ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.295-305

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.911.7

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

НЕРАВЕНСТВ С ИМПУЛЬСНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

Устанавливаются оценки (внутренние и вплоть до границы) решений неравенства L (u) ≥

≥ 0, где L - линейный дифференциальный оператор второго порядка с импульсными осо-

бенностями. Полученные результаты применимы, в частности, к краевой задаче Неймана.

Изучается связь множества решений рассматриваемого неравенства с классом вогнутых

функций одного переменного.

DOI: 10.31857/S0374064121030018

Введение. В настоящей работе изучаются решения неравенства L (u) ≥ 0, где L -

линейный дифференциальный оператор второго порядка, коэффициенты которого имеют им-

пульсные особенности [1, гл. 3].

Первый её пункт содержит определения различных функциональных классов. Его цель

состоит в фиксации терминологии и обозначений. Во втором пункте устанавливаются обрат-

ные неравенства, позволяющие оценивать нормы первых производных функций из множества

K (L ) = {L (u) ≥ 0} через более слабые интегральные нормы. Они носят характер внут-

ренних оценок. Третий пункт работы посвящён оценкам вплоть до границы решений диф-

ференциальных неравенств. Основные результаты относятся к случаю смешанного краевого

условия, частным случаем которого является условие Неймана.

К данной публикации близки статьи [2-4]. В работе [2] рассматривается дифференциаль-

ный оператор L (u) = u(n), результаты работ [3, 4] применимы к дифференциальным опера-

торам с суммируемыми коэффициентами.

Ниже все банаховы пространства рассматриваются над полем R действительных чисел.

Если Z - банахово пространство и v ∈ Z, то через ∥v; Z∥ обозначается норма элемента v

в пространстве Z, а через Z^∗ - сопряжённое к Z пространство. Запись Z₁ → Z₂ означает

непрерывность оператора вложения банахова пространства Z₁ в банахово пространство Z₂;

если же оператор вложения вполне непрерывен, то для этого используется запись Z₁ ⇒ Z₂.

Замкнутое подмножество K вещественного нормированного пространства E называют кли-

ном, если для любых x, y ∈ K и неотрицательного числа α вытекает, что x + y ∈ K и

αx ∈ K. Если K - клин, то множество K

^⋂ (-K) называется его лезвием. Клин K называ-

ют конусом, если его лезвие состоит лишь из одной точки. Далее будет применяться следующее

утверждение [5, c. 126].

Предложение. Пусть E, E₁, E₀ - банаховы пространства, причём E₁ ⇒ E и E → E₀.

Тогда существует такая функция κ: (0, ∞) → (0, ∞), что для каждого элемента f ∈ E₁ и

любого положительного числа η справедливо неравенство Эрлинга

∥f; E∥ ≤ η∥f; E₁∥ + κ(η)∥f; E₀∥.

Библиография, приведённая в конце статьи, весьма краткая. Автор не ставил своей целью

дать обширный обзор литературы, посвящённой дифференциальным неравенствам.

1. Функциональные пространства. Если множество S ⊂ R измеримо по Лебегу, то

mes S - его мера Лебега; совпадающие п.в. (почти всюду) функции f и g называются эквива-

лентными относительно меры Лебега; это отношением обозначаем как f ∼ g. Через ess sup f

и ess inf f обозначаются существенные верхняя и нижняя грани вещественнозначной функ-

ции f соответственно. Если функция f определена на множестве S, то число osc {f; S} =

= ess sup f - ess inf f называют существенным колебанием функции f на этом множестве.

295

296

КЛИМОВ

Каждому измеримому подмножеству S действительной прямой можно поставить в соот-

ветствие нормированное пространство L^m(S) (1 ≤ m ≤ ∞) тех измеримых на S функций

u(x) со значениями в R, для которых имеет смысл и конечна норма

(∫

)1/m

∥u; L^m(S)∥ =

|u(x)|^m dx

(1 ≤ m < ∞),

∥u; L^∞(S)∥ = ess sup |u(x)|.

Как обычно, эквивалентные относительно меры Лебега функции отождествляются.

Вариацией функции u(x) на отрезке J = [a, b] называется число

∑

V ba(u) = sup

|u(x_i) - u(xi-1)|,

i=1

где точная верхняя граница берётся по всем возможным разбиениям отрезка J точками x₀ =

= a < x₁ < ... < xn-1 < x_n = b. Совокупность функций c ограниченной вариацией на

отрезке J образует линейное пространство, обозначаемое символом BV (J). Иногда число

V baf называют поточечной вариацией функции f на отрезке [a,b].

Если v ∈ L¹(J) и

∫x

u(x) = u(a) + v(s) ds,

то функцию u(x) называют абсолютно непрерывной на отрезке J. В этом случае почти всюду

на J функция u дифференцируема и для её производной справедливо равенство u^′(x) = v(x)

п.в. Функция v является также производной (в смысле Соболева) функции u [6, 7]. Абсолют-

но непрерывная на отрезке J функция u принадлежит классу BV (J). Имеет место равенство

V ba(u) = ∥v^′;L(J)∥. Совокупность абсолютно непрерывных на отрезке J функций обознача-

ется символом AC(J). Через W1m(J) обозначается часть пространства AC(J), состоящая из

функций u, производные которых принадлежат пространству L^m(J)

(1 ≤ m ≤ ∞). Для

функции u из W1m(J) имеет смысл и конечна норма

∥u; W1m(J)∥ = ∥u; L^m(J)∥ + ∥u^′; L^m(J)∥,

относительно которой W1m(J) - банахово пространство. Наряду с W1m(J) будут использо-

ваться банахово пространство C(J) непрерывных на отрезке функций, а также пространство

C¹(J) непрерывно дифференцируемых на J функций, которое можно рассматривать как соб-

ственное подпространство пространства W1∞(J). Через C¹⁰(J) обозначается часть простран-

ства C¹(J), состоящая из финитных, т.е. обращающихся в нуль вблизи точек a и b, функций.

Множество точек разрыва функции f класса BV (J) конечно или счётно. Существуют

односторонние пределы

f_r(x) = lim

f (ξ) (x ∈ [a, b)), f_l(x) = lim f(ξ) (x ∈ (a, b]).

ξ→x+0

ξ→x-0

Непрерывность функции f в точке a эквивалентна равенству f(a) = f_r(a); аналогично,

равенство f(b) = f_l(b) эквивалентно непрерывности функции f в точке b. Если функции f,

g принадлежат BV (J) и f ∼ g, то f_r(x) = g_r(x) и f_l(x) = g_l(x) в естественной области

определения.

Однако поточечные вариации V^baf и V^bag могут быть различными. Существенной вариа-

цией функции f на отрезке J = [a, b] называется число

V (f, J) = min{V ^bag : g ∼ f}.

Минимум в данном равенстве достигается. Действительно (см., например, [8]), если функция

g: J → R непрерывна справа в точке a, непрерывна слева в точке b и

min{f_r(x), f_l(x)} ≤ g(x) ≤ max{f_r(x), f_l(x)} (a < x < b),

то f ∼ g и

V (f, J) = V ^bag.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

297

Известны и другие эквивалентные определения существенной вариации. Например, верно

равенство

{∫b

}

V (f, J) = sup

f (x)h^′(x) dx : h ∈ C¹⁰(J),

|h(x)| ≤ 1

Для непрерывной на отрезке J = [a, b] функции f поточечная и существенная вариации

совпадают:

V (f, J) = V ^baf. Отметим также неравенства

osc {f, J}

V (f, J),

V (fg, J)

V (f, J)∥g; L^∞(J)∥

V (g, J)∥f; L^∞(J)∥.

Обозначим через bv (J) линейное пространство суммируемых на отрезке J = [a, b] функ-

ций f, имеющих конечную существенную вариаци

V (f, J). Для функции f из bv (J) имеет

смысл и конечна норма ∥f; bv (J)∥ = ∥f; L(J)∥

V (f, J); эквивалентные функции отождеств-

ляются. Относительно этой нормы bv (J) является банаховым пространством.

Определим множество E (J) как совокупность абсолютно непрерывных функций u: J →

→ R, производная u^′ которых имеет ограниченную существенную вариацию: E (J) = {u ∈

∈ AC(J) : u^′ ∈ bv (J)}. Класс E (J) представляет собой линейное пространство над полем

R действительных чисел. Введём в E (J) норму равенством ∥u; E (J)∥ = ∥u; C(J)∥

V (u^′, J).

Аналогичные функциональные классы изучались многими математиками (см., например, [1,

7-9]), установившими, в частности, полноту пространства E (J) и разнообразные неравенства

типа теорем вложения. Пространство E (J) непрерывно вложено в пространство W1m(J) (1 ≤

≤ m ≤ ∞); при m ∈ [1,∞) это вложение компактно. Отметим, что некоторые авторы вместо

термина “существенная вариация” используют его сокращённый вариант - “вариация” [1, гл. 3].

Наряду с введённой выше нормой ∥u; E (J)∥ в пространстве E (J) будут использоваться и

другие нормы:

∥u∥₀ = ∥u; L(J)∥

V (pu^′; J),

∥u∥₁ = ∥u; C(J)∥

V (pu^′; J).

Здесь и далее p - фиксированная функция из BV (J) такая, что p₀ = inf{p(x) : x ∈ J} > 0,

p= sup{p(x) : x ∈ J} < ∞. Нормы ∥u;E(J)∥ и ∥u∥₁ эквивалентны [1, с. 137]. Доказательство

эквивалентности норм ∥u∥₀ и ∥u∥₁ опирается на неравенство Эрлинга

∥u; C(J)∥ ≤ t(∥u; C(J)∥

V (pu^′; J)) + κ(t)∥u; L(J)∥,

где t - любое положительное число. При t = 1/2 получаем последовательно оценки

∥u; C(J)∥ ≤ 2κ(1/2)∥u; L(J)∥

V (pu^′, J),

∥u∥₁ ≤ 2κ(1/2)∥u; L(J)∥ +

V (pu^′, J),

из которых очевидно следует эквивалентность норм ∥u∥₀ и ∥u∥₁.

В ряде мест далее применяется интеграл Римана-Стилтьеса, обозначаемый символом

∫

ϕ(x) dg(x).

Сопряжённое к C(J) пространство C^∗(J) состоит из линейных функционалов Λ, допускаю-

щих представление

∫b

Λ(ϕ) = ϕ(x) dg(x),

в которых g ∈ BV (J); верно равенство ∥Λ; C^∗(J)∥ = V^bag. Возрастание функции g эквива-

лентно положительности функционала Λ; при этом ∥Λ; C^∗(J)∥ = g(b) - g(a).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

298

КЛИМОВ

Если u ∈ AC(J), v ∈ BV (J), то справедливо правило интегрирования по частям

∫

v(x)u^′(x) dx = v(x) du(x) = u(x)v(x)|^ba - u(x) dv(x).

Это равенство показывает, что в некоторых случаях интеграл Римана-Стилтьеса сводится к

интегралу Лебега.

2. Внутренние оценки. Ниже p, Q, F - функции класса BV (J) (как и выше J = [a,b],

-∞ < a < b, p₀ = inf{p(x) : x ∈ J} > 0,

p = sup{p(x) : x ∈ J} < ∞); функции p, Q, F

непрерывны в точках a, b. Определим на пространстве H(J) = W¹²(J) функционалы

∫b

(∫b

∫

)

Λ(u) = u(x)dF (x), Ψ(u) =

p(x)(u^′(x))² dx + u²(x) dQ(x)

Φ(u) = Ψ(u) - Λ(u).

Интегралы в этих равенствах понимаются по Лебегу (или по Риману-Стилтьесу). Функциона-

лы Ψ, Φ дифференцируемы по Фреше на H(J), соответствующие производные определяются

соотношениями

∫b

∫

Ψ^′(u)h = p(x)u^′(x)h^′(x)dx + u(x)h(x)dQ(x),

Φ^′(u)h = Ψ^′(u)h - Λ(h),

в которых h - произвольный элемент из H(J).

Обозначим через H₀(J) совокупность функций из H(J), обращающихся в нуль на границе

рассматриваемого отрезка, т.е.

H₀(J) = {u ∈ H : u(a) = u(b) = 0}.

Экстремалью функционала Φ назовём функцию u из H(J), удовлетворяющую равенству

Φ^′(u)h = 0 для всех h ∈ H₀(J).

(1)

Равенство (1) называют уравнением Эйлера (в интегральной форме). Если p, Q, F - функции

класса C¹(J) и q = Q^′, f = F^′, то уравнение Эйлера сводится к линейному дифференциаль-

ному уравнению

L (u) := -(pu^′)^′ + qu = f;

(2)

в этом случае экстремали функционала Φ - дважды непрерывно дифференцируемые функ-

ции, удовлетворяющие уравнению (2).

В принятых выше предположениях относительно функций p, Q, F будет использоваться

символическая запись уравнения Эйлера (1)

L (u) := -(pu^′)^′ + Q^′u = F^′,

лишь внешне напоминающая уравнение (2). В этом случае экстремали функционала Φ мо-

гут не принадлежать классу C¹(J). Прямые методы вариационного исчисления позволяют

установить существование экстремалей, принадлежащих пространству H(J). Вместе с тем

удаётся установить определённую повышенную гладкость экстремалей.

Представим функцию Q в жордановой форме Q(x) = Q⁺(x) - Q^-(x), где Q⁺(x) = V^xaQ.

Введём в рассмотрение возрастающую функцию Q₁(x) = Q⁺(x) + Q^-(x) = 2V^xa - Q(x). Уста-

новим оценки решений u уравнения Эйлера (1).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

299

Лемма 1. Для любой экстремали u функционала Φ имеет место оценка

∫b

V (pu^′, J) ≤

|u(x)| dQ₁(x) + V^baF.

(3)

Доказательство. Введём в рассмотрение множество M = {h ∈ C¹⁰(J) : |h(x)| ≤ 1}. Для

любой функции h из M справедливо равенство (1), влекущее за собой соотношение

∫

p(x)u^′(x)h^′(x) dx = u(x)h(x) dQ(x) - h(x) dF (x).

Очевидно, что

∫

∫



∫



u(x)h(x) dQ(x) - h(x) dF (x)

|u(x)| dQ₁(x) + V^baF.



≤

Правая часть этого неравенства не зависит от выбора функции h из M , из чего следует

требуемая оценка

∫

V (pu^′, J) = sup

p(x)u^′(x)h^′(x) dx ≤

|u(x)| dQ₁(x) + V^baF.

h∈M

Лемма доказана.

Лемма 2. Для любой экстремали u функционала Φ имеет место оценка

(∫b

)

∥u; E (J)∥ ≤ k

|u(x)| dQ₁(x) + V^baF + ∥u; L(J)∥ ,

(4)

в которой k - постоянная, при которой выполняется неравенство ∥u; E (J)∥ ≤ k∥u∥₀ для всех

u ∈ E(J).

Лемма 2 очевидным образом следует из неравенства (3).

Оценки типа (3), (4) именуют неравенствами коэрцитивности. Заменяя в (4) отрезок J =

= [a, b] отрезком I = [x₁, x₂] ⊂ J, приходим к неравенству

∫x2

V (pu^′, I) ≤

(5)

|u(x)| dQ₁(x) + Vx2x₁ F.

x₁

Если, например, отрезки I стягиваются к точке x₀, а функции Q и F непрерывны в этой

точке, то правая часть неравенства (5) стремится к нулю, поэтому верно соотношение

lim

V (pu^′; I) = 0,

I→x₀

из которого вытекает непрерывность функции p(x)u^′(x) в точке x₀. Это замечание примени-

мо, в частности, к случаям x₀ = a и x₀ = b. Таким образом, функция u^′(x) непрерывна в

точках a и b.

Для функций, удовлетворяющих дополнительным граничным условиям, можно установить

оценки, аналогичные (3), (4), но не содержащие функции u в правой части. Такого рода

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

300

КЛИМОВ

оценки доказаны, например, для однородной задачи Коши или для задачи Дирихле [1, гл. 3].

Для достаточно обширного класса функций F ниже найдены внутренние оценки функции u.

Обозначим через K (L ) клин экстремалей функционала Φ с возрастающей функцией F.

Лезвие клина K (L ) совпадает с двумерным пространством Ker (L ) решений однородного

уравнения L (w) = 0. Для элементов клина K (L ) верны неравенства, имеющие характер

внутренних оценок экстремалей функционала Φ.

Введём возрастающие функции

p₁(x) = 2V^xap - p(x), Q₁(x) = 2V^xaQ - Q(x), μ(x) = x + p₁(x) + Q₁(x).

Для непрерывной на отрезке [c, d] ⊂ J функции g справедливы неравенства

 ∫



∫

∫



∫



g(x) dp(x)

|g(x)| dp₁(x),

g(x) dQ(x)

|g(x)| dQ_i(x).



≤



≤

Далее используется обозначение

∫b

∥u; L(J, μ)∥ =

|u(x)| dμ(x).

Теорема 1. Для любого отрезка J_δ = [a + δ, b - δ]

(0 < 2δ < b - a) существует такая

константа c₀(δ), что для всех функций u из K (L ) имеет место оценка

∥u; E (J_δ)∥ ≤ c₀(δ)∥u; L(J, μ)∥.

(6)

Доказательство. Зафиксируем функцию u из K (L ) и построим связанную с u среза-

ющую функцию h класса H₀(J). Положим для краткости a₁ = a + δ, b₁ = b - δ.

Разобьём каждый из отрезков [a, a₁] и [b₁, b] на три равные части, которые обозначим

через I₁, I₂, I₃ и I₄, I₅, I₆ соответственно (длина каждого из них равна δ/3). Подберём

числа

x₁ ∈ I₁, x₂ ∈ I₃, x₃ ∈ I₄, x₄ ∈ I₆

(7)

таким образом, чтобы выполнялись неравенства

∫

|u(x₁)| ≤

|u(x)| dx,

|u(x₂)| ≤

|u(x)| dx,

I₁

I₃

∫

|u(x₃)| ≤

|u(x)| dx,

|u(x₄)| ≤

|u(x)| dx.

(8)

I₄

I₆

Из включений (7) вытекают неравенства 3(x₂ - x₁) ≥ δ,

3(x₄ - x₃) ≥ δ.

Обозначим через h(x) функцию, определённую на отрезке J = [a, b] и имеющую графиком

ломаную линию, последовательно соединяющую точки (a, 0), (x₁, 0), (x₂, 1), (x₃, 1), (x₄, 0),

(b, 0). Таким образом, функция h(x) равна единице на отрезке [x₂, x₃], нулю - на отрезках

[a, x₁] и [x4, b], линейна на каждом из отрезков [x1, x2] и [x3, x4]. Как нетрудно видеть,

функция h принадлежит пространству H₀(J).

Поскольку Φ^′(u)h = 0, то справедливо соотношение

∫

h(x) dF (x) = u(x)h(x) dQ(x) + p(x)u^′(x)h^′(x) dx.

(9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

301

Оценим интеграл в левой части этого соотношения снизу, а интегралы в правой его части

сверху. Так как функция h неотрицательна на отрезке [a, b] и h(x) = 1 при x ∈ [a₁, b₁], то

∫

b₁

h(x) dF (x) ≥

1 dF (x) = F (b₁) - F (a₁).

(10)

a₁

Из определения функции Q₁ вытекает оценка первого интеграла в правой части (9):

∫



∫



u(x)h(x) dQ(x)

|u(x)| dQ₁(x).

(11)



≤

Второй интеграл в правой части соотношения (9) равен сумме интегралов:

∫x2

∫

x₄

s₁ = p(x)u^′(x)h^′(x)dx и s₂ = p(x)u^′(x)h^′(x)dx.

x₁

x₃

На интервале (x₁, x₂) производная h^′(x) постоянна и равна (x₂ - x₁)-1, поэтому

∫

x₂

(



∫

x₂

)

x2



s₁ =

p(x)u^′(x) dx =

p(x)u(x)

u(x) dp(x)



x₂ - x₁

x₁

Из определения функции p₁(x) вытекает оценка

∫x2

∫

x₂

− u(x) dp(x) ≤

|u(x)| dp₁(x).

x₁

Неравенства (8) и условие p = sup{p(x) : x ∈ J} < ∞ приводят к оценке

x₂

∫

p(x)u(x)|x2x₁ ≤

|u(x)| dx.

x₁

Установленные оценки влекут за собой неравенство

∫

x₂

∫

x₂

s₁ ≤

|u(x)| dp₁(x) +

|u(x)| dx.

δ²

x₁

Аналогичное неравенство верно и для интеграла s₂ :

∫

x₄

∫

x₄

s₂ ≤

|u(x)| dp₁(x) +

|u(x)| dx.

δ²

x₃

В итоге приходим к следующей оценке сверху второго интеграла в правой части (9):

∫

s₁ + s₂ ≤

|u(x)| dp₁(x) +

|u(x)| dx;

(12)

δ²

J^δ

здесь J^δ = [a, a + δ]

^⋃ [b - δ, b].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

302

КЛИМОВ

Из оценок (10)-(12) следует неравенство

∫b

∫

F (b - δ) - F (a + δ) ≤

|u(x)| dQ₁(x) +

|u(x)| dp₁(x) +

|u(x)| dx.

δ²

J^δ

Для завершения доказательства достаточно воспользоваться неравенством коэрцитивности

(4), заменяя в нём J на J₁. Следует учесть лишь, что в силу возрастания функции F верно

равенство ∥F ; BV (J₁)∥ = F (b₁) - F (a₁). Теорема доказана.

Постоянная c₀(δ) в неравенстве (6) возрастает при δ → 0. Анализируя проведённое вы-

ше доказательство, можно показать, что c₀(δ) = O(δ-2) при δ → 0. Сформулируем одно из

следствий теоремы 1, имеющее характер нелинейной теоремы вложения [10]. Введём в рас-

смотрение множество

B_r = {u ∈ C(J) : ∥u;L(J,μ)∥ ≤ r}.

Теорема 2. Пусть J_δ = [a + δ, b - δ]

(0 < 2δ < b - a),

0 < r < ∞. Тогда оператор

вложения K (L )

⋂B_r → W1p(J_δ) ограничен при p ∈ [1,∞] и вполне непрерывен, если 1 ≤

≤ p < ∞.

Доказательство. Согласно теореме 1 множество K (L )

⋂B_r ограничено в пространст-

ве E (J_δ). Поэтому доказываемое утверждение вытекает из теорем вложения для E (J_δ). Тео-

рема доказана.

Приведём пример, показывающий, что в теоремах 1, 2 условие δ > 0 существенно. Пусть

J = [0,1], L(u) = -u^′′. В этом случае p(x) ≡ 1, Q(x) ≡ 0, μ(x) = 2x, класс K (L )

совпадает с классом вогнутых на J функций. При любом t ∈ (0, 1) имеем

}

^{x

1-x

f_t(x) = min

∈ K (L)

⋂B₁;

1-t

вместе с тем функция γ(t) = V¹⁰f_t = (t(1 - t))-1 неограничена на интервале (0, 1).

В приведённом примере функции f_t(x) удовлетворяют однородному условию Дирихле

f_t(0) = f_t(1) = 0.

Для других краевых условий ситуация более благополучна; аналогичные теоремам 1, 2 утвер-

ждения верны и в случае δ = 0.

3. Дополнительные замечания. Неравенство (7) носит характер внутренних оценок ре-

шений дифференциальных неравенств. Для функций, удовлетворяющим некоторым краевым

условиям, в работе [3] установлены оценки решений неравенств вплоть до границы. Соответ-

ствующие результаты относились к линейным дифференциальным операторам с достаточно

регулярными коэффициентами.

Обсудим варианты этих результатов для дифференциальных уравнений с импульсными

особенностями. Для большей обозримости будем рассматривать краевые условия вида

p(a)u^′(a) - k₁u(a) = p(b)u^′(b) + k₂u(b) = 0,

(13)

возникающие при изучении экстремалей функционала Больца Φ₁ : H → R, определяемого

равенством Φ₁(u) = Φ(u) + (k₁u²(a) + k₂u²(b))/2. Функционал Φ₁ дифференцируем по Фреше

на пространстве H и имеет место равенство

Φ′1(u)h = Φ^′(u)h + k₁u(a)h(a) + k₂u(b)h(b) (h ∈ H).

Элемент u назовём экстремалью функционала Φ₁, если

Φ′1(u)h = 0 для всех h ∈ H.

(14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

303

В частности, равенство (14) справедливо для h из H₀. Отсюда следует, что экстремаль u

функционала Φ₁ является экстремалью функционала Φ. Можно сказать, что u есть обобщён-

ное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее в обобщённом же смысле краевому условию

(13) - естественному условию для функционала Φ₁.

Из (14) вытекает равенство

∫

h(x) dF (x) = p(x)u^′(x)h^′(x) dx + u(x)h(x) dQ(x) + k₁u(a)h(a) + k₂u(b)h(b).

Если h - достаточно гладкая функция, например, h ∈ C²(J), то

∫

p(x)u^′(x)h^′(x) dx = u(x)p(x)h^′(x)|^ba - u(x) d(p(x)h^′(x)).

Таким образом, экстремаль u удовлетворяет соотношению

∫

h(x) dF (x) = - u(x) d(p(x)h^′(x)) + u(x)h(x) dQ(x) +

+ u(a)(p(a)h^′(a - k₁h(a)) + u(b)(p(b)h^′(b) + k₂h(a)).

(15).

Cуществование экстремалей функционала Φ₁ устанавливается с помощью прямых мето-

дов вариационного исчисления. Стандартным является предположение о неотрицательности

коэффициентов k₁, k₂.

Обозначим через K₁(L ) совокупность экстремалей функционала Φ₁ c возрастающей

функцией F.

Теорема 3. Пусть k₁ ≥ 0, k₂ ≥ 0. Тогда существует такая константа c₁(J), что для

всех функций u из K₁(L ) имеет место оценка

∥u; E (J)∥ ≤ c₁(J)∥u; L(J, μ)∥.

(16)

Доказательство. Оценка (16) следует из неравенства (15) при специальном выборе функ-

ции h. Определим функцию h как решение краевой задачи

h^′′(x) = -1, p(a)h^′(a) - k₁h(a) = p(b)h^′(b) + k₂h(b) = 0.

Решение данной краевой задачи единственно и положительно на отрезке J = [a, b] (h(x) ≥

≥ h₀ = min{h(a),h(b)} > 0). Из соотношения (15) следует неравенство

∫b

∫

h₀(F(b) - F(a)) ≤ h(x)dF(x) ≤ - u(x)d(p(x)h^′(x)) + u(x)h(x)dQ(x),

которое влечёт за собой оценку V^baF = F (b) - F (a) ≤ const ∥u; L(J, μ)∥. Объединяя эту оценку

с оценкой леммы 1, приходим к доказываемому утверждению. Теорема доказана.

Сформулируем вариант теоремы 2.

Теорема 4. Пусть 0 < r < ∞. Тогда оператор вложения K₁(L )

⋂B_r → W1p(J) ограни-

чен при p ∈ [1, ∞] и вполне непрерывен, если 1 ≤ p < ∞.

Остановимся на дополнительных свойствах клина K (L ), относящихся к специальному

классу дифференциальных операторов L . Приведём некоторые определения.

Фундаментальную систему {w₁(x), w₂(x)} решений однородного уравнения L (w) = 0 на-

зовём марковской на отрезке J, если выполняются следующие два условия: 1) w₁(x) > 0 для

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

304

КЛИМОВ

любого x ∈ J; 2) функция z(x) = w₂(x)/w₁(x) строго возрастает на J. Условие 2) в этом

определении можно заменить требованием положительности определителя:

(

)



w₁

w₂

w₁(x₁) w₂(x₁)



a ≤ x₁ < x₂ ≤ b).

x₁

x₂

w1(x2) w2(x2) (

Если для оператора L существует соответствующая марковская система, то будем использо-

вать обозначение L ∈ T₀(J). Условие L ∈ T₀(J) сужает класс допустимых операторов L ,

однако допускает эффективную проверку. Здесь полезны признаки неосцилляции, в частно-

сти, установленный в [1, с. 151] вариант классической теоремы Валле-Пуссена (см., например,

[11, гл. 4]).

Предположение L

∈ T₀(J) гарантирует весьма интересные свойства функций класса

K (L ) [1, 11, 12]. Отметим лишь свойство обобщённой вогнутости [11, c. 78]: если u ∈ K (L ),

a ≤ x₁ < x₂ ≤ b, то существует единственное решение w(x) краевой задачи

L (w)(x) = 0, w(x₁) = u(x₁), w(x₂) = u(x₂);

(17)

при этом верно неравенство u(x) > w(x) для любого x ∈ (x₁, x₂).

Обозначим через [A, B] область значений строго возрастающей на [a, b] функции z(x) =

= w₂(x)/w₁(x). При любом t ∈ [A,B] уравнение z(x) = t имеет единственное решение x =

= g(t); определяемая таким образом функция g строго возрастает и непрерывна на отрезке

[A, B].

Теорема 5. Пусть w₁(x), w₂(x) (x ∈ J) - марковская система решений уравнения

L (w)=0. Тогда включение u∈K (L ) эквивалентно строгой вогнутости на [A, B] функции

u(g(t))

F (t) =

(18)

w₁(g(t))

Доказательство. Пусть u ∈ K (L ) и a ≤ x₁ < x < x₂ ≤ b. Обозначим через w решение

краевой задачи (17). Тогда найдутся такие числа λ₁, λ₂, что имеют место соотношения

u(x) > w(x) = λ₁w₁(x) + λ₂w₂(x),

u(x₁) = w(x₁) = λ₁w₁(x₁) + λ₂w₂(x₁), u(x₂) = w(x₂) = λ₁w₁(x₂) + λ₂w₂(x₂).

Отсюда вытекает неравенство



(

)

w₁(x₁) w₂(x₁) u(x₁)



w₁

w₂



w₁(x₂) w₂(x₂) u(x₂)

= (u(x) - w(x))D

> 0.

(19)



x₁

x₂



w₁(x) w₂(x) u(x)



Введём в рассмотрение функцию v(x) = u(x)/w₁(x) (x ∈ J). Из неравенства (19) следу-

ет, что



z(x₁) v(x₁)



1

z(x₂) v(x₂)>0

(a ≤ x₁ < x < x₂ ≤ b).



1

z(x) v(x)



Положим t = z(x), t₁ = z(x₁), t₂ = z(x₂). С учётом этих обозначений приходим к неравенству



t₁

F (t₁)



>0

t₂

F (t₂)

(A ≤ t₁ < t < t₂ ≤ B),



1

F (t)



из которого вытекает, что включение u ∈ K (L ) влечёт за собой строгую вогнутость функции

F (t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

305

Верно и обратное утверждение. Для его доказательства следует провести рассуждения в

обратном порядке. Теорема доказана.

Равенство (18) означает, что обобщённая вогнутость эквивалентна обычной вогнутости

некоторой суперпозиции.

Следствие. В условиях теоремы 5 функция u(x) допускает представление

)

⁽w₂(x)

u(x) = F

w₁(x).

w₁(x)

В общем случае условие L ∈ T₀(J) может не выполняться. Однако для любой точки

x₀ ∈ J существует такой отрезок J₁ положительной длины, что x₀ ∈ J₁ и L ∈ T0(J1).

Следовательно, функции класса K (L ) локально являются обобщённо вогнутыми.

В ряде мест работы использовалась самосопряжённость дифференциального оператора L .

Как полагает автор, данное предположение не является принципиальным для большинства

результатов. Оно принято лишь для упрощения изложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Покорный Ю.В., Бахтина Ж.И., Зверева М.Б., Шабров С.А. Осцилляционный метод Штурма в

спектральных задачах. М., 2009.

2. Малышев В.А. Оценки производных n-выпуклых функций // Зап. науч. семинара ПОМИ. 1996.

Т. 232. С. 123-133.

3. Климов В.С., Павленко А.Н. Нетривиальные решения краевых задач с сильными нелинейностями

// Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 12. С. 1676-1682.

4. Климов В.С. Внутрение оценки решений линейных дифференциальных неравенств // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1034-1044.

5. Лионс Ж.Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

6. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

7. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и

квазиконформные отображения. М., 1983.

8. Матвеев В.А. О вариации функции и о коэффициентах Фурье по системам Хаара и Шаудера

// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. Т. 30. № 6. С. 1397-1419.

9. Souček J. Spaces of functions on domain Ω, whose k-th derivatives are measures defined on

Ω //

Časopis

Pest. Mat. 1972. V. 97. P. 10-46.

10. Малышев В.А. Нелинейные теоремы вложения // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5. № 6. С. 1-38.

11. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М., 1965.

12. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Диф-

ференциальные уравнения на геометрических графах. М., 2004.

Ярославский государственный университет

Поступила в редакцию 06.10.2020 г.

им. П.Г. Демидова

После доработки 14.12.2020 г.

Принята к публикации 22.01.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021