ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.147-152
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.42
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ГИПОТЕЗЫ
В ТЕОРИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ИЗОХРОННЫХ
ЦЕНТРОВ СИСТЕМ ЛЬЕНАРА
© 2021 г. В. В. Амелькин
Рассматривается полиномиальная система Льенара x = -y,
y = x+A(x)-B(x)y в пред-
положении, что вещественные полиномы A(x), B(x) и производная A′(x) удовлетворяют
условиям A(0) = B(0) = A′(0) = 0. Доказывается, что эта система имеет в особой точке
O(0, 0) изохронный центр тогда и только тогда, когда полиномы A(x) и B(x) являются
∫x
нечётными функциями и связаны между собой тождеством x3A(x) = (
sB(s)ds)2.
0
DOI: 10.31857/S0374064121020011
Рассмотрим вещественное полиномиальное уравнение Льенара
x + B(x)x + x + A(x) = 0,
(1)
полиномы A(x) и B(x) в котором задаются равенствами
∑
∑
A(x) = Akxk, B(x) = Bjxj , An = 0, B(x) ≡ 0,
k=2
j=1
где n ≥ 3 - нечётное число, r ≤ n - 1.
Уравнение (1) всесторонне изучалось и изучается с самых разных точек зрения. Обычный
приём здесь - переход к эквивалентной ему двумерной автономной системе. Одной из таких
систем является система Льенара в так называемой первой форме
x = -y,
y = x + A(x) - B(x)y.
(2)
Другой является система [1]
x = -y - xΦ(x),
y = x - yΦ(x) + A(x) - xΦ2(x),
(3)
где
x
∫
1
Φ(x) =
sB(s)ds.
x2
0
Заметим, что система (2) переводится в систему (3) (с сохранением в последней обозначений
для исходных фазовых переменных) заменой координат
u = x, v = y - xΦ(x).
Напомним, что центр O(0, 0) системы (2) (или, что то же самое, системы (3)) называется
изохронным, если период обхода изображающей точкой каждого цикла из области этого центра
равен 2π.
В работах [2, 3] и [1, 4] в соответственно полиномиальном и голоморфном случаях доказано,
что если функции A(x) и B(x) нечётные, то при условии
(∫x
)2
1
A(x) =
sB(s)ds
(4)
x3
0
147
148
АМЕЛЬКИН
система (3) принимает вид
x = -y - xΦ(x),
y = x - yΦ(x),
(5)
и это условие является необходимым и достаточным условием изохронности центра O(0, 0)
системы (2).
Замечание. Из вида системы (5) следует, что точка O(0, 0) является единственной конеч-
ной вещественной особой точкой этой системы и, следовательно, единственной особой точкой
системы (2).
Гипотеза [2, 3] (см. также [4]). Система (2) с полиномиальными функциями A(x) и B(x)
имеет в особой точке O(0,0) изохронный центр тогда и только тогда, когда выполняется
равенство (4) и B(x) - нечётная функция.
Пусть далее y+ и y- - соответственно положительная и отрицательная полуоси оси Oy
прямоугольной декартовой системы координат xOy. Изохронный центр O(0, 0) системы (2)
называется сильно изохронным, если дополнительно изображающая точка, выходящая из точ-
ки полуоси y+, пересечёт полуось y- через время π.
Эквивалентным приведённому определению является следующее определение.
Центр O(0, 0) системы (2) называется сильно изохронным, если диффеоморфизм на R2
u = x, v = y-xΦ(x) (x = u, y = v+uΦ(u)) переводит систему (2) в систему u = -v-uΦ(u),
v = u - vΦ(u).
Эквивалентность приведённых определений следует из работ [5, 6].
Отметим, что в работе [7, теорема 3.3.2] в голоморфном (полиномиальном) случае, а так-
же в [6] в голоморфном и полиномиальном (замечание 1) случаях, доказано, что нечётность
функции B(x) и выполнение равенства (4) являются необходимыми и достаточными услови-
ями того, чтобы система (2) имела в особой точке O(0, 0) сильно изохронный центр. Поэтому
приведённую гипотезу можно переформулировать следующим образом: изохронный центр
O(0, 0) полиномиальной системы Льенара (2) является сильно изохронным центром.
По поводу сформулированной гипотезы в работе [8], в частности, отмечается: “. . . имеются
достаточно веские основания считать, если говорить о полиномиальных системах Льенара,
что других случаев изохронности не существует, хотя этого пока никто не может доказать”.
Обращаясь к этой гипотезе, авторы работы [4] смогли доказать, используя систему
REDUCE, её справедливость для полиномиальных систем Льенара с полиномами A(x) и B(x)
степени не выше 34-й.
В настоящей работе получено полное доказательство приведённой гипотезы. Перейдём к
его изложению.
В работе [9] в голоморфном случае системы Льенара доказано следующее утверждение:
существует вещественная замена переменных
∑
∑
u=x+ αkxk, v=y+ βkxk,
k=2
k=2
переводящая систему
)
∑
(∞∑
x = -y,
y=x+ Akxk -
Bjxj y
k=2
j=1
в окрестности особой точки O(0, 0) в систему вида
(
)(
∑
∑
)-1
u=- v+u γs-1us-1
1+ Hsus-1
,
s=2
s=2
(
)(
)-1
∑
∑
v= u-v γs-1us-1
1+ Hsus-1
(6)
s=2
s=2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ГИПОТЕЗЫ
149
Покажем, какие результаты можно получить, основываясь на приведённом утверждении,
в случае полиномиальной системы (2), когда диффеоморфизм на R2 задаётся соотношениями
∑
∑
u=x+ αkxk, v=y+ βkxk.
(7)
k=2
k=2
Для этого, как и в голоморфном случае [9], будем использовать метод неопределённых
коэффициентов. Сначала дифференцируем каждое из тождеств (7) по t в силу системы (2),
а затем полученные равенства приводим с учётом соотношений (6) и (7) к системе
∑
∑
∑
)s-1
∑
∑
∑
)s-1}
y
kαkxk-1
+ Hs x+ αkxk
+ kαkxk-1
Hs x + αkxk
≡
k=2
s=2
k=2
k=2
s=2
k=2
)s
∑
∑
∑
≡ βkxk
+ γs-1 x+ αkxk
,
k=2
s=2
k=2
∑
∑
∑
∑
)s-1
(Ak - αk)xk + x + Akxk
Hs x + αkxk
+
k=2
k=2
s=2
k=2
∑
∑
∑
)s-1
∑
+ βkxk
γs-1
x+ αkxk
≡y
(Bk-1 + kβk)xk-1 +
k=2
s=2
k=2
k=2
)s-1
)s-1}
∑
∑
∑
∑
∑
+ (Bk-1 + kβk)xk-1
Hs x + αkxk
− γs-1 x+ αkxk
(8)
k=2
s=2
k=2
s=2
k=2
Далее, приравнивая к нулю в первом тождестве системы (8) коэффициенты при yxp, по-
лучаем тождество
)s-1
)-1
∑
∑
Hs x + αkxk
≡ -1 +
1+ kαkxk-1
(9)
s=2
k=2
k=2
Так как отображение (7) - диффеоморфизм на R2, то по теореме о существовании обратной
функции [10, с. 26] и по теореме о производной обратной функции [11, с. 74] заключаем, что
справедливо неравенство
∑
1 + kαkxk-1 > 0 для всех x ∈ R.
(10)
k=2
Следовательно, в правой части тождества (9) стоит рациональная функция, определённая на
всём множестве R. А значит, левая часть тождества (9) - это сходящийся степенной ряд, опре-
деляющий голоморфную на всём множестве R функцию. Теперь на основании (9), (10) и того,
что радиусы сходимости степенного ряда с вещественными коэффициентами в вещественной
и комплексной областях одинаковы (формула Коши-Адамара [12, с. 39; 13, с. 114]), приходим
к выводу, что тождество (9) возможно лишь при выполнении условий
αk = 0, Hs = 0 для всех k,s ≥ 2.
(11)
Приравнивая к нулю в первом тождестве системы (8) коэффициенты при xp, с учётом
условий (11) получаем тождество
∑
∑
βkxk + γs-1xs ≡ 0.
k=2
s=2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
150
АМЕЛЬКИН
Поэтому справедливы соотношения
γs = 0
при всех s > n
(12)
и
γk-1 = -βk, k = 2,n.
(13)
Далее, приравнивая к нулю во втором тождестве системы (8) коэффициенты при yxp, с
учётом равенств (11)-(13) получаем, что
Bk-1
βk = -
,
k = 2,n.
(14)
k+1
Из соотношений (11)-(14) следует, что диффеоморфизм (7) и система (6) принимают со-
ответственно вид
∑
Bk-1
u = x, v = y - x
xk-1
(15)
k+1
k=2
и
∑
∑
Bs-1
Bs-1
u = -v - u
us-1,
v=u-v
us-1.
(16)
s+1
s+1
s=2
s=2
Приравнивая к нулю во втором тождестве системы (8) коэффициенты при xp, с учётом
равенств (11)-(14) приходим к тождеству
∑
∑
∑
Bk-1
Bs-1
Akxk -
xk
xs-1 ≡ 0,
k+1
s+1
k=2
k=2
s=2
или, равносильно, к тождеству
)2
∑
∑
Bs-1
Akxk-1 ≡
xs-1
(17)
s+1
k=2
s=2
Предположим теперь, что точка O(0, 0) - изохронный центр системы (2). Тогда вследствие
теоремы 5 из работы [9] и формул (13), (14) получаем, что имеют место равенства
B2l = 0, l = 1,(n - 1)/2.
(18)
Поэтому соотношения (15) и (16) принимают соответственно следующий вид:
(n-1)/2∑
B2l-1
u = x, v = y - x
x2l-1
(19)
2l + 1
l=1
и
(n-1)/2∑
(n-1)/2∑
B2l-1
B2l-1
u = -v - u
u2l-1,
v=u-v
u2l-1.
(20)
2l + 1
2l + 1
l=1
l=1
Но из тождества (17) вытекает, что полином A(x) - нечётная функция, а значит, справед-
ливы равенства
A2l = 0, l = 1,(n - 1)/2.
(21)
Следовательно, с учётом равенств (18) и (21) тождество (17) запишется в виде
((n-1)/2∑
)2
(n-1)/2∑
B2s-1
A2l+1x2l ≡
x2s-1
(22)
2s + 1
l=1
s=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ГИПОТЕЗЫ
151
Если обратиться теперь к формулировке гипотезы в предположении, что точка O(0, 0) сис-
темы (2) является изохронным центром, то тождество (22) (с нечётной функцией-полиномом
B(x)) оказывается необходимым условием изохронности центра системы (2).
Покажем, что тождество (22) - это и достаточное условие для изохронности центра O(0, 0)
системы (2).
Действительно, указанное тождество с нечётной функцией-полиномом B(x) (а значит, с
нечётным полиномом A(x)) эквивалентно условию (4). Но тогда, как показано, например, в
работах [2, 3], точка O(0, 0) в системе (2) является изохронным центром.
Следовательно, справедлива
Теорема 1. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была изо-
хронным центром, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (4) и полином
B(x) был нечётной функцией.
Таким образом, сформулированная выше гипотеза имеет положительное решение.
Выясним вопрос о максимальной степени полинома B(x) в тождестве (22). Для этого
заметим, что в левой части тождества (22) максимальная степень полинома A(x) равна n-1,
а максимальная степень правой части указанного тождества равна 2r, где r - максимальная
степень полинома B(x). Поэтому имеет место равенство
n-1
r=
,
(23)
2
где
r = 2ρ - 1, ρ ∈ N,
(24)
– нечётное число (в силу нечётности функции-полинома B(x)). Тогда, выражая ρ из со-
отношений (23) и (24), заключаем, что максимальная степень полинома B(x) определяется
формулой (23) при выполнении условия (n + 1)/4 ∈ N, т.е. условия n ≡ 3(mod 4).
Имея же в виду формулы (22)-(24), получаем, что
∑
B2k-1
B2l-2k+1
A2l+1 =
,
l = 1,(n - 1)/2, (n + 1)/4 ∈ N.
(25)
2k + 1 2l - 2k + 3
k=1
Следовательно, на основании теоремы 1, диффеоморфизма (7) на R2, представимого в един-
ственном виде (19), и формулы (25) приходим к выводу, что справедливы следующие утвер-
ждения.
Теорема 2. Для того чтобы система (2) имела в начале координат O(0, 0) изохронный
(а значит, и сильно изохронный) центр, необходимо и достаточно, чтобы между коэффи-
циентами полиномов A(x) и B(x) имела место зависимость (25).
Теорема 3. Для того чтобы система (2) имела в начале координат O(0, 0) изохронный
(а значит, и сильно изохронный) центр, необходимо и достаточно существование веще-
ственного преобразования
∑
B2l-1
u = x, v = y - x
x2l-1, (n + 1)/4 ∈ N,
2l + 1
l=1
переводящего систему (2) в систему
(n-1)/2∑
(n-1)/2∑
B2l-1
B2l-1
u = -v - u
u2l-1,
v=u-v
u2l-1, (n + 1)/4 ∈ N.
2l + 1
2l + 1
l=1
l=1
Пример. Рассмотрим систему
x = -y,
y = x + x3 + 2x7 + x11 - (3x + 7x5)y.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
152
АМЕЛЬКИН
Для этой системы выполняются равенства
)2
(B1
B1 B5
(B5)2
A3 =
,
A7 = 2
,
A11 =
,
3
3
7
7
а значит, согласно теореме 2, её особая точка O(0, 0) является сильно изохронным центром.
Поэтому по теореме 3 диффеоморфизм на R2
u = x, v = y - x2 - x6 (x = u, y = v + u2 + u6)
переводит исходную систему в систему
u = -v - u(u + u5),
v = u - v(u + u5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sabatini M. On the period function of Liénard systems // J. Differ. Equat. 1999. V. 152. P. 467-487.
2. Algaba A., Freire E., Gamero E. Isochronicity via normal form. Preprint. Universidad de Sevilla, 1998.
3. Algaba A., Freire E., Gamero E. Isochronicity via normal form // Qual. Theory of Dynam. Systems.
2000. V. 1. № 2. P. 133-156.
4. Christopher C., Devlin J. On the classification of Liénard systems with amplitude-independent periods
// J. Differ. Equat. 2004. V. 200. № 1. P. 1-17.
5. Руденок А.Е. Сильная изохронность центра. О периодах предельных циклов системы Льенара
// Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 5. С. 811-819.
6. Амелькин В.В. Сильная изохронность системы Льенара // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 5.
С. 579-582.
7. Руденок А.Е. Некоторые применения нормальных форм в теории нелинейных дифференциальных
уравнений на плоскости: дис
канд. физ.-мат. наук. Минск, 1978.
8. Волокитин Е.П., Иванов В.В. Изохронность и коммутируемость полиномиальных векторных полей
// Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 30-48.
9. Амелькин В.В. Об одной гипотезе в теории изохронных систем Льенара // Дифференц. уравнения.
2017. Т. 53. № 10. С. 1283-1289.
10. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 1. Ч. 1. Введение в анализ и дифферен-
циальное исчисление. Минск, 2006.
11. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции вещественных переменных. М., 1972.
12. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 3. Ч. 4. Функциональные последователь-
ности и ряды. Интегралы, зависящие от параметра. Ч. 5. Кратные интегралы. Интегралы по мно-
гообразиям. Минск, 2006.
13. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 4. Ч. 6. Теория аналитических функций
комплексного переменного. Минск, 2008.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 17.04.2020 г.
г. Минск
После доработки 17.04.2020 г.
Принята к публикации 13.10.2020 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
