ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 2, с.286-292

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ

ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ МОСКОВСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА∗)

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в осеннем семестре 2020 г.

(предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференц. уравнения”. 2020.

Т. 56. № 8; за дополнительной информацией обращаться по адресу: nds@cs.msu.su)∗∗).

DOI: 10.31857/S037406412102014X

А.С. Фурсов, Ю.М. Мосолова, А. Османов (Москва, Россия, ВМК МГУ). “Особен-

ности численной реализации алгоритма построения цифрового стабилизатора для параметри-

чески неопределённой переключаемой системы” (14.09.2020).

Исследуется вопрос о построении численной процедуры расчёта цифрового регулятора для

переключаемых систем с интервальной неопределённостью. Предлагаемая численная проце-

дура основана на результатах работ [1, 2].

Рассматривается непрерывная скалярная переключаемая интервальная линейная система

x = [A_σ]x + [b_σ]u, y = [c_σ]x, σ ∈ S_τ,

(1)

где σ : R₊ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал) с ко-

нечным числом разрывов (переключений) на любом конечном промежутке; S_τ - множество

всех переключающих сигналов σ, для которых время между любыми двумя соседними пере-

ключениями не меньше τ (τ = const > 0); x ∈ R² - вектор состояния, y ∈ R - измеряемый

скалярный выход, u ∈ R - управляющий вход; [A_σ] = [A] ◦ σ - композиция отображения

[A] : I → {[A₁], . . . , [A_m]} и переключающего сигнала σ; [bσ] = [b] ◦ σ и [cσ] = [c] ◦ σ - анало-

гичные композиции для отображений [b]: I → {[b₁], . . . , [b_m]} и [c]: I → {[c₁], . . . , [c_m]}. Здесь

[A_i], [bi], [ci] (i = 1, m) - интервальные матрицы соответствующих размеров.

Определение 1 [1]. Решением уравнения состояния системы (1) при фиксированных ре-

жимах (c_i, A_i, b_i) (c_i ∈ [c_i], A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i], i ∈ {1, . . . , m}), заданном управлении u,

переключающем сигнале σ ∈ S_τ и начальном условии x(0) = x₀ называем вектор-функцию

x(t), являющуюся кусочно-дифференцируемым решением линейной нестационарной системы

x = Aσ(t)x + bσ(t)u, x(0) = x₀.

Определение 2 [1]. Пучком траекторий уравнения состояния системы (1) при заданном

управлении u, переключающем сигнале σ ∈ S_τ и начальном условии x(0) = x₀ называем

множество X решений x(t) уравнения состояния системы (1) в смысле определения 1 при

всех возможных режимах (c_i, A_i, b_i), где c_i ∈ [c_i], A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i] (i = 1, m).

Для заданного алгоритма управления u (в форме обратной связи), наряду с каждым пуч-

ком траекторий X системы (1), будем рассматривать соответствующий пучок управляющих

сигналов U.

Определение 3 [1]. Сечением пучка траекторий X уравнения состояния системы (1) в

момент времени t = t^∗ при заданном управлении u, переключающем сигнале σ ∈ S_τ и

начальном условии x(0) = x₀ называем множество X_t∗ значений решений x ∈ X при t = t^∗,

т.е. X_t∗ = {x(t^∗) : x(·) ∈ X}.

∗) Семинар основан академиками РАН С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным.

∗∗) Составитель хроники А.В. Ильин.

286

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

287

Аналогично определяем сечение пучка управляющих сигналов U_t∗ = {u(t^∗) : u(·) ∈ U}.

Норму сечения пучка траекторий ∥X_t∗ ∥ и соответствующую норму пучка управляющих сиг-

налов ∥U_t∗ ∥ определяем следующим образом:

∥X_t∗ ∥ = sup

∥x(t^∗)∥ и

∥U_t∗ ∥ = sup

∥u(t^∗)∥.

x(t^∗)∈X

u(t^∗)∈U

Для положительных чисел T и τ через S_τ,T обозначим множество переключающих сиг-

налов σ таких, что точки разрыва функций σ(t) принадлежат последовательности {lT }∞l=0

и расстояние между любыми точками разрыва не меньше τ.

Определение 4 [1]. Переключаемую интервальную линейную систему (1) при задан-

ном управлении u (в форме обратной связи; в частности, при u ≡ 0) будем называть S_τ -

устойчивой ( S_τ,T -устойчивой), если при любых x(0) = x₀ и σ ∈ S_τ (σ ∈ S_τ,T ) для соответ-

ствующих пучков траекторий и управляющих сигналов выполнено условие

∥X_t∥ + ∥U_t∥ → 0 при t → ∞.

Постановка задачи цифровой S_τ,T -стабилизации. Для объекта (1) с заданным τ > 0 необ-

ходимо построить цифровой регулятор по выходу

v[(l + 1)T ] = Qv[lT ] + qy[lT ], u[lT ] = Hv[lT ] + hy[lT ], T < τ, v ∈ R¹, Q, q, H, h ∈ R¹,

(2)

который обеспечивает Sl0T,T -устойчивость в нуле замкнутой непрерывно-дискретной переклю-

чаемой системы при некотором натуральном l₀ таком, что l₀T ≤ τ.

Для решения задачи цифровой стабилизации системы (1) осуществляется переход (на осно-

ве метода точной дискретизации, описанного в [1, 2]) от исходной непрерывной переключаемой

системы к её дискретной модели

x[(l + 1)T ] = [Λ_σ]x[lT ] + [μ_σ]u[lT ],

y[lT ] = [c_σ]x[lT ], σ ∈ S_τ,T ,

(3)

для которой решается задача S_τ,T -стабилизации. Рассчитанный для системы (3) регулятор

решает также задачу S_τ,T -стабилизации системы (1).

В соответствии с работой [1] поиск регулятора (2), обеспечивающего S_τ,T -стабилизацию

системы (3), осуществляем следующим образом: в пространстве параметров регулятора

(Q, q, H, h) ∈ R⁴ фиксируем прямоугольную окрестность нуля и накладываем на неё сетку с

шагом d (выбор размера окрестности и шага сетки произволен, отсчёт узлов сетки ведётся с

нуля в R⁴). При этом каждому узлу сетки соответствует конкретный регулятор.

Для каждого узла сетки, замыкая систему (3) регулятором (2), получаем точную дискрет-

ную модель замкнутой системы c m режимами вида

x[(l + 1)T ] = ([Λ_i] + [μ_i]h[c_i])x[lT ] + [μ_i]Hv[lT ],

v[(l + 1)T ] = q[c_i]x[lT ] + Qv[lT ], i = 1, m.

(4)

При этом осуществляется проверка того, является ли данный цифровой регулятор одновре-

менно стабилизирующим для конечного семейства систем (4) с помощью системы линейных

матричных неравенств относительно неизвестных матриц L_i (i = 1, m):

L_i > 0,

Λт

L_iΛ_i,ν - L_i < 0,

i,ν

Λт

L_iΛ_i,η +Λтi,ηL_iΛ_i,ν - 2L_i < 0, ν,η ∈ {1,... ,512}, ν = η,

(5)

i,ν

где

Λ_i,ν,

Λ_i,η - вершинные матрицы для интервального семейства:

x[(l + 1)T ] = [Λi]x[lT ], i = 1, m,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

288

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

где x = (x, v)^т ∈ R³;

(

)

[Λi11]

[Λi12]

[Λi] =

[Λi21] Λⁱ

[Λi11] = [Λ_i] + [μ_i]h[c_i],

[Λi12] = [μ_i]H,

[Λi21] = q[c_i], Λi22 = Q.

Если система (5) имеет решение, то соответствующий регулятор является одновременно стаби-

лизирующим для семейства (4). При этом он обеспечивает S_τ,T -стабилизацию системы (1) при

τ ≥ l₀T, где l₀ = [-2logγ∗ C_∗] + 1. Здесь [·] - целая часть числа. Константы C_∗, γ_∗ зависят

от собственных значений матриц L_i (формулы для их вычислений указаны в работе [1]).

Для уменьшения величины l₀ предлагается вместо системы (5) рассмотреть систему ли-

нейных матричных уравнений:

L_i = -κ_iI,

Λт

L_iΛ_i,ν - L_i = -κ_iI,

i,ν

Λт

L_iΛ_i,η +Λтi,ηL_iΛ_i,ν - 2L_i = -κ_iI, ν,η ∈ {1,... ,512}, ν = η.

i,ν

Предполагается, что если варьировать положительные параметры κ_i от 0 до κ^∗i, то можно

получить такие решения L_i системы (5), на которых минимизируется величина l₀.

Предложенная численная процедура позволит уменьшить время задержки, при котором

цифровой регулятор с заданной структурой стабилизирует переключаемую линейную интер-

вальную систему (1).

Подчеркнём, что предложенная численная процедура построения цифрового стабилизато-

ра может быть использована и в случае произвольной размерности параметрически неопре-

делённой переключаемой системы. При этом, естественно, увеличение размерности потребует

существенно больших вычислительных затрат.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проекты 20-57-001_Бел-а, 20-07-00827_а) и содействии Московского центра фун-

даментальной и прикладной математики.

Литература.

1. Фурсов А.С., Миняев С.И., Мосолова Ю.М. Синтез цифрового стабилизатора по выходу

для переключаемой интервальной линейной системы // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55.

№ 11. С. 1545-1559. 2. Фурсов А.С., Мосолова Ю.М., Миняев С.И. Цифровая сверхстабилиза-

ция переключаемой интервальной линейной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56.

№ 11. С. 1516-1527.

С.С. Будзинский (Москва, Россия, ВМК МГУ). “Автоколебания в иерархии моделей

нелинейной оптической системы с запаздыванием” (26.10.2020).

Рассматривается модель оптической системы с узкой кольцевой апертурой с близкими меж-

ду собой внутренним r и внешним R радиусами и запаздыванием в контуре обратной свя-

зи (КОС)

u_t(θ,ρ,t) = -u(θ,ρ,t) + DΔu(θ,ρ,t) + K|B[eiu(θ,ρ,t-T)]|², r < ρ < R,

u_ρ|ρ=r = u_ρ|ρ=R = 0.

(1)

Здесь Δ = ∂²/∂ρ² + ρ-1∂/∂ρ + ρ-2∂²/∂θ² - оператор Лапласа в полярных координатах, а D,

T и K - положительные постоянные. Искомая функция u(θ,ρ,t) имеет смысл фазового набе-

га, а нелинейное слагаемое описывает распределение интенсивности излучения на апертуре в

конце КОС. Параметр K пропорционален интенсивности используемого излучения, а линей-

ный оператор B ставит в соответствие комплексной амплитуде в начале КОС, A(θ, ρ, z)|z=0,

её же на расстоянии z₀ в конце КОС, A(θ, ρ, z)|z=z0 , где A(θ, ρ, z) - решение задачи Коши

для линейного уравнения Шрёдингера:

A_z(θ,ρ,z) + iΔA(θ,ρ,z) = 0, r < ρ < R, z > 0,

A_ρ|ρ=r = A_ρ|ρ=R = 0, A(θ,ρ,0) = eiu(θ,ρ,t-T).

(2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

289

Задача (1) имеет постоянное решение u(θ, ρ, t) ≡ K. В докладе исследуется, как при изме-

нении параметра K потеря этой точкой покоя устойчивости может приводить к образованию

автоколебаний. В частности изучается возможность конструктивно предсказывать наличие

автоколебаний по физическим параметрам системы (1).

Придадим параметру нелинейности малое возмущение μ и рассмотрим локализованную в

окрестности точки покоя систему

v_t(θ,ρ,t) = -v(θ,ρ,t) + DΔv(θ,ρ,t) + (K + μ){|B[eiv(θ,ρ,t-T)]|² - 1}

(3)

как абстрактную динамическую систему. Система (3) обладает группой симметрий O(2): вме-

сте с v(θ, ρ, t) решениями будут также v(2π-θ, ρ, t) и v([θ+δ] mod 2π, ρ, t) для произвольного

0 < δ < 2π. Поэтому при выполнении условий бифуркации Андронова-Хопфа динамика опи-

сывается следующей нормальной формой на центральном многообразии:

s₁ = s₁(C₁μ + C₂s²¹ + C₃s²²),

φ₁ = ω,

s₂ = s₂(C₁μ + C₂s²² + C₃s²¹),

φ₂ = ω.

(4)

Соотношения между коэффициентами C₂ и C₃ определяют существование автоколебаний. У

задачи (1) есть орбитально асимптотически устойчивые решения вида вращающихся волн при

C₂ < 0, C₂ + C₃ < 0, C₂ - C₃ > 0,

а орбитально асимптотически устойчивое решение вида стоячей волны существует при

C₂ < 0, C₂ + C₃ < 0, C₂ - C₃ < 0.

Однако коэффициенты C₂ и C₃ нормальной формы (4) для задачи (1) не выражаются явным

образом через физические параметры модели, что препятствует конструктивному предсказа-

нию автоколебаний [1]. В то же время динамика задач в тонких областях тесно связана с

динамикой предельных задач в областях меньшей размерности [2].

Для задачи (1) предельная задача на окружности ставится, исходя из известных асимпто-

тических свойств спектра оператора Лапласа-Неймана:

ut(θ, t) = -u(θ, t) +Duθθ(θ, t) + K|B[eiu(θ,t-T)]|²,

0 ≤ θ < 2π,

u|θ=0 = u|θ=2π,

uθ|θ=0 = uθ|θ=2π.

(5)

Здесь

D = D/r², а оператор

B решает одномерный аналог задачи Коши (2) с z₀ = z₀/r².

Задача (5) также обладает группой симметрий O(2), в отличие от (1) для неё все коэффи-

циенты нормальной формы (4) вычисляются явно [3], и значит, существует конструктивный

критерий проверки существования автоколебаний на окружности.

Численные эксперименты показывают, что в случае узкого кольца, исходя из данных “одно-

мерных” критериев, можно делать выводы о существовании автоколебаний в кольце [1]. Таким

образом, возникает иерархия моделей:

модель в тонком кольце → модель на окружности → нормальная форма.

Схожие рассуждения можно применить для анализа задачи вида (1), снабжённой краевыми

условиями на наклонную производную

(ρu_ρ - tg (α)u_θ )|ρ=r,R = 0, α = 0.

(6)

Спектр оператора Лапласа с краевыми условиями (6) обладает аналогичными асимптотиче-

скими свойствами [4], что позволяет поставить предельную задачу на окружности вида (5) с

D=D/(rcosα)2иz0 = z₀/(r cos α)². Использование иерархии моделей для анализа автоко-

лебаний в данном случае приводит к обнаружению в численных экспериментах вращающихся

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

290

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

и пульсирующих спиральных волн в тонком кольце. При этом пульсирующие спирали - ранее

не описанный класс решений, который образуется вследствие несоответствия групп симметрий

исходной задачи с наклонной производной, SO(2), и предельной задачи, O(2).

Работа выполнена при финансовой поддержке Московского центра фундаментальной и

прикладной математики (соглашение № 075-15-2019-1624).

Литература. 1. Budzinskiy S.S., Larichev A.V., Razgulin A.V. Reducing dimensionality to

model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus

aperture // Nonlin. Anal. Real World Appl. 2018. V. 44. P. 559-572. 2. Hale J., Raugel G. Reaction-

diffusion equation on thin domains // J. de Math. Pures et Appl. 1992. T. 71. № 1. P. 33-95.

3. Budzinskiy S., Razgulin A. Normal form of O(2) Hopf bifurcation in a model of a nonlinear

optical system with diffraction and delay // Electr. J. of Qualit. Theory of Differ. Equat. 2017.

№ 50. P. 1-12. 4. Будзинский С.С. О нулях перекрестных произведений функций Бесселя из

краевых задач с наклонной производной // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная

математика и кибернетика. 2020. № 2. С. 3-10.

Ю.А. Комаров (Москва, Россия, ВМК МГУ). “Векторный гамильтонов формализм для

задач оптимизации управляемого движения” (09.11.2020).

Доклад посвящён методам решения задач оптимизации движения управляемых динами-

ческих систем в непрерывном и дискретном времени с векторным критерием. В то время как

скаляризация многомерного функционала порождает ошибку аппроксимации и не позволя-

ет отыскать всю границу Парето, необходимую для принятия решения в реальных векторных

задачах, предлагаемый в настоящей работе векторный гамильтонов формализм позволяет опи-

сать эволюцию во времени всего паретовского фронта.

В докладе рассматриваются векторные функционалы качества, принимающие значения в

частично упорядоченном пространстве (R^p, ≤) с паретовским отношением порядка.

Определение 1. Будем говорить, что вектор y = (y₁,... ,y_p)^т ∈ R^p доминируется по Па-

рето вектором ŷ = (ŷ₁,... , ŷ_p)^т ∈ R^p, если y = ŷ и выполнены покомпонентные неравенства

ŷi ≤ yi, i = 1, p.

Введённое отношение на R^p является отношением порядка, которое будем называть по-

рядком по Парето и обозначать через ≤, т.е. ŷ ≤ y, если выполнены условия определения 1.

Определение 2. Границей Парето, или паретовским фронтом, множества Y ⊂ (R^p,≤)

будем называть множество Min Y всех минимальных в смысле порядка по Парето элементов

из Y, т.е.

Min Y = {ŷ ∈ Y : не существует y ∈ Y такого, что y ≤ ŷ}.

В первой части доклада рассматривается управляемая динамическая система в дискретном

времени вида

xt+1 = f(t,x_t,u_t), t = 0,T - 1,

x₀ = x⁰, u_t ∈ P_t,

x_t ∈ Rⁿ, u_t ∈ R^m.

Необходимо описать динамику границы Парето значений векторного функционала

∑

J (0, x, u) =

L(s, x_s, u_s) + ϕ(x_T ),

s=0

где функции L и ϕ заданы и J (t, x, u), L(s, x, u), ϕ(x) ∈ R^p, а также найти все допустимые

стратегии управления u = [u₀, . . . , uT-1], приводящие на границу Min J (0, x, u).

Подход к построению решения этой задачи основан на методе динамического программиро-

вания. Для этого вводится векторная функция цены (многозначная функция) вида V(t, x) =

= Z(t,x). Для неё справедливы следующие аналоги принципа оптимальности и уравнения

Беллмана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

291

Предложение 1. Пусть существует граница Парето Min Z(0, x⁰). Тогда для любого

t = 0,T для V(·,·) выполняется соотношение

{ ∑t

}

V (0, x⁰) = Min

L(s, x_s, u_s) + V(t + 1, xt+1[u]) : u = {u_s}^t

u_s ∈ P_s

s=0

Предложение 2. Пусть существует граница Парето Min Z(0, x⁰). Тогда функция

V (t, x) удовлетворяет уравнению

V (t, x) = Min {L(t, x, u) + V(t + 1, f(t, x, u)) : u ∈ P_t}, t = T - 1, 0,

V(T, · ) = ϕ(·).

В отличие от задач со скалярным критерием последнее предложение определяет лишь

необходимые, но не достаточные условия для отыскания векторной функции цены.

Во второй части доклада рассматривается управляемая динамическая система в непрерыв-

ном времени вида

x = f(t,x,u), t ∈ [t₀,ϑ],

x(t₀) = x⁰,

u(t) ∈ P(t), t ∈ [t₀, ϑ],

с векторным функционалом в форме Майера-Больца:

∫ϑ

J (t₀, x(·), u(·)) = L(τ, x(τ), u(τ))dτ + ϕ(x(ϑ)).

t₀

Здесь x(t) ∈ Rⁿ, u(t) ∈ R^m, а функции L и ϕ заданы и J (t, x(·), u(·)), L(τ, x, u), ϕ(x) ∈ R^p.

Необходимо описать динамику границы Парето значений указанного векторного функционала,

а также отыскать все минимизирующие стратегии управления u(·).

Для векторной функции цены вида V(t, x) = Min Z(t, x) справедливы векторные аналоги

принципа оптимальности и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Предложение 3. Пусть граница Парето Min Z(t₀, x⁰) существует. Тогда для любого

t ∈ [t₀,ϑ] для V(·,·) выполняется векторный аналог принципа оптимальности в виде

{∫t

}

V(t₀, x⁰) = Min

L(τ, x[τ], u(τ)) dτ + V(t, x[t]) : u(τ) ∈ P(τ)

t₀

Предложение 4. Пусть граница Парето множества Z(t₀, x⁰) существует. Тогда вве-

дённая векторная функция цены V(t,x) удовлетворяет эволюционному уравнению

(

∫

})

lim

h V(t,x),Min

L(τ, x[τ], u(τ)) dτ + V(t + σ, x[t + σ])

= 0,

σ→+0

V (ϑ, · ) = ϕ(·).

А.С. Фурсов, А.В. Мальцева, Д. Миниахметов (Москва, Россия, ВМК МГУ). “Неко-

торые аспекты вычислительной процедуры построения стабилизатора для переключаемых

систем с режимами различных порядков” (30.11.2020).

Решается задача разработки вычислительной процедуры построения стабилизатора для

переключаемых систем с режимами различных порядков в соответствии с методами, изло-

женными в работе [1]. Для реализации указанной процедуры предполагается использовать

систему MATLAB, в которой для нахождения решений дифференциальных уравнений будем

использовать метод Эйлера первого порядка.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021

10^∗

292

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Рассматривается переключаемая линейная система

x(σ) = A_σx(σ) + b_σu,

(1)

где σ ∈ {1, . . . , m} - переключающий сигнал, m - количество различных режимов (дина-

мических систем вида

x(i) = Aix(i) + biu). Считаем, что режимы могут иметь различные

динамические порядки от первого до третьего. В каждый момент времени функционирование

системы определяется каким-то одним из этих m режимов, а моменты переключения крат-

ны некоторой положительной величине (моменты переключения и режим функционирования

системы между моментами переключения определяются случайным образом).

Преемственность режимов в моменты переключений обеспечивается матрицами преем-

ственности Zij ∈ Rni×nj , где Zij осуществляет преобразование конечного состояния j-го

режима в начальное состояние i-го режима в момент времени t_ij по правилу x(i)(t_ij ) =

= Z_ijx(j)(t_ij).

Основные шаги вычислительной процедуры. В работе [1] для системы (1) предла-

гается использовать метод расширения динамического порядка, позволяющий преобразовать

все режимы к одному (максимальному) порядку

A_ix +biu, i = 1,m.

(2)

Задача поиска регулятора u = -kx, стабилизирующего все расширенные режимы (2),

сводится к решению системы линейных матричных неравенств

HA¯т

+A¯_i H - (kтbтi + bik) < 0,

H> 0.

(3)

Численное решение системы (3) может быть реализовано в MatLab с помощью пакета LMI.

В случае существования решения системы (3) вектор параметров регулятора задаётся ра-

венством k =kH, где H =H-1.

Полученный регулятор u = -kx будет стабилизировать систему (1), если для всех мат-

риц преемственности выполняются неравенства ∥Z_ij ∥²² ≤ θ, где θ = λ_min(H-1)/λ_max(H-1),

λ_min(H-1) и λ_max(H-1) - минимальное и максимальное собственные значения матрицы

H-1

соответственно.

В связи с этим предлагается немного модифицировать алгоритм нахождения вектора k

с целью максимизации соответствующего параметра θ. Для этого вместо системы линейных

матричных неравенств (3) будем решать систему линейных уравнений

HA¯т

+A¯_i H - (kтbтi +bik) = -μI,

H> 0,

(4)

где I - единичная матрица, а положительный параметр μ пробегает с некоторым шагом

фиксированный промежуток (0, μ^∗].

Пусть M - множество параметров μ, при которых разрешима система (4). Для каждого

μi ∈ M найдём вектор параметров регулятора ki и значение θi. Обозначим

θ = maxθ_i.

Тогда, если для всех матриц преемственности будут выполнены неравенства ∥Z_ij ∥²² ≤θ, то

регулятор u = -k_ix решает задачу стабилизации системы (1).

Отметим, что предложенная численная процедура может быть также применена для поис-

ка стабилизирующего регулятора в случае произвольной размерности режимов переключае-

мой системы. При этом увеличение размерности, естественно, потребует существенно больших

вычислительных затрат.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 20-57-001 Бел-а).

Литература. 1. Фурсов А.С., Капалин И.В. Некоторые подходы к стабилизации пере-

ключаемых линейных систем с режимами различных динамических порядков // Дифференц.

уравнения. 2019. Т. 55. № 12. С. 1693-1700.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№2

2021