ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.187-195

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926+531.36

О ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С КВАДРАТИЧНЫМ ИНТЕГРАЛОМ

Рассматриваются неавтономные линейные системы дифференциальных уравнений, допус-

кающие зависящий от времени первый интеграл в виде квадратичной формы. Установлена

двойственность между взаимно сопряжёнными линейными системами с квадратичными

интегралами. Указаны условия симметричности спектра таких линейных систем относи-

тельно нуля. Доказано, что линейная система устойчива тогда и только тогда, когда она

допускает первый интеграл в виде положительно определённой квадратичной формы. Ис-

следованы инвариантные меры линейных систем с квадратичным интегралом, плотности

которых - положительные функции времени. Указана в явном виде серия квадратичных

интегралов, если известен один из них. Показано, что степень неустойчивости правильной

линейной системы (число положительных точек спектра с учётом кратностей) не превос-

ходит минимального из индексов инерции приводимого квадратичного интеграла.

DOI: 10.31857/S0374064121020060

1. Введение. Пусть

x = Ax, x ∈ Rⁿ,

(1.1)

– автономная система линейных дифференциальных уравнений в n-мерном пространстве, до-

пускающая первый интеграл в виде невырожденной квадратичной формы

F (x) = (Bx, x)/2, B^∗ = B.

(1.2)

Скобка ( , ) - скалярное произведение в Rⁿ.

В [1] отмечены следующие свойства такой линейной системы (1.1):

1◦ div (Ax) = tr A = 0;

2◦ f(-λ) = f(λ), λ ∈ C, где f(λ) = |A-λI| - характеристический многочлен матрицы A.

Далее, если система (1.1) невырождена (т.е. |A| = 0), то:

3◦ размерность n чётна;

4◦ система (1.1) допускает n/2 независимых квадратичных интеграла;

5◦ система устойчива тогда и только тогда, когда она имеет положительно определённый

квадратичный интеграл.

В общем невырожденном случае (когда |A| = 0 и |B| = 0) линейная система (1.1) с квад-

ратичным интегралом (1.2) оказывается гамильтоновой: симплектическую структуру в Rⁿ

задаёт невырожденная кососимметрическая матрица Ω = BA-1, а гамильтонианом служит

квадратичный интеграл (1.2) [1]. Это наблюдение распространено на линейные системы в гиль-

бертовом пространстве в работе [2]. Полная интегрируемость таких бесконечномерных гамиль-

тоновых систем обсуждается в [3].

С этой точки зрения свойство 1◦ отвечает классической теореме Лиувилля о сохране-

нии фазового объёма потоком гамильтоновой системы, а свойство 2^◦ соответствует хорошо

известному свойству спектра линейной гамильтоновой системы (он симметричен не только от-

носительно вещественной оси, но и относительно чисто мнимой оси комплексной плоскости).

Следует подчеркнуть, что свойства 1^◦ и 2^◦ имеют место и в случае вырожденной матрицы A,

когда линейная система (1.1), вообще говоря, не гамильтонова.

Пусть u - степень неустойчивости невырожденной линейной системы (1.1): количество

собственных значений матрицы A в правой комплексной полуплоскости (с учётом кратности),

187

188

КОЗЛОВ

а i^- и i⁺ - индексы инерции квадратичной формы (1.2) (ввиду её невырожденности i^- +

+ i⁺ = n). Тогда имеют место следующие соотношения:

6◦ u ≤ min{i^-, i⁺};

7◦ u ≡ i^- mod 2.

Неравенство 6^◦ доказано в [4] с помощью теории нормальных форм Вильямсона линейных

гамильтоновых систем; другое доказательство дано в [5]. Сравнение 7^◦ представляет собой

обобщение классической теоремы Кельвина о возможности гироскопической стабилизации по-

ложений равновесия натуральных механических систем [1].

В настоящей работе рассматривается более общий случай, когда матрицы A и B зависят

от времени. Установлены аналоги свойств 1^◦- 6^◦ для неавтономных линейных систем. При

этом спектр линейной системы определяется обычным способом через характеристические по-

казатели Ляпунова. Чтобы доказать (и правильно сформулировать) аналог теоремы Кельвина

(свойство 7^◦) в неавтономном случае, надо использовать более тонкие характеристики реше-

ний (например, характеристические частоты [6, 7]). Но этот вопрос здесь не рассматривается.

Предполагается, что читатель знаком с основными определениями и свойствами характе-

ристических показателей Ляпунова решений неавтономных линейных систем дифференциаль-

ных уравнений (см. по этому поводу, например, [8]).

Приведём пример из теории малых колебаний механических систем около положения рав-

новесия с учётом так называемых гироскопических сил. Линеаризованное уравнение движения

имеет следующий вид:

Mx + G(t)x + Px = 0, x ∈ R^m.

(1.3)

Здесь M^∗ = M > 0 - матрица инерции, P - симметрическая матрица, задающая потенциаль-

ную энергию системы

V = (Px,x)/2,

а G - кососимметрическая матрица (в нашем случае зависящая от времени), порождающая

гироскопическую силу -G x.

Уравнение (1.3) допускает интеграл энергии

F =

(M ˙x, x) +

(P x, x).

(1.4)

Гироскопические силы не оказывают влияния на сохранность полной энергии системы.

2. Линейные неавтономные системы. Наш основной объект - линейная неавтономная

система дифференциальных уравнений

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ,

(2.1)

допускающая квадратичный интеграл

F (x, t) = (B(t)x, x)/2.

(2.2)

Элементы матрицы A (матрицы B) считаются непрерывными (непрерывно дифференциру-

емыми) функциями времени t ∈ R. Матрицы A и B связаны следующим соотношением:

B₊ BA + A^∗B = 0.

(2.3)

В дальнейшем существенную роль играет линейная система дифференциальных уравне-

ний, сопряжённая к системе (2.1):

y = -A^∗(t)y, y ∈ Rⁿ.

(2.4)

Предложение 2.1. Если матрица B(t) невырождена при всех t, то квадратичная

форма

H(y, t) = (B-1(t)y, y)/2

(2.5)

является первым интегралом сопряжённой системы (2.4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ

189

Действительно, умножая тождество (2.3) справа и слева на B-1 и используя легко прове-

ряемое равенство

(B-1)˙ = -B-1 B˙ B-1,

получаем

(B-1)˙ + B-1(-A^∗) + (-A)B-1 = 0,

что доказывает инвариантность квадратичной формы (2.5) относительно потока сопряжённой

системы.

Каждое из отображений

A → -A^∗ и B → B-1

инволютивно: его квадрат - тождественное отображение. Предложение 2.1 устанавливает лю-

бопытную двойственность между сопряжёнными линейными системами с невырожденными

квадратичными интегралами. Эту двойственность более выразительно представляет

Предложение 2.2. Пусть |B(t)| = 0 при всех t. Тогда линейная подстановка

y = B(t)x

(2.6)

переводит линейную систему (2.4) в сопряжённую ей систему (2.1).

Обратная подстановка x = B-1(t)y переводит систему (2.1) в (2.4).

Доказательство. Проводя замену переменных (2.6) в линейной системе дифференциаль-

ных уравнений (2.4), получаем

B x +Bx = -A^∗Bx,

или

x = -(B-1B˙ + B-1A^∗B)x.

(2.7)

Далее, из тождества (2.3) следует, что

-(B-1 B˙ + B-1A^∗B) = A.

Следовательно, линейные системы (2.7) и (2.1) совпадают между собой, что и требовалось

доказать.

Напомним, что невырожденная при всех t из рассматриваемого временного промежутка

матрица L(t) с непрерывно дифференцируемыми элементами называется матрицей Ляпуно-

ва, если на рассматриваемом промежутке L(t) и

^L(t) ограничены и |L(t)| ≥ l > 0. Матри-

ца L-1(t) также будет матрицей Ляпунова.

Следствие 2.1. Если B(t) - матрица Ляпунова, то спектры линейных систем (2.1)

и (2.4), содержащие, возможно, и несобственные значения, совпадают между собой.

Действительно, при линейных преобразованиях, задаваемых матрицами Ляпунова, харак-

теристические показатели решений сохраняются.

Пусть матрица A(t) ограничена (в промежутке [t0, ∞)). Тогда (по теореме Ляпунова)

полный спектр линейной системы (2.1) (и ей сопряжённой) состоит из n вещественных чисел.

Теорема 2.1. Пусть B(t) - матрица Ляпунова. Тогда линейная система (2.1) с ограни-

ченной матрицей A(t) правильная тогда и только тогда, когда её полный спектр симмет-

ричен относительно нуля.

Тем же свойством обладает и сопряжённая линейная система.

Доказательство. Согласно теореме Перрона критерий правильности линейной системы

заключается в условии симметричности относительно нуля полных спектров этой системы и

системы, ей сопряжённой. Остаётся воспользоваться следствием 2.1. Теорема доказана.

Заключение теоремы 2.1 - это аналог свойства 2^◦ для автономных систем, приведённого

во введении. Здесь роль автономности играет условие правильности линейной неавтономной

системы.

Следствие 2.2. Пусть B(t) - матрица Ляпунова, а линейная система (2.1) с ограничен-

ной матрицей A(t) правильная. Если её спектр не содержит нуля, то n чётно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

190

КОЗЛОВ

Следствие 2.2 представляет собой аналог для неавтономных линейных систем с зависящим

от времени квадратичным интегралом свойства 3^◦.

Следствие 2.3. Пусть B(t) - матрица Ляпунова, а линейная система (2.1) с ограничен-

ной матрицей A(t) правильная. Тогда

∫

lim

tr A(t) dt = 0.

τ→∞ τ

τ₀

Действительно, поскольку система (2.1) правильная, то предел слева существует и равен

сумме всех характеристических показателей (с учётом кратностей) из спектра этой системы.

Но (по теореме 2.1) эта сумма равна нулю.

На самом деле утверждение следствия 2.3 справедливо и без предположения о правильно-

сти системы (2.1). Это вытекает из доказанного ниже следствия 3.3: из формулы (3.8) вытекает

ограниченность интеграла

∫

tr A(s) ds,

t₀

если B(t) - матрица Ляпунова.

Следствие 2.4. Если B(t) - матрица Ляпунова, то линейные системы (2.1) и (2.4)

одновременно устойчивы или неустойчивы.

Это сразу же вытекает из предложения 2.2.

Следствие 2.5. Пусть выполнены условия следствия 2.4. Если система (2.1) устойчива,

то её спектр нулевой и она приводится (по Ляпунову) к системе с нулевой матрицей.

Действительно, если спектр содержит положительное вещественное число, то у систе-

мы (2.1) найдётся неограниченное решение.

Пусть теперь спектр содержит отрицательное число. Тогда система (2.1) имеет ненулевое

решение t → x(t) такое, что x(t) → 0 при t → ∞. По следствию 2.4 все решения t → y(t)

сопряжённой системы ограничены. Выберем y(0) так, чтобы

(x(0), y(0)) = c = 0.

(2.8)

По теореме Лагранжа

(x(t), y(t)) = c

при всех t. Так как y(t) ограничена, а x(t) → 0, то c = 0, что противоречит неравенству

в (2.8). Итак, спектр линейной системы (2.1) нулевой.

Наконец, поскольку линейная система (2.1) устойчива одновременно со своей сопряжённой

системой (следствие 2.4), то, как отмечено в [8, с. 228, упр. 14], она приводится к линейной

системе с нулевой матрицей.

Теорема 2.2. В предположениях следствия 2.4 линейная система (2.1) устойчива тогда

и только тогда, когда она допускает первый интеграл в виде положительно определённой

квадратичной формы.

Доказательство. Если линейная система допускает положительно определённый квадра-

тичный интеграл, то его можно принять за функцию Ляпунова, что доказывает устойчивость

системы (2.1).

Пусть теперь система (2.1) устойчива. Тогда (по следствию 2.5) заменой переменных x =

= L(t)z с некоторой матрицей Ляпунова L система дифференциальных уравнений преобра-

зуется к виду Ż = 0. Это уравнение допускает квадратичный интеграл f = (z,z)/2, который

в старых переменных имеет вид

f (x, t) = (L-1(t)x, L-1(t)x)/2.

(2.9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ

191

Так как L(t) является матрицей Ляпунова, то (2.9) будет положительно определённым квад-

ратичным интегралом исходной линейной системы (2.1). В самом деле, так как

∥x∥

≤

≤ ∥L∥∥z∥, то

2f = ∥z∥² ≥ ∥L(t)∥-2∥x∥².

Остаётся учесть, что ∥L(t)∥ - ограниченная положительная функция времени. Поэтому вы-

полняется неравенство ∥L(t)∥-2 ≥ const > 0.

Теорема 2.2 обобщает свойство 5◦ на неавтономные линейные системы с зависящим от

времени квадратичным интегралом.

3. Инвариантные меры. Нестационарная мера

dμ_t = ρ(x, t) dⁿx

с непрерывно дифференцируемой плотностью ρ > 0 будет инвариантной относительно потока

линейной системы (2.1) тогда и только тогда, когда

∂ρ

+ div (ρv) = 0,

(3.1)

∂t

где v = A(t)x. Уравнение (3.1) - известное уравнение Лиувилля, играющее ключевую роль

в статистической механике.

Пусть плотность зависит лишь от времени. Тогда уравнение (3.1) примет следующий вид:

ρ + ρa = 0, a(t) = trA(t).

(3.2)

Его общее решение:

[ ∫ t

]

ρ(t) = ρ₀ exp - a(τ) dτ ,

ρ₀ = ρ(0).

Следовательно, решение существует на всей временной оси (если, конечно, матрица A(t) опре-

делена при всех t) и плотность ρ(t) положительна, если ρ₀ > 0.

Уравнение (3.2) полезно сравнить с уравнением (также полученным Лиувиллем) для опре-

делителя Вронского w(t) фундаментальной матрицы решений линейной системы (2.1):

w = aw.

(3.3)

Сопоставляя (3.2) и (3.3), получаем

ρ = cw-1, c = const.

(3.4)

Имеет место очевидное

Предложение 3.1. Поток линейной системы (2.1) сохраняет стандартную меру dⁿx

в том и только том случае, когда tr A(t) ≡ 0.

Следствие 3.1. Потоки линейной системы и системы, ей сопряжённой, сохраняют меру

Лебега одновременно.

Предложение 3.2. Предположим, что линейная система (2.1) допускает не зависящий

от времени интеграл в виде невырожденной квадратичной формы. Тогда её поток сохраняет

обычную меру Лебега в Rⁿ.

Действительно, в этом случае условие (2.3) принимает вид

BA + A^∗B = 0

(3.5)

и, кроме того, |B| = 0. Из (3.5) находим A = -B-1A^∗B. Следовательно,

tr A = -tr (A^∗BB-1) = -tr A^∗ = -tr A.

Откуда tr A = 0, что и требовалось.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

192

КОЗЛОВ

Вернёмся к общему случаю, когда симметрическая матрица B зависит от времени.

Теорема 3.1. Пусть |B(t)| = 0 при всех t. Тогда

ρ(t) = c[ | det B(t)| ]1/2, c = const > 0.

(3.6)

В частности, если B = const, то получаем заключение предложения 3.2.

Следствие 3.2. Если система (2.1) допускает квадратичный интеграл (2.2), невырож-

денный при некотором t = t₀, то |B(t)| = 0 при всех значениях t.

Докажем теперь теорему 3.1.

Лемма 3.1. Если x(t) и z(t) - любые решения линейной системы (2.1), то

(B(t)x(t), z(t)) = const .

(3.7)

Действительно, ввиду линейности уравнения (2.1) сумма x(t) + z(t) также будет его реше-

нием. Следовательно,

(B(x + z), x + z) = const .

Так как (Bx, x) = const и (Bz, z) = const, то отсюда вытекает (3.7).

Следствие 3.3. Если W (t) - фундаментальная матрица системы (2.1), то

W^∗(t)B(t)W(t) = const .

(3.8)

Это утверждение вытекает из леммы 3.1, применённой ко всем линейно независимым ре-

шениям системы (2.1), порождающим фундаментальную матрицу W.

Соотношение (3.8) также легко выводится из тождества (2.3). Умножая (2.3) справа на W,

а слева на W^∗ и учитывая равенства

= AW,

W ^∗ = W^∗A^∗, получаем

W^∗B˙ W + W^∗BW +W∗BW = 0.

Но это соотношение эквивалентно (3.8).

Из тождества (3.8) вытекает, что

|B(t)|w²(t) = α = const .

(3.9)

При этом знаки определителя матрицы B и постоянной α совпадают. После этих замечаний

формула (3.6) сразу же следует из (3.4) и (3.9). Теорема 3.1 доказана.

В случае, когда матрицы A(t) и B(t) периодичны с одним и тем же периодом τ > 0,

можно воспользоваться результатами эргодической теории. Пусть x(t, x₀) - решение линейной

системы (2.1) с начальным условием x₀ при t = 0. Ввиду периодичности отображения

z → x(nτ,z), n ∈ Z,

(3.10)

образуют группу.

Предложение 3.3. Предположим, что матрица B(t), t mod τ, положительно опре-

делена при всех значениях t и пусть D ⊂ Rⁿ - ограниченная измеримая подобласть, име-

ющая положительную меру Лебега. Тогда для почти всех начальных данных x₀ ∈ D точ-

ка x(nτ, x₀), n ∈ N, бесконечно много раз попадёт в область D.

В частности, для почти всех x₀ ∈ Rⁿ решение с начальным данным x₀ бесконечно много

раз (при t → ∞) будет сколь угодно мало отличаться от x₀.

Докажем предложение 3.3. Согласно теореме 3.1 система (2.1) имеет инвариантную ме-

ру с τ -периодической по t плотностью. Следовательно, отображение (3.10) сохраняет обыч-

ную меру в Rⁿ. Далее, ввиду положительной определённости τ -периодической матрицы B(t)

ограниченная измеримая область D расположена в области

{x ∈ Rⁿ : (B(0)x, x) ≤ C},

(3.11)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ

193

где C - достаточно большая положительная константа. Все области вида (3.11), очевидно,

инвариантны при отображении (3.10), и их мера конечна. Значит, можно воспользоваться

классической теоремой Пуанкаре о возвращении траекторий.

Замечание. Если периодическая матрица B(t) не является положительно определённой,

но невырождена, то справедлива теорема Хопфа: для почти всех начальных условий решение

линейной системы либо бесконечно много раз (при t → ∞) подходит сколь угодно близко

к начальному условию, либо уходит в бесконечность.

4. Квадратичные интегралы. Всегда ли линейная система дифференциальных уравне-

ний (2.1) имеет невырожденный квадратичный интеграл? Ответ оказывается положительным.

Предложение 4.1. Если матрица A(t) непрерывна на R, то линейная система (2.1) до-

пускает квадратичный первый интеграл (2.2), причём симметрическая матрица B(t) непре-

рывно дифференцируема и B(t) > 0 при всех t.

Действительно, пусть y₁(t), . . . , y_n(t) (t ∈ R) - линейно независимые решения сопряжён-

ной системы (2.4). Тогда, согласно Лагранжу, линейные функции

f₁ = (x,y₁(t)), ... , f_n = (x,y_n(t))

будут первыми интегралами линейной системы (2.1). Далее,

∑

f =

f2k(x,t) =

(x, y_k(t))²

(4.1)

k=1

– квадратичный первый интеграл системы (2.1).

Покажем, что эта квадратичная форма положительно определена при всех t ∈ R. Други-

ми словами, если форму (4.1) представить в виде (2.2), то B(t) > 0. Предположим противное,

т.е. f = 0 при некотором x = 0. Но тогда все векторы y₁, . . . , y_n в некоторый момент времени

будут ортогональны x. Следовательно, они лежат в (n - 1)-мерном пространстве, проходя-

щем через начало координат и ортогональном вектору x. Но это противоречит их линейной

независимости. Что и требовалось.

Замечания.

1. Пусть Y

- фундаментальная матрица сопряжённой системы, состоящая из вектор-

столбцов линейно независимых решений y₁(t), . . . , y_n(t). Если вектор-столбцы сопряжённой

матрицы Y^∗ (тоже невырожденной) обозначить через a₁(t), . . . , a_n(t), то матрица B будет

матрицей Грама набора векторов a₁, . . . , a_n.

2. Не следует думать, что квадратичная форма (4.1) будет функцией Ляпунова для линей-

ной системы (2.1). Для этого необходимо ещё условие её положительной определённости:

f (x, t) ≥ c∥x∥², c = const > 0.

Например, если A - единичная матрица, то это условие заведомо не выполняется.

3. Кроме невырожденного интеграла (4.1) линейная система (2.1) имеет целое семейство

невырожденных квадратичных интегралов

∑

f =

c_kf2k,

k=1

где c₁, . . . , c_n - ненулевые вещественные числа. Среди таких интегралов ровно n функцио-

нально независимых.

4. Пусть A = const . Тогда линейная система (2.1) в общем случае не допускает ненулевых

квадратичных интегралов, не зависящих от времени. Самый простой пример: A - единич-

ная n × n-матрица. Однако (по предложению 4.1) для системы (2.1) зависящие от времени

невырожденные квадратичные интегралы всегда существуют.

Предложение 4.1 неконструктивно: чтобы указать квадратичный интеграл, надо прежде

решить сопряжённую систему. В ряде случаев можно указать целую серию квадратичных

интегралов, если известен один из них.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

194

КОЗЛОВ

Предложение 4.2. Если A = const, то линейная система (2.1) допускает квадратичные

интегралы

f_k =

(A^∗kB(t)A^kx, x), k ≥ 0.

(4.2)

При k = 0 имеем исходный интеграл (2.2). Если матрица A обратима, то в формуле (4.2)

число k может быть произвольным целым. Конечно, среди бесконечного набора квадратич-

ных интегралов (4.2) функционально независимых не более n. Вопрос о точном количестве

функционально независимых интегралов среди (4.2) не очевидный.

Доказательство предложения 4.2 совсем простое: все матрицы B_k(t) = A^∗kB(t)A^k удовле-

творяют соотношению (2.3).

5. Степени асимптотической устойчивости и неустойчивости. Если матрица A(t)

ограничена, то все решения линейной системы имеют конечные характеристические показате-

ли. Назовём степенью асимптотической устойчивости системы (2.1) и обозначим через a

количество отрицательных элементов (с учётом кратности) её спектра. Если весь спектр ле-

жит слева от нуля (a = n), то линейная система (2.1) асимптотически устойчива. Будем

называть степенью неустойчивости и обозначать через u количество положительных эле-

ментов (с учётом кратности) в спектре линейной системы (2.1). Если B(t) - матрица Ляпунова

и линейная система (2.1) правильная, то (по теореме 2.1) a = u.

Пусть i^- и i⁺ - индексы инерции квадратичной формы (2.2) - первого интеграла линейной

системы (2.1). Согласно следствию 3.3 эти целые числа не зависят от времени.

Квадратичную форму (B(t)x, x) назовём приводимой, если существует матрица Ляпуно-

ва L(t) такая, что

L^∗(t)B(t)L(t) = C

- постоянная матрица. Эту квадратичную форму можно разными способами приводить к фор-

ме с постоянными коэффициентами. Например, согласно следствию 3.3, квадратичный инте-

грал линейной системы приводится с помощью её фундаментальной матрицы W. Однако W (t)

будет матрицей Ляпунова только для устойчивой линейной системы. Квадратичная форма

приводима в том и только том случае, когда B(t) = L∗1(t)C₁L₁(t), где C₁ - постоянная мат-

рица, а L₁(t) - некоторая матрица Ляпунова.

Теорема 5.1. Если матрица A(t) ограничена, а (2.2) - приводимая квадратичная фор-

ма, то

a ≤ min{i^-,i⁺}.

(5.1)

Следствие 5.1. Если, кроме того, система (2.1) правильная, то

u ≤ min{i^-,i⁺}.

В качестве иллюстрации обратимся к примеру из введения: это уравнение второго по-

рядка (1.3) в предположении, что элементы кососимметрической матрицы G(t) ограничены.

Напомним, что степенью неустойчивости Пуанкаре p механической системы называется

отрицательный индекс инерции квадратичной формы V - потенциальной энергии системы.

Очевидно, что в невырожденном случае (когда |P | = 0) индексы инерции квадратичной фор-

мы (1.4) (первого интеграла уравнения (1.3)) равны i^- = p, i⁺ = 2n - p ≥ p. В частности,

min{i^-, i⁺} = p. Таким образом, из теоремы 5.1 вытекает неравенство для степени асимпто-

тической устойчивости линейной системы (1.3): a ≤ p. В автономном случае (когда матрица

гироскопических сил не зависит от времени) a = u и поэтому u ≤ p. Это неравенство уста-

новлено в работе [9] (см. также [10]).

Доказательство теоремы 5.1. Приведём квадратичную форму (2.2) к виду, не зави-

сящему от времени (теперь B = const). При таком преобразовании её индексы инерции не

изменятся. Точно также у преобразованной линейной системы (2.1) набор показателей Ляпу-

нова (следовательно, и её спектр) останется неизменным.

Пусть -∞ < α₁ < α₂ < . . . < α_s < 0 - часть спектра линейной системы, лежащая слева

от нуля, и пусть n₁, n₂, . . . , n_s - соответственно кратности этих точек спектра. Пусть N_s -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ

195

максимальное число линейно независимых решений системы (2.1), обладающих характерис-

тическим показателем α_s.

Введём множество Γ_s всех решений x(t), включая нулевое, характеристические показате-

ли которых не превосходят числа α_s. Из известных свойств характеристических показателей

следует, что если x₁(t), x₂(t) ∈ Γ_s, то

1) cx_j(t) ∈ Γ_s, c = const;

2) x₁(t) + x₂(t) ∈ Γ_s.

Следовательно, Γ_s - векторное пространство над R.

Известно, что [8, гл. III, § 4]

N_s = dimΓ_s

(5.2)

n₁ + n₂ + ... + n_s = N_s.

(5.3)

Так как все α_j отрицательны, то (Bx(t), x(t)) → 0 при t → +∞ для всех решений x(t) из

пространства Γ_s. Поскольку квадратичная форма (2.2) - первый интеграл, то все эти решения

(точнее, их траектории) лежат в конусе

K = {x ∈ Rⁿ : (Bx,x) = 0}.

(5.4)

В каждый момент времени t совокупность векторов {x(t)} ⊂ Rⁿ, где x(t) - решения

из Γ_s, будет плоскостью Σ(t), проходящей через начало координат и размерность которой

равна dim Γ_s. В геометрии такие плоскости называются сингулярными: они целиком лежат

в изотропном конусе (5.4). Хорошо известно, что размерность каждой сингулярной плоскости

не превосходит

min{i^-, i⁺}

(5.5)

(см., например, [11, гл. 13.2]). С учётом равенств (5.2) и (5.3) получаем, что число точек

отрицательной части спектра линейной системы (2.1) (с учётом кратности) не превосходит

величины (5.5). Откуда вытекает искомое неравенство (5.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. Линейные системы с квадратичным интегралом // Прикл. математика и механика.

1992. Т. 56. № 6. С. 900-906.

2. Трещёв Д.В., Шкаликов А.А. О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом

пространстве // Мат. заметки. 2017. Т. 101. № 6. С. 911-918.

3. Козлов В.В. Квадратичные законы сохранения уравнений математической физики // Успехи мат.

наук. 2020. Т. 75. № 3. С. 253-304.

4. Козлов В.В., Карапетян А.А. О степени устойчивости // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 2.

С. 186-192.

5. Kozlov V.V. Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability // Regul.

Chaotic. Dyn. 2018. V. 23. № 1. P. 26-46.

6. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2006. № 25. С. 249-294.

7. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной

системы // Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. С. 149-172.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

9. Wimmer H.K. Inertia theorems for matricies, controllability and linear vibratios // Linear Algebra Appl.

1974. № 8. P 337-343.

10. Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula

// Oper. Theory Adv. Appl. V. 87. Basel, 1996. P. 358-385.

11. Берже М. Геометрия. Т. 2. М., 1984.

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН,

Поступила в редакцию 25.12.2020 г.

г. Москва

После доработки 25.12.2020 г.

Принята к публикации 28.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

4^∗