ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.203-209

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.4

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА

ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ

Для одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений пер-

вого порядка на плоскости исследован вопрос о существовании периодических решений.

В условиях априорной оценки периодических решений: 1) установлена гомотопическая ин-

вариантность свойства разрешимости периодической задачи; 2) приведено описание гомо-

топических классов; 3) доказана теорема о необходимом и достаточном условии разреши-

мости периодической задачи.

DOI: 10.31857/S0374064121020084

Введение. В работе изучается периодическая задача

z^′ = P(t,z) + f(t,z), z ∈ C, t ∈ (0,2π), z(0) = z(2π),

(1)

где C - комплексная плоскость, z = x + iy, P ∈ P_m, f ∈ R_m, m > 1. Здесь P_m - множество

отображений P : R × C → C, удовлетворяющих следующим условиям:

а) P (t, z) непрерывно по совокупности переменных и 2π-периодично по t;

б) P (t, λz) ≡ λ^mP (t, z) при любом λ > 0, т.е. P (t, z) положительно однородно по z;

в) при любом фиксированном t₀ ∈ [0, 2π] автономная система

w^′ = P(t₀,w)

(2)

не имеет ненулевых ограниченных траекторий.

Множество R_m состоит из непрерывных отображений f : R × C → C, которые 2π-пе-

риодичны по t и удовлетворяют условию

lim

(|z|^-m max |f(t, z)|) = 0.

|z|→∞

0≤t≤2π

Задача (1), как и в работах [1; 2, с. 331-335; 3], исследуется методом априорной оценки и

методом вычисления вращения векторных полей. В настоящей работе получены следующие

результаты:

1) установлена гомотопическая инвариантность свойства разрешимости задачи (1) при лю-

бом возмущении f ∈ R_m;

2) приведено описание гомотопических классов множества P_m;

3) для P ∈ P_m сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие разреши-

мости задачи (1) при любом возмущении f ∈ R_m.

При исследовании разрешимости задачи (1), как в работе [3], выведена формула вычисле-

ния вращения вполне непрерывного векторного поля, порождённого этой задачей.

Схема исследования, приводящего к результатам 1)-3), ранее реализована в работах [4, 5]

применительно к третьей двухточечной краевой задаче для скалярных и двумерных систем

нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Основные результаты. Два отображения Q₁, Q₂ ∈ P_m назовём гомотопными и обо-

значим Q₁ ∼ Q₂, если существует семейство отображений Q(t, z, λ), принадлежащее при

каждом фиксированном λ ∈ [0, 1] множеству P_m, непрерывное по совокупности переменных

и такое, что Q(t, z, 0) = Q₁(t, z), Q(t, z, 1) = Q₂(t, z). Гомотопность отображений является

отношением эквивалентности на множестве P_m, а его классы эквивалентности называются

гомотопическими классами. Таким образом, множество P_m разбивается на гомотопические

203

204

МУХАМАДИЕВ и др.

классы. В каждом гомотопическом классе сохраняется свойство разрешимости задачи (1) при

любом возмущении f ∈ R_m. Именно, имеет место следующая

Теорема 1. Если Q₁, Q₂ ∈ P_m, Q₁ ∼ Q₂ и для P = Q₁ задача (1) разрешима при любом

f ∈ R_m, то для P = Q₂ задача (1) также разрешима при любом f ∈ R_m.

Теорему 1 можно считать теоремой типа Лере-Шаудера [6, с. 417], которая обеспечивает

возможность продолжения по параметру решения задачи (1).

Для описания гомотопических классов множества P_m определим для P ∈ P_m два целых

числа: γ₀(P ) - вращение двумерного векторного поля e^iϕ → P (t₀, e^iϕ) при фиксированном

t₀, γ₁(P) - вращение двумерного векторного поля e^it → P(t,w₀) при фиксированном w₀ =

= 0. Числа γ₀(P ) и γ₁(P ) не зависят от выбора значений t₀ и w₀, так как P (t, w) = 0 при

любых t и w = 0. Кроме того, если P ∼ Q, то γ₀(P ) = γ₀(Q) и γ₁(P ) = γ₁(Q). Для P ∈ P_m,

согласно формуле из монографии [7, с. 205], справедливо неравенство γ₀(P ) ≤ 1.

В следующей теореме даётся описание гомотопических классов множества P_m.

Теорема 2. Пусть P ∈ P_m и γ₀(P ) = p₀, γ₁(P ) = p₁. Тогда если p₀ < 1, то имеет

место гомотопия P ∼ eip1t|z|m-p0 zp0 , а если p₀ = 1, то P ∼ |z|m-1z или P ∼ |z|m-1(-z).

При доказательстве теоремы 2 существенно используется свойство Гомори автономных

систем вида (2), не имеющих ненулевых ограниченных траекторий (см. [2, с. 84-85; 8]).

Таким образом, согласно теореме 2, множество тех P ∈ P_m, для которых γ₀(P ) < 1,

состоит из счётного числа гомотопических классов, параметризованных парами чисел (p₀, p₁),

где p₀ ∈ -N

^⋃{0} и p₁ ∈ Z, и содержащих отображения e^ip1^t|z|^m-p0 z^p0 . Множество же тех

P ∈ P_m, для которых γ₀(P) = 1, состоит из двух гомотопических классов, в одном из которых

содержится отображение |z|m-1z, а в другом - отображение |z|m-1(-z). Следовательно, в

случае γ₀(P ) = 1 имеет место равенство γ₁(P ) = 0.

Относительно разрешимости задачи (1) верна следующая

Теорема 3. Для P ∈ P_m задача (1) разрешима при любом f ∈ R_m тогда и только тогда,

когда γ₀(P ) = 0.

Разрешимость задачи (1) доказана с помощью вычисления вращения γ_∞(Φ) вполне непре-

рывного векторного поля

∫t

Φ(z) ≡ z(t) - z(2π) - (P (s, z(s)) + f(s, z(s))) ds

(3)

на сферах ∥z∥ = r достаточно больших радиусов r пространства C([0, 2π]; C). Если γ_∞(Φ)

определено и отлично от нуля, то, согласно принципу ненулевого вращения [2, c. 324], суще-

ствует нуль векторного поля Φ(z), который будет решением задачи (1). Из результатов работ

[1; 2, c. 334] следует, что если P ∈ P_m и P не зависит от t, то γ_∞(Φ) = γ₀(P ). Для вычисле-

ния вращения γ_∞(Φ) в доказательстве теоремы 3 выведена для любого P ∈ P_m следующая

формула (аналогичная формуле работы [3]):

{

γ₀(P), если γ₀(P) < 1 и γ₁(P)/(1 - γ₀(P)) - целое,

γ_∞(Φ) =

(4)

в остальных случаях.

2. Доказательство теоремы 1. Пусть отображения Q₁, Q₂ ∈ P_m гомотопны посред-

ством семейства Q(t, z, λ), λ ∈ [0, 1], где Q(t, z, 0) = Q₁(t, z), Q(t, z, 1) = Q₂(t, z). Сначала

докажем лемму, из которой будет следовать общая априорная оценка 2π-периодических ре-

шений, соответствующих семейству Q(t, z, λ), λ ∈ [0, 1], при любом f ∈ R_m. В пространстве

C([0, 2π]; C) определим норму формулой

∥z∥ = max |z(t)|.

0≤t≤2π

Лемма. Существуют числа M > 0 и σ > 0 такие, что для каждой функции z ∈

∈ C¹([0,2π];C), ∥z∥ ≥ M, верна оценка

∥z^′ - Q( · , z, λ)∥ + |z(0) - z(2π)|^m ≥ σ∥z∥^m

(5)

при любом значении λ ∈ [0,1].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА

205

Доказательство. Предположим, что оценка (5) не верна. Тогда существуют последова-

тельности z_n ∈ C¹([0, 2π]; C) и λ_n ∈ [0, 1], n ∈ N, такие, что

∥z^′n - Q( · , z_n, λ_n)∥ + |z_n(0) - z_n(2π)|^m <

∥z_n∥^m, n ∈ N,

ρ_n := ∥z_n∥ = |z_n(t_n)| → ∞ при n → ∞.

Можно считать, что t_n → t₀ и λ_n → λ₀ при n → ∞.

Пусть t_nρm-1n → ∞ и (2π - t_n)ρm-1n → ∞ при n → ∞. Рассмотрим последовательность

функций

w_n(t) = ρ-1nz_n(t_n + tρ1-mn), t ∈ [-t_nρm-1n,(2π - t_n)ρm-1n], n ∈ N.

При каждом n ∈ N имеем

|w_n(t)| ≤ |w_n(0)| = 1,

|w^′n(t) - Q(t_n + tρ1-mn, w_n(t), λ_n)| <

t ∈ [-t_nρm-1n,(2π - t_n)ρm-1n].

Последовательность функций {w_n(t)}∞n=1 равномерно ограничена и равностепенно непрерыв-

на на каждом конечном отрезке [-a, a] ⊂ R. Переходя к пределу на расширяющихся отрезках,

получим функцию w₀(t), t ∈ R, обладающую следующими свойствами:

|w₀(t)| ≤ |w₀(0)| = 1, w′0(t) = Q(t₀, w₀(t), λ₀), t ∈ R.

Существование такой функции w₀(t) противоречит тому, что Q( · , · , λ₀) ∈ P_m.

В случае, когда t_nρm-1n → τ₀ при n → ∞ и τ₀ < ∞, рассмотрим две последовательности

функций

w+n(t) = ρ-1nz_n(tρ1-mn), t ∈ [0,2πρm-1n], w^-n(t) = ρ-1nz_n(2π + tρ1-mn), t ∈ [-2πρm-1n,0].

Для этих функций имеем

|w+n(t)| ≤ |w+n(t_nρm-1n)| = 1,

|w^-n(t)| ≤ |w^-n(-(2π - t_n)ρm-1n)| = 1,

|w+n(0) - w^-n(0)|^m <

|(w^±n)^′(t) - Q(tρ1-mn, w^±n(t), λ_n)| <

±t ∈ [0,2πρm-1n].

Переходя к пределу, получим две ограниченные функции w±0(t), ±t ∈ [0,+∞), которые об-

ладают следующими свойствами:

(w±0)^′(t) = Q(0, w±0(t), λ₀),

±t ∈ (0,+∞), w⁺⁰(0) = w-0(0),

|w⁺⁰(τ₀)| = 1.

Но это противоречит включению Q( · , · , λ₀) ∈ P_m.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда (2π - t_n)ρm-1n → τ₁ при n → ∞ и

τ₁ < ∞. Лемма доказана.

Из доказанной леммы вытекает

Следствие. Если f ∈ R_m и |f(t, w)| ≤ ε|w|^m + M_ε, где ε ∈ [0, σ), то для 2π-периодиче-

ских решений семейства уравнений

z^′ = Q(t,z,λ) + μf(t,z), λ,μ ∈ [0,1],

(6)

имеет место априорная оценка

∥z∥ ≤ max(M, (M_ε(σ - ε)-1)1/m).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

206

МУХАМАДИЕВ и др.

Действительно, если функция z(t) является 2π-периодическим решением (6) при некото-

рых λ, μ ∈ [0, 1], то либо ∥z∥ ≤ M, либо ∥z∥ > M и в силу леммы имеем

σ∥z∥^m ≤ μ∥f( · , z)∥ ≤ ε∥z∥^m + M_ε,

∥z∥ ≤ (M_ε(σ - ε)-1)1/m.

Перейдём непосредственно к доказательству теоремы 1.

Разобьём отрезок [0, 1] изменения параметра λ на k равных частей точками λ_j = j/k,

j = 0,k, так, чтобы при любых j = 1,k и z ∈ C выполнялось неравенство

max

|Q(t, z, λ_j ) - Q(t, z, λj-1)| <

|z|^m,

0≤t≤2π

где σ - число, определяемое леммой.

Покажем индукцией по j = 1, . . . , k, что если для P = Q( · , · , λj-1) задача (1) разрешима

при любом f ∈ R_m, то для P = Q( · , · , λ_j ) задача (1) также разрешима при любом f ∈ R_m.

Этим самым теорема 1 будет доказана.

Пусть f ∈ R_m и |f(t, z)| < (σ/4)|z|^m + M₁. Выберем R > M, R^m > 2M₁/σ, где M -

число из леммы, и положим

f_R(t,z) = η_R(|z(t)|)[Q(t,z,λ_j ) - Q(t,z,λj-1)] + f(t,z),

где η_R(s), s ∈ [0, +∞), - непрерывная неотрицательная возрастающая функция, равная нулю

при s ≥ R+1 и равная единице при s ≤ R. Очевидно, f_R ∈ R_m. По предположению индукции

существует 2π-периодическое решение z_R(t) системы уравнений

z^′ = Q(t,z,λj-1) + f_R(t,z).

Проверим, что ∥z_R∥ < R. Тогда функция z_R(t) будет 2π-периодическим решением системы

уравнений

z^′ = Q(t,z,λ_j) + f(t,z).

Действительно, для z_R(t) имеем

∥z^′R - Q( · , z_R, λj-1)∥ = ∥f_R( · , z)∥ ≤

∥z_R∥^m + M₁ <

∥z_R∥^m +

R^m.

Отсюда следует, что если ∥z_R∥ ≥ R, то ∥z_R∥ > M и выполнено неравенство

∥z^′R - Q( · , z_R, λj-1)∥ < σ∥z_R∥^m,

что противоречит лемме. Следовательно, ∥z_R∥ < R. Теорема 1 доказана.

3. Доказательство теоремы 2. Пусть P ∈ P_m и γ₀(P ) = p₀, γ₁(P ) = p₁. Так как

P (t, z) = 0 при любых t и z = 0, то верно представление P (t, e^iϕ) = |P (t, e^iϕ)|eiθ(t,ϕ), где 0 ≤

≤ θ(0,0) < 2π. Для угловой функции θ(t,ϕ) по определению вращения двумерного векторного

поля имеем θ(t, 2π) - θ(t, 0) = 2πp₀, θ(2π, ϕ) - θ(0, ϕ) = 2πp₁.

Рассмотрим случай p₀ < 1. В этом случае, как показано в работах [2, с. 84-85; 3; 8],

условие в) - одно из условий принадлежности отображения P множеству P_m - равносильно

следующему условию:

в^′) если при некоторых t₀,ϕ₀ ∈ [0,2π) и целом k₀ справедливо равенство θ(t₀,ϕ₀) - ϕ₀ =

= πk₀, то при ϕ > ϕ₀ выполняется неравенство θ(t₀,ϕ) - ϕ < π(k₀ + 1) (свойство Гомори).

Учитывая условие в^′) и пользуясь представлениями z = |z|e^iϕ, P (t, z) = |z|^mP (t, e^iϕ),

несложно проверить, что имеют место следующие гомотопии:

1) P (t, z) гомотопно P₁(t, z) ≡ |z|^meiθ11)(t,ϕ) посредством семейства отображений

(1)

[(1 - λ)|P (t, e^iϕ)| + λ]|z|^me^iθλ(t,ϕ), λ ∈ [0, 1],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА

207

где

θ(1)λ(t,ϕ) = ϕ + (1 - λ)(θ(t,ϕ) - ϕ) + λ min (θ(t,s) - s);

0≤s≤ϕ

2) P₁(t, z) гомотопно P₂(t, z) ≡ |z|^mei[θ(t,0)+p0ϕ^] посредством семейства отображений |z|^m ×

× eiθλ2)(t,ϕ), λ ∈ [0,1], где

θ(2)λ(t,ϕ) = (1 - λ)[ϕ + min

(θ(t, s) - s)] + λ[θ(t, 0) + p₀ϕ];

0≤s≤ϕ

3) P₂(t, z) гомотопно P₃(t, z) ≡ |z|m-p0 zp0 ei[θ(0,0)+p1t^] посредством семейства отображений

|z|m-p0 zp0 eiθλ3)(t,ϕ), λ ∈ [0, 1], где

θ(3)λ(t,ϕ) = (1 - λ)θ(t,0) + λ[θ(0,0) + p₁t];

4) P₃(t, z) гомотопно P₄(t, z)≡|z|m-p0 zp0 eip1t посредством семейства отображений |z|m-p0 ×

× zp0eip1tei(1-λ)θ(0,0), λ ∈ [0,1].

Из утверждений 1)-4) и транзитивности отношения гомотопичности следует, что

P (t, z) ∼ eip1t|z|m-p0 zp0 .

Если p₀ = 1, то, согласно формуле из монографии [7, с. 205], возможен только один из

двух случаев: 1) при любом фиксированном t₀ ∈ [0, 2π] все ненулевые траектории автоном-

ной системы (2) ограничены при убывании t и не ограничены при возрастании t; 2) при

любом фиксированном t₀ ∈ [0, 2π] все ненулевые траектории автономной системы (2) ограни-

чены при возрастании t и не ограничены при убывании t. В случае 1) отображение P (t, z)

гомотопно |z|m-1z посредством семейства отображений (1 - λ)P (t, z) + λ|z|m-1z, λ ∈ [0, 1].

В случае 2) отображение P (t, z) гомотопно |z|m-1(-z) посредством семейства отображений

(1 - λ)P (t, z) + λ|z|m-1(-z), λ ∈ [0, 1].

Действительно, пусть имеет место случай 1). Предположим, что при некотором λ₀ ∈ (0, 1)

отображение (1-λ₀)P (t, z)+λ₀|z|m-1z не принадлежит множеству P_m. Тогда при некотором

t₀ ∈ [0,2π) автономная система

w^′ = (1 - λ₀)P(t₀,w) + λ₀|w|m-1w

имеет ненулевую ограниченную траекторию. Такая траектория при t → +∞ или t → -∞

приближается к инвариантному лучу μz₀, μ ∈ (0, +∞), где z₀ = 0 и (1 - λ₀)P (t₀, z₀) +

+λ₀|z₀|m-1z₀ = -z₀. Отсюда следует, что P(t₀,z₀) = -(1-λ₀)-1(1+λ₀|z₀|m-1)z₀ и траектория

автономной системы w^′ = P (t₀, w), проходящая через точку w(0) = z₀, ограничена при

возрастании t. Пришли к противоречию. Аналогичным образом рассматривается случай 2).

Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 3. Необходимость. Пусть P ∈ P_m и γ₀(P ) = 0, γ₁(P ) =

= p₁. Покажем, что задача (1) не разрешима при некотором f ∈ R_m. Учитывая теоремы 1

и 2, без нарушения общности рассуждений будем считать, что P (t, z) = eip1t|z|^m. Возьмём

f (t, z) = eip1t + ip₁z. Тогда получим систему уравнений

z^′ = eip1t|z|^m + eip1t + ip₁z,

(7)

которую можно представить в следующем виде:

(ze-ip1t)^′ = |ze-ip1t|^m + 1.

Отсюда вытекает, что любое решение z(t) этой системы неограничено, а сама система урав-

нений (7) не имеет 2π-периодических решений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

208

МУХАМАДИЕВ и др.

Достаточность. Пусть P ∈ P_m, f ∈ R_m и γ₀(P ) = 0. Покажем, что задача (1) разре-

шима. Разрешимость задачи (1) равносильна существованию нуля вполне непрерывного век-

торного поля Φ(z), определённого формулой (3).

В силу следствия векторное поле Φ(z) не обращается в нуль на сферах ∥z∥ = r доста-

точно больших радиусов r пространства C([0, 2π]; C). Поэтому определено вращение γ_∞(Φ)

векторного поля Φ(z) на бесконечности (на сферах больших радиусов). Покажем, что для

γ_∞(Φ) верна формула (4). Тогда γ_∞(Φ) = 0 и, согласно принципу ненулевого вращения [2,

c. 324], существует нуль векторного поля Φ(z), который будет решением задачи (1).

Заметим, что в силу теоремы 2 и следствия имеет место равенство γ_∞(Φ) = γ_∞(Φ₀), где

∫t

Φ₀(z) ≡ z(t) - z(2π) - P₀(s,z(s))ds.

Здесь P₀(t, z) = eip1t|z|m-p0 zp0 , если γ₀(P ) = p₀ < 1, γ₁(P ) = p₁, и P₀(t, z) = |z|m-1z или

P₀(t,z) = |z|m-1(-z), если p₀ = 1. В случае P₀(t,z) = ±|z|m-1z из результатов работ [1; 2,

c. 334] следует равенство γ_∞(Φ₀) = 1.

Для завершения доказательства теоремы 3 остаётся установить, что

{

p₀, если p₀ < 1 и p₁/(1 - p₀) - целое,

γ_∞(Φ₀) =

(8)

если p₀ < 1 и p₁/(1 - p₀) - нецелое.

Покажем, что векторное поле Φ₀(z) на сферах ∥z∥ = r достаточно больших радиусов r

пространства C([0, 2π]; C) гомотопно векторному полю

∫t

Ψ₀(z) ≡ z(t) - z(2π)ei2πδ -

|z(s)|m-p0 z(s)p0 ds,

где δ = p₁/(1 - p₀). Для этого рассмотрим два семейства векторных полей:

Φ_λ(z) = e^-iλδtΦ₀(ze^iλδt), λ ∈ [0,1],

∫t

Ψ_λ(z) ≡ z(t) - e^-iλδtz(2π)ei2πδ - e-iλδ(t-s)|z(s)|m-p0 z(s)p0 ds, λ ∈ [0,1].

Очевидно, что первое семейство векторных полей не обращается в нуль на сферах достаточно

больших радиусов. Проверим, что второе семейство также невырождено на бесконечности.

Предположим, что существуют последовательности λ_n ∈ [0, 1] и z_n ∈ C([0, 2π]; C), n ∈ N,

такие, что Ψλn (z_n) = 0 и ∥z_n∥ > n при n ∈ N. При каждом n для функции z_n(t) имеем

равенства

z^′n(t) = |z_n(t)|m-p0 zp0n(t) - iλδzn(t), t ∈ (0,2π), zn(0) = zn(2π)ei2πδ.

Далее, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 1, приходим к следующему выводу:

либо существует ненулевая ограниченная траектория автономной системы

w^′ = |w|m-p0 wp0,

(9)

либо существует пара ненулевых ограниченных решений w^±(t),

±t ∈ [0,+∞), автономной

системы (9), для которой имеет место равенство w⁺(0) = w^-(0)ei2πδ . Первый случай невоз-

можен из-за того, что |z|m-p0 zp0 ∈ P_m. Во втором случае, согласно фазовому портрету авто-

номной системы (9), должно выполняться равенство 2πδ = (2k + 1)π/(1 - p₀) при некотором

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА

209

целом k. Отсюда следует, что число p₁ = k + 1/2 нецелое. Получили противоречие. Таким

образом, доказано равенство

γ_∞(Φ₀) = γ_∞(Ψ₀).

(10)

Из результатов работ [1; 2, c. 334] следует, что

γ_∞(Ψ₀) = p₀, если δ - целое.

(11)

Если δ нецелое, то имеем: а) Ψ₀(z) = 0 при z = 0; б) γ_∞(Ψ₀) = γ₀(Ψ₀), где γ₀(Ψ₀) -

вращение векторного поля Ψ₀(z) на сферах ∥z∥ = ε малых радиусов ε; в) γ₀(Ψ₀) = 1. Дейст-

вительно, если а) не верно и Ψ₀(z) = 0 при некоторой ненулевой функции z(t) ∈ C([0, 2π]; C),

то z(t) будет решением автономной системы (9) и z(0) = z(2π)ei2πδ . Тогда, согласно фазовому

портрету автономной системы (9), должно выполняться неравенство 2π|δ| < π/(1-p₀), отсюда

следует, что 0 < |p₁| < 1/2. Пришли к противоречию. Справедливость равенства б) вытекает

из а) вследствие свойства вращения векторных полей. Равенство γ₀(Ψ₀) = 1 выводится из

легко проверяемых равенств γ₀(Ψ₀) = γ₀(F ) и γ₀(F ) = 1, где F (z) ≡ z(t) - z(2π)ei2πδ , с

использованием общих свойств вращения векторных полей. Таким образом,

γ_∞(Ψ₀) = 1, если δ - нецелое.

(12)

Из соотношений (10)-(12) непосредственно вытекает равенство (8). Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мухамадиев Э. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных урав-

нений // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194. № 3. C. 510-513.

2. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М., 1975.

3. Мухамадиев Э. Формула для вычисления вращения одного класса векторных полей // Докл. АН

Тадж. ССР. 1977. Т. 20. № 5. C. 11-14.

4. Мухамадиев Э., Наимов А.Н. К теории двухточечных краевых задач для дифференциальных урав-

нений второго порядка // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 10. C. 1372-1381.

5. Мухамадиев Э., Наимов А.Н. Критерий разрешимости одного класса нелинейных двухточечных

краевых задач на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 3. C. 334-341.

6. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

8. Бобылев Н.А. О построении правильных направляющих функций // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183.

№ 2. C. 265-266.

Вологодский государственный университет,

Поступила в редакцию 27.10.2019 г.

Таджикский национальный университет,

После доработки 27.10.2019 г.

г. Душанбе, Таджикистан

Принята к публикации 11.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021