ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.255-264
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.222+517.968.21
ПОЛНОТА АСИММЕТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
© 2021 г. М. Ю. Кокурин
Устанавливается свойство полноты в пространстве L2(D), где D - область в Rn, ⋃ ≥ 3,
произведений всевозможных регулярных решений уравнения Δu-κ2u = 0, κ ∈ R+
iR-,
и фундаментальных решений этого уравнения с особенностями на прямой, не пересекаю-
щей D. Результат используется при установлении единственности решения коэффициент-
ной обратной задачи волновой томографии в непереопределённой постановке.
DOI: 10.31857/S0374064121020126
1. Постановка задачи и основной результат. Пусть H1, H2 - некоторые семейства
функций из C2(D), удовлетворяющих в ограниченной области D ⊂ Rn, n ≥ 3, уравнению
Δu - κ2u = 0, где κ - постоянная, κ ∈ R
⋃ iR. В работе рассматривается вопрос о том, в
каких случаях семейство всех попарных произведений
π(H1, H2) = {u1u2 : uj ∈ Hj, j = 1, 2}
образует полную систему в L2(D).
Обозначим Or(x0) = {x ∈ Rn : |x - x0| ≤ r}. В частном случае κ = 0 для уравнения
Лапласа в Rn, n ≥ 2, справедливы следующие утверждения.
Предложение 1.1 [1; 2, с. 138]. Семейство {u1u2}, состоящее из попарных произведений
гармонических в области D ⊂ Rn, n ≥ 2, функций u1, u2 ∈ C2(D), полно в пространст-
ве L2(D).
Предложение 1.2 [3, теорема 7.1]. Пусть D - область в Rn, n ≥ 2, точка x0 ∈ ∂D
фиксирована и ∂D ∈ C∞. Тогда для любого ε > 0 найдётся такое δ = δ(ε) > 0, что
семейство {u1u2}, состоящее из попарных произведений гармонических в области D ⊂ Rn
и обращающихся в нуль на ∂D \ Oε(x0) функций u1,u2 ∈ C2(D), полно в пространстве
L2(D \ Oδ(x0)).
Утверждения такого типа широко используются при установлении единственности реше-
ний коэффициентных обратных задач для различных классов уравнений в частных произ-
водных [2]. Следуя [4-6], поясним роль утверждений типа предложений 1.1, 1.2 в этом круге
вопросов. В работах [4, 5] М.М. Лаврентьев предложил подход к решению нелинейных ко-
эффициентных обратных задач, позволяющий редуцировать такие задачи к линейным инте-
гральным уравнениям. Подход использует преобразование Лапласа исследуемого уравнения
по соответствующим переменным.
Рассмотрим в Rn, n ≥ 3, обратную задачу волновой томографии ограниченной неодно-
родности набором точечных источников, расположенных вне этой неоднородности. Волновое
поле u(x; t) = uy(x; t), возбуждаемое в момент t = 0 источником, находящимся в точке y,
определяется решением задачи Коши
1
utt(x,t) = Δu(x,t) - λ2u(x,t) - δ(x - y)g(t), x ∈ Rn, t ≥ 0;
c2(x)
u(x, 0)|t<0 = 0, x ∈ Rn.
(1.1)
255
256
КОКУРИН
Здесь λ - заданное неотрицательное число, c(x) > 0 - скорость сигнала в точке x ∈ Rn и
предполагается, что c(x) ≡ c0 вне априори заданной ограниченной области D ⊂ Rn с извест-
ной постоянной c0, а значения c(x) при x ∈ D неизвестны. Для определённости функцию
c = c(x) считаем кусочно-непрерывной. Гладкая функция g удовлетворяет условиям
∞
∫
g(t) dt = 0;
|g(t)| ≤ C0e-βt, β > 0, t ≥ 0.
0
Для отыскания c(x), x ∈ D, рассеянное поле u = uy(x; t) измеряется при t > 0 в точках
x = z ∈ X, где X ⊂ Rn - множество детекторов, X
⋂D = ∅. Будем считать, что в экспе-
рименте зондирования используется множество источников y ∈ Y, Y
⋂D = ∅, X ⋂Y = ∅.
Дл∫я суммируемой функции f = f(t), t ≥ 0, определим преобразование Лапласа
f (p) =
∞
=
e-ptf(t)dt. Будем считать, что все функции uy(x,t), y ∈ Y, и их производные по t до
0
второго порядка включительно равномерно относительно x ∈ X интегрируемы по t и, кроме
того, uy(x, t) → 0, y ∈ Y, при |x| → ∞ равномерно по t > 0. Необходимые для этого условия
на функцию c(x) можно оценить, исходя из результатов [7, гл. X; 8]. Обозначим
1
1
ξ(x) =
-
,
x∈D,
c2(x)
c2
0
и запишем уравнение (1.1) в виде
1
Δu -
utt(x,t) - λ2u(x,t) = ξ(x)utt(x,t) + δ(x - y)g(t).
(1.2)
c2
0
Функция c однозначно определяется по функции ξ, поэтому далее ограничимся отысканием
ξ(x) при x ∈ D. Нас будет интересовать единственность решения поставленной обратной
задачи в зависимости от вида пространственного носителя данных X × Y. Имея это в виду,
обозначим рассматриваемую обратную задачу через {X, Y }.
Применяя к обеим частям уравнения (1.2) преобразование Лапласа по времени, получаем
Δuy(x,p) - κ2(p)uy(x,p) = p2ξ(x)uy(x,p) + g(p)δ(x - y), x ∈ Rn\{y},
(1.3)
√
κ(p) =
λ2 + p2/c20. В силу сделанных предположений имеем uy(x,p) → 0 при |x| → ∞ для
y ∈ Y, p ≥ 0.
Обозначим через R+ и R- множества соответственно положительных и отрицательных
действительных чисел. Нам понадобится функция Грина уравнения
Δv(x) - κ2v(x) = -δ(x - x′),
(1.4)
κ∈R+
⋃ iR-, имеющая вид [9, с. 98]
(
)n/2(κ
)(n-2)/2
1
G(x, x′; κ) =
K(n-2)/2(κ|x - x′|).
(1.5)
2π
|x - x′|
Здесь Kν (z) - функция Макдональда [10, с. 196],
π
Kν(z) =
iν+1H(1)ν(iz).
(1.6)
2
Если κ > 0, то функция (1.5) есть фундаментальное решение уравнения (1.4) с условием
на бесконечности: v(x) → 0 при |x| → ∞.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛНОТА АСИММЕТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ РЕШЕНИЙ
257
В случае κ = -iq, q > 0, функция (1.5) есть фундаментальное решение уравнения Гельм-
гольца Δv(x) + q2v(x) = -δ(x - x′), описывающее волновое поле точечного источника, за-
висящего от времени по закону eiqt. Указанное решение выделяется условием излучения на
бесконечности
∂v(x)
lim
r(n-1)/2
+ iqv(x)
0, где r = |x|.
=
r→∞
∂r
Из уравнения (1.3) следует равенство
∫
uy(x, p) = p2 G(x, x′; κ(p))ξ(x′)uy(x′, p) dx′ + g(p)G(x, y; κ(p)), x ∈ Rn\{y}.
D
Отсюда получаем
∫
∫
uy(x, p) = p4
G(x, x′; κ(p))G(x′, x′′; κ(p))uy (x′′, p)ξ(x′) dx′ dx′′ +
D D
∫
+ p2g(p) G(x,x′;κ(p))G(x′,y;κ(p))ξ(x′)dx′ + g(p)(x,y;κ(p)), x ∈ X.
(1.7)
D
Деление обеих частей равенства (1.7) на p2g(p) и затем переход к пределу при p → 0+
приводит к линейному интегральному уравнению относительно искомой функции ξ :
∫
G(x, x′; λ)G(y, x′; λ)ξ(x′) dx′ = f(x, y), (x, y) ∈ X × Y.
(1.8)
D
Здесь
uy(x, p) - g(p)G(x, y; κ(p))
f (x, y) = lim
p→0+
g(0)p2
Таким образом, правая часть уравнения (1.8) вычисляется по данным наблюдения {uy(x; t) :
t > 0, x ∈ X, y ∈ Y }.
К уравнению (1.8) с λ ∈ iR- сводятся также обратные задачи зондирования неоднород-
ности точечными гармоническими по времени источниками с частотой ω ∈ (0, ω0] (см. по-
дробнее в [11, с. 223; 12, § 3.1]). К аналогичному уравнению с заменой (1.5) функцией Грина в
ограниченной области Ω сводится обратная задача зондирования неоднородного включения
D ⊂ Ω [13].
Начиная с работы [5], значительное число публикаций было посвящено установлению усло-
вий, при которых уравнение (1.8) имеет не более одного решения (см. [2, 12]). Уравнение (1.8)
имеет не более одного решения, например, если X, Y - открытые области на гиперплоскости,
не пересекающей D, или на замкнутой гиперповерхности, содержащей множество D внутри
себя. В этих случаях соответствующее (1.8) однородное уравнение эквивалентно равенству
∫
u1(x′)u2(x′)ξ(x′)dx′ = 0, uj ∈ Hj, j = 1,2,
(1.9)
D
где H1 = H2 = H - семейство всех функций из C2(D), удовлетворяющих уравнению Δu(x)-
- λ2u(x) = 0, x ∈ D. Таким образом, полнота семейства π(H1,H2) в L2(D) влечёт за собой
равенство ξ = 0 п.в. Поэтому задача {X, Y } имеет единственное решение.
В описанном случае размерность пространственного носителя данных X × Y в уравнении
(1.8) равна 2(n-1), в то время как искомая функция ξ зависит от n переменных. Поскольку
2(n - 1) > n при n ≥ 3, рассматриваемая обратная задача относится к классу переопреде-
лённых, т.е. задач с завышенными требованиями к объёму входных данных. Эквивалентная
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
258
КОКУРИН
трактовка указанной переопределённости заключается в том, что полнота семейства π(H1, H2)
в L2(D) вероятно может иметь место и при замене пространств Hj более узкими семействами.
Напомним, что в предложениях 1.1, 1.2 классы H1, H2 совпадают с множествами всех регу-
лярных решений соответствующих уравнений, возможно, с наложением граничного условия.
В настоящей работе рассмотрим асимметричный случай, когда один из классов Hj является
по-прежнему семейством всех регулярных решений уравнения Δu - κ2u = 0 в D ⊂ Rn, тогда
как другой класс образован фундаментальными решениями этого уравнения с особенностями
в точках прямой, не пересекающей D. Хотя последний класс значительно уже класса всех ре-
гулярных решений, порождаемое ими семейство π(H1, H2) попарных произведений сохраняет
свойство полноты в L2(D).
Перейдём к строгой формулировке результата. Для x ∈ Rn обозначим x = (x, xn),
x =
= (x1, . . . , xn-1). Определим прямую
L = {x ∈ Rn : x = 0, xn ∈ R}.
Пусть D ⊂ Rn - ограниченная область, замыкание которой не имеет общих точек с L.
Основным результатом работы является следующая
Теорема 1.1. Пусть κ ∈ R+
⋃ iR- - фиксированное число. Тогда линейные комбинации
функций семейства π(H∗1, H∗2), где
H∗1 = {u ∈ C2(D) : Δu - κ2u = 0 в D}, H∗2 = {G(x,z;κ) : z ∈ L},
плотны в пространстве L2(D).
В случае κ = 0 утверждение теоремы 1.1 доказано в [14].
Доказательству теоремы 1.1 посвящены пп. 2, 3. В п. 4 обсуждается приложение этой
теоремы к обратной задаче {X, Y }.
2. Вспомогательные построения. Обозначим Sn-2R = {x ∈ Rn-1 : |x| = R}. Пусть
{Yk,l(ϕ) : k = 0, 1, . . . , l = 1, dk}, ϕ ∈ Sn-21, - семейство ортонормированных в L2(Sn-21)
сферических функций, где [15, с. 160]
d0 = 1, d1 = n - 1; dk = Ckn-2+k - Ck-2n-4+k, k ≥ 2.
Введём в Rn-1 = {x} сферические координаты ρ ≥ 0, ϕ ∈ Sn-21, где ρ = |x|, ϕ = x/|x|.
В угловых координатах (φ1,... ,φn-3,φn-2) ∈ [0,π]n-3 × [0,2π] вектор ϕ = (ϕ1,... ,ϕn-1)
записывается в виде
ϕ1 = cos φ1, ϕ2 = sinφ1 cos φ2,
...,
ϕn-2 = sin φ1 sin φ2 · · · sin φn-3 cos φn-2, ϕn-1 = sin φ1 sin φ2 · · · sin φn-3 sin φn-2.
(2.1)
Для доказательства теоремы 1.1 достаточно убедиться в том, что соотношение
∫
h(x)u(x)G(x, z; κ) dx = 0 для любых z ∈ L и всех u ∈ C2(D), Δu - κ2u = 0 в D, (2.2)
D
с h ∈ L2(D) влечёт за собой равенство h = 0 п.в. в D.
Рассмотрим вначале случай κ ∈ R+. Уравнению Δu - κ2u = 0 удовлетворяет экспо-
ненциальная функция u(x) = u(x, xn) = e-i(λ,x)+λnxn , где λ2n = κ2 + |λ|2. Здесь и далее
(λ, x) = λ1x1 + ... + λn-1xn-1. Таким образом, из (1.5) и (2.2) следует, что при значении
√
λn = κ2 + |λ|2
(2.3)
выполняется равенство
√
∫
h(x)e-i(λ,x)+λnxn K(n-2)/2(κ
|x|2 + (zn - xn)2)
dx = 0
(2.4)
(|x|2 + (zn - xn)2)(n-2)/4
D
для любого zn ∈ R и всехλ ∈ Rn-1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛНОТА АСИММЕТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ РЕШЕНИЙ
259
Применим к левой части равенства (2.4) преобразование Фурье по переменной zn. Соглас-
но [16, с. 59] будем иметь
∞
√
∞
√
∫
∫
K(n-2)/2(κ
|x|2 + (zn - xn)2)
K(n-2)/2(κ
|x|2 + u2)
e-iμzn
dzn = e-iμxn
e-iμu
du =
(|x|2 + (zn - xn)2)(n-2)/4
(|x|2 + u2)(n-2)/4
-∞
−∞
√
∫∞
K(n-2)/2(κ
|x|2 + u2)
= 2e-iμxn cos(μu)
du =
(|x|2 + u2)(n-2)/4
0
√
√
=
2πe-iμxn κ-(n-2)/2|x|-(n-3)/2(κ2 + μ2)(n-3)/4K(n-3)/2(|x|
κ2 + μ2).
Поэтому из (2.2), (2.3) следует, что
∫
√
√
h(x, xn
)e-i(λ,x)+(κ2+|λ|2-iμ)xn |x|-(n-3)/2K(n-3)/2(|x|
κ2 + μ2)dxdxn = 0
(2.5)
D
для всехλ ∈ Rn-1 и любого μ ∈ R. Нетрудно видеть, что функция в левой части равенства
(2.5) аналитична по μ ∈ C\{±iκ} при каждомλ ∈ Rn-1. Отсюда следует, что это равенство
продолжается по аналитичности на все значения μ ∈ C\{±iκ}.√
Полагая в (2.5) μ = p - i κ2 + |λ|2, p ∈ R, получаем, что для всехλ ∈ Rn-1 имеет место
равенство
√
∫
(
√
)
h(x, xn)e-ipxn e-i(λ,x)|x|-(n-3)/2
K(n-3)/2
|x| p2 - 2pi κ2 + |λ|2 - |λ|2 dx dxn = 0.
(2.6)
D
Рассмотрим преобразование Фурье в Rn-1,
∫
(Ff)(y) = e-i(x,y)f(x)dx,
y∈Rn-1,
Rn
на функциях вида f(x) = F (ρ)Yk,l(ϕ), ρ = |x|, ϕ = x/|x|. Обозначим r = |y|, θ = y/|y|.
Угловые координаты точки θ ∈ Sn-21 определяются формулами (2.1) с заменой в них ϕ на θ.
Нам понадобится известное утверждение из [17, с. 83], которое ниже формулируется в виде,
адаптированном к нашим обозначениям.
Лемма. Пусть F - непрерывная финитная функция с компактным носителем в (0, ∞).
Тогда для f(x) = F (ρ)Yk,l(ϕ) справедливо равенство
∫∞
(Ff)(r, θ) = (-i)k(2π)(n-1)/2r(3-n)/2Yk,l(θ) J(n-3+2k)/2(sr)F (s)s(n-1)/2 ds.
(2.7)
0
Зафиксируем финитную на R+ функцию η = η(s), s ≥ 0, и сферическую функцию Yk,l
для некоторых k ≥ 0 и 1 ≤ l ≤ dk. Умножим обе части равенства (2.6) на η(|λ|)Yk,l(ζ), где
ζ
= λ/|λ|, и проинтегрируем результат по
λ ∈ Rn-1. Функцию h считаем продолженной
нулём вне D. Получаем
∫
∞
∫
h(x, xn)
e-ipxn ×
|x|(n-3)/2
-∞Rn-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
8∗
260
КОКУРИН
√
( ∫
(
√
)
)
×
e-i(λ,x)K(n-3)/2
|x| p2 - 2pi κ2 + |λ|2 - |λ|2 η(|λ|)Yk,l(ζ) dλ dx dxn = 0.
(2.8)
Rn-1
Согласно (2.7) имеем
√
∫
(
√
)
e-i(λ,x)K(n-3)/2
|x| p2 - 2pi κ2 + |λ|2 - |λ|2 η(|λ|)Yk,l(ζ) dλ =
Rn-1
= (-i)k(2π)(n-1)/2ρ(3-n)/2Yk,l(ϕ) ×
∫∞
( √
)
√
× J(n-3+2k)/2(sr)K(n-3)/2 ρ p2 - 2pi
κ2 + s2 - s2 η(s)s(n-1)/2 ds,
(2.9)
0
где ϕ = x/|x|, ρ = |x|. Выбирая в (2.9) в качестве η элемент последовательности финитных
функций {ηn(s)}, сходящейся к δ(s - t), t > 0, и переходя к пределу при n → ∞, вследствие
равенства (2.8) получаем
∫
∞
(∫∞( ∫
)
)
ρh(x(ρ, ϕ), xn)Yk,l(ϕ) dϕ e-ipxn dxn
×
0
-∞ Sn-2
1
( √
)
√
× J(n-3+2k)/2(tρ)K(n-3)/2 ρ p2 - 2pi κ2 + t2 - t2 dρ = 0
(2.10)
для любых t > 0 и p ∈ R. Здесь x(ρ, ϕ) = ρϕ и при выводе использовалась формула [18,
с. 774]
∫
∫
∞
( ∫
)
∫
∞
( ∫
)
f(x)dx =
f(x)dϕ dρ =
ρn-2
f(x)dϕ dρ,
0
0
n-2
Rn-1
Sρ-2
S1
в которой f - интегрируемая на Rn-1 функция. Перейдём к анализу тождества (2.10).
3. Завершение доказательства основной теоремы. Введём обозначения
∫
Gk,l(ρ, xn) =
ρh(x(ρ, ϕ), xn)Yk,l(ϕ) dϕ,
Sn-2
1
∫∞
fp,k,l(ρ) =
Gk,l(ρ, xn)e-ipxn dxn.
-∞
Из тождества (2.10) следует, что
∫
∞
( √
)
√
J(n-3+2k)/2(tρ)K(n-3)/2 ρ p2 - 2pi
κ2 + t2 - t2 fp,k,l(ρ)dρ = 0
(3.1)
0
для любых t > 0 и p ∈ R.
Имеет место равенство
∞
∫
∑
(-ip)j
fp,k,l(ρ) =
Gk,l(ρ, xn)xn dxn.
j!
j=0
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛНОТА АСИММЕТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ РЕШЕНИЙ
261
Обозначим через
D ортогональную проекцию области D на гиперплоскость Rn-1 = {x}.
Поскольку D
⋂L = ∅, то 0 ∈ D. Поэтому Gk,l ≡ 0 вне прямоугольника {(ρ,xn)} = [a1,a2]×
× [H1, H2] для некоторых 0 < a1 < a2, H1 < H2 и соответственно fp,k,l ≡ 0 вне отрезка
[a1, a2].
Зафиксируем какие-либо номера k = k0, l = l0. Возможны два случая.
∫∞
Случай 1. При всех j = 0, 1, . . . справедливо равенство
Gk,l(ρ, xn)xn dxn = 0 для п.в.
-∞
ρ ≥ 0. Таким образом, в этом случае fp,k,l = 0 п.в. для всех p ∈ R\{0}.
∫∞
Случай 2. Найдётся такое m ≥ 0, что
Gk,l(ρ, xn)xn dxn = 0 для п.в. ρ ≥ 0 и при всех
∫∞
-∞
0 ≤ j < m, но функция
Gk,l(ρ, xn)xn dxn отлична от нуля на множестве положительной
-∞
меры в [a1, a2].
В случае 1 по теореме Мюнца [19, с. 54; 20, с. 171] для п.в. ρ ≥ 0, xn ∈ R имеем Gk,l(ρ, xn) =
= 0, т.е.
∫
ρh(x(ρ, ϕ), xn)Yk,l(ϕ) dϕ = 0.
(3.2)
Sn-21
Рассмотрим случай 2. В этом случае при p → 0+ справедливо равенство
∞
∫
m
(-ip)
fp,k,l(ρ) =
Gk,l(ρ, xn)xn dxn + O(pm+1),
(3.3)
m!
−∞
а значит, при малых p > 0 будем иметь
∫
∞
m
p
∥fp,k,l∥L2(0,∞) =
Gk,l( · , xn)xn dxn
+ O(pm+1).
(3.4)
m!
L2(0,∞)
-∞
Из равенства (3.4) следует, что если ε > 0 достаточно мало, то ∥fp,k,l∥L2(0,∞) > 0 при 0 <
< p ≤ ε.
Положим
fp,k,l(ρ)
fp,k,l(ρ) =
,
ρ ≥ 0,
0 < p ≤ ε.
∥fp,k,l∥L2(0,∞)
Используя (3.3) и (3.4), заключаем, что
(
∫
∞
∫
∞
)
)-1(
fp,k,l(ρ) =
Gk,l( · , xn)xn dxn
+ O(p)
(-i)m Gk,l(ρ, xn)xmn dxn + O(p)
L2(0,∞)
-∞
-∞
Отсюда следует соотношение
lim
fp,k,l - gk,l∥L2(0,∞) = 0,
(3.5)
p→0
в котором обозначено
∫
∞
∫
∞
-1
gk,l(ρ) = (-i)m
Gk,l( · , xn)xn dxn
Gk,l(ρ, xn)xn dxn.
L2(0,∞)
-∞
-∞
Очевидно, что
∥gk,l∥L2(0,∞) = 1
(3.6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
262
КОКУРИН
и gk,l ≡ 0 вне отрезка [a1,a2]. Согласно (3.1) для выбранных номеров k = k0, l = l0 выпол-
няется тождество
∫
∞
( √
)
√
J(n-3+2k)/2(tρ)K(n-3)/2 ρ p2 - 2pi
κ2 + t2 - t2
fp,k,l(ρ)dρ = 0
(3.7)
0
для всех t > 0 и p ∈ R. Здесь интегрирование фактически ведётся по отрезку [a1, a2]. Пере-
ходя в (3.7) к пределу при p → 0, с учётом соотношения (3.5) получаем
∞
∫
J(n-3+2k)/2(tρ)K(n-3)/2(itρ)gk,l(ρ)dρ = 0 для всех t > 0.
(3.8)
0
Отсюда следует, что gk,l = 0 п.в. на R. Действительно, умножая обе части тождества (3.8)
на t-s, s ∈ (0, 1), и интегрируя, находим
∫
∞
(∫∞
)
∫
∞
gk,l(ρ)
t-sJ(n-3+2k)/2(tρ)K(n-3)/2(itρ)dt dρ = Ψ(s) ρs-1gk,l(ρ)dρ = 0,
(3.9)
0
0
0
∫∞
Ψ(s) = τ-sJ(n-3+2k)/2(τ)K(n-3)/2(iτ) dτ.
(3.10)
0
В силу известных асимптотических оценок поведения функций Jν (z), Kν (z) при z → 0, ∞,
z ∈ C [10, гл. 9], функция Ψ аналитична по s ∈ C, Res ∈ (0,1). Если Ψ(s) = 0 для
всех s ∈ (0, 1), то по теореме Мюнца [20, с. 172] из (3.10) вытекает противоречивое равенство
J(n-3+2k)/2(τ)K(n-3)/2(iτ) ≡ 0. Поэтому найдётся отрезок [α,β] ⊂ (0,1), для которого Ψ(s) =
= 0, s ∈ [α, β]. Но тогда из (3.9) следует, что
∞
∫
ρs-1gk,l(ρ)dρ = 0
(3.11)
0
для любого s ∈ [α, β]. Напомним, что функция gk,l имеет носитель, содержащийся в отрезке
[a1, a2] ⊂ (0, ∞). Следовательно, функция в левой части равенства (3.11) аналитична по s.
Поэтому это равенство распространяется на все значения s > 0. Из теоремы об обращении
преобразования Меллина [21, с. 73] теперь следует, что gk,l = 0 п.в. на R. Полученное равен-
ство противоречит (3.6). Тем самым показано, что случай 2 невозможен ни при каких k и l.
Таким образом, реализуется случай 1, поэтому в силу равенства (3.2) имеем
∫
h(x(ρ, ϕ), xn)Yk,l(ϕ) dϕ = 0
Sn-21
для всех k = 0, 1, . . . , l = 1, dk и для п.в. ρ ≥ 0, xn ∈ R. Поскольку система сферических
функций {Yk,l(ϕ)} образует ортонормированный базис в L2(Sn-21), отсюда следует, что
h(x(ρ, ϕ), xn) = 0
для п.в. ρ ≥ 0, xn ∈ R, ϕ ∈ Sn-21. Следовательно, h(x) = 0 для п.в. x ∈ D. Рассмотрение
случая κ ∈ R+ завершено.
В случае κ ∈ iR- имеем κ = -qi, q > 0. В данном случае
√
λn =
|λ|2 - q2.
(3.12)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
ПОЛНОТА АСИММЕТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ РЕШЕНИЙ
263
Из вида функций (1.5), (1.6) следует, что вместо (2.4) имеем равенство
√
∫ h(x)e-i(λ,x)+λnxn H(1)
(q
(|x|2 + (zn - xn)2))
(n-2)/2
dx = 0
(3.13)
(|x|2 + (zn - xn)2)(n-2)/4
D
для любого zn ∈ R и всехλ ∈ Rn-1. Применяя к равенству (3.13) преобразование Фурье по
zn с учётом значения (3.12), представления
ν (z) = Jν (z) + iYν (z) и формул [21, с. 210, 214],
получаем
∫
√
√
|λ|2-q2-iμ)xn|x|-(n-3)/2H(1)
h(x, xn)e-i(λ,x)+(
(|x|
q2 - μ2)dxdxn = 0
(n-3)/2
D
для любого μ ∈ R и всехλ ∈ Rn-1. Дальнейшие рассуждения точно такие же, как и в случае
κ > 0. Теорема доказана.
4. Приложение теоремы. Прокомментируем утверждение теоремы 1.1 в применении к
поставленной выше обратной задаче для уравнения (1.1). Обозначим Π = {x ∈ Rn : xn =
= 0}. Без ограничения общности можем считать, что Π
⋂D = ∅ и L⋂D = ∅. Выберем в
качестве X и Y открытую область в Π и открытый интервал в L соответственно такие, что
X
⋂Y = ∅. Рассмотрим соответствующее (1.8) однородное уравнение
∫
G(x, x′; λ)G(y, x′; λ)ξ(x′) dx′ = 0, (x, y) ∈ X × Y.
(4.1)
D
Поскольку функция в левой части уравнения (4.1) аналитична по x ∈ Π, y ∈ L, равенство
(4.1) выполняется также для всех (x, y) ∈ Π×L. Заметим, что семейство {G(x, · ; κ)}x∈Π полно
в пространстве {u ∈ C2(D) : Δu-κ2u = 0 в D} [12, с. 41]. Поэтому из (4.1) следует равенство
(1.9) для семейств Hj = H∗j, j = 1, 2, указанных в формулировке теоремы 1.1. Применение
теоремы 1.1 даёт равенство ξ = 0 п.в. Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть X и Y
- открытая область в Π и открытый интервал в L
соответственно, X
⋂Y = ∅. Тогда уравнение (1.8) имеет не более одного решения.
Пусть для определённости D ⊂ {x ∈ Rn : xn < 0}. Обозначим
D+R = {x ∈ OR(0) : xn ≥ 0}, S+R = {x ∈ ∂OR(0) : xn ≥ 0}.
Функция v(x), определённая левой частью равенства (4.1), при любом y ∈ L удовлетворяет
в D+R уравнению Δv - λ2v = 0. Используя принцип максимума [22, с. 40], получаем
max
|v(x)| = μR ≜ max
|v(x)|.
x∈D+R
x∈S+
R
Из (1.5) следует, что lim
μR = 0. Поэтому v(x) = 0 для x ∈ Rn с xn ≥ 0. В силу ана-
R→∞
литичности v справедливо равенство v(x) = 0 для всех x ∈ Rn\D. Поэтому утверждение
теоремы 4.1 имеет место и в том случае, когда гиперплоскость Π ⊂ Rn, не имеющая общих то-
чек с D, произвольным образом ориентирована относительно прямой L. Тем самым доказана
следующая
Теорема 4.2. Пусть Π0 и L0 - произвольные гиперплоскость и прямая в Rn соот-
ветственно такие, что L0 не лежит в Π0 и выполняются соотношения Π0
⋂D = ∅
и L0
⋂D = ∅, а X и Y - открытая область в Π0 и открытый интервал в L0 соот-
ветственно, X
⋂Y = ∅. Тогда обратные задачи {Π0,L0}, {L0, Π0} имеют единственное
решение.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
264
КОКУРИН
Замечание. В условиях теоремы 4.2 размерность пространственного носителя данных
X × Y = Π0 × L0 равна n и совпадает с размерностью носителя искомой функции ξ. Таким
образом, пространственную переопределённость исходной обратной задачи удаётся снять.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-
20085).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Calderon A.-P. On an inverse boundary value problem // Seminar on Numerical Analysis and Its
Applications to Continuum Physics. Sociedade Brasileira de Matematica. Rio de Janeiro, 1980. P. 65-73.
2. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York, 2006.
3. Kenig C., Salo M. Recent progress in the Calderon problem with partial data // Contemporary
Mathematics. V. 615. Inverse problems and applications. Providence, 2014. P. 193-222.
4. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964.
Т. 157. № 3. С. 520-521.
5. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл.
АН СССР. 1965. Т. 160. № 1. С. 32-35.
6. Бакушинский А.Б, Козлов А.И., Кокурин М.Ю. Об одной обратной задаче для трёхмерного вол-
нового уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2003. Т. 43. № 8. С. 1201-1209.
7. Вайнберг М.М. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М., 1982.
8. Романов В.Г. О гладкости фундаментального решения для гиперболического уравнения второго
порядка // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50. № 4. С. 883-889.
9. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate Approximations. Providence, 2007.
10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.
11. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики
и анализа. М., 1980.
12. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М., 1994.
13. Кокурин М.Ю., Паймеров С.К. Об обратной коэффициентной задаче для волнового уравнения в
ограниченной области // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. № 1. С. 115-126.
14. Кокурин М.Ю. О полноте произведений гармонических функций и единственности решения обрат-
ной задачи акустического зондирования // Мат. заметки. 2018. Т. 104. № 5. С. 708-716.
15. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., 1974.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. I. Преобразования Фурье, Ла-
пласа, Меллина. М., 1969.
17. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.
18. Шварц Л. Анализ. Т. I. М., 1972.
19. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965.
20. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and Polynomial Inequalities. New York, 1995.
21. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961.
22. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка. М., 1989.
Марийский государственный университет,
Поступила в редакцию 05.07.2020 г.
г. Йошкар-Ола
После доработки 18.11.2020 г.
Принята к публикации 11.12.2020 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
