ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1715-1718
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.927.25
О КРАТНОМ СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
БЕССЕЛЯ С КВАДРАТОМ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ
© 2021 г. Е. И. Моисеев, Т. Е. Моисеев, Н. Ю. Капустин
Рассматривается задача для уравнения Бесселя целого порядка с комплексным физиче-
ским и спектральным параметрами в граничном условии. Спектральный параметр в гра-
ничное условие входит квадратично. Изучается вопрос базисности системы собственных
функций.
DOI: 10.31857/S037406412112013X
В работе [1] рассмотрена спектральная задача для уравнения Бесселя нулевого порядка
1
U′′(r) +
U′(r) + λU(r) = 0,
0 < r < 1,
(1)
r
с граничным условием
U′(1) = dλ2U(1),
(2)
содержащим спектральный параметр λ и комплексный коэффициент d, d = 0. Предполагая
ограниченность решения уравнения (1), получаем систему собственных функций
√
Un(r) = J0(
λnr), n = 1,2,3,... ,
задачи (1), (2), отвечающих её собственным значениям λn - корням характеристического урав-
нения
√
√
√
J′0(
λ) = d(
λ)3J0(
λ).
(3)
Для всех собственных значений задачи (1), (2) считаем выполненным условие
√
-π/2 < arg
λn ≤ π/2, n = 1,2,3,...
Через R0 обозначим множество корней трансцендентного уравнения
-4J0(z)J′0(z) = z[J20(z) + (J′0(z))2].
(4)
Доказано, что кратные корни уравнения (3) удовлетворяют также уравнению (4), и установле-
на базисность системы собственных функций задачи (1), (2) как в случае появления кратного
корня, так и в случае, когда все собственные значения простые, а именно, получены следующие
результаты (теоремы 1-3).
Теорема 1. Пусть d ∈ {J′0(z)/(z3J0(z)) : z ∈ R0}. Тогда система, полученная из системы
{√rUn(r) : n ∈ N} собственных функций задачи (1), (2), умноженных на весовой множитель
√r, удалением любых двух функций, является базисом Рисса в пространстве L2(0,1). Для
системы {√rUn(r) : n ∈ N \ {m,l}}, где m, l - номера удалённых функций, биортогонально
сопряжённая к ней система {√rVn(r) : n ∈ N \ {m,l}} задаётся формулой
[
]
√
√
√
(λn - λm)J0(√λn)
(λn - λl)J0(√λn)
Vn(r) = A-1n J0(
λnr) -
λlr) -
λmr) ,
(λl - λm)J0(√λl)J0(
(λm - λl)J0(√λm)J0(
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1716
МОИСЕЕВ Е.И. и др.
где
∫1
√
√
√
√
(1+d2λ3n)
An = rJ20(
λnr)dr + 2dλnJ20(
λn) =
J20(
λn) + 2dλnJ20(
λn).
2
0
Теорема 2. Если d = J′0(z)/(z3J0(z)), где z ∈ R0, то система {√rUn(r) : n ∈ N\{l}} соб-
ственных функций задачи (1), (2), умноженных на весовой множитель
√r, без одной функ-
ции, соответствующей кратному собственному значению λl = z2 (кратность для этой
задачи всегда равна двум), образует базис Рисса в пространстве L2(0, 1). Биортогонально
сопряжённая система {√rVn(r)} к этой системе определяется по формуле
[
(
]
√
√
(λl - λn)J0(√λn)
(λl - λn)Zl(1))J0(√λn)
Vn(r) = A-1n J0(
λnr) -
Zl(r) -
1-
√
λlr) ,
J0(√λl)
J0(
λl)
J0(√λl)J0(
где n ∈ N \ {l} и
rJ1(√λlr)
Zl(r) =
√
2
λl
Теорема 3. Если d = J′0(z)/(z3J0(z)), где z ∈ R0, то система {√rUn(r) : n ∈ N \ {m}}
собственных функций задачи (1), (2), умноженных на весовой множитель
√r, без одной
функции, соответствующей простому собственному значению λm, при наличии кратно-
го корня λl = z2, m = l, образует базис Рисса в пространстве L2(0,1). Биортогонально
сопряжённая система {√rVn(r)} к этой системе задаётся формулами
[
]
√
Zαl(1)
Vl(r) = A-1l Zαl(r) -
λmr) ,
J0(√λm)J0(
[
]
√
√
√
(λn - λm)J0(√λn)
(λn - λl)J0(√λn)
Vn(r) = A-1n J0(
λnr) -
λlr) -
λmr) , n = l,
(λl - λm)J0(√λl)J0(
(λm - λl)J0(√λm)J0(
где n ∈ N \ {m} и
√
rJ1(√λlr)
J0(√λl)
Zαl(r) =
+ αJ0(
λlr), Zαl(1) =
,
2√λl
λl - λm
∫1
√
√
Al = rZαl(r)J0(
λlr)dr + d(λl + λm)Zαl(1)J0(
λl).
0
Доказательства этих теорем проводятся по схемам, разработанным в статьях [2, 3], с ис-
пользованием результатов работ [4, 5]. Построение биортогонально сопряжённых систем осно-
вывается в свою очередь на равенствах
1
∫
√
√
√
√
rJ0(
λnr)J0(
λkr)dr + d(λn + λk)J0(
λn)J0(
λk) = 0,
0
∫
1
√
√
√
√
rJ0(
λnr)Zl(r)dr + d(λn + λl)J0(
λn)Zl(1) - dJ0(
λn)J0(
λl) = 0,
0
в которых λn, λk и λl - различные собственные значения задачи (1), (2), причём λl - кратный
корень.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О КРАТНОМ СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ
1717
Функция Zl(r) - это присоединённая функция для собственной функции Ul(r) с крат-
ным собственным значением. Действительно, пусть z ∈ R0, d = J′0(z)/(z3J0(z)), λl = z2.
Рассмотрим задачу для присоединённой функции
1
Z′′l(r) +
Z′l(r) + λZl(r) = Ul(r),
0 < r < 1,
(5)
r
Z′l(1) = dλ2Zl(1) - 2dλUl(1).
(6)
Решением задачи (5), (6) в случае собственной функции Ul(r) = J0(√λlr) является корневая
функция
rJ1(√λlr)
√
Zαl(r) =
√
+ αJ0(
λlr),
2
λl
где α - любое комплексное число.
Задача (1), (2) имеет кратный корень при действительном значении параметра d. Это
следует из того, что уравнение (4) имеет действительный корень.
В настоящей работе рассматриваем спектральную задачу для уравнения Бесселя целого
порядка
(
)
1
n2
R′′(r) +
R′(r) + λ -
R(r) = 0,
0 < r < 1,
(7)
r
r2
с граничным условием
R′(1) = dλ2R(1),
(8)
соответствующим условию (2). Через
√
Rk(r) = Jn(
λkr), k = 1,2,3,... ,
обозначим систему собственных функций задачи (7), (8), отвечающих её собственным значе-
ниям λk - корням характеристического уравнения
√
√
√
J′n(
λ) = d(
λ)3Jn(
λ).
(9)
Для кратных корней уравнения (9) аналогично случаю n = 0 выводится уравнение
-4Jn(z)J′n(z) + n2J2n(z) = z[J2n(z) + (J′n(z))2].
(10)
Доказывается, что корни уравнения (10) простые при n = 0 (при n = 0 значение z = 0 -
кратный корень). Действительно, условие для кратного корня уравнения (10) определяется
равенством
(n2 - z2)J2n(z) + 3z2(J′n(z))2 = 0.
Множество корней уравнения (10) обозначим через Rn.
Имеет место
Теорема 4. Пусть d ∈ {J′n(z)/(z3Jn(z)) : z ∈ Rn}. Тогда система, полученная из сис-
темы {√rRk(r) : k ∈ N} собственных функций задачи (7), (8), умноженных на весовой
множитель
√r, удалением любых двух функций, является базисом Рисса в пространстве
L2(0,1). Для системы {√rRk(r) : k ∈ N \ {m,l}}, где m, l - номера удалённых функций,
биортогонально сопряжённая к ней система {√rWk(r) : k ∈ N \ {m,l}} задаётся формулой
[
]
√
(λk - λm)Jn(√λk)
√
(λk - λl)J0(√λk)
√
Wk(r) = A-1k Jn(
λkr) -
λlr) -
λmr) ,
(λl - λm)Jn(√λl)Jn(
(λm - λl)Jn(√λm)Jn(
где
∫1
√
√
(1+d2λ3k)
√
√
Ak = rJ2n(
λkr)dr + 2dλkJ2n(
λk) =
J2n(
λk) + 2dλkJ2n(
λk).
2
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
9∗
1718
МОИСЕЕВ Е.И. и др.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Рос-
сийской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной
и прикладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621 и при частичной финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 20-51-18006 Болг-а,
18-29-10085 мк).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Kapustin N.Yu. On the multiple spectrum of a problem for the Bessel
equation // Integral Transforms and Special Functions. 2020. V. 31. № 12. P. 1020-1024.
2. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. О кратном спектре задачи для уравнения Бесселя со спектральным
параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1426-1430.
3. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, от-
вечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-
нения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.
4. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснозначным коэффициентом и спектральным
параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 5. С. 701-706.
5. Капустин Н.Ю. О двух спектральных задачах с одним характеристическим уравнением // Диф-
ференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 962-964.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 02.11.2021 г.
им. М.В. Ломоносова,
После доработки 22.11.2021 г.
Федеральный исследовательский центр
Принята к публикации 23.11.2021 г.
“Информатика и управление” РАН, г. Москва
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
