ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.179-186

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С НЕМОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЛЯПУНОВА

Представлены приёмы доказательства новых достаточных признаков устойчивости и

асимптотическойустойчивостинулевого решения неавтономного дифференциальногоурав-

нения с использованием немонотонных незнакоопределённых функций Ляпунова. В каче-

стве примера применения доказанных утверждений установлены новые признаки устойчи-

вости градиентной системы, положение равновесия которой не является изолированным, а

функция, задающая правую часть, не имеет минимума в точке покоя. Указан признак

устойчивости гамильтоновой системы для случая нестрогого минимума потенциальной

энергии в точке покоя.

DOI: 10.31857/S0374064121020059

В настоящей работе представлены новые условия устойчивости решений дифференциаль-

ных уравнений

y = f(t,y), f(t,0) ≡ 0,

(1)

где t ∈ R₊, y : R → Rⁿ, f : R₊ × Rⁿ → Rⁿ.

Относительно функции f предполагается, что её свойства обеспечивают существование,

единственность и непрерывную зависимость от начальных данных задачи Коши для уравне-

ния (1). Решение этого уравнения с начальными данными (t₀, y₀) ∈ R₊ × Rⁿ обозначим через

y(t, t₀, y₀). Всюду, где указание на конкретные начальные данные (t₀, y₀) несущественно, бу-

дем использовать для обозначения решения уравнения (1) укороченную запись y(t).

Через B(y, H) обозначаем шар в Rⁿ радиуса H с центром в точке y, а через S_r -

сферу в Rⁿ радиуса r с центром в нуле. Граница множества M обозначается через Fr M,

а множество натуральных чисел - через N. Стандартную норму и скалярное произведение в

Rⁿ обозначаем через ∥ · ∥ и (·,·) соответственно.

Очевидно, что y(t, 0, 0) ≡ 0 является решением уравнения (1), которое ниже называет-

ся нулевым решением и устойчивость по Ляпунову которого будем изучать для начального

момента времени t₀ = 0.

Скалярную монотонную функцию a : R₊ → R₊ такую, что a(0) = 0 и a(τ) > 0 для

всех τ > 0, традиционно будем называть функцией класса Хана. Функция V : R₊ × Rⁿ →

→ R₊, V (t,0) ≡ 0, называется определённо положительной (определённо отрицательной),

если для некоторой класса Хана функции a верно неравенство V (t, y) ≥ a(∥y∥) (неравен-

ство V (t, y) ≤ -a(∥y∥)) для всех (t, y), принадлежащих множеству R₊ × B(0, H). Если же

на этом множестве выполнено неравенство V (t, y) ≥ 0 (неравенство V (t, y) ≤ 0), то функ-

ция V называется знакоположительной (знакоотрицательной). Определённо положительные

и определённо отрицательные функции называются знакоопределёнными, а знакоположитель-

ные и знакоотрицательные - знакопостоянными. Говорят, что функция V допускает беско-

нечно малый высший предел, если для некоторой класса Хана функции b верно неравенство

V (t, y) ≤ a(∥y∥) при всех (t, y) ∈ R₊ × B(0, H).

Хорошо известны классические достаточные условия устойчивости или асимптотической

устойчивости нулевого решения уравнения (1), формулируемые с помощью знакоопределён-

ных функций Ляпунова.

Устойчивость нулевого решения уравнения (1) при любом начальном моменте времени

будет гарантирована, если верно

179

3^∗

180

КНЯЖИЩЕ

Утверждение 1. Если для уравнения (1) найдётся непрерывная положительно опреде-

лённая функция V : R₊ × Rⁿ → R₊, V (t, 0) ≡ 0, такая, что для всех начальных данных

(t₀, y₀) ∈ R₊ × B(0, H) функция V (t, y(t, t₀, y₀)) переменной t ≥ t₀ не возрастает, то нуле-

вое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Здесь не требуется гладкости функции V (t, y). При этом проверка условия “не возрастания

функции V (t, y) вдоль решений” для негладких функций может оказаться непростой задачей.

Для дифференцируемых функций V (t, y) такая задача упрощается и может быть выполнена

без знания решений, поскольку верна следующая

Теорема 1. Если для уравнения (1) найдётся непрерывно дифференцируемая положитель-

но определённая функция V : R₊ × Rⁿ → R₊, V (t,0) ≡ 0, такая, что для всех (t,y) ∈ R₊ ×

× B(0,H) верно неравенство

V (t, y) = V ^′t(t, y) + V ^′y(t, y)f(t, y) ≤ 0,

(2)

то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Если дополнительно функция V допускает бесконечно малый высший предел и вместо

условия знакоотрицательности (2) выполняется для всех (t, y) ∈ R₊ × B(0, H) условие от-

рицательной определённости производной функции Ляпунова вдоль решений уравнения (1)

V (t, y) = V ′t (t, y) + V ^′y(t, y)f(t, y) ≤ -ω(∥y∥),

(3)

то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Анализируя условия теоремы 1, нетрудно увидеть, что условия (2), (3) гарантируют моно-

тонное поведение функции Ляпунова вдоль решений уравнений (1). Совершенно очевидно, что

монотонный характер поведения функции V вдоль всех решений связан с тем, что условия (2)

и (3) означают соответственно знакоотрицательность и определённую отрицательность произ-

водной

V (t, y) функции Ляпунова вдоль решений во всех точках окрестности R₊ × B(0, H)

нулевого решения y ≡ 0 уравнения (1).

1. Немонотонные вдоль решений знакоопределённые функции Ляпунова. Нашей

первой целью будет формулировка и доказательство условий устойчивости нулевого решения

уравнения (1), использующих менее жёсткие, чем в теореме 1, требования к производной функ-

ции Ляпунова в точках множества R₊ × B(0, H). Точнее говоря, мы попытаемся отказаться

от требования повсеместного в R₊ × B(0, H) выполнения условия (2). При этом всюду ниже

будем называть такие вспомогательные функции функциями Ляпунова, возможно, несколько

отступая от классического понимания этого термина.

Введём предварительно несколько обозначений. Пусть задана непрерывная на R₊×B(0, H)

функция V и задано некоторое решение y(t, 0, y₀) с начальными данными (0, y₀). Положим

V_r(t) = max V (t,y(t,0,y₀)) для всякого t ≥ 0. Обозначим

y₀∈Sr

M_r(t) = {y₀ ∈ S_r : V (t,y(t,0,y₀)) = V_r(t)}

для всех t ≥ 0, r > 0. Образ любого множества начальных данных S из Rⁿ при отобра-

жении y₀ → y(t, 0, y₀) будем обозначать y(t, 0, S). Очевидно, что множество M_r(t) не пусто

вследствие непрерывности функции V (t, y). По построению множеств M_r(t) при всяком t > 0

функция V (t, y(t, 0, y₀)) достигает максимума по y₀ ∈ S_r при y₀ ∈ M_r(t). С другой стороны,

при всяком t > 0 функция V (t, y) достигает максимального значения на множестве y(t, 0, S_r)

в точках множества y(t, 0, M_r(t)).

Одну из основных идей данной работы, лежащих в основе поиска минимального (в некото-

ром смысле) множества, содержащего информацию об устойчивости положения равновесия,

описывает

Лемма 1. Если для уравнения (1) найдётся непрерывная положительно определённая

функция V : R₊ × Rⁿ → R₊, V (t, 0) ≡ 0, такая, что функция V_r(t) при любом 0 ≤ r ≤ H

является невозрастающей, то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

181

Доказательство. Пусть задано некоторое число 0 < ε ≤ H. Укажем число δ > 0 такое,

что решения уравнения (1), начинающиеся в шаре радиуса δ > 0, не выходят из шара радиуса

ε > 0. Для этого вычислим v = min V (0,y). В силу положительной определённости функции

y∈Sε

V (0, y) можно утверждать, что v > 0. По числу v > 0, используя непрерывность функции

V (0, y), выберем число δ(ε) > 0 таким, чтобы число V_δ = max V (0, y) удовлетворяло

y∈B(0,δ)

неравенству V_δ < v. По определению функции V_r(t) и в силу условия её невозрастания для

всякого y₀ ∈ B(0, δ) и всех t ≥ 0 верны неравенства

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ V∥y0∥(t) ≤ Vδ < v.

Отсюда очевидно следует, что решения уравнения (1), начинающиеся в шаре радиуса δ(ε) >

> 0, не выходят из шара радиуса ε > 0, что и означает устойчивость по Ляпунову нулевого

решения y ≡ 0 уравнения (1). Лемма доказана.

Для дальнейшего наиболее существенно то, что при выполнении условий леммы 1 функ-

ция V (t, y(t, 0, y₀)), t ≥ 0, может и не быть монотонной вдоль всех решений уравнения (1).

На основании леммы 1 можно сформулировать признак устойчивости, описывающий мини-

мальное (в некотором смысле) множество, на котором требуется проверка условий (2) или (3)

для заключения соответственно об устойчивости или асимптотической устойчивости нулевого

решения y ≡ 0 уравнения (1).

Лемма 2. Если для уравнения (1) найдётся непрерывно дифференцируемая положительно

определённая функция V : R₊ × Rⁿ → R₊, V (t,0) ≡ 0, такая, что при любом 0 < r ≤ H

неравенства (2) выполнены для каждого t ≥ 0 и всех y = y(t,0,y₀), для которых y₀ ∈ M_r(t),

то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Если дополнительно функция V допускает бесконечно малый высший предел и для каж-

дого t ≥ 0 и всех y = y(t, 0, y₀), для которых y₀ ∈ M_r(t), выполняется условие (3), то

нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство получается, если учесть компактность множества M_r(t), непрерывность

функции

V (t, y) = V ^′t(t, y) + V ^′y(t, y)f(t, y) - производной функции V (t, y) вдоль решений - и

условия (2) или (3), гарантирующие неположительность или определённую отрицательность

величины

V (t, y) в тех точках y = y(t, 0, y₀), в которых функция V (t, y) достигает макси-

мального значения на множестве y(t, 0, S_r), т.е. в точках множества y(t, 0, M_r (t)).

Для продолжения доказательства леммы нам понадобится следующее вспомогательное

Утверждение 2. Пусть для некоторой непрерывно дифференцируемой (не обязательно

знакопостоянной) функции V (t, y) при некотором r > 0 и каждом t > 0 для точек y =

= y(t,0,y₀), в которых функция V (t,y) достигает максимального значения на множестве

y(t, 0, S_r), т.е. для точек множества y(t, 0, M_r (t)), верно неравенство

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ 0.

Тогда функция V_r(t) является невозрастающей.

Если же выполнено более сильное условие

V (t, y(t, 0, y₀)) < -ε < 0, то функция V_r(t)

является монотонно убывающей и при этом для τ > 0 верна оценка V_r(t + τ) - V_r(t) < -ετ.

Доказательство утверждения. Покажем сначала, что функция V_r(t) является невоз-

растающей, если выполнено условие

V (t, y(t, 0, y₀)) < -ε < 0 для всех точек y0 ∈ Mr(t).

Предположим, что это не так: найдётся t^∗ ≥ 0 и последовательность точек t_n > t^∗, t_n → t^∗

при n → ∞, таких, что V_r(t_n) > V_r(t^∗). Очевидно, что найдутся точки yn0 ∈ M_r(t_n), для кото-

рых V (t_n, y(t_n, 0, yn0)) = V_r(t_n). Тогда последовательность yn0 ∈ M_r(t_n) в силу компактности

сферы S_r может быть выбрана такой, что для некоторой точки y∗0 ∈ S_r верно, что yn0 → y∗0

при n → ∞. Очевидно, что y∗0 ∈ M_r(t^∗) и V (t_n, y(t_n, 0, yn0)) = V (t_n, y(t_n, t^∗, y(t^∗, 0, yn0))). По-

скольку

V (t, y(t, 0, y∗0)) < -ε < 0 при t ≥ t^∗, то, в силу непрерывности

V (t, y) и непрерывной

зависимости решений от начальных данных, для достаточно больших n выполняется нера-

венство

V (t, y(t, t^∗, y(t^∗, 0, yn0))) ≤ -ε < 0 при t^∗ ≤ t ≤ t_n. Отсюда легко следуют соотношения

V_r(t_n) = V (t_n,y(t_n,0,yn0)) = V (t_n,y(t_n,t^∗,y(t^∗,0,yn0))) ≤

≤ V (t^∗,y(t^∗,0,yn0)) - ε(t_n - t^∗) < V_r(t^∗) - ε(t_n - t^∗) < V_r(t^∗).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

182

КНЯЖИЩЕ

Полученное противоречие с выбором точек t_n > t^∗, t_n → t^∗ при n → ∞, доказывает, что

функция V_r(t) является невозрастающей, если выполнено условие

V (t, y(t, 0, y₀)) < -ε < 0

для точек множества y(t, 0, M_r(t)).

Докажем теперь, что функция V_r(t) является невозрастающей, если выполнено условие

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ 0 для точек множества y(t, 0, M_r(t)). Рассмотрим функции

V_ε(t,y) = V (t,y) - εt.

Через M^εr обозначим множество M_r для функции V_ε. Для каждой из этих функций очевид-

но верны неравенства

V_ε(t,y(t,0,y₀)) < -ε < 0 для точек соответствующего этой функции

множества y(t, 0, M^εr(t)), так как множество y(t, 0, M^εr(t)) не изменяется и при любом ε >

> 0 совпадает с множеством y(t,0,M_r(t)). Согласно только что доказанному, функции V εr (t)

являются невозрастающими. Следовательно, не возрастает и функция V_r(t), являющаяся по-

точечным пределом функций V^εr(t).

Теперь для завершения доказательства утверждения нам остаётся показать, что если

V (t, y(t, 0, y₀)) < -ε < 0 для точек множества y(t, 0, M_r (t)), то для всех t > 0 и τ > 0 верна

оценка V_r(t + τ) - V_r(t) < -ετ. Рассмотрим функцию V_ε(t, y) = V (t, y) + εt. Для этой функ-

ции верно неравенство

V_ε(t,y(t,0,y₀)) ≤ 0 для точек множества y(t,0,M^εr(t)), совпадающего

с множеством y(t, 0, M_r (t)). Следовательно, функция V^εr(t), которая совпадает с функцией

V_r(t) + εt, не возрастает, а значит, для τ > 0 верна оценка

V_r(t + τ) - V_r(t) < -ετ.

Утверждение доказано.

Вернёмся к доказательству леммы. Устойчивость нулевого решения y ≡ 0 уравнения (1)

очевидна, так как при выполнении условий данной леммы вследствие справедливости утвер-

ждения 2 выполнены условия леммы 1.

Установим асимптотическую устойчивость нулевого решения y ≡ 0 уравнения (1), если

выполнены указанные в формулировке леммы дополнительные условия.

Поскольку нулевое решение y ≡ 0 устойчиво, то по числу H можно указать число h >

> 0 такое, что решения, начинающиеся в шаре радиуса h, не покидают шар радиуса H.

Покажем, что всякое решение, начинающееся в шаре радиуса h, с течением времени стремится

к нулевому решению y ≡ 0 уравнения (1).

Предположим, что это не так. Это означает, что найдутся решение y(t, 0, y₀), ∥y0∥ < h, и

последовательность моментов времени t_n > 0, t_n → ∞ при n → ∞, такие, что ∥y(t_n, 0, y₀)∥ >

> ε > 0 для некоторого ε и всех n. Поскольку функция V (t,y) положительно определена,

то существует число v > 0 такое, что V (t, y(t_n, 0, y₀)) > v для всех n. Положим r = ∥y₀∥ и

рассмотрим функцию V_r(t). Согласно определению этой функции выполняется неравенство

V_r(t_n) ≥ V (t,y(t_n,0,y₀)) > v для всех n. Отсюда в силу того, что функция V_r(t) является

невозрастающей, следует неравенство V_r(t) ≥ v для всех t > 0.

Учитывая, что V (t, y(t, 0, y₀)) = V_r(t) > v для всех y₀ ∈ M_r(t) и каждого t > 0, и исполь-

зуя наличие бесконечно малого высшего предела у функции V (t, y), приходим к заключению,

что для всех y₀ ∈ M_r(t) и каждого t > 0 при некотором ε₁ > 0 выполняется неравенство

∥y(t, 0, y₀)∥ > ε₁ > 0. Теперь из того, что для всех y₀ ∈ M_r(t) и каждого t > 0, согласно

условиям леммы 2, выполняется неравенство (3), вытекает неравенство

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ -ω(ε₁) < 0.

Таким образом, выполнены условия второй части утверждения 2, а значит, имеет место

неравенство V_r(t) < V_r(0) - ω(ε₁)t. Для больших t это неравенство противоречит тому, что

V (t, y(t, 0, y₀)) = V_r(t) > v. Полученное противоречие доказывает асимптотическую устойчи-

вость. Лемма доказана.

Очевидно, что совокупность множеств (t, y(t, 0, M_r (t))), как правило, значительно меньше

множества R₊ ×Rⁿ, однако её построение может быть сопряжено с трудностями, сравнимыми

с нахождением решений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

183

На основании леммы 2 установим следующий признак устойчивости, не требующий непо-

средственного построения множеств M_r(t).

Теорема 2. Если для уравнения (1) найдётся непрерывно дифференцируемая положи-

тельно определённая функция V

: R₊ × Rⁿ → R₊, V (t,0) ≡ 0, такая, что неравенства

(2) выполнены для каждого t ≥ 0 и всех y = y(t,0,y₀), для которых найдётся константа

c(t, y₀) ∈ R такая, что

V ′y(t,y(t,0,y₀))y^′y

(t, 0, y₀) = c(t, y₀)y₀,

(4)

то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Если дополнительно V допускает бесконечно малый высший предел и для каждого t ≥ 0

и всех y = y(t, 0, y₀), для которых выполняется условие (4), выполнено условие (3), то нуле-

вое решение y ≡ 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство получить достаточно просто, если заметить, что условие (4) является

необходимым условием [1, с. 205] достижения функцией V (t, y(t, 0, y₀)) экстремума в точке

(t, y(t, 0, y₀)) на сфере S∥y0∥. Пусть

∥y₀∥

(t) - это множество, при каждом t ≥ 0 включающее

точки y = y(t, 0, y₀), для которых найдётся константа c(t, y₀) ∈ R такая, что выполнено

условие (4). Очевидно включение M∥y0∥(t) ⊂

(t). Отсюда следует, что неравенства (2)

∥y₀∥

справедливы для каждого t ≥ 0 и всех y = y(t, 0, y₀), для которых y₀ ∈ M∥y0∥(t). Это

означает, что выполнены условия леммы 2. Теорема доказана.

В приведённых выше леммах и в теореме 2 используются положительно определённые

функции, которые, в принципе, могут быть, в отличие от функций, удовлетворяющих класси-

ческим требованиям второго метода Ляпунова, немонотонными вдоль решений уравнения (1).

Это связано с тем, что требования к знаку производной

V (t, y) вдоль решений уравнения (1)

предъявляются не на всей окрестности положения равновесия, а только в тех точках y₀ ∈

∈ M∥y0∥(t), в которых при заданном t функция Ляпунова V (t,y(t,0,y0)) достигает максиму-

ма на сфере S∥y0∥.

2. Условия устойчивости для незнакопостоянных функций Ляпунова. Приведём

теперь достаточное условие устойчивости, допускающее использование даже знакопеременных

функций, не обязательно являющихся монотонными вдоль решений уравнения (1). Для слу-

чая знакопостоянных, но не знакоопределённых функций данные утверждения представляют

собой дополнения к результатам работы [2].

Теорема 3. Пусть для уравнения (1) найдутся число H > 0, непрерывно дифференциру-

емая функция V : R₊ × Rⁿ → R, V (t, 0) ≡ 0, последовательность чисел r_n, n ∈ N, r_n → 0

при n → ∞, и последовательность окрестностей M_n ⊂ B(0,r_n) точки y = 0 такие, что

неравенства (2) выполнены для каждого t ≥ 0 и всех y ∈ B(0,H), для которых V (t,y) > 0.

Если при этом для любого t ≥ 0 верно неравенство

min V (t, y) > 0,

(5)

y∈Fr Mn

то нулевое решение y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Доказательство. Установим устойчивость по Ляпунову нулевого решения y ≡ 0 уравне-

ния (1).

Выберем произвольное ε > 0. Покажем существование δ > 0 такого, что ∥y(t, 0, y₀)∥ ≤ ε,

если ∥y0∥ ≤ δ. Для этого по величине ε > 0 выберем число rnε из последовательности,

указанной в условиях теоремы, таким, чтобы выполнялось неравенство rnε < ε. Из условия

(5) следует, что

min V (t, y) > m(ε) > 0

y∈Fr Mnε

для некоторого m(ε). Непрерывность функции V позволяет выбрать δ > 0 таким образом,

что V (0, y₀) ≤ m(ε), если ∥y₀∥ ≤ δ.

Покажем, что выбранное выше число δ > 0 является искомым. Действительно, рассмот-

рим величину ∥y(t, 0, y₀)∥, где ∥y₀∥ ≤ δ, и допустим, что при некотором t верно равенство

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

184

КНЯЖИЩЕ

∥y(t, 0, y₀)∥ = ε. Тогда при некотором t^∗ справедливо включение ∥y(t∗, 0, y0)∥ ∈ Fr Mnε , а

значит,

V (t^∗, y(t^∗, 0, y₀)) > m(ε)

(6)

согласно построению числа m(ε).

Рассмотрим теперь функцию V (t, y(t, 0, y₀)) на интервале 0 ≤ t ≤ t∗. Если при всех

0 ≤ t ≤ t^∗ верно неравенство V (t,y(t,0,y₀)) > 0, то

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ 0, а значит, функция

V (t, y(t, 0, y₀)) не возрастает на интервале 0 ≤ t ≤ t^∗. Отсюда несложно следует, что

V (t^∗, y(t^∗, 0, y₀)) ≤ V (0, y₀) ≤ m(ε),

а это противоречит неравенству (6). Если же при некотором 0 ≤ t₁ ≤ t^∗ верно неравенство

V (t₁, y(t₁, 0, y₀)) ≤ 0, то V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ 0 при всех t₁ ≤ t ≤ t^∗, поскольку

V (t, y(t, 0, y₀)) ≤ 0

при V (t, y(t, 0, y₀)) > 0. Отсюда получаем V (t^∗, y(t^∗, 0, y₀)) ≤ 0 < m(ε), что также противоре-

чит неравенству (6). Теорема доказана.

Функцию, удовлетворяющую условиям теоремы 3, будем называть вспомогательной функ-

цией. Теорема 3 предполагает использование вспомогательных функций, являющихся не зна-

копостоянными, т.е., возможно, имеющих отрицательные значения в сколь угодно малой ок-

рестности нулевого решения, но заведомо имеющих знакоотрицательную производную. Хоро-

шо известными примерами здесь могут служить градиентные и ряд механических систем с

заданной функцией полной энергии.

Прежде чем перейти к рассмотрению этих примеров, приведём одно утверждение, в кото-

ром используются знакопостоянные вспомогательные функции для автономных уравнений (1).

Пусть ∇f(y) и Jf(y) обозначают градиент и матрицу вторых производных скалярной функ-

ции f в точке y.

Утверждение 3. Пусть для автономного уравнения (1) найдутся число H > 0, непре-

рывно дифференцируемая функция V : Rⁿ → R, V (0) ≡ 0, последовательность чисел r_n < H,

n ∈ N, r_n → 0 при n → ∞, и последовательность чисел δ_n > 0 такие, что неравенства

(2) выполнены для всех y ∈ B(0,H), для которых V (y) > 0. Если при этом V (y) ≥ 0 при

r_n - δ_n < ∥y∥ < r_n, а для y ∈ Srn , для которых справедливы соотношения

∇V (y) = c(y)y и (x,JV (y)x) - c(y) ≥ 0

(7)

для всех x ∈ S₁ таких, что (y, x) = 0, верно и неравенство c(y) > 0, то нулевое решение

y ≡ 0 уравнения (1) устойчиво.

Доказательство легко следует из теоремы 3. Действительно, множество тех точек сферы

y ∈ Srn, для которых верны соотношения (7), содержит в себе все точки, в которых функция

V (y) достигает минимума на сфере Srn . В свою очередь выполнение неравенства c(y) > 0

гарантирует, что функция min V (y) возрастает при r, близких к r_n. Поскольку V (y) ≥ 0

y∈Sr

при r_n - δ_n < ∥y∥ < r_n, то min V (y) > 0. Утверждение доказано.

y∈Srn

3. Примеры. Проиллюстрируем применение теоремы 3 и утверждения 3 на нескольких

примерах.

Пример 1. Градиентная система. Рассмотрим градиентную дифференциальную

систему

y = -∇f(y),

∇f(0) = 0, y ∈ B(0,H).

(8)

Основываясь на теореме 3, нетрудно установить признак устойчивости положения равно-

весия системы (8), который можно использовать для изучения таких систем с функцией f,

не имеющей даже нестрогого минимума в точке покоя.

Теорема 4. Пусть для функции f найдутся последовательность чисел r_n, n ∈ N, r_n →

→ 0 при n → ∞, и последовательность окрестностей M_n ⊂ B(0,r_n) точки y = 0 такие,

что верно неравенство

min f(y) > 0.

(9)

y∈Fr Mn

Тогда точка покоя y ≡ 0 системы (8) устойчива.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

185

Доказательство следует из того, что в качестве вспомогательной функции можно взять

функцию V (y) = f(y). Здесь очевидно

V (y) = -(∇f(y), ∇f(y)) ≤ 0, а значит, выполнены все

требования теоремы 3.

Если функция f оказывается не знакопеременной, а знакоположительной, т.е. имеет в

точке покоя y = 0 нестрогий локальный минимум, то более удобным может оказаться исполь-

зование утверждения 3. Применяя это утверждение, легко установить следующий признак

устойчивости системы (8), не требующий построения набора окрестностей M_n ⊂ B(0, r_n) точ-

ки y = 0.

Теорема 5. Пусть функция f знакоположительна и найдётся последовательность чи-

сел r_n, n ∈ N, r_n → 0 при n → ∞, таких, что для всякого ∥y∥ = rn, для которого

выполняются соотношения

∇f(y) = c(y)y и (x,Jf(y)x) - c(y) ≥ 0

(10)

для всех x ∈ S₁ таких, что (y, x) = 0, верно и неравенство c(y) > 0.

Тогда положение равновесия y ≡ 0 системы (8) устойчиво.

Доказательство очевидным образом следует из утверждения 3.

Нетрудно убедиться, что условия устойчивости теорем 3, 4 дополняют соответствующие

результаты работ [3, 4], поскольку включают более широкий класс знакопеременных функций

f и могут применяться тогда, когда точка покоя y ≡ 0 является не изолированной точкой

покоя.

Пример 2. Гамильтонова система. Рассмотрим гамильтонову систему с традиционными

уравнениями движения

∂H

(q, p),

p=-

(q, p),

(11)

∂p

∂q

где q, p ∈ Rⁿ, гамильтониан H(q, p) = T (q, p) + U(q) - сумма кинетической и потенциаль-

ной энергий. Полная производная гамильтониана вдоль траекторий движения системы (11)

тождественно равна нулю.

Здесь будем считать, что T (q, p) = 2-1p^тB(q)p и матрица B(q) непрерывно дифферен-

цируемая и симметрическая, а B(0) положительно определена. Потенциальная энергия U(q)

непрерывно дифференцируема и U(0) = 0, ∂U(0)/∂q = 0.

Хорошо известна теорема Лагранжа-Дирихле, согласно которой если потенциальная энер-

гия имеет в точке q = 0 строгий минимум, то положение равновесия q = 0, p = 0 устойчиво.

В этом случае гамильтониан оказывается положительно определённой функцией Ляпунова.

Вопрос о наличии устойчивости для случая нестрогого минимума потенциальной энергии в

точке q = 0 оказывается очень сложным и наиболее полно изучен для случая, когда функция

U (q) аналитична в некоторой окрестности точки q = 0 [5, с. 82]. При этом Пенлеве, а затем и

Уинтнер отмечали, что положение равновесия может быть устойчивым в некоторых ситуаци-

ях даже при не имеющей нестрогого локального минимума потенциальной энергии, а значит,

при знакопеременном гамильтониане.

Приведём один из известных результатов для того, чтобы показать, что такого рода утвер-

ждения, обычно опирающиеся на собственные доказательства, непосредственно следуют из

теоремы 3.

Утверждение 4. Пусть для системы (11) найдётся последовательность чисел r_n, n ∈

∈ N, r_n → 0 при n → ∞, и последовательность окрестностей M_n ⊂ B(0,r_n) точки q = 0

такая, что для всех n ∈ N верно неравенство

min U(q) > 0.

(12)

q∈Fr Mn

Тогда положение равновесия q = 0, p = 0 системы (11) устойчиво.

Нетрудно видеть, что проверка выполнения условий утверждения 4 связана с необходимо-

стью построения специального набора окрестностей, которые фигурируют в теореме 3. В то

же время использование утверждения 3 для случая знакоположительной функции U(q) поз-

воляет избежать такой процедуры и свести проверку к более простым условиям.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

186

КНЯЖИЩЕ

Утверждение 5. Пусть в системе (11) функция U знакоположительна и найдётся

последовательность чисел r_n, n ∈ N, r_n → 0 при n → ∞, таких, что для тех q ∈ Srn,

для которых выполняются соотношения

∇U(q) = c(q)q и (x,JU(q)x) - c(q) ≥ 0

(13)

для всех x ∈ S₁ таких, что (q, x) = 0, верно и неравенство c(q) > 0.

Тогда положение равновесия q = 0, p = 0 системы (11) устойчиво.

Доказательство непосредственно вытекает из утверждения 3, применённого к функции

H(q, p) = T (q, p) + U(q) как соответствующей вспомогательной функции. Действительно, во

множестве точек q, удовлетворяющих условиям (13), содержатся все точки, в которых функ-

ция U(q) достигает минимума на соответствующей сфере Srn . Выполнение для этих точек

неравенства c(q) > 0 означает, что функция min U(q) возрастает по r в некоторой окрестно-

q∈Sr

сти r_n. Теперь, учитывая, что функция U знакоположительна, а функция T (q, p) положи-

тельно определена, получаем, что в пространстве пар (q, p) существует набор окрестностей

M_n ⊂ B(0,r_n) точки (0,0), для которых верны неравенства min H(q,p) > 0.

(q,p)∈Fr Mn

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гороховик В.В. Конечномерные задачи оптимизации. Минск, 2007.

2. Гайшун И.В., Княжище Л.Б. Условия устойчивости решений автономных вполне интегрируемых

уравнений // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 8. С. 1453-1456.

3. Княжище Л.Б. Условия экстремума и признаки устойчивости градиентных систем // Дифференц.

уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 348-355.

4. Absil P.A., Kurdyka K. On the stable equilibrium points of gradient systems // Systems & Control

Letters. 2006. V. 55. № 7. P. 573-577.

5. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 10.10.2020 г.

г. Минск

После доработки 10.10.2020 г.

Принята к публикации 11.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021