ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.375-386
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.73
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМ ЯДРОМ
© 2021 г. Ш. А. Алимов, А. В. Юлдашева
Доказывается существование и единственность решения задачи Коши для интегро-диф-
ференциального уравнения, связанного с перидинамической моделью механики твёрдого
тела.
DOI: 10.31857/S0374064121030080
1. Введение. Постановка задачи. Формулировка результатов. 1◦. В отличие от
классической механики сплошных сред, в которой линеаризованная модель описывается диф-
ференциальными уравнениями с частными производными, перидинамическая модель приво-
дит к интегро-дифференциальному уравнению вида
∫
∂2u(x, t)
+ K(x,y)[u(x,t) - u(y,t)]dy = f(x,t), x ∈ Ω, t > 0,
(1.1)
∂t2
Ω
с начальными условиями
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ Ω,
(1.2)
где Ω ⊂ Rn - область с кусочно-гладкой границей (см. [1-3]). Здесь u - неизвестная функция,
а ядро K, внешняя сила f и начальные условия ϕ, ψ - заданные функции.
Для этой задачи Коши в работах [4-7] изучались решения, допускающие разрывы пер-
вого рода по пространственной переменной, которые исключаются моделями, описываемыми
дифференциальными уравнениями.
В данной работе рассматривается симплифицированная модель, в которой предполагается,
что n ≥ 3 и все входящие в уравнения (1.1) функции являются вещественнозначными и
скалярными, u : Ω × [0, T ] → R, K : Ω × Ω → R и f : Ω × [0, T ] → R.
Интегральный оператор в правой части уравнения (1.1) имеет специальное сильно сингу-
лярное ядро K(x, y), определение которого приводится ниже. Особенности этого ядра заклю-
чаются в том, что оно вблизи диагонали x = y имеет вид
cn
K(x, y) =
+ γ(x,y),
|x - y|n
где γ(x, y) - интегрируемая функция, а cn - постоянная, зависящая только от размерности
n, и что оно удовлетворяет граничному условию
∂
K(x, y) = 0, x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω.
(1.3)
∂νx
Здесь ν = νx - внешняя нормаль к границе ∂Ω области Ω в точке x ∈ ∂Ω.
Соответствующий интегральный оператор
∫
Av(x) = K(x, y)[v(x) - v(y)] dy
(1.4)
Ω
является гиперсингулярным и неограниченным в классических функциональных пространст-
вах, таких как Lp(Ω) или соболевские пространства Wlp(Ω).
375
6∗
376
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
2◦. Рассмотрим самосопряжённое расширение оператора Лапласа -Δ, порождённое гра-
ничными условиями Неймана. Спектр этого расширения состоит из собственных значений
{λk}, а собственные функции {vk(x)} удовлетворяют соотношениям
∂vk(s)
-Δvk(x) = λkvk(x), x ∈ Ω,
= 0, s ∈ ∂Ω, k = 0, 1, 2, . . .
(1.5)
∂ν
Решение спектральной задачи (1.5) мы понимаем в смысле W12(Ω) (см. [8, гл. 2, § 3]).
Введём в рассмотрение функцию L(x, y), разложение которой в ряд по собственным функ-
циям задачи (1.5) имеет вид
∑
ln λk
L(x, y) =
vk(x)vk(y).
(1.6)
λk
k=1
В п. 1 работы показано, что такая функция существует, бесконечно дифференцируема вне
диагонали x = y, а вблизи диагонали имеет представление
ln |x - y|
L(x, y) = α
+ η(x,y),
(1.7)
|x - y|n-2
где α - постоянная, зависящая только от размерности n, а функция η(x, y) бесконечно диф-
ференцируема в области Ω × Ω.
Оператор Лапласа, применённый к функции L(x, y) по одной из переменных x или y,
имеет на диагонали неинтегрируемую особенность
n-2
ΔL(x,y) = -α
+ Δη(x,y).
|x - y|n
Определим вне диагонали x = y ядро
K(x, y) = (-Δy)L(x, y), x ∈ Ω, y ∈ Ω.
(1.8)
Формально можно считать, что разложение по собственным функциям ядра K(x, y) имеет вид
∑
K(x, y) = (ln λk)vk(x)vk(y).
(1.9)
k=1
3◦. Для каждого числа β ≥ 0 определим гильбертово пространство Hβ(Ω) = D((I-Δ)β/2)
с нормой
∑
∥u∥2β =
(1 + λk)β|(u, vk)|2.
(1.10)
k=1
Через Wα2(Ω), где α > 0, будем обозначать классические пространства Соболева (дроб-
ного) порядка α. Для любых T > 0 и m = 0, 1, . . . и произвольного банахова пространства
B обозначим через Cm{[0, T ] → B} пространство m раз непрерывно дифференцируемых
отображений отрезка [0, T ] в B.
В данной работе доказывается справедливость следующего утверждения.
Теорема 1. При любом α из интервала (0, 1) и любом положительном числе β < α/n
сингулярный интегральный оператор A непрерывно действует из Wα2(Ω) в Hβ(Ω):
∥Au∥β ≤ const ∥u∥W α .
2
Решением задачи (1.1), (1.2) из класса Hβ(Ω) назовём функцию u ∈ C2{[0, T ] → Hβ(Ω)},
удовлетворяющую уравнению (1.1) и начальным условиям (1.2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
377
Основной результат данной работы состоит в следующем.
Теорема 2. Пусть 0 < α < 1 и 0 < β < α/n. Для любого T > 0 и любых ϕ ∈ Wα2(Ω),
ψ ∈ Wα2 (Ω) и f ∈ C{[0,T] → Wα2 (Ω)} существует единственное решение задачи (1.1), (1.2)
из класса C2{[0,T] → Hβ(Ω)}.
При доказательстве теорем 1 и 2 важную роль играет следующее утверждение, доказа-
тельство которого приводится в заключительном пункте работы.
Теорема 3. При любом α из интервала (0, 1) и любом положительном числе β < α/n
тождественный оператор непрерывно действует из Wα2(Ω) в Hβ(Ω):
∥u∥β ≤ const ∥u∥W α .
2
Доказательство теоремы 3 проводится методом, предложенным В.А. Ильиным (см. [9,
гл. 1]).
Отметим, что доказательство всех утверждений в п. 5 не опирается на результаты преды-
дущих параграфов и проводится независимо от них.
2. Ядро специального вида. Зафиксируем какую-либо невозрастающую функцию χ ∈
∈ C∞(R) такую, что
{
1, если r ≤ 1/2,
χ(r) =
0, если r ≥ 1.
Фиксируем произвольное число δ > 0 и для каждой точки x ∈ Ω положим
R = R(x) = min{δ, dist(x,∂Ω)},
где через dist (x, ∂Ω) обозначено расстояние от точки x до границы ∂Ω области Ω. Обозначив
Ωδ = {x ∈ Ω : dist(x,∂Ω) > δ}, имеем очевидное равенство R(x) = δ, если x ∈ Ωδ.
Введём в рассмотрение следующую функцию (напомним, что n ≥ 3):
)
1
( |x - y|
L0(x,y) = α|x - y|2-n ln
χ
,
(2.1)
|x - y|
R(x)
где α = Γ(n/2 - 1)/(2πn/2).
Заметим, что функцию (2.1) при каждом фиксированном x ∈ Ω можно рассматривать как
регулярное распределение, принадлежащее классу Соболева W-l2(Ω) при l > (n - 4)/2 (см.
[8, гл. 1, § 3]).
Считая x параметром, найдём коэффициенты Фурье функции L0(x, y) по системе {vk}:
∫
∫
(
)
1
( |x - y|)
ak(x) = L0(x,y)vk(y)dy = α
|x - y|2-n ln
χ
vk(y)dy.
|x - y|
R
Ω
|x-y|≤R
Перейдя к сферическим координатам с центром в точке x, получим
∫R
∫
(
)
1
ak(x) = α rn-1 dr
r2-n ln
χ(r/R)vk(x + rθ) dθ =
r
0
Sn-1
∫R
(
)
∫
1
=α
ln
χ(r/R)r dr
vk(x + rθ)dθ.
(2.2)
r
0
Sn-1
Далее применим формулу среднего значения (см. [9, формула (1.1.2)]):
∫
√
√
v(x + rθ) dθ = vk(x)(2π)n/2(r
λk)1-n/2Jn/2-1(r
λk).
Sn-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
378
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
Учитывая эту формулу в представлении (2.2), будем иметь
∫
R
(
)
√1-n/2
√
1
ak(x) = vk(x)(2π)n/2α
λk
ln
Jn/2-1(r
λk)χ(r/R)r2-n/2 dr.
r
0
Сделав замену t = r√λk, получим
R√λ∫
k
(
(
)
n/2
(2π)
√λk )
t
ak(x) = vk(x)α
ln
χ
√
Jn/2-1(t)t2-n/2 dt.
(2.3)
λk
t
R
λk
0
Далее воспользуемся тем, что для интеграла
∫
(
)
(
)
μ
t
b(μ) =
ln
χ
Jn/2-1(t)t2-n/2 dt
t
Rμ
0
имеет место следующее асимптотическое представление:
ln μ
b(μ) =
+ β + OR(μ-N) при μ → +∞,
2n/2-2Γ(n/2 - 1)
справедливое для любого натурального числа N (см. [7, предложение 3.1]). В этом соотноше-
нии β - некоторая постоянная, зависящая только от размерности n.
Подставляя это асимптотическое представление в (2.3), получаем следующее равенство:
]
[ ln λk
γ
ak(x) = vk(x)
+
+ Ox(λ-Nk) .
λk
λk
Отсюда и из равенства (2.3) вытекает
Лемма 2.1. Разложение функции (2.1) в ряд Фурье по собственным функциям задачи
(1.5) имеет вид
∑
∑
∑
ln λk
vk(x)vk(y)
L0(x,y) =
vk(x)vk(y) + γ
+
dk(x)vk(x)vk(y),
λk
λ
k
λk>0
λk>0
k=1
где коэффициенты dk(x) при любом натуральном N удовлетворяют условию
CN (x)
|dk(x)| ≤
,
(2.4)
(1 + λk)N
а величины CN (x) ограничены по x равномерно на каждом компактном подмножестве об-
ласти Ω .
Замечание 2.1. Если x ∈ Ωδ и ξ ∈ Ωδ, то R(x) = R(ξ) = δ и ck(x) = ck(ξ).
Обозначим через G(x, y) обобщённую функцию Грина, связанную с задачей (1.5):
∑
vk(x)vk(y)
G(x, y) =
λk
λk>0
Далее положим
∑
R(x, y) =
dk(x)vk(x)vk(y).
k=1
Из оценки (2.4) вытекает, что функция R(x, y) бесконечно дифференцируема в области
Ωδ × Ω. Введём функцию
L(x, y) = L0(x, y) - γG(x, y) - R(x, y), (x, y) ∈ Ω × Ω.
(2.5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
379
Лемма 2.2. Ряд Фурье функции L(x, y), определённой равенством (2.5), имеет вид
∑
ln λk
L(x, y) =
vk(x)vk(y).
(2.6)
λk
λk>0
Функция L(x,y) бесконечно дифференцируема по y вне диагонали y = x и равномерно на
каждом компакте K ⊂ Ω её производные удовлетворяют условию
| ln |x - y||
|DαyL(x, y)| ≤ const
,
x ∈ K, y ∈ Ω.
|x - y|n-2+α
Доказательство следует из определений (2.1), (2.5) и свойств обобщённой функции Грина
G(x, y) (см. [9, гл. 1, § 2]).
Замечание 2.2. Лемма 2.2 означает, что функция L(x, y) удовлетворяет следующим
соотношениям:
∫
ln λk
L(x, y)vk(y) dy =
vk(x), k = 1,2,...
(2.7)
λk
Ω
Из результатов работы [10] следует, что ряд (2.6) расходится на множестве положительной
меры. Тем не менее, согласно теореме 3 работы [11], он суммируется средними Рисса порядка
s > n-5/2 равномерно по y на каждом компактном подмножестве области Ω, не содержащем
точки x.
Обратим внимание на то, что правая часть равенства (2.5), которая определяет функцию
L(x, y), содержит функции, зависящие от параметра δ. Однако из равенства (2.7) и из полноты
системы собственных функций (1.5) вытекает, что функция L(x, y) от δ не зависит.
Замечание 2.3. Отметим, что функция f(y) = ΔyL0(x, y) не является локально интегри-
руемой в области Ω и представляет собой сингулярное распределение из класса W-l2(Ω) при
l > n/2. Из леммы 2.2 и из теоремы 3 работы [11] следует, что разложение (1.9) суммируется
средними Рисса порядка s > n - 1/2 равномерно на каждом компактном подмножестве Ω,
не содержащем точку x.
3. Преобразование основного уравнения. Напомним, что сингулярный интегральный
оператор A задан равенством (1.4), в котором ядро K(x, y) в свою очередь определяется
равенствами (1.6) и (1.8).
Лемма 3.1. Для любой функции u ∈ C∞0(Ω) выполняется равенство
∑
Au(x) = - (ln λk)(u, vk)vk(x), x ∈ Ω.
(3.1)
k=1
Доказательство. Заметим, что для любой гладкой функции u(x) несобственный ин-
теграл
∫
∫
(
)
u(x) - u(y)
1
ln |x - y|
dy = -
[u(x) - u(y)] dy, x ∈ Ω,
|x - y|n
n-2
Δy |x - y|n-2
Ω
Ω
является сходящимся. Следовательно, согласно определению (1.8), для любой функции u ∈
∈ C∞0(Ω) сходится интеграл
∫
∫
K(x, y)[u(x) - u(y)] dy =
(-Δy)L(x, y)[u(x) - u(y)] dy, x ∈ Ω.
Ω
Ω
Положим B(ε) = {y ∈ Rn : |x - y| < ε}. Тогда для любой функции u ∈ C∞0(Ω) и любой
точки x ∈ Ω, удовлетворяющей условию (1.3), при достаточно малых ε > 0 по формуле Грина
получаем
∫
∫
ΔyL(x,y)[u(x) - u(y)]dy =
L(x, y)Δy[u(x) - u(y)] dy +
Ω\B(ε)
Ω\B(ε)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
380
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
∫
(
)
∂L(x,y)
∂
+
[u(x) - u(y)]
- L(x,y)
[u(x) - u(y)] dσ(y) +
∂νy
∂νy
∂Ω∫
(
)
∂L(x,y)
∂
+
[u(x) - u(y)]
- L(x,y)
[u(x) - u(y)] dσ(y).
∂νy
∂νy
∂B(ε)
Из финитности функции u и из условия (1.3) следует, что интеграл по поверхности ∂Ω
равен нулю.
Согласно (1.7), для любой гладкой функции u поверхностный интеграл по границе шара
B(ε) есть величина O(ε ln 1/ε) при ε → 0. Следовательно, в пределе при ε → 0 получаем
∫
∫
K(x, y)[u(x) - u(y)] dy = L(x, y)(-Δu(y)) dy.
(3.2)
Ω
Ω
Далее воспользуемся тем, что для любой функции u ∈ C∞0(Ω) выполняются равенства
∑∞
∑∞
u(y) =
(u, vk)vk(y) и -Δu(y) =
λk(u,vk)vk(y), причём оба ряда сходятся в метрике
k=1
k=1
L2(Ω). В таком случае справедливо равенство
∑
L(x, y)(-Δu(y)) =
λkL(x,y)(u,vk)vk(y), x ∈ Ω, y ∈ Ω,
k=1
которое можно проинтегрировать почленно. В результате, согласно соотношениям (2.7), по-
лучаем
∫
∑ ∫
∑
L(x, y)(-Δu(y)) dy =
λk L(x,y)(u,vk)vk(y)dy =
ln λk(u, vk)vk(x), x ∈ Ω.
k=1
k=1
Ω
Ω
Отсюда и из (3.2) следует требуемое равенство (3.1). Лемма доказана.
Следствие. Для любой функции u ∈ C∞0(Ω) имеет место равенство
∑
∥Au∥2β =
|(u, vk)|2λβk ln2 λk.
(3.3)
k=1
Доказательство теоремы 1. Для доказательства воспользуемся теоремой 3, доказанной
в п. 5.
Пусть u ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1, и пусть 0 < β < α/n. Согласно теореме 3 для любого
положительного β1 < α/n выполняется неравенство
∥u∥β1 ≤ const ∥u∥W α .
(3.4)
2
Выберем произвольно число β1 ∈ (β, α/n) и применим очевидную оценку | ln λk| ≤ const×
× λβ1-βk, λk ≥ λ1 > 0. Тогда из (3.3) и (3.4) следует, что
∑
∥Au∥2β ≤ const
|(u, vk)|2λβ1k≤const∥u∥β1≤const∥u∥Wα .2
k=1
4. Разрешимость основного уравнения. Будем искать решение уравнения (1.1) в виде
ряда по собственным функциям краевой задачи (1.5):
∑
u(x, t) =
ck(t)vk(x), x ∈ Ω, t ≥ 0.
k=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
381
Тогда, согласно лемме 3.1, имеем
∑
Au(x, t) = - ck(t)(ln λk)vk(x).
k=1
В таком случае из уравнения (1.1) получаем
c′′0(t) = f0(t),
(4.1)
∑
∑
∑
c′′k(t)vk(x) -
(ln λk)ck(t)vk(x) =
fk(t)vk(x),
k=1
k=1
k=1
где fk(t) = (f, vk). Следовательно, при k ≥ 1 имеет место уравнение
c′′k(t) - (ln λk)ck(t) = fk(t).
Положим
√
μk =
ln λk, k = 1, 2, . . .
(4.2)
В этих обозначениях уравнение для функции ck запишется в виде
c′′k(t) - μ2kck(t) = fk(t).
(4.3)
Из уравнений (4.1) и (4.3) находим соответственно
∫t
c0(t) = a0 + b0t + (t - s)f0(s)ds
0
и
t
∫
sh(μkt)
1
ck(t) = akch (μkt) + bk
+
sh(μk(t - s))fk(s)ds.
μk
μk
0
Принимая во внимание начальные условия (1.2), приходим к следующим соотношениям
для коэффициентов Фурье искомого решения задачи (1.5):
∫t
c0(t) = (ϕ,v0) + (ψ,v0)t + (t - s)(f,v0)(s)ds,
0
∫t
sh (μkt)
ck(t) = (ϕ,vk)ch (μkt) + (ψ,vk)
+
sh(μk(t - s))fk(s)ds, k = 1,2,...
μk
0
Из уравнений (4.1) и (4.3) следует, что вторая производная по переменной t, входящая в
уравнение (1.1), формально разлагается в следующий ряд Фурье:
∑
∑
∂2u(x, t)
= (f, v0)(t)v0(x) +
μ2kck(t)vk(x) +
(f, vk)(t)vk(x).
(4.4)
∂t2
k=1
k=1
Для доказательства существования решения достаточно убедиться в сходимости в метрике
пространства Hβ(Ω) рядов (4.4).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
382
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
∑∞
Лемма 4.1. Пусть ρk ≥ 0 и ряд
ρk сходится. Тогда при любом ε > 0 и любом
k=1
T > 0 ряд
∑
ρk
eμkt
λεk
k=1
сходится равномерно на отрезке 0 ≤ t ≤ T.
Доказательство. Заметим, что, согласно обозначениям (4.2),
(eμk )μk = eμk = elnλk = λk.
Отсюда получаем eμk = λ1/μkk.Следовательно,длялюбогоT>0верноравенство
eμkT = λT/μkk.
Для любого ε > 0 выберем номер N = N(ε, T ) таким, чтобы при k ≥ N выполнялось
неравенство μk ≥ T/ε, т.е. T/μk ≤ ε. Тогда при k ≥ N будет справедливо неравенство
eμkT ≤ λεk.
Следовательно, для всех t ∈ [0, T ] имеет место оценка
ρk
eμkt ≤ ρk, k ≥ N,
0≤t≤T.
λε
k
Поэтому утверждение леммы следует из теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости
функционального ряда, мажорируемого сходящимся числовым рядом.
Доказательство теоремы 2. Пусть выполняется условие 0 < α < 1 и пусть начальные
данные (1.2) и правая часть уравнения (1.1) принадлежат следующим классам:
ϕ ∈ Wα2 (Ω), ψ ∈ Wα2 (Ω), f ∈ C{[0,T] → Wα2 (Ω)}.
Согласно теореме 3 (см. ниже п. 5) отсюда следует, что для любого положительного β1 <
< α/n сходится следующий ряд:
∑
(4.5)
(|(ϕ, vk )|2 + |(ψ, vk)|2 + |fk(t)|2)λβ1k<∞.
k=1
Покажем, что в этом случае для любого положительного β < α/n ряды (4.4) сходятся
в метрике пространства Hβ(Ω). Согласно определению нормы в пространстве Hβ(Ω) (см.
(1.10)) для этого требуется доказать, что сходятся ряды
∑
∑
|ck(t)|2μ4kλβk < ∞ и
|(f, vk)(t)|2λβk < ∞.
(4.6)
k=1
k=1
Отметим, что выполнение условия (4.5) обеспечивает сходимость второго ряда в (4.6), при-
чём принадлежность функции f классу C{[0, T ] → Wα2(Ω)} гарантирует его равномерную по
t ∈ [0,T] сходимость.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы остаётся доказать равномерную
по t ∈ [0, T ] сходимость первого ряда в (4.6). Для этого воспользуемся леммой 4.1. Из этой
леммы и условия (4.5) следует, что первый ряд в (4.6) мажоририруется сходящимся числовым
рядом, что и означает равномерную его сходимость.
5. Доказательство теоремы 3. Напомним, что для любого h > 0 символом Ωh мы
обозначили множество Ωh = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) > h}. Будем говорить, что область Ω
принадлежит классу Bτ , где 0 < τ ≤ 1, и писать Ω ∈ Bτ , если выполняется условие
|Ω \ Ωh| ≤ const hτ ,
0 < h < 1.
(5.1)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
383
Далее, будем говорить, что функция f принадлежит классу Wαp(Ω), если она является следом
некоторой функции из Wαp(Rn), которую будем обозначать тем же символом f.
Всюду ниже в данном параграфе предполагается, что f ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1.
Для каждого h > 0 через χh обозначим характеристическую функцию множества Ωh, т.е.
{
1, если x ∈ Ωh,
χh(x) =
0, если x ∈ Rn \ Ωh.
Введём функции
P (x, h) = f(x)χ3h(x), Q(x, h) = f(x)[χ(x) - χ3h(x)],
(5.2)
где χ(x) - характеристическая функция области Ω. Очевидно, что носитель функции P (x, h)
содержится в области Ω3h, а носитель функции Q(x, h)- в дополнении Ω \ Ω3h. Очевидно
также, что выполняется равенство
f (x) = P (x, h) + Q(x, h), x ∈ Ω.
Лемма 5.1. Для любого вектора u ∈ Rn такого, что |u| ≤ h, справедлива оценка
∫
|P (x + u, h) - P (x, h)|2 dx ≤ const h2ατ/n∥f∥2W α .
(5.3)
2
Rn
Доказательство. Очевидно, что интегрирование в (5.3) ведётся фактически по облас-
ти Ωh. Подынтегральную функцию можно представить в следующем виде:
P (x + u, h) - P (x, h) = f(x + u)[χ3h(x + u) - χ3h(x)] + χ3h(x)[f(x + u) - f(x)].
Поэтому
∥P (x + u, h) - P (x, h)∥L2(Rn) ≤ ∥f(x + u)[χ3h(x + u) - χ3h(x)]∥L2(Rn) +
(5.4)
+ ∥χ3h(x)[f(x + u) - f(x)]∥L2(Rn).
Для оценки первого слагаемого в правой части неравенства (5.4) заметим, что, согласно
теоремам вложения (см. [12, гл. 9, § 9.6]), функция f принадлежит классу Lp1 (Rn), где p1 =
= 2n/(n - 2α). Положим p = p1/2. Тогда 1/p = 1 - 2α/n, т.е.
1
1
2α
=1-
=
q
p
n
В таком случае
∫
|f(x + u)[χ3h(x + u) - χ3h(x)]|2 dx ≤
Rn
(∫
)1/p(∫
)1/q
≤
|f(x + u)|2p dx
|χ3h(x + u) - χ3h(x)|2q dx
(5.5)
Rn
Rn
Согласно оценке (5.1) отсюда получаем
∫
|f(x + u)[χ3h(x + u) - χ3h(x)]|2 dx ≤ const|u|τ/q∥f∥2W α
≤ const h2ατ/n∥f∥2W α .
(5.6)
2
2
Rn
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
384
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
Далее,
∫
|χ3h(x)[f(x + u) - f(x)]|2 dx ≤ const|u|2α∥f∥2W α
≤ const h2α∥f∥2W α .
(5.7)
2
2
Rn
Поскольку τ < n, из неравенств (5.6) и (5.7) вытекает требуемая оценка (5.3).
Лемма 5.2. Для любого h > 0 выполняется оценка
∫
|Q(x, h)|2 dx ≤ const h2ατ/n∥f∥2W α .
(5.8)
2
Ω
Доказательство. Воспользовавшись определением (5.2) и оценкой (5.5), получим
∫
(∫
)1/p(∫
)1/q
|f(x)[χ(x) - χ3h(x)]|2 dx ≤
|f(x)|2p dx
|χ(x) - χ3h(x)|2q dx
≤ const hτ/q∥f∥2W α .
2
Rn
Rn
Rn
Так как 1/q = 2α/n, то отсюда следует требуемая оценка (5.8). Лемма доказана.
Обозначим через Pk(h) коэффициенты Фурье функции P (x, h) и, соответственно, через
Qk(h) коэффициенты Фурье функции Q(x,h).
Всюду в дальнейшем предполагается, что Ω ∈ Bτ , где 0 < τ ≤ 1.
Лемма 5.3. Пусть f ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1. Тогда при любом h > 0 справедливо
неравенство
∑
√
|Pk(h)|2[φ(h
λk) - 1]2 ≤ const h2ατ/n∥f∥2Wα.
(5.9)
2
k=1
Доказательство. Введём функцию
∫
1
E(x, h) =
P (x + hθ, h) dθ.
ωn
Sn-1
Очевидно, что её носитель содержится в области Ω2h. Вычислим коэффициенты Фурье этой
функции:
∫
∫
∫
1
Ek(h) =
E(x, h)vk (x) dx =
P (x + hθ, h)vk(x) dθ dx.
ωn
Ω
Ω Sn-1
Проведя замену переменных и меняя порядок интегрирования, получаем
∫
∫
1
Ek(h) =
P (x, h)vk(x + hθ) dθ dx.
ωn
Ω Sn-1
Далее применим формулу среднего значения (см. [9, формула (1.1.2)]):
∫
√
1
vk(x + hθ)dθ = φ(h
λk)vk(x),
ωn
Sn-1
где
φ(t) = 2(n-2)/2Γ(n/2)t(2-n)/2J(n-2)/2(t).
(5.10)
Следовательно, коэффициенты Фурье функции E(x, h) связаны с коэффициентами Фурье
Pk(h) функции P(x,h) равенством Ek(h) = Pk(h)φ(h√λk). Поэтому коэффициенты Фурье
функции
∫
1
E(x, h) - P (x, h) =
[P (x + hθ, h) - P (x, h)] dθ
ωn
Sn-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
385
равны Pk(h)[φ(h√λk)-1]. Тогда, применяя к функции E(x,h)-P(x,h) равенство Парсеваля,
будем иметь
∑
√
∥E(x, h) - P (x, h)∥2L
=
|Pk(h)|2[φ(h
λk) - 1]2.
(5.11)
2(Ω)
k=1
Из леммы 5.1 следует оценка
∥E(x, h) - P (x, h)∥2L
≤ const hατ/n∥f∥2W α ,
2 (Ω)
2
из которой и равенства (5.11) вытекает требуемое неравенство (5.9).
Лемма 5.4. Пусть f ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1. Тогда при любом h > 0 выполняется
неравенство
∑
√
|Qk(h)|2[φ(h
λk) - 1]2 ≤ const h2ατ/n∥f∥2Wα.
(5.12)
2
k=1
Доказательство. Для коэффициентов Фурье Qk(h) функции Q(x, h) в силу оценки (5.8)
и равенства Парсеваля получаем следующее неравенство:
∑
|Qk(h)|2 ≤ const h2ατ/n.
(5.13)
k=1
Поскольку функция φ(t), определённая равенством (5.10), равномерно ограничена, вы-
полняется оценка |φ(h√λk) - 1| ≤ const, из которой и неравенства (5.13) следует требуемая
оценка (5.12).
Лемма 5.5. Пусть Ω ∈ Bτ , где 0 < τ ≤ 1, и f ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1. Тогда при
любом μ ≥ 1 справедлива оценка
∑
|fk|2 ≤ const μ-2ατ/n∥f∥2W α
,
(5.14)
2
μ≤√λk≤2μ
где fk - коэффициенты Фурье функции f.
Доказательство. Так как f = P + Q, то из лемм 5.3 и 5.4 следует, что
∑
√
|fk|2[φ(h
λk) - 1]2 ≤ consth2ατ/n∥f∥2Wα.
(5.15)
2
k=1
Нетрудно видеть, что существуют числа a > 0 и b > 0, для которых |φ(t) - 1| ≥ b,
a ≤ t ≤ 2a. Отсюда и из неравенства (5.15) получаем
∑
∑
√
∑
√
1
1
|fk|2 ≤
|fk|2[φ(h
λk) - 1]2 ≤
|fk|2[φ(h
λk) - 1]2 ≤ const h2ατ/n∥f∥2Wα.
2
2
b
b2
a≤h√λk≤2a
a≤h√λk≤2a
k=1
Для любого μ > 0, положив h = a/μ, получим неравенство (5.14).
Лемма 5.6. Пусть Ω ∈ Bτ , где 0 < τ ≤ 1, и f ∈ Wα2(Ω), где 0 < α < 1. Тогда при
любом β < ατ/n справедлива оценка
∑
|fk|2λβk ≤ const ∥f∥2W α .
(5.16)
2
k=1
Доказательство. Оценим сумму в левой части оценки (5.16) с помощью двоичного раз-
биения:
∑
∑
∑
∑
|fk|2λβk =
|fk|2λβk +
|fk|2λβk ≤
√
k=1
0≤
λk<1
m=02m≤
√λk <2m+1
∑
∑
≤ ∥f∥2L
+ const
22mβ
|fk|2.
2(Ω)
m=0
2m≤√λk<2m+1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
386
АЛИМОВ, ЮЛДАШЕВА
Применяя к каждой внутренней сумме лемму 5.5 с μ = 22m, получаем
∑
∑
∑
22mβ
|fk|2 ≤ const ∥f∥2W α
22mβ2-2mατ/n = const ∥f∥2Wα.
2
2
m=0
2m≤√λk<2m+1
m=0
Доказательство теоремы 3. По условию область Ω имеет кусочно-гладкую границу и
поэтому принадлежит классу Bτ при τ = 1. Поэтому справедливость теоремы 3 вытекает из
леммы 5.6, в которой следует положить τ = 1.
Замечание 5.1. Теорема 3 фактически утверждает, что для любого α из интервала (0, 1)
классы Соболева Wα2(Ω) при любом положительном β < α/n содержатся в области опреде-
ления дробной степени оператора Лапласа: Wα2(Ω) ⊂ D((-Δ)β/2).
При этом от функций из соответствующих классов Соболева не требуется выполнения
каких-либо граничных условий.
Замечание 5.2. Приведённое выше доказательство теоремы 3 не использует тот факт,
что собственные функции оператора Лапласа удовлетворяют краевым условиям (1.5). Сле-
довательно, теорема справедлива для спектральных разложений, отвечающих произвольному
самосопряжённому расширению оператора Лапласа с дискретным спектром.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Silling S.A. Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces // J. Mech. Phys.
Solids. 2000. V. 48. № 1. P. 175-209.
2. Silling S.A., Zimmermann M., Abeyaratne R. Deformation of a peridynamic bar // J. of Elasticity. 2003.
V. 73. P. 173-190.
3. Seleson P., Parks M.L., Gunzburger M., Lehoucq R.B. Peridynamics as an upscaling of molecular
dynamics // Multiscale Model. Simul. 2009. V. 8. № 1. P. 204-227.
4. Du Q., Kamm J.R., Lehoucq R.B., Parks M.L. A new approach for a nonlocal, nonlinear conservation
law // SIAM J. Appl. Math. 2012. V. 72. № 1. P. 464-487.
5. Emmrich E., Lehoucq R., Puhst D. A nonlocal continuum theory // Lect. Not. in Comput. Sci. and
Engineering. 2013. V. 89. P. 45-65.
6. Alimov S.A., Cao Y., Ilhan O.A. On the problems of peridynamics with special convolution kernels // J.
of Integral Equat. and Appl. 2014. V. 26. № 3. P. 301-321.
7. Alimov S.A., Sheraliev S. On the solvability of the singular equation of peridynamics // Complex
Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 5. P. 873-887.
8. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев,
1965.
9. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифферен-
циальные операторы. М., 1991.
10. Ильин В.А., Алимов Ш.А. О расходимости на множестве положительной меры средних Рисса ядер
дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 2. С. 372-373.
11. Алимов Ш.А., Рахимов А.А. О локализации спектральных разложений распределений // Диффе-
ренц. уравнения. 1996. Т. 32. № 6. С. 792-796.
12. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., 1977.
Национальный университет Узбекистана
Поступила в редакцию 09.11.2020 г.
им. Мирзо Улугбека, г. Ташкент,
После доработки 09.11.2020 г.
Ташкентский филиал Московского государственного
Принята к публикации 22.01.2021 г.
университета им. М.В. Ломоносова, Узбекистан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
