации, а также
найдены предельные погрешности оптимальных вычислительных агрегатов (см., например,
[7] и имеющуюся в ней библиографию).
Приведём общую постановку задачи восстановления оператора в редакции работы [8].
Пусть F - какой-либо класс числовых функций, заданных на множестве ΩF , а Y - неко-
торое нормированное пространство числовых функций, заданных на множестве ΩY , норму
в котором обозначим через ∥ · ∥Y . Для каждого целого N ≥ 1 через {(l(N), ϕN )} обозна-
чим множество всевозможных пар (l(N), ϕN ), где l(N) = (l(1)N, . . . , l(N)N) - набор функционалов
l(1)N : F → C, ..., l(N)N : F → C, а ϕN - функция ϕN(z1,... ,zN ;y) : CN ×ΩY → C, которая при
всяком фиксированном (z1, . . . , zN ) ∈ CN как функция от переменной y принадлежит прост-
ранству Y. Далее при каждой фиксированной f ∈ F функцию ϕN (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); y) от
переменной y, определяемую парой (l(N), ϕN ), будем называть вычислительным агрегатом.
Всюду ниже для любого числа A и положительного числа B запись A
≪ B будет озна-
α,β,...
чать существование постоянной C(α, β, . . .) > 0, зависящей лишь от указанных под знаком ≪
параметров, такой, что |A| ≤ C(α, β, . . .)B. Отсутствие под знаком ≪ параметров означает,
что постоянная может быть выбрана одной и той же для всех рассматривающихся парамет-
ров. Для положительных чисел A и B одновременное выполнение соотношений A
≪ B и
α,β,...
B ≪
A записывается в виде A ≻≺ B.
α,β,...
α,β,...
1705
1706
УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА
Пусть заданы класс F, пространство Y и оператор T : F → Y. Тогда для множества
DN ⊂ {(l(N),ϕN )} положим
δN (DN;T;F)Y =
inf
δN((l(N),ϕN );T;F)Y ,
(1)
(l(N),ϕN )∈DN
где
δN ((l(N),ϕN );T;F)Y = sup ∥(Tf)(·) - ϕN (l(1)N(f),... ,l(N)N(f);·)∥Y .
f ∈F
Задача восстановления оператора T f вычислительными агрегатами
(l(N), ϕN ) ≡ ϕN (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); ·)
в метрике пространства Y заключается в установлении точного порядка величины (1) (т.е. в
нахождении последовательности {ψN }N≥1 положительных чисел, удовлетворяющей соотно-
шению δN (DN ; T ; F )Y ≻≺ ψN ) и в указании такого вычислительного агрегата (l(N), ϕN ) ≡
≡ ϕN(l(1)N (f),...,l(N)N(f);·), для которого δN((l(N),ϕN);T;F)Y ≻≺ ψN (в этом случае вычис-
лительный агрегат (l(N), ϕN ) называется оптимальным).
Пусть u(t, x; f) - решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
∂u
∂2u
∂2u
=
+...+
,
0 ≤ t < +∞, x = (x1,...,xs)т ∈ Rs,
∂t
∂x21
∂x2s
с 1-периодическим начальным условием u(0, x; f) = f(x), разлагающимся в абсолютно сходя-
∑
щийся тригонометрический ряд Фурьеm∈Z
f (m) exp(2πi(m, x)), где
∫
f (m) =
f (x) exp(-2πi(m, x)) dx.
[0,1]s
Тогда имеет место следующее равенство (см., например, [9, лемма В]):
∑
u(t, x; f) =
f (m) exp(-4π2(m, m)t) exp(2πi(m, x)).
(2)
m∈Zs
Поэтому возникает задача дискретизации решений u(t, x; f) вычислительными агрегата-
ми, построенными по тригонометрическим коэффициентам Фурье
f (m(1)), . . .
f (m(N)) объё-
ма N, где m(1) ∈ Zs, . . . , m(N) ∈ Zs. Задача дискретизации бесконечного объекта (в нашем
случае решения дифференциального уравнения или ряда) состоит в его приближении простым
(в некотором смысле) конечным объектом и в указании точности предложенного приближе-
ния.
В данной работе эта задача изучается в рамках сформулированной выше задачи восста-
новления оператора при (необходимые определения даны ниже в п. 2)
(T f)(·) = u(· ; f), F = Wr1,...,rs2[0, 1]s, Y = L∞,q ≡ L∞,q([0, +∞) × [0, 1]s),
DN = ΦN ≡ {(l(N),ϕN ) : l(1)N(f)
f (m(1)), . . . , l(N)N(f)
f (m(N))}.
Задачи дискретизации решений u(t, x; f) в других конкретизациях F, Y и DN изу-
чены в работах [9-11]. В них в качестве классов F, содержащих начальные условия, рас-
сматривались периодические изотропные классы Никольского-Бесова, Коробова и Соболе-
ва. В [12] в задачах дискретизации решений уравнений в частных производных впервые был
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
1707
рассмотрен анизотропный класс Соболева Wr1,...,rs2[0, 1]s и найден точный порядок погреш-
ности дискретизации при Y
= L∞,2 и DN = PN ≡ {(l(N),ϕN) : l(τ)N(f) = f(ξ(τ)N), τ =
= 1, N }, где ξ(1)N ∈ [0, 1]s, . . . , ξ(N)N ∈ [0, 1]s. Рассмотрение анизотропного класса Соболе-
[0, 1]s точ-
ва Wr1,...,rs2[0, 1]s обусловлено тем, что в случае изотропного класса Соболева
2
ный порядок δN (ΦN ; (T f)(·) = u(· ; f); Wr2[0, 1]s)L∞,2 ≻≺ N-r/s ухудшается с увеличением
размерности s, а в случае анизотропного класса Соболева Wr1,...,rs2[0, 1]s точный порядок
δN (ΦN;(Tf)(·) = u(·;f);Wr1,...,rs[0,1]s)L∞,2 ≻≺ N-(1/r1+...+1/rs)-1 не зависит от s. Подчерк-
нём, что в работе [12] задача нахождения предельной погрешности оптимального вычисли-
тельного агрегата не изучалась (эта задача пока остаётся нерешённой).
В настоящей работе при Y = L∞,q, 2 ≤ q ≤ ∞ и DN = ΦN установлен точный порядок
погрешности дискретизации решений u(t, x; f) и найдена предельная погрешность оптималь-
ного вычислительного агрегата ϕN
f (m(1)), . . .
f (m(N)); t, x).
2. Необходимые определения и полученные результаты. Сначала условимся об
используемых обозначениях и приведём определения класса Wr1,...,rs2[0, 1]s и пространства
L∞,q([0;+∞)×[0,1]s). Для конечного множества E через |E| обозначаем количество его эле-
ментов. Как обычно, [a] - целая часть числа a. Всюду m = (m1, . . . , ms) ∈ Zs. Для упрощения
записи вместо ∥f∥L∞,q ,
≫
и
≪
будем писать ∥f∥q,
≫
и
≪ соответственно.
s,q,r1,...,rs
s,q,r1,...,rs
s,q,r
s,q,r
Пусть s = 2, 3, . . . и r = (r1, . . . , rs) - вектор с положительными компонентами. Анизотроп-
[0, 1]s по определению состоит из всех суммируемых
ный класс Соболева Wr1,...,rs2 ≡
2
1-периодических по каждой переменной функций f(x) = f(x1, . . . , xs), тригонометрические
коэффициенты Фурье
f (m), m ∈ Zs, которых удовлетворяют условию
∑
f (m)|2( m2r11 + . . . + msrs ) ≤ 1,
m∈Zs
где mi = max{1,|mi|} для каждого i = 1,s.
Нормированное пространство L∞,q ≡ L∞,q([0; +∞) × [0, 1]s), 1 ≤ q ≤ ∞, определяется как
линейное пространство всех функций g : [0, +∞)×Rs → C таких, что для каждого t ∈ [0, +∞)
функция gt(x) = g(t, x) как функция аргумента x ∈ Rs является измеримой, 1-периодической
по каждой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству
∥g∥L∞,q ≡ sup vrai∥g(t, · )∥q < +∞ (L∞[0, 1]s ≡ C[0, 1]s).
t≥0
Приведём определение предельной погрешности (см., например, [7, с. 10]). Предельной по-
грешностью оптимального вычислительного агрегата ϕN(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);·), N ∈ N, на-
зывается последовательность {εN } положительных чисел такая, что:
во-первых, для всех N имеет место соотношение
△N(εN ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y ≻≺ δN (DN ; T ; F )Y ;
(3)
где
△N(εN ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y =
= sup sup {∥(Tf)(·) - ϕN(z1,... ,zN ;·)∥Y : |zi - l(i)N (f)| < εN , i = 1,N} =
f ∈F z1,...,zN
= sup
sup
∥(T f)(·) - ϕN (l(1)N(f) + γ(1)N εN , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N εN ; ·)∥Y ;
f ∈F |γ(1)N|≤1,...,|γ(N)N|≤1
во-вторых, справедливо равенство
△N(ηN εN ;(l(N),ϕN ); T ; F )Y
lim
= +∞
(4)
N→+∞
δN(DN ;T;F)Y
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1708
УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА
для любой сколь угодно медленно возрастающей к +∞ последовательности {ηN }N≥1 поло-
жительных чисел.
Соотношение (3) означает, что при вычислении значений оптимального вычислительного
агрегата ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); ·) функционалl(τ)N(f), τ = 1, N , можно заменить неточными
значениями zτ такими, что |zτ -l(τ)N(f)| < εN (τ = 1, N ), сохраняя при этом точный порядок
погрешности оптимального восстановления. Выполнение же равенства (4) означает неулучша-
емость порядка погрешности εN , так как сколь угодно медленное возрастание к бесконечности
величины εN нарушает точный порядок погрешности восстановления.
Далее для упрощения записи положим (T f)(·) = u(· ; f) и
δN (ΦN;(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]s)L∞,q ≡ δN (ΦN)L∞,q ,
δN ((l(N),ϕN );(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]s)L∞,q ≡ δN ((l(N),ϕN ))L∞,q ,
△N(εN ;(l(N),ϕN);(Tf)(·);Wr1,...,rs2[0,1]s)L∞,q ≡ △N(εN ;(l(N),ϕN))L∞,q .
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть даны числа s (s = 2, 3, . . .), r1 > 0, . . . , rs > 0, q ∈ [2, ∞], а числа λ
и Ni для каждого i = 1,s определены равенствами λ ≡ λ(r1,...,rs) = (1/r1 +...+1/rs)-1 >
∏s
> 1/2 и Ni ≡ Ni(K) = [Kλ/ri ], K ∈ N. Тогда для любого N ≡ N(K) =
(2Ni + 1) имеют
i=1
место соотношения
1/2-1/q
δN (ΦN)L∞,q ≻≺
δN ((l(N),ϕN))L∞,q ≻≺N
,
(5)
s,r,q
s,r,q
Nλ
здесь пара (l(N), ϕN ) состоит из функционаловl(1)N(f) = f(m(1)), . . . ,
l(N)
(f) = f(m(N)) и
N
∑N
функции ϕN (z1, . . . , zN ; t; x) =
zτ exp(2πi(m(τ),x)), а s-мерные целочисленные векторы
τ=1
⋃N
m(1), ... , m(N) такие, что m(i) = m(j) при i = j и
{m(τ)} = AK , где AK = {m ∈
τ=1
∈ Zs : |m1| ≤ N1, ..., |ms| ≤ Ns}.
Теорема 2. Для оптимального вычислительного агрегата ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); ·) вели-
чина εN = N-λ-1/2 является предельной погрешностью, т.е. имеет место соотношение
△N(εN ;(l(N),ϕN))L∞,q ≻≺
δN (ΦN)L∞,q
(6)
s,r,q
и для любой сколь угодно медленно возрастающей к +∞ последовательности {ηK}K≥1 по-
ложительных чисел справедливо равенство
△N(ηN εN;(l(N),ϕN))L∞,q
lim
= +∞.
(7)
K→+∞
δN (ΦN)L∞,q
Тем самым, нами получены следующие результаты:
(i) найден точный порядок погрешности оптимальной дискретизации решений u(t, x; f)
уравнения теплопроводности с начальным условием из анизотропного класса Соболева вы-
числительными агрегатами ϕN
f (m(1)), . . .
f (m(N)); t, x) в метрике пространства L∞,q, 2≤
q ≤ ∞;
(ii) доказано, что функция
∑
ϕN(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);t,x) =
f (m(τ)) exp(-4π2(m(τ), m(τ))t) exp(2πi(m(τ), x))
(8)
τ=1
является оптимальным вычислительным агрегатом;
(iii) выяснено, что при построении оптимального вычислительного агрегата (8) тригономет-
рические коэффициенты Фурье
f (m(τ)), τ = 1, N , можно заменить неточными значениями
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
1709
zτ такими, что |zτ
f (m(τ))| ≤ εN , τ = 1, N , сохраняя при этом точный порядок погрешности
оптимальной дискретизации;
(iv) установлена неулучшаемость порядкa погрешности
εN вычисления коэффициентов
Фурье
f (m(τ)), τ = 1, N .
3. Доказательство теоремы 1. Нам понадобятся следующие две леммы.
Лемма 1 ([13]). Пусть дан вектор (r1, . . . , rs) с положительными компонентами такой,
что λ = (1/r1 + . . . + 1/rs)-1 > 1/2. Тогда тригонометрический ряд Фурье каждой функции
f ∈ Wr1,...,rs2 сходится абсолютно (и равномерно при любом методе суммирования).
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда сходится кратный интеграл
∫
∫
dx1 · · · dxs
(9)
s
2r
s
x2r11 + ... + x
1
1
+
,-
s
Доказательство. Cходимость интеграла (9) в случае s ≥ 4 устанавливается аналогично
случаям s = 2 и s = 3, рассмотренным в [14, с. 104-109]. Лемма доказана.
Приступим к доказательству теоремы 1. Cначала оценим величину δN ((l(N), ϕN ))L∞,q свер-
ху. Так как
∑
ϕN(l(1)N(f),... ,l(N)N(f);t,x) =
f (m(τ)) exp(-4π2(m(τ), m(τ))t) exp(2πi(m(τ), x)) =
τ=1
∑
=
f (m) exp(-4π2(m, m)t) exp(2πi(m, x)),
m∈AK
то, согласно равенству (2) и лемме 1, получаем
∑
u(t, x; f) - ϕN (l(1)N(f) . . . ,l(N)N(f); t, x) =
f (m) exp(-4π2(m, m)t) exp(2πi(m, x)).
m∈Zs\AK
Следовательно, в случае q = 2 при каждом фиксированном t ∈ [0, ∞) в силу равенства
Парсеваля и определения пространства L∞,2 приходим к оценке сверху
1
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥2 ≪
(10)
s,r Nλ
Далее, рассмотрим случай q = ∞. Очевидно, что для каждого t ∈ [0, +∞) справедливо
неравенство
∑
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥∞ ≤
f (m)|,
m∈Zs\AK
откуда, используя неравенства Гёльдера и учитывая определение пространства L∞,∞, имеем
(
)1/2
∑
1
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥∞ ≪
(11)
s,r
s
m∈Zs\AK
m2r11 + ... + msr
Теперь каждому l ∈ Z
⋂ [1, s - 1] поставим в соответствие множество Tl, образованное
всеми векторами (a1, a2, . . . , al) такими, что ai ∈ Z
⋂ [1, s] для каждого i = 1, l. Далее в
случае l = 1 по каждому элементу (a1, a2, . . . , al) ∈ Tl, удовлетворяющему неравенству a1 <
< a2 < ... < al, определим множество A(a1,a2,...,al), состоящее из векторов (m1,...,ms) ∈ Zs
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1710
УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА
таких, что |mi| > Ni, если i ∈ {a1, a2, . . . , al}, и |mi| ≤ Ni, если i ∈ (Z
⋂ [1, s])\{a1, a2, . . . , al}.
⋃s-1
Очевидно, что Zs\AK = (
Bl)
⋃A∗, где
l=1
⋃
Bl =
A(a1,...,al),
A∗ = {(m1,... ,ms) ∈ Zs : |m1| > N1, ... ,
|ms| > Ns}.
(a1,...,al)∈Tl
Следовательно,
∑
∑
∑
∑
1
1
1
≤
+
(12)
2rs
2r
s
s
m2r11 + ... + m
s
m2r11 + ... + m
s
m2r11 + ... + msr
m∈Zs/AK
l=1 m∈Bl
m∈A∗
Рассмотрим кратный интеграл
∫
∫
dx1 · · · dxs
s
x2r11 + ... + xsr
N1
Ns
Проведя в этом интеграле замену переменных xi = Niui, i = 1, s, получим
∫
∫
∫
∫
dx1 · · · dxs
N1 ... Ns
du1 · · · dus
N
≤
≪
,
(13)
N2λ
s,r N2λ
x2r11 + ... + xsrs
u2r11 + ... + usrs
N1
Ns
1
1
∏s
∫+∞
∫+∞
поскольку
Ni ≻≺
N и интеграл
i=1
1
1
(u2r11 + . . . + usrs )-1du1 · · · dus, согласно
s
лемме 2, сходится при λ > 1/2.
Так как
∫
∫
∑
1
dx1 · · · dxs
≪
,
2r1
s
m
+...+ msrs
s,r
m∈A∗
1
x2r11 + ... + xsr
N1
Ns
то в силу оценки (13) имеем
∑
1
N
≪
(14)
2r1
m
+...+ msrs
s,r N2λ
m∈A∗
1
Пусть U - декартово произведение множеств [0, Ni], i ∈ (Z
⋂ [1, s])\{a1, a2, . . . , al}, а V -
множеств [Ni, +∞), i ∈ {a1, a2, . . . , al} (здесь, как и выше, при l = 1 предполагается выпол-
нение неравенств a1 < a2 < . . . < al). Тогда
}
∫
∫
∑{
1
dx1 · · · dxs
:m∈A(a1,a2,...,al)
≪
≪
2r1
m
+...+ msrs
s,r
+...+xsrs
s,r
m
1
x2r11
U V
(
∫
∫
∏
dxa1 · · · dxal
≪
Ni
≪
s,r
⋂
(xa1 )2ra1 + . . . + (xa
)2ral
s,r
i∈(Z
[1,s])\{a1,a2,...,al}
l
Na1
Nal
(замена переменных xa1 = Na1 u1, . . . , xal = Nal ul)
(
∫
∫
∏
)(l∏
1
du1 · · · dul
≪
Ni
Naτ
,
s,r N2λ
⋂
i∈(Z
[1,s])\{a1,a2,...,al}
τ=1
u2ra11 + ... + ulral
1
1
+
,-
l
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
1711
отсюда в силу равенства
(
) ∏s
∏
)(l∏
Ni
Naτ
= Ni
⋂
i∈(Z
[1,s])\{a1,a2,...,al}
τ=1
i=1
∏s
и соотношения
Ni ≻≺ N с учётом сходимости последнего интеграла при λ > 1/2 по-
i=1
s,r
лучим
}
∑{
1
:m∈A(a1,a2,...,al)
≪ N/N2λ.
2r1
m
+...+ msrs
s,r
m
1
Стало быть, справедливо соотношение
∑∑
1
N
≪
(15)
s,r N2λ
l=1 m∈Bl
m2r11 + ... + msrs
Из соотношений (11), (12), (14) и (15) вытекает, что
1/2
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥∞ ≪N
(16)
s,r Nλ
Хорошо известно, что для любой функции g ∈ C[0, 1]s при q ∈ [2, ∞] имеет место нера-
венство (см., например, [15, с. 50])
∥g∥q ≤ ∥g∥2/q2 ∥g∥1-2/q∞ .
(17)
Следовательно, в силу (10), (16) и (17) получаем
1/2-1/q
N
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥q ≪
,
(18)
s,r,q
Nλ
откуда, поскольку переменная t и функция f произвольны, заключаем, что
1/2-1/q
N
δN ((l(N),ϕN ))L∞,q ≪
,
q ∈ [2,∞].
(19)
s,r,q
Nλ
Оценим величину δN (ΦN )L∞,q снизу. Пусть заданы число N (N = 2, 3, . . .), функционалы
l(1)N(f)
f (m(1)), . . . , l(N)N(f)
f (m(N)) и функция ϕN (z1, . . . , zN ; ·) - алгоритм переработки
числовой информации объёма N.
Введём в рассмотрение функцию
∑
1
fN(x) =
√
exp(2πi(m, x)),
Nλ
N
m∈CN \BN
где CN = {m ∈ Zs : |m1| ≤ [Nλ/r1 ], . . . , |ms| ≤ [Nλ/rs ]}, BN = {m(1), m(2), . . . , m(N)} ⊂ Zs.
При∑
∑
1≤
1 < 3sN имеем
венствm∈CN \BN
m∈CN
∑
∑
C2
fN(m)|2(m2r11 + ... + msrs) =
(m2r11 + . . . + msrs ) ≤
N
2λN
m∈CN \BN
m∈CN \BN
2
∑
C
≤
((Nλ/r1 )2r1 + . . . + (Nλ/rs )2rs ) < s3sC2.
N2λN
m∈CN \BN
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1712
УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА
∏s
√
Так как
[Nλ/ri ] ≻≺
N и ∥fN∥∞ ≫
N /Nλ, то вследствие неравенства Никольского
i=1
s
s,r
[16, с. 256] получаем
1/2-1/q
N
∥fN ∥q ≫
(20)
s,r
Nλ
В силу включения CfN ∈ Wr1,...,rs2 и равенств u(0, x; CfN ) = CfN (x), lN1)(CfN ) = 0,
..., l(N)N(CfN) = 0 имеет место следующая цепочка неравенств:
sup
∥u(· ; f) - ϕN (l(1)N(f), . . . , l(N)N(f); ·)∥L∞,q ≥
f ∈Wr1,...,rs
2
≥ max{∥(CfN)(·) - ϕN (0,... ,0;0,·)∥q,∥(-CfN)(·) - ϕN (0,... ,0;0,·)∥q} ≥
1
≥
(∥(CfN )(·) - ϕN (0, . . . , 0; 0, ·)∥q + ∥(-CfN )(·) - ϕN (0, . . . , 0; 0, ·)∥q ) ≥ ∥CfN ∥q.
2
Отсюда, принимая во внимание соотношение (20), получаем
1/2-1/q
N
δN (ΦN)L∞,q ≫
(21)
s,r
Nλ
Так как очевидно неравенство δN (ΦN )L∞,q ≤ δN ((l(N), ϕN ))L∞,q , то из (19) и (21) вытекают
соотношения (5). Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Для произвольно заданных чисел γ(τ)N таких, что |γ(τ)N| ≤
≤ 1 (τ = 1,N) и для каждого фиксированного t ∈ [0,∞) справедливо неравенство
∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f) + γ(1)N εN , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N εN ; t, ·)∥q ≤
≤ ∥u(t, · ; f) - ϕN (l(1)N (f), . . . ,l(N)N(f); t, ·)∥q +
∑
+
(-γ(τ)N)εN exp(-4π2(m(τ), m(τ))) exp(2πi(m(τ), · ))
(22)
.
τ=1
q
В силу (17), (18) и (22) имеет место соотношение
N1/2-1/q
(t, · ; f) - ϕN (l(1)N(f) + γ(1)N εN , . . . ,l(N)N(f) + γ(N)N εN ; t, ·)
≪
,
u
s,r,q
Nλ
q
откуда, поскольку переменная t, числа γ(τ)N, τ = 1, N , и функция f произвольны, следу-
ет, что
1/2-1/q
△N(εN ;(l(N),ϕN))L∞,q ≪N
,
q ∈ [2,∞].
(23)
s,r
Nλ
Так как
δN (ΦN)L∞,q ≤ δN((l(N),ϕN))L∞,q ≤ △N(εN ;(l(N),ϕN))L∞,q ,
то вследствие (21) и (23) приходим к соотношению (6).
Теперь убедимся в справедливости равенства (7). Для каждого K ∈ N определим мно-
жество HK = {m ∈ Zs : |m1| ≤ [Nλ/r1 β-α/r1K ], . . . , |ms| ≤ [Nλ/rs βKα/rs ]}, где N = N(K),
βK = min{ηN ,ln(N + 1)} и α - некоторое число из интервала (2λ/(2λ + 1),λq/(q - 1)). Здесь
же заметим, что условие λ > 1/2 обеспечивает выполнение неравенства
2λ/(2λ + 1) < λq/(q - 1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
1713
Так как lim
βK = +∞, то существует номер K0 такой, что для всех K ≥ K0 имеет
K→+∞
место неравенство βK ≥ 1.
∑
Для каждого K ≥ K0 функция hK (x) = (3ss)-1/2βK ε
exp(2πi(m, x)) принад-
N m∈HK
|HK | < 3sNβ-α/λK, 2α - 2 +
лежит классу Wr1,...,rs2. Действительно, используя неравенства
+ α/λ > 0 и βK ≥ 1 (K ≥ K0), имеем
∑
∑
|ĥK(m)|2(m2r11 + ... + msrs ) =
|ĥK(m)|2(m2r11 + ... + msrs ) ≤
m∈Zs
m∈HK
∑
∑
β2K ε2N
1
1
≤
sN2λβ-2αK =
β2-2α
1≤
≤ 1.
K
3ss
3sN
β2α-2+α/λ
m∈HK
m∈HK
K
Так как ∥hK ∥∞ ≫
βK εN|HK| и Nβ-α/λK < |HK|, то ∥hK∥∞ ≫
N-λ+1/2β1-α/λK. Поэтому в
s
s
силу неравенства Никольского и соотношения (5) получаем, что
∥hK ∥q ≫
δN (ΦN)L∞,q β1-α(1-1/q)/λK.
(24)
s
Для каждого K ≥ K0 определим наборы (γ(1)N, . . . , γ(N)N) и (ω(1)N, . . . , ω(N)N), где N = N(K),
с компонентами γ(τ)N = -ĥK (m(τ))(εN ηN )-1, τ = 1, N , и ω(τ)N = -(-ĥK )(m(τ))(εN ηN )-1, τ =
= 1, N . Так как для каждого τ = 1, N выполнены неравенства |γ(τ)N| ≤ 1,
|ω(τ)N| ≤ 1 и равен-
стваĥK (m(τ)) + ηN γ(τ)N εN = 0,
(-ĥK )(m(τ)) + ηN ω(τ)N εN = 0, то для всякой пары (l(N), ϕN ) ∈
∈ ΦN будем иметь
sup
sup
∥u(· ; f) - ϕN
f (m(1)) + γ(1)NηN εN , . . .
f (m(N)) + γ(N)NηN εN ; ·)
≥
L∞,q
(1)
f ∈Wr1,...,rs
2
|γN |≤1
|γ(N)N|≤1
≥ max{∥hK(·) - ϕN (ĥK(m(1)) + γ(1)NηN εN ,... ,ĥK(m(N)) + γ(N)NηN εN ;0,·)∥,
∥(-hK )(·) - ϕN ((-ĥK )(m(1)) + ω(1)NηN εN , . . . , (-hK )(m(N)) + ω(N)NηN εN ; 0, · )∥q } =
= max{∥hK(·) - ϕN (0,... ,0;0,·)∥q,
∥(-hK )(·) - ϕN (0, . . . , 0; 0, · )∥q } ≥ ∥hK ∥q.
(25)
Сопоставляя соотношения (24) и (25), заключаем, что
△N(ηN εN;(l(N),ϕN ))L∞,q ≫
δN(ΦN )L∞,q β1-α(1-1/q)/λK,
s
откуда, поскольку 1 - αλ-1(1 - 1/q) > 0, следует равенство (7). Теорема 2 доказана.
Замечание. Так как равенство (7) доказано для каждой пары (l(N), ϕN ) ∈ ΦN , то ника-
кой оптимальный вычислительный агрегат ϕN
f (m(1)), . . .
f (m(N)); ·), N = N(K), не имеет
большей (по порядку) предельной погрешности, чем εN .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М., 1963.
2. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых
классов функций // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1042-1045.
3. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: дис
канд.
физ.-мат. наук. М., 1965.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1714
УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА
4. Sickel W., Ullrich T. The Smolyak’s algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of
dominating mixed smoothness // East J. Approx. 2007. V. 13. № 4. P. 287-425.
5. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С.С., Шоманова А.А. Применение квадратурных формул Смоляка
к численному интегрированию коэффициентов Фурье и в задачах восстановления // Изв. вузов.
Математика. 2010. № 3. С. 52-71.
6. Loo Keng Hua, Yang Wang. Application of Number Theory to Numerical Analysis. Berlin; Heidelberg;
New York, 1981.
7. Темиргалиев Н., Таугынбаева Г.Е., Абикенова Ш.К. Дискретизация решений уравнений в частных
производных в контексте Компьютерного (вычислительного) поперечника // Вестн. Евразийского
нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2019. Т. 126. № 1. С. 8-51.
8. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам анализа.
Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестн.
Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 1997. № 3. С. 90-144.
9. Ажгалиев Ш. О дискретизации решений уравнения теплопроводности // Мат. заметки. 2007. Т. 82.
№ 2. С. 177-182.
10. Шерниязов К.Е. Приближенное восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с
функциями распределения начальных температур из классов E, SW и B: дис
канд. физ.-мат.
наук. Алматы, 1998.
11. Таугынбаева Г.Е. О предельной погрешности неточной информации при оптимальной дискретиза-
ции решений уравнения теплопроводности по тригонометрическим коэффициентам Фурье // Вестн.
Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2010. Т. 79. № 6. С. 35-48.
12. Утесов А.Б. Задача восстановления функций и интегралов на обобщенных классах и решений
уравнения теплопроводности: дис
канд. физ.-мат. наук. Алматы, 2001.
13. Утесов А.Б., Абдыкулов А.Т. Полное К(В)П-исследование задачи восстановления функций из ани-
зотропных классов Соболева по неточным значениям их тригонометрических коэффициентов Фу-
рье // Вестн. Евразийского нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2018. № 1 (122).
С. 90-98.
14. Ляшко И.И.и др. Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Т. 3. М., 2001.
15. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
им. В.А. Стеклова. 1986. Т. 178. С. 3-113.
16. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории
дифференцируемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1951. Т. 38.
С. 244-278.
Актюбинский региональный университет
Поступила в редакцию 06.05.2021 г.
им. К. Жубанова, г. Актобе, Казахстан,
После доработки 26.08.2021 г.
Назарбаев Университет,
Принята к публикации 08.09.2021 г.
г. Нур-Султан, Казахстан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021