ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.306-312

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.54

ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА,

ВРАЩЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ,

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И СУЩЕСТВОВАНИЕ

ОГРАНИЧЕННЫХ ПО ПУАССОНУ РЕШЕНИЙ

С использованием метода вектор-функций Ляпунова и метода направляющих функций

получены достаточные условия существования ограниченных по Пуассону и достаточные

условия существования частично ограниченных по Пуассону решений систем дифферен-

циальных уравнений.

DOI: 10.31857/S037406412103002X

Применение метода функций Ляпунова [1] к исследованию ограниченности решений диф-

ференциальных систем приведено в работе [2], а его применение к исследованию ограничен-

ности решений относительно части переменных - в монографии [3, с. 223-228]. Обобщение ме-

тода функций Ляпунова - метод вектор-функций Ляпунова - изложено в монографиях [4, 5],

и в [5] дано приложение метода вектор-функций Ляпунова к выводу условий, обеспечиваю-

щих ограниченность всех решений произвольной нелинейной системы. Независимо от методов

работы [2] в монографии [6], основываясь на технике вращений векторных полей, был разрабо-

тан метод направляющих функций, при помощи которого в [6] получены достаточные условия

существования ограниченных на всей числовой прямой решений произвольной нелинейной

системы.

С другой стороны, в недавних работах автора (см., например, [7]) начато изучение нового

вида ограниченности решений - их ограниченности по Пуассону. Понятие ограниченности по

Пуассону на полуоси решения состоит в том, что в фазовом пространстве найдутся такой шар

и на временной полуоси такая счётная система непересекающихся интервалов, последователь-

ность правых концов которых стремится к +∞, что решение при всех значениях времени,

принадлежащих этим интервалам, содержится в данном шаре. Очевидно, что ограниченное

решение является ограниченным по Пуассону; обратное, как несложно видеть, не верно. В ра-

ботах автора изучены условия, при выполнении которых все решения дифференциальной сис-

темы являются ограниченными по Пуассону.

Настоящая работа посвящена разработке метода исследования условий существования

ограниченных по Пуассону решений, который представляет собой синтез метода вектор-функ-

ций Ляпунова и метода направляющих функций. При помощи этого метода в работе получены

достаточные условия существования ограниченных по Пуассону решений (теорема 1), а так-

же существования частично ограниченных (ограниченных по части переменных) по Пуассону

решений (теорема 2). Перейдём теперь к точным определениям и формулировкам.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

= F(t,x), F(t,x) = (F₁(t,x),...,F_n(t,x))^т, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), n ≥ 2,

(1)

где F : R₊ × Rⁿ → Rⁿ - непрерывная функция, удовлетворяющая локальному условию Лип-

шица по переменной x ∈ Rⁿ. Кроме того, будем предполагать, что все решения системы (1)

продолжимы на всю временную полуось R₊.

Далее через ∥ · ∥ обозначается евклидова норма в Rⁿ. Решение x = x(t) системы (1) с

начальным условием (t₀, x₀) ∈ R₊ × Rⁿ обозначается через x(t, t₀, x₀). Любую неотрицатель-

ную возрастающую числовую последовательность (τ_i)i∈N такую, что lim

τi = +∞, далее

i→+∞

будем называть P-последовательностью.

306

ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

307

Напомним [2], что решение x = x(t, t₀, x₀) системы (1) называется ограниченным, если

существует такое число β > 0, что при всех t ∈ R₊ выполнено условие ∥x(t, t₀, x₀)∥ ≤ β.

Определение 1. Решение x = x(t,t₀,x₀) системы (1) называется ограниченным по Пуас-

сону, если найдутся такие P-последовательность (τ_i)i∈N и число β > 0, что при всех i ∈ N

выполнено условие ∥x(τ_i, t₀, x₀)∥ ≤ β.

Очевидно, что если решение системы (1) является ограниченным, то оно будет и ограничен-

ным по Пуассону, поскольку в этом случае в качестве требуемой P-последовательности можно

взять любую P-последовательность. Также очевидно, что, при необходимости увеличивая чис-

ло β, неравенство ∥x(t, t₀, x₀)∥ ≤ β для ограниченного по Пуассону решения можно считать

выполненным при всех t, принадлежащих некоторой последовательности интервалов, правые

концы которых стремятся к +∞, как это сказано выше. Поэтому приведённое определение

равносильно определению ограниченного по Пуассону решения, данному в работе [8].

Напомним, следуя [4, с. 46-48], необходимые в дальнейшем сведения о вектор-функциях

Ляпунова. Пусть задана непрерывно дифференцируемая вектор-функция

V : R₊ × Rⁿ → R^k, V (t,x) = (V₁(t,x),...,V_k(t,x))^т, k ≥ 1.

Производная в силу системы (1) этой вектор-функции определяется равенством

V (t, x) = ( V1(t, x), . . . , Vk(t, x))^т,

где

V_i(t,x) - производная в силу системы (1) функции V_i(t,x), 1 ≤ i ≤ k. Далее для векторов

ξ = (ξ1, . . . , ξk)т, η = (η1, . . . , ηk)т ∈ Rk запись ξ ≤ η означает, что ξi ≤ ηi для любого

1 ≤ i ≤ k. Будем говорить [3, с. 235], что непрерывная вектор-функция

f : R₊ × R^k → R^k, f(t,ξ) = (f₁(t,ξ),...,f_k(t,ξ))^т, k ≥ 1,

удовлетворяет условию Важевского, если для каждого 1 ≤ s ≤ k функция f_s не убывает по

переменным ξ₁, . . . , ξs-1, ξs+1, . . . , ξ_k, т.е. из ξ_i ≤ η_i,

1 ≤ i ≤ k, i = s, ξ_s = η_s следует

f_s(t,ξ) ≤ f_s(t,η). Если f удовлетворяет условию Важевского, то это будем обозначать как f ∈

∈ W. Отметим, что при k = 1 условие f ∈ W вырождается, поэтому для любой непрерывной

функции f : R₊ × R → R условимся считать, что f ∈ W.

Непрерывно дифференцируемая вектор-функция V : R₊ × Rⁿ → R^k, удовлетворяющая

для любых t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ условию V (t, x) ≥ 0, где 0 - нулевой вектор в R^k, и система

dξ

= f(t,ξ), f ∈ W,

(2)

называются соответственно вектор-функцией Ляпунова и системой сравнения для системы

(1), если выполнено следующее условие:

V (t, x) ≤ f(t, V (t, x)). Далее всегда будем предпола-

гать, что правая часть системы (2) удовлетворяет локальному условию Липшица по ξ и, кроме

того, решения этой системы продолжимы на всю полуось R₊. Так как для системы (2) имеет

место единственность решения задачи Коши, то из теоремы Важевского (см., например, [3,

c. 236]) следует, что для любой точки (t0, x0) ∈ R+ × Rn решение x(t, t0, x0) системы (1),

вектор-функция Ляпунова V : R₊ × Rⁿ → R^k и решение ξ(t, t₀, V (t₀, x₀)) системы сравнения

(2) для системы (1) связаны между собой при всех t ≥ t₀ следующим неравенством:

V (t, x(t, t₀, x₀)) ≤ ξ(t, t₀, V (t₀, x₀)).

(3)

Напомним теперь необходимые понятия и конструкции, связанные с вращениями вектор-

ных полей и операторами сдвига по траекториям [6] (см. также [9]). Пусть Ω - любое ком-

пактное подмножество в Rⁿ с границей ∂Ω. Непрерывным векторным полем или, более крат-

ко, векторным полем Q на Ω будем называть, следуя [6], любое непрерывное отображение

Q: Ω → Rⁿ. Для векторного поля Q на Ω рассмотрим его ограничение на ∂Ω, т.е. рассмотрим

векторное поле Q|∂Ω : ∂Ω ⊂ Ω → Rⁿ. Векторное поле Q на Ω называется невырожденным

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

308

ЛАПИН

на ∂Ω, если Q(x) = 0 ∈ Rⁿ для всех x ∈ ∂Ω. Легко видеть, что любое невырожденное на ∂Ω

векторное поле Q определяет непрерывное отображение

T : ∂Ω → Sn-1 = {a ∈ Rⁿ : ∥a∥ = 1}, T(x) = Q(x)/∥Q(x)∥, x ∈ ∂Ω.

Вращением γ(Q, ∂Ω) невырожденного на ∂Ω векторного поля Q называется степень deg (T )∈

∈ Z отображения T : ∂Ω → Sn-1. В случае, когда компактное подмножество Ω в Rⁿ являет-

ся n-мерным гладким ориентируемым многообразием с краем ∂Ω (см., например, [10]), целое

число deg (T ) легко определяется, например, при помощи функтора Hn-1(-; Z) сингуляр-

ных (n - 1)-мерных гомологий топологических пространств с целыми коэффициентами [11].

Действительно, непрерывное отображение T : ∂Ω → Sn-1 индуцирует гомоморфизм групп

сингулярных гомологий Hn-1(T ; Z): Hn-1(∂Ω; Z) → Hn-1(Sn-1; Z). Хорошо известно (см., на-

пример, [11]), что группы Hn-1(∂Ω; Z) и Hn-1(Sn-1; Z) изоморфны группе Z и образующими

этих групп являются, соответственно, фундаментальные классы [∂Ω] и [Sn-1] многообразий

∂Ω и Sn-1. При помощи гомоморфизма групп Hn-1(T;Z) и фундаментальных классов [∂Ω]

и [Sn-1] степень отображения deg (T ) ∈ Z определяется по следующему правилу:

Hn-1(T;Z)([∂Ω]) = deg (T)[Sn-1].

В общем случае, т.е. в случае, когда Ω является произвольным компактным подмножеством

в Rⁿ, определение степени deg (T) ∈ Z отображения T : ∂Ω → Sn-1 детально описано в

монографии [9, с. 9-29].

Далее будем использовать следующую терминологию. Подмножество

Tr (x₀) = {x ∈ Rⁿ : x = x(t, 0, x₀), t ≥ 0} ⊂ Rⁿ,

где x(t, 0, x₀) - решение системы (1) и x₀ - произвольная точка из Rⁿ, будем называть траек-

торией системы (1), выходящей из точки x₀. Рассмотрим для любого фиксированного τ > 0

непрерывное отображение

U (τ): Ω → Rⁿ, U(τ)(x₀) = x(τ, 0, x₀),

где x(t, 0, x₀) - решение системы (1) и x₀ - произвольная точка из Ω. Отображение U(τ)

называется [6, с. 11-12] оператором сдвига по траекториям системы (1) за время 0 ≤ t ≤ τ.

Точкой τ -невозвращаемости траектории системы (1) называется [6, с. 101] такая точка x₀ ∈

∈ Rⁿ, что для решения x(t,0,x₀) системы (1) выполнено условие x(t,0,x₀) = x₀ при всех

0<t≤τ.

Рассмотрим векторное поле

S₀ : Ω → Rⁿ, S₀(x) = -F(0,x),

где F (t, x) - правая часть системы (1). Вращение γ(S₀, ∂Ω) этого векторного поля тесно свя-

зано с задачей о существовании неподвижных точек оператора U(τ) сдвига по траекториям

системы (1). Действительно, в [6, с. 102-104] показано, что если невырожденное на ∂Ω век-

торное поле S₀ : Ω → Rⁿ имеет вращение γ(S₀, ∂Ω) = 0 и все точки границы ∂Ω являются

точками τ -невозвращаемости траекторий системы (1), то оператор U(τ) сдвига по траек-

ториям системы (1) имеет внутри Ω по крайней мере одну неподвижную точку, т.е. такую

точку x ∈ Ω \ ∂Ω, что U(τ)(x) = x. Далее будем использовать следующую терминологию.

Подмножества

Tr⁺(x₀, t₀) = {x ∈ Rⁿ : x = x(t, t₀, x₀), t > t₀} ⊂ Rⁿ,

Tr^-(x₀, t₀) = {x ∈ Rⁿ : x = x(t, t₀, x₀),

0≤t≤t₀}⊂Rⁿ,

где x(t, t₀, x₀) - решение системы (1) и (t₀, x₀) - любая точка из R₊ × Rⁿ, будем называть

соответственно правой частью и левой частью траектории Tr (x(0, t₀, x₀)) системы (1).

В терминах вектор-функций Ляпунова и вращений векторных полей сформулируем и дока-

жем следующее достаточное условие существования у системы (1) ограниченных по Пуассону

решений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

309

Предложение 1. Пусть для системы (1) существуют P-последовательность (τ_i)i∈N,

вектор-функция Ляпунова V : R₊ ×Rⁿ → R^k с системой сравнения (2) и неубывающая функ-

ция b: R₊ → R₊, обладающая свойством b(r) → +∞ при r → +∞, такие, что при любых

x ∈ Rⁿ и i ∈ N справедливо неравенство

∑

b(∥x∥) ≤

V_q(τ_i,x).

(4)

q=1

Кроме того, пусть для системы сравнения (2) выполнены следующие условия:

1) существует компактное в R^k подмножество Ω ⊂ Im (V : {0} × Rⁿ → R^k), для ко-

торого векторное поле S₀ : Ω → R^k, S₀(ξ) = -f(0,ξ), где f(t,ξ) - правая часть системы

сравнения (2), является невырожденным на ∂Ω и γ(S₀, ∂Ω) = 0,

2) для любого ξ₀ ∈ ∂Ω правая часть Tr⁺(ξ₀, t₀) траектории Tr (ξ(0, t₀, ξ₀)) системы

сравнения (2) не имеет в Ω общих точек с левой частью Tr^-(ξ₀, t₀) этой траектории.

Тогда система (1) имеет по крайней мере одно ограниченное по Пуассону решение.

Доказательство. Рассмотрим для каждого m ∈ N оператор U(m): Ω → R^k сдвига по

траекториям системы сравнения (2) для системы (1) за время 0 ≤ t ≤ m. Так как по условию

для любого (t₀, ξ₀) ∈ R₊ × ∂Ω пересечение Tr⁺(t₀, ξ₀)

^⋂ Tr^-(t₀, ξ₀)^⋂ Ω пусто, то для любого

m ∈ N все точки границы ∂Ω являются точками m-невозвращаемости траекторий систе-

мы (2). Из этого, как сказано выше, следует, что для каждого m ∈ N оператор U(m) имеет

неподвижную точку ϑ_m ∈ Ω \ ∂Ω.

Рассмотрим семейство решений {ξ(t, 0, ϑ_m)}m∈N системы (2). Из условий доказываемой

теоремы следует, что ξ(t, 0, ϑ_m) ∈ Ω \ ∂Ω при любом 0 ≤ t ≤ m. Действительно, если пред-

положить противное, то для некоторой точки ξ₀ = x(t₀, 0, ϑ_m) ∈ Tr (ϑ_m), где 0 < t₀ < m и

ξ₀ ∈ ∂Ω, будем иметь

Tr⁺(t₀, ξ₀)

^⋂ Tr^-(t₀, ξ₀)^⋂ Ω = {ϑ_m} = ∅,

что противоречит условиям теоремы.

Рассмотрим в Ω \ ∂Ω последовательность точек (ϑ_m)m∈N. Пользуясь тем, что множество

Ω компактно, выберем из последовательности (ϑ_m)m∈N подпоследовательность (ϑmi )i∈N, схо-

дящуюся к некоторой точке μ ∈ Ω. Покажем, что для решения ξ(t, 0, μ) системы (2) при всех

t ≥ 0 выполнено условие ξ(t,0,μ) ∈ Ω. Предположим противное, т.е. что найдётся число

η ≥ 0, для которого ξ(η,0,μ) ∈ Ω. Так как для системы (2) выполнены условия теоремы

о непрерывной зависимости от начальных условий (см., например, [12]), то для достаточно

больших i будем иметь ξ(η, 0, ϑmi ) ∈ Ω, где η ≤ m_i. Получено противоречие с включением

ξ(t, 0, ϑmi ) ∈ Ω \ ∂Ω ⊂ Ω при всех

0≤t≤m_i.

Таким образом, показано, что ξ(t, 0, μ) ∈ Ω для любых t ≥ 0. Так как множество Ω ком-

пактно в R^k, то в R^k найдётся такой шар радиуса α > 0 с центром в нуле, что Ω содержится

в этом шаре и, следовательно, для всех t ≥ 0 справедливо неравенство ∥ξ(t, 0, μ)∥ ≤ α.

Покажем теперь, что система (1) имеет ограниченное по Пуассону решение x(t, 0, x₀) для

некоторого x₀ ∈ Rⁿ. Так как по условию Ω ⊂ Im (V : {0}×Rⁿ → R^k), то найдётся такая точка

(0, x₀) ∈ {0}×Rⁿ, что V (0, x₀) = μ. Пользуясь условием (4) и неравенством (3), получаем для

решения x(t, 0, x₀) системы (1) и решения ξ(t, 0, V (0, x₀)) системы сравнения (2) неравенства

∑

b(∥x(τ_i, 0, x₀)∥) ≤

V_q(τ_i,x(τ_i,0,x₀)) ≤

ξ_q(τ_i,0,V (0,x₀)),

q=1

справедливые при всех i ∈ N. Кроме того, для любого t ≥ 0 имеем очевидные неравенства

∑

ξ_i(t,0,V (0,x₀)) ≤

|ξ_i(t, 0, V (0, x₀))| ≤ k∥ξ(t, 0, V (0, x₀))∥.

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

310

ЛАПИН

Так как V (0, x₀) = μ, то ∥ξ(t, 0, V (0, x₀))∥ ≤ α при всех t ≥ 0. Из этого, а также из указанных

выше неравенств вытекает, что при всех i ∈ N справедливо неравенство b(∥x(τ_i, 0, x₀)∥) ≤ kα.

Пользуясь условием b(r) → +∞ при r → +∞ и тем, что число kα фиксировано, выбе-

рем такое число β > 0, чтобы kα ≤ b(β). Отсюда для всех i ∈ N получаем неравенство

b(∥x(τ_i, 0, x₀)∥) ≤ b(β), из которого, поскольку функция b: R₊ → R₊ является неубывающей,

следует, что ∥x(τ_i, 0, x₀)∥ ≤ β при всех i ∈ N. Таким образом, показано, что решение x(t, 0, x₀)

системы (1) ограничено по Пуассону. Предложение доказано.

Пусть заданы произвольные натуральные числа n ≥ 2 и

1 ≤ m < n. Для любого

фиксированного элемента (t₀, x₀) ∈ R₊ × Rⁿ и соответствующего ему решения x(t, t₀, x₀) =

= (x₁(t, t₀, x₀), . . . , x_n(t, t₀, x₀))^т системы (1) рассмотрим отображение

y: R₊ × {(t₀,x₀)} → R^m, y(t,t₀,x₀) = (x₁(t,t₀,x₀),...,x_m(t,t₀,x₀))^т.

Напомним [3], что решение x(t, t₀, x₀) системы (1) называется y-ограниченным, если су-

ществует такое число β > 0, что для всех t ∈ R₊ выполнено условие ∥y(t, t₀, x₀)∥ ≤ β.

Определение 2. Решение x = x(t,t₀,x₀) системы (1) называется y-ограниченным по

Пуассону, если найдутся такие P-последовательность (τ_i)i∈N и число β > 0, что при всех

i ∈ N выполнено условие ∥y(τ_i,t₀,x₀)∥ ≤ β.

Очевидно, что если решение системы (1) является y-ограниченным, то оно будет и y-огра-

ниченным по Пуассону, поскольку в этом случае в качестве требуемой P-последовательности

можно взять любую P-последовательность. Несложно видеть, что приведённое определение

равносильно определению y-ограниченного по Пуассону решения, данному в работе [8].

Следующее утверждение является достаточным условием существования у системы (1) y-

ограниченных по Пуассону решений.

Предложение 2. Пусть выполнены все условия предложения 1 с заменой неравенства

(4) неравенством

∑

b(∥y∥) ≤

V_q(τ_i,x).

(5)

q=1

Тогда система (1) имеет по крайней мере одно y-ограниченное по Пуассону решение.

Доказательство. Дословно повторяя рассуждения из доказательства предложения 1 и

заменяя неравенство (4) неравенством (5), получаем неравенство

∑

b(∥y(τ_i, 0, x₀)∥) ≤

V_q(τ_i,x(τ_i,0,x₀)) ≤

ξ_q(τ_i,0,V (0,x₀)), i ∈ N.

q=1

После этого, дословно повторяя рассуждения из доказательства предложения 1 с заменой

x(t, 0, x₀) на y(t, 0, x₀), получаем при всех i ∈ N требуемое неравенство ∥y(τ_i, 0, x₀)∥ ≤ β. Та-

ким образом, показано, что решение x(t, 0, x₀) системы (1) y-ограничено по Пуассону. Пред-

ложение доказано.

Напомним теперь необходимые сведения о направляющих функциях и их индексах [6].

Непрерывно дифференцируемая функция G: Rⁿ → R называется направляющей функцией

или, более точно, r₀-направляющей функцией для системы (1), если выполнено следующее

условие:

(grad G(x), F (t, x)) > 0, t ≥ 0,

∥x∥ ≥ r₀.

(6)

Рассмотрим векторное поле grad G: Bⁿ(r₀) → Rⁿ, где Bⁿ(r₀) = {x ∈ Rⁿ : ∥x∥ ≤ r₀}. Из усло-

вия (6) видно, что векторное поле grad G: Bⁿ(r₀) → Rⁿ является невырожденным на ∂Bⁿ(r₀)

и, следовательно, определено вращение γ(grad G, ∂Bⁿ(r₀)) этого векторного поля. В моногра-

фии [6, с. 90-91] показано, что если для любого r > r₀ рассмотреть соответствующее векторное

поле grad G: Bⁿ(r) → Rⁿ, которое, очевидно, является невырожденным на ∂Bⁿ(r), то имеет

место равенство вращений γ(grad G, ∂Bⁿ(r)) = γ(grad G, ∂Bⁿ(r₀)). Индексом r₀-направляю-

щей функции G для системы (1) называется целое число ind (G), определяемое формулой

ind (G) = γ(grad G, ∂Bⁿ(r₀)) = γ(grad G, ∂Bⁿ(r)), r > r₀.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

311

В [6, с. 110-111] показано, что если для системы (1) имеется r₀-направляющая функция G,

то для любого r ≥ r₀ вращение векторного поля S₀ : B(r) → Rⁿ, S₀(x) = -F (0, x), где

F (t, x) - правая часть системы (1), и индекс r₀-направляющей функции G связаны между

собой равенством

γ(S₀, ∂Bⁿ(r)) = (-1)ⁿ ind G.

Неограниченной r₀-направляющей функцией для системы (1) называется любая r₀-направ-

ляющая функция G для этой системы, которая удовлетворяет условию G(x) → +∞ при

∥x∥ → +∞. В [6, с. 111-113] показано, что для любой неограниченной r₀-направляющей

функции G для системы (1) имеет место равенство ind (G) = 1. Из этого следует, что если

для системы (1) имеется неограниченная r₀-направляющая функция, то вращение указанного

выше векторного поля S₀ : Bⁿ(r) → Rⁿ вычисляется по формуле γ(S₀, ∂Bⁿ(r)) = (-1)ⁿ.

В терминах вектор-функций Ляпунова и направляющих функций сформулируем и дока-

жем следующее достаточное условие существования у системы (1) ограниченных по Пуассону

решений.

Теорема 1. Пусть для системы (1) существуют P-последовательность (τ_i)i∈N, неубы-

вающая функция b: R₊ → R₊, для которой b(r) → +∞ при r → +∞, и вектор-функция

Ляпунова V : R₊ ×Rⁿ → R^k с системой сравнения (2) такие, что при любых x ∈ Rⁿ и i ∈ N

справедливо неравенство (4). Кроме того, пусть существуют числа r₁ > r₀ и неограничен-

ная r₀-направляющая функция G для системы

dϱ

= g(t,ϱ), (t,ϱ) ∈ R⁺ × R^k, g(t,ϱ) = f(t,ϱ + r₁), r₁ = (r₁,... ,r₁)^т ∈ R^k,

(7)

где f(t, ξ) - правая часть системы (2), и при этом число r₁ удовлетворяет следующими

условиями:

1) G(ϱ) ≥ M₀ при всех ϱ ∈ R^k,

∥ϱ∥ = r₁, где M₀ = max G(ϱ);

∥ϱ∥≤r₀

2) Bkr1 (r₁) = {ξ ∈ R^k|∥ξ - r₁∥ ≤ r₁} ⊂ Im (V : {0} × Rⁿ → R^k).

Тогда система (1) имеет по крайней мере одно ограниченное по Пуассону решение.

Доказательство. Рассмотрим векторное поле L₀ : B^k(r₁) → R^k, определяемое формулой

L₀(ϱ) = -g(0,ϱ), где g(t,ϱ) - правая часть системы (7). Из сказанного выше следует равенство

γ(L₀, ∂B^k(r₁)) = (-1)^k. Таким образом, γ(L₀, ∂B^k(r₁)) = 0.

Покажем, что какова бы ни была точка ϱ₀ ∈ ∂B^k(r₁), правая часть Tr⁺(ϱ₀, t₀) траектории

Tr (ϱ(0, t₀, ϱ₀)) системы (7) не имеет в B^k(r₁) общих точек с левой частью Tr^-(ϱ₀, t₀) этой

траектории. Рассмотрим функцию ϕ(t) = G(ϱ(t, t₀, ϱ₀)), t ≥ 0, и её производную

d(G(ϱ(t, t₀, ϱ₀))

ϕ′(t) =

= (grad G(ϱ(t, t₀, ϱ₀)), g(t, ϱ(t, t₀, ϱ₀))), t ≥ 0.

Так как G является r₀-направляющей функцией для системы (7), то ϕ^′(t) > 0 для тех

t ≥ 0, при которых ∥ϱ(t,t₀,ϱ₀)∥ ≥ r₀. Очевидно, что ϕ(t₀) = G(ϱ₀) ≥ M₀ и ϕ(t) ≤ M₀ для

тех t ≥ 0, при которых ∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ ≤ r₀. Кроме того, очевидно, что ϕ(t) - возрастающая

функция для тех t ≥ 0, при которых ∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ ≥ r₀. Из этого вытекает, что для любой

точки ϱ(t, t₀, ϱ₀) ∈ Tr^-(ϱ₀, t₀) справедливо неравенство ϕ(t) ≤ ϕ(t₀).

Покажем теперь, что если ϱ(t, t₀, ϱ₀) ∈ Tr⁺(ϱ₀, t₀), то имеет место неравенство

∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ > r₀.

Предположим противное, т.е. что для некоторого t₁ > t₀ выполнено условие ∥ϱ(t₁, t₀, ϱ₀)∥ ≤ r₀

и, следовательно, имеет место неравенство ϕ(t₁) ≤ M₀. Так как ϕ(t₀) ≥ M₀ и ϕ^′(t₀) > 0, то

найдётся такое t₀ < t^′ < t₁, что ϕ(t^′) > M₀ и, следовательно, ∥ϱ(t^′, t₀, ϱ₀)∥ > r₀. Из этого в

силу непрерывности функции ∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ следует, что найдётся t^′ < t₂ ≤ t₁, для которого

∥ϱ(t₂, t₀, ϱ₀)∥ = r₀ и ∥ϱ(t, t0, ϱ0)∥ ≥ r0 при t′ < t ≤ t2. Очевидно, что ϕ(t2) ≤ M0, поскольку

∥ϱ(t₂, t₀, ϱ₀)∥ = r₀. Поскольку ∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ ≥ r₀ для t^′ ≤ t ≤ t₂, то ϕ^′(t) > 0 при t^′ ≤ t ≤ t₂

и, значит, ϕ(t^′) < ϕ(t₂). Из этого получаем ϕ(t₂) > M₀, что противоречит указанному выше

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

2^∗

312

ЛАПИН

неравенству ϕ(t₂) ≤ M₀. Таким образом, для любой точки ϱ(t, t₀, ϱ₀) ∈ Tr⁺(ϱ₀, t₀) имеем

∥ϱ(t, t₀, ϱ₀)∥ > r₀.

Отсюда получаем, что ϕ^′(t) > 0 при t > t₀ и, следовательно, ϕ(t) > ϕ(t₀) при t > t₀.

Итак, ϕ(t) ≤ ϕ(t₀) при 0 ≤ t ≤ t₀ и ϕ(t) > ϕ(t₀) при t > t₀. Это означает, что правая

часть Tr⁺(ϱ₀, t₀) траектории Tr (ϱ(0, t₀, ϱ₀)) системы (7) не имеет в B^k(r₁) общих точек с

левой частью Tr^-(ϱ₀, t₀) этой траектории. Проводя теперь рассуждения, аналогичные тем,

что были проведены в доказательстве теоремы 1, получим решение ϱ(t, 0, μ), где μ ∈ B^k(r₁),

системы (7), для которого при всех t ≥ 0 выполнено включение ϱ(t, 0, μ) ∈ B^k(r₁).

Так как система (7) получается из системы (2) с помощью замены переменных ξ = ϱ + r₁,

то для решения ξ(t, 0, μ+r₁) = ϱ(t, 0, μ)+r₁ системы (2) при всех t ≥ 0 выполнено включение

ξ(t, 0, μ + r₁) ∈ Bkr1 (r₁). Очевидно включение μ + r₁ ∈ Bkr1 (r₁). Из условия 2) теоремы следует,

что найдётся такая точка (0, x₀) ∈ {0} × Rⁿ, для которой V (0, x₀) = μ + r₁. Проводя теперь

рассуждения, аналогичные тем, что были проведены в доказательстве предложения 1, получим

ограниченность по Пуассону решения x(t, 0, x₀) системы (1). Теорема доказана.

Следующее утверждение является достаточным условием существования у системы (1) y-

ограниченных по Пуассону решений.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 с заменой неравенства (4) нера-

венством (5). Тогда система (1) имеет по крайней мере одно y-ограниченное по Пуассону

решение.

Доказательство. Дословно повторим рассуждения из доказательства теоремы 1 до мо-

мента рассмотрения решения ξ(t, 0, μ + r₁) = ϱ(t, 0, μ) + r₁ системы (2), для которого при всех

t ≥ 0 выполнено включение ξ(t,0,μ + r₁) ∈ Bkr1(r₁), где V (0,x₀) = μ + r₁ ∈ Bkr1(r₁). После

этого, проводя рассуждения аналогичные тем, которые проведены в доказательстве предло-

жения 2, получим, что решение x(t, 0, x₀) системы (1) y-ограничено по Пуассону. Теорема

доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации

(проект МК-211.2020.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.

2. Yoshizawa T. Liapunov’s function and boundedness of solutions // Funkcial. Ekvac. 1959. V. 2. P. 95-142.

3. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения относительно части пере-

менных. М., 1987.

4. Абдуллин Р.З., Анапольский Л.Ю., Воронов А.А., Земляков А.С., Козлов Р.И., Маликов А.И, Мат-

росов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. М., 1987.

5. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных

систем. М., 2001.

6. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М., 1966.

7. Лапин К.С. Равномерная ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных урав-

нений и вектор-функции Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 1. С. 40-50.

8. Лапин К.С. Вектор-функции Ляпунова, канонические области Красносельского и существование

ограниченных по Пуассону решений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 10. С. 1304-1309.

9. Звягин В.Г., Корнев С.В. Метод направляющих функций и его модификации. М., 2018.

10. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., 1980.

11. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., 1976.

12. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы

вариационного исчисления. М., 1980.

Мордовский государственный педагогический университет

Поступила в редакцию 04.10.2020 г.

им. М.Е. Евсевьева, г. Саранск

После доработки 29.12.2020 г.

Принята к публикации 22.01.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021