ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.153-161
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.984
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ
ОПЕРАТОРА ДИРАКА НА ПРЯМОЙ
© 2021 г. А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова
Изучается асимптотика спектра оператора Дирака на прямой с потенциалом из L2. По-
казано, что спектр такого оператора лежит в симметричной относительно вещественной
оси области комплексной плоскости, ограниченной графиком некоторой непрерывной ве-
щественнозначной квадратично суммируемой функции. Для доказательства используется
L1-функциональное исчисление для самосопряжённых операторов и подходящее преобра-
зование подобия.
DOI: 10.31857/S0374064121020023
Введение. Классический оператор Дирака связан с важными задачами математической
физики и имеет многочисленные приложения. Истоки изучения этих задач можно найти в
работах Биркгофа [1, 2], Тамаркина [3] и самого Дирака [4, 5]. Среди современных исследо-
ваний, связанных с оператором Дирака, отметим, например, [6-12]; в них есть ссылки и на
другие работы, в которых он также рассматривается. Отметим, что обычно одномерный опе-
ратор Дирака изучается на отрезке [0, ω] с теми или иными краевыми условиями. У такого
оператора спектр дискретный, и его можно исследовать различными методами - например, ре-
зольвентным или методом подобных операторов. В настоящей работе изучаются спектральные
свойства оператора Дирака на прямой; у такого оператора спектр дискретным не является.
Введём используемые в статье пространства функций и определим вид изучаемого опера-
тора. Через L2(R) обозначим гильбертово пространство, состоящее из классов эквивалентно-
сти, образованных равными между собой почти всюду по мере Лебега комплекснозначными
функциями, определёнными на прямой R, измеримыми по Лебегу и суммируемыми на R с
квадратом модуля, скалярное произведение в котором задаётся равенством
∫
(x, y) = x(t)y(t) dt, x, y ∈ L2(R),
R
а через H - гильбертово пространство L2(R, C2) ≃ L2(R)×L2(R) со скалярным произведением
∫
(x, y) = (x1(t)y1(t) + (x2(t)y2(t)) dt, x = (x1, x2) ∈ H, y = (y1, y2) ∈ H.
R
Через W12(R, C2) обозначаем пространство Соболева абсолютно непрерывных вектор-функций
из L2(R, C2), производные которых также принадлежат пространству L2(R, C2), скалярное
произведение в котором задаётся равенством
(x, y)W = (x, y) + (x′, y′), x, y ∈ W12(R, C2).
Рассмотрим оператор Дирака L на прямой:
(
1
0
) dy
(Ly)(t) = i
- v(t)y(t), t ∈ R,
0
-1
dt
где
(
)
0
v1(t)
v(t) =
,
vi ∈ L2(R), i = 1,2, D(L) = W12(R,C2).
v2(t)
0
Представим оператор Дирака в виде L = A - V, где
(
1
0
) dy
A : D(L) ⊂ H → H, (Ay)(t) = i
0
-1
dt
153
154
БАСКАКОВ и др.
и
(
)
0
v1(t)
(V y)(t) = v(t)y(t) =
y(t), y ∈ H.
v2(t)
0
Отметим, что спектр σ(A) оператора A совпадает с R. Поэтому подходы, наиболее часто
применяемые для изучения аналогичного оператора на отрезке, в настоящей работе неприме-
нимы.
В дальнейшем оператор A играет роль невозмущённого оператора, а подчинённый ему
оператор V - роль оператора возмущения.
Для оператора L доказывается существование непрерывной неотрицательной функции
f ∈ L2(R) такой, что спектр σ(L) оператора L находится между графиками функций f и
-f; иными словами, выполняется неравенство |Im λ| ≤ f(Reλ) для любого λ ∈ σ(L).
Для решения поставленной задачи сначала приводится результат о локализации спектра
абстрактного самосопряжённого оператора, возмущённого оператором из идеала Гильберта-
Шмидта S2(H). Также описывается алгоритм построения искомой функции f в этом случае
и приводится пример для возмущённого оператора импульса на оси.
Так как возмущение V оператора Дирака не принадлежит идеалу Гильберта-Шмидта, то
затем рассматривается преобразование подобия оператора A - B в оператор A - B0, где B -
подчинённый A оператор с дополнительными, выполненными для оператора V условиями,
и B0 ∈ S2(H). Для доказательства соответствующих результатов используется спектральная
теория банаховых модулей [13-17] и предварительное преобразование подобия метода подоб-
ных операторов [18-20]. Отметим, что приводимая схема доказательств совпадает с использо-
ванной в работе [17], в которой аналогичный результат получен для оператора с инволюцией.
Однако, в отличие от [17], в настоящей работе рассмотрен абстрактный класс возмущённых
операторов, для которых эта схема работает (см. п. 2), и показано, что оператор Дирака входит
в этот класс (см. п. 3).
1. Теорема о локализации спектра для самосопряжённого возмущённого опе-
ратора. В этом и следующем пунктах работы H - абстрактное (комплексное) гильбертово
пространство и A : D(A) ⊆ H → H - самосопряжённый оператор. Возмутим оператор A опе-
ратором B из двустороннего идеала операторов Гильберта-Шмидта S2(H). Свойства этого
идеала можно найти, например, в монографии [21].
Для операторов A и B можно доказать существование и указать алгоритм построения
такой непрерывной действительной функции f ∈ L2(R), чтобы спектр σ(A + B) оператора
A + B находился между графиками функций f и -f. Мы полагаем, что такой результат
давно известен. Наш вариант доказательства можно найти в [17].
Теорема 1 [17, теорема 4.1]. Пусть A : D(A) ⊂ H → H - самосопряжённый оператор и
B ∈ S2(H). Тогда существует такая непрерывная вещественнозначная функция f ∈ L2(R),
что для всех λ ∈ σ(A + B) имеет место неравенство
|Im λ| ≤ f(Re λ).
Отметим, что в теореме 1 неважно, имеет ли оператор A дискретный спектр или нет.
Приведём алгоритм построения функции f, вытекающий из доказательства теоремы 1
в [17]. Обозначим через En спектральные проекторы оператора A, построенные по интер-
валам [-n, n], и положим Bn = B - EnBEn, n ∈ N. Для построения (графика) функции
f найдём точки с координатами (±(1 + 2∥B∥2), 2∥B∥2),
(±(n + 2∥B∥2), 3∥Bn∥2), n ∈ N, и
соединим их ломаной линией.
Пример. Пусть A - оператор импульса, (Ax)(t) = tx(t), t ∈ R, D(A) = {x ∈ L2(R) : Ax ∈
∈ L2(R)} и Bx = (x,u)v, где u,v ∈ L2(R) - фиксированные функции. Оператор B является
интегральным с ядром K(t, s) = v(t)u(s), t, s ∈ R, суммируемым с квадратом на R × R, и
∥B∥2 = ∥u∥∥v∥.
Пусть Δn = [-n, n], n ∈ N. Введём в рассмотрение характеристическую функцию
{
1, t ∈ Δn,
χn(t) =
0, t ∈ Δn.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА ДИРАКА
155
Тогда Enx = χnx, x ∈ L2(R). Очевидно, что
Bnx = (B - EnBEn)x = (x,u)v - (x,un)vn = (x,u)(v - vn) + (x,u - un)vn =
= (x, un)(v - vn) + (x, u - un)v,
где un = χnu, vn = χnv, n ∈ N. Обозначая ũn = u - un и vn = v - vn, имеем
∥Bn∥ ≤ min{∥ũn∥∥v∥ + ∥un∥∥vn∥, ∥ũn∥∥vn∥ + ∥u∥∥vn∥} := bn, n ∈ N;
при этом последовательность (bn) принадлежит пространству ℓ2.
Для построения функции f достаточно соединить точки с координатами
(±(1 + 2∥u∥∥v∥), 2∥u∥∥v∥),
(±(n + 2∥u∥∥v∥), 3bn ), n ∈ N,
ломаной линией.
2. Теорема о локализации спектра для возмущений, подчинённых оператору A.
Результат предыдущего пункта можно применить не только к самосопряжённым операторам,
возмущённым операторами из идеала Гильберта-Шмидта. Например, это возможно, если су-
ществует преобразование подобия рассматриваемого оператора в оператор с возмущением из
идеала Гильберта-Шмидта. В этом пункте будут получены условия, при которых такое пре-
образование имеет место.
Пусть End H - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в H.
Через LA(H) обозначим векторное нормированное пространство линейных операторов, под-
чинённых оператору A. Оператор B принадлежит пространству LA(H), если D(A) ⊆ D(B)
и при некоторой постоянной C справедливо неравенство
∥Bx∥ ≤ C(∥x∥ + ∥Ax∥), x ∈ D(A).
Норма в LA(H) задаётся равенством
∥B∥A = {inf C : ∥Bx∥ ≤ C(∥x∥ + ∥Ax∥)}.
Так как резольвентное множество ρ(A) рассматриваемого оператора A не пусто, то в
LA(H) можно ввести эквивалентные нормы, положив
∥B∥λ = ∥B(A - λI)-1∥, λ ∈ ρ(A).
Определение. Два линейных оператора A1 : D(A1) ⊂ H → H и A2 : D(A2) ⊂ H → H
называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U ∈ End H такой,
что UD(A2) = D(A1) и A1Ux = UA2x, x ∈ D(A2). Оператор U называется оператором
преобразования оператора A1 в оператор A2 или сплетающим оператором.
Далее через L1(R) обозначаем банахову алгебру, состоящую из классов эквивалентности,
образованных равными между собой почти всюду по мере Лебега комплекснозначными функ-
циями, определёнными на R, измеримыми по Лебегу и суммируемыми на R, со свёрткой в
качестве умножения
∫
(f ∗ g)(t) = f(t - s)g(s) ds, f, g ∈ L1(R),
R
∫
и нормой ∥f∥1 =R |f(t)| dt. ЧерезL1(R) будем обозначать банахову алгебру преобразований
Фурье
f функций f ∈ L1(R) с поточечным умножением функций в качестве операции и
нормой
f∥∞ =max
f (λ)|.
λ∈R
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
156
БАСКАКОВ и др.
Преобразование Фурье
f функции f определяется формулой
∫
f (λ) = f(t)e-iλt dt, λ ∈ R;
R
в частности,
f : R → C.
Преобразование Фурье стандартным образом определяется и для функций из L2(R), при
√
этом имеет место равенство
f∥2 =
2π∥f∥2, где ∥ · ∥2 - норма в L2(R).
Для построения преобразования подобия будут необходимы следующие функции из прост-
ранства L1(R)
⋂L2(R). Для a > 0 рассмотрим трапецевидную функцию τa, заданную усло-
виями
⎧
⎨1,
|ε| ≤ a,
τa(ε) =
a-1(2a - |ε|),
a < |ε| ≤ 2a,
⎩0,
|ε| > 2a.
√
Непосредственный подсчёт показывает, что τa ∈ L2(R) и ∥τa∥2 ≤ 2
2a/3. При этом τa =
=
ϕa, где
2sin(3at/2)sin(at/2)
ϕa(t) =
πat2
О других применениях функции τa см., например, [22].
Также рассмотрим функцию ωa, заданную условиями
⎧
⎪0,
|ε| ≤ a,
⎨
−a-1 - ε-1,
-2a ≤ ε < -a,
ωa(ε) = (1 - τa(ε))/ε =
⎪a-1 - ε-1,
a < ε ≤ 2a,
⎩ε-1,
|ε| > 2a.
Несложно видеть, что
√
∥ωa∥2 =
(4 - 4 ln 2)/a ≤ (1, 11)/√a.
Пусть
ψa = ωa. Нам далее также нужна будет оценка ∥ψa∥∞ ≤ 1 + 1/π, полученная в [17].
Так как оператор A является самосопряжённым, то оператор iA является генератором
некоторой сильно непрерывной группы операторов T (t) = eitA, t ∈ R, T : R → EndH,
согласно теореме Стоуна [23, с. 89]. Наряду с представлением T, введём в рассмотрение также
представление
T : R → End(LA(H)), заданное формулой
T (t)X = T (t)XT (-t), X ∈ LA(H), t ∈ R.
Кроме того, для каждой функции f ∈ L1(R) и оператора X ∈ LA(H) определим оператор
T (f)X ∈ LA(H) равенством
∫
T (f)X)x = f(t)
T (-t)X)x dt, x ∈ D(A).
(1)
R
В работе [17, § 4] показано, что имеет место
Лемма 1. Для операторо
T (ϕa)X и
T (ψa)X, X ∈ LA(H), a > 0, верно равенство
A
T (ψa)X)x -
T (ψa)X)Ax = Xx -
T (ϕa)X)x, x ∈ D(A).
(2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА ДИРАКА
157
Замечание 1. В лемме 1 вместо функций ϕa и ψa можно использовать любые другие
функции ϕ, ψ ∈ L1(R)
⋂L2(R) такие, что
ϕ ≡ 1 в окрестности нуля и
ψ(ε) = (1 -
ϕ(ε))/ε, ε ∈ R \ {0}.
Теорема 2. Пусть A : D(A) ⊂ H → H - самосопряжённый оператор и B ∈ LA(H).
Пусть также выполнены условия:
1)
T (ψa)B ∈ End H и существует такое a > 0, что
T (ψa)B∥ < 1;
2)
T (ψa)B)D(A) ⊂ D(A);
3)
T (ψa)B
T (ϕa)B ∈ S2(H);
4) для любого ε > 0 существует λε ∈ C \ R = ρ(A) такое, что ∥B(A - λεI)-1∥ < ε.
Тогда оператор A - B подобен оператору A - B0, где
B0
T (ϕa)B + (I
T (ψa)B)-1(
T (ψa)B -
T (ϕa)B
T (ϕa)B) =
= (I
T (ψa)B)-1(
T (ψa)B
T (ϕa)B).
(3)
При этом справедливо включение B0 ∈ S2(H) и преобразование подобия оператора A - B в
A-B0 осуществляет обратимый оператор I
T (ψa)B.
Доказательство. Из условия 1) вытекает обратимость оператора I
T (ψa)B, т.е. огра-
ниченность оператора (I
T (ψa)B)-1.
Отметим, что
D(A - B) = D(A - B0) = D(A).
Для доказательства подобия нам надо сначала установить равенство
(I
T (ψa)B)-1D(A) = D(A).
Действительно, для λ ∈ ρ(A) имеем
T (ψa)B(A - λI)-1 = (A - λI)-1((A - λI
T (ψa)B(A - λI)-1) =
= (A - λI)-1(B
T (ϕa)B
T (ψa)BA -
T (ψa)B)(A - λI)-1 =
= (A - λI)-1((B
T (ϕa)B)(A - λI)-1
T (ψa)B)
T (ψa)B)n(A - λI)-1 =
= (A - λI)-1((B
T (ϕa)B)(A - λI)-1
T (ψa)B)n.
В силу условия 4) можно выбрать такое число λ ∈ ρ(A), что
∥(B
T (ϕa)B)(A - λI)-1
T (ψa)B∥ < 1.
Поскольку
(I
T (ψa)B)-1(A - λI)-1 = (A - λI)-1(I + (B
T (ϕa)B)(A - λI)-1
T (ψa)B)-1,
то
(I
T (ψa)B)-1D(A) ⊆ D(A).
Обратное включение следует из условия 2). Таким образом, операторы определены корректно,
а их области определения согласованы.
Теперь нам надо установить равенство
(A - B)(I
T (ψa)B) = (I
T (ψa)B)(A - B0).
(4)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
158
БАСКАКОВ и др.
Рассмотрим каждую из частей равенства (4) отдельно. При этом учтём равенства (2), (3) и
согласованность областей определения. Тогда
(A - B)(I
T (ψa)B) = A - B +
T (ψa)B -
T (ψa)B =
=A-
T (ψa)B +
T (ψa)B)A
T (ϕa)B;
(I
T (ψa)B)(A
T (ϕa)B - (I
T (ψa)B)-1(
T (ψa)B -
T (ψa)B)
T (ϕa)B))) =
=A+
T (ψa)B)A
T (ϕa)B -
T (ψa)B)
T (ϕa)B) -
T (ψa)B +
+
T (ψa)B)
T (ϕa)B) = A +
T (ψa)B)A
T (ϕa)B -
T (ψa)B.
Таким образом, равенство (4) имеет место. Теорема доказана.
Итак, в теореме 2 записаны условия, при выполнении которых оператор A-B с B ∈ LA(H)
подобен оператору A - B0 с B0 ∈ S2(H).
Важно отметить, что помимо использованного выше преобразования подобия подойдёт и
любое другое преобразование подобия, переводящее оператор A - B, B ∈ LA(H), в оператор
A-B0, B0 ∈ S2(H). Мы использовали приведённое выше преобразование, так как оно пред-
ставляет собой хорошо известное и опробованное предварительное преобразование подобия
метода подобных операторов (см. [7; 18-20; 24]).
Из теорем 1 и 2 очевидно следует
Теорема 3. Пусть A : D(A) ⊂ H → H - самосопряжённый оператор, B ∈ LA(H) и
для оператора B выполнены условия 1)-4) теоремы 2. Тогда существует такая непрерыв-
ная функция f ∈ L2(R), f : R → R, для которой при всех λ ∈ σ(A - B) имеет место
неравенство
|Im λ| ≤ f(Re λ).
3. Спектральный анализ оператора Дирака. В этом пункте будет показано, что теоре-
ма 3 применима для операторов Дирака, рассматриваемых в этой работе. Для этого достаточ-
но проверить выполнение условий теоремы 2, которые позволяют осуществить преобразование
подобия оператора A - V в оператор A - V0, где V0 ∈ S2(H).
Оператор iA является генератором группы изометрий T : R → End H вида
(
)
S(-t)x1
T (t)x =
,
S(t)x2
где S(t) - оператор сдвига аргумента функций из L2(R) на число t ∈ R, т.е. S(t)x = x(· + t),
x ∈ L2(R), t ∈ R.
Лемма 2. Для всякой функции f ∈ L1(R)
⋂L2(R) имеет место равенство
T (f)V ∥2 = ∥f∥2∥V ∥2.
Доказательство. Для f ∈ L1(R)
⋂L2(R) верны равенства
∫
∫
(
)
f (t)v1(s + t)x2(s + 2t)
T (f)V )x = f(t)T (-t)V T (t)x(s) dt =
dt =
f (t)v2(s - t)x1(s - 2t)
R
R
∫
(
)(
)
1
0
f ((τ - s)/2)v1((τ + s)/2)
x1(τ)
=
dτ.
2
f ((s - τ)/2)v2((τ + s)/2) dτ
x2(τ)
R
Здесь использовались замены переменных s + 2t = τ и s - 2t = τ. Таким образом,
T (f)V
является интегральным оператором с ядром
(
)
1
0
f ((τ - s)/2)v1((τ + s)/2)
K(τ, s) =
,
τ,s ∈ R.
2
f ((s - τ)/2)v2((τ + s)/2)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА ДИРАКА
159
Ядро K суммируемо с квадратом, так как после обратной замены переменных имеем
∫
∫
∫
∫
∥K∥22 =
∥K(t, s)∥22 dt ds =
|f(t)|2(|v1(s + t)|2 + |v2(s - t)|2) dt ds =
R R
R R
= ∥f∥22(∥v1∥22 + ∥v2∥22) = ∥f∥22∥V ∥22.
Лемма доказана.
Лемма 3. Оператор V обладает следующими свойствами:
1)
T (ϕa)V ∈ S2(H),
T (ϕa)V ∥22 ≤ 4a(3π)-1(∥v1∥22 + ∥v2∥22);
2)
T (ψa)V ∈ S2(H),
T (ψa)V ∥22 ≤ 2(1 - ln 2)(aπ)-1(∥v1∥22 + ∥v2∥22);
3)
T (ψa)V (W12(R)) ⊂ W12(R);
4) P
T (ψa))V ∈ S2(H) и ∥V
T (ψa))V ∥22 ≤ 2(π + 1)2π-2∥v1∥22∥v2∥22;
5) для всякого ε > 0 существует число λε ∈ C \ R такое, что ∥P (λεI - A)-1∥ < ε.
Доказательство. Утверждения 1) и 2) вытекают из леммы 2 и оценок норм функций ψa
и ϕa соответственно.
Пусть R = R(z, A) = (zI - A)-1 для некоторого z ∈ C \ R. Из [17, формула (4.5)] следует
равенство
∫
Rx = fz(t)T(-t)xdt, x ∈ H,
(5)
R
где
fz(λ) = (λ-z)-1. Используя это равенство и определение (1), для всякой функции h ∈ L1
получаем
∫
∫
T (h)V )Rx =
h(t)fz(s)T (-t)V T (t - s)x ds dt =
R R
∫
∫
=
fz(s)h(t + s)T(-t - s)V T(t)xdtds = R
T (ht)V )x,
R R
где ht(s) = h(t + s). Таким образом, утверждение 3) справедливо.
Непосредственным подсчётом нетрудно убедиться, что оператор
T (ψa)V имеет вид
∫
(
)
v1(s)ψa(τ)v2(s - τ)
0
((
T (ψa)V )x)(s) =
x(τ) dτ.
0
v2(s)ψa(τ)v1(s + τ)
R
Поэтому
T (ψa)V ∈ S2(H) и выполняется неравенство
∫
∫
∥
T (ψa)V ∥22 =
|v1(s)ψa(τ)v2(s - τ)|2 + |v2(s)ψa(τ)v1(s - τ)|2 dτ ds ≤
R R
)2
(π+1
≤ 2∥ψa∥2∞∥v1∥22∥v2∥22 ≤ 2
∥v1∥22∥v2∥22.
π
Переходим к доказательству утверждения 5). Из равенства (5) (см. также [23, гл. II, фор-
мула (1.14)]) следует, что
∫∞
R = R(z,A) = i eiztT(t)xdt, x ∈ H, z ∈ ρ(A).
0
Тогда
∫∞
(
)
v1(s)x(s + t)
V Rx = i eizt
dt.
v2(s)x(s - t)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
160
БАСКАКОВ и др.
Интегральный оператор V R принадлежит идеалу S2(H), и его ядро KVR допускает оценку
1
∥KVR∥22 ≤
(∥v1∥22 + ∥v2∥22), z ∈ C \ R.
2|z|
Таким образом, справедливость утверждения 5) обеспечивается за счёт подходящего выбора
числа z. Лемма доказана.
Из леммы 3 немедленно вытекает
Лемма 4. Оператор A - V удовлетворяет всем условиям теоремы 2 для некоторого
a > 0.
И, наконец, для оператора L = A - V имеет место
Теорема 4. Существует такая непрерывная функция f : R → R, f ∈ L2(R), что для
всех λ ∈ σ(L) имеет место неравенство |Im λ| ≤ f(Re λ).
Замечание 2. Из теоремы 2 следует, что существует такое a > 0, что оператор L подобен
оператору A - V0, где оператор V0 ∈ S2(H) определяется формулой, аналогичной (3). К опе-
ратору A - V0 можно применить метод подобных операторов и получить подобие операторов
A-V0 и A
T (ϕa)X, где
T (ϕa)X ∈ S2(H), а X - решение нелинейного операторного урав-
нения метода подобных операторов. Оператором преобразования оператора A-V0 в оператор
A
T (ϕa)X является оператор
U =I
T (ψa)X.
Преимущество оператора A
T (ϕa)X перед оператором A - V0 заключается в том, что
отображение t
T (t)
T (ϕa)X) является сужением целой функции экспоненциального типа.
Замечание 3. Аналогичный результат имеет место [17] и для оператора с инволюцией
-id/dt - V, где (V x)(t) = v(t)x(-t), t ∈ R, v ∈ L2(R).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-
следований (проект 19-01-00732).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans.
Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. № 4. P. 373-395.
2. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations
containing a parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. № 2. P. 219-231.
3. Tamarkin J. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion
of an arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Zeitschr. 1928. Bd 27. H. 1. S. 1-54.
4. Dirac P.A.M. The quantum theory of the electron. I // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. 1928. V. 117.
P. 610-624.
5. Dirac P.A.M. The quantum theory of the electron. II // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. 1928. V. 118.
P. 351-361.
6. Djakov P., Mityagin B.S. Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators
with regular boundary conditions // Indiana Univ. Math. J. 2012. V. 61. № 1. P. 359-398.
7. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе
несамосопряжённого оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. мат. 2011. Т. 75.
№ 3. С. 3-28.
8. Джаков П., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдин-
гера и Дирака // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 4 (370). С. 77-182.
9. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. The Dirac operator with complex-valued summable potential // Math.
Notes. 2014. V. 96. № 5. P. 777-810.
10. Савчук А.М. О базисности системы собственных и присоединённых функций одномерного опера-
тора Дирака // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. № 2. С. 113-139.
11. Бурлуцкая М.Ш. Классическое и обобщённое решения смешанной задачи для системы уравнений
первого порядка с непрерывным потенциалом // Журн. вычислит. математики и мат. физ. 2019.
Т. 59. № 3. С. 380-390.
12. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. General Dirac operators as generators of operator groups
// arXiv: 1806.10831.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА ДИРАКА
161
13. Loomis L.H. An Introduction of Abstract Harmonic Analysis. Toronto; New York; London, 1963.
14. Reiter H., Stegeman J.D. Classical harmonic analysis and locally compact groups // London Math. Soc.
Monographs. V. 22. Oxford, 2000.
15. Баскаков А.Г., Криштал И.А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные
свойства // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69. № 3. С. 3-54.
16. Baskakov A.G., Krishtal I.A. Memory estimation of inverse operators // J. Funct. Anal. 2014. V. 267.
P. 2551-2605.
17. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. Closed operator functional calculus in Banach modules and
applications // J. Math. Anal. Appl. 2020. V. 492. № 2. P. 124473.
18. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed
operator matrices // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 477. P. 930-960.
19. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. Linear differential operator with an involution as a generator
of an operator group // Oper. Matr. 2018. V. 12. № 3. P. 723-756.
20. Баскаков А.Г., Поляков Д.М. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла
с негладким потенциалом // Мат. сб. 2017. Т. 208. № 1. С. 3-47.
21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбер-
товом пространстве. М., 1965.
22. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М., 1953.
23. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.
24. Баскаков А.Г., Криштал И.А., Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в спектральном анализе
операторных бесконечных матриц // Прикл. математика и физика. 2020. Т. 52. № 2. С. 71-85.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 18.08.2020 г.
Северо-Осетинский государственный университет
После доработки 18.08.2020 г.
им. К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ,
Принята к публикации 11.12.2020 г.
Университет Северного Иллинойса,
г. Де-Калб, Иллинойс, США,
Воронежский государственный технический университет
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
