ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.265-285
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.929+517.977
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
© 2021 г. А. В. Метельский, В. Е. Хартовский
Для линейных систем нейтрального типа строится финитный наблюдатель в виде выхо-
да системы запаздывающего типа с соизмеримыми сосредоточенными запаздываниями и
конечным спектром, позволяющий за конечное время получить точную оценку решения
исходной системы. Результаты иллюстрируются примером.
DOI: 10.31857/S0374064121020138
Введение. Различные постановки задач, связанные с вопросами оценки и/или наблюде-
ния решения линейных автономных систем запаздывающего типа, неоднократно встречались
в литературе [1-9]. Наиболее распространённый метод исследования таких задач основывает-
ся [1-6] на связи задачи проектирования асимптотических наблюдателей для системы наблю-
дения и задачи управления спектром двойственной системы управления, а также на различных
вариациях этой идеи [7]. В частности, возможность обеспечить системе управления конечный
асимптотически устойчивый спектр [6] позволяет обеспечить аналогичный спектр системе,
определяющей динамику ошибки оценивания. К недостаткам такого подхода следует отнести
возможность только асимптотически точного восстановления решения системы наблюдения.
В работах [8, 9] для систем с запаздыванием предложен новый тип наблюдателя - финит-
ный наблюдатель - который позволяет за конечное время получить точное решение системы
наблюдения. Здесь в качестве основной выступает задача выбора параметров наблюдателя
таким образом, чтобы система, определяющая динамику ошибки оценивания, была точечно
вырожденной в направлениях, соответствующих компонентам ошибки (размерность наблюда-
теля больше размерности исходной системы).
Системы нейтрального типа обладают более сложной динамикой по сравнению с система-
ми запаздывающего типа, что отражается и на свойствах наблюдаемости их текущего состоя-
ния [10, 11], а поэтому вопросы проектирования наблюдателей для систем нейтрального типа
изучены несколько слабее. Для таких систем в работах [12, 13] предложены методы синтеза
асимптотических наблюдателей при наличии свойств модальной управляемости в различных
классах регуляторов для двойственной системы управления или при наличии свойства асимп-
тотической наблюдаемости у исходной системы, а в [14] разработан метод синтеза финитного
наблюдателя. Однако полученный в [14] финитный наблюдатель содержит распределённое
запаздывание, в то время как исходная система является системой с сосредоточенными запаз-
дываниями. Кроме того, наличие интегральных слагаемых, соответствующих распределён-
ным запаздываниям, порождает ряд трудностей при практической реализации таких объек-
тов [15, 16].
В настоящей работе предлагается новый тип финитного наблюдателя для систем нейтраль-
ного типа, который, в отличии от [14], не содержит распределённого запаздывания и опреде-
ляется системой запаздывающего типа с сосредоточенными соизмеримыми запаздываниями и
конечным спектром.
1. Постановка задачи. Предварительные сведения. Рассмотрим линейную автоном-
ную дифференциально-разностную систему нейтрального типа с соизмеримыми запаздывани-
ями
∑
∑
x(t) -
Di x(t - ih) =
Aix(t - ih), t > 0,
(1)
i=1
i=0
∑
y(t) =
Cix(t - ih), t ≥ 0,
(2)
i=0
265
266
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
где Di ∈ Rn×n, Ai ∈ Rn×n, Ci ∈ Rl×n, x - вектор решения, y - вектор выходных величин,
доступных наблюдению (выход), h = const > 0. Решение уравнения (1) однозначно задаётся
начальной функцией
x(t) = ϕ(t), t ∈ [-mh, 0].
(3)
Далее считаем, что функция ϕ
C([-mh, 0], Rn) является неизвестной, здесь и ниже через
C([a, b], Rn) обозначается линейное пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций, име-
ющих на этом отрезке кусочно-непрерывную производную.
Обозначим: Ii ∈ Ri×i - единичная матрица, λh - оператор сдвига, определяемый для
заданного h > 0 правилом (λh)kf(t) = f(t - kh), k ∈ N (для произвольной функции f).
Введём полиномиальные матрицы
∑
∑
∑
D(λ) = λiDi, A(λ) = λiAi, C(λ) =
λiCi
i=1
i=0
i=0
и запишем систему (1), (2) в операторном виде
(In - D(λh)) x(t) = A(λh)x(t), t > 0,
(4)
y(t) = C(λh)x(t), t ≥ 0.
(5)
В дальнейшем будем использовать запись исходной системы (1), (2) в виде (4), (5).
Задача. Требуется построить линейную автономную дифференциальную систему запаз-
дывающего типа с выходом x такую, что при входном сигнале y, определяемом формулой (5),
выход x, начиная с некоторого момента времени t1 > 0, является точной оценкой неизвест-
ного решения x уравнения (4):
x(t) - x(t) ≡ 0, t ≥ t1.
(6)
Дифференциальную систему с выходом x, реализующую оценку x уравнения (4), назовём
финитным наблюдателем для системы (1), (2).
Пусть x(t), t > 0, - решение уравнения (4). Под состоянием уравнения (4) в момент
времени t > 0 будем понимать [17] функцию xt(τ) = x(t + τ), τ ∈ [-mh, 0].
Рассмотрим множество Yt1 всех выходов (5) на отрезке [0, t1]:
Yt1 = {y : существует ϕ
C([-mh, 0], Rn), x(t) = ϕ(t), t ∈ [-mh, 0],
(In - D(λh)) x(t) = A(λh)x(t), t ∈ (0, t1], y(t) = C(λh)x(t), t ∈ [0, t1]}.
Множество Yt1 представляет собой линейное многообразие в пространстве непрерывных функ-
ций C([0, t1], Rn). Пусть x(t), t ∈ [0, t1], - решение уравнения (4) и y(t) = C(λh)x(t), t ∈
∈ [0, t1], - соответствующий ему выход. Введём оператор Lt1 y = xt1, y ∈ Yt1, который будем
называть оператором восстановления текущего состояния xt1.
Обозначим через W (p, λ) характеристическую матрицу p(In - D(λ)) - A(λ) системы (4)
(при λ = e-ph). Если для системы (4), (5) существует финитный наблюдатель, задаваемый ли-
нейной автономной дифференциальной системой запаздывающего типа, то существует непре-
рывный оператор Lt1 : C([0, t1], Rn) → C([-mh, 0], Rn), имеющий вид интеграла Римана-
Стилтьеса, такой, что Lt1 y = xt1 , y ∈ Yt1 . Последнее [10, 11] равносильно одновременному
выполнению условий
[
]
W (p, e-ph)
rank
= n, p ∈ C;
(7)
C(e-ph)
[
]
In - D(λ)
rank
= n, λ ∈ C.
(8)
C(λ)
Поэтому условия (7), (8) являются необходимыми для существования финитного наблюдателя.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
267
Цель дальнейших рассуждений статьи состоит в том, чтобы показать, что выполнение
условий (7), (8) достаточно для существования финитного наблюдателя. Доказательство про-
ведём в два этапа. Вначале построим финитный наблюдатель для системы запаздывающего
типа, после чего перейдём к исследованию системы нейтрального типа. Далее в работе будет
предложен модифицированный финитный наблюдатель и приведён пример реализации двух
типов наблюдателей.
2. Случай системы запаздывающего типа с одномерным выходом. Рассмотрим
случай, когда в системе (4) матрица D(λ) является нулевой, а выход (5) одномерным, C(λ) =
= c(λ), c(λ) = [c1(λ), . . . , cn(λ)], где ci(λ), i = 1, n, - полиномы. Другими словами, вместо
системы (4), (5) будем изучать систему
x(t) = A(λh)x(t), t > 0,
(9)
y(t) = c(λh)x(t), t ≥ 0.
(10)
Заметим, что для системы (9), (10) условие (8) выполнено всегда, а условие (7) принимает вид
[
]
pIn - A(e-ph)
rank
= n, p ∈ C.
(11)
c(e-ph)
Финитный наблюдатель будем строить в следующем виде:
Ż(t) = A(pD , λh)z(t) - en+1y(t), t > t0,
(12)
x(t) = [In, 0n×3]z(t), t ≥ t0,
(13)
где pD = d/(dt) - оператор дифференцирования ((pD )kz(t) = z(k)(t)); z = [z1, . . . , zn+3]′ -
вектор решения уравнения (12) (штрих (′) обозначает операцию транспонирования), x =
= [x1,..., xn]′ - выход уравнения (12), определяющий оценку решения x системы (4), en+1 -
(n + 1)-й столбец единичной матрицы In+3; t0 - момент “включения” наблюдателя. Мат-
рица A(p, λ) выбирается такой, чтобы характеристическая матрица системы (12) имела вид
(λ = e-ph)
⎡
⎤
p - a11(λ) ...
-a1n(λ)
-ϕ1(λ)
-b1
0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
-an1(λ) ... p - ann(λ)
-ϕn(λ)
-bn
0
⎥
pIn+3 - A(p,λ) =
⎢
⎥,
(14)
⎢
−c1(λ) ...
-cn(λ) p - ϕn+1(p,λ)
-1
0
⎥
⎣
⎦
0
0
-λf1(p, λ)
p - f2(p,λ)
-a1(λ)
0
0
-λq1(λ)
-q2(λ)
p - a2(λ)
а спектр системы (12) был конечным, т.е.
|pIn+3 - A(p, λ)| = d(p),
(15)
где d(p) - некоторый полином. Здесь aij (λ), i, j = 1, n, - элементы матрицы A(λ), ϕ(p, λ) =
= [ϕ1(λ), . . . , ϕn(λ), ϕn+1(p, λ)]′ - векторный полином, b = [b1, . . . , bn, 1]′ - столбец действи-
тельных чисел; ai(λ), qi(λ), fi(p, λ) - полиномы (i = 1, 2), причём p - f2(p, λ) - полином
запаздывающего типа.
Замечание 1. Здесь и далее под полиномом запаздывающего типа понимаем полином
∑n-1
f (p, λ) вида f(p, λ) = pn +
pigi(λ), где n ∈ N, gi(λ) - произвольные полиномы. Исполь-
i=0
зование термина “запаздывающий тип” обусловлено тем, что любая система запаздывающего
типа вида (9) имеет характеристический квазиполином вида f(p, e-ph).
Заметим, что компонента zn+1 решения системы (12) зависит от выхода y. Значит, для су-
ществования слагаемого λhf1(pD , λh)zn+1 в системе (12) функция zn+1(t) должна быть диф-
ференцируема достаточное количество раз. Поэтому при выборе момента времени t0 руковод-
ствуемся тем, что решение системы запаздывающего типа с течением времени сглаживается.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
268
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
В частности, при увеличении времени на величину mh максимальный порядок непрерыв-
ной производной решения системы (9) увеличивается на единицу. Вследствие этого полагаем
t0 = (ρ0 - 1)mh, где ρ0 = max{degpf1(p,λ) - degp(ϕn+1(p,λ) - p), 0}.
Считаем, что компоненты zi(t), t ∈ [t0 - h0, t0], i = 1, n + 3 (h0 - длина отрезка последей-
ствия системы (12)), начальной функции z(t), t ∈ [t0 - h0, t0], являются достаточно гладкими
с кусочно-непрерывной старшей производной (порядок старшей производной для каждой ком-
поненты определяется максимальной степенью переменной p соответствующих полиномов в
матрице (14)). В частности, можно положить z(t) ≡ 0, t ∈ [t0 - h0, t0].
Сравнивая элементы матриц в уравнениях (9), (10) с элементами первых n + 1 строк
матрицы (14), видим, что погрешность ζi(t) = xi(t) - xi(t), i = 1, n, оценки решения урав-
нения (9) наблюдателем (12), (13) являются первыми n компонентами решения однородной
(y = 0) системы (12), т.е. системы
ζ(t) = A(pD , λh)ζ(t), t > t0,
(16)
где ζ = [ζ1, . . . , ζn, zn+1, zn+2, zn+3]′.
Пусть Wϕ(p, λ) - блок матрицы (14), состоящий из её первых n+1 строк и n+1 столбцов:
⎡
⎤
-ϕ1(λ)
⎢
pIn - A(λ)
⎥
Wϕ(p,λ) =
⎣
⎦=
-ϕn(λ)
−c(λ)
p - ϕn+1(λ)
⎡
⎤
p - a11(λ) ...
-a1n-1(λ)
-a1n(λ)
-ϕ1(λ)
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢-an-11(λ) ... p - an-1n-1(λ)
-an-1n(λ)
-ϕn-1(λ)
⎥
⎣
⎦
−an1(λ) ...
-ann-1(λ)
p - ann(λ)
-ϕn(λ)
−c1(λ) ...
-cn-1(λ)
-cn(λ) p - ϕn+1(p,λ)
Обозначим через
M(p, λ) = [M1(p, λ), . . . ,Mn+1(p, λ)]′ алгебраические дополнения к элемен-
там (начиная с первого) последнего столбца матрицы Wϕ(p, λ).
Лемма 1. Пусть выполняется условие (11). Тогда существуют полиномы ϕi(λ), i = 1, n,
ϕn+1(p, λ) и приведённый полином d0(p) степени μ = deg d0(p) ≥ n + 1 такие, что
|Wϕ(p, λ)| = [-ϕ1(λ), . . . , -ϕn(λ), p - ϕn+1(p, λ)]M(p, λ) = d0(p),
(17)
и полином p - ϕn+1(p,λ) имеет запаздывающий тип.
В статье [9] описан способ построения полиномов из леммы 1, для реализации которого
достаточно выполнения условия (11). Поэтому доказательство леммы 1 не приводится.
Далее считаем, что полиномы, указанные в лемме 1, построены. Введём ряд обозначений.
Предположим, что полином d0(p) из равенства (17) имеет μ различных корней pi, кратности
которых обозначим черезli, т.е.
∏
d0(p) = (p - pi)li.
i=1
Определим множество P0, состоящее из корней полинома d0(p): P0 = {pi ∈ C : i = 1, μ}.
Используя матрицу Wϕ(p, λ), построим матрицу Wc(p, λ) следующим образом:
⎡
⎤
⎡
⎤
-b
1
p - a11(λ) ...
-a1n(λ)
-ϕ1(λ)
-b1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
Wϕ(p,λ)
⎥
⎢
⎥
Wc(p,λ) =
⎢
-bn
⎥
=
⎢
-an1(λ) ... p - ann(λ)
-ϕn(λ)
-bn⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
-1
−c1(λ) ...
-cn(λ) p - ϕn+1(p,λ)
-1
0
0
p
0
0
0
p
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
269
Также определим матрицу Wb(p, λ), которая получается из матрицы Wc(p, λ) удалением в
ней столбца с номером (n + 1) и последней строки, wb(p, λ) = |Wb(p, λ)|. Рассмотрим алгеб-
раические дополнения
M(p, λ) = [Mn+1(p, λ), Mn+2(p)]′, Mn+1(p, λ) = -wb(p, λ), Mn+2(p) = d0(p)
к двум последним элементам последней строки матрицы Wc(p, λ). Обозначим
q′(λ) = [λq1(λ),q2(λ)], f′(p,λ) = [λf1(p,λ),f2(p,λ)],
k(p, λ) = (a1(λ)q′(λ)M(p, λ) + d(p))/(a2(λ) - p), K(p, λ) = k(p, λ) + pMn+2(p),
(18)
где d(p) - полином, определённый в (15).
Пусть выполнено условие (11). Приведём процедуру (шаги 1)-5)) построения финитного
наблюдателя (12), (13) (реализация и обоснование процедуры приводятся ниже).
1) Выбираем полином d(p) таким, чтобы выполнялось условие: если функция k(p, λ) яв-
ляется полиномом, то система (16) имеет запаздывающий тип.
2) Выбираем столбец действительных чисел b = [b1, . . . , bn, 1]′ так, чтобы система урав-
нений
λwb(p, λ) = 0, d0(p) = 0
(19)
имела конечное множество решений (p, λ) ∈ C2.
3) Выбираем полиномы a1(λ), a2(λ) такими, чтобы функции a1(e-ph)/d(p), (a2(e-ph) -
- p)/d(p) были целыми, а полиномы λwb(a2(λ),λ) и d0(a2(λ)) взаимно простыми.
4) Выбираем векторный полином q′(λ) таким, чтобы функция k(p, λ) являлась полино-
мом.
5) Выбираем полиномы fi(p, λ), i = 1, 2, такими, чтобы выполнялось равенство
f′(p,λ)M(p,λ) = K(p,λ).
(20)
Опишем реализацию приведённой процедуры.
1) Выбор полинома d(p). Пусть μd = deg d(p).
Лемма 2. Пусть μd ≥ μ + 3 и функция k(p, λ) является полиномом. Тогда полином
p - f2(p,λ) в матрице (14) имеет запаздывающий тип.
Доказательство. Если k(p, λ) - полином, то K(p, λ) также является полиномом. По-
скольку degp(pMn+2(p)) = μ + 1, то degp K(p, λ) = μd - 1, а старший член полинома K(p, λ)
(относительно переменной p) имеет вид (-pμd-1), μd - 1 ≥ μ + 2. Согласно (20) получаем
K(p, λ) = λf1(p, λ)Mn+1(p, λ) + f2(p, λ)Mn+2(p). Так как у старшего члена (-pμd-1) полинома
K(p, λ) нет множителя λ, то он является также старшим членом полинома (относительно пе-
ременной p) f2(p, λ)Mn+2(p). Значит, старший член полинома (относительно переменной p)
f2(p,λ) имеет вид (-pμd-μ-1). Соответственно компонента zn+2 в системе (16) определяется
уравнением запаздывающего типа. Лемма доказана.
Равенство (15) справедливо при любом λ ∈ C. Из представления (14) при λ = 0 следует,
что корни полинома d0(p) принадлежат спектру системы (16). Поэтому полином d(p) берём
в виде d(p) = d2(p)d0(p), где d2(p) - полином с действительными коэффициентами, старший
член которого равен pμd-μ. Поскольку полиномы p-ϕn+1(p, λ) и p-f2(p, λ) в силу лемм 1, 2
имеют запаздывающий тип, то и система (16) имеет запаздывающий тип.
2) Выбор столбца действительных чисел b = [b1, . . . , bn, 1]′.
Лемма 3. Существуют действительные числа b1, . . . , bn такие, что
wb(p,e-ph) = 0, p ∈ P0.
(21)
Доказательство. Запишем соотношение (21) в виде
M1(pi,e-pih)b1 + ... +Mn(pi,e-pih)bn +Mn+1(pi,e-pih) = 0, pi ∈ P0, i = 1, μ.
(22)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
270
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
Пусть
M (p) = [M1(p, e-ph), . . . ,Mn+1(p, e-ph)], ReM(p) = [ReM1(p, e-ph), . . . , ReMn+1(p, e-ph)].
Аналогично определяется ImM(p). В силу условия (11) вектор
M (p) не равен нулю при
любом p ∈ C. Поэтому либо ReM(pi) = 0, либо ImM(pi) = 0, i = 1, μ. Для каждо-
го i = 1, μ положим
[Mi1,... ,Min,Min+1]
= ReM(pi), если этот вектор ненулевой, или
[Mi1,... ,Min,Min+1] = ImM(pi) в противном случае.
Рассмотрим объединение гиперплоскостей
{
}
⋃
∑
M
M=
(ξ1, . . . , ξn)′ ∈ Rn :
ij ξj +Min+1 = 0
i=0
j=1
Очевидно, что множество
M не совпадает со всем пространством Rn (те равенства в (22),
для которых
M
= 0, j = 1, n,
M
ij
in+1 = 0 не рассматриваем, поскольку на выбор чисел bi
они не влияют). Поэтому в Rn существует точка (b1, . . . , bn)′, не принадлежащая множеству
M. Очевидно, что для этой точки выполняется соотношение (22). Лемма доказана.
Выберем действительные числа b1, . . . , bn, удовлетворяющие соотношению (21). Это мож-
но сделать следующим образом. Вначале найдём числа αi ∈ R, αi = 0, i = 1, μ, при которых
совместна система линейных алгебраических уравнений
M
i1b1 + . . . +Minbn = -αi -Min+1, pi ∈ P0, i = 1, μ,
(23)
относительно неизвестных bi ∈ R, i = 1, n. Существование таких чисел гарантирует лемма 3,
а выбрать их можно из условия разрешимости алгебраических систем: вектор
[M1n+1 + α1,... ,M̃μn+1 + α̃μ]
должен быть ортогонален всем векторам фундаментальной системы решений однородной сис-
темы, сопряжённой к системе (23). Затем в качестве набора чисел b1, . . . , bn можно взять
любое решение системы уравнений (23).
Несложно показать (методом от противного), что в силу (21) система алгебраических урав-
нений (19) может иметь не более чем конечное множество решений.
3) Выбор полиномов a1(λ), a2(λ).
Пусть
∏
d(p) = (p - pi)ki ,
i=1
P∗ = {pi ∈ C : i = 1,s1} - множество различных действительных или комплексно сопряжён-
ных корней полинома d(p); корень pi имеет алгебраическую кратность ki. Полином a1(λ)
берём в виде
∏
a1(λ) = (λ - λi)ki, λi ∈ Λ∗ = {λi = e-pih : pi ∈ P∗, i = 1,s1}.
(24)
i=1
Для того чтобы функция (a2(e-ph) - p)/d(p) была целой, необходимо и достаточно, что-
бы для всех pi ∈ P∗ значения функции a2(e-ph) - p и её производных по переменной p
обращались в нуль, т.е.
(a2(e-ph) - p)(k)|p=pi = 0, i = 1, s1, k = 0, ki - 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
271
Поэтому для всех λi = e-pih ∈ Λ∗ (pi ∈ P∗) должны выполняться равенства
a2(λi) = pi, a(k)2(λi) =(-1)k(k-1)!,
k = 1,ki - 1, если ki > 1, i = 1,s1.
(25)
hλk
i
Замечание 2. Поясним возможную трудность при реализации равенства (25). Если набор
корней полинома d(p) содержит комплексно сопряжённые корни, то возможна ситуация, когда
pk1
= pk2, но λk1 = λk2 = e-pk1,2h, и первое равенство в (25) выполнить нельзя, так как
в этом случае a2(λk1 ) = a2(λk2 ). Для преодоления этой трудности введём в наблюдателе
запаздывание h1 = h/k, где k ∈ N - некоторое число. Тогда матрицей системы (9) будет
A(λ) = A0 + A1λk + . . . + Amλkm и λixk(t) = xk(t - ih1). Натуральное k можно выбрать так,
чтобы разным значениям pi ∈ P∗ соответствовали различные λi = e-pih/k. Это требование
учитываем и при выборе полинома d2(p) в п. 1) описываемой процедуры.
Пусть Λ0 = {λk ∈ C : k = 1, μ2} - множество различных чисел таких, что при некотором
p∗ ∈ P0 выполняется равенство λkwb(p∗,λk) = 0. В силу п. 2) множество Λ0 конечно.
Согласно п. 3) процедуры построения наблюдателя полиномы λwb(a2(λ), λ) и d0(a2(λ))
должны быть взаимно простыми. Если эти полиномы имеют общие корни λ0i, то вследствие
равенств (25) имеем λ0i ∈ Λ0\Λ∗. В таком случае к (25) добавим равенства
a2(λ0i) = p0, λ0i ∈ Λ0\Λ∗,
(26)
где p0 ∈ R, p0 ∈ P0, причём значение p0 возьмём одним и тем же для всех λ0i ∈ Λ0\Λ∗.
Полином a2(λ) найдём как решение известной в теории полиномов интерполяционной задачи
(25), (26), т.е. как полином Лагранжа-Сильвестра [18, с. 104].
Лемма 4. Пусть полином a2(λ) удовлетворяет условиям (25), (26). Тогда полиномы
λwb(a2(λ), λ) и d0(a2(λ)) взаимно просты.
Доказательство. Предположим противное: существует λ∗ ∈ C, при котором выполня-
ются равенства λ∗wb(a2(λ∗), λ∗) = 0, d0(a2(λ∗)) = 0. Тогда a2(λ∗) = p∗ ∈ P0, λ∗ ∈ Λ0.
Если предположить, что λ∗ ∈ Λ∗, то λ∗ = e-p∗h в силу (25), откуда получаем противоре-
чие с соотношением (21). Значит, λ∗ ∈ Λ∗. Поэтому λ∗ ∈ Λ0\Λ∗. Но в силу (26) величины
λiwb(a2(λi),λi) и d0(a2(λi)) одновременно не равны нулю для всех λi ∈ Λ0\Λ∗. Получили
противоречие. Лемма доказана.
4) Вычисление векторного полинома q′(λ).
Покажем, как выбрать векторный полином q′(λ) = [λq1(λ), q2(λ)] таким, чтобы функция
k(p, λ) была полиномом. В силу теоремы Безу векторный полином q′(λ) должен обеспечивать
тождество
a1(λ)q′(λ)M(a2(λ),λ) + d(a2(λ)) = 0, λ ∈ C.
Согласно (24), (25) все корни полинома a1(λ) являются корнями полинома d(a2(λ)) не мень-
шей кратности, поэтому d(a2(λ)) делится без остатка на a1(λ). Значит, полином q′(λ) можно
искать как решение полиномиального уравнения
q′(λ)M(a2(λ),λ) + d(a2(λ))/a1(λ) = 0, λ ∈ C.
Согласно лемме 4 полиномы λwb(a2(λ), λ) и d0(a2(λ)) взаимно просты. Поэтому, следуя
алгоритму Евклида, найдём полиномы vi(λ), i = 1, 2, такие, что
-λv1(λ)wb(a2(λ), λ) + v2(λ)d0(a2(λ)) = 1, λ ∈ C.
Возьмём q′(λ) = [λv1(λ), v2(λ)], тогда
q′(λ)M(a2(λ), λ) = 1, λ ∈ C. Положим
q′(λ) = -q′(λ)d(a2(λ))/a1(λ).
(27)
Согласно теореме Безу функция k(p, λ) является полиномом. Действительно, обозначим
k1(p,λ) = a1(λ)q′(λ)M(p,λ) + d(p) (см. определение k(p,λ) в (18)). Так как k1(a2(λ),λ) = 0,
то p = a2(λ) - корень полинома k1(p, λ) при любом λ. Значит, в разложении k1(p, λ) на
множители присутствует множитель p - a2(λ). Поэтому k(p, λ) - полином.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
272
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
5) Нахождение векторного полинома f′(p, λ).
Полином k(p, λ) запишем следующим образом:
(d(p) - d(p)q′(λ)M(p, λ)) + (d(p)q′(λ)M(p, λ) + a1(λ)q′(λ)M(p, λ))
k(p, λ) =
a2(λ) - p
Заменяя в числителе этой дроби слагаемое d(p) в первой скобке на d(p) = d2(p)d0(p) =
= [0; d2(p)]M(p, λ) и во второй скобке q′(λ) согласно (27), получаем
)
(1 - q′(λ)M(p,λ)
d(p) - d(a2(λ))
k(p, λ) =
[0, d2(p)] +
q′(λ)
M(p, λ).
(28)
a2(λ) - p
a2(λ) - p
Здесь в силу теоремы Безу (1 - q′(λ)M(p, λ))/(a2(λ) - p) и (d(p) - d(a2(λ)))/(a2(λ) - p) -
полиномы.
Взяв полином
1 - q′(λ)M(p,λ)
d(p) - d(a2(λ))
f′(p,λ) =
[0; d2(p)] +
q′(λ) + [0, p],
(29)
a2(λ) - p
a2(λ) - p
имеем вследствие (28) равенство (20). Из вида вектора q(λ) вытекает равенство f′(p, λ) =
= [λf1(p, λ), f2(p, λ)]. Итак, шаги 1)-5) процедуры построения наблюдателя (12), (13) реали-
зованы.
Обоснуем предложенную процедуру построения финитного наблюдателя (12), (13), доказав
тождество (6). Для этого понадобится следующее утверждение (см. лемму 2.1 в [19]).
Лемма 5. Пусть F (λ), λ ∈ C, - целая функция экспоненциального типа, т.е. |F (λ)| ≤
≤ l1el2|λ|, λ ∈ C, для некоторых положительных чисел l1, l2. Тогда для того чтобы су-
ществовали неотрицательные постоянные t, t и интегрируемая в квадрате функция f(t),
t ∈ R, такая, что f(t) ≡ 0, t ∈ [-t,t], и
∫t
F (λ) = e-λtf(t) dt,
-t
необходимо и достаточно, чтобы функция F(λ) была интегрируема в квадрате на мнимой
оси. При выполнении условия леммы наименьшие возможные числа t, t определяются по
формулам
t = limsup(1/λ) ln |F (λ)|, t = lim sup(1/λ) ln |F (-λ)|.
λ→∞
λ→∞
λ∈R
λ∈R
Теорема 1. Существует момент времени t1 > 0 такой, что, каково бы ни было началь-
ное состояние системы (16), выполняются тождества
ζi(t) ≡ 0, t ≥ t1, i = 1,n.
(30)
Доказательство. Покажем, что система (16) имеет характеристический полином d(p).
Разлагая определитель характеристической матрицы (14) по последнему столбцу и учитывая
равенства (18) и (20), получаем
|pIn+3 - A(p, λ)| = (p - a2(λ))((p - f2(p, λ))Mn+2(p) - λf1(p, λ)Mn+1(p, λ))
-a1(λ)(λq1(λ)Mn+1(p,λ) + q2(λ)Mn+2(p)) =
= (p - a2(λ))(pMn+2(p) - f′(p, λ)M(p, λ)) - a1(λ)q′(λ)M(p, λ) =
= (p - a2(λ))(a1(λ)q′(λ)M(p, λ) + d(p))/(p - a2(λ)) - a1(λ)q′(λ)M(p, λ) = d(p).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
273
Пусть aij (p, λ) - элементы матрицы (14), т.е. pIn+3 - A(p, λ) = [aij(p, λ)]n+3i,j=1. Положим
m1 = max{degλaij(p,λ) : i,j = 1,n + 1}, t0 = t0+ρ1h, где ρ1 = m1 degpf1(p,λ)+degλf1(p,λ)+1.
В силу того, что первые n + 1 компонент системы (16) определяются системой запаздываю-
щего типа, при t > t0 старшие производные всех компонент системы (16) либо непрерывны,
либо кусочно-непрерывны, а производные более низких порядков непрерывны. Поэтому к сис-
теме (16) при t > t0 применимо преобразование Лапласа. Согласно лемме 5 для выполнения
тождеств (30) достаточно (см. теорему 2.2 в [19]), чтобы элементы первых n строк матрицы
(pIn+3 -A(p, e-ph))-1 являлись целыми функциями экспоненциального типа, интегрируемыми
в квадрате на мнимой оси. Выражая элементы обратной матрицы через элементы присоединён-
ной матрицы, заключаем, что для этого достаточно, чтобы целыми функциями экспоненциаль-
ного типа, интегрируемыми в квадрате на мнимой оси, были rij(p, e-ph), i = 1, n + 3, j = 1, n,
где rij (p, λ) = mij(p, λ)/d(p), а mij (p, λ) - минор элемента aij(p, λ) характеристической мат-
рицы (14). Разлагая указанные миноры по последнему столбцу матрицы (14), в силу шага 3)
процедуры построения наблюдателя убеждаемся, что rij(p, e-ph), i = 1, n + 3, j = 1, n, -
целые функции экспоненциального типа. Кроме того, очевидны неравенства degprij (p, λ) <
< deg d(p), поэтому rij(p,e-ph) = O(|p|-1) при |p| → ∞ на мнимой оси. Отсюда следует [19]
интегрируемость в квадрате на мнимой оси функций rij (p, e-ph), i = 1, n + 3, j = 1, n.
Из леммы 5 вытекает, что момент времени t1 будет определяться равенством t1 = t0 + δh,
где δ = max{δi : i = 1, n}, а δi - максимальная степень переменной λ в i-й строке матрицы
(pIn+3 - A(p, λ))-1. Теорема доказана.
Замечание 3. Систему (12) с помощью введения дополнительных переменных всегда мож-
но записать в нормальной форме. Поскольку (p - ϕn+1(p, λ)) и (p - f2(p, λ)) - полиномы
запаздывающего типа, то система (12) в нормальной форме будет неоднородной линейной ав-
тономной дифференциально-разностной системой запаздывающего типа с соизмеримыми за-
паздываниями, причём неоднородная часть будет непрерывной функцией. Такая система при
указанных начальных условиях имеет единственное решение [17, c. 51]. Также отметим, что
тождество (30) показывает, что система (12) является точечно вырожденной [19]. Таким свой-
ством может обладать только система с запаздыванием, поэтому характеристическая матрица
(14) всегда будет зависеть от переменной λ.
Рассмотрим теперь неоднородную систему запаздывающего типа
x(t) = A(λh)x(t) + U(t), t > 0,
(31)
y(t) = c(λh)x(t), t ≥ 0,
(32)
где U(t), t > 0, - некоторая известная кусочно-непрерывная функция. При дальнейшем про-
ектировании финитного наблюдателя для системы нейтрального типа (4), (5) понадобится
финитный наблюдатель для системы (31), (32), который можно записать в виде
Ż(t) = A(pD , λh)z(t) - en+1y(t) + U(t), t > t0,
(33)
x(t) = [In, 0n×3]z(t), t ≥ t0,
(34)
где U = col [U, 0, 0, 0], матрицы A(p, λ),
[In, 0n×3] и число t0 те же, что и в формулах (12),
(13). Пусть ξi = xi - xi, i = 1, n, - погрешность наблюдателя (33), (34).
Следствие. Существует момент времени t1 > 0 такой, что имеют место тождества
ξi(t) ≡ 0, t ≥ t1, i = 1,n.
(35)
Доказательство. Сделаем в системе (33) замену переменных zi = ξi - xi, i = 1, n, и
введём вектор ξ = [ξ1, . . . , ξn, zn+1, zn+2, zn+3]′. Учитывая, что функция x удовлетворяет сис-
теме (31), получаем систему
ξ(t) = A(pD , λh)ξ(t)
с такой же матрицей A(p, λ), что и в системе (16). В доказательстве теоремы 1 показано, что
найдётся момент времени t1 > 0 такой, что, каково бы ни было начальное состояние системы
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
274
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
с матрицей A(p, λ), её первые n компонент при t ≥ t1 тождественно равны нулю, т.е. имеет
место тождество (35). Следствие доказано.
3. Финитный наблюдатель для системы нейтрального типа. Напомним [20, c. 230],
что для любой полиномиальной матрицы R(λ) существует пара унимодулярных матриц (т.е.
невырожденных матриц с определителем, не зависящим от λ) P1(λ), P2(λ), приводящих
матрицу R(λ) к нормальной форме Смита
R(λ), т.е.
R(λ) = P1(λ)R(λ)P2(λ) (см. также [18,
c. 139] - канонический вид λ-матриц). Матрица
R(λ) характеризуется тем, что левый верхний
квадратный блок этой матрицы, размер которого совпадает с рангом матрицы R(λ), имеет
вид diag [r1(λ), . . . , rk(λ)], а все остальные элементы матрицы
R(λ) являются нулями. Много-
члены ri(λ), i = 1, k, называются инвариантными многочленами матрицы
R(λ) и определя-
ются равенством ri(λ) = di(λ)/di-1(λ), где di(λ) - наибольший общий делитель всех миноров
порядка i матрицы
R(λ).
Перейдём к вопросу о проектировании финитного наблюдателя для систем нейтрально-
го типа. Считаем, что параметры системы (4), (5) удовлетворяют условиям (7), (8). В силу
условия (8) наибольший общий делитель всех миноров порядка n матрицы
[
]
In - D(λ)
(36)
C(λ)
равен единице. Поэтому нормальная форма Смита матрицы (36) имеет вид col [In, 0l×n], здесь
и ниже через 0i×j обозначается нулевая матрица размера i×j. Обозначим Rn×m[λ] множество
n×m-матриц, элементы которых являются полиномами переменной λ. Пусть унимодулярные
матрицы N(λ) ∈ R(n+l)×(n+l)[λ] и N1(λ) ∈ Rn×n[λ] обеспечивают преобразование
[
]
[
]
In - D(λ)
In
N (λ)
N1(λ) =
(37)
C(λ)
0l×n
Умножим матрицу
[
]
p(In - D(λ))N1(λ) - A(λ)N1(λ)
0n×l
W(p, λ) =
pC(λ)N1(λ)
-pIl
слева на матрицу
[
]
N11(λ) N12(λ)
N (λ) =
,
N21(λ) N22(λ)
где блоки N11(λ) ∈ Rn×n[λ], N12(λ) ∈ Rn×l[λ], N21(λ) ∈ Rl×n[λ], N22(λ) ∈ Rl×l[λ]. Получен-
ную в результате матрицу
W1(p,λ) = N(λ)W(p,λ)
(38)
запишем в силу (37) в виде
[
]
pIn
A(λ)
-pN12(λ)
W1(p,λ) =
,
C1(λ)
-pN22(λ)
где
A(λ) = N11(λ)A(λ)N1(λ),
C1(λ) = -N21(λ)A(λ)N1(λ).
В системе (4), (5) перейдём к новой переменной
x(t) = N-11(λh)x(t), t ≥ (-m + degλ N-11(λ))h.
(39)
Тогда
x(t) = N1(λh)x(t), t ≥ (-m + γ)h,
(40)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
275
где γ = degλ N-11(λ) + degλ N1(λ). Продифференцируем равенство (5) и присоединим к по-
лученному равенству систему (4), перейдя в них к переменной
x. Тогда получим систему,
которой удовлетворяют переменные x, y (записанную в операторном виде)
W(pD, λh)col [x(t), y(t)] = 0(n+l)×1, t > γh.
(41)
Если p = 0 является спектральным значением системы (4), то для однородной системы (41)
будет нарушаться условие, аналогичное условию (7) (заметим, что множества спектральных
значений систем (4) и (41) совпадают между собой). В этом случае нулевому выходу (y = 0)
системы (41) может соответствовать [10, 11], в отличии от системы (4), (5), ненулевое текущее
состояние
xt. Это означает, что любое состояние
xt системы (41), найденное по известному
выходу y системы (41), при преобразовании (40) не совпадёт с состоянием системы (4), (5),
отвечающим этому же выходу. Для того чтобы избежать такой ситуации, к соотношениями
(41) добавим равенство
y(t) = C(λh)N1(λh)x(t), t > γh.
(42)
Простая проверка показывает, что для системы (41), (42) выполняется условие, аналогичное
условию (7).
Подействуем на обе части системы (41) слева оператором N(λh). На основании формулы
(38) получим
W1(pD ,λh)col [x(t),y(t)] = 0(n+l)×1, t > γ1h,
(43)
где γ1 = γ + ν, ν = degλ N(λ). Воспользовавшись блочной структурой матрицы
W1(p,λ),
систему (42), (43) запишем в виде двух уравнений, одно из которых описывает динамику
изменения состояния системы (42), (43), а другое - выход этой системы:
x(t)
A(λh)x(t) + N12(λh) y(t), t > γ1h,
(44)
ŷ(t)
C(λh)x(t), t > γ1h,
(45)
где
[
]
C1(λ)
C(λ) =
C(λ)N1(λ)
и функция ŷ определяется равенством
[
]
N22(λh) y(t)
ŷ(t) =
,
t > γ1h.
(46)
y(t)
Лемма 6. Если выполнено условие (7), то
[
]
pIn
A(e-ph)
rank
= n, p ∈ C.
(47)
C(e-ph)
Доказательство. Предположим, что условие (47) нарушается при некотором p0 ∈ C.
Тогда найдётся ненулевой вектор g ∈ Cn такой, что
(p0In
A(e-p0h))g = 0n×1,
C(e-p0h)g = 02l×1.
Эти соотношения запишем в развёрнутом виде:
(p0In - N11(e-p0h)A(e-p0h)N1(e-p0h))g = 0n×1,
N21(e-p0h)A(e-p0h)N1(e-p0h)g = 0l×1,
C(e-p0h)N1(e-p0h)g = 0l×1.
(48)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
9∗
276
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
В силу первых двух равенств (48) заключаем, что выполняется равенство
[
][
]
p0(In - D(e-p0h))N1(e-p0h) - A(e-p0h)N1(e-p0h)
0n×l
̂
N (e-p0h)
=0(n+l)×1,
p0C(e-p0h)N1(e-p0h)
-p0Il
0l×1
из которого в силу третьего равенства в (48) следует, что
(p0(In - D(e-p0h)) - A(e-p0h))N1(e-p0h)g = 0n×1, C(e-p0h)N1(e-p0h)g = 0l×1.
(49)
Поскольку матрица N1(λ) является унимодулярной, то равенства (49) противоречат усло-
вию (7). Лемма доказана.
Пусть ĉi(λ) - это строка матриц
C(λ) с номером i, т.е.
C(λ) = col [ĉ1(λ), . . . , ĉ2l(λ)]. В си-
лу условия (47) для любого натурального i0, i0 ∈ {1, . . . , 2l}, найдётся [6] матрица Li0 (λ) ∈
∈ Rn×2l[λ] такая, что
[
]
pIn
A(e-ph) - Li0 (e-ph
C(e-ph)
rank
= n, p ∈ C.
(50)
ĉi0 (e-ph)
Используя матрицу Li0 (λ), обеспечивающую соотношение (50), и уравнения (44), (45),
исходную систему (4), (5) заменим системой
x(t)
AL(λh)x(t) + Y (t), t > t2,
(51)
ŷi0 (t) = ĉi0 (λh)x(t), t >t2,
(52)
где
AL(λ)
A(λ) + Li0 (λ
C(λ),
Y (t) = -Li0 (λh)ŷ(t) + N12(λh) y(t),
(53)
ŷi0 - компонента вектора
ŷ с номером i0, число t2 определяется равенством t2 = γ2h, γ2 =
= γ1 + ν0, ν0 = degλLi0(λ).
Обозначим через x0(t), t > t2, решение однородной системы (51) (Y ≡ 0), порождаемое
некоторой неизвестной начальной функцией x(t), t ≤ t2, зависящей в силу замены (39) от
решения системы (4), a чере
F (t) фундаментальную матрицу однородной системы (51). Тогда
по формуле Коши решение системы (51) запишется в виде
∫t
x(t) = x0(t) +
F (t - τ)Y (τ) dτ, t > t2.
(54)
t2
Согласно формуле (54) для восстановления решения x системы (4), (5) достаточно восстано-
вить функцию x0, которая определяется системой
x0(t)
AL(λh)x0(t), t > t2,
ŷ0(t) = ĉi0 (λh)x0(t), t > t3.
(55)
Здесь ŷ0 - наблюдаемый выход, который определяется формулой
∫t
ŷ0(t) = ŷi0(t) - ĉi0 (λh)
F (t - τ)Y (τ) dτ, t > t3,
t2
а t3 = t2 +(m + degλ N21(λ)+ degλ N1(λ))h. Система (55) представляет собой линейную авто-
номную дифференциально-разностную систему запаздывающего типа с одномерным выходом.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
277
Поскольку выполняется условие (50), то для этой системы существует финитный наблюда-
тель, который можно построить следуя п. 2. Для определённости считаем, что для системы
(55) построен финитный наблюдатель (12), (13), при этом систему (12) запишем в виде
Ż(t) = AL(pD , λh)z(t) - en+1 ŷ0(t), t > t0,
(56)
где матрица AL(p, λ) имеет ту же структуру, что и матрица A(p, λ) системы (14), t0 = t3 +t0,
число t0 определяется согласно п. 2. Для системы (56) определим выход
(
∫
t
)
x(t) = N1(λh)
[In, 0n×3]z(t) +
F (t - τ)Y (τ) dτ
,
t > t0 + ν1h,
(57)
t2
где ν1 = deg N1(λ).
Уравнения (56), (57) определяют финитный наблюдатель для системы (4), (5). Действи-
тельно, в силу определения финитного наблюдателя, построенного для системы (55), суще-
ствует момент времени t1 > 0 такой, что
[In, 0n×3]z(t) - x0(t) ≡ 0, t ≥ t1.
(58)
Погрешность наблюдателя (56), (57) в силу формул (40), (54) удовлетворяет равенству
(
∫
t
)
x(t) - x(t) = N1(λh)
[In, 0n×3]z(t) +
F (t - τ)Y (τ) dτ - x(t)
=
t2
= N1(λh)([In,0n×3]z(t) - x0(t)), t > t0 + ν1h.
Поэтому из тождества (58) следует, что
x(t) ≡ x(t), t ≥ t1,
(59)
где t1 = t1 + hν1.
Рассуждения пп. 2, 3 резюмируем в виде следующего утверждения.
Теорема 2. Пусть для системы (4), (5) выполняются условия (7), (8). Тогда существует
финитный наблюдатель (56), (57), который реализует оценку
x решения уравнения (4),
удовлетворяющую тождеству (59).
Замечание 4. Предположим, что класс начальных функций (3) системы (4), (5) состоит из
функций ϕ(t), t ∈ [-mh, 0], имеющих на отрезке [-mh, 0] кусочно-непрерывные производные
до порядка ρ0 +1 включительно (напомним, что ρ0 =max{degpf1(p, λ)-degp(ϕn+1(p, λ)-p), 0},
см. также (14)). Тогда, наряду с наблюдателем (56), (57), можно построить наблюдатель, для
которого не требуется вычислять фундаментальную матрицу
F (t).
Пусть для системы (55) построен финитный наблюдатель, определяемый системой (56).
Построим финитный наблюдатель для системы (51), (52). Рассмотрим систему
Ż(t) = AL(pD , λh)z(t) + Fy(t), t > t2 + t0,
(60)
где Fy(t) = Y (t) - en+1 ŷi0 (t), Y (t) = col [Y (t), 03×1]. В силу утверждения 1 для решения
системы (60) выполняется тождество
[In, 0n×3]z(t) - x(t) ≡ 0, t ≥ t1,
поэтому в силу формулы (40) справедливо равенство
x(t) = N1(λh)[In, 0n×3]z(t), t ≥ t1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
278
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
Замечание 5. Финитный наблюдатель, задаваемый формулами (56), (57), определяется
системой запаздывающего типа с конечным спектром. При этом функции ŷ0(t)
F (t - τ)Y (τ),
входящие в соотношения (56), (57), зависят от производной выхода исходной системы
y.
Известно, что операция дифференцирования является чувствительной к малым изменени-
ям функции. Поясним, как при формировании оценки решения системы (4), (5), избежать
дифференцирования функции y.
Рассмотрим функцию Y, определяемую равенством (53). Заменив в нём функцию ŷ со-
гласно равенству (46), получим
[
]
N22(λh) y(t)
Y (t) = -Li0 (λh)
+ N12(λh) y(t).
(61)
y(t)
Очевидно, что найдутся полиномиальные матрицы Q1(λ) и Q2(λ), с помощью которых функ-
цию Y, заданную равенством (61), можно записать в виде
Y (t) = Q1(λh)y(t) + Q2(λh) y(t).
Тогда, вычисляя интеграл (57) по частям, получаем
∫
t
∫
t
∫
t
F (t - τ)Y (τ) dτ =
F (t - τ)Q1(λh)y(τ) dτ +
F (t - τ)Q2(λh) y(τ) dτ =
t2
t2
t2
∫t
=
F (t - τ)Q1(λh)y(τ) dτ + Q2(λh)y(t)
F (t - t2)(Q2(λh)y(τ))
-
τ=t2
t2
∫t
(
)
∂
-
F (t - τ) Q2(λh)y(τ) dτ, t > t0.
∂τ
t2
При нахождении решения z системы (56) по формуле Коши также следует воспользоваться
интегрированием по частям вследствие равенства (53).
4. Финитный наблюдатель, не содержащий производную выхода. Рассмотрим дру-
гой подход к синтезу финитного наблюдателя, позволяющий избежать использования в его
структуре производной выхода (5). По-прежнему предполагаем, что параметры системы (4),
(5) удовлетворяют условиям (7), (8).
Рассмотрим систему (4), (5). В силу условия (8) найдутся [21] матрицы
L1(λ) ∈ Rn×l[λ] и
L2(λ) ∈ Rl×l[λ] такие, что справедливо тождество
|In+r - D̃(λ)| ≡ 1,
(62)
L
где матрица D̃L(λ) определяется равенством
[
]
D(λ) λL1(λ)
D̃(λ) =
L
C(λ) λL2(λ).
Пусть
[
]
Π11(λ) Π12(λ)
Π(λ) =
Π21(λ) Π22(λ)
- матрица, обратная к матрице (In+r - D̃(λ)), т.е. Π(λ) = (In+r - D̃(λ))-1. Здесь выпол-
L
L
няются включения Π11(λ) ∈ Rn×n[λ], Π12(λ) ∈ Rn×l[λ], Π21(λ) ∈ Rl×n[λ], Π22(λ) ∈ Rl×l[λ].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
279
В силу условия (62) имеем Π(λ) ∈ R(n+l)×(n+l)[λ], т.е. матрица Π(λ) является полиномиаль-
ной. Введём функцию
x(t) = (In - D(λh))x(t), t ≥ 0.
(63)
Пусть χ(t), (χ ∈ Rr, t ∈ R) - произвольная функция. Умножая очевидное равенство
[
][
]
[
]
[
]
In - D(λh)
-λh L1(λh)
x(t)
x(t)
-λh L1(λh)χ(t)
=
+
−C(λh) Ir - λh L2(λh) χ(t)
-y(t)
(Ir - λh L2(λh))χ(t),t≥0,
слева на матрицу Π(λ), приходим к соотношению
x(t) = Π11(λh)x(t) - Π12(λh)y(t), t ≥ γ2h,
(64)
где γ2 = max{ν1j , j = 1, 2},
νij = degλΠij (λ). На основании формул (63), (64) систему (4),
(5) запишем в виде
x(t)=
A(λh)x(t) - A(λh)Π12(λh)y(t), t > γ3h,
(65)
y(t)
C(λh)x(t), t ≥ γ3h,
(66)
где
A(λ) = A(λ)Π11(λ),
[
]
C(λ)Π11(λ)
C(λ) =
,
(In - D(λ))Π11(λ) - In
выходной сигнал y(t), t ≥ γ3h, является известной функцией и определяется формулой
[
]
Ir + C(λh)Π12(λh)
y(t) =
y(t), t ≥ γ3h,
(In - D(λh))Π12(λh)
γ3 = m+γ2. Уравнение (65) является неоднородным линейным автономным дифференциаль-
но-разностным уравнением запаздывающего типа с соизмеримыми запаздываниями и извест-
ной неоднородной частью (-A(λh)Π12(λh)y).
Лемма 7. Если выполнено условие (7), то
[
]
pIn
A(e-ph)
rank
= n, p ∈ C.
(67)
C(e-ph)
Доказательство. Предположим противное: условие (7) выполнено, а равенство (67) на-
рушается при некотором p = p0 ∈ C. Выберем в качестве ненулевого вектора q ∈ Cn решение
алгебраической системы
(p0In
A(e-p0h))q = 0,
C(e-p0h)q = 0.
(68)
Положим q1 = Π11(e-p0h)q. Из второго равенства в (68) следует, что вектор q1 отличен от
нулевого. Тогда на основании (68) имеем W (p0, e-p0h)q1 = 0n×1 и C(e-p0h)q1 = 0l×1. Но эти
равенства противоречат условию (7). Лемма доказана.
Зафиксируем произвольный номер i0 ∈ {1, . . . , n + l}. В силу условия (67) найдётся [6]
матрица Vi0 (λ) ∈ Rn×(n+l)[λ] такая, что
[
]
pIn
A(e-ph) - Vi0 (e-ph
C(e-ph)
rank
= n, p ∈ C,
(69)
ci0 (e-ph)
где ci0 (λ) - строка матрицы
C(λ) с номером i0. Положим
AV (λ)
A(λ) + Vi0 (λ
C(λ),
Y (t) = -A(λh)Π12(λh)y(t) - Vi0 (λh)y(t),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
280
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
yi0 (t) - компонента вектора y с номером i0. После этого, используя уравнения (65) и (66),
систему (4), (5) заменим системой
x(t)=
AV (λh)x(t)
Y (t), t > t2,
yi0 (t) = ci0 (λh)x(t), t ≥t2,
(70)
где t2 = (ν0 + γ3)h,
ν0 = degλVi0 (λ).
Решение системы (70) запишем по формуле Коши
∫t
x(t) = x0(t) +
F (t - τ
Y (τ) dτ, t > t2,
(71)
t2
где
x0(t), t > t2, - решение однородной системы (70)
Y
≡ 0), порождаемое некоторой
неизвестной начальной функцией, зависящей, согласно формуле (63), от решения системы (4),
a
F (t) - фундаментальная матрица системы (70).
В силу формул (64), (71) для восстановления решения x системы (4), (5) достаточно вос-
становить функцию x0, которая определяется системой
x0(t)
AV (λh)x0(t), t > t2,
y0(t) = ci0 (λh)x0(t), t ≥ t3.
(72)
Здесь y0 - наблюдаемый выход, определяемый формулой
∫t
y0(t) = yi0(t) - ci0 (λh)
F (t - τ
Y (τ) dτ, t > t3,
t2
а t3 = t2 + (m + ν11)h. Система (72) представляет собой линейную автономную дифференци-
ально-разностную систему запаздывающего типа с одномерным выходом, для которой выпол-
няется условие (69). Поэтому для этой системы существует финитный наблюдатель, который
можно построить следуя п. 2. Для определённости считаем, что для системы (72) построен
финитный наблюдатель (12), (13), а система (12) записана в виде
Ż(t) = AV (pD λh)z(t) - en+1 y0(t), t > t0,
(73)
где матрица AV (p, λ) имеет структуру, описываемую правой частью равенства (14), t0 = t3 +
+t0, число t0 определяется в п. 2. На основании соотношений (64) и (71) получаем следующую
оценку x решения x системы (4), (5):
(
∫
t
)
x(t) = Π11(λh)
[In, 0n×3]z(t) +
F (t - τ
Y (τ) dτ
- Π12(λh)y(t), t > t0 + ν11h.
(74)
t2
Уравнения (73), (74) определяют финитный наблюдатель для системы (4), (5). Покажем это.
В силу определения финитного наблюдателя, построенного для системы (72), существует мо-
мент времени t1 > 0 такой, что
[In, 0n×3]z(t) - x0(t) ≡ 0, t ≥ t1.
(75)
Погрешность оценки x наблюдателя (73), (74) в силу (64) и (71) удовлетворяет равенству
(
∫
t
)
x(t) - x(t) = Π11(λh)
[In, 0n×3]z(t) +
F (t - τ
Y (τ) dτ - x(t)
=
t2
= Π11(λh)([In,0n×3]z(t) - x0(t)), t > t0 + ν11h.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
281
Поэтому вследствие тождества (75) получаем, что
x(t) ≡ x(t), t ≥ t1,
(76)
где t1 = t1 + ν11h.
Подводя итог рассуждениям п. 2 и 4, сформулируем следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть для системы (4), (5) выполняются условия (7), (8). Тогда существует
финитный наблюдатель (73), (74), который реализует оценку
x решения уравнения (4),
удовлетворяющую тождеству (76).
Замечание 6. Если предположить, что класс начальных функций (3) системы (4), (5) сос-
тоит из функций, имеющих кусочно-непрерывные производные до порядка ρ0 включительно,
то, используя рассуждения замечания 4, можно построить финитный наблюдатель, не требу-
ющий вычисления фундаментальной матрицы
F (t). Такой наблюдатель будет определяться
системой
Ż(t) = AV (pD , λh)z(t)
Fy(t), t >t2 + t0,
x(t) ≡ Π11(λh)[In, 0n×3]z(t) - Π12(λh)y(t), t ≥ t1,
где
Fy(t) = Y (t) - en+1 yi0 (t), Y (t) = col
Y (t), 03×1].
5. Пример. Рассмотрим систему (4), (5) с матрицами
]
]
[λ
0
[1 - λ
1
D(λ) =
,
A(λ) =
,
C(λ) = [1 + λ, 0]
0
0
0
0
и запаздыванием h = ln 2. Простая проверка показывает, что условия (7), (8) выполнены.
a) Проиллюстрируем реализацию оценки (57). Вначале находим унимодулярные матрицы
N (λ) и N1(λ), обеспечивающие преобразование (37):
⎡
⎤
1/2
0
1/2
N (λ) =⎣
0
1
0
⎦,N1(λ) = I2,
−1 - λ
0
1-λ
и составляем блоки Nij (λ), i, j = 1, 2. После этого вычисляем матрицы
A(λ) и
C(λ) и
записываем систему (44), (45), которая в рассматриваемом случае будет иметь вид
]
[(1 - λh)/2 1/2
[1/2]
x(t) =
x(t) +
y(t),
0
0
0
]
[1 - λ2h 1+λh
ŷ(t) =
x(t),
1+λh
0
где
[(1 - λh) y(t)]
ŷ(t) =
y(t)
Далее выбираем число i0 = 2 (вторую строку матрицы
C(λ)) и находим матрицу L2(λ),
]
[0 1/2
L2(λ) =
,
0
0
которая позволяет получить систему (51), (52) (t2 = h):
]
]
[1 1/2
[1/2]
[0 1/2
x(t) =
x(t) +
y(t) -
ŷ(t), t > t2,
0
0
0
0
0
ŷ2(t) = [1 + λh,0]x(t), t ≥ t2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
282
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
Далее для системы (55) при
t3 = 3h строим финитный наблюдатель (12), следуя шагам
предложенной в п. 2 процедуры.
1) Вначале выбираем полиномы ϕi(λ), i = 1, 3, d0(p), обеспечивающие равенство (17).
В данном случае можем взять ϕi(λ) = 0, i = 1, 2, ϕ3(λ) = -1, d0(p) = p(p + 1)(p - 1). Теперь
зададим характеристический полином матрицы (14). Согласно п. 1) процедуры его можно
взять, например, в виде d(p) = d0(p)(p + 2)(p - 2)(p + 3).
2) Далее следует обеспечить конечность множества решений системы (19). Для этого вы-
берем b1 = 0, b2 = 2.
3) Находим полиномы a1(λ), a2(λ), а именно:
(
)(
)
1
1
a1(λ) = (λ - 8)(λ - 4)(λ - 2)(λ - 1) λ -
λ-
,
2
4
4
31λ
155λ3
155λ2
31λ
3879
a2(λ) = -(1/31)λ5 +
-
+
-
+
60
56
24
4
1085
4) Определяем векторный полином q(λ) = [λq1(λ), q2(λ)]. После необходимых вычислений
получаем
-1
q1(λ) =
(1811 - 2481λ + 790λ2)(67056 - 67698λ + 32779λ2 - 6517λ3 + 420λ4) ×
2781016066080000
× (93096 - 108714λ + 59461λ2 - 12614λ3 + 840λ4)(59568 - 71121λ + 48527λ2 - 11774λ3 + 840λ4),
-1
q2(λ) =
(47789639902512 - 370092952633644λ + 1102423544237376λ2 -
6621466824000
− 1495170574909779λ3 + 1222044685296108λ4 - 648099963764831λ5 + 227930209931054λ6 -
- 51881901955156λ7 + 7207393605160λ8 - 547550774400λ9 + 17280144000λ10 ).
5) Согласно (29) находим векторный полином f(p, λ) = [λf1(p, λ), f2(p, λ)], здесь
1
f1(p,λ) =
(-8 + λ)(-4 + λ)(-1 + 4λ)(1811 - 2481λ + 790λ2) ×
854382816000
× (7988783616 + 2424219840p + 678081600p2 - 37575407520λ - 5255132400pλ + 72040115700λ2 +
+ 4379277000pλ2 - 81298581900λ3 - 1876833000pλ3 + 59878769293λ4 +
+ 350342160pλ4 - 29829131010λ5 - 21873600pλ5 + 10059099325λ6 - 2221928100λ7 +
+ 302096116λ8 - 22602720λ9 + 705600λ10),
-1
f2(p,λ) =
(39681595008 + 11341149120p + 2034244800p2 - 400956231504λ -
2034244800
− 109327742160pλ+2364797481444λ2 +550649886360pλ2 -6948849607388λ3 -750485377320pλ3 +
+10681166767235λ4 +387578526720pλ4 -9634085091384λ5 -78584241120pλ5 +5490542253471λ6 +
+ 5101756800pλ6 - 2025337510542λ7 + 474916910292λ8 - 67225325032λ9 +
+ 5170883200λ10 - 164572800λ11 ).
Пользуясь видом матрицы (14), окончательно получаем наблюдатель (12). Непосредственной
проверкой убеждаемся, что определитель характеристической матрицы (14) равен d(p). Окон-
чательно оценку решения находим по формуле (57), где t0 = 0,
t0 = t3 + t0 = 3h,
t0 = 19h.
Вычисляя матрицу, присоединённую к матрице (14), получаем, что δ = 7 (см. доказательство
теоремы 1), поэтому t1 = t0 + t0 + δh = 29h, t1 = t1 = 29h.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
283
б) Рассмотрим теперь реализацию оценки (74). Находим [21] матрицыL1(λ),
L2(λ), обес-
печивающие тождество (62):
]
[-1/2
L1(λ) =
,
L2(λ) = [-1/2].
0
Далее вычисляем матрицу Π(λ), обратную к матрице (I3 - D̃L(λ)):
⎤
⎡1 - λ/2
0
-λ/2
Π(λ) =⎣
0
1
0
⎦.
λ+1
0
1-λ
Теперь строим систему (65), (66), которая будет иметь следующий вид:
]
[1 - λh/2 - λ2h/2
1
[λ2h/2 - λh/2]
x(t)=
x-
y(t),
0
0
0
⎡
⎤
λ2h/2 + 3λh/2 + 1
0
⎢
⎥
y(t) =
⎣ -λ2h/2 - λh/2
0⎦ x(t),
0
0
где
⎡
⎤
λ2h/2 + λh/2 + 1
⎢
⎥
y(t) =
⎣ λ2h/2 - λh/2
⎦y(t).
0
Далее выбираем номер i0 = 2 и находим матрицу V2(λ) (см. (69)):
]
[0
-1
0
V2(λ) =
0
0
0
Окончательно получаем неоднородную систему запаздывающего типа (70) (t2 = 2h):
]
]
[1
1
[λ2h/2 - λh/2]
[0
-1
0
x(t)=
x(t) -
y(t) -
y(t), t > t2,
0
0
0
0
0
0
y2(t) = [-λ2h/2 - 1/2,0]x(t), t ≥ t2.
На основании полученной системы записываем однородную систему (72) (t3 = 4h), для кото-
рой строим финитный наблюдатель (12). В данном случае функции ϕi(λ), i = 1, 2, ϕ3(p, λ),
числа b1, b2, полиномы d0(p), d(p), a1(λ), a2(p) возьмём такими же, как и в пункте а).
После этого находим
1
q1(λ) =
(15439 - 22221λ + 7262λ2)(67056 - 67698λ + 32779λ2 - 6517λ3 +
11124064264320000
+420λ4)(93096-108714λ+59461λ2 -12614λ3+840λ4)(59568-71121λ+48527λ2 -11774λ3+840λ4),
-1
q2(λ) =
(95579279805024 + 1530780291432936λ - 4510961571442104λ2 +
13242933648000
+ 6456712956921228λ3 - 5380997274462633λ4 + 2890251963977114λ5 - 1026288639816701λ6 +
+ 235362880595332λ7 - 32883400769716λ8 + 2508786225120λ9 - 79423041600λ10 ),
-1
f1(p,λ) =
(-8 + λ)(-4 + λ)(-1 + 4λ)(15439 - 22221λ + 7262λ2)(7988783616 +
3417531264000
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
284
МЕТЕЛЬСКИЙ, ХАРТОВСКИЙ
+ 2424219840p+678081600p2 -37575407520λ-5255132400pλ+72040115700λ2 +4379277000pλ2 -
-81298581900λ3 -1876833000pλ3+59878769293λ4+350342160pλ4 -29829131010λ5 -21873600pλ5+
+ 10059099325λ6 - 2221928100λ7 + 302096116λ8 - 22602720λ9 + 705600λ10),
-1
f2(p,λ) =
(79363190016 + 22682298240p + 4068489600p2 + 706950535008λ +
4068489600
+ 367284513120pλ - 8550986632632λ2 - 2292547069680pλ2 + 28547458488080λ3 +
+ 3298289807400pλ3 - 45868205683952λ4 - 1747400945640pλ4 + 42302146281009λ5 +
+ 358866145680pλ5 - 24452419069086λ6 - 23448707520pλ6 + 9114030394725λ7 -
- 2153950061364λ8 + 306684620308λ9 - 23691492832λ10 + 756409920λ11 ).
Подставляя найденные полиномы в матрицу (14), завершаем построение наблюдателя (12).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что определитель характеристической матрицы ра-
вен d(p). Далее по формуле (74) получаем оценку решения системы (4), (5) с матрицами
данного примера. В рассматриваемом случае t0 = 0, t0 = 4h,
t0 = 19h, δ = 11, t1 = t0 + t0 +
+ δh = 34h, t1 = t1 + h = 35h.
Замечание 7. В некоторых случаях момент времени t0, указанный в п. 2, можно умень-
шить [9]. В частности для данного примера в части а) можно взять
t0 = 12h, а в части
б)
t0 = 0. Также при непосредственных вычислениях иногда можно уменьшить и моменты
времени ti,
ti, i = 1, 2. Так, в части а) данного примера можно взятьt3 = 2h.
Заключение. Для линейной автономной дифференциально-разностной системы нейтраль-
ного типа предложены методы проектирования двух видов финитных наблюдателей, представ-
ляющих собой линейные автономные дифференциально-разностные системы запаздывающего
типа с выходом. При этом указанные системы имеют конечный спектр, что существенно об-
легчает процесс восстановления решения. Реализация наблюдателя (56), (57) представляется в
общем случае проще, поскольку процесс приведения полиномиальной матрицы к нормальной
форме Смита относится к операции, встроенной в современные пакеты компьютерной алгеб-
ры. Кроме того, размер выхода вспомогательной системы (44), (45) равен 2l, в то время как
размер выхода вспомогательной системы (65), (66) равен n + l. В то же время недостатком
наблюдателя (56), (57) (в отличии от наблюдателя (73), (74)) является наличие в его струк-
туре производной выхода, от которой можно избавиться, применяя формулу интегрирования
по частям.
В случае, если множество начальных состояний исходной системы нейтрального типа сос-
тоит из достаточное количество раз дифференцируемых функций, оценку решения можно
записать в виде выхода системы запаздывающего типа, не содержащего слагаемых с фунда-
ментальными матрицами
F (t) и
F (t) (см. замечания 4, 6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sename O. New trends in design of observers for time-delay systems // Kybernetika. 2001. V. 37. № 4.
P. 427-458.
2. Lee E.B., Olbrot A.W. Observability and related structural results for linear hereditary systems // Int.
J. Contr. 1981. № 34. P. 1061-1078.
3. Pourboghrat F., Chyung D.H. Exact state-variable reconstruction of delay systems // Int. J. Contr. 1986.
V. 44. № 3. P. 867-877.
4. Emre E., Khargonekar P.P. Regulation of split linear systems over rings: coefficient-assignment and
observers // IEEE Trans. Aut. Contr. 1982. V. 27. № 1. P. 104-113.
5. Bhat K.P., Koivo H.N. Modal characterization of controllability and observability of time-delay systems
// IEEE Trans. on Aut. Contr. 1976. V. AC-21. № 2. P. 292-293.
6. Watanabe K. Finite spectrum assignment and observer for multivariable systems with commensurate
delays // IEEE Trans. Aut. Contr. 1986. V. AC-31. № 6. P. 543-550.
7. Ильин А.В., Буданова А.В., Фомичев В.В. Синтез наблюдателей для асимптотически наблюдаемых
систем с запаздыванием // Докл. РАН. 2013. Т. 448. № 4. С. 399-402.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
О ТОЧНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
285
8. Метельский А.В. Построение наблюдателей для дифференциальной системы запаздывающего типа
с одномерным выходом // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 396-408.
9. Метельский А.В. Дифференциально-разностный наблюдатель для системы запаздывающего типа
с одномерным выходом // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 4. С. 516-533.
10. Минюк С.А., Метельский А.В. Критерии конструктивной идентифицируемости и полной управля-
емости линейных стационарных систем нейтрального типа // Изв. РАН. ТиСУ. 2006. № 5. С. 15-23.
11. Хартовский В.Е., Павловская А.Т. Полная управляемость и управляемость линейных автономных
систем нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 2013. № 5. C. 59-80.
12. Хартовский В.Е. Синтез наблюдателей для линейных систем нейтрального тип // Дифференц.
уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 409-422.
13. Хартовский В.Е. К вопросу об асимптотической оценке решения линейных стационарных систем
нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12.
С. 1701-1716.
14. Метельский А.В., Хартовский В.Е. Синтез финитного наблюдателя для линейных систем ней-
трального типа // Автоматика и телемеханика. 2019. № 12. С. 80-102.
15. Харитонов В.Л. Управления на основе предиктора: задача реализации // Дифференц. уравнения
и процессы управления. 2015. № 4. C. 51-65.
16. Mondie S., Mihiels W. Finite spectrum assignment of unstable time-delay systems with a safe
implementation // IEEE Trans. on Aut. Contr. 2003. V. 48. № 12. P. 2207-2212.
17. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984.
18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.
19. Kappel F. On degeneracy of functional-differential equations // J. Differ. Equat. 1976. V. 22. № 2. P. 250-
267.
20. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М., 1996.
21. Хартовский В.Е. Спектральное приведение линейных систем нейтрального типа // Дифференц.
уравнения. 2017. Т. 53. № 3. С. 375-390.
Белорусский национальный технический
Поступила в редакцию 09.10.2020 г.
университет, г. Минск,
После доработки 10.12.2020 г.
Гродненский государственный университет
Принята к публикации 11.12.2020 г.
им. Я. Купалы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№2
2021
