ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.399-410
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.7+519.21+517.982.4
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ПОРОЖДЁННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ЗАДАЧАМИ
© 2021 г. И. В. Мельникова, В. А. Бовкун, У. А. Алексеева
Изучаются связи между стохастическими дифференциальными уравнениями, источника-
ми случайностей в которых являются непрерывные и разрывные случайные процессы, и
детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик решений этих сто-
хастических уравнений. Для исследования применяются различные подходы, основанные
на стохастической формуле замены переменной (формулы Ито), на анализе локальных ин-
финитезимальных характеристик процесса, на теории полугрупп операторов в сочетании
с обобщённым преобразованием Фурье, что позволило получить прямые и обратные инте-
гро-дифференциальные уравнения для различных вероятностных характеристик.
DOI: 10.31857/S0374064121030109
Введение. Широкий класс процессов, возникающих в различных областях естествозна-
ния, социальных явлений, экономики, математически можно описать с помощью дифферен-
циальных уравнений со случайными возмущениями - стохастическими дифференциальными
уравнениями (СДУ).
Наиболее изученным является класс СДУ, источником случайностей в которых служит
винеровский процесс: решения таких уравнений (диффузионные процессы) в силу непрерыв-
ности траекторий винеровского процесса также обладают свойством непрерывности траек-
торий, поэтому моделирование в рамках уравнений диффузионного типа является наиболее
подходящим для описания процессов, не имеющих скачков.
Классические диффузионные процессы обладают характерным свойством: дисперсия от-
клонения процесса за время Δt от начального положения пропорциональна Δt; такие про-
цессы называют нормальной диффузией. Однако, например, для процессов диффузии в турбу-
лентных средах или диффузии белка в молекуле ДНК по результатам наблюдений дисперсия
отклонения пропорциональна Δtμ, μ > 1. Процессы с такими свойствами (их называют про-
цессами супердиффузии), как и процессы со скачками, невозможно описать в рамках нормаль-
ной диффузии, но они моделируются при помощи процессов Леви и более общих марковских
процессов - процессов типа Леви (см., например, [1]).
Как в приложениях, так и в фундаментальных исследованиях обычно интересуются не
столько самим процессом, сколько различными его характеристиками, поэтому связь меж-
ду стохастическими уравнениями и отвечающими им детерминированными уравнениями для
вероятностных характеристик этих стохастических процессов является одним из основных
направлений стохастического анализа. Наиболее исследованной эта связь остаётся для диф-
фузионных процессов и соответствующих им уравнений для характеристик, представляющих
собой уравнения в частных производных параболического типа (см., например, [2, 3]).
В настоящей работе мы рассматриваем способы перехода от СДУ к уравнениям для веро-
ятностных характеристик на примере класса уравнений, источником случайности в которых
служат процессы Леви. Особенность рассматриваемых процессов, отличающая их от диф-
фузионных процессов, состоит в том, что получаемые детерминированные уравнения явля-
ются интегро-дифференциальными (псевдодифференциальными). Мы обсуждаем следующие
основные подходы.
1. Подход, основанный на стохастическом интеграле Ито (см., например, [4, 5]) - в нём
рассматриваются характеристики типа усреднения борелевской функции от изучаемого про-
цесса и на основе формулы Ито выводится интегро-дифференциальное уравнение, решением
которого является выбранная характеристика. Имеет место и обратная связь: от уравнений
для вероятностных характеристик к стохастическим уравнениям (см, например, [6, 7]).
399
400
МЕЛЬНИКОВА и др.
2. Подход, позволяющий получить уравнения для вероятностных характеристик в пред-
положении существования трёх пределов для изучаемого случайного процесса: пределов при
Δt → 0 для “первого и второго моментов” при условии близости значений процесса в моменты
времени t и t + Δt (см. условия (9), (10) ниже) и предела (11), отвечающего за свойства
непрерывности процесса (см., например, [2, 8]).
3. Полугрупповой подход, устанавливающий связь между однородными марковскими про-
цессами и переходными полугруппами этих процессов (марковскими, феллеровскими, Леви)
(см., например, [9-12]).
4. Подход к изучению свойств стохастических процессов через поведение характеристиче-
ской функции - преобразования Фурье (в общем случае обобщённого) переходной функции
процесса. В этом подходе, примыкающем к предыдущему, формула Леви-Хинчина для без-
гранично делимых распределений позволяет получить представление Фурье-образа генератора
переходной полугруппы в форме полинома второго порядка и некоторого интегрального сла-
гаемого, отвечающего за поведение процесса при наличии разрывных случайных возмущений.
Между всеми этими подходами существуют глубокие и не всегда очевидные связи, не все из
которых изучены в желаемой полноте, несмотря на огромное количество работ, посвящённых
исследованию указанных вопросов. Например, как мы увидим в настоящей работе, одна и та
же функция в первом подходе определяет некоторую вероятностную характеристику процесса,
во втором может служить в роли пробной функции при изучении уравнений в пространствах
обобщённых функций, а в третьем - начальным условием при действии полугруппы.
Работа состоит из четырёх пунктов. В п. 1 даны ответы на вопросы, что следует понимать
под СДУ, источником случайности в котором служит процесс Леви, и каковы условия суще-
ствования решения этого уравнения. В п. 2 на основе обобщения формулы Ито на случай раз-
рывных процессов выведено обратное интегро-дифференциальное уравнение для вероятност-
ной характеристики вида g(t, x) := Et,x[h(X(T ))], определяемой в общем случае борелевской
функцией h от случайного процесса X = {X(t) : t ∈ [0, T ]}. В п. 3 обсуждается подход, осно-
вывающийся на предположении о существовании трёх пределов. Рассмотренный здесь пример
позволил продемонстрировать возможности обобщённого дифференцирования при трактовке
уравнения для плотности переходной вероятности процесса X. В п. 4 показано, как методами
преобразования Фурье может быть получен генератор переходной полугруппы {S(t) : t ≥ 0}
процесса X, который является псевдодифференциальным оператором. На основе этого запи-
сано уравнение для характеристик процесса вида u(t, x) := S(t)h(x) и показана связь между
свойствами гладкости характеристики g(t, x) и определяющей её функции h(x).
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы прояснить связи между свойствами случай-
ных процессов, моделируемых стохастическими уравнениями, интегро-дифференциальными
уравнениями для их характеристик, полугруппами операторов, обобщёнными решениями и
преобразованием Фурье, поэтому для прозрачности все рассуждения проводятся для случая
процессов со значениями в R. Полученные результаты можно перенести на случай значений
в Rn. Исследования бесконечномерных задач, которым посвящены наши работы последнего
времени, осложняются уже на этапе постановки задачи (см., например, [13-15]), поэтому они
потребовали тщательного предварительного анализа в конечномерном случае.
1. Постановка задачи. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
dX(t) = α(X(t)) dt + β(X(t)) dL(t), t ≥ 0,
(1)
в котором источником случайности является процесс Леви L = {L(t) : t ≥ 0}.
Определение 1 [16]. Случайный процесс L = {L(t) : t ≥ 0}, заданный на вероят-
ностном пространстве (Ω, F, (Ft)t≥0, P) и принимающий значения в фазовом пространстве
(Rn, B(Rn)), называется процессом Леви, если он удовлетворяет следующим условиям:
(L1) представляет собой процесс с независимыми приращениями, т.е. для любых n ∈ N и
0 ≤ t1 < ... < tn случайные величины L(0), L(t1) - L(0), L(t2) - L(t1), ..., L(tn) - L(tn-1)
независимы;
(L2) стартует из нуля п.н., т.е. L(0) = 0 п.н.;
(L3) однороден по времени, т.е. закон распределения приращения L(L(s + t) - L(s)), s, t ≥
≥ 0, не зависит от s;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
401
(L4) стохастически непрерывен, т.е. P(|L(s + t) - L(s)| > ε) → 0 при t → 0 для любых
s ≥ 0, ε > 0;
(L5) его траектории непрерывны справа и имеют конечные пределы слева п.н.
Если для процесса L выполнены условия (L1)-(L4), то он называется процессом Леви по
распределению.
При рассмотрении процессов Леви условие (L5) часто опускают. Это связано с тем, что у
любого процесса Леви по распределению существует модификация, траектории которой п.н.
непрерывны справа и имеют конечные пределы слева (см., например, [10]). В настоящей работе
условие (L5) предполагается выполненным.
Следуя [4], введём величину
N (t, A) = #{0 ≤ s ≤ t : ΔL(s) ∈ A}, t ≥ 0, A ∈ B(R \ {0}),
равную количеству тех скачков процесса L за промежуток времени [0, t], высота ΔL(s) :=
:= L(s) - L(s-) которых принадлежит множеству A. При любых ω ∈ Ω и t ≥ 0 функция
N (t, · )(ω) представляет собой считающую меру на B(R \ {0}), а ν(·) = E[N(1, · )] - меру
интенсивности, связанную с процессом L. Если множество A ограничено снизу∗), то процесс
{N(t, A) : t ≥ 0} является пуассоновским с интенсивностью λ = ν(A), при этом мера N(t, A) -
пуассоновская случайная мера на пространстве (R+ × (R \ {0}), B(R+)
⊗B(R \ {0})), а мера
N (t, A) := N(t, A) - tν(A) - мартингально-значная пуассоновская случайная мера на этом
пространстве.
Во введённых обозначениях структура процесса Леви описывается разложением Леви-Ито
(см., например, [4, c. 126]):
∫
∫
L(t) = at + bW (t) +
qN(t,dq) +
N (t, dq),
(2)
|q|≥1
|q|<1
где {W (t) : t ≥ 0} - стандартный винеровский процесс, a, b - постоянные величины. Бла-
годаря этому представлению становится возможным придать смысл дифференциалу dL(t) в
уравнении (1) и получить обобщающую это уравнение математическую модель процесса X в
форме СДУ вида
∫t
∫
t
X(t) - ξ = a(X(s-)) ds + b(X(s-)) dW (s) +
0
0
∫t
∫
∫
t
∫
+
K(X(s-), q)N(ds, dq) +
F (X(s-), q
N (ds, dq), t ∈ [0, T ],
(3)
0 |q|≥1
0 |q|<1
где коэффициенты a, b, K, F удовлетворяют условиям существования интегралов. Второе
слагаемое в правой части уравнения (3) представляет собой интеграл Ито по винеровскому
процессу, а третье слагаемое, поскольку в силу условия (L5) процесс L не может иметь бес-
конечное число скачков за конечный промежуток времени, является конечной суммой:
∫
t
∫
∑
K(X(s-), q)N(ds, dq) =
K(X(s-), ΔL(s)) · χA(ΔL(s)),
0≤s≤t
0 |q|≥1
где A = {q ∈ R : |q| ≥ 1}, χA(·) - характеристическая функция множества A. Наконец,
последнее слагаемое в (3) может быть записано следующим образом:
t
t
t
∫
∫
∫
∫
∫
∫
F (X(s-), q
N (ds, dq) =
F (X(s-), q)N(ds, dq) -
F (X(s-), q)ν(dq) ds.
0 |q|<1
0 |q|<1
0 |q|<1
∗) A ∈ B(R \ {0}) и 0 ∈ A.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
402
МЕЛЬНИКОВА и др.
Процесс X = {X(t) : t ≥ 0}, определяемый уравнением (3), имеет более общую структуру,
чем процесс (2), и называется процессом типа Леви. Известны достаточно общие условия его
существования, которые даёт [4, c. 374, 388] следующая
Теорема 1. Пусть отображение K является предсказуемым, а отображения a, b, F
удовлетворяют условиям Липшица и подлинейного роста: существуют положительные по-
стоянные C1 и C2, при которых справедливы неравенства
∫
|a(y) - a(z)| + |b(y) - b(z)| +
|F (y, q) - F (z, q)|ν(dq) ≤ C1|y - z|, y, z ∈ R,
|q|<1
∫
a2(y) + b2(y) +
F2(y,q)ν(dq) ≤ C2(1 + y2), y ∈ R.
|q|<1
Тогда существует единственное сильное∗) решение задачи (3), которое является однородным
марковским процессом.
В настоящей работе выведены интегро-дифференциальные (псевдодифференциальные)
уравнения для вероятностных характеристик процесса X, заданного уравнением (3). Для
этого использован подход на основе формулы Ито, подход А.Н. Колмогорова, основанный на
вычислении пределов, и полугрупповой подход в соединении с преобразованием Фурье.
2. Подход на основе формулы Ито. Формула Ито для разрывного процесса, каковым
в общем случае является процесс типа Леви, имеет более сложную структуру, чем в случае
непрерывных процессов.
Пусть {X(t) : t ≥ 0} - процесс типа Леви, определяемый равенством
∫t
∫
t
∫
t
∫
X(t) - ξ = a(s) ds + b(s) dW (s) +
K(s, q)N(ds, dq) +
0
0
0 |q|≥1
∫t
∫
+
F(s, q
N (ds, dq), t ∈ [0, T ].
(4)
0 |q|<1
Тогда для любой функции f ∈ C1,2(R+, R) с вероятностью 1 имеет место равенство
∫t
(
)
1
f (t, X(t)) - f(0, X(0)) =
f′s(s,X(s-)) + a(s)f′x(s,X(s-)) +
b2(s)f′′xx(s,X(s-)) ds +
2
0
∫t
∫
+
[f(s, X(s-) + K(s, q)) - f(s, X(s-))]N(ds, dq) +
0 |q|≥1
∫t
∫t
∫
+ b(s)f′x(s,X(s-))dW(s) +
[f(s, X(s-) + F(s, q)) - f(s, X(s-))
N (ds, dq) +
0
0 |q|<1
∫t
∫
+
[f(s, X(s-) + F(s, q)) - f(s, X(s-)) - F(s, q)f′x(s, X(s-))]ν(dq) ds,
(5)
0 |q|<1
называемое формулой Ито для процесса типа Леви (4) (см., например, [17; 5, c. 278]).
∗) Как принято в стохастическом анализе, сильным решением называется процесс, удовлетворяющий п.н.
равенству (3) и согласованный с фильтрацией (Ft)t≥0, порождённой случайными возмущениями, входящими
в уравнение.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
403
Рассмотрим процесс X = {X(t) : t ≥ 0} - сильное решение задачи (3). Поскольку X
является марковским, ему соответствует функция переходной вероятности P (t, x; T, A) - ве-
роятность перехода процесса X из положения x, в котором он находился в момент времени t,
в одно из состояний борелевского множества A за время T - t. Важными характеристиками
текущего положения процесса, X(t) = x, являются функции вида
∫
g(t, x) := Et,x[h(X(T ))] = h(y)P (t, x; T, dy), t ∈ [0, T ], x ∈ R,
(6)
R
где h : R → R - ограниченная борелевская функция. В следующей теореме на основе фор-
мулы Ито выведено интегро-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
g(t, x). Это уравнение является обратным и для него ставится обратная задача Коши с усло-
вием g(T, x) = h(x).
Теорема 2. Пусть X = {X(t) : t ≥ 0} - сильное решение задачи (3) c начальным условием
ξ ∈ R. Если функция g(t,x), определяемая равенством (6), имеет непрерывные частные
производные g′t, g′x, g′′xx, то она является решением задачи Коши
∫
1
-g′t(t,x) = a(x)g′x(t,x) +
b2(x)g′′xx(t,x) +
[g(t, x + K(x, q)) - g(t, x)]ν(dq) +
2
|q|≥1
∫
+
[g(t, x + F (x, q)) - g(t, x) - F (x, q)g′x(t, x)]ν(dq),
|q|<1
g(T, x) = h(x), x ∈ R, t ∈ [0, T ].
(7)
Доказательство. Применив формулу Ито (5) к функции g и процессу X, получим
g(t, X(t)) - g(0, X(0)) =
∫t(
)
1
=
g′s(s,X(s-)) + a(X(s-))g′x(s,X(s-)) +
b2(X(s-))g′′xx(s,X(s-)) ds +
2
0
∫t
∫
∫
t
+
[g(s, X(s-) + K(X(s-), q)) - g(s, X(s-))]N(ds, dq) + b(X(s-))g′x(s, X(s-)) dW (s) +
0 |q|≥1
0
∫t
∫
+
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-))
N (ds, dq) +
0 |q|<1
∫t
∫
+
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-)) - F (X(s-), q)g′x(s, X(s-))]ν(dq) ds.
(8)
0 |q|<1
В силу определения функции g и марковского свойства процесса X имеем
E[g(t, X(t))] = E[Et,X(t)[h(X(T ))]] =
∫
∫
∫
=
h(y)P (t, x; T, dy)P (0, ξ; t, dx) = h(y)P (0, ξ; T, dy) = E[g(0, X(0))],
R R
R
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
404
МЕЛЬНИКОВА и др.
следовательно, математическое ожидание правой части представления (8) равно нулю. Тогда,
согласно стохастической теореме Фубини, справедливо равенство
∫
t
[
]
1
E g′s(s,X(s-)) + a(X(s-))g′x(s,X(s-)) +
b2(X(s-))g′′xx(s,X(s-)) ds +
2
0
[∫ t
∫
]
+E
[g(s, X(s-) + K(X(s-), q)) - g(s, X(s-))]N(ds, dq)
+
0 |q|≥1
[∫ t
]
+ E b(X(s-))g′x(s,X(s-))dW(s)
+
0
[∫ t
∫
]
+E
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-))
N (ds, dq)
+
0 |q|<1
∫t
[ ∫
]
+ E
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-)) - F (X(s-), q)g′x(s, X(s-))]ν(dq) ds = 0.
0
|q|<1
В силу мартингальности винеровского процесса и меры
N третье и четвёртое слагаемые в
этом равенстве нулевые. Воспользовавшись следующим свойством пуассоновской случайной
меры N :
[∫
]
∫
E f(q)N(ds,dq)
= ds f(q)ν(dq), f ∈ L1(A),
A
A
получим
∫
t
[
1
E g′s(s,X(s-)) + a(X(s-))g′x(s,X(s-)) +
b2(X(s-))g′′xx(s,X(s-)) +
2
0
∫
+
[g(s, X(s-) + K(X(s-), q)) - g(s, X(s-))]ν(dq) +
|q|≥1
∫
]
+
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-)) - F (X(s-), q)g′x(s, X(s-))]ν(dq) ds = 0.
|q|<1
В силу произвольности t ∈ [0, T ] отсюда следует, что подынтегральная функция равна нулю
при любом 0 ≤ s ≤ t ≤ T :
[
1
E g′s(s,X(s-)) + a(X(s-))g′x(s,X(s-)) +
b2(X(s-))g′′xx(s,X(s-)) +
2
∫
+
[g(s, X(s-) + K(X(s-), q)) - g(s, X(s-))]ν(dq) +
|q|≥1
∫
]
+
[g(s, X(s-) + F (X(s-), q)) - g(s, X(s-)) - F (X(s-), q)g′x(s, X(s-))]ν(dq)
= 0.
|q|<1
Если эволюция процесса началась в момент времени t ∈ [0, T ] из точки X(t) = x ∈ R, то
последнее равенство переходит в искомое обратное уравнение (7). Теорема доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
405
3. Подход через предельные соотношения. Этот подход восходит к идеям А.Н. Колмо-
горова [18] для диффузионных процессов и в нём используются три предельные величины [8,
с. 56].
Пусть p(t, x; T, y) - плотность переходной вероятности∗) процесса {X(t) : t ≥ 0} и пусть
при любом ε > 0 существуют конечные пределы
∫
1
lim
(z - x)p(t, x; t + Δt, z) dz = A(t, x) + O(ε),
(9)
Δt→0 Δt
|z-x|<ε
∫
1
lim
(z - x)2p(t, x; t + Δt, z) dz = B(t, x) + O(ε),
(10)
Δt→0 Δt
|z-x|<ε
p(t, x; t + Δt, z)
lim
= G(t, x; z) при условии
|z - x| > ε.
(11)
Δt→0
Δt
Тогда плотность p(t, x; T, y) удовлетворяет обратному уравнению:
1
-p′t(t,x;T,y) = A(t,x)p′x(t,x;T,y) +
B(t, x)p′′xx(t, x; T, y) +
2
∫
+ (p(t, z; T, y) - p(t, x; T, y))G(t, x; z) dz, t ∈ (0, T ).
(12)
R
Сходимость в равенствах (9), (10) предполагается равномерной по x и t, а в равенстве (11) -
по x, z и t. Отметим, что в случае диффузионных процессов предел (11) равен нулю - этот
предел служит характеристикой непрерывности/разрывности процесса.
В качестве примера, иллюстрирующего этот подход, получим обратное уравнение для плот-
ности переходной вероятности процесса
X(t) = at + bW (t) + cN(t), t ≥ 0,
(13)
где W = {W (t) : t ≥ 0} - стандартный винеровский процесс, {N(t) : t ≥ 0} - пуассоновский
процесс с интенсивностью λ, а величины a, b, c - константы. Будем считать, что винеровский
и пуассоновский процессы заданы независимо друг от друга, и найдём плотность распределе-
ния вероятностей процесса (13) как свёртку плотностей распределения каждого слагаемого.
Плотность вырожденного распределения является δ-функцией:
paτ (z) = δ(z - aτ),
плотность распределения вероятностей случайной величины bW (τ) имеет вид
1
pbW(τ)(z) =
√ e-z2/(2τb2),
b
2πτ
а плотность распределения случайной величины cN(τ) - вид
[z/c]∑
(λτ)k
pcN(τ)(z) =
δ(z - ck)e-λτ .
k!
k=0
Поэтому для плотности распределения вероятностей случайной величины X(τ) получаем
-λτ
e
∑ (λτ)k
pX(τ)(z) = paτ ∗ pbW(τ) ∗ pcN(τ)(z) =
√
e-(z-ck-aτ)2/(2τb2).
b
2πτk=0
k!
∗) Далее для краткости вместо “плотность функции переходной вероятности” будем писать “плотность”
везде, где это не вносит двусмысленности.
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
406
МЕЛЬНИКОВА и др.
Пользуясь тем, что рассматриваемые процессы и, как следствие, процесс (13) однородны во
времени и пространстве: p(t, x; T, y) = p(0, 0; T - t, y - x), а функция p(0, 0; T - t, y - x)
представляет собой плотность распределения вероятностей pX(T-t)(y - x), будем иметь
-λ(T -t)
e
∑ (λ(T - t))k
p(t, x; T, y) =
√
e-(y-x-ck-a(T-t))2/(2b2(T-t)).
b
2π(T - t)k=0
k!
Вычисляя для процесса X его локальные моменты (9) и (10) и функцию G(t, x; z), при-
ходим к формулам
{
∫
1
a,
ε ≤ c,
A(t, x) = lim
(z - x)p(t, x; t + Δt, z) dz =
Δt→0
Δt
a + cλ,
ε > c,
|z-x|<ε
{
∫
1
b2,
ε ≤ c,
B(t, x) = lim
(z - x)2p(t, x; t + Δt, z) dz =
Δt→0
Δt
b2 + c2λ,
ε > c,
|z-x|<ε
{
p(t, x; t + Δt, z)
λδ(z - x - c), ε ≤ c,
G(t, x; z) = lim
=
Δt→0
Δt
0,
ε > c.
Найденные предельные величины позволяют записать обратное уравнение (12) для функции
p(t, x; T, y) - плотности процесса (13):
2
b
-p′t(t,x;T,y) = ap′x(t,x;T,y) +
p′′xx(t,x;T,y) + λ(p(t,x + c;T,y) - p(t,x;T,y)).
(14)
2
В рассмотренном примере плотность процесса X является дифференцируемой только в
смысле обобщённых функций. Поскольку в этом случае при малых ε (ε ≤ c) функции A(t, x)
и B(t,x) постоянны, а G(t,x;·) является δ-функцией, то и само уравнение (14) допуска-
ет формализацию в обобщённом смысле; при этом в качестве основных функций достаточно
рассмотреть дважды непрерывно дифференцируемые функции переменного x с компактным
носителем. Формализовать уравнение (12) в общем случае сложнее, в частности, из-за поведе-
ния функций A(t, x) и B(t, x), которые не являются мультипликаторами в этом пространстве
основных функций.
Замечание. Обсуждаемый в этом пункте подход позволяет получить, наряду с обратным,
и прямое уравнение для плотности переходной вероятности. Пусть при любом ε > 0 равно-
мерно по x и t существуют пределы (9), (10) и равномерно по x, z и t предел (11). Тогда
плотность p(t, x; T, y) удовлетворяет прямому уравнению [8, с. 50]
2
∂
1 ∂
p′T (t,x;T,y) = -
(A(T, y)p(t, x; T, y)) +
(B(T, y)p(t, x; T, y)) +
∂y
2 ∂y2
∫
+ (G(T, z; y)p(t, x; T, z) - G(T, y; z)p(t, x; T, y)) dz,
0≤t<T.
R
Это уравнение допускает формализацию в обобщённом смысле на тех же основных функциях,
что и уравнение (14), так как A(T, y) и B(T, y) являются мультипликаторами в пространстве
непрерывных функций с компактным носителем.
4. Полугрупповой подход. Обсудим ещё один подход к получению детерминированно-
го уравнения, порождённого стохастическим уравнением (3). Этот подход связан с теорией
полугрупп операторов и преобразованием Фурье.
Обозначим через Bb(Rn) пространство функций, ограниченных и измеримых по Борелю на
Rn, через C0(Rn) - пространство непрерывных на Rn функций f, для которых lim f(x) = 0.
x→∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
407
Пусть D - пространство Л. Шварца на Rn, а F[f](σ)
f (σ) и F-1[f](x)
f (x) - прямое и
обратное преобразования Фурье соответственно. Введём несколько понятий.
Определение 2 [10, с. 2]. Однопараметрическое семейство S = {S(t) : t ≥ 0} линейных
операторов в пространстве Bb(Rn), удовлетворяющих для любых t, s ≥ 0 и f ∈ Bb(Rn)
условиям:
(S1) S(t + s)f = S(t)S(s)f (полугрупповое свойство) и S(0) = id;
(S2) если f ≥ 0, т.е. f(x) ≥ 0 для всех x ∈ Rn, то S(t)f ≥ 0 (сохранение положительно-
сти);
(S3) если f ≤ 1, т.е. f(x) ≤ 1 для всех x ∈ Rn, то S(t)f ≤ 1 (субмарковское свойство);
(S4) S(t)1 = 1 (свойство консервативности),
называется марковской полугруппой. Семейство S, удовлетворяющее условиям (S1)-(S3), на-
зывается субмарковской полугруппой.
Если X = {X(t) : t ≥ 0} - однородный марковский процесс в (Rn, B(Rn)) с переходной
функцией P (s, x; t, A), то семейство операторов
∫
S(t)f(x) := E0,x[f(X(t))] = f(y)P (0, x; t, dy), f ∈ Bb(Rn), x ∈ Rn, t ≥ 0,
(15)
Rn
образует полугруппу в пространстве Bb(Rn), называемую переходной полугруппой процес-
са X, которая является марковской. В частности, это верно для процесса X, являющегося
решением задачи (3).
Переходная полугруппа даёт различные характеристики текущего положения процесса
{X(t) : t ≥ 0} при известном начальном положении X(0) = x. Напомним, что функция g(t, x),
определённая равенством (6), является характеристикой положения процесса X(t) = x при
известном конечном положении X(T ). Из сравнения функции (6) и семейства (15) становится
понятным, почему интегро-дифференциальное уравнение для функции g(t, x), описывающей
историю развития процесса до момента времени T, является обратным и задача Коши для
него естественным образом получается обратной, в то время как эволюционное уравнение, ко-
торое будет получено далее для функции u(t, x) := S(t)f(x), является прямым с начальным
условием f(x).
Подклассом введённых полугрупп являются феллеровские полугруппы - субмарковские по-
лугруппы, отображающие C0(Rn) в C0(Rn) и сильно непрерывные в нуле: ∥S(t)f - f∥ → 0
при t → 0 для любой f ∈ C0(Rn). Соответствующие им однородные во времени марковские
случайные процессы называются феллеровскими.
Особое место среди переходных полугрупп занимают полугруппы, которые удаётся пред-
ставить в виде операторов свёртки:
∫
S(t)f(x) = f(y)ηt(x - dy), f ∈ Bb(Rn), x ∈ Rn, t ≥ 0.
(16)
Rn
Такой вид операторов открывает возможности для эффективного применения преобразова-
ния Фурье. Возможность представления (16) определяется структурой функции переходной
вероятности, а именно, её инвариантностью относительно сдвигов фазового пространства, что
соответствует свойству полугруппы быть инвариантной относительно пространственных сдви-
гов. Следующая цепочка утверждений:
1) непрерывный линейный оператор S, действующий из D(Rn) в C(Rn), является опера-
тором свёртки (с ядром η ∈ D′(Rn)) тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно
сдвигов: τy(Sf) = S(τyf), где τyf(x) := f(x - y), x, y ∈ Rn [19, с. 184];
2) (феллеровская) переходная полугруппа процесса X инвариантна относительно сдвигов
тогда и только тогда, когда X - процесс Леви [10, c. 35];
3) класс однородных марковских процессов, переходная функция которых инвариантна
относительно сдвигов фазового пространства (свойство пространственной аддитивности:
P (s, x; t, dy) = P (s, 0; t, dy - x)),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
8∗
408
МЕЛЬНИКОВА и др.
совпадает с классом однородных процессов с независимыми приращениями [20, с. 263],
приводит нас к рассмотрению однородных (по времени и пространству) марковских процес-
сов с независимыми приращениями - к процессам Леви, для которых ядро оператора (16)
определяется равенством
ηt(x - dy) := P(0,x;t,dy) = P(0,0;t,dy - x).
Обозначив μt := L(X(t)), t ≥ 0, закон распределения для процесса, стартовавшего из нуля
п.н., получим более удобное для дальнейших рассуждений представление
ηt(-dy) = μt(dy) = P(0,0;t,dy).
(17)
Известно, что закон распределения μt стохастически непрерывного процесса с независи-
мыми приращениями, стартующего из нуля п.н. (т.е. процесса со свойствами (L1), (L2), (L4)),
является безгранично делимым [16, с. 4]: μt = (μt/n)∗n или, в терминах преобразования Фурье,
μt = (μt/n)n.
Характеристическая функция безгранично делимого распределения μ, согласно формуле
Леви-Хинчина, имеет вид
∫
2πμ(σ) = 2πF-1[μ] = ei〈σ,y〉μ(dy) = eψ(σ), σ ∈ Rn,
(18)
Rn
где
∫
1
ψ(σ) = i〈a, σ〉 -
〈σ, Bσ〉 + (ei〈σ,y〉 - 1 - i〈σ, y〉 · χ|y|≤1(y))ν(dy),
(19)
2
Rn
a∈Rn, B-симметричнаянеотрицате
∫
влетворяющая условиям ν({0}) = 0 иRn (|y|2 ∧ 1)ν(dy) < ∞. Тройка (a, B, ν) определяется
мерой μ однозначно. Верно и обратное: для любой тройки (a, B, ν), удовлетворяющей приве-
дённым условиям, существует безгранично делимая мера μ с характеристической функцией
(18), (19).
Таким образом, если X - стохастически непрерывный процесс с независимыми прираще-
ниями, стартующий из нуля п.н., то его закон распределения μt в каждый момент времени
характеризуется тройкой (a(t), B(t), νt), и, тем самым, процесс определяется набором троек
{(a(t), B(t), νt) : t ≥ 0}. Если при этом процесс X является однородным во времени (свой-
ство (L3)), то тройка также однородна: (a(t), B(t), νt) = (ta, tB, tν), и характеристическая
функция принимает вид
2πμt(σ) = E[ei〈σ,X(t)〉] = etψ(σ),
где функция ψ(σ) определена равенством (19), т.е. процесс Леви полностью характеризуется
тройкой (a, B, ν).
Вернёмся к полугруппам, соответствующим процессам Леви, и выведем эволюционное
уравнение для характеристики вида u(t, x) = S(t)f(x). Для этого найдём инфинитезималь-
ный генератор переходной полугруппы
S(t)f(x) - f(x)
Af(x) := lim
t→0
t
с помощью преобразования Фурье, следуя [11, с. 59]. Чтобы обеспечить существование пря-
мого и обратного преобразований Фурье, сначала для упрощения будем считать, что f ∈ D.
Из представления (16) следует, что
F [S(t)f(x)] = F[f ∗ ηt]
f (σ)ηt(σ),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
409
где в силу равенства (17)
∫
∫
ηt(σ) = E[e-i〈σ,X(t)-x〉] = e-i〈σ,y〉ηt(dy) = ei〈σ,z〉μt(dz) = 2πμt(σ).
Rn
Rn
Тогда
[
]
[
]
μt(σ) - 1
etψ(σ) - 1
Af(x) = F-1 lim
f (σ)
= F-1 lim
f (σ)
=F-1[ψ(σ
f (σ)].
t→0
t
t→0
t
Это представление показывает, что генератор переходной полугруппы процесса Леви явля-
ется псевдодифференциальным оператором с символом ψ(σ), определённым в (19). Отсюда,
пользуясь свойствами преобразования Фурье, находим генератор полугруппы:
∫
1
Af(x) = 〈a, ∇f(x)〉 +
div B∇f(x) + (f(x + y) - f(x) - 〈∇f(x), yχ|y|≤1(|y|)〉)ν(dy).
2
Rn
Доказано [9, с. 208], что C20(Rn) ⊂ Dom (A) и полученное представление имеет место для
любого f ∈ C20(Rn).
Если процесс X не является процессом Леви, но является однородным марковским (в
частности, процессом типа Леви), то при некоторых дополнительных условиях генератор со-
ответствующей полугруппы операторов {S(t) : t ≥ 0} также может быть найден из формулы
Леви-Хинчина при помощи обратного преобразования Фурье. Именно [10, с. 47], если A -
генератор феллеровской полугруппы и D ⊂ Dom (A), то
1
Af(x) = 〈c(x), f(x)〉 + 〈a(x), ∇f(x)〉 +
div B(x)∇f(x) +
2
∫
+ (f(x + y) - f(x) - 〈∇f(x), yχ|y|≤1(|y|)〉)ν(x, dy).
(20)
Rn
Таким образом, для вероятностной характеристики
∫
u(t, x) = S(t)f(x) = f(y)P (0, 0; t, dy - x), t ≥ 0, x ∈ Rn,
Rn
процесса X имеет место
Предложение 1. Пусть X - феллеровский процесс и D ⊂ Dom (A), тогда для любой
f ∈ Dom(A) функция u(t,x) является решением задачи Коши
u′t(t,x) = Au(t,x), u(0,x) = f(x), t ≥ 0, x ∈ Rn,
с оператором A, определённым равенством (20).
В заключение, используя полугрупповую технику, докажем
Предложение 2. Пусть функция g = g(t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ Rn, определена равен-
ством (6). Если процесс X является феллеровским, то для любого h ∈ Dom (A)
⋂C0(Rn)
функция g дважды непрерывно дифференцируема по x.
Доказательство. В силу однородности процесса по времени функцию g можно предста-
вить как действие полугруппы:
∫
∫
g(t, x) = h(y)P (t, x; T, dy) = h(y)P (0, x; T - t, dy) = S(T - t)h(x), h ∈ C0(Rn).
Rn
Rn
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
2021
№3
410
МЕЛЬНИКОВА и др.
Из коммутируемости полугруппы со своим генератором на его области определения следует,
что g ∈ Dom (A) при h ∈ Dom (A) : Ag(t, x) = AS(T - t)h(x) = S(T - t)Ah(x). Осталось
заметить, что функции, входящие в область определения A, дважды непрерывно дифферен-
цируемы. Предложение доказано.
Таким образом, в работе
на основании формулы Ито выведено интегро-дифференциальное уравнение для функции
g, определяемой формулой (6);
основываясь на подходе, использующем предельные соотношения (9)-(11), получены пря-
мое и обратное уравнения для плотности переходной вероятности, которые по сути являются
обобщёнными;
на основе полугруппового подхода получена прямая задача Коши для вероятностных ха-
рактеристик типа S(t)f(x);
с использованием полугрупповой техники показано, что условие дифференцируемости по
x функции g(t, x) можно перенести на функцию h(x) и, следовательно, не требовать диф-
ференцируемости функции переходной вероятности P (t, x; T, dy).
Работа выполнена при финансовой поддержке постановления № 211 Правительства Рос-
сийской Федерации (контракт № 02.A03.21.0006).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dubkov A.A., Spagnolo B., Uchaikin V.V. Lévy flight superdiffusion: an introduction // Int. J. of
Bifurcation and Chaos. 2008. V. 18. № 9. P. 2649-2672.
2. Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов. Киев, 1961.
3. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, 1968.
4. Applebaum D. Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge, 2009.
5. Protter P.E. Stochastic Integration and Differential Equations. Berlin; Heidelberg, 2005.
6. Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам мате-
матической физики и финансовой математики. М., 2018.
7. Björk T. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford, 2009.
8. Gardiner С. Stochastic Methods. A Handbook for the Natural and Social Sciences. Berlin; Heidelberg,
2009.
9. Sato K.-I. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge, 1999.
10. Böttcher B., Schilling R., Wang J. Lévy Matters III. Lévy-Type Processes: Construction, Approximation
and Sample Path Properties. Heidelberg; New York, 2013.
11. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. II. М., 1963.
12. Kolokoltsov V.N. Markov Processes, Semigroups and Generators. Berlin; New York, 2011.
13. Melnikova I.V. Stochastic Cauchy Problems in Infinite Dimensions. Regularized and Generalized
Solutions. London; New York, 2016.
14. Мельникова И.В., Бовкун В.А., Алексеева У.А. Решение квазилинейных стохастических задач в
абстрактных алгебрах Коломбо // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 12. С. 1653-1663.
15. Мельникова И.В., Алексеева У.А., Бовкун В.А. Связь бесконечномерных стохастических задач с
задачами для вероятностных характеристик // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017.
Т. 23. № 3. С. 191-205.
16. Sato K.-I. Basic Results on Levy Processes // Levy Processes Theory and Applications / Eds.
O. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch, S. Resnick. New York, 2001.
17. Kunita H. Ito’s stochastic calculus: its surprising power for applications // Stoch. Proc. and Appl. 2010.
V. 120. № 5. P. 622-652.
18. Колмогоров А.А. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. № 5.
C. 5-41.
19. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975.
20. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Слу-
чайные процессы. М., 1987.
Уральский федеральный университет
Поступила в редакцию 24.07.2019 г.
им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина,
После доработки 12.01.2021 г.
г. Екатеринбург
Принята к публикации 22.01.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№3
2021
