ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.224-234

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в прямоугольной области

исследована краевая задача с нелокальным интегральным условием первого рода в зави-

симости от числового параметра, входящего в уравнение. Установлен критерий единствен-

ности и доказаны теоремы существования и устойчивости решения поставленной задачи.

Построено решение задачи в явном виде и приведено обоснование сходимости ряда в клас-

се регулярных решений.

DOI: 10.31857/S0374064121020102

Введение. Краевые задачи для уравнений смешанного типа являются одним из важ-

ных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

К исследованию таких задач приводят математические модели теплообмена в капиллярно-

пористых средах, формирования температурного поля, движения вязкой жидкости и многие

другие (см. монографию [1] и имеющуюся в ней библиографию).

Интерес же к вырождающимся уравнениям вызван не только необходимостью решения

прикладных задач, но и внутренними потребностями, обусловленными развитием теории урав-

нений смешанного типа. Первая граничная задача для вырождающихся дифференциальных

уравнений в частных производных эллиптического типа с переменными коэффициентами впер-

вые изучена в работе [2]. Особое место в теории вырождающихся уравнений занимают исследо-

вания уравнений, содержащих дифференциальный оператор Бесселя. Изучение этого класса

уравнений начато работами Эйлера, Пуассона, Дарбу и продолжено в теории обобщённого

осесимметрического потенциала [3]. Уравнения трёх основных классов, содержащие оператор

Бесселя, согласно терминологии [4], называются B-эллиптическими, B-гиперболическими и

B-параболическими соответственно. Обширное исследование B-гиперболических уравнений

представлено в монографии [5]. Краевые задачи для параболических уравнений с оператором

Бесселя подробно изучены в работе [6], достаточно полный обзор работ, посвящённых изуче-

нию краевых задач для эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, приведён

в работе [7]. Исследование краевых задач для уравнений с сингулярными коэффициентами

проводили многие математики (см. работы [8-11], а также имеющуюся в них библиографию).

В прямоугольной области D = {(x, y) ∈ R² : 0 < x < l,

-α < y < β}, где l, α, β -

заданные положительные действительные числа, рассмотрим уравнение

Lu ≡ u_xx + (sgn y)u_yy +

u_x = 0.

(1)

Здесь p > -1, p = 0, - заданное действительное число.

Введём обозначения D₊ = D

^⋂ {y > 0} и D_- = D^⋂ {y < 0}. В данной работе для урав-

нения (1) в области D исследуется следующая нелокальная задача с интегральным условием

первого рода при p ≥ 1 и |p| < 1, p = 0.

1. Постановка задачи 1. Пусть p ≥ 1. Требуется найти функцию u(x, y), которая

удовлетворяет следующим условиям:

u(x, y) ∈ C¹(D)

^⋂C²(D₊ ⋃ D_-),

(2)

224

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

225

Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D₊

^⋃D_-,

(3)

u(x, β) = ϕ(x), u(x, -α) = ψ(x),

0≤x≤l,

(4)

∫l

x^pu(x,y)dx = A = const,

-α ≤ y ≤ β,

(5)

где A - заданное действительное число, а ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции,

удовлетворяющие, как вытекает из равенств (4) и (5), условиям

∫

x^pϕ(x)dx = x^pψ(x)dx = A.

(6)

В постановке краевой задачи (2)-(6) отсутствуют локальные граничные условия на боко-

вых сторонах∗) прямоугольника D. При p ≥ 1 в области эллиптичности D₊ уравнения (1),

согласно результатам работы [2], в классе ограниченных решений отрезок x = 0 освобожда-

ется от граничного условия Дирихле, при этом производная по нормали u_x на отрезке x = 0

равна нулю. Разделив переменные, нетрудно показать, что и в области гиперболичности D_-

уравнения (1) справедливо равенство

u_x(0,y) = 0,

-α ≤ y ≤ β.

(7)

2. Постановка задачи 2. Пусть |p| < 1, p = 0. Найти функцию u(x, y), удовлетворяю-

щую условиям (2)-(6) и условию

lim

x^pu_x(x,y) = 0,

-α ≤ y ≤ β.

(8)

x→0+

Интегральное условие (5) ранее возникало в работах [12-14] для уравнения теплопровод-

ности; в работе [14], например, при изучении вопроса об устойчивости разреженной плазмы,

и в этом случае нелокальное условие (5) означает постоянство внутренней энергии системы.

Краевые задачи с интегральными условиями вида (5) исследовались многими авторами (см.,

например, работы [15, 16] и имеющуюся в них библиографию).

3. Единственность решения задачи 1. Умножим уравнение (1) на x^p и проинтегрируем

при фиксированном y ∈ (-α, 0)

^⋃ (0, β) по переменной x на промежутке от ε до l - ε, где

ε > 0 - достаточно малое число. В результате получим

∫

(

)

∫

∂

∂u

x^p

dx + (sgn y) x^pu_yy(x, y) dx = 0,

(9)

∂x

или

(

)

∫

∂u

^l-ε

d²



x^p

+ (sgn y)

x^pu(x,y)dx = 0.

(10)



∂x

dy²

Перейдём здесь к пределу при ε → 0, тогда в силу условий (2) и (5) получим локальное

граничное условие

u_x(l,y) = 0,

-α ≤ y ≤ β.

(11)

В дальнейшем вместо задачи (2)-(6) будем рассматривать задачу (2)-(4), (11).

∗) Для определённости считаем систему координат Oxy правой.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

226

ЗАЙЦЕВА

Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области D₊

^⋃D_- и удовлетворяющие

условиям (2) и (11), будем искать в виде u(x, y) = X(x)Y (y). Подставив это произведение в

уравнение (1) и в условие (11), получим относительно функции X(x) спектральную задачу

X^′′(x) +

X^′(x) + λ²X(x) = 0,

0<x<l,

(12)

|X(0)| < +∞, X^′(l) = 0,

(13)

где λ² - постоянная разделения.

Общее решение уравнения (12) имеет вид

X(x; C₁, C₂) = C₁x(1-p)/2J(p-1)/2(λx) + C₂x(1-p)/2Y(p-1)/2(λx),

где J_ν (ξ), Y_ν (ξ) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно, ν = (p - 1)/2, а

C₁, C₂ - произвольные постоянные.

Поэтому одним из решений уравнения (12), удовлетворяющих первому условию из (13),

является функция

X(x) = x(1-p)/2J(p-1)/2(λx).

Заметим, что её производная X^′(0) равна нулю, что подтверждает справедливость свой-

ства (7).

Потребуем теперь, чтобы эта функция удовлетворяла второму граничному условию из (13).

Для этого вычислим её производную в точке l и приравняем к нулю:



dX(x)



= (-λx(1-p)/2J(p+1)/2(λx))|x=l = -λl(1-p)/2J(p+1)/2(λl) = 0,



x=l

откуда получим

λ₀ = 0,

J(p+1)/2(μ) = 0, μ = λl.

(14)

Известно [17, с. 530], что функция J_ν (ξ) при ν > -1 имеет счётное множество веществен-

ных нулей. Тогда, обозначив n-й корень уравнения (14) через μ_n при заданном p, находим

собственные значения λ_n = μ_n/l задачи (12) и (13). Согласно [18, с. 317] для нулей уравнения

(14) при больших n справедлива асимптотическая формула

μ_n = λ_nl = πn +

p + O(n-1).

(15)

Заметим, что при λ₀ = 0 спектральная задача (12) и (13) имеет собственную функцию,

равную константе, которую примем за единицу. Таким образом, система собственных функций

задачи (12), (13) имеет вид

X₀(x) = 1, λ₀ = 0,

(16)

)

⁽μ_nx

X_n(x) = x(1-p)/2

J(p-1)/2

= x(1-p)/2J(p-1)/2(λ_nx), n ∈ N,

(17)

где собственные значения λ_n, n ∈ N, определяются как нули уравнения (14).

Отметим, что система собственных функций (16) и (17) ортогональна в пространстве L₂[0, l]

с весом x^p, а также образует полную систему в этом пространстве [19, с. 343].

Для дальнейших вычислений будем использовать ортонормированную систему функций:

X_n(x) =

X_n(x), n ∈ Z₊ ≡ N⋃{0},

(18)

∥Xn(x)∥

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

227

где ∥ · ∥ - норма в пространстве L₂[0, l] с весом x^p, т.е.

∫l

∥Xn(x)∥² = x^p X2n(x)dx.

(19)

Пусть, далее, u(x, y) - решение задачи (2)-(4), (11). Следуя [20], рассмотрим функции

∫l

u_n(y) = u(x,y)x^pX_n(x)dx, n ∈ Z₊,

(20)

l-ε

u_n,ε(y) =

u(x, y)x^pX_n(x) dx, n ∈ N,

(21)

где ε > 0 - достаточно малое число. Продифференцируем дважды тождество (21) по пере-

менной y при y ∈ (-α, 0)

^⋃ (0, β), тогда с учётом уравнения (1) получим

l-ε

∫

(

)

u^′′n,ε(y) =

u_yy(x,y)x^pX_n(x)dx = -(sgn y)

u_xx +

u_x x^pX_n(x)dx =

l-ε

[

∫

]

∂

= -(sgn y)

(x^pu_x)X_n(x) dx = -(sgn y) x^pu_xX_n(x)|^l-εε - x^pu_xX^′n(x) dx .

(22)

∂x

Из тождества (21) в силу уравнения (12) следует, что

∫

[

]

u_n,ε(y) = -

u(x, y)x^p X^′′n(x) +

X^′n(x) dx =

λ²

∫

[

∫

]

u(x, y)

(x^pX^′n(x)) dx = -

u(x, y)x^pX^′n(x)∥^l-εε -

x^pu_xX^′n(x)dx ,

λ2n

λ²

т.е.

∫

x^pu_xX^′n(x)dx = λ2nu_n,ε(y) + u(x,y)x^pX^′n(x)|^l-εε.

Подставив полученное выражение для интеграла в равенство (22), будем иметь

u^′′n,ε(y) = -(sgn y)[x^pu_xX_n(x)|^l-εε - λ2nu_n,ε(y) - u(x,y)x^pX^′n(x)|^l-εε].

Перейдя в последнем равенстве в силу включения (2) к пределу при ε → 0, получаем вслед-

ствие условий (11) и (13), что функция (20) удовлетворяет дифференциальному уравнению

u^′′n(y) - (sgn y)λ2nu_n(y) = 0, y ∈ (-α,0)

^⋃ (0, β),

(23)

общее решение которого имеет вид

{

a_neλny + b_ne-λny,

y > 0,

u_n(y) =

(24)

c_n cos(λ_ny) + d_n sin(λ_ny),

y < 0,

где a_n, b_n, c_n, d_n - произвольные постоянные, требующие определения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

6^∗

228

ЗАЙЦЕВА

С учётом включения (2) подберём постоянные a_n, b_n, c_n и d_n таким образом, чтобы

выполнялись условия сопряжения u_n(0+) = u_n(0-), u^′n(0+) = u^′n(0-), которые справедливы

при a_n = (c_n +d_n)/2, b_n = (c_n -d_n)/2, n ∈ N. Подставив найденные значения в представление

(24), будем иметь

{

c_n ch (λ_ny) + d_n sh (λ_ny), y > 0,

u_n(y) =

(25)

c_n cos(λ_ny) + d_n sin(λ_ny), y < 0.

Для функции (20) в силу граничных условий (4) получаем равенства

∫l

u_n(β) = ϕ(x)x^pX_n(x)dx =: ϕ_n, u_n(-α) = ψ(x)x^pX_n(x)dx =: ψ_n.

(26)

В результате для нахождения постоянных c_n и d_n приходим к линейной алгебраической

системе

{

c_n ch (λ_nβ) + d_n sh(λ_nβ) = ϕ_n,

(27)

c_n cos(λ_nα) - d_n sin(λ_nα) = ψ_n,

которая имеет единственное решение

ϕn sin(λnα) + ψn sh (λnβ)

ϕn cos(λnα) - ψn ch (λnβ)

c_n =

d_n =

(28)

sin(λ_nα)ch (λ_nβ) + cos(λ_nα)sh (λ_nβ)

если при всех n ∈ N её определитель Δ_n(α, β) отличен от нуля, т.е.

Δ_n(α,β) := sin(λ_nα)ch (λ_nβ) + cos(λ_nα)sh (λ_nβ) = 0.

(29)

Подставив найденные значения (28) в представление (25), найдём окончательный вид функ-

ций (20):

{

Δ-1n(α,β)(ϕ_nΔ_n(α,y) + ψ_n sh (λ_n(β - y))),

y > 0,

u_n(y) =

(30)

Δ-1n(α,β)(ϕ_n sin(λ_n(α + y)) + ψ_nΔ_n(-y,β)),

y < 0.

Аналогично находим

αϕ₀ + βψ₀

ϕ₀ - ψ₀

u₀(y) =

y, y ∈ (-α,0)

^⋃ (0, β),

(31)

α+β

∫

√

u₀(β)=l-(p+1)/2

p+1

ϕ(x)x^p dx=: ϕ₀, u₀(-α)=l-(p+1)/2

p+1

ψ(x)x^p dx=: ψ₀.

(32)

При выполнении условия (29) задача (2)-(4), (11) имеет единственное решение. Действи-

тельно, пусть ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 и Δ_n(α, β) = 0. Тогда из (26) и (32) следует, что ϕ_n =

= ψ_n ≡ 0, n ∈ Z₊, а из (30) и (31) - что u_n(y) = 0 при всех n ∈ Z₊. В силу (20) имеем

∫l

u(x, y)x^pX_n(x) dx = 0. Отсюда вследствие полноты системы (18) в пространстве L₂[0, l] с

весом x^p следует, что u(x, y) = 0 почти всюду на промежутке x ∈ [0, l] и при любом y ∈

∈ [-α, β]. Поскольку, согласно (2), функция u(x, y) ∈ C(D), то u(x, y) ≡ 0 в D.

Пусть теперь при некоторых значениях p, l, α, β и некотором n = m условие (29)

нарушено. При ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 и Δ_m(α, β) = 0 система (27) равносильна любому из её

уравнений, например, первому

c_m ch (λ_mβ) + d_m sh(λ_mβ) = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

229

которое имеет континуальное множество решений: d_m ∈ R - произвольная постоянная и c_m =

= -d_m sh(λ_mβ)/ch (λ_mβ). Подставив найденные значения в представление (25), будем иметь

{

d_m(sh (λ_my)ch (λ_mβ) - sh(λ_mβ)ch (λ_my)), y > 0,

u_m(y) =

d_m(ch (λ_mβ) sin(λ_my) - sh(λ_mβ) cos(λ_my)), y < 0,

где

d_m = d_m/ch (λ_mβ) - произвольная постоянная, не равная нулю.

Таким образом, однородная задача (2)-(4), (11) имеет ненулевое решение

{̃

d_m(sh (λ_my)ch (λ_mβ) - sh (λ_mβ)ch (λ_my))X_m(x), y > 0,

u_m(x,y) =

(33)

d_m(ch (λ_mβ) sin(λ_my) - sh(λ_mβ) cos(λ_my))X_m(x), y < 0,

где функции X_m(x) определяются формулой (18). Нетрудно проверить, что построенная

функция (33) удовлетворяет всем условиям задачи (2)-(4), (11) при ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0.

Тем самым, доказана

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(4), (11), то оно единственно тогда и

только тогда, когда выполняется условие (29) при всех n ∈ Z₊.

4. Существование решения задачи 1. Выясним, при каких значениях параметров p,

l, α и β нарушается условие (29). Представим определитель Δ_n(α,β) в следующем виде:

Δ_n(α,β) = sin(λ_nα)ch (λ_nβ) + cos(λ_nα)sh (λ_nβ) = sin(λ_nα)ch ξ + cos(λ_nα)sh ξ,

√

где ξ = α_nβ. Поскольку ch²(λ_nβ) + sh²(λ_nβ) =

ch (2λ_nβ), то

(

)

√

sh (λ_nβ)

Δ_n(α,β) =

ch (2λ_nβ) sin(λ_nα) cos arcsin

√

+ cos(λ_nα) sin arcsin

√

ch (2λ_nβ)

(

)

√

sh (λ_nβ)

√

ch (2λ_nβ) sin λ_nα + arcsin

√

ch (2λ_nβ) sin(μ_n α + γ_n),

(34)

ch (2λ_nβ)

здесь

sh (λ_nβ)

μ_n = λ_nl,

α=

γ_n = arcsin

√

→

при n → +∞.

ch (2λ_nβ)

Из равенства (34) следует, что Δ_n(α, β) = 0, если и только если sin(μ_n α + γ_n) = sin(πk),

k ∈ N, т.е. при α = (πk-γ_n)/μ_n, k ∈ N. Таким образом, уравнение Δ_n(α,β) = 0 имеет счётное

множество нулей. Найдём оценки величины Δ_n(α, β), входящей в знаменатели формулы (30),

при достаточно больших n.

Лемма 1. Если α = a/b - рациональное число, где a, b - взаимно простые натуральные

числа, и p = (4bd - b - 4r)/a, где r = 0, b - 1, d ∈ Z, то существуют постоянные C₀ > 0,

n₀ ∈ N такие, что при любом n > n₀ выполняется оценка

|Δ_n(α, β)| ≥ C₀eλnβ .

(35)

Доказательство. Заменим в выражении (34) величину μ_n согласно формуле (15):

(

)

√

Δ_n(α,β) =

ch (2λ_nβ) sin πnα +

pα + O(n-1)+γn

Пусть α = a/b, a, b ∈ N, (a, b) = 1. Разделив na на b с остатком, будем иметь na = bq+r,

q∈Z₊, 0 ≤ r ≤ b - 1. Тогда

(

)

√

πr

πa

Δ_n(α,β) =

ch (2λ_nβ) (-1)^q sin

p + γ_n + O(n-1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

230

ЗАЙЦЕВА

(

)

λnβ

√

πr

πa

√

1 + e-4λn^β (-1)^q sin

- ε_n + O(n-1) ,

где ε_n > 0 и ε_n → 0 при n → +∞. Из последнего равенства следует, что найдётся номер n₀,

начиная с которого будет выполняться неравенство



)

λnβ



⁽πr

πa



|Δ_n(α, β)| ≥

√

C₀eλnβ.

^s

⁼

Для того чтобы постоянная C₀ была отлична от нуля, необходимо, чтобы

πr

πa

= πd, d ∈ Z,

откуда имеем

(4bd - b - 4r), d ∈ Z.

(36)

Условие (36) выполняется при любом иррациональном значении p ≥ 1.

Лемма 2. Если при n > n₀ выполнена оценка (35), то справедливы оценки

|u_n(y)| ≤ C₁(|ϕ_n| + |ψ_n|) и

|u^′n(y)| ≤ C₂n(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ∈ [-α, β],

(37)

|u^′′n(y)| ≤ C₃n²(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ∈ [-α, 0), и

|u^′′n(y)| ≤ C₄n²(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ∈ (0, β],

(38)

где C_i - здесь и далее положительные постоянные.

Доказательство. Из формулы (30) с учётом оценки (35) найдём

|u_n(y)| ≤

(|ϕ_n|(sh (λ_nβ) + ch (λ_nβ)) + |ψ_n| sh (λ_nβ)) ≤

|Δ_n(α, β)|

≤C-10e-λnβ(|ϕ_n|(sh (λ_nβ) + ch (λ_nβ)) + |ψ_n|sh(λ_nβ))

C₁(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ≥ 0,

|u_n(y)| ≤ C-10e-λnβ(|ϕ_n| + |ψ_n|(sh (λ_nβ) + ch (λ_nβ)))

C₂(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ≤ 0,

где

C_i - здесь и далее положительные постоянные. Обозначив через C₁ = max

C₁

C₂}, по-

лучим первую оценку в (37) при всех n > n₀ и y ∈ [-α, β].

Вычислим теперь, используя представление (30), производную u^′n(y), тогда с учётом оцен-

ки (35) и асимптотической формулы (15) будем иметь

|u^′n(y)| ≤ C-10e-λnβ n(|ϕ_n|(ch (λ_nβ) + sh (λ_nβ)) - |ψ_n| ch (λ_nβ))

C₃n(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ≥ 0,

|u^′n(y)| ≤ C-10e-λnβn(|ϕ_n| - |ψ_n|(sh (λ_nβ) + ch (λ_nβ)))

C₄n(|ϕ_n| + |ψ_n|), y ≤ 0.

Из полученных неравенств следует справедливость второй оценки в (37) при всех n > n₀ и

y∈[-α,β], где C₂ =max

C₃

C₄}.

Справедливость оценок (38) вытекает из равенств (15), (23) и оценки (37).

Лемма 3. Для достаточно больших n и при всех x ∈ [0, l] выполнены оценки

|X_n(x)| ≤ C₅,

|X^′n(x)| ≤ C₆n,

|X^′′n(x)| ≤ C₇n².

Доказательство приведено в работе [20].

Лемма 4. Если функции ϕ(x) и ψ(x) принадлежат пространству C²[0, l], существуют

производные ϕ^′′′(x), ψ^′′′(x), имеющие конечное изменение на [0,l], и справедливы равенства

ϕ′(0) = ϕ^′′(0) = ψ^′(0) = ψ^′′(0) = ϕ^′(l) = ψ^′(l) = 0,

то выполняются оценки

|ϕ_n| ≤ C₈n-4,

|ψ_n| ≤ C₉n-4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

231

Доказательство аналогично доказательству соответствующей леммы в работе [20].

На основании найденных частных решений (18), (30) и (31) при выполнении условий (29)

и (35) решение задачи (2)-(4), (11) определяется в виде ряда Фурье-Бесселя

∑

u(x, y) = u₀(y)X₀(x) +

u_n(y)X_n(x).

(39)

n=1

Вместе с рядом (39) рассмотрим следующие ряды:

∑

u_y(x,y) = u′0(y)X₀(x) +

u^′n(y)X_n(x), u_x(x,y) =

u_n(t)X^′n(x);

(40)

n=1

∑

u_yy(x,y) =

u^′′n(y)X_n(x), u_xx(x,y) =

u_n(y)X^′′n(x).

(41)

n=1

Согласно леммам 2 и 3 при любом (x, y) ∈ D ряды (39) и (40) мажорируются соответствен-_∑

∞

∑∞

но рядами C₁₀

(|ϕ_n| + |ψ_n|), C11n=1 n(|ϕ_n| + |ψ_n|), а ряды (41) при любом (x, y) ∈

n=1

⋃

∑_∞

∈ D₊

D_- мажорируются рядом C12n=1 n²(|ϕ_n| + |ψ_n|). Все эти мажорирующие ряды в_∑

∞

свою очередь, согласно лемме 4, оцениваются сверху числовым рядом C₁₃

n-2. Следо-

n=1

вательно, по признаку Вейерштрасса ряды (39), (40) в замкнутой области D, а ряды (41)

в замкнутых областях D₊ и D_- сходятся равномерно. Таким образом, построена функция

u(x, y), определяемая рядом (39), которая удовлетворяет всем условиям задачи (2)-(4), (11).

Если для чисел α в лемме 1 при некоторых натуральных n = m = m₁, . . . , m_k, где 1 ≤

≤ m₁ < ... < m_k ≤ n₀, k ∈ N, выполняется равенство Δ_m(α,β) = 0, то для разрешимости

задачи (2)-(4), (11) необходимо и достаточно выполнение условий

ψ_m ch (λ_mβ) - ϕ_m cos(λ_mα) = 0, m = m₁,... ,m_k.

(42)

В этом случае решение задачи (2)-(4), (11) определяется рядом

)

∑

u(x, y) =

+...+

u_n(y)X_n(x) +

u_m(x,y),

(43)

n=1

n=mk-1+1

n=m_k+1

n=1

где m принимает значения m₁, . . . , m_k, а функция u_m(x, y) определяется по формуле (33).

В случае, если в некоторых суммах нижний предел окажется больше верхнего, то эти суммы

следует считать равными нулю.

Тем самым, доказана

Теорема 2. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнено

условие (35) при n > n₀. Тогда существует единственное решение u(x, y) задачи (2)-(4),

(11), определяемое рядом (39), если Δ_n(α, β) = 0 при всех n = 1, n₀; если же Δ_m(α, β) = 0

при некоторых m = m₁,... ,m_k ≤ n₀, то задача имеет решение, определяемое рядом (43),

тогда и только тогда, когда выполнены условия (42).

Теорема 3. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 4, условиям

(6) и выполнено неравенство (35) при n > n₀. Тогда существует единственное решение

u(x, y) задачи (2)-(6), определяемое рядом (39), если Δ_n(α, β) = 0 при всех n = 1, n₀; если же

Δ_m(α,β) = 0 при некоторых m = m₁,... ,m_k ≤ n₀, то задача имеет решение, определяемое

рядом (43), тогда и только тогда, когда выполнены условия (42).

Доказательство. Пусть u(x, y) - решение задачи (2)-(4), (11) и функции ϕ(x) и ψ(x)

удовлетворяют условиям теоремы. Тогда равенство (1) выполняется всюду в области D. Умно-

жим равенство (1) на x^p и проинтегрируем при фиксированном y ∈ (-α, 0)

^⋃ (0, β) по пере-

менной x на промежутке от ε до l - ε, где ε > 0 - достаточно малое число. В результате

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

232

ЗАЙЦЕВА

получим тождество (9). Перейдём в нём к пределу при ε → 0, тогда с учётом условий (2) и

(11) будем иметь

∫

u_yy(x,t)x^p dx = 0.

Проинтегрировав это равенство по переменной y дважды, получим, что

∫

u(x, y)x^p dx = K₁y + K₂, K₁, K₂ = const.

(44)

Положим в равенстве (44) y = β, а затем y = -α, тогда с учётом условий (4), (6) будем иметь

соответственно

∫

u(x, β)x^p dx = ϕ(x)x^p dx = K₁β + K₂ = A,

∫

u(x, -α)x^p dx = ψ(x)x^p dx = -αK₁ + K₂ = A,

откуда находим значения констант K₁ = 0 и K₂ = A. Тогда из равенства (44) следует, что

∫

u(x, y)x^p dx = A,

т.е. справедливо условие (5).

Пусть теперь u(x, y) - решение задачи (2)-(6). Тогда справедливо тождество (10). Переходя

в нём к пределу при ε → 0, в силу условий (2) и (5) получим локальное граничное условие

второго рода u_x(l, y) = 0, т.е. условие (11).

Тем самым нами показано, что при выполнении условий согласования (6) условия (5) и

(11) эквивалентны, а значит, эквивалентны и задачи (2)-(6) и (2)-(4), (11).

5. Устойчивость решения задачи 1.

Теорема 4. Для решения задачи (2)-(6) при каждом y ∈ [-α, β] справедлива оценка

∥u(x, y)∥ ≤ C₁₄(∥ϕ(x)∥ + ∥ψ(x)∥),

где ∥ · ∥ - норма в пространстве L2[0,l] с весом xp, а постоянная C14 не зависит от

функций ϕ(x) и ψ(x).

Доказательство. Воспользовавшись равенством (39) с учётом первой оценки в (37), по-

лучаем

∫l

∫

∑

∥u(x, y)∥² = x^pu²(x, y) dx =

u_n(y)u_m(y) x^pX_n(x)X_m(x)dx =

m,n=1

∫

∑

= u2n(y) x^pX2n(x)dx = u2n(y) ≤ C²

(|ϕ_n| + |ψ_n|)² ≤

n=1

)

∑

(_∞∑

∑

≤ 2C²¹

(|ϕ_n|² + |ψ_n|²) ≤ 2C²

ϕ2n + ψ²

= 2C²¹(∥ϕ∥² + ∥ψ∥²).

n=1

Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

233

6. Решение задачи 2. Умножим уравнение (1) на x^p и проинтегрируем при фиксирован-

ном y ∈ (-α, 0)

^⋃ (0, β) по переменной x на промежутке от ε до l -ε, где ε > 0 - достаточно

малое число. В результате получим тождество (10).

В этом тождестве в силу условий (2), (5) и (8) можно перейти к пределу при ε → 0, так

как все слагаемые имеют конечные пределы при ε → 0. В результате получим локальное

граничное условие (11). В дальнейшем вместо задачи (2)-(6), (8) будем рассматривать задачу

(2)-(4), (8), (11).

Подставив произведение u(x, y) = X(x)Y (y) в уравнение (1) и в условия (8) и (11), получим

для уравнения (12) следующую задачу:

lim x^pX^′(x) = 0, X^′(l) = 0.

x→0+

Система собственных функций спектральной задачи при |p| < 1 и p = 0 имеет вид

X₀(x) = 1, λ₀ = 0,

X_n(x) = x(1-p)/2J(p-1)/2(λ_nx), n ∈ N,

где собственные значения λ_n = μ_n/l, n ∈ N, определяются как нули μ_n уравнения (14); для

μ_n при больших n справедлива асимптотическая формула (15). Введём норму по формуле

(19) и далее будем рассматривать функции (18).

Решение задачи (2)-(4), (8), (11), как и при рассмотрении задачи 1, строим в виде суммы

ряда Фурье-Бесселя (39), в котором функции X_n(x) определяются по формуле (18), функции

u₀(y) - по формуле (31), функции u_n(y) имеют вид

{

Δ-1n(α,β)(ϕ_nΔ_n(α,y) + ψ_n sh (λ_n(β - y))),

y > 0,

u_n(y) =

Δ-1n(α,β)(ϕ_n sin(λ_n(α + y)) + ψ_nΔ_n(-y,β)),

y < 0,

где величина Δ_n(α, β) определена равенством (29), а числа ϕ_n и ψ_n - равенствами (26).

Аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 5. Если существует решение задачи (2)-(4), (8), (11), то оно единственно тогда

и только тогда, когда выполняется условие Δ_n(α,β) = 0 при всех n ∈ Z₊.

Аналогично тому, как это сделано при решении задачи 1, устанавливаются оценки лемм 1-4,

согласно которым ряд (39) и его производные первого порядка сходятся равномерно в замкну-

той области D, а производные второго порядка сходятся равномерно в областях D₊ и D_-,

а функция (39) удовлетворяет условиям (2) и (3).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 6. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнено

условие (35) при n > n₀. Тогда существует единственное решение u(x, y) задачи (2)-(4),

(8), (11), определяемое рядом (39), если Δ_n(α,β) = 0 при всех n = 1,n₀; если же Δ_m(α,β) =

= 0 при некоторых m = m₁,...,m_k ≤ n₀, то задача имеет решение, определяемое рядом

(43), тогда и только тогда, когда выполнены условия (42).

Теорема 7. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 4, условиям

(6) и выполнено неравенство (35) при n > n₀. Тогда существует единственное решение

u(x, y) задачи (2)-(6), (8), определяемое рядом (39), если Δ_n(α, β) = 0 при всех n = 1, n₀;

если же Δ_m(α, β) = 0 при некоторых m = m₁, . . . , m_k ≤ n₀, то задача имеет решение,

определяемое рядом (43), тогда и только тогда, когда выполнены условия (42).

Теорема 8. Для решения задачи (2)-(6), (8) справедлива оценка

∥u(x, y)∥ ≤ C₁₅(∥ϕ(x)∥ + ∥ψ(x)∥),

где постоянная C₁₅ не зависит от функций ϕ(x) и ψ(x).

Работа выполнена при содействии Московского центра фундаментальной и прикладной

математики.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

234

ЗАЙЦЕВА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.

2. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе облас-

ти // Докл. АН СССР. 1951. T. 77. № 2. C. 181-183.

3. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized theory of potential // Trans. Amer. Math. Soc.

1948. V. 63. № 2. P. 342-354.

4. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.

5. Carroll R.W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy Problems. New York, 1976.

6. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные

представления и качественные свойства решений задачи Коши // Совр. математика. Фунд. на-

правления. 2014. T. 52. C. 3-143.

7. Катрахов В.В., Ситник С.М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингуляр-

ных эллиптических уравнений // Совр. математика. Фунд. направления. 2018. T. 64. № 2. C. 211-

426.

8. Ломов И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциаль-

ных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. T. 27. № 9. C. 1550-1563.

9. Белянцев О.В., Ломов И.С. О свойстве базисности собственных функций одного сингулярного диф-

ференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2012. T. 48. № 8. C. 1187-

1189.

10. Fitouhi A., Jebabli I., Shishkina E.L., Sitnik S.M. Applications of integral transforms composition method

to wave-type singular differential equations and index shift transmutations // Electr. J. Differ. Equat.

2018. T. 130. P. 1-27.

11. Sabitov K.B., Zaitseva N.V. Initial-boundary value problem for hyperbolic equation with singular

coefficient and integral condition of second kind // Lobachevskii J. of Math. 2018. T. 39. № 9. P. 1419-

1427.

12. Cannon I.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math.

1963. T. 21. № 2. P. 155-160.

13. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными

условиями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1964. T. 4. № 6. С. 1006-1024.

14. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теплопроводности с неклассическим краевым услови-

ем// Дифференц. уравнения. 1977. T. 13. № 2. С. 276-304.

15. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений

// Дифференц. уравнения. 2004. T. 40. № 7. С. 887-892.

16. Ломов И.С. Равномерная сходимость разложений по корневым функциям дифференциального опе-

ратора с интегральными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2019. T. 55. № 4. С. 486-

497.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т. 1. М., 1945.

18. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М., 1986.

19. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

20. Сабитов К.Б., Зайцева Н.В. Начальная задача для B-гиперболического уравнения с интегральным

условием второго рода // Дифференц. уравнения. 2018. T. 54. № 1. С. 123-135.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 20.09.2020 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 20.09.2020 г.

Принята к публикации 11.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021