ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.364-374

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:624.04

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ С УЧЁТОМ

ЕЁ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения при изгибе исследу-

ются задачи с начальными условиями и с различными граничными условиями на концах.

Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность решения по-

ставленных четырёх начально-граничных задач. В случае шарнирного закрепления концов

доказаны теоремы о существовании и об устойчивости решения задачи в классах регуляр-

ных и обобщённых решений.

DOI: 10.31857/S0374064121030079

1. Постановка задач. Изгибные поперечные колебания однородных тонких упругих стер-

жней и балок с учётом их вращательного движения при изгибе описываются дифференциаль-

ным уравнением в частных производных четвёртого порядка [1, § 61; 2, с. 168-181; 3, с. 317-321]

Lu ≡ u_tt + α²u_xxxx - β²u_xxtt - γ²u_xx = F(x,t),

(1)

где u(x, t) - смещение точек балки в момент времени t, α² = EJ/(ρS), β² = r², γ² =

= T₀/ρ, F(x,t) - непрерывная внешняя сила, рассчитанная на единицу длины балки, E -

модуль упругости материала, ρ - линейная плотность балки, S - площадь поперечного сечения

балки, J = r²S - момент инерции сечения относительно своей горизонтальной оси, r - радиус

инерции относительно прямой, проходящей через ось и перпендикулярной к плоскости изгиба,

T₀ - сила натяжения, приложенная к концам балки.

Отметим, что многие задачи о колебаниях стержней и балок имеют важное прикладное

значение в строительной механике, теории устойчивости вращающихся валов, вибрации ко-

раблей и в других областях; эти задачи изучены в известных работах [4, гл. 7; 5, с. 141-143;

6, с. 387-390; 7, с. 127-129; 8, с. 45; 9, с. 18-53; 10, с. 149-189; 11, с. 22-69] и др.

Для определения колебания (смещения) u(x, t) точек балки длины l нужно задать гра-

ничные условия на её концах x = 0 и x = l. Вид граничных условий зависит от способа

закрепления соответствующего конца. Если оба конца подпёрты, т.е. могут свободно вращать-

ся вокруг точки закрепления, то в этом случае граничные условия имеют вид

u(0, t) = u_xx(0, t) = u(l, t) = u_xx(l, t) = 0,

0≤t≤T.

(2)

В случае балки с защемлёнными концами выполняются условия

u(0, t) = u_x(0, t) = u(l, t) = u_x(l, t) = 0,

0≤t≤T.

(3)

Если оба конца свободны, то справедливы следующие граничные условия:

u_xx(0,t) = 0, β²u_ttx(0,t) - α²u_xxx(0,t) = 0,

u_xx(l,t) = 0, β²u_ttx(l,t) - α²u_xxx(l,t) = 0,

0≤t≤T.

(4)

Если один конец жёстко закреплён, а другой свободен, то тогда, согласно (3) и (4), имеем

условия

u(0, t) = u_x(0, t) = 0, u_xx(l, t) = 0, β²u_ttx(l, t) - α²u_xxx(l, t) = 0,

0≤t≤T.

(5)

Возможны и другие многочисленные случаи задания граничных условий.

364

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

365

Начальные условия такие же, как и в случае уравнения колебаний струны:

u(x, t)|t=0 = ϕ(x), u_t(x, t)|t=0 = ψ(x),

0≤x≤l.

(6)

Уравнение (1) рассмотрим в области D = {(x, t) : 0 < x < l,

0 < t < T}, где l и T -

заданные положительные числа, и поставим следующие задачи.

Начально-граничные задачи. Найти определённую в области D функцию u(x, t) со

следующими свойствами:

u(x, t) ∈ C4,2x,t(D),

(7)

Lu(x, t) ≡ F (x, t), (x, t) ∈ D,

(8)

которая удовлетворяет начальным условиям (6) и одному из граничных условий (2)-(5), где

F (x, t), ϕ(x) и ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции.

Отметим, что в работах [1, § 61; 2, с. 168-181; 3, с. 317-321] и других при помощи подбора

частных решений найдены собственные частоты и форма собственных колебаний для урав-

нения (1) при F (x, t) ≡ 0 с граничными условиями (2) или (3). Но вопросы о построении

решений в явной форме и обосновании корректности поставленных выше задач не изучены.

В работах [12-14] нами изучены поставленные задачи для уравнения (1), когда β = 0 и γ = 0.

В настоящей работе для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения

при изгибе исследуются задачи с начальными условиями и с различными граничными услови-

ями на концах. Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность

решения поставленных в работе четырёх начально-граничных задач. В случае шарнирного за-

крепления концов доказаны теоремы существования и устойчивости решения задачи в классах

регулярных и обобщённых решений.

2. Энергетическое неравенство. Единственность решения. Задачу с условиями (6)-

(8) и (N), где N принимает одно из значений 2, 3, 4 и 5, назовём задачей N -1, т.е., например,

задачу с условиями (6)-(8), (3) будем называть задачей 2.

Теорема 1. При любом t ∈ [0, T ] для решения задач 1 и 2 справедливо неравенство

∫

(u2t + α²u2xx + γ²u2x + β²u2tx) dx ≤

[∫ l

∫∫

]

≤ e^T (ψ²(x) + α²ϕ′′2(x) + γ²ϕ′2(x) + β²ϕ′2(x))dx +

F²(x,t)dxdt ,

(9)

а для решения задач 3 и 4 - неравенство (9) при γ = 0.

Отметим, что интеграл

∫

E₀(t) =

(ρSu2t + EJu2xx + T Su2x + r²ρu2tx) dx =

∫

= ρS

(u2t + α²u2xx + γ²u2x + β²u2tx) dx = ρSE(t)

представляет собой закон сохранения энергии свободных колебаний однородной балки при

нулевых граничных условиях (2)-(5).

Действительно, кинетическая энергия движущейся балки составляется из поступательно-

го движения элементов dx параллельно смещению u(x, t) и из вращения тех же элементов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

366

САБИТОВ

вокруг осей, проходящих через центры инерции этих элементов перпендикулярно к плоскости

колебаний. Первая часть выражается интегралом

∫

ρSu2t(x, t) dx.

Чтобы получить выражение для второй части, отметим, что угловое смещение элемента dx

равно u_x, поэтому его угловая скорость равна u_xt. Квадрат этой величины надо умножить

на половину момента инерции элемента dx, т.е. на (1/2)ρSr² dx, и проинтегрировать затем

по отрезку [0, l]. Следовательно, кинетическая энергия колебаний балки в момент времени t

находится по формуле

∫

K(t) =

(ρSu2t + ρSr²u2xt) dx.

Если поперечные колебания балки подвержены продольному натяжению T₀, то потенци-

альная энергия состоит из двух частей. Первая из них зависит от жёсткости, а вторая - от

сопротивления растяжению и подобна потенциальной энергии струны, т.е. равна

∫

ST₀u2x dx.

Первая часть на основании работы [13] определяется интегралом

∫

ESu2xx dx.

Значит, потенциальная энергия колебаний балки в момент времени t находится по формуле

∫

Π(t) =

(ESu2xx + ST₀u2x) dx.

Следовательно, интеграл E₀(t) = K(t) + Π(t) представляет собой полную энергию свободных

поперечных колебаний балки.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим тождество

u_tLu =

(u2t + α²u2xx + γ²u2x + β²u2xt)^′t + (α²u_tu_xxx - α²u_xtu_xx - γ²u_xu_t - β²u_tu_xtt)^′x,

интегрируя которое по области D_τ = D

^⋂ {t < τ}, где 0 < τ ≤ T, получаем

∫∫

E(τ) - E(0) + J₁ + J₂ =

F (x, t)u_t dx dt,

(10)

Dτ

здесь

∫τ

J₁ =

[α²(u_tu_xxx - u_xtu_xx) - γ²u_xu_t - β²u_tu_xtt]|x=l dt,

∫τ

J₂ = -

[α²(u_tu_xxx - u_xtu_xx) - γ²u_xu_t - β²u_tu_xtt]|x=0 dt.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

367

Пусть выполнены граничные условия (2), т.е. u = u_xx = 0 при x = 0 и x = l. Тогда

u_t = u_xxt = 0 при x = 0 и x = l, поэтому интегралы J₁ и J₂ равны нулю.

Если имеют место граничные условия (3), т.е. u = u_x = 0 при x = 0 и x = l, то u_t =

= u_xt = 0 при x = 0 и x = l. Тогда интегралы J₁ и J₂ также равны нулю.

Пусть выполнены условия (4), т.е. u_xx = 0 и β²u_ttx - α²u_xxx = 0 при x = 0 и x = l. Тогда

u_t = u_xxt = 0 при x = 0 и x = l. В этом случае справедливы равенства

∫

J₁ = -γ²

u_xu_t|x=l dt, J₂

=γ²

u_xu_t|x=0 dt,

(11)

а значит, интегралы J₁ и J₂ равны нулю только в том случае, когда γ = 0.

Если имеют место граничные условия (5), т.е. u = u_x = 0 при x = 0 и u_xx = 0 и β²u_ttx -

- α²u_xxx = 0 при x = l, то J₂ = 0, а интеграл J₁ выражается первым равенством в (11) и

поэтому равен нулю только тогда, когда γ = 0.

Тогда из равенства (10) вытекает, что

∫∫

∫

E(τ) ≤ E(0) +

F²(x,t)dxdt +

u2t dxdt = A +

dt u2t dx ≤ A + E(t) dt. (12)

Dτ

Отсюда, следуя [15, с. 77], получаем неравенство

∫T

A + E(t)dt ≤ Ae^T,

из которого и неравенства (12) следует оценка (9). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть правая часть уравнения (1) равна нулю, т.е. F (x, t) ≡ 0. Тогда если

задачи 1 или 2 имеют решение, то при любом t ∈ [0, T ] выполняется равенство

∫

E(t) = E(0) =

[ψ²(x) + α²ϕ′′2(x) + γ²ϕ′2(x) + β²ψ′2(x)] dx,

(13)

а если имеют решение задачи 3 или 4 - равенство (13) при γ = 0.

Другими словами, равенство (13) означает, что полная энергия свободных колебаний одно-

родной балки остаётся в течении всего процесса колебаний постоянной и равной её начальной

энергии.

Справедливость равенства (13) непосредственно вытекает из соотношения (10).

Следствие 2 (теорема единственности). Если существует функция u(x, t), удовлетво-

ряющая условиям (6)-(8) и одному из граничных условий (2)-(5), то она единственна. При

этом в случае задач 3 и 4 коэффициент γ = 0.

Доказательство. Пусть существуют две функции u₁(x, t) и u₂(x, t), удовлетворяющие

условиям следствия 2. Тогда их разность u₁(x, t) - u₂(x, t) = u(x, t) принадлежит классу (7),

удовлетворяет однородному уравнению Lu ≡ 0 в D, нулевым начальным условиям u(x, 0) =

= u_t(x,0) ≡ 0 и одному из граничных условий (2)-(5). Для такого решения в силу равенства

(13) имеем

∫

E(t) =

(u2t + α²u2xx + γ²u2x + β²u2xt) dx = 0

при любом t ∈ [0, T ]. Но это равенство возможно только тогда, когда u_t ≡ 0, u_xx ≡ 0, u_x ≡

≡ 0, u_xt ≡ 0 в области D. Первые два из этих тождеств означают, что u(x, t) = a₁x + a₂,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

368

САБИТОВ

где a₁ и a₂ - произвольные постоянные. По условию функция u(x, t) удовлетворяет одному

из граничных условий (2)-(5) и нулевым начальным условиям. Из граничных условий (2),

(3) и (5) следует, что a₁ = a₂ = 0. Функция u(x, t) = a₁x + a₂ удовлетворяет граничным

условиям (4) при любых a₁ и a₂. Но из начального условия следует, что при любом x ∈ [0, l]

справедливо равенство u(x, 0) = a₁x + a₂ = 0, которое возможно только при a₁ = a₂ = 0.

Таким образом, u(x, t) ≡ 0 в D. Следствие доказано.

Для примера построим решение задачи 1, т.е. задачи (6)-(8), (2).

3. Собственные колебания балки, шарнирно опирающейся на концы. Разделяя

переменные u(x, t) = X(x)T (t) в уравнении (1) при F (x, t) ≡ 0, получаем относительно

функции X(x) следующую спектральную задачу:

X⁽⁴⁾(x) - (a² + λβ²)X^′′(x) + λX(x) = 0,

0<x<l,

(14)

X(0) = X^′′(0) = 0, X(l) = X^′′(l) = 0,

(15)

где a² = γ²/α². Для построения решения этой спектральной задачи запишем для уравне-

ния (14) его характеристическое уравнение

k⁴ - (a² + λβ²)k² + λ = 0,

(16)

которое имеет корни k₁ =

√t₁, k₂ = -√t₁, k₃ =√t₂, k₄ = -√t₂, где

√

t_j = (a² + λβ² + (-1)j+1

(a² + λβ²)² - 4λ)/2 ≡ (a² + λβ² + (-1)j+1

D(λ))/2, j = 1, 2.

Если λ = 0, то k₁ = a, k₂ = -a, k₃ = k₄ = 0 и общее решение уравнения (14) имеет вид

X(x) = C₁e^ax + C₂e^-ax + C₃x + C₄,

(17)

где C_i, i = 1, 4, - произвольные постоянные. Удовлетворяя общее решение (17) граничным

условиям (15), получаем X(x) ≡ 0.

Исследуем дискриминант D(λ) на знак. Если (aβ)² > 1, то D(λ) > 0 при любом λ ∈

∈ R. Когда (aβ)² = 1 выражение D(λ) > 0 при всех λ, кроме значения λ = 1/β⁴, где

D(1/β⁴) = 0. Если (aβ)² < 1, то D(λ) имеет вид D(λ) = β⁴(λ - λ₁)(λ - λ₂), где

√

λ_j = (1 + (-1)j+1

1 - (aβ)²)²/β⁴, j = 1,2,

т.е. D(λ) ≥ 0, если λ ≥ λ₁ и λ ≤ λ₂, и D(λ) < 0, если λ₂ < λ < λ₁. Тогда при λ < 0 (в этом

случае D(λ) > 0 при любых a > 0 и β > 0) корни имеют разные знаки: t₁ > 0 и t₂ < 0.

Если λ ∈ (0, λ₂]

^⋃ [λ₁, +∞) корни t₁ и t₂ положительны. При λ ∈ (λ₂, λ₁) корни t₁ и t₂

являются комплексно сопряжёнными между собой числами.

В случае, когда числа t₁ и t₂ положительны, соответствующие корни характеристического

уравнения (16) являются вещественными: k₂ < k₄ < 0 < k₃ < k₁. Тогда общее решение

уравнения (14) определяется формулой

X(x) = C₁ek1x + C₂ek2x + C₃ek3x + C₄ek4x.

Подставив это общее решение в граничные условия (15), получим линейную однородную сис-

тему относительно C_i, i = 1, 4, с определителем, отличным от нуля. Отсюда следует, что все

C_i = 0, поэтому в этом случае X(x) ≡ 0.

Теперь рассмотрим случай, когда λ ∈ (λ₂, λ₁), т.е. числа t₁ и t₂ комплексно сопряжены

между собой:

√

t_j = (a² + (-1)j+1λβ² + i

|D(λ)|)/2 = c + (-1)j+1id, j = 1, 2,

√

где c = (a² + λβ²)/2, d =

|D(λ)|/2 =

4λ - (a² + λβ²)²/2 =

λ-c².

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

369

Извлекая корень квадратный из чисел t₁ и t₂, будем иметь

√

k1,2 = ±

c + id = ±(ν + iω) и k3,4 = ±

c - id = ±(ν - iω),

где

√

ν =

(

c² + d² + c)/2, ω =

(

c² + d² - c)/2.

Тогда общее решение уравнения (14) находится по формуле

X(x) = C₁e^νx cos(ωx) + C₂e^νx sin(ωx) + C₃e^-νx cos(ωx) + C₄e^-νx sin(ωx).

(18)

Удовлетворяя общее решение (18) граничным условиям X(0) = X^′′(0) = 0 из (15), получаем,

что C₃ = -C₁ и C₄ = C₂. Тогда функция (18) принимает вид

X(x) = 2C₁ sh(νx) cos(ωx) + 2C₂ ch(νx) sin(ωx).

Подчинив эту функцию граничным условиям X(l) = X^′′(l) = 0, получаем следующую систему

относительно C₁ и C₂ :

C₁ sh(νl)cos(ωl) + C₂ ch(νl)sin(ωl) = 0,

C₁[(ν²-ω²)sh(νl)cos(ωl)-2νω ch(νl)sin(ωl)]+C₂[(ν²-ω²)ch(νl)sin(ωl)+2νω sh(νl)cos(ωl)] = 0.

Определитель этой системы равен -2νω(sin²(ωl) + sh²(νl)) и, значит, отличен от нуля; сле-

довательно, она имеет только нулевое решение C₁ = C₂ = 0. Поэтому, как и в предыдущем

случае, X(x) ≡ 0.

Остаётся рассмотреть случай, когда λ < 0. В этом случае t₁ > 0 и t₂ < 0. Тогда k₁ =

√t₁ > 0, k₂ = -√t₁ < 0, k₃ = i^√|t₂| = iδ, k₄ = -iδ, и общее решение уравнения (14)

определяется по формуле

X(x) = C₁ek1x + C₂ek2x + C₃ cos(δx) + C₄ sin(δx).

(19)

Тогда, исходя из граничных условий (15), получаем систему

C₁ + C₂ + C₃ = 0,

C₁k²¹ + C₂k²² - δ²C₃ = 0,

C₁ek1l + C₂ek2l + C₃ cos δl + C₄ sinδl = 0,

C₁k²¹ek1l + C₂k²²ek2l - δ²C₃ cos δl - δ²C₄ sinδl = 0.

(20)

Определитель этой системы равен



k²¹

k²²

-δ²



Δ=



⁼

ek1l

ek2l

cos δl

sin δl



_k2ek1l k22ek2l

-δ² cos δl

-δ² sin δl



= -sinδl

k²¹

k²²

-δ²



- δ2 sinδl

k²¹

k²²

-δ²

₌



k²¹ek1l k²²ek2l

-δ² cos δl

ek1l ek2l cosδl

= sin δl(ek1l - ek2l)[k²¹k²² + (k²¹ + k²²)δ² + δ⁴].

√

Отсюда очевидно, что Δ = 0 только тогда, когда sin(δl) = 0, т.е. δl =

|t₂|l = πk, k ∈ N.

С учётом значения t₂ найдём собственные значения

(μ2ka)² + μ4k

πk

λ_k = -

μ_k =

(21)

1 + (μ_kβ)²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

370

САБИТОВ

Поскольку sin(δl) = 0, то cos(δl) = ±1 и система (20) принимает вид

C₁ + C₂ + C₃ = 0,

C₁k²¹ + C₂k²² - δ²C₃ = 0,

C₁ek1l + C₂ek2l ± C₃ = 0,

C₁k²¹ek1l + C₂k²²ek2l ± δ²C₃ = 0.

Из первого её уравнения найдём значение C₃ = -C₁ - C₂, подставив которое в остальные

уравнения, приходим к системе

C₁(k²¹ + δ²) + C₂(k²² + δ²) = 0,

C₁(ek1l ∓ 1) + C₂(ek2l ∓ 1) = 0,

C₁(k²¹ek1l ∓ δ²) + C₂(k²²ek2l ∓ δ²) = 0.

Так как k²¹ = k²² = t₁, то из первого уравнения полученной системы вытекает равенство C₁ +

+ C₂ = 0, т.е. C₂ = -C₁. Тогда из второго её уравнения следует, что C₁(ek1l - ek2l) = 0, а

это равенство возможно только при C₁ = 0. Поэтому C₁ = C₂ = C₃ = 0, и тогда из (19) при

условии C₄ = 0 находим соответствующую систему собственных функций

√

X_k(x) =

sin(δx) =

sin(

|t₂|x) =

sin(μ_kx), k ∈ N.

(22)

Система функций (22) ортонормирована и полна в L₂[0, l]. Введём функции

∫l

u_k(t) = u(x,t)X_k(x)dx, k ∈ N.

(23)

Дифференцируя тождество (23) дважды по t ∈ (0, T ) и учитывая уравнение (1), получаем

∫l

∫

u^′′k(t) =

F (x, t)X_k(x) dx + γ2 uxxXk(x) dx - α2 uxxxxXk(x) dx + β2 uxxttXk(x) dx. (24)

Интегрируя по частям четыре раза с учётом граничных условий (2) и (15), будем иметь

∫

u_xxX_k(x)dx = -μ2ku_k(t),

u_xxxxX_k(x)dx = μ4ku_k(t),

(u_tt)_xxX_k(x) dx = -μ2ku^′′k(t).

Подставляя значения этих интегралов в равенство (24), получаем уравнение

γ²μ2k + α²μ4k

Fk(t)

u^′′k(t) +

u_k(t) =

1+β²μ2k

или с учётом равенств (21) - уравнение

u^′′k(t) - λ2kα²u_k(t) = G_k(t),

(25)

здесь

∫^l

Fk(t)

Gk(t) =

Fk(t) = F (x, t)Xk(x) dx.

(26)

1+β²μ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

371

Общее решение уравнения (25) находится по формуле

√

Fk(t)

u_k(t) = a_k cos(α

|λ_k|t) + b_k sin(α

|λ_k|t) +

√

(27)

(1 + β²μ2k)α

|λ_k|

где

∫t

√

Fk(t) = Fk(s) sin(α

|λ_k|(t - s)) ds,

a_k и b_k - произвольные постоянные. Для определения неизвестных a_k и b_k воспользуемся

начальными условиями (6) и формулой (23):

∫l

∫

u_k(0) = u(x,0)X_k(x)dx = ϕ(x)X_k(x)dx = ϕ_k,

(28)

∫l

∫

u^′k(0) = u_t(x,0)X_k(x)dx = ψ(x)X_k(x)dx = ψ_k.

(29)

Удовлетворяя функции (27) граничным условиям (28) и (29), находим соответственно, что

√

a_k = ϕ_k и b_k = ψ_k/(α

|λ_k|).

Подставив найденные значения a_k и b_k в формулу (27), получим явный вид функций u_k(t):

√

ψ_k

Fk(t)

u_k(t) = ϕ_k cos(α

|λ_k|t) +

√

sin(α

|λ_k|t) +

√

(30)

|λ_k|

|λ_k|(1 + β²μ2k)

На основании частных решений (30) и (22) решение задачи (6)-(8), (2) можно задать в виде

ряда Фурье

∑

u(x, t) =

u_k(t)X_k(x).

(31)

k=1

Лемма 1. При любом t ∈ [0, T ] справедливы оценки

(

)

|u_k(t)| ≤ C₁

|ϕ_k| +

|ψ_k| +

Fk(t)| ,

(32)

k³

(

)

|F_k(t)|

|u^′′k(t)| ≤ C₃ k²|ϕ_k| + k|ψ_k| +

Fk(t)| +

(33)

k²

здесь и далее C_i - положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от коэффициен-

тов уравнения (1) и числа l.

Справедливость оценок (32) и (33) вытекает непосредственно из формулы (30).

Формально из ряда (31) почленным дифференцированием составим ряды

∑

u_tt =

u^′′k(t)X_k(x),

(34)

k=1

∑

u_xxtt =

u^′′k(t)X^′′k(x) = -

μ2ku^′′k(t)X_k(x),

(35)

k=1

∑

u_xxxx =

u_k(t)X(4)k(x) =

μ4ku_k(t)X_k(x).

(36)

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

372

САБИТОВ

Ряды (31), (34)-(36) при любых (x, t) ∈ D на основании леммы 1 мажорируются рядом

∑

C₃

(k⁴|ϕ_k| + k³|ψ_k| + kF_k(t₀)),

(37)

k=1

так как

Fk(t)| ≤ T Fk(t0), где Fk(t0) = max

|F_k(t)|, а t₀ - некоторая точка из отрезка [0, T ].

0≤t≤T

Лемма 2. Если ϕ(x) ∈ C⁵[0, l], ϕ(i)(0) = ϕ(i)(l) = 0, i = 0, 2, 4; ψ(x) ∈ C⁴[0, l], ψ(j)(0) =

= ψ(j)(l) = 0, j = 0,2; F(x,t) ∈ C(D)

^⋂C2x(D), F(0,t) = F(l,t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, то

справедливы представления

ϕk =

ϕ(5)k, ψ_k =

ψ(4)k, F_k(t) = -¹

F(2)k(t),

(38)

μ5k

μ4k

μ²

где

√

∫

ϕ(5)k =

ϕ(5)(x) cos(μ_kx) dx, ψ(4)k = ψ⁽⁴⁾(x)X_k(x) dx, F(2)k(t) = F_xx(x, t)X_k(x) dx,

причём следующие ряды сходятся:

∑

|ϕ(5)k|² ≤ ∥ϕ⁽⁵⁾(x)∥_L

|ψ(4)k|² ≤ ∥ψ⁽⁴⁾(x)∥_L

2[0,l],

k=1

∑

|F(2)k(t)|² ≤ ∥F_xx(x, t)∥_L

0≤t≤T.

(39)

2[0,l],

k=1

Доказательство. Вычисляя по частям интегралы в равенствах (28), (29) и (26) соот-

ветственно пять, четыре и два раза с учётом условий леммы, получаем представления (38).

Неравенства (39) - это неравенства Бесселя для коэффициентов разложений в ряд Фурье

функций ϕ⁽⁵⁾(x), ψ⁽⁴⁾(x) и F_xx(x, t) по системе косинусов и синусов на промежутке [0, l].

Лемма доказана.

При выполнении условий леммы 2 на основании представлений (38) ряд (37) оценивается

сверху сходящимся рядом

∑

C₄

(|ϕ(5)k| + |ψ(4)k| + |F(2)k(t₀)|).

k=1

Тогда ряды (31), (34)-(36) сходятся на D равномерно, следовательно, сумма ряда (31) удо-

влетворяет условиям (6)-(8) и (2).

Итак, доказана

Теорема 2. Если функции ϕ(x), ψ(x) и F (x, t) удовлетворяют условиям леммы 2, то

существует единственное решение задачи (6)-(8), (2); это решение может быть представ-

лено суммой ряда (31).

Теперь установим устойчивость решения поставленной задачи при возмущении начальных

данных ϕ(x), ψ(x) и правой части F (x, t).

Теорема 3. Для решения u(x, t) задачи (6)-(8), (2) имеют место оценки

(40)

∥u(x, t)∥L2 [0,l] ≤ C5(∥ϕ(x)∥L₂ [0,l] + ∥ψ(x)∥L₂ [0,l] + ∥F (x, t)∥L₂ [0,l]),

∥u(x, t)∥C(D) ≤ C₆(∥ϕ^′(x)∥C[0,l] + ∥ψ(x)∥C[0,l] + ∥F (x, t)∥C(D)).

(41)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

373

Доказательство. Поскольку система функций (22) ортонормирована в L₂[0, l], то из

представления (31) с учётом оценки (32) получаем

∑

∥u(x, t)∥2L

= u2k(t) ≤ 3C²

(|ϕ_k|² + |ψ_k|² + |F_k(t₀)|²) ≤

2[0,l]

k=1

≤ C²⁵(∥ϕ(x)∥2L

+ ∥ψ(x)∥2L

+ ∥F (x, t)∥2L

2[0,l]

Отсюда следует оценка (40).

Пусть (x, t) - произвольная точка из D. Тогда из (31) на основании оценки (32) имеем

√

(

)

∑

|F_k(t₀)|

|u(x, t)| ≤ C₁

|ϕ_k| +

|ψ_k| +

(42)

k³

k=1

Величину ϕ_k можно представить в виде

√

∫

(1)

ϕk =

ϕ(1)k =

ϕ′(x) cos(μ_kx) dx.

μ_k

Тогда из оценки (42) в силу неравенства Коши-Буняковского получаем

(

)

∑

|u(x, t)|

C₁

|ϕ(1)k| +1|ψk| +

|F_k(t₀)|

≤

k=1

)1/2

)1/2]

(_∞∑

)1/2[(_∞∑

(_∞∑

≤

C₁

|ϕ(1)k|2

|ψ_k|2

|F_k(t₀)|2

k²

k=1

C₁√

(∥ϕ^′(x)∥_L

2[0,l] +∥ψ(x)∥L2[0,l]+∥F(x,t)∥C[0,l])≤

≤ C₆(∥ϕ^′(x)∥C[0,l] + ∥ψ(x)∥C[0,l] + ∥F(x,t)∥_L

2[0,l])^,

что и доказывает справедливость оценки (41). Теорема доказана.

Таким образом, нами установлена корректность постановки задачи 1. При этом отметим,

что в формулировке теоремы 2, дающей достаточные условия существования решения задачи,

на начальные условия (6) наложены сильные предположения об их гладкости. Если ввести

понятие обобщённого решения этой задачи, то эти условия можно значительно ослабить.

Определение 1. Решение задачи (6)-(8), (2) из класса C4,2x,t(D) назовём классическим,

или регулярным, решением этой задачи.

Определение 2. Функцию u(x,t) будем называть обобщённым решением задачи (6)-(8),

(2), если существует последовательность u_n(x, t), n ∈ N, регулярных решений задачи (6)-

(8), (2) с начальными данными u_n(x, t) = ϕ_n(x), u_nt(x, 0) = ψ_n(x),

0 ≤ x ≤ l, и правыми

частями F_n(x, t), (x, t) ∈ D, равномерно сходящаяся при n → ∞ к функции u(x, t) на

D. При этом функции ϕ_n(x), ψ_n(x) и F_n(x,t) удовлетворяют условиям теоремы 2, и эти

последовательности сходятся равномерно на [0, l] и D соответственно к функциям ϕ(x), ψ(x)

и F(x,t), а последовательность ϕ^′n(x) сходится равномерно на [0,l] к функции ϕ(x).

Теорема 4. Если ϕ(x) ∈ C¹[0, l], ϕ(0) = ϕ(l) = 0, ψ(x) ∈ C[0, l], F (x, t) ∈ C(D), то

существует единственное и устойчивое обобщённое решение задачи (6)-(8), (2), которое

определяется суммой ряда (29) и является непрерывным на D.

Доказательство. Пусть функции ϕ(x), ψ(x) и F (x, t) удовлетворяют условиям теоре-

мы 4. Тогда существуют такие последовательности функций ϕ_n(x), ψ_n(x) и F_n(x, t), удовле-

творяющих условиям теоремы 2, которые равномерно сходятся на [0, l] и D соответственно

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

374

САБИТОВ

к функциям ϕ(x), ψ(x) и F (x, t). По функциям ϕ_n(x), ψ_n(x) и F_n(x, t) на основании тео-

ремы 2 построим последовательность u_n(x, t) регулярных решений задачи (6)-(8), (2). В силу

линейности изучаемой задачи разность u_n(x, t) - u_m(x, t) является решением задачи (6)-(8),

(2) с начальными функциями ϕ_n(x)-ϕ_m(x), ψ_n(x)-ψ_m(x) и правой частью F_n(x, t)-F_m(x, t).

Тогда в силу оценки (41) при любых n, m ∈ N имеем

∥u_n - u_m∥C(D) ≤ C₆(∥ϕ^′n - ϕ^′m∥C[0,l] + ∥ψ_n - ψ_m∥C[0,l] + ∥F_n(x, t₀) - F_m(x, t₀)∥C[0,l]).

(43)

Согласно выбору последовательностей ϕ^′n(x), ψ_n(x) и F_n(x, t) они сходятся равномерно на

[0, l] и D соответственно к функциям ϕ^′(x), ψ(x) и F (x, t). Следовательно, для них спра-

ведлив критерий Коши о равномерной сходимости. Поэтому из оценки (43) следует справед-

ливость критерия Коши и для последовательности u_n(x, t). Тогда она сходится равномерно

на D к единственной функции u(x, t), определяемой рядом (31), удовлетворяющей условиям

(2) и непрерывной на D. Из доказательства теоремы 3 вытекает, что для обобщённого реше-

ния задачи (6)-(8), (2) справедлива оценка (41), что и означает устойчивость такого решения.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Klebsch A. Theorie der Elasticital faster Körper. Leipzig, 1862.

2. Donkin W.F. Acoustics. Oxford, 1870.

3. Рэлей Л. Теория звука. Т. 1. М., 1955.

4. Крылов А.Н. Вибрация судов. М., 2012.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.

6. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.

7. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: введение в метод промежуточ-

ных задач Вайнштейна. М., 1970.

8. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М., 1965.

9. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М., 1968.

10. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М., 1980.

11. Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний

балок и пластин. Днепропетровск, 2010.

12. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.

физ.-мат. науки. 2015. Т. 19. № 2. С. 311-324.

13. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц.

уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 89-100.

14. Сабитов К.Б Начальная задача для уравнения колебаний балок // Дифференц. уравнения. 2017.

Т. 53. № 5. С. 665-671.

15. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М., 2013.

Стерлитамакский филиал Института стратегических

Поступила в редакцию 08.04.2020 г.

исследований Республики Башкортостан,

После доработки 22.05.2020 г.

Башкирского государственного университета

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021