ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.313-325

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.35

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СИСТЕМ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ГРАНИЧНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ И ВНУТРЕННИМ

НЕЛИНЕЙНЫМ ФОКУСИРУЮЩИМ ИСТОЧНИКОМ

ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА РОСТА

Для систем одномерных полулинейных волновых уравнений с фокусирующим нелиней-

ным источником, имеющим переменный показатель роста, исследуется смешанная задача

с нелинейными диссипативными граничными условиями. Доказаны теоремы о разрушении

решений за конечный промежуток времени.

DOI: 10.31857/S0374064121030031

Введение. Для системы двух волновых уравнений

uitt - uixx = f_i(x,u₁,u₂),

0 < x < l, t > 0, i = 1,2,

(1)

в которых правые части имеют вид

f₁(x,u₁,u₂) = |u₁ + u₂|2p(x)(u₁ + u₂) + |u₁|p(x)-1|u₂|p(x)+1u₁,

f₂(x,u₁,u₂) = |u₁ + u₂|2p(x)(u₁ + u₂) + |u₁|p(x)+1|u₂|p(x)-1u₂,

где p(x) - заданная вещественнозначная функция, рассмотрим следующую начально-краевую

задачу:

u_i(0,t) = 0, t > 0,

(2)

uix(l,t) + |uit (l,t)|ri-¹uit(l,t) = 0, t > 0,

(3)

u_i(0,x) = ui0(x), uit(0,x) = ui1(x),

0<x<l,

(4)

здесь r₁, r2 - фиксированные вещественные числа, большие единицы, а u10(x), u20(x),

u₁₁(x), u₂₁(x) - заданные вещественнозначные функции.

Смешанные задачи с нестационарными граничными условиями возникают в различных

задачах механики и оптической физики (см., например, [1]).

Для нелинейных волновых уравнений значительное внимание уделялось изучению сме-

шанной задачи в случае постоянного показателя роста нелинейности, а также исследованию

нестационарных граничных условий (см., например, [2-7]). Более конкретно отметим, что во-

прос о глобальной разрешимости смешанной задачи для одномерного нелинейного волнового

уравнения с линейным нестационарным граничным условием изучен в работе [2], а вопрос о су-

ществовании глобального минимального аттрактора соответствующей динамической системы

рассмотрен в работе [3].

Смешанная задача для нелинейных волновых уравнений с постоянным показателем роста

нелинейности и нелинейным нестационарным граничным условием также достаточно подробно

исследована. Например, отметим работы [4, 5], в которых изучен вопрос о разрешимости таких

задач и установлено существование глобального минимального аттрактора соответствующей

динамической системы. В работах [6, 7] исследован эффект возникновения взрыва за конечное

время решений смешанной задачи для полулинейного одномерного волнового уравнения с

фокусирующей нелинейностью и нестационарным нелинейным граничным условием.

313

314

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

В последнее время большой интерес вызывают рассмотрение и анализ нелинейных мо-

делей, описываемых уравнениями с переменными показателями роста нелинейности [8-17].

Математические модели физических процессов, таких как поток электрореологических жид-

костей или жидкостей с температурно-зависимой вязкостью, фильтрация в пористых средах,

нелинейная вязкоупругость и многие другие сводятся к гиперболическим уравнениям с пере-

менными показателями роста нелинейности. Более подробную информацию об этих вопросах

можно найти в работах [10-18].

Следует, однако, отметить, что до сих пор имеется мало работ, в которых исследованы

гиперболические задачи с нелинейностями типа переменной экспоненты (см., например, [15-

18]). Среди этих работ выделим статью [18], в которой исследована начально-краевая задача

с граничным условием Дирихле для нелинейного волнового уравнения

u_tt - div (|∇u|r(x)-2∇u) + a|u_t|m(x)-2u_t = b|u|p(x)-2u, t > 0, x ∈ Ω,

где a > 0, b > 0, Ω ⊂ Rⁿ - ограниченная область с гладкой границей ∂Ω, а r(x), m(x),

p(x) - заданные вещественнозначные функции. Доказано, что при выполнении некоторых со-

отношений между этими функциями решение соответствующей начально-краевой задачи раз-

рушается за конечное время. Отметим, что эффект разрушения за конечный промежуток вре-

мени решений волновых уравнений с постоянным показателем роста нелинейности исследован

достаточно подробно (см., например, [19, 20]).

Цель данной работы состоит в нахождении условий, при выполнении которых решения

смешанной задачи (1)-(4) разрушаются за конечное время.

Статья имеет следующую структуру: в п. 1 приведены основные понятия и основные ре-

зультаты данной работы; в п. 2 рассмотрены необходимые сведения о пространствах Лебега с

переменным показателем; в п. 3 дано доказательство основной теоремы работы - теоремы 2;

в п. 4 представлена схема доказательства теоремы 3.

1. Основные результаты. В полуполосе Q = (0, l) × (0, +∞) рассматривается смешан-

ная задача (1)-(4), в которой функция p(x) непрерывна и удовлетворяет логарифмическому

условию Липшица, т.е. существует δ > 0 такое, что при любых x, y ∈ [0, l], для которых

|x - y| < δ, выполняется неравенство

|p(x) - p(y)| ≤ const /| log |x - y||.

(5)

Предположим, что

1 < min

p(x) = p₁, max

p(x) = p₂ < +∞.

(6)

0≤x≤l

Введём линейные пространства

H¹ = {v : v,v^′ ∈ L₂(0,l)},

0H¹ = {v : v ∈ H¹, v(0) = 0}.

В дальнейшем предполагаем, что имеют место включения

ui0(·) ∈₀H¹, ui1(·) ∈ L₂(0,l), i = 1,2.

(7)

Определим энергетическую функцию

∑

E(t) =

[∥uit (t, · )∥²² + ∥uix (t, · )∥²²] - G(u₁(t, · ), u₂(t, · )),

(8)

i=1

где

∫^l

∫

G(u₁, u₂) =

|u₁(x) + u₂(x)|2(p(x)+1) dx +

|u₁(x)u₂(x)|p(x)+1 dx.

2(p(x) + 1)

p(x) + 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

315

Используем стандартный метод сведения к задаче Коши для дифференциальных уравне-

ний с неограниченным оператором. C этой целью, следуя [5, 6], определим в пространстве

L₂(0,l) линейный оператор₀Δ следующим образом:

D(₀Δ) = {f : f ∈ H²(0,l), f(0) = 0, f^′(l) = 0},

0Δf(x) = f^′′(x), x ∈ (0,l),

где H²(0, l) = {v : v, v^′, v^′′ ∈ L₂(0, l)}.

Введём также оператор N : R → H², задав его условием α → h = Nα, где h^′′(x) = 0,

0 < x < l, h(0) = 0, h^′(l) = α, т.е. Nα = αx.

В пространстве H = ₀H¹×L₂(0, l)×₀H¹×L₂(0, l) зададим оператор A следующим образом:

D(A) = {w = (u₁, v₁, u₂, v₂) ∈ H, u_i + Ng(γv_i) ∈ D(₀Δ), i = 1, 2},

A(w) = (v₁,₀Δ(u₁ + Ng₁(γv₁)), v₂,₀Δ(u₂ + Ng₂(γv₂))),

где g_i(s) = |s|ri-¹s, i = 1, 2.

И, наконец, определим нелинейный оператор F (·) равенством

F (w) = (0, f₁(x, u₁, u₂), 0, f₂(x, u₁, u₂)),

здесь w = (u₁, v₁, u₂, v₂) ∈ H. Тогда задача (1)-(4) запишется в следующем виде:

w^′ = A(w) + F(w),

w(0) = w₀,

(9)

где w₀ = (u₁₀(x), u₁₁(x), u₂₀(x), u₂₁(x)), 0≤x≤l.

Несложно доказать, что -A(·) - максимально монотонный оператор, а действующий из

H в H оператор F(·) удовлетворяет локальному условию Липшица. Используя метод срез-

ки нелинейной части F (w), нетрудно доказать, что для любого w₀ ∈ H задача (9) имеет

единственное локально слабое решение (см., например, [4, 21, 22]). При этом слабые решения

являются по определению пределом сильных решений, т.е. решений задачи (9) с начальными

данными w0n ∈ D(A), n ∈ N, где w0n → w₀ в H при n → ∞ В итоге для задачи (1)-(4)

получим следующий результат.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда существует такое T^′ > 0, что

задача (1)-(4) имеет единственное слабое решение {u₁(·), u₂(·)}, где u_i(·) ∈ C([0, T^′];₀H¹),

u′it (·) ∈ C([0,T^′];L₂(0,l)), uit(l,t) ∈ Lri+1(0,T^′), i = 1,2, и справедливо тождество

∫

∑

E(t) +

|uiτ (l, τ)|ri+1 dτ = E(0).

(10)

i=1 0

В дальнейшем вместо выражения “слабое решение” будем употреблять термин “решение”.

Наша основная цель - исследовать вопрос отсутствия глобальных решений задачи (1)-(4)

при выполнении следующих условий:

r₁ ≤ r₂, r₂ < p₁ + 1.

(11)

В случае, когда начальная энергия отрицательна, т.е. когда

E(0) < 0,

(12)

получен следующий результат об отсутствии глобальных решений.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5)-(7), (11) и (12). Тогда решение задачи (1)-(4)

разрушается за конечное время.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

316

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Теперь рассмотрим задачу (1)-(4) в случае, когда начальная энергия, вообще говоря, не

является отрицательной. Для этого введём следующие обозначения:

)

∑

⁽1

α₀ =

∥ui0x (·)∥²², E₁ =

α₁,

2(p₁ + 1)

i=1

где α₁ = {(p₁ + 1)4p2 lp1+2}-1/p1 .

Теорема 3. Предположим, что выполнены условия (5)-(7), (11), а также неравенства

(13)

2p2

√p₁ + 1^,

α₁ < α₀ < 1/l,

(14)

E(0) < E₁.

(15)

Тогда решение задачи (1)-(4) разрушается за конечное время.

2. Необходимые сведения о пространстве Лебега с переменным показателем.

Чтобы доказать теоремы 2 и 3, сначала приведём определение пространства Лебега с перемен-

ным показателем и некоторые необходимые в работе свойства этих пространств в одномерном

случае.

Пусть l > 0, q(·) : [0, l] → [1, +∞) - измеримая функция. Введём линейное пространство

{

}

Lq(·)(0,l) = v : [0,l] → R - измеримая функция, ρq(·)(v) < +∞

где

∫l

ρq(·)(v) =

|v(x)|q(x) dx.

Известно, что величина ∥v∥q(·) = inf{λ > 0; ρq(·)(λ-1v) ≤ 1} определяет норму в Lq(·)(0, l).

Более того, если функция q(x) удовлетворяет условию (5) для q(x) = p(x), 0 ≤ x ≤ l, т.е.

|q(x) - q(y)| ≤ const /| log |x - y||, x, y ∈ [0, l],

|x - y| < δ,

(16)

а также условию (6), т.е.

1 < q₁ = min

q(x) ≤ q(x) ≤ max

q(x) = q₂ < +∞,

(17)

0≤x≤l

то Lq(·)(0, l) - банахово пространство (см. [10-14]).

Пространство Соболева с переменным показателем определяется следующим образом:

W1q(·)(0,l) = {v : v,∇v ∈ Lq(·)(0,l)},

∥v∥_W 1

(0,l)

= ∥v∥Lq(·)(0,l) + ∥∇v∥Lq(·)(0,l).

q(·)

Известно, что если для функции q(x) выполнены условия (16) и (17), то W1q(·)[0, l] ⊂ C[0, l]

(см. [10, 11]). В этом случае между нормой в Lq(·)(0, l) и величиной ρq(·)(v) имеют место

следующие соотношения (см. [11, 12]):

min{∥v∥q1Lq(·) (0,l),∥v∥L2q(·) (0,l)}≤ρq(·)(v)≤max{∥v∥L1q(·) (0,l),∥v∥L2q(·) (0,l)^}.

Если для q(x) выполнены условия (16), (17), то имеет место также следующее неравенство

Гёльдера:

∫

|u(x)v(x)| dx ≤ 2∥u∥Lq(·)(0,l)∥v∥Lq′(·)(0,l)^,

где u ∈ Lq(·)(0, l), v ∈ L_q′(·)(0, l) и q^′(x) = q(x)/(q(x) - 1), 0 ≤ x ≤ l (см. [11, 12]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

317

Лемма 1. Пусть для функции q(x) выполнены условия (16), (17). Тогда справедливо нера-

венство

∥v∥q1q₁ ≤ ρq(·)(v) + l(q2-q1)/q2 {ρq(·)(v)}q1/q2 .

(18)

Доказательство. Введя обозначения Ω_- = {x : |v(x)| ≤ 1}, Ω₊ = {x : |v(x)| > 1}, по-

лучаем

∫

ρq(·)(v) ≥

|v(x)|q2 dx +

|v(x)|q1 dx.

(19)

Ω_-

Ω₊

С другой стороны, применяя неравенство Гёльдера, имеем

∫

(∫

)q₁/q₂

|v(x)|q1 dx ≤ l(q2-q1)/q1

|v(x)|q2 dx

(20)

Ω_-

Из неравенств (19) и (20) следуют оценки

∫

ρq(·)(v) ≥

|v(x)|q1 dx и l(q2-q1)/q1 (ρq(·)(v))q1/q2 ≥

|v(x)|q1 dx,

Ω₊

Ω_-

складывая которые, приходим к неравенству (18). Лемма доказана.

Используя определение функционала ρq(·)(·), нетрудно доказать, что имеет место следую-

щая

Лемма 2. Пусть для функции q(x) выполнены условия (16), (17). Тогда при любом v ∈

∈₀H¹

^⋂Lq(·)(0,l) справедлива оценка

(21)

ρq(·)(v) ≤ l max{∥v∥q1C[0,l],∥v∥C2[0,l]^},

где ∥v∥C[0,l] = max |v(x)|.

0≤x≤l

В силу теорем вложения из оценки (21) вытекает, что

ρq(·)(v) ≤ l max{lq1/²∥v∥q1

,lq2/²∥v∥q2

(22)

0H¹

Рассмотрим функционал

∫l

∫

Ga,b(v1, v2) = a(x)|v1(x) + v2(x)|2q(x) dx + b(x)|v1(x)v2(x)|q(x) dx,

где 0 < a₁ ≤ a(x) ≤ a₂ < +∞,

0 < b₁ ≤ b(x) ≤ b₂ < +∞, x ∈ [0,l]. Если функция q(x)

непрерывна и min

q(x) > 0, то θq(·) = min

max{|t + 1|2q(x) + |t|q(x)} > 0.

0≤x≤l

t∈R

Лемма 3. Пусть для функции q(x) выполнены условия (16), (17). Тогда существуют

такие положительные числа c₁ и c₂, зависящие от a₁, a₂, b₁, b₂, θq(·), что при любых

v₁(·),v₂(·) ∈ L2q(·)[0,l] справедливы следующие неравенства:

∑

c₁

ρ2q(·)(v_i) ≤ G_a,b(v₁,v₂) ≤ c₂

ρ2q(·)(v_i).

i=1

Доказательство. Очевидно, что

{∫l

∫

}

min(a₁, b₁)

|v₁(x) + v₂(x)|2q(x) dx + 2

|v₁(x)v₂(x)|q(x) dx

≤ G_a,b(v₁,v₂) ≤

{∫l

∫

}

≤ max(a₂,b₂)

|v₁(x) + v₂(x)|2q(x) dx + 2

|v₁(x)v₂(x)|q(x) dx

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

318

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Для любых a, b ∈ R справедливы неравенства

|a + b|2q(x) ≤ 22q(x)-1(|a|2q(x) + |b|2q(x)) и

|ab|q(x) ≤ 2-1(|a|2q(x) + |b|2q(x)).

(23)

С другой стороны,

|a + b|2q(x) + 2|ab|q(x) = |b|2q(x){|1 + a/b|2q(x) + 2|a/b|q(x)} ≥ θ₀|b|2q(x), θ₀ = θq(·) > 0.

(24)

Аналогично получим неравенство

|a + b|2q(x) + 2|ab|q(x) ≥ θ₀|a|2q(x).

(25)

Очевидно, что утверждение леммы 3 является следствием неравенств (23)-(25).

3. Доказательство теоремы 2. Отметим, что в доказательствах теорем 2 и 3 все рас-

суждения проводятся для решений с гладкими начальными данными. Для начальных данных,

удовлетворяющих условиям (7), аналогичные утверждения получаются с помощью аппрокси-

мации их гладкими функциями и последующим предельным переходом. В доказательстве

величины c_i и c_kj для разных индексов i и k, j являются константами, не зависящими от

решения задачи (1)-(4).

Из тождества (10) следует оценка

E(t) ≤ E(0), t > 0.

(26)

Введём обозначение H(t) = -E(t). Из неравенств (12) и (26) вытекает, что

H(t) ≥ -E(0) > 0, t ∈ [0, ∞).

(27)

В силу леммы 3 существуют такие постоянные 0 < c₁ ≤ c₂, при которых выполняются нера-

венства

∑

c₁

ρ(u_i) ≤ G(u₁, u₂) ≤ c₂

ρ(u_i),

(28)

i=1

где ρ(u_i) = ρ2(p(·)+1)(u_i). Отсюда, учитывая оценку (27), получаем

∑

H(t) ≤ G(u₁, u₂) ≤ c₂

ρ(u_i).

(29)

i=1

Таким образом,

∑

ρ(u_i) ≥ c₃H(t) > -c₃E(0) > 0,

(30)

i=1

где c₃ = 1/c₂. В силу леммы 1 имеем

[

∑

(₂∑

)(p₁-p₂)/(p₂+1)^]

∥u_i∥2(p1+1)2(p

≤ ρ(u_i) 1+l(p2-p1)/(p2+1)

ρ(u_i)

(31)

+1)

i=1

Из (27) следует неравенство

](p2-p₁)/(p₂+1)

[₂∑

ρ(u_i)

≤ (-E(0))(p2 -p1)/(p2+1) = c₄,

i=1

учитывая которое в неравенстве (31), приходим к следующему утверждению.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

319

Лемма 4. Пусть выполнены условия (5), (6), (8) и (u₁, u₂) - решение задачи (1)-(4).

Тогда существует постоянная c₅ > 0 такая, что

∑

∥u_i∥2(p1+1)

≤c₅

ρ(u_i).

(32)

2(p₁+1)

i=1

Применяя неравенство Гёльдера с показателями

2(p₁ + 1)

η_j =

и η^′j =

r_j + 1

2p₁ + 1 - r_j

имеем следующее неравенство:

∫

(∫l

)(r_j +1)/(2p₁+1)

|u_j

|rj+1 dx ≤ l(2p1+1-rj)/(2p1+2)

|u_j |2(p1+1) dx

(33)

Из (32) и (33) вытекает, что

∫

[(₂∑

)(r₁+1)/(2p₁+2)

(₂∑

)(r₂+1)/(2p₁+2)^]

|u_j |rj +1

dx ≤ c₆

ρ(u_j )

(34)

j=1

j=1 0

Далее, используя формулу интегрирования по частям, получаем

∫

|u_j (l, 1)|rj +1 ≤

|u_j (x, t)|rj +1 dx + (r_j + 1)

|u_j (x, t)|rj |u_jx(x, t)| dx, j = 1, 2.

(35)

Если применить неравенства Гёльдера и Юнга с показателями α + 1 и (α + 1)/α, где

< α < 1,

2(p₁ + 1)

то будем иметь

∫

|u_j (x, t)|rj |u_jx(x, t)| dx ≤α+1

|u_j (x, t)|rj (α+1)/α dx + (α + 1)

|u_jx(x, t)|α+1 dx,

(36)

j = 1,2. В случае же, когда в качестве показателей в неравенстве Гёльдера выбраны числа

2(p₁ + 1)α

η_j =

и η^′j =

r_j(α + 1)

2(p₁ + 1)α - r_j (α + 1)

получаем неравенство

∫

|u_j (x, t)|rj (α+1)/α dx ≤ l(2(p1+1)α-rj (α+1))/(2(p1 +1)α) ×

(∫l

)(r_j (α+1))/(2(p₁ +1)α)

|u_j (x, t)|2(p1+1) dx

j = 1,2.

(37)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

320

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

А в случае, когда в качестве показателей в неравенстве Гёльдера взяты числа η = 2/(α + 1)

и η^′ = 2/(1 - α), приходим к неравенству

∫

(∫l

)(α+1)/2

|u_jx(x, t)|α+1 dx ≤ l(1-α)/2

|u_jx(x, t)|² dx

j = 1,2.

(38)

Отсюда, учитывая неравенства (28), имеем

∫

(₂∑

)(α+1)/2

|u_jx(x, t)|α+1 dx ≤ c₇(G(u₁, u₂))(α+1)/2

≤c₈

ρ(u_j )

(39)

j=1

j=1 0

В силу оценок (35)-(39) из (34) следует неравенство

)(r₁+1)/(2p₁+2)

)(r₂+1)/(2p₁+2)

∑

[(₂∑

(₂∑

|u_j (l, t)rj +1

|≤c₉

ρ(u_j )

j=1

(₂∑

)r₁(α+1)/(2(p₁ +1)α)

(₂∑

)r₂(α+1)/(2(p₁ +1)α)

(₂∑

)(α+1)/2]

ρ(u_j )

(40)

j=1

Из (29) и (40) вытекает неравенство

∑

∑(2∑

)σr_i [( ∑2

)(r₁+1)/(2p₁+2)

(₂∑

)(r₂+1)/(2p₁+2)

Hσri (t)|u_i(l,t)|ri+1≤c10

ρ(u_j)

ρ(u_j )

i=1

j=1

(₂∑

)r₁(α+1)/(2(p₁ +1)α)

(₂∑

)r₂(α+1)/(2(p₁ +1)α)

(₂∑

)(α+1)/2^]

ρ(u_j )

j=1

∑∑(∑2

)ξ_ik

(₂∑

)η_ik

(₂∑

)ξ_i 



=c₁₀

ρ(u_j )

(41)



^,

i=1 k=1

j=1

где

r_k + 1

(α + 1)r_k

α+1

ξ_ik = σr_i +

η_ik = σr_i +

ζ_i = σr_i +

i, k = 1, 2.

2(p₁ + 1)

2(p₁ + 1)α

Если

}

^{ 2(p₁ + 1) - r₂ - 1

2(p₁ + 1)α - r₂(α + 1)

1-α

p₁

0 < σ < σ₀ = min

2r₂(p₁ + 1)

2α(p₁ + 1)

2r₂

2(p₁ + 1)

то ξ_ik < 1, η_ik < 1, ζ_i < 1, i, k = 1, 2.

Справедлива следующая

Лемма 5. Пусть выполнены условия (5)-(7) и 2 < s < 2(p₁ +1). Тогда при любых u₁, u₂ ∈

∈₀H¹ справедливо неравенство

)

(₂∑

∑

[ρ(u_j )]s/(2p1+2) ≤ c₁₁

∥ukx ∥²² +

ρ(u_k)

(42)

k=1

В частности, верно также неравенство

)

(₂∑

∑

∥u_j ∥s2(p

≤c₁₂

∥ukx ∥²² +

∥u_k∥2(p1+1)

(43)

+1)

2(p₁+1)

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

321

Доказательство. Для доказательства леммы воспользуемся некоторыми идеями из дока-

зательства леммы 3.2 работы [18].

Если ρ(u_j ) > 1, j = 1, 2, то очевидно, что

(ρ(u_j ))s/(2p1+2) ≤ ρ(u_j ).

(44)

Рассмотрим теперь случай ρ(u_j ) ≤ 1, j = 1, 2. Предположим, что ∥u_j ∥C[0,l] ≤ 1. Тогда в

силу леммы 2 и теоремы вложения получаем

(ρ(u_j ))s/(2p1+2) ≤ ls/(2p1+2)∥u_j ∥sC[0,l] ≤ ls/(2p1+2)∥u_j ∥2C[0,l] ≤ l1+s/(2p1+2)∥u_jx∥²².

(45)

Если ∥u_j ∥C[0,l] >1, то в силу леммы 2 имеем ρ(u_j )≤l∥u_j ∥2(p2+1)C[0,l]. С другой стороны, ρ(u_j )≤1,

поэтому верно неравенство (ρ(u_j ))s/(2p1+2) ≤ (ρ(u_j ))2/(2p2+2), из которого и оценки (45) выте-

кает, что

(ρ(u_j ))s/(2p1+2) ≤ ls/(2p2+1)∥u_j ∥2C[0,l] ≤ l1+s/(2p2+2)∥u_jx∥²².

(46)

Таким образом, объединяя (45) и (46), получаем неравенство

(₂∑

)s/(2p₁+2)

∑

ρ(u_j )

≤c₁₃

∥u_jx∥²².

(47)

j=1

Неравенство (42) является следствием неравенств (44) и (47). Неравенство (43) доказыва-

ется аналогичным образом. Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы 2. Используя оценки (26) и (29), из (42) получаем

неравенство

(₂∑

)s/(2p₁+2)

∑

ρ(u_j )

≤c₁₄

ρ(u_j ),

j=1

в силу которого и неравенства (41) справедлива оценка

∑

Hσri (t)|u_i(l,t)|ri+1

≤c₁₅

ρ(u_j ).

i=1

j=1

Введём обозначение

∫l

∑

L(t) = H1-σ(t) + ε

u_i(x,t)uit (x,t)dx,

(48)

i=1 0

где (u₁(x, t), u₂(x, t)) - решение задачи (1)-(4). Вследствие (48) имеем

∫

∑

L^′(t) = (1 - σ)H^-σ(t)H^′(t) + ε

|uit (x, t)|² dx - ε

|uix (x, t)|² dx -

i=1 0

∑

-ε

|uit (l, t)|ri-¹uit (l, t)u_i(l, t) + εG₁(u₁, u₂),

(49)

i=1

где

∫^l

∫l

G₁(u₁,u₂) =

|u₁ + u₂|2(p(x)+1) dx + 2

|u₁u₂|p(x)+1 dx.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

322

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Из равенства (49) с учётом оценок (29) получаем, что

L^′(t) = (1 - σ)H^-σ(t)H^′(t) + 2ε(1 - η)(p₁ + 1)H(t) +

∫

∑

+ ε(1 + (1 - η)(p₁ + 1))

|uit |² dx + 2ε((1 - η)(p₁ + 1) - 1)

|uix |² dx -

i=1 0

∑

- 2ε(1 - η)(p₁ + 1)G(u₁, u₂) + εG₁(u₁, u₂) - ε

|uit (l, t)|r1-¹uit (l, t)u_i(l, t),

(50)

i=1

где 0 < η < 1. Используя лемму 2 для величины

G₂(u₁,u₂) = G₁(u₁,u₂) - 2(1 - η)(p₁ + 1)G(u₁,u₂),

будем иметь оценку

[∫l

∫

]

G₂(u₁,u₂) ≥ c₁₆

|u₁ + u₂|2(p(x)+1) dx +

|u₁u₂|p(x)+1 dx

≥

∫

∑

≥c₁₇

|u_j (x, t)|2(p(x)+1)

dx = c₁₇

ρ(u_j ).

(51)

j=1

j=1 0

Из представления (50) с учётом оценки (51) вытекает неравенство

L^′(t) ≥ (1 - σ)H^-σ(t)H^′(t) + 2ε(1 - η)(p₁ + 1)H(t) +

[∫l

∫

]

∑

+ε

|u_t|² dx +

|u_x|² dx +c17ε

ρ(u_j ) - εJ,

(52)

j=1

∑₂

где J =

|uit (l, t)|ri-¹uit (l, t)u_i(l, t).

i=1

Пусть δ = K-ri/(ri+1)H(σri)/(ri+1)(t), где K > 0. Тогда, применяя неравенства Гёльдера и

Юнга с показателями η^′i = r_i + 1 и η_i = (r_i + 1)/r_i, i = 1, 2, получаем

∑

r_i

|J| ≤

δ-(ri+1)/ri |uit(l,t)|ri+1 +

δri+1|uit (l,t)|ri+1 ≤

r_i

r_i + 1

i=1

-r₁

∑

r₂

≤

KH^-σ(t)H^′(t) +

c₁₈

ρ(u_j ).

(53)

r₁ + 1

r₁

j=1

Из неравенств (52) и (53) следует, что

(

)

εr₂

L^′(t) ≥

1-σ-

K H^-σ(t)H^′(t) + 2ε(1 - η)(p₁ + 1)H(t) +

r₁

∫

]

(

[₂∑

∑

)₂∑

K-r1

+c₁₉ε

|uit |² dx +

|uix |² dx +ε c20 -

c₂₁

ρ(u_j ).

r₁

j=1

i=1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

323

Отсюда, выбирая K > 0 достаточно большим и ε > 0 достаточно малым, получаем неравен-

ство

[

∫

]

∑

L^′(t) ≥ c₂₂ H(t) +

|uit |² dx +

|uix |² dx +

ρ(u_j ) ,

j=1

i=1 0

вследствие которого, учитывая лемму 4, имеем

[

]

∑

L^′(t) ≥ c₂₃ H(t) +

∥uit ∥²² +

∥uix ∥²² +

ρ(u_j )

≥

i=1

j=1

[

]

∑

≥ c₂₄ H(t) +

∥uit ∥²² +

∥uix ∥²² +

∥u_i∥2p1+1

≥ 0.

(54)

2p₁+1

i=1

С другой стороны, в силу (30) для достаточно малых ε > 0 верно неравенство L(0) > 0, из

которого и неравенства (54) следует, что

L(t) ≥ L(0) > 0.

(55)

Используя неравенство Гёльдера, будем иметь



∫



∑



∑



u_iuit dx



∥u_i∥₂∥uit ∥₂

≤lp1/(2p1+2)



≤

∥u_i∥2(p1+1)∥uit ∥2.

i=1

i=1 0

Далее, применяя неравенства Коши и Юнга с показателями

2(1 - σ)

μ₁ =

> 1 и μ₂ = 2(1 - σ) > 1,

1 - 2σ

получаем неравенство

(∫l

)1/(1-σ)

[

]

∑

u_iuit dx

≤c₂₅

∥u_i∥μ1/(1-σ)2(p

∥uit ∥μ2/(1-σ)

(56)

+1)

i=1

Так как 0 < σ < σ₀ ≤ p₁/(2p₁ + 2), то, учитывая неравенства (43), (48) и (56), заключаем, что

справедлива оценка

[

(∫l

)1/(1-σ)]

L1/(1-σ)(t) ≤ c₂₆ H(t) +

u_iuit dx

≤

[

]

∑

≤ c₂₇ H(t) +

∥uit ∥²² +

∥uix ∥²² +

∥u_i∥2(p1+1)

(57)

2(p₁+1)

i=1

Сравнивая (54) и (57), будем иметь L^′(t) ≥ c₂₈[L(t)]1/(1-σ), t > 0. Отсюда следует неравенство

[

](σ-1)/σ

L(t) ≥

[L(0)]-σ/(1-σ) - c₂₈t

1-σ

Очевидно, что lim L(t) = +∞, где

t→T^∗

1-σ

T^∗ =

σc₂₈[L(0)]σ/(σ-1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

324

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

4. Схема доказательства теоремы 3. В силу определения (8) функции E(t) имеем

неравенство

∑

E(t) ≥

∥uix (t, · )∥²² - G(u₁(t, · ), u₂(t, · )).

i=1

Отсюда, используя оценки (22) и (29), получаем

}

{₂∑

E(t) ≥

α - 22p2-¹l max

(lα)p1+1,(lα)p2+1

= g(α),

i=1

∑₂

где α =

∥uix (t, · )∥²². Если 0 ≤ α ≤ l-1, то g(α) = h(α), где h(α) = α/2 - 22p2-¹l(lα)p1+1.

i=1

Приведём следующие простые свойства h(α):

h(0) = 0,

lim

h(α) = -∞, h^′(α₁) = 0,

α→+∞

где α₁ = ((p₁ + 1)4p2 lp1+2)-1/p1 , h^′(α) > 0, если 0 ≤ α ≤ α1, и h′(α) < 0, если α > α1.

В силу (14) lα₁ < 1.

Лемма 6. Пусть выполнены условия (5)-(7) и (13)-(15). Тогда существует число α₂

такое, что α₁ < α₂ < l-1 и

∑

∥uix (t, · )∥² ≥ α₂.

(58)

i=1

Доказательство. Неравенство (58) докажем, предположив противное, т.е. допустив, что

∑₂

∥uix (t₀, · )∥2 < α2 в некоторой точке t0 > 0. Так как h(α0) = g(α0) ≤ E(0) = g(α2)

i=1

и g(α) - возрастающая функция на (0,α₁), то α₀ ≥ α₂. В силу непрерывности функции

∑₂

∥uix (t, · )∥² существует такая точка t₁, что α₁ <

∥uix (t₁, · )∥² < α₂. Тогда имеем

i=1

)

(₂∑

E(t₁) ≥ h

∥uix (t₁, · )∥²

> h(α₂) = E(0).

i=1

Полученное неравенство противоречит неравенству (26). Таким образом, справедливо нера-

венство (58). Лемма доказана.

Из неравенств (26) и (58) вытекает, что

∑

G(u₁, u₂) ≥

∥uix (t, · )∥² - E(t) ≥

∥uix (t, · )∥² - E(0) ≥

α₂ -g(α₂) = 22p2-¹lp1+2αp1+12.

i=1

Сравнив (55) и (58), получим оценку

G(u₁(t, · ), u₂(t, · )) ≥ 22p2-¹lp1+2αp1+12.

(59)

Теперь докажем теорему 3. Воспользовавшись неравенством (58), будем иметь

]

∑

^[1

E₁ -

∥uit (t, · )∥² +

∥uix(t, · )∥2

≤E₁ -

α₂ ≤ E₁ -

α₁ = -

α₁ < 0.

2(p₁ + 1)

i=1

∑₂

Отсюда следует, что 0 < H(0) ≤ H(t) ≤ G(u₁, u₂) ≤ 22p2-¹

ρ(u_i), где H(t) = E₁ - E(t).

i=1

Таким образом, при выполнении условий теоремы 3 для решений задачи (1)-(4) справедливы

оценки (29).

Далее доказательство теоремы 3 представляет собой повторение доказательства теоремы 2

с небольшим изменением. Следует только отметить, что при установлении неравенства (54),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

325

как и в доказательстве теоремы 2, в неравенстве (49) мы должны работать с выражением

2ε(1 - η)(p₁ + 1)H(t). При этом, в отличие от доказательства теоремы 2, дополнительно появ-

ляется слагаемое -εE₁. Чтобы провести дальнейшую корректировку доказательства, нужно

учесть определение величины E₁ и использовать неравенство -εE₁ ≥ -εMG(u₁(t, · ), u₂(t, · )),

где M = ε(1 - η)p₁(α₁/α₂)p1+1, которое следует из оценки (59) и определения числа α₁.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rauch J. Hyperbolic Partial Differential Equations and Geometric Optics. Rhode Island, 2012.

2. Алиев А.Б. Смешанная задача с диссипацией на границе для квазилинейных гиперболических урав-

нений второго порядка // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. № 6. С. 1289-1292.

3. Алиев А.Б., Ханмамедов А.Х. О существовании минимального глобального аттрактора для нели-

нейного волнового уравнения с антидиссипацией в области и диссипацией на части границы // Диф-

ференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 3. С. 326-330.

4. Chueshov I., Eller M., Lasiecka I. On the attractor for a semilinear wave equation with critical exponent

and nonlinear boundary dissipation // Comm. in Partial Differ. Equat. 2002. V. 27. P. 1901-1951.

5. Chueshov I., Lasiecka I. Long-time behavior of second order evolution equations with nonlinear damping

// Memoirs of Amer. Math. Soc. 2008. V. 195 (912). P. 1-183.

6. Hongyinping Fenga, Shengjia Li, Xia Zhi. Blow-up solutions for a nonlinear wave equation with boundary

damping and interior source // Nonlin. Anal. 2012. V. 75. P. 2273-2280.

7. Wenjun Liu, Yun Sun, Gang Li. Blow-up of solutions for a nonlinear wave equation with nonnegative

initial energy // Electr. J. of Differ. Equat. 2013. V. 2013. № 115. P. 1-8.

8. Жиков В.В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного

исчисления // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1983. Т. 47. № 5. С. 961-998.

9. Жиков В.В. Оценки типа Мейерса для решения нелинейной системы Стокса // Дифференц. урав-

нения. 1997. Т. 33. № 1. С. 107-114.

10. Ruzicka M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. Lect. Notes in Math. V. 1748.

Berlin, 2000.

11. Lars D., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents.

Lect. Notes Math. Springer Verlag, 2017.

12. Almeida A., Samko S. Embeddings of variable Hajlasz-Sobolev spaces into Holder spaces of variable

order // J. Math. Anal. Appl. 2009. V. 353. № 2. P. 489-496.

13. Fan X., Zhao D. On the spaces Lp(x) and Wm,p(x) // J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 263. № 2. P. 424-446.

14. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces and Lp(x) and Wk,p(x) // Czechoslovak Math. J. 1991. V. 41.

P. 592-618.

15. Antontsev S. Wave equation with p(x, t)-laplacian and damping term: blow-up of solutions // C.R.

Mecanique. 2011. V. 339. P. 751-755.

16. Antontsev S. Wave equation with p(x, t)-laplacian and damping term: existence and blow-up // Differ.

Equat. Appl. 2011. V. 3. № 4. P. 503-525.

17. Sun L., Ren Y., Gao W. Lower and upper bounds for the blow-up time for nonlinear wave equation with

variable sources // Comput. Math. Appl. 2016. V. 71. № 1. P. 267-277.

18. Messaoudi S.A., Talahmeh A.A. Blow-up in solutions of a quasilinear wave equation with variable-

exponent nonlinearities // Math. Meth. Appl. Sci. 2017. P. 1-11.

19. Корпусов М.О. О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений с положительной

энергией // ТМФ. 2012. Т. 171. № 3. С. 355-369.

20. Bilgin B.A., Kalantarov V.K. Blow up of solutions to the initial boundary value problem for quasilinear

strongly damped wave equations // J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 403. № 1. P. 89-94.

21. Showalter R.E. Monotone Operators in Banach Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations.

Mathematical Surveys and Monographs. V. 49. Amer. Math. Soc., 1997.

22. Brezis H. Operateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions Dans les Espaces de

Hilbert. Amsterdam, 1973.

Институт математики и механики НАН Азербайджана,

Поступила в редакцию 19.11.2020 г.

г. Баку,

После доработки 19.11.2020 г.

Азербайджанский технический университет,

Принята к публикации 22.01.2021 г.

г. Баку,

Бакинский государственный университет, Азербайджан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021