ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.387-398

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.74

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА

СВЁРТКИ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

И ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Для интегро-дифференциального уравнения типа свёртки со степенной нелинейностью и

переменным коэффициентом, заданного на полуоси [0, ∞), методом весовых метрик в

конусе пространства C¹(0, ∞), образованном положительными на (0, ∞) и равными нулю

в нуле функциями, доказывается глобальная теорема о существовании и единственности

решения, принадлежащего указанному конусу. Показано, что это решение может быть

найдено методом последовательных приближений пикаровского типа, установлена оценка

скорости сходимости приближений. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные

результаты.

DOI: 10.31857/S0374064121030092

Введение. В работе [1] изучалось нелинейное интегральное уравнение типа свёртки вида

∫x

u^α(x) = a(x) k(x - t)u(t)dt, x > 0, α > 0,

(1)

возникающее в исследованиях различных физических процессов: при изучении инфильтрации

жидкости из цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду; при

описании процесса распространения ударных волн в трубах, наполненных газом; при решении

задачи о нагревании полубесконечного тела при нелинейном теплопередаточном процессе; в

моделях популяционной генетики и других (подробнее см. в [2-4]). Важно отметить, что в

связи с указанными и другими приложениями особый интерес представляют непрерывные

положительные при x > 0 решения интегрального уравнения (1).

В данной работе в конусе Q, образованном неотрицательными непрерывными на полуоси

[0, ∞) вещественнозначными функциями, удовлетворяющими условию u(0) = 0, изучается

нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа свёртки

∫x

u^α(x) = a(x) k(x - t)u^′(t)dt, x > 0, α > 0,

(2)

тесно связанное, как будет показано ниже, с уравнением (1).

Исследование основывается на некоторой модификации принципа сжимающих отображе-

ний (аналог метода А. Белицкого [5, 6]), позволяющей при удачном выборе метрики доказы-

вать глобальные теоремы существования и единственности решений без ограничений на их

область определения (описание метода Белицкого и его преимуществ приведено, например, в

монографии [7, гл. 3, п. 3.1.3]).

Отметим, что метод Белицкого неоднократно переоткрывался и в связи с этим была опуб-

ликована статья [8], в которой обоснован приоритет Белицкого в разработке данного метода.

На основе полученных точных нижней и верхней априорных оценок решения уравнения (2)

мы строим весовое полное метрическое пространство P_b и, применяя аналог метода Белиц-

кого, доказываем глобальную теорему о существовании и единственности решения уравнения

(2) как в пространстве P_b, так и во всём классе непрерывных положительных при x > 0

387

388

АСХАБОВ

функций. Показано, что решение уравнения (2) может быть найдено в P_b методом последо-

вательных приближений пикаровского типа. Для последовательных приближений получены

оценки скорости их сходимости к точному решению в терминах весовой метрики пространст-

ва P_b. Приведены также простые примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

1. Свойства неотрицательных решений. Основным объектом исследования в данной

работе является нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа свёртки (2), в котором

ядро k(x) и коэффициент a(x) удовлетворяют следующим условиям:

k ∈ C²[0,∞), k^′(x) не убывает на [0, ∞), k(0) = 0 и k′(0) > 0,

(3)

a ∈ C¹[0,∞), a(x) не убывает на [0, ∞) и a(x) > 0 при x > 0,

(4)

где через C¹[0, ∞) обозначено пространство всех непрерывно дифференцируемых на полуоси

[0, ∞) функций.

В связи с указанными во введении приложениями и тем, что нас интересуют нетривиальные

решения, мы будем разыскивать решения уравнения (2) в конусе

Q¹⁰ = {u(x) ∈ C[0,∞)

^⋂C¹(0,∞) : u(0) = 0 и u(x) > 0 при x > 0}

пространства C¹(0, ∞).

Наряду с интегро-дифференциальным уравнением (2) будет рассматриваться также инте-

гральное уравнение

∫x

u^α(x) = a(x) k^′(x - t)u(t)dt, x > 0, α > 0,

(5)

решения которого будем искать в конусе

Q₀ = {u(x) ∈ C[0,∞) : u(0) = 0 и u(x) > 0 при x > 0}

пространства непрерывных функций C[0, ∞).

Обозначим также через Q конус, образованный неотрицательными непрерывными на [0, ∞)

функциями, т.е. Q = {u(x) ∈ C[0, ∞) : u(x) ≥ 0}.

В связи с тем, что нас интересуют условия, при которых уравнения (2) и (5) имеют нетри-

виальные решения, докажем следующие три леммы.

Лемма 1. Пусть α > 0 и a(x), k(x) - неотрицательные непрерывные на полуоси [0, ∞)

функции. Для того чтобы интегро-дифференциальное уравнение (2) имело нетривиальное

решение, принадлежащее конусу Q, необходимо, чтобы выполнялось условие

∫δ

k(t) dt > 0 для всех δ > 0.

(6)

∫δ

Доказательство. Допустим противное: существует число δ > 0 такое, что

k(t) dt = 0

и тем не менее уравнение (2) имеет решение u(x) ≡ 0. Так как ядро k(x) неотрицательно и

непрерывно, то из последнего равенства следует, что k(t) ≡ 0 при 0 ≤ t ≤ δ. Но тогда из (2)

в силу коммутативности свёртки имеем

∫x

u^α(x) = a(x) k(t)u^′(x - t)dt = 0, если

0 ≤ x ≤ δ.

Значит, u(x) ≡ 0 при x ∈ [0, δ], поэтому и u^′(x) ≡ 0 при x ∈ [0, δ].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЁРТКИ

389

Пусть теперь x ∈ [δ, 2δ]. Тогда 0 ≤ x-δ ≤ δ и из тождества (2), поскольку u^′(t) = k(t) = 0

при 0 ≤ t ≤ δ, вытекает, что

∫x

∫

u^α(x) = a(x) k(x - t)u^′(t)dt = a(x) k(x - t)u^′(t)dt = a(x)

k(t) u^′(x - t) dt = 0,

так как k(t) = 0 при 0 ≤ t ≤ x - δ ≤ δ. Значит, u(x) ≡ 0 и при x ∈ [δ, 2δ].

Итак, мы показали, что u(x) ≡ 0 при x ∈ [0, 2δ]. Продолжая такие же рассуждения далее,

заключаем, что для любого n ∈ N справедливо тождество u(x) ≡ 0 при x ∈ [0, nδ], а значит,

u(x) ≡ 0 на [0, ∞), но это противоречит тому, что u(x) ≡ 0. Лемма доказана.

Заметим, что условие (6), необходимое для существования нетривиального неотрицатель-

ного непрерывного решения уравнения (2), выполняется для ядра k(x), удовлетворяющего

условию (3).

Прежде чем продолжить исследование уравнений (2), (5), заметим, что если функция

u(x) ∈ Q является нетривиальным решением уравнения (5) при a(x) = 1, то для любого

δ > 0 каждый из её сдвигов

{

u(x - δ), если x > δ,

u_δ(x) =

если x ≤ δ,

также является решением уравнения (5), что проверяется непосредственной подстановкой

функций u_δ(x) в это уравнение. Следовательно, уравнение (5) может иметь в конусе Q кон-

тинуум нетривиальных решений. Поэтому, чтобы задачу отыскания нетривиальных решений

уравнения (5) сделать корректной и в связи с тем, что с прикладной точки зрения интерес

представляют непрерывные положительные при x > 0 решения, будем разыскивать решения

уравнения (5) в конусе Q₀.

Это замечание справедливо и для интегро-дифференциального уравнения (2).

Лемма 2. Пусть α > 0 и выполнены условия (3), (4). Если u(x) ∈ Q₀ - решение инте-

грального уравнения (5), то функция u(x) является неубывающей и непрерывно дифферен-

цируемой на (0, ∞).

Доказательство. Пусть u(x) ∈ Q₀ - решение уравнения (5) и x₁, x₂ ∈ [0, ∞) - произ-

вольные числа такие, что x₁ < x₂. Так как k^′(x) не убывает на [0, ∞) и неотрицательна, то

свёртка

∫x

(k^′ ∗ u)(x) = k^′(x - t)u(t) dt

также не убывает, поскольку

∫x1

∫

x₂

(k^′ ∗ u)(x₂) - (k^′ ∗ u)(x₁) =

[k^′(x₂ - t) - k^′(x₁ - t)]u(t) dt + k^′(x₂ - t)u(t) dt ≥ 0.

x₁

Значит, функция u^α(x), являясь, согласно (5), произведением двух неубывающих неотрица-

тельных функций, также не убывает на [0, ∞). Следовательно, сама функция u(x) не убывает

и поэтому почти всюду дифференцируема на полуоси [0, ∞).

Докажем теперь, что решение u(x) является непрерывно дифференцируемой на (0, ∞)

функцией. Так как по условию k ∈ C²[0, ∞), то правая часть тождества (5) дифференцируема

и в силу свойства коммутативности свёртки [3, § 17] справедливо равенство

(∫x

)_′

∫

k^′(x - t)u(t)dt

= k^′′(x - t)u(t)dt + k^′(0)u(x) = k^′′(t)u(x - t)dt + k^′(0)u(x).

(7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

390

АСХАБОВ

Поскольку функция u(x) не убывает, а функция k^′′(x) локально ограничена на [0, ∞),

то в силу теоремы о непрерывности свёртки [3, теорема 17.9] производная (7) непрерывна на

[0, ∞). Но тогда существует и непрерывна производная левой части тождества (5), что влечёт

за собой существование и непрерывность первой производной u^′(x) при x > 0, так как

[

∫

(∫x

)]

u^′(x) = α-1u1-α(x) a^′(x) k^′(x - t)u(t)dt + a(x)

k^′′(t)u(x - t)dt + k^′(0)u(x)

Лемма 3. Пусть выполнены условия (3) и (4). Тогда интегральное уравнение (5) при

0 < α ≤ 1 имеет в конусе Q лишь тривиальное решение u(x) ≡ 0.

Доказательство. При α = 1 утверждение леммы 3 очевидно, поэтому далее считаем,

что 0 < α < 1. Допустим противное, т.е. что уравнение (5) имеет нетривиальное решение

u(x) ∈ Q. Тогда найдётся x₀ > 0 такое, что u(x₀) > 0. Очевидно, что u(0) = 0. Положим

x_n = inf{x : 0 ≤ x ≤ x₀ и u(x) = 2^-nu(x₀)}.

Тогда u(x_n) = 2^-nu(x₀) и в силу леммы 2 справедливо неравенство u(t) ≤ u(x_n) при t < x_n.

Положим lim

x_n = q. Тогда возможны два случая: q = 0 и q > 0.

n→∞

1) Пусть q = 0. В этом случае из уравнения (5) следует, что

∫xn

∫

u^α(x_n) = a(x_n) k^′(x_n - t)u(t)dt ≤ a(x_n)u(x_n) k^′(x_n - t)dt = a(x_n)u(x_n)k(x_n),

или (u(x_n))α-1 ≤ a(x_n)k(x_n). Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, с

учётом того, что u(0) = 0, k(0) = 0 и α - 1 < 0, приходим к противоречию: ∞ ≤ 0.

2) Пусть q > 0. Из определения x_n следует, что q ≤ x_n при любом n ∈ N и u(t) ≡ 0 при

t ≤ q. В самом деле, переходя к пределу при n → ∞ в равенстве u(x_n) = 2^-nu(x₀), получаем

u(q) = 0. Так как функция u(x) не убывает на [0, ∞) и u(0) = u(q) = 0, то u(t) ≡ 0 для

всех t ≤ q. Поэтому из (5) имеем

∫

u^α(x_n) = a(x_n) k^′(x_n - t)u(t)dt + a(x_n) k^′(x_n - t)u(t)dt = a(x_n) k^′(x_n - t)u(t)dt ≤

∫xn

∫

≤ a(x_n)u(x_n) k^′(x_n - t) dt = a(x_n)u(x_n)

k^′(t)dt = a(x_n)u(x_n)k(x_n - q).

Следовательно,

(u(x_n))α-1 ≤ a(x_n)k(x_n - q).

Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞, с учётом того, что u(x_n) = 2^-nu(x₀) → 0,

k(0) = 0 и α - 1 < 0, снова получаем противоречие: ∞ ≤ 0. Лемма доказана.

Из леммы 3 вытекает, что уравнения (2) и (5) не имеет смысла исследовать при 0 < α ≤ 1,

поэтому всюду далее без оговорок предполагается, что α > 1.

Следующая лемма устанавливает связь между интегро-дифференциальным уравнением (2)

и интегральным уравнением (5).

Лемма 4. Пусть выполнены условия (3) и (4). Если u(x) ∈ Q¹⁰ является решением инте-

гро-дифференциального уравнения (2), то u(x) принадлежит конусу Q₀ и является реше-

нием интегрального уравнения (5). Обратно, если уравнение (5) имеет решение u(x) ∈ Q₀,

то u(x) принадлежит конусу Q¹⁰ и является решением уравнения (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЁРТКИ

391

Доказательство. Пусть u(x) ∈ Q¹⁰ является решением уравнения (2). Так как Q¹⁰ ⊂ Q₀,

то u(x) ∈ Q₀. Поскольку k(0) = 0 и u(0) = 0, то, вычисляя интеграл в уравнении (2) по

частям, получаем

∫x

∫

u^α(x) = a(x) k(x - t)du(t) = a(x) u(t)k^′(x - t)dt,

т.е. функция u(x) является решением уравнения (5).

Обратно, пусть u(x) ∈ Q₀ является решением уравнения (5). Тогда, согласно лемме 2,

функция u(x) принадлежит пространству C¹(0, ∞), а значит, u(x) ∈ Q¹⁰. Используя свойство

коммутативности свёртки, формулу интегрирования по частям и равенства k(0) = u(0) = 0,

из уравнения (5) имеем

∫x

∫

u^α(x) = a(x) k^′(t)u(x - t)dt = a(x) k(t)u^′(x - t)dt = a(x) k(x - t)u^′(t)dt,

т.е. функция u(x) является решением уравнения (2). Лемма доказана.

Из леммы 4 вытекает, что для доказательства существования в конусе Q¹⁰ решения инте-

гро-дифференциального уравнения (2) достаточно доказать существование в конусе Q₀ ре-

шения интегрального уравнения (5). Кроме того, из леммы 4 следует, что уравнения (2) и (5)

имеют одно и то же множество решений.

Доказательство основных результатов данной статьи основывается на априорных оценках

снизу и сверху решений уравнения (5). При доказательстве верхней априорной оценки ре-

шения уравнения (5) нам понадобится следующее интегральное неравенство Чебышёва (см.,

например, [3, лемма 17.1]):

∫

v(x - t) w(t) dt ≤ v(t) w(t ) dt, x > 0,

(8)

справедливое для любых неубывающих на [0, ∞) функций v(x) и w(x).

Лемма 5. Пусть выполнены условия (3) и (4). Если функция u(x) ∈ Q₀ является реше-

нием интегрального уравнения (5), то u(x) удовлетворяет неравенствам

F (x) ≤ u(x) ≤ G(x),

(9)

где

(

)1/(α-1)

(∫x

)1/(α-1)

α-1

F (x) =

k^′(0)

a1/α(x)

a1/α(t)dt

(

)1/(α-1)

(∫x

)1/(α-1)

α-1

G(x) =

a1/α(x)

a1/α(t)k^′(t)dt

Доказательство. Пусть u(x) ∈ Q₀ - решение уравнения (5). Так как при x = 0 неравен-

ства (9) обращаются в очевидные равенства, то будем считать далее, что x > 0.

Докажем сначала левое неравенство в (9). Так как a(x) ≥ 0 и k^′(x) не убывает на [0, ∞),

то из тождества (5) имеем

(

)1/α(∫x

)1/α

u(x) ≥ k^′(0)a(x)

u(t) dt

x > 0,

(10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

7^∗

392

АСХАБОВ

или, что то же самое, поскольку k^′(0) > 0 и u(x) > 0 при x > 0,

(∫t

(

)1/α

)-1/α

u(t)

u(s) ds

≥ k^′(0)a(t)

t > 0.

Интегрируя последнее неравенство в пределах от 0 до x, получаем

(∫x

∫

)(α-1)/α

α-1

u(t) dt

≥

(k^′(0))1/α a1/α(t) dt, x > 0,

откуда

(∫x

)1/α

(∫x

)1/(α-1)

⁽α-1)1/(α-1)

1/[α(α-1)]

u(t) dt

≥

(k^′(0))

a1/α(t)dt

x > 0.

(11)

Тогда левое неравенство в (9) непосредственно вытекает из неравенств (10) и (11).

Докажем теперь правое неравенство в (9). Так как в силу условия (3) и леммы 1 функции

k^′(x) и u(x) не убывают на [0,∞), то вследствие неравенства Чебышёва (8) из тождества (5)

вытекает неравенство

∫x

∫

u^α(x) = a(x) k^′(x - t)u(t)dt ≤ a(x) k^′(t)u(t)dt, x > 0,

т.е.

(∫x

)1/α

u(x) ≤ a1/α(x)

k^′(t)u(t)dt

x > 0.

(12)

Из этого неравенства, поскольку k^′(t) > 0 и u ∈ Q₀, следует, что

(∫t

)-1/α

k^′(t)u(t)

k^′(s)u(s)ds

≤ k^′(t)a1/α(t), t > 0.

Интегрируя последнее неравенство в пределах от 0 до x, будем иметь

(∫x

∫

)(α-1)/α

α-1

k^′(s)u(s)ds

≤

k^′(t)a1/α(t)dt, x > 0,

откуда

(∫x

)1/α

∫

)1/(α-1

k^′(t)u(t)dt

≤

k^′(t)a1/α(t)dt

x > 0.

(13)

Таким образом, правое неравенство в (9) - непосредственное следствие неравенств (12) и (13).

Лемма доказана.

Из леммы 5 вытекает, что решения интегрального уравнения (5) естественно искать в

классе

P = {u ∈ C[0,∞) : F(x) ≤ u(x) ≤ G(x)},

где функции F (x) и G(x) определены в лемме 5, а функции k(x) и a(x) удовлетворяют

условиям (3) и (4) соответственно.

В силу леммы 4 утверждения леммы 5 справедливы и для уравнения (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЁРТКИ

393

Пример. Непосредственно проверяется, что функция

(

)1/(α-1)

(∫x

)1/(α-1)

α-1

u^∗(x) =

a1/α(x)

a1/α(t)dt

является решением интегрального уравнения (5) при k(x) = px, где p > 0 - любое число.

Следовательно, если k(x) = px, то при всех x ∈ [0, ∞) справедливы равенства F (x) = u^∗(x) =

= G(x), которые показывают, что априорные оценки решения интегрального уравнения (5),

доказанные в лемме 5, являются в определённом смысле точными.

2. Теорема существования и единственности при α > 1. Определим нелинейный

интегральный оператор свёртки T равенством

(

∫

)1/α

(T u)(x) = a(x) k^′(x - t)u(t) dt

x > 0, α > 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) и (4). Тогда класс P инвариантен относи-

тельно нелинейного оператора T, т.е. T : P → P.

Доказательство. Пусть u ∈ P. Нужно доказать, что тогда и T u ∈ P, т.е. T u ∈ C[0, ∞)

и F(x) ≤ (Tu)(x) ≤ G(x).

1) Так как функции k^′(x), a(x) неотрицательны и принадлежат пространству C[0, ∞),

а 1/α > 0, то очевидно, что оператор T на классе функций u ∈ P определён корректно и

Tu ∈ C[0,∞).

2) Покажем, что (T u)(x) ≥ F (x). Поскольку a(x), k^′(x) неотрицательны, k^′(x) не убы-

вает и u(x) ≥ F (x), то

∫x

∫

[(T u)(x)]^α = a(x) k^′(x - t)u(t) dt ≥ a(x) k^′(x - t)F (t) dt ≥ k^′(0)a(x) F (t) dt =

(

)1/(α-1) ∫ x

(∫t

)1/(α-1)

α-1

= k^′(0)a(x)

k^′(0)

a1/α(t)

a1/α(s)ds

dt = [F (x)]^α,

т.е. (T u)(x) ≥ F (x).

3) Покажем, наконец, что (T u)(x) ≤ G(x). Так как a(x), k^′(x) неотрицательны и u(x) ≤

≤ G(x), а функции k^′(x) и G(x) не убывают на [0, ∞), то в силу неравенства Чебышёва (8)

получаем

∫x

∫

[(T u)(x)]^α = a(x) k^′(x - t) u(t) dt ≤ a(x) k^′(x - t) G(t) dt ≤

∫x

∫

(∫t

)1/(α-1)

≤ a(x) k^′(t) G(t) dt = a(x)

a1/α(t)k^′(t)

a1/α(s)k^′(s)ds

dt =

(∫x

)α/(α-1)

⁽α-1)1/(α-1)

α-1

= a(x)

a1/α(s)k^′(s)ds

= [G(x)]^α,

т.е. (T u)(x) ≤ G₍x), что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Используя монотонность оператора T (т.е. (T u)(x) ≤ (T v)(x), если u(x) ≤ v(x)) нетрудно

(ср. [9, теорема 3.1]) проверить, что последовательность u_n = T un-1, n ∈ N, u₀(x) = F (x),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

394

АСХАБОВ

сходится (как монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху функцией

G(x)) к решению уравнения (5), причём [9, теорема 4.1] это решение единственно в классе Q₀.

Наша цель - найти нижнюю и верхнюю границы решения интегро-дифференциального

уравнения (2), показать, что это решение можно найти методом последовательных приближе-

ний, и установить оценку погрешности и скорости сходимости приближений к этому решению

в терминах метрики вводимого ниже полного метрического пространства.

Исследование интегрального уравнения (5) будет основано на принципе сжимающих отоб-

ражений, и для его применения нам нужно построить соответствующее полное метрическое

пространство. Введём в связи с этим следующий класс функций:

P_b = {u(x) ∈ C[0,b] : F(x) ≤ u(x) ≤ G(x)},

где функции F (x) и G(x) определены в лемме 5, а b > 0 - произвольное число.

В силу вольтерровости оператора T из теоремы 1 непосредственно вытекает

Следствие. Если выполнены условия (3) и (4), то класс P_b инвариантен относительно

интегрального оператора T.

Зафиксируем какое-либо число β ≥ 0 и зададим на прямом произведении P_b×P_b функцию

ρ_b формулой

(∫x

)-1/(α-1)

|u₁(x) - u₂(x)|

ρ_b(u₁,u₂) = sup

a1/α(t)dt

β ≥ 0.

(14)

0<x≤b

a1/α(x)e^βx

Поскольку e^βx ≥ 1 и |u₁(x) - u₂(x)| ≤ G(x) - F (x) для любых u₁, u₂ ∈ P_b, то с учётом

того, что функция k^′(x) не убывает, для любого x ∈ (0, b] получаем

(∫x

)-1/(α-1)

|u₁(x) - u₂(x)|

G(x) - F (x)

a1/α(t)dt

≤

a1/α(t)dt

≤

a1/α(x)e^βx

a1/α(x)

[(∫x

)1/(α-1)

(∫x

)1/(α-1)]

⁽α-1)1/(α-1)a1/α

(x)

≤

a1/α(t)k^′(t)dt

- (k^′(0))1/(α-1)

a1/α(t)dt

a1/α(x)

(∫x

)-1/(α-1)

⁽α-1)1/(α-1)

× a1/α(t)dt

≤

[(k^′(x))1/(α-1) - (k^′(0))1/(α-1)].

Следовательно, для любых u₁, u₂ ∈ P_b величина ρ_b(u₁, u₂) конечна:

)1/(α-1)

⁽α-1

ρ_b(u₁,u₂) ≤

[(k^′(b))1/(α-1) - (k^′(0))1/(α-1)] ≡ c_b < ∞,

т.е. ρ_b - функция из P_b × P_b в [0, c_b]. Несложно убедиться в том, что ρ_b представляет собой

метрику на множестве P_b.

Лемма 6. Множество P_b с метрикой ρ_b является полным метрическим простран-

ством.

Доказательство. Пусть {u_n} - фундаментальная последовательность из P_b. Это означа-

ет, что для любого ε > 0 найдётся такое N = N(ε) > 0, что для всех m, n ≥ N выполняется

неравенство ρ_b(u_m, u_n) < ε, т.е.

(∫x

)-1/(α-1)

|u_m(x) - u_n(x)|

a1/α(t)dt

<ε

(15)

a1/α(x)e^βx

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЁРТКИ

395

для всех m, n ≥ N и любого x ∈ (0, b]. Так как

(∫x

)1/(α-1)

(∫b

)1/(α-1)

a1/α(x)

a1/α(t)dt

e^βx ≤ a1/α(b)

a1/α(t)dt

e^βb ≡ M,

то

(∫x

)-1/(α-1)

|u_m(x) - u_n(x)|

a1/α(t)dt

≥

|u_m(x) - u_n(x)|.

a1/α(x)e^βx

Поэтому вследствие неравенства (15) имеем: |u_m(x)-u_n(x)| ≤ Mε для всех m, n ≥ N и любого

x ∈ [0,b] (здесь мы учли, что u_m(0) = u_n(0) = 0), т.е. {un} является фундаментальной

последовательностью в C[0, b]. В силу полноты метрического пространства C[0, b] существует

функция u ∈ C[0, b] такая, что

lim

u_n(x) = u(x).

(16)

n→∞

Покажем, что u ∈ P_b. Так как {u_n} ⊂ P_b, то для всех n и любого x ∈ [0, b] выполняется

двойное неравенство

F (x) ≤ u_n(x) ≤ G(x).

Переходя в нём к пределу при n → ∞, с учётом равенства (16) получаем: F (x) ≤ u(x) ≤ G(x),

т.е. u ∈ P_b.

Осталось доказать сходимость последовательности {u_n(x)} к функции u(x) по метрике

ρ_b. Переходя в неравенстве (15) к пределу при m → ∞, имеем

(∫x

)-1/(α-1)

|u(x) - u_n(x)|

a1/α(t)dt

<ε

a1/α(x)e^βx

для всех n ≥ N и любого x ∈ (0, b], т.е. ρ_b(u_n, u) < ε для всех n ≥ N, что и требовалось.

Лемма доказана.

Итак, доказано, что если во множестве P_b функций ввести метрику (14), то оно превра-

щается в полное метрическое пространство. Кроме того, мы показали (см. следствие выше),

что нелинейный оператор свёртки T действует из P_b в P_b.

Выберем теперь достаточно малое число c ∈ (0, b) такое, чтобы выполнялось неравенство

k^′(c) < αk^′(0).

(17)

Очевидно, что такое число c существует, так как k^′(0) > 0, k^′(x) непрерывна и α > 1.

Положим

k^′(x) - k^′(0)

β=

sup

(18)

k^′(0)

c≤x≤b

Справедлива следующее утверждение (ср. [10]).

Лемма 7. Пусть ядро k(x) удовлетворяет условию (3). Тогда для любого x ∈ [0, b] спра-

ведливо неравенство

k^′(x)e^-βx ≤ k^′(c),

(19)

где числа c и β определяются условием (17) и формулой (18) соответственно.

Доказательство. Если k^′(x) ≡ const, то β = 0 и неравенство (19) обращается в тождест-

во. Пусть k^′(x) ≡ const. Тогда β > 0 в силу условия (3). Рассмотрим отдельно два случая.

1) Пусть 0 ≤ x ≤ c. Тогда, учитывая, что производная k^′(x) не убывает и β > 0, имеем

k^′(x)e^-βx ≤ k^′(x) ≤ k^′(c), что и требовалось.

2) Пусть c ≤ x ≤ b. В этом случае

k^′(x) - k^′(0)

k^′(x) = k^′(0) + k^′(0)x

≤ k^′(0)[1 + xβ] ≤ k^′(0)e^βx.

k^′(0)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

396

АСХАБОВ

Следовательно, k^′(x) ≤ k^′(0)e^βx ≤ k^′(c)e^βx, откуда получаем, что k^′(x)e^-βx ≤ k^′(c) для лю-

бого x ∈ [c, b]. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда оператор T действует из P_b в P_b

и является сжимающим, при этом для любых u₁, u₂ ∈ P_b выполняется неравенство

k^′(c)

ρ_b(Tu₂,Tu₁) ≤

ρ_b(u₂,u₁),

(20)

αk^′(0)

где число c определяется условием (17).

Доказательство. То, что оператор T действует из P_b в P_b, установлено в следствии

выше. Докажем неравенство (20), т.е. что оператор T является в силу неравенства (17) сжи-

мающим. Пусть u₁, u₂ ∈ P_b и x ∈ (0, b]. По теореме Лагранжа для любых z₁, z₂ > 0 имеем

z1/α1 - z1/α2 =1Θ1/α-1(z1 - z2),

где Θ - некоторое число, лежащее между z₁ и z₂. Поэтому, если z₁ ≥ z₀ и z₂ ≥ z₀, где

z₀ > 0, то Θ > z₀ и, значит,

|z1/α1 - z1/α2| ≤1|z1 -z2|

αz(α-1)/α

Используя это неравенство и то, что (T u₁)(x) ≥ F (x) и (T u₂)(x) ≥ F (x), для всех x ∈ (0, b]

имеем

|(T u₂)(x) - (T u₁)(x)| =

(

∫

)1/α (

∫

)1/α



=  a(x) k^′(x - t)u₂(t)dt

- a(x) k^′(x - t)u₁(t) dt



≤



∫



≤

(F^α(x))(1-α)/αa(x) k^′(x - t)[u₂(t) - u₁(t)] dt

≤

(

(∫x

∫

)-1

α-1

≤

k^′(0)

a(1-α)/α(x)

a1/α(t)dt

a(x) k^′(x - t)|u₂(t) - u₁(t)| dt.

α α

Итак,

(∫x

∫

)-1

a1/α(x)

|(T u₂)(x) - (T u₁)(x)| ≤

a1/α(t)dt

k^′(x - t)|u₂(t) - u₁(t)|dt.

(21)

(α - 1)k^′(0)

Поскольку для любого x > 0 выполняется неравенство

(∫x

)1/(α-1)

(∫x

)-1/(α-1)

|u₂(x) - u₁(x)|

|u₂(x) - u₁(x)| = a1/α(x)

a1/α(t)dt

e^βx

a1/α(t)dt

≤

a1/α(x)e^βx

(∫x

)1/(α-1)

≤ a1/α(x)

a1/α(t)dt

e^βxρ_b(u₂,u₁),

то вследствие оценки (21) с учётом леммы 5 получаем

|(T u₂)(x) - (T u₁)(x)| ≤

(∫x

∫

(∫t

)1/(α-1)

)-1

a1/α(x)ρb(u2, u1)

≤

a1/α(t)dt

k^′(x - t)a1/α(t)

a1/α(s)ds

e^βt dt =

(α - 1)k^′(0)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЁРТКИ

397

(∫x

∫

(∫t

)1/(α-1)

βx

)-1

a1/α(x)ρ_b(u₂,u₁)e

a1/α(t)dt

k^′(x - t)e-β(x-t)a1/α(t)

a1/α(s)ds

dt ≤

(α - 1)k^′(0)

(∫x

∫

βx

)α/(α-1)

k^′(c)a1/α(x)ρ_b(u₂,u₁)e

≤

a1/α(t)dt

a1/α(s)ds

(α - 1)k^′(0)

(∫x

)1/(α-1)

k^′(c)

a1/α(x)e^βx

a1/α(t)dt

ρ_b(u₂,u₁).

αk^′(0)

Следовательно, для всех x ∈ (0, b] имеет место неравенство

(∫x

)-1/(α-1)

|(T u₂)(x) - (T u₁)(x)|

k^′(c)

a1/α(t)dt

≤

ρ_b(u₂,u₁),

a1/α(x)e^βx

αk^′(0)

которое равносильно неравенству (20). Поскольку в силу неравенства (17) коэффициент

k^′(c)/[α k^′(0)] в неравенстве (20) меньше единицы, то оператор T является сжимающим. Тео-

рема доказана.

Теорема 3. Если выполнены условия (3), (4), то интегральное уравнение (5) имеет в

конусе Q₀ (и в классе P_b при любом b > 0) единственное решение. Это решение может

быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся к нему по мет-

рике (14) при любом b < ∞.

Доказательство. Запишем уравнение (5) в операторном виде: u = T u. Из леммы 6 и

теоремы 2 следует, что выполнены все требования принципа сжимающих отображений, из

которого непосредственно вытекает, что уравнение (5) имеет единственное решение в мет-

рическом пространстве P_b при любом b > 0 и это решение может быть найдено методом

последовательных приближений, которые сходятся к нему по метрике (14) при любом b < ∞.

Покажем, что уравнение (5) имеет единственное решение в конусе Q₀. Из единственности

и непрерывности решения уравнения (5) в каждом классе P_b вытекает, что для любых b₂ > b₁

решение ub2 ∈ Pb2 является непрерывным продолжением решения ub1 ∈ Pb1 . Следовательно,

если обозначить через u_n(x) решение уравнения (5) в классе P_n, то функция u(x) = u_n(x)

при x ∈ [n, n + 1], n ∈ N, будет решением уравнения (5) в конусе Q₀. Таким образом,

существование в конусе Q₀ решения уравнения (5) установлено. Осталось доказать его един-

ственность. Предположим, что в конусе существуют два решения u₁(x) и u₂(x) уравнения

(5). Поскольку для этих решений справедливы априорные оценки (9), т.е. F (x) ≤ u_i(x) ≤ G(x),

x ∈ [0,∞), i = 1,2, то сужение каждого из этих решений на любой отрезок [0,b] является

решением уравнения (5) в классе P_b. Поэтому, если бы u₁(x) = u₂(x), то нашлось бы b >

> 0, при котором в классе P_b уравнение (5) имело бы два решения, что невозможно. Теорема

доказана.

Таким образом, на основании теоремы 3, используя связь между решениями уравнений (5)

и (2), установленную в лемме 4, мы можем сформулировать основной результат данной работы.

Теорема 4. Если выполнены условия (3), (4), то интегро-дифференциальное уравнение

типа свёртки со степенной нелинейностью (2) имеет в конусе Q¹⁰ (и в классе P_b при лю-

бом b > 0) единственное решение u^∗(x). Это решение удовлетворяет неравенствам (9),

и его можно найти в полном метрическом пространстве P_b методом последовательных

приближений по формуле u_n = Tun-1, n ∈ N, со сходимостью по метрике (14), в которой

числа c и β определяются условием (17) и формулой (18). При этом справедлива следующая

оценка погрешности:

ρ_b(u_n,u^∗) ≤

ρ_b(Tu₀,u₀), n ∈ N,

1-q

где q = k^′(c)/(αk^′(0)) < 1, а u₀(x) ∈ P_b - начальное приближение (произвольная функция).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

398

АСХАБОВ

Приведём теперь несколько простых примеров, иллюстрирующих полученные результаты.

1. Если k(x) = px, p > 0, a(x) = 1, то уравнение (2) имеет в конусе Q¹⁰ единственное

решение

(

)1/(α-1)

α-1

u(x) =

2. Если k(x) = e^x -1, a(x) = 1, то уравнение (2) имеет в конусе Q¹⁰ единственное решение

u(x) = (e[(α-1)/α]x - 1)1/(α-1).

3. Если α = 2, k(x) = e^x -1, a(x) = e2x, то уравнение (2) имеет в конусе Q¹⁰ единственное

решение u(x) = 2e3x/2(ex/2 - 1).

4. Если α = 2, k(x) = e^x - 1, a(x) = x², то уравнение (2) имеет в конусе Q¹⁰ единственное

решение u(x) = (2ex/2 - x - 2)x.

В приведённых примерах ядра k(x) и коэффициенты a(x) удовлетворяют всем требова-

ниям условий (3), (4).

В тех случаях, когда условия теоремы 4 не выполняются, интегро-дифференциальное урав-

нение (2) может либо не иметь нетривиальных решений, либо иметь континуум нетривиальных

решений. Например, если α = 1 и k(x) = x, то уравнение (2) при a(x) = 1 не имеет в конусе

Q¹⁰ решений. Если α = 1 и k(x) = 1, то уравнение (2) при a(x) = 1 имеет в конусе Q¹⁰ кон-

тинуум решений u(x) = Ax^q, где A и q - любые положительные числа. Если же k(x) = 1,

a(x) = e^x, то уравнение (2) имеет лишь тривиальное решение u(x) ≡ 0.

В заключение отметим, что, следуя работе [11], можно обобщить результаты данной статьи

на случай уравнения вида (2) с неоднородностью f(x) в линейной части.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-

дований (проект 18-41-200001) и публикуется в рамках выполнения государственного задания

в соответствии с Дополнительным соглашением от 07.07.2020 № 075-03-2020-239/2 реестр № 248

КБК 01104730290059611.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Askhabov S.N., Betilgiriev M.A. A-priori estimates for the solutions of a class of nonlinear convolution

equations // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1991. V. 10. № 2. P. 201-204.

2. Okrasinski W. Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989. V. 4. № 2.

P. 51-74.

3. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М., 2009.

4. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications. Cambridge, 2017.

5. Белицкий А. Заметка о применении метода Банаха-Каччиополи-Тихонова в теории обыкновенных

дифференциальных уравнений // Бюлл. Польской АН. Отд. 3. 1956. T. 4. № 5. C. 255-258.

6. Белицкий А. Заметка о применении метода Банаха-Каччиополи-Тихонова в теории уравнения s =

= f(x,y,z,p,q) // Бюлл. Польской АН. Отд. 3. 1956. T. 4. № 5. C. 259-262.

7. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М., 1969.

8. Corduneanu C. Bielecki’s method in the theory of integral equations // Ann. UMCS. Sec. A. Math. 1984.

V. 38. P. 49-65.

9. Okrasinski W. On a nonlinear Volterra equation // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V. 8. № 3. P. 345-350.

10. Okrasinski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain nonlinear convolution

equation // Annal. Polon. Math. 1979. V. 36. № 1. P. 61-72.

11. Асхабов С.Н. Интегро-дифференциальное уравнение типа свёртки со степенной нелинейностью и

неоднородностью в линейной части // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 786-795.

Чеченский государственный педагогический

Поступила в редакцию 28.07.2020 г.

университет, г. Грозный,

После доработки 28.07.2020 г.

Чеченский государственный университет

Принята к публикации 22.01.2021 г.

г. Грозный

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021