ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.162-168

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51+519.216.73

О КОНЕЧНОСТИ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ

СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА,

УПРАВЛЯЕМЫХ СТАНДАРТНЫМИ И ДРОБНЫМИ

БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

Доказано, что сильные решения стохастического дифференциального уравнения смешан-

ного типа, управляемого стандартным и дробным с индексом Хёрста, большим 1/2, бро-

уновскими движениями, имеют конечные моменты порядка p ≥ 1 в предположении, что

коэффициенты уравнения непрерывны и ограничены вместе со всеми частными произ-

водными до второго порядка включительно, а начальное условие имеет конечный момент

порядка p.

DOI: 10.31857/S0374064121020035

На заданном полном вероятностном пространстве (Ω, F, P ) с потоком σ-алгебр F_t рас-

смотрим многомерное стохастическое дифференциальное уравнение

dX_t = b(X_t) dt + h(X_t) dW_t + σ(X_t) dB^Ht , t ∈ [0, T ],

(1)

где b : Rⁿ → Rⁿ, h : Rⁿ → R^n×m, σ : Rⁿ → R^n×k - детерминированные функции, а W_t

и B^Ht - независимые F_t-согласованные броуновские движения: m-мерное стандартное и k-

мерное дробное с показателем Хёрста H ∈ (1/2, 1) соответственно.

Стохастические дифференциальные уравнения со стандартными и дробными броуновски-

ми движениями вызывают большой интерес исследователей как с теоретической точки зре-

ния, так и с практической стороны. Уравнение (1) объединяет два принципиально различных

класса стохастических уравнений: стохастические дифференциальные уравнения Ито и стоха-

стические дифференциальные уравнения с дробными броуновскими движениями, выходящие

за рамки теории стохастических уравнений по семимартингалам. Уравнение (1) представляет

универсальный инструмент для построения гибких математических моделей реальных физи-

ческих явлений, экономических и финансовых процессов благодаря возможности учитывать

эффект долговременной памяти [1, 2].

В работах [3-12] доказаны теоремы о существовании, единственности, непрерывной зави-

симости решений от начальных данных, об устойчивости и притяжении решений, построены

методы интегрирования уравнений (1). Важное значение при исследовании общих и асимпто-

тических свойств решений уравнения (1) имеют оценки моментов решений уравнений (1). Тем

не менее, вопрос о конечности моментов решений таких уравнений в общем случае остаётся

открытым.

В статье [13] доказано, что ограниченность правых частей уравнения (1) с h = 0 влечёт

за собой конечность моментов решений. Наличие слагаемого h(X_t) dW_t в уравнении (1) не

позволяет применять потраекторные методы статьи [13] для оценки моментов решений урав-

нения (1), поскольку сумма показателей Гёльдера траекторий процессов X_t и W_t меньше

единицы. Эффективные потраекторные методы исследования свойств решений стохастиче-

ских дифференциальных уравнений с нерегулярными возмущениями разработаны в работах

Т. Лайонса [14], М. Губинелли [15], М. Хайрера [16] и других математиков. Совокупность этих

методов получила название теории грубых траекторий. Следуя работам [17-19], мы рассматри-

ваем уравнение (1) в контексте теории грубых траекторий: для уравнения (1) строим соответ-

ствующее уравнение в грубых траекториях и доказываем потраекторные оценки для решений

162

О КОНЕЧНОСТИ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ

163

построенного уравнения, при этом ключевую роль при переходе от уравнения в грубых траек-

ториях к исходному уравнению (1) играет свойство согласованности решений с фильтрацией

F_t, а также конечность моментов от гёльдеровских норм процессов W_t и B^Ht.

Основным результатом настоящей работы является теорема 2, гарантирующая конечность

моментов всех порядков от гёльдеровских норм решений уравнений (1) в предположении, что

коэффициенты уравнения достаточно гладкие и ограниченные.

Определение 1. Сильным решением уравнения (1) называется F_t-согласованный процесс

X_t такой, что для почти всех ω ∈ Ω для любых t ∈ [0,T] выполняется равенство

∫t

∫

X_t = X₀ + b(X_s)ds + h(X_s)dW_s + σ(X_s)dB^Hs,

где интеграл по W_s - интеграл Ито, а интеграл по B^Hs - потраекторный интеграл Римана-

Стилтьеса [20]. Сильное решение X_t уравнения (1) с начальным условием X₀ = ξ, где ξ -

F₀-измеримая случайная величина, называется единственным, если для любого сильного ре-

шения Y_t уравнения (1) с начальным условием Y₀ = ξ выполняется условие P (X_t = Y_t для

всех t ∈ [0, T ]) = 1.

Пусть d = 1+m+k. Определим d-мерный случайный процесс B_t = (t, W_t, B^Ht ). Обозначим

через H_i показатели Хёрста его компонент B(i)t, т.е. H₁ = 1, H₂ = . . . = Hm+1 = 1/2,

Hm+2 = ... = H_d = H.

Зафиксируем произвольное α ∈ (1/3, 1/2). Полагая f = col (b, h, σ), рассмотрим уравнение

dX_t = f(X_t) dB_t, t ∈ [0, T ].

(2)

Для прозвольного случайного процесса Y_t, t ∈ [0, T ], через Y_s,t будем обозначать прира-

щение процесса Y, т.е. Y_s,t = Y_t - Y_s.

Определим кусочно-линейные аппроксимации процесса B_t соотношением

B_m,t = B_tm

+ (t - tml-1)B_tm

,t^ml ;

t ∈ [tml-1,t^ml); l = 1,2^m; t^ml = Tl/2^m.

l-1

Построим процесс второго порядка B : [0, T ]² × Ω → R^d×d следующим образом: если i = j

или H_i = 1/2, то полагаем

∫t

∫τ

B(i,j)s,t = lim

dB(i)m,r dB(j)m,τ ;

(3)

m→∞

s s

если H_i = 1/2, то

∫t

∫

B(i,i)s,t =

dB(i)r dB(i)τ,

(4)

s s

где интегралы в правой части соотношения (3) понимаются как потраекторные интегралы

Римана-Стилтьеса, а интегралы в правой части равенства (4) - как интегралы Ито. Существо-

вание предела п.н. в соотношении (3) вытекает из результатов работы [21]. Нетрудно видеть,

что определённый выше процесс B удовлетворяет тождеству Чена

B_s,t - B_s,u - B_u,t = B_s,u

^⊗B_u,t

для любой тройки (s, u, t) ∈ [0, T ]³. Таким образом, для любых s, t ∈ [0, T ] имеет место

равенство

(1, B_t, B0,t) = (1, B_s, B0,s) ⊞ (1, B_s,t, B_s,t),

(5)

где через ⊞ обозначена операция группы Ли T⁽²⁾¹(R^d) = {(1, b, c) : b ∈ R^d, c ∈ R^d×d}, опреде-

ляемая для элементов (a, b, c), (a^′, b^′, c^′) ∈ T⁽²⁾¹(R^d) правилом:

(a, b, c) ⊞ (a^′, b^′, c^′) = (aa^′, ab^′ + a^′b, ac^′ + a^′c + b

^⊗b^′).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

2^∗

164

ВАСЬКОВСКИЙ, КАРПОВИЧ

Траектории процесса B_t = (B_t, B0,t) п.н. принадлежат множеству C^α([0, T ], R^d) α-непре-

рывных по Гёльдеру грубых траекторий [16, гл. 2].

Пусть V - некоторое евклидово пространство. Будем говорить, что процесс Y_t, траектории

которого п.н. принадлежат классу C^α([0, T ], L(R^d, V )) α-непрерывных по Гёльдеру отображе-

ний, управляется процессом B_t, если существует процесс Y^′t (производная Губинелли от Y_t)

такой, что его траектории п.н. принадлежат классу C^α([0, T ], L(R^d, L(R^d, V ))), а остаточный

член R^Ys,t = Y_s,t - Y^′sB_s,t удовлетворяет п.н. условию

|R^Ys,t|

|R^Y |2α := sup

< ∞.

s,t∈[0,T]

|t - s|2α

s=t

Для процесса Y_t, управляемого процессом B_t, определим полунорму N (Y ) его траекто-

рий равенством

|Y_s,t| + |Y^′s,t

N (Y ) = sup

|Y^′t| + sup

+ |R^Y |2α,

|t - s|^α

t∈[0,T ]

s,t∈[0,T]

s=t

а гёльдеровскую норму ∥Y ∥_α для них зададим соотношением

|Y_s,t|

∥Y ∥_α = sup |Y_t| + sup

t∈[0,T ]

s,t∈[0,T]

|t - s|^α

s=t

Пусть процесс Y_t управляется процессом B_t. Потраекторным интегралом Губинелли от

Y по грубой траектории B называется следующий предел интегральных сумм (в предполо-

жении, что этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [0, T ]

точками t_i):

∫

∑

Y_r dB_r := lim

(Yti Bti,ti+1 +

Bti,ti+1 ),

|P|→0

ti,ti+1∈P

где

|P| = max(ti+1 - ti) - диаметр разбиения P = {0 = t0 < t1 < . . . tl = T }, а произ-

ведение Y^′t

Bti,ti+1

определено корректно в силу изоморфизма L(R^d, L(R^d, V ))= L(R^d×d, V ).

Кроме того, вследствие соотношения (5) элемент (Bti,ti+1 , Bt_i,ti+1 ) можно интерпретировать

как приращение процесса B_t.

Наряду с уравнением (2) рассмотрим соответствующее уравнение в грубых траекториях

dX_t = f(X_t) dB_t, t ∈ [0, T ].

(6)

Определение 2. Решением уравнения (6) будем называть случайный процесс X_t, задан-

ный на вероятностном пространстве (Ω, F, P ), такой, что п.н. выполняются условия: 1) X ∈

∈ C^α([0,T],Rⁿ); 2) процессы X_t и f(X_t) управляются процессом B_t; 3) для любого t ∈ [0,T]

имеет место равенство

∫t

X_t = X₀ + f(X_s)dB_s,

где интеграл в правой части - потраекторный интеграл Губинелли, при этом X^′t = f(X_t),

(f(X_t))^′ = Df(X_t)f(X_t). Пусть ξ : Ω → Rⁿ - F₀-измеримая случайная величина. Решение

X_t уравнения (6) с начальным условием X₀ = ξ называется единственным, если для любого

решения Y_t уравнения (6) с начальным условием Y₀ = ξ выполняется равенство P (X_t = Y_t

для всех t ∈ [0, T ]) = 1. Решение X_t уравнения (6) будем называть сильным, если процесс

X_t является F_t-согласованным.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О КОНЕЧНОСТИ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ

165

Обозначим через C^kb(Rⁿ, R^n×d) класс функций h : Rⁿ → R^n×d, непрерывных и ограничен-

ных вместе со своими частными производными до порядка k включительно.

Теорема 1. Пусть f ∈ C4b(Rⁿ, R^n×d), p ≥ 1. Тогда для любой F₀-измеримой случай-

ной величины ξ существует единственное сильное решение X_t уравнения (6) с начальным

условием X₀ = ξ. Кроме того, если E|ξ|^p < ∞, то E(∥X∥^α) < ∞.

Доказательство. Из теоремы 8.4 [16] вытекает, что для почти всех ω ∈ Ω существу-

ет единственное отображение t → X_t(ω) такое, что п.н. выполняются следующие условия:

1) отображение t → X_t(ω) принадлежит классу C^α([0, T ], Rⁿ); 2) отображения t → X_t(ω) и

t → f(X_t(ω)) управляются функцией t → B_t(ω), и имеют место равенства X^′t(ω) = f(X_t(ω)),

∫t

(f(X_t(ω)))^′ = Df(X_t(ω))f(X_t(ω)); 3) X_t(ω) = ξ(ω) +

f (X_s(ω)) dB_s(ω).

B(i,j)

Определим процесс второго порядка

B_s,t следующим образом:

= B(i,j)s,t при i = j

s,t

B(i,i)

или H_i = 1/2;

= B(i,i)s,t + (t - s)/2 при H_i = 1/2. Согласно теореме 10.4 [16] траекто-

s,t

рии процесса

B_t = (B_t,B0,t) п.н. принадлежат множеству C^αg([0,T],R^d) α-непрерывных по

Гёльдеру геометрических грубых траекторий [16, гл. 2].

Используя аналог формулы корректирующего члена Ито-Стратоновича [16, с. 59], для п.в.

ω и всех t ∈ [0,T] получаем следующее равенство:

∫

f (X_s(ω)) dB_s(ω) = f(X_s(ω))dBs(ω) -¹

Dh(X_s(ω))h(X_s(ω)) ds,

из которого вытекает, что для п.в. ω ∈ Ω выполняется соотношение

∫t

X_t(ω) = ξ(ω) +

f (X_t(ω)) dBt(ω), t ∈ [0, T ],

здесь

f = col(b-2-1Dh·h,h,σ). Для каждого натурального m определим сглаженную грубую

траекторию B_m,t = (B_m,t, B_m,t), где

∫t

∫τ

B_m,t =

dB_m,r

^⊗ dB_m,τ ,

а интегралы в правой части понимаются как потраекторные интегралы Римана-Стилтьеса.

Тогда для любого натурального m уравнение

dX_t

f (X_t) dB_m,t, t ∈ [0, T ],

имеет единственное сильное решение X_m,t с начальным условием Xm,0 = ξ. Согласно [21]

B_t

и [16, с. 142] последовательность B_m,t сходится п.н. к геометрической грубой траектории

в метрике p-вариации при любом p > 1/H. Отсюда и из теоремы Лайонса [14, 21] вытекает,

что последовательность X_m,t сходится п.н. в метрике p-вариации к некоторому случайному

процессу

X_t. Так как

f ∈ C3b(Rⁿ,R^n×d), то, применяя теорему 8.4 [16] к уравнению dX_t =

f (X_t) dBt, заключаем, что P (X_t =Xt для всех t ∈ [0, T ]) = 1.

Докажем, что решение X_t уравнения (6) с начальным условием X₀ = ξ является сильным

решением. Из определения кусочно-линейных аппроксимаций B_m,t вытекает, что при каждом

натуральном m процесс X_m,t является

F_t-согласованным, где

F_t = Ft+1/2m . В силу непре-

рывности справа семейства σ-алгебр F_t заключаем, что при каждом t ∈ [0, T ] случайная

величина X_t является F_t-измеримой.

Предположим, что E|ξ|^p < ∞. Обозначим черезΩ множество всех ω ∈ Ω, при которых

для процесса X_t выполнены условия 1)-3) определения 2. Зафиксируем какое-нибудь ω ∈

∈ Ω. Выберем некоторые постоянные τ ∈ (0,1), M > 0 (вообще говоря, зависящие от ω;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

166

ВАСЬКОВСКИЙ, КАРПОВИЧ

значения этих постоянных уточним ниже). Возьмём произвольный отрезок [a, a + τ] ⊂ [0, T ].

На множестве C^α([a, a + τ], Rⁿ) α-непрерывных по Гёльдеру грубых траекторий Z с на-

чальным условием Z_a = X_a(ω) и управляемых функцией t → B_t(ω) рассмотрим шар D^aM

радиуса M, т.е.

D^aM = {Z ∈ C^α([a,a + τ],Rⁿ)|Z_a = X_a(ω),N(Z) ≤ M}.

Нетрудно видеть, что полунорма N (·) является нормой на шаре D^aM , превращая этот шар в

полное метрическое пространство [16, гл. 8; 22]. Отображение

J : C^α([a,a + τ],Rⁿ) → C^α([a,a + τ],Rⁿ)

определим следующим образом:

∫t

(J (Z))_t = Z_a + f(Z_s) dB_s(ω), t ∈ [a, a + τ].

Пусть Z

Z ∈ D^aM, тогда из предложений 3.9, 3.10 [22] и доказательства теоремы 8.4 [16]

вытекают следующие неравенства:

N (J (Z)) ≤ c_B(ω)c_f (1 + τ^γ-αN²(Z)),

(7)

N (J

Z)-J

Z)) ≤ c2B(ω)c2f τ^γ-αN

Z),

(8)

где

(

))

⁽ |B_s,t(ω)|

|B_s,t(ω)|

c_B(ω) = c sup

∨ 1,

|t - s|^γ

|t - s|2γ

s,t∈[0,T]

s=t

γ ∈ (α,1/2), c и c_f ≥ 1 - универсальные детерминированные постоянные.

Положим τ = (8c2B (ω)c2f )1/(α-γ). Несложно видеть, что при выбранном значении τ суще-

√

ствует такое M = (4 - 2

2)c_B (ω)c_f , при котором выполняется неравенство

c_B(ω)c_f (1 + τ^γ-αM²) ≤ M.

(9)

Таким образом, из соотношений (7)-(9) вытекает, что J (D^aM ) ⊆ D^aM и отображение J

является сжимающим в шаре D^aM . Следовательно, существует единственная неподвижная

точка отображения J в шаре D^aM , которая совпадает с траекторией X|[a,a+τ](ω). Таким

образом, справедлива оценка

√

N (X|[a,a+τ](ω)) ≤ (4 - 2

2)c_B(ω)c_f .

(10)

Применяя неравенство треугольника и оценку (10) при a = 0, τ, 2τ, . . . , получаем неравенство

√

N (X|[0,T](ω)) ≤ (4 - 2

2)c_B (ω)c_f (T τ-1 + 1) = C(c_B(ω))1+2/(γ-α),

(11)

где C - универсальная детерминированная постоянная, зависящая лишь от f, T.

Поскольку случайная величина c_B имеет конечные моменты любого порядка p ≥ 1 [16,

гл. 10], то из неравенства (11) и конечности величины E(|X₀|^p) вытекает, что E(∥X∥^α) < ∞.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функции b, h, σ непрерывны и ограничены вместе со своими про-

изводными до четвёртого порядка включительно. Тогда для любой F₀-измеримой случайной

величины ξ такой, что E|ξ|^p < ∞, p ≥ 1, существует единственное сильное решение X_t

уравнения (1) с начальным условием X₀ = ξ, и для любого α ∈ (1/3, 1/2) выполняется нера-

венство E(∥X∥^α) < ∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О КОНЕЧНОСТИ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ

167

Доказательство. Зафиксируем произольные p ≥ 1, α ∈ (max{1/3, 1 - H}, 1/2) и F₀-

измеримую случайную величину ξ такую, что E|ξ|^p < ∞. Согласно теореме 1 существует

единственное сильное решение X_t уравнения (6) с правой частью f = col (b, h, σ) и начальным

условием X₀ = ξ.

Так как почти все траектории процессов W_t и B^Ht непрерывны по Гёльдеру с показате-

лями 1/2 - ε и H - ε соответственно, где ε - произвольное малое положительное число, то

с вероятностью 1 для всех t ∈ [0, T ] выполнены соотношения

∫t

∑

X_t = ξ +

f (X_s) dB_s = ξ + lim

(f(Xti )Bti,ti+1 + Df(Xt_i )f(Xt_i )Bt_i,ti+1 ) =

|P|→0

ti,ti+1∈P

∑

= ξ + lim

(b(Xti )(ti+1 - t_i) + h(Xti )Wti,ti+1 + σ(Xt_i )Bti,ti+1 + Dh(Xti )h(Xti )Wti,ti+1 ),

|P|→0

ti,ti+1∈P

∫t^∫τ

где W0,t =

dW_r

^⊗ dW_τ - процесс второго порядка Ито, а P - произвольное конечное

разбиение отрезка [0, t] точками t_i.

Поскольку почти все траектории процесса X_t непрерывны по Гёльдеру с показателем α >

> 1 - H, то с вероятностью 1 справедливы равенства

∫

∑

lim

b(Xti )(ti+1 - t_i) =

b(X_s)ds, t ∈ [0, T ],

(12)

|P|→0

ti,ti+1∈P

∫

∑

lim

σ(Xti )B^Ht

σ(X_s) dB^Hs , t ∈ [0, T ].

(13)

i,ti+1

|P|→0

ti,ti+1∈P

Так как процесс X_t является F_t-согласованным, то имеет место сходимость в L₂(Ω, F, P ):

∫

∑

lim

h(Xti )Wti,ti+1 =

h(X_s) dW_s, t ∈ [0, T ].

(14)

|P|→0

ti,ti+1∈P

Определим дискретный мартингал S_k рекуррентным образом:

S₀ = 0, Sk+1 = S_k + Dh(Xtk )h(Xtk )Wtk,tk+1.

Тогда из ограниченности функции Dh(X) · h(X) вытекают соотношения



∑

²

∑



E

Dh(Xti )h(Xti )Wti,ti+1

E|Si+1 - S_i|² ≤ C

E|Wti,ti+1 |² = O(|P|).



ti,ti+1∈P

Отсюда и из равенств (12)-(14) следует, что с вероятностью 1 для всех t ∈ [0, T ] справедливо

равенство

∫t

∫

X_t = ξ + b(X_s)ds + h(X_s)dW_s + σ(X_s)dB^Hs.

Таким образом, процесс X_t является сильным решением уравнения (1) с начальным условием

X₀ = ξ. Согласно теореме 1 величина E(∥X∥^α) является конечной. Единственность сильного

решения вытекает из результатов работы [4]. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

168

ВАСЬКОВСКИЙ, КАРПОВИЧ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biagini F., Hu Y., Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion аnd

Applications. London, 2008.

2. Mishura Y.S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin;

Heidelberg, 2008.

3. Guerra J., Nualart D. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard

Brownian motion // Stochastic Anal. and Appl. 2008. V. 26. № 5. P. 1053-1075.

4. Mishura Y.S., Shevchenko G.M. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential

equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H>1/2 // Commun.

in Statistics. Theory and Methods. 2011. V. 40. № 19-20. P. 3492-3508.

5. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффици-

ентами // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 2. С. 187-200.

6. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффици-

ентами и с частично вырожденным оператором диффузии // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50.

№ 8. С. 1060-1076.

7. Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений

с запаздыванием и стандартным и дробным броуновскими движениями // Весцi НАН Беларусi.

Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 1. С. 22-34.

8. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование решений стохастических дифференциальных

включений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2015.

Т. 51. № 8. С. 997-1003.

9. Леваков А.А., Васьковский М.М. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений

со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 8.

С. 1011-1019.

10. Васьковский М.М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференци-

альных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравне-

ния. 2017. Т. 53. № 2. С. 160-173.

11. Васьковский М.М., Качан И.В. Методы интегрирования стохастических дифференциальных урав-

нений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями // Весцi НАН Бела-

русi. Сер. фiз.-мат. навук. 2019. T. 55. № 2. С. 135-151.

12. Леваков А.А., Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения и включения.

Минск, 2019.

13. Nualart D., Rascanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion // Collect. Math.

2002. V. 53. № 1. P. 55-81.

14. Lyons T. Differential equations driven by rough signals // Revista Matematica Iberoamericana. 1998.

V. 14. № 2. P. 215-310.

15. Gubinelli M. Controlling rough paths // J. of Func. Anal. 2004. V. 216. № 1. P. 86-140.

16. Friz P., Hairer M. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures. Cham, 2014.

17. Васьковский М.М., Качан И.В. Асимптотические разложения решений стохастических дифферен-

циальных уравнений с дробными броуновскими движениями // Докл. НАН Беларуси. 2018. T. 62.

№ 4. С. 398-405.

18. Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven

by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 // Stochastic Anal.

and Appl. 2018. V. 36. № 6. P. 909-931.

19. Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения смешанного типа со стандарт-

ными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3 // Весцi НАН

Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. T. 56. № 1. С. 36-50.

20. Zahle M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I // Probability Theory

and Related Fields. 1998. V. 111. № 3. P. 333-374.

21. Coutin L., Qian Z. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions // Proba-

bility Theory Related Fields. 2002. V. 122. № 1. P. 108-140.

22. Neuenkirch A., Nourdin I., Robler A., Tindel S. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic

differential equations // Annal. de Inst. Henri Poincare (B) Probability and Statistics. 2009. V. 45. № 1.

P. 157-174.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 24.08.2020 г.

г. Минск

После доработки 07.12.2020 г.

Принята к публикации 11.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021