ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 3, с.428-432

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.962.2+517.925.51

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

В ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЕ

Аналог теоремы Четаева-Малкина-Массеры об устойчивости по первому приближению

для дифференциальных систем распространяется на дискретные системы, в которых ли-

нейная система первого приближения подвергается линейному и нелинейному возмущени-

ям. Полученный результат формулируется в терминах характеристических показателей и

коэффициента неправильности Ляпунова линейной системы первого приближения.

DOI: 10.31857/S0374064121030122

Рассмотрим линейную дискретную (конечно-разностную) систему

x(t + 1) = A(t)x(t), x ∈ Rⁿ, t ∈ Z₊.

(1)

Далее считаем, что n × n-матрица A(t) является вещественнозначной и вполне ограниченной;

последнее означает, что A(t) невырождена при всех t ∈ Z₊ и вместе со своей обратной равно-

мерно ограничена на Z₊. Понятие вполне ограниченной матрицы A(t), t ∈ Z₊, введено в ра-

боте [1], в которой, в частности, показано, что любое нетривиальное решение x(·) системы (1)

с вполне ограниченной матрицей коэффициентов имеет конечный характеристический показа-

тель λ[x]. Обозначим характеристические показатели системы (1) через λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A).

Отметим, что свойство конечности характеристических показателей системы (1) имеет ме-

сто при более слабых, чем вполне ограниченность матрицы A(t), предположениях. В работе [2]

доказано, что при выполнении условий



∏



sup

∥A(t)∥ < +∞ и

lim

t-1 ln^

det A(j)

−∞

(2)

^>

t∈Z₊

Z₊∋ t→∞

j=0

характеристические показатели системы (1) конечны. Позднее в работе [3] было показано, что

свойство конечности характеристических показателей системы (1) также будет справедливо,

если в (2) первое из его неравенств заменить более слабым неравенством

∏

lim t-1 ln

∥A(j)∥ < +∞.

Z₊∋ t→∞

j=0

Для системы (1) через σ_Л(A) обозначим её коэффициент неправильности Ляпунова, т.е.

величину, определяемую равенством

∑

σ_Л(A) =

λ_k(A) - lim t-1

ln | det A(m)|,

k=1

Z₊∋ t→∞ m=0

а через X(t, k) - её матрицу Коши (по определению X(t, k) = X(t)X-1(k), t, k ∈ Z₊, где

X(·) - какая-либо фундаментальная матрица системы (1)).

Через Bⁿ(ρ) обозначим открытый шар в Rⁿ радиуса ρ с центром в нуле. Для каждого

фиксированного числа p > 1 введём важный в дальнейшем класс F^np, состоящий из вектор-

функций f : Z₊ × D_f → Rⁿ, где D_f - окрестность нуля в Rⁿ (зависящая от выбора f), для

которых выполняется неравенство

∥f(t, y)∥ ≤ ψ_f (t)∥y∥^p, (t, y) ∈ Z₊ × Bⁿ(ρ_f ),

(3)

428

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

429

где число ρ_f > 0 и функция ψ_f : Z₊ → R₊ (свои для каждой f) таковы, что Bⁿ(ρ_f ) ⊂ D_f

и характеристический показатель функции ψ_f равен нулю. Через Fnp (c) обозначим подкласс

класса F^np, состоящий из вектор-функций, для которых в неравенстве (3) функцию ψ_f можно

взять тождественно постоянной.

Наряду с системой (1) рассмотрим действительную нелинейную дискретную систему

y(t + 1) = A(t)y(t) + f(t, y(t)), t ∈ Z₊,

(4)

где f ∈ F^np для некоторого p > 1.

Дискретные аналоги теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению уста-

навливались многими авторами.

В случае правильной системы первого приближения (1) с вполне ограниченной матрицей_⋃

A(t) и нелинейностью f, принадлежащей классуp>1 F^np, в работе [1] получен достаточный

признак асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4), аналогичный крите-

рию Ляпунова для дифференциальных уравнений [4, с. 136-137; 5, с. 238]. Заметим, что из

условия (3) очевидно следует, что система (4) имеет нулевое решение y(t) ≡ 0, t ∈ Z₊.

В случае f ∈ F^np(c) и выполнении более слабых, чем вполне ограниченность, требований

(см. выше) к матрице A(t) правильной системы первого приближения аналогичный результат

получен в работе [3]. Дискретный аналог теоремы Четаева-Малкина-Массеры для неправиль-

ной системы первого приближения установлен в этой же работе.

Доказательства теорем подобного рода, как и в непрерывном случае, опираются на оценку

матрицы Коши системы (1). Такую оценку можно получить с помощью старшего показателя

λ_n(A) и коэффициента неправильности σ_Л(A) системы (1) [6, c. 9].

Наряду с исходной системой (1), старший показатель Ляпунова λ_n(A) которой отрицате-

лен, а матрица коэффициентов A(t) вполне ограничена, рассмотрим возмущённую систему

y(t + 1) = A(t)y(t) + Q(t)y(t) + f(t, y(t)), y ∈ Rⁿ, t ∈ Z₊,

(5)

где f ∈ F^np при некоторой фиксированной постоянной p > 1, а вещественнозначная n × n-

матрица Q(t) убывает на бесконечности к нулю экспоненциально.

В работе решается следующая задача: получить достаточные условия, которым должны

удовлетворять система (1) и матрица Q(t), чтобы нулевое решение системы (5) было асимп-

тотически устойчивым при любом возмущении f ∈ F^np.

Постановка задачи почти традиционна, однако в отличие о классической постановки, во-

первых, добавлено линейное возмущение Q(t)y(t) (ср. системы (4) и (5)), а во-вторых, нели-

нейное возмущение f предполагается принадлежащим более широкому классу F^np. Если же

Q(t) ≡ 0 и f ∈ F^np(c), то имеем классическую постановку задачи Ляпунова об устойчивости

по первому приближению.

В дальнейшем нам понадобится дискретный аналог [1] неравенства Бихари. Приведём фор-

мулировку этого утверждения.

Теорема 1. Пусть неотрицательная числовая последовательность (y_i)i∈Z+ удовлетво-

ряет условиям: y₀ ≤ C = const > 0 и

∑

y_m ≤ C + a_kϕ(y_k), m ∈ N,

k=0

где (a_i)i∈Z+ - неотрицательная числовая последовательность, а ϕ(y): R₊ → R₊ - непрерыв-

ная монотонно возрастающая функция. Пусть, кроме того, выполнено неравенство

∑

a_k < Φ(∞), m ∈ N,

(6)

k=0

∫z

где Φ(z) =

dz₁/ϕ(z₁). Тогда справедлива следующая оценка:

)

(m-1∑

y_m ≤ Φ-1

a_k

m ∈ N.

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

430

ЛАСУНСКИЙ

Замечание 1. Если Φ(∞) = ∞, то условие (6) излишне.

Лемма. Пусть для неотрицательных числовых последовательностей (u_i)i∈Z+ и (v_i)i∈Z+

и чисел C > 0, a ≥ 0, p > 1 при всех m ∈ N выполняется неравенство

∑

u_m ≤ C + v_k(u_k + au^pk).

(7)

k=0

Тогда, если справедливо неравенство

(

)

∑

(C1-p

+ a) exp

(1 - p)

v_k

- a > 0, m ∈ N,

(8)

k=0

имеет место оценка

(

)

)1/(1-p)

∑

u_m ≤ (C1-p

+ a) exp

(1 - p)

v_k

-a

(9)

k=0

Замечание 2. При a = 0 имеем дискретный аналог леммы Гронуолла-Беллмана.

∑_∞

Замечание 3. Если ряд

v_k сходится, то неравенство (8) выполняется при любом

k=1

достаточно малом C. Если же этот ряд расходится, то неравенство (8) может выполняться

при всех m ∈ N только при a = 0.

Убедимся, что утверждение этой леммы вытекает из теоремы 1.

Рассмотрим на промежутке R₊ непрерывную монотонно возрастающую положительную

функцию ϕ(y) = y + ay^p, p > 1. Так как 1/ϕ(y) = 1/y - ayp-2/(1 + ayp-1), то

∫z

∫

( z ⁽1 + aCp-1)1/(p-1))

Φ(z) =

= ln

ϕ(y)

y + ay^p

1 + azp-1

Имеем

)1/(p-1)

p-1

⁽1 + aC

Φ(∞) = ln

aCp-1

поэтому неравенство (6) теоремы 1 равносильно неравенству (8) леммы. Для обратной функ-

ции Φ-1(t) имеем представление

Φ-1(t) = (-a + (C1-p + a)e(1-p)t)1/(1-p),

поэтому неравенство (9) леммы следует из основной оценки теоремы 1.

Теорема 2. Пусть в системе (5) нелинейное возмущение f принадлежит классу F^np,

где p = fix > 1, и выполнены следующие два неравенства:

∥Q(t)∥ ≤ C_Q exp{λ_n(A)(p - 1)t}, t ∈ Z₊,

(10)

где C_Q - постоянная, и

λ_n(A)(p - 1) + σ_Л(A) < 0.

(11)

Тогда нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Согласно методу вариации произвольных постоянных имеем

∑

y(m) = X(m, 0)y(0) +

X(m, k + 1)(Q(k)y(k) + f(k, y(k))).

(12)

k=0

Для матрицы Коши X(m, k) системы (1) справедлива оценка [6, c. 9]

∥X(m, k)∥ ≤ C_ε exp{(λ_n(A) + ε)(m - k) + (σ_Л(A) + ε)k}, m ≥ k ≥ 0,

(13)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

431

где число ε > 0 может быть взято сколь угодно малым, а C_ε - постоянная, зависящая, вообще

говоря, от выбора ε. Из включения f ∈ F^np следует неравенство

∥f(m, y)∥ ≤ Cε1 exp(ε₁m)∥y∥^p, m ∈ Z₊,

(14)

где число ε₁ > 0 может быть взято сколь угодно малым, а Cε1 - постоянная, зависящая,

вообще говоря, от выбора ε₁.

Из представления (12) и неравенств (13), (14) вытекает оценка

∥y(m)∥ ≤ C_ε exp{(λ_n(A) + ε)m}∥y(0)∥ +

∑

+ Cε exp{(λ_n(A) + ε)(m - k) + (σ_Л(A) + ε)k}(∥Q(k)∥∥y(k)∥ + Cε1 exp(ε₁k)∥y(k)∥^p),

k=0

откуда получаем

∥y(m)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)m} ≤ C_ε∥y(0)∥ +

∑

+ Cε exp{(σ_Л(A) - λ_n(A) + ε₁)k}(∥Q(k)∥exp(-ε₁k)∥y(k)∥ + Cε1∥y(k)∥^p).

k=0

Оценив величину exp(-ε₁k) сверху единицей, будем иметь

∑

∥y(m)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)m} ≤ C_ε∥y(0)∥ + C_ε

exp{(σ_Л(A) - λ_n(A) + ε₁)k} ×

k=0

× exp{(λ_n(A) + ε)kp}(∥Q(k)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)(p - 1)k}∥y(k)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)k} +

+ Cε1(∥y(k)∥exp{-(λ_n(A) + ε)k})^p).

(15)

Из условия (10) вытекает оценка

∥Q(k)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)(p - 1)k} ≤ C_Q exp{-ε(p - 1)k} ≤ C_Q, k ∈ Z₊,

учитывая которую в неравенстве (15), будем иметь

∑

∥y(m)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)m} ≤ C_ε∥y(0)∥ + C_QC_ε

exp{(σ_Л(A) + λ_n(A)(p - 1) + ε₁ + εp)k} ×

k=0

× (∥y(k)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)k} + Cε1 C-1Q(∥y(k)∥ exp{-(λ_n(A) + ε)k})^p).

(16)

Из условия (11) следует, что при достаточно малых положительных ε₁ и ε выполняется

неравенство σ_Л(A) + λ_n(A)(p - 1) + ε₁ + εp < 0. Зафиксируем такие ε₁ и ε и положим

u_m = ∥y(m)∥exp{-(λ_n(A) + ε)m}, v_m = C_QC_ε exp{(σ_Л(A) + λ_n(A)(p - 1) + ε₁ + εp)m}.

В этих обозначениях неравенство (16) примет вид (7), в котором C = C_ε∥y(0)∥ и a = Cε1 C-1Q.

∑_∞

Так как ряд

v_k сходится, то неравенство (8) леммы выполняется, если ∥y(0)∥ доста-

k=0

точна мала. Поэтому, согласно лемме работы, имеет место оценка (9), т.е. после очевидных

равносильных преобразований оценка

[

∥y(m)∥ ≤ exp{(λ_n(A) + ε)m}C_ε∥y(0)∥ (1 + Cε1 C-1Q(C_ε∥y(0)∥)p-1) ×

(

]1/(1-p)

∑ )

× exp

(1 - p)

v_k

- Cε1C-1Q(C_ε

∥y(0)∥)p-1

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021

432

ЛАСУНСКИЙ

Из последнего неравенства очевидно следует, что тривиальное решение системы (5) асимпто-

тически устойчиво. Теорема доказана.

В заключение отметим непрерывный аналог теоремы 2.

Рассмотрим действительную нелинейную дифференциальную систему

x = A(t)x + Q(t)x + f(t,x), x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

(17)

где n × n-матрицы A(t) и Q(t) непрерывны и ограничены на R₊, а f(t, x) - непрерывная

вектор-функция, удовлетворяющая в некоторой окрестности точки x = 0 условию

∥f(t, x)∥ ≤ const∥x∥^p, t ∈ R₊,

(18)

где p > 1 - фиксированное число. Пусть λ_n(A) - наибольший показатель Ляпунова системы

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

(19)

а σ_Л(A) - её коэффициент неправильности Ляпунова; он определяется равенством

∫

∑

σ_Л(A) =

λ_k(A) - lim

SpA(u)du.

t→∞ t

k=1

Теорема 3. Пусть для системы (17) выполнены условие (18), неравенства λ_n(A) < 0,

λ_n(A)(p - 1) + σ_Л(A) < 0 и при всех t ∈ R₊ оценка ∥Q(t)∥ ≤ C_Q exp{λ_n(A)(p - 1)t}. Тогда её

нулевое решение асимптотически устойчиво.

Действительно, из условий теоремы следует, что характеристический показатель λ[Q] мат-

рицы Q(t) линейного возмущения удовлетворяет оценке λ[Q] < -σ_Л(A). По теореме Богдано-

ва-Гробмана [8, гл. IV, § 5] показатели систем (19) и системы

x = (A(t) + Q(t))x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

(20)

совпадают между собой. Так как λ_n(A) < 0, то ∥Q(t)∥ → 0 при t → +∞, а значит, матрица

Q(t) имеет нулевое интегральное среднее, поэтому σ_Л(A) = σ_Л(A + Q). Тогда утверждение

теоремы 3 следует из теоремы Четаева-Малкина-Массеры [7, c. 63] для системы (20).

Замечание 4. Из условий λ_n(A) < 0 и ∥Q(t)∥ ≤ C_Q exp{λ_n(A)(p - 1)t}, t ∈ R₊, следует,

что ∥Q(t)∥ → 0 при t → +∞. Хорошо известно, что убывающие к нулю на бесконечности

линейные возмущения линейной дифференциальной системы могут вызвать, как показано ещё

О. Перроном [8, c. 118-119], скачкообразное изменение её характеристических показателей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференц. уравнения.

1969. Т. 5. № 7. С. 1247-1255.

2. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Устойчивость по первому приближению дискретных систем // Вестн.

СПбГУ. Сер. 1. 2003. Вып. 1. № 1. С. 28-35.

3. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Критерии устойчивости по первому приближению нелинейных дис-

кретных систем // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 55-63.

4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950.

5. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

6. Кузнецов Н.В. Устойчивость дискретных систем. Автореф. дис

канд. физ.-мат. наук. СПб, 2004.

7. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М.; Ижевск,

2006.

8. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб, 1992.

Новгородский государственный университет

Поступила в редакцию 15.01.2020 г.

им. Ярослава Мудрого

После доработки 24.12.2020 г.

Принята к публикации 22.01.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№3

2021