ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.435-465

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.928.4

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

С МНОГОЗОННЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ

Рассматривается краевая задача для сингулярно возмущённой системы двух обыкновен-

ных дифференциальных уравнений второго порядка с разными степенями малого пара-

метра при вторых производных. Особенность задачи состоит в том, что одно из двух урав-

нений вырожденной системы имеет три непересекающихся корня, причём один из них -

двукратный, а два других - простые (однократные). Доказано, что для достаточно малых

значений малого параметра задача имеет решение, обладающее быстрым переходом от

двукратного корня вырожденного уравнения к простому корню в окрестности некоторой

внутренней точки отрезка. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение

этого решения. Оно качественно отличается от известного разложения в случае, когда все

корни вырожденного уравнения являются простыми. В частности, разложение проводится

не по целым, а по дробным степеням малого параметра, погранслойные переменные имеют

другой масштаб, а переходный слой оказывается шестизонным.

DOI: 10.31857/S0374064121040014

1. Постановка задачи и схема её решения. Рассмотрим краевую задачу

d²u

d²v

ε²

= F(u,v,x,ε), ε

= f(u,v,x,ε),

0 < x < 1,

(1)

dx²

(0, ε) =

(1, ε) = 0,

(0, ε) =

(1, ε) = 0,

(2)

где ε > 0 - малый параметр, u(x, ε) и v(x, ε) - искомые скалярные функции.

Такая задача при условии, что вырожденное уравнение

F (u, v, x, 0) = 0

(3)

имеет три простых корня u = ϕ_i(v, x), i = 1, 2, 3, исследовалась в работе [1], в которой было

доказано существование решения с внутренним переходным слоем и с помощью классического

метода Васильевой [2, с. 38] построено его полное асимптотическое разложение.

Сформулируем условия, при которых в работе будет рассматриваться задача (1), (2). Пусть

I_u и I_v - некоторые интервалы изменения переменных u и v.

Условие А1. Функция F (u, v, x, ε) имеет вид

F (u, v, x, ε) = (u - ϕ₁(v, x))²(u - ϕ₂(v, x))(u - ϕ₃(v, x)) - εF₁(u, v, x, ε),

где ϕ_i(v, x) ∈ I_u при (v, x) ∈ I_v × [0, 1], i = 1, 2, 3, причём

ϕ₁(v,x) < ϕ₂(v,x) < ϕ₃(v,x), (v,x) ∈ I_v × [0,1].

(4)

Из условия А1 следует, что корень u = ϕ₁(v, x) уравнения (3) является двукратным, а

u = ϕ₂(v,x) и u = ϕ₃(v,x) - простые корни этого уравнения.

Условие А2. Уравнения g_i(v, x) := f(ϕ_i(v, x), v, x, 0) = 0 при i = 1, 3 имеют простые

корни v = v_i(x) ∈ I_v, x ∈ [0, 1].

Условие А3. Функции ϕ_i(v, x), i = 1, 2, 3, F₁(u, v, x, ε), f(u, v, x, ε), v₁(x) и v₃(x) яв-

ляются достаточно гладкими при (u, v, x, ε) ∈ I_u × I_v × [0, 1] × [0, ε₀], ε₀ > 0.

435

436

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Требуемый порядок гладкости этих функций зависит от порядка асимптотики, которую мы

хотим построить. Так как далее речь пойдёт об асимптотике произвольного порядка, будем

считать их бесконечно дифференцируемыми.

Условие А4. Система уравнений

∫

I(v₀, x₀) :=

F (u, v₀, x₀, 0) du = 0,

(5)

ϕ₁(v₀,x₀)

∫v0

∫

J (v₀, x₀) :=

g₁(v,x₀)dv +

g₃(v,x₀)dv = 0

(6)

v₁(x₀)

v₀

имеет решение v₀ = v₀, x₀ = x₀ такое, что 0 < x₀ < 1,

v₁(x₀) < v₀ < v₃(x₀),

(7)

и, кроме того, выполняется неравенство



D(I, J)



(8)

D(v₀, x₀)

v0=v₀ =

x₀=x₀

Поставим вопрос о существовании и асимптотике по параметру ε решения (u(x, ε), v(x, ε))

задачи (1), (2) с внутренним переходным слоем в окрестности точки x0, удовлетворяющего

предельным равенствам

{

ϕ₁(v₁(x),x),

0≤x< x₀,

v₁(x),

0≤x< x₀,

lim

u(x, ε) =

lim

v(x, ε) =

(9)

ε→0

ϕ₃(v₃(x),x),

x₀ < x ≤ 1;

ε→0

v₃(x),

x₀ < x ≤ 1.

Такие решения называются контрастными структурами типа ступеньки.

Как будет видно из дальнейшего, асимптотика решения с внутренним переходным слоем

задачи (1), (2) в рассматриваемом случае имеет качественно иной характер по сравнению с

классическим случаем [1], т.е. когда все корни u = ϕ_i(v, x) - простые, причём такое изменение

касается всех слагаемых асимптотического разложения решения: регулярной части, погранс-

лойной части и внутрислойной части, в частности, переходный слой становится многозонным.

Отметим, что в более простом случае скалярной задачи (т.е. когда в системе (1) отсутствует

второе уравнение, а в краевых условиях (2) - второе равенство, и функция F не зависит от

v) многозонный переходный слой рассматривался в работе [3].

Определим точку x_∗ как точку, в которой u-компонента решения пересекается с корнем

ϕ₂, т.е. u(x_∗,ε) = ϕ₂(v_∗,x_∗), где v_∗ - значение v-компоненты решения в этой точке: v(x_∗,ε) =

= v_∗. Забегая вперёд, отметим, что x_∗ и v_∗ имеют представления x_∗ = x₀ + O(ε1/4) и v_∗ =

= v₀ + O(ε1/4) и, значит, сколь угодно близки к x₀ и v₀ для достаточно малых ε. Точку x_∗

назовём точкой перехода и будем строить асимптотику искомого решения раздельно слева и

справа от точки перехода, для чего поставим две вспомогательные краевые задачи на отрезках

[0, x_∗] и [x∗, 1].

Первая вспомогательная задача:

(-)

d²u

d²v(-)

ε²

= F(u(-),v(-),x,ε), ε

= f(u(-),v(-),x,ε),

0<x<x_∗,

(10)

dx²

du(-)

dv(-)

(0, ε) = 0,

(0, ε) = 0, u(-)(x_∗, ε) = ϕ₂(v_∗, x_∗), v(-)(x_∗, ε) = v_∗.

(11)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

437

Вторая вспомогательная задача:

(+)

d²u

d²v⁽⁺⁾

ε²

= F(u⁽⁺⁾,v⁽⁺⁾,x,ε), ε

= f(u⁽⁺⁾,v⁽⁺⁾,x,ε), x_∗ < x < 1,

(12)

dx²

(+)

dv⁽⁺⁾

u⁽⁺⁾(x_∗,ε) = ϕ₂(v_∗,x_∗), v⁽⁺⁾(x_∗,ε) = v_∗,

(1, ε) = 0,

(1, ε) = 0.

(13)

При решении этих задач будем считать, что v_∗ и x_∗ - некоторые фиксированные точки из

достаточно малых окрестностей точек v₀ и x₀ соответственно. Тогда для них будут выполне-

ны неравенства 0 < x_∗ < 1, v₁(x_∗) < v_∗ < v₃(x_∗), а условия А5-А11, которые формулируются

ниже, сохранятся при замене в них v₀ на v_∗ и x₀ на x_∗.

После того, как будет доказано существование погранслойных решений обеих вспомога-

тельных задач, точки v_∗ и x_∗ будут выбраны так, что функции

{

u(-)(x,ε),

0≤x≤x_∗,

v(-)(x,ε),

0≤x≤x_∗,

u(x, ε) =

v(x, ε) =

u⁽⁺⁾(x,ε),

x_∗

≤ x ≤ 1;

v⁽⁺⁾(x,ε),

x_∗ ≤ x ≤ 1,

окажутся решением исходной задачи с внутренним переходным слоем в окрестности точки x_∗.

2. Вторая вспомогательная задача. Начнём построение асимптотики со второй вспо-

могательной задачи, которая относится к числу исследованных ранее задач, так как в со-

ответствии с первым равенством в (9) u-компонента её решения близка к простому корню

u = ϕ₃(v,x) вырожденного уравнения (3). Этот случай изучен ранее, например, в работе [1].

В связи с этим ограничимся кратким описанием построения асимптотики решения по методу

Васильевой [2, с. 38].

Асимптотика решения строится в виде

U⁽⁺⁾(x,ε) = u⁽⁺⁾(x,ε) + Π⁽⁺⁾u

ξ,ε) + P⁽⁺⁾u

ζ,ε) + Q⁽⁺⁾u(τ,ε) + R⁽⁺⁾u(σ,ε),

(14)

V(+)(x,ε) = v⁽⁺⁾(x,ε) + Π⁽⁺⁾v

ξ,ε) + P⁽⁺⁾v

ζ,ε) + Q⁽⁺⁾v(τ,ε) + R⁽⁺⁾v(σ,ε),

(15)

где u⁽⁺⁾(x, ε), v⁽⁺⁾(x, ε) - регулярные части асимптотики; Π⁽⁺⁾u

ξ,ε), Π⁽⁺⁾v

ξ,ε) и P⁽⁺⁾u

ζ,ε),

P⁽⁺⁾v

ζ,ε) - погранслойные части асимптотики в окрестности точки x = 1; Q(+)u(τ, ε),

Q⁽⁺⁾v(τ,ε) и R⁽⁺⁾u(σ,ε), R⁽⁺⁾v(σ,ε) - внутрислойные части асимптотики, описывающие быст-

рое изменение решения в правой полуокрестности точки перехода x_∗. Используются растяну-

тые переменны

ξ = (1 - x)/√ε,

ζ = (1 - x)/ε, τ = (x - x_∗)/√ε, σ = (x - x∗)/ε, масштабы

которых типичны для случая простых корней вырожденных уравнений.

2.1. Регулярная часть асимптотики. Регулярная часть асимптотики строится в виде

рядов по целым степеням ε:

∑

u⁽⁺⁾(x,ε) =

εⁱu(+)i(x),

v(+)(x, ε) =

εⁱv(+)i(x).

i=0

Их главные члены u⁽⁺⁾⁰(x) = ϕ₃(v₃(x), x) и v⁽⁺⁾⁰(x) = v₃(x).

Введём обозначения

∂g₃

h⁽⁺⁾(u,v,x) := (u - ϕ₁(v,x))²(u - ϕ₂(v,x)),

g3v(x) :=

(v₃(x), x).

∂v

Регулярные функции более высоких порядков определяются из систем линейных алгебра-

ических уравнений (СЛАУ), разрешимость которых обеспечивается первым неравенством из

условия А5.

Условие А5. Справедливы неравенства:

∂g₃

g3v(x) > 0 при x ∈ [x₀,1] и

(v, x₀) > 0 при v ∈ [v₀, v₃(x₀)].

∂v

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

438

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

2.2. Погранслойная часть асимптотики. Погранслойная часть асимптотики строится

в виде рядов по целым степеням

√ε:

∑

Π⁽⁺⁾u

ξ,ε) =

εi/2Π(+)iu

ξ), Π⁽⁺⁾v

ξ,ε) =

εi/2Π(+)iv

ξ),

(16)

i=0

∑

P⁽⁺⁾u

ζ,ε) =

εi/2P(+)iu

ζ), P⁽⁺⁾v

ζ,ε) =

εi/2P(+)iv

ζ).

(17)

i=0

Условия Неймана в точке x = 1 (см. (13)) приводят к тому, что ряды (16) на самом деле

начинаются со слагаемых с номером i = 1, а ряды (17) - со слагаемых с номером i = 2.

Все Π⁽⁺⁾- и P⁽⁺⁾-функции убывают экспоненциально пр

ξ→+∞

ζ → +∞.

2.3. Внутрислойная часть асимптотики. Внутрислойная часть асимптотики строится

в виде рядов по целым степеням

√ε:

∑

Q⁽⁺⁾u(τ,ε) =

εi/2Q(+)iu(τ), Q⁽⁺⁾v(τ,ε) =

εi/2Q(+)iv(τ),

i=0

∑

R⁽⁺⁾u(σ,ε) =

εi/2R(+)iu(σ), R⁽⁺⁾v(σ,ε) =

εi/2R(+)iv(σ),

i=0

при этом оказывается, что

R⁽⁺⁾⁰v(σ) = R⁽⁺⁾¹v(σ) = 0.

(18)

Задачи для Q⁽⁺⁾⁰v(τ) и R⁽⁺⁾⁰u(σ) сводятся к уравнениям первого порядка

(+)

∫

)1/2

dQ⁽⁺⁾v

g₃(v⁽⁺⁾⁰(x_∗) + s,x_∗)ds

τ ≥ 0,

(19)

dτ

(+)

∫

)1/2

dR⁽⁺⁾u

h⁽⁺⁾(ϕ₃(v_∗,x_∗) + s,v_∗,x_∗)s ds

σ ≥ 0,

(20)

dσ

с начальными условиями

Q⁽⁺⁾⁰v(0) = v_∗ - v₃(x_∗), R⁽⁺⁾⁰u(0) = ϕ₂(v_∗,x_∗) - ϕ₃(v_∗,x_∗).

(21)

Уравнения (19) и (20) интегрируются в квадратурах, для их решений с начальными усло-

виями (21) справедливы экспоненциальные оценки вида

|Q⁽⁺⁾⁰v(τ)| ≤ c exp(-κτ), τ ≥ 0;

|R⁽⁺⁾⁰u(σ)| ≤ c exp(-κσ), σ ≥ 0,

здесь и далее c и κ - подходящие положительные числа, не зависящие от ε и, вообще говоря,

различные в разных оценках.

Все остальные внутрислойные функции также убывают экспоненциально при τ → +∞ и

σ → +∞. Экспоненциальные оценки означают, что внутренний слой в правой полуокрестности

точки x_∗ является двухзонным. В первой зоне (определим её так: x_∗ ≤ x ≤ x_∗ +ε3/4) происхо-

дит экспоненциальное убывание R⁽⁺⁾-функций при почти не изменяющихся Q⁽⁺⁾-функциях

(так как в этой зоне 0 ≤ τ ≤ ε1/4), а вторая зона: x_∗ + ε3/4 ≤ x ≤ x_∗ + δ, где δ > 0 - любое не

зависящее от ε фиксированное число, характеризуется экспоненциальным убыванием Q⁽⁺⁾-

функций, в то время как R⁽⁺⁾-функции уже на границе двух зон (т.е. при σ = ε-1/4) стали

величинами порядка O(exp(-κ/ε1/4)), т.е. величинами порядка o(ε^N ) для любого N > 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

439

2.4. Обоснование асимптотики. Для обоснования асимптотики введём ещё одно усло-

вие, связанное с производными функций F и f. Чтобы его сформулировать, определим три

кривые в пространстве переменных (u, v, x):

l₁ = {(u,v,x): ϕ₂(v₀, x₀) ≤ u ≤ ϕ₃(v₀, x₀), v = v₀, x = x₀},

l₂ = {(u,v,x): u = ϕ₃(v, x₀),

v₀ ≤ v ≤ v₃(x₀), x = x₀},

l₃ = {(u,v,x): u = ϕ₃(v₃(x),x), v = v₃(x),

x₀ ≤ x ≤ 1}.

Условие А6. При (u, v, x) ∈ l⁽⁺⁾ := l₁

^⋃l2 ⋃l₃ имеют место неравенства

∂F

∂f

(u, v, x, 0) < 0 и

(u, v, x, 0) < 0.

∂v

∂u

Из условия А6 следует, что для точек v_∗ и x_∗, достаточно близких к v0

x₀

соот-

ветственно, и достаточно малых ε неравенства ∂F (u, v, x, 0)/∂v < 0 и ∂f(u, v, x, 0)/∂u < 0

будут выполнены в некоторой окрестности кривой l∗+), которая определяется так же, как

кривая l⁽⁺⁾, с заменой v₀ на v_∗ и x₀ на x_∗. В таком случае говорят, что в этой окрестности

функции F и f удовлетворяют условию квазимонотонности.

Обозначим через

n (x, ε) и

n (x, ε) следующие частичные суммы построенных рядов

(14) и (15):

∑

⁽1-x⁾

U(+)n(x,ε) =

εⁱu(+)i(x) +

εi/2Π(+)iu

+ εi/2P(+)iu

√ε

i=0

∑

⁽x-x_∗)

εi/2Q(+)iu

+ εi/2R(+)iu

(22)

√ε

i=0

∑

⁽1-x⁾

V (+)n(x,ε) =

εⁱv(+)i(x) +

εi/2Π(+)iv

+ εi/2P(+)iv

√ε

i=0

∑

⁽x-x_∗)

∑

⁽x-x_∗)

εi/2Q(+)iv

+ εi/2R(+)iv

(23)

√ε

i=0

Теорема 1. Пусть выполнены условия А1-А6. Тогда при произвольных v_∗ и x_∗, доста-

точно близких к v₀ и x₀ соответственно, и любом натуральном n для всех достаточно

малых ε существует решение (u⁽⁺⁾(x, ε), v⁽⁺⁾(x, ε)) задачи (12), (13), для компонент кото-

рого при каждом m = 0,n имеют место представления

u⁽⁺⁾(x,ε) = U(+)m(x,ε) + O(εm+1), v⁽⁺⁾(x,ε) = V(+)m(x,ε) + O(εm+1), x ∈ [x_∗,1].

(24)

Теорема доказывается с помощью метода дифференциальных неравенств.

Следствие 1.1. Предельным положением при ε → 0 кривой lε+) ={(u,v,x): u=u⁽⁺⁾(x,ε),

v = v⁽⁺⁾(x,ε), x_∗ ≤ x ≤ 1} ∗) является кривая l∗+).

Стандартным способом (см. [3]) получается

Следствие 1.2. Для производных решения задачи (12), (13) справедливы асимптотиче-

ские представления

du⁽⁺⁾

dv⁽⁺⁾

(x, ε) =

(x, ε) + O(εⁿ),

(x, ε) =

(x, ε) + O(εn+1/2), x ∈ [x_∗, 1].

(25)

∗) Эту кривую можно назвать графиком решения задачи (12), (13).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

440

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

3. Первая вспомогательная задача. Более подробно рассмотрим построение и обосно-

вание асимптотики решения первой вспомогательной задачи, существенная особенность кото-

рой состоит в том, что при построении будет использоваться двукратный корень u = ϕ₁(v, x)

уравнения (3). Будем строить асимптотику в виде

U(-)(x,ε) = u(-)(x,ε) + Π(-)u(ξ,ε) + P(-)u(ζ,ε) + Q(-)u(τ,ε) + R(-)u(σ,ε),

(26)

V (-)(x,ε) = v(-)(x,ε) + Π(-)v(ξ,ε) + P(-)v(ζ,ε) + Q(-)v(τ,ε) + R(-)v(σ,ε),

(27)

где u(-)(x, ε), v(-)(x, ε) - регулярные части асимптотики; Π(-)u(ξ, ε), Π(-)v(ξ, ε) и P(-)u(ζ, ε),

P(-)v(ζ,ε) - погранслойные части асимптотики в окрестности точки x = 0; Q(-)u(τ, ε),

Q(-)v(τ,ε) и R(-)u(σ,ε), R(-)v(σ,ε) - внутрислойные части асимптотики, описывающие быст-

рое изменение решения в левой полуокрестности точки перехода x_∗. Используются растяну-

тые переменные ξ = x/√ε, ζ = x/ε3/4, τ = (x - x∗)/√ε, σ = (x - x∗)/ε. Каждое слагаемое в

правых частях представлений (26) и (27) будет построено в виде ряда по дробным степеням ε.

3.1. Регулярная часть асимптотики. Регулярная часть асимптотики строится в виде

рядов по целым степеням

√ε:

∑

u(-)(x,ε) =

εi/2u(-)i(x),

v(-)(x, ε) =

εi/2v(-)i(x).

i=0

Уравнения для определения функций

u(-)i(x) и

v(-)i(x) будем извлекать стандартным

способом (см. [2, с. 29]) из равенств

(-)

d²u

ε²

= F(u(-), v(-),x,ε),

(28)

dx²

(-)

d²v

= f(u(-), v(-),x,ε).

(29)

dx²

В нулевом порядке имеем вырожденную систему уравнений

F(u(-)0, v(-)0,x,0) = 0, f(u(-)0, v(-)0,x,0) = 0,

из которой в соответствии с (9) получаем u(-)0(x) = ϕ₁(v₁(x), x),

v(-)0(x) = v₁(x).

Введём обозначения:

h(-)(u,v,x) := (u - ϕ₂(v,x))(u - ϕ₃(v,x)),

^h(x) := h(-)(u(-)0(x), v(-)0(x), x),

(30)

∂f

f_u(x) :=

(u(-)0(x), v(-)0(x),x,0),

f_v(x) :=

(u(-)0(x), v(-)0(x),x,0),

(31)

∂u

∂v

∂ϕ₁

∂g₁

ϕ1v(x) :=

(v₁(x), x),

g1v(x) :=

(v₁(x), x)

f_u(x

ϕ1v(x)

f_v(x).

(32)

∂v

Уравнение (28) не содержит членов порядка

√ε, т.е. членов первого порядка. Во втором

порядке получаем квадратное уравнение

^h(x)[u(-)1 -

ϕ1v(x)v(-)1]²

F₁(x) := F₁(u(-)0(x), v(-)0(x),x,0).

(33)

Условие А7. При x ∈ [0, x₀] имеет место неравенство

F₁(x) > 0.

Так как^h(x) > 0 (в силу (4)), то квадратное уравнение (33) имеет два корня, из которых

выбираем положительный:

u(-)1 -

ϕ1v(x)v(-)1 = a(x) := (h-1(x

F₁(x))1/2.

(34)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

441

Положительность корня a(x) играет в дальнейшем важную роль. Отметим, что случай, когда

F₁(x) = 0 в каких-то точках, требует отдельного рассмотрения.

Второе уравнение для u(-)1,

v(-)1 получаем из (29):

f_u(x)u(-)1

f_v(x)v(-)1 = 0.

(35)

Определитель СЛАУ (34), (35) равен

f_u(x

ϕ1v(x)

f_v(x) = g1v(x).

Условие А8. Справедливы неравенства

∂g₁

g1v(x) > 0 при x ∈ [0, x₀] и

(v, x₀) > 0 при v ∈ [v₁(x₀), v₀].

∂v

В силу первого неравенства из условия А8 (второе неравенство понадобится в дальнейшем)

СЛАУ (34), (35) однозначно разрешима:

u(-)1(x)

f_v(x)g-11v(x)a(x),

v(-)1(x) =

f_u(x)g-11v(x)a(x).

Для каждого i = 2, 3, . . . из равенств (28), (29) извлекается СЛАУ относительно u(-)i,

v(-)i

такого же типа, как (34), (35):

u(-)i -

ϕ1v(x)v(-)i = a(-)i(x),

f_u(x)u(-)i

f_v(x)v(-)i = b(-)i(x),

где a(-)i(x), b(-)i(x) выражаются рекуррентно через

u(-)j(x),

v(-)j(x) с номерами j < i. От-

сюда однозначно определяются функции u(-)i(x),

v(-)i(x).

3.2. Погранслойная часть асимптотики. Погранслойная часть асимптотики строится

в виде рядов по целым степеням

√ε

∑

Π(-)u(ξ,ε) =

√ε

εi/4Π(-)iu(ξ), Π(-)v(ξ,ε) =

εi/4Π(-)iv(ξ), ξ

√ε≥0,

i=0

∑

P(-)u(ζ,ε) = ε3/4

εi/4P(-)i

u(ζ), P(-)v(ζ, ε) = ε5/4

εi/4P(-)iv(ζ), ζ =^x

≥ 0.

ε3/4

i=0

Заметим, что все погранслойные ряды начинаются с членов порядка ε в некоторой по-

ложительной степени. Это обусловлено тем, что в точке x = 0 заданы граничные условия

Неймана (см. (11)).

Уравнения для функций Π(-)iu(ξ), Π(-)iv(ξ) и P(-)iu(ζ), P(-)iv(ζ) будем извлекать стан-

дартным способом из равенств, традиционных для метода пограничных функций [2, с. 28]:

d²Π(-)u

d²Π(-)v

= ΠF,

= Πf,

(36)

dξ²

d²P(-)v

√εd2P(-)u

=PF,

√εPf,

(37)

dζ²

где



ΠF := [F (u(-) + Π(-)u, v(-) + Π(-)v, x, ε) - F (u(-), v(-), x, ε)]



x=√εξ

PF := [F(u(-) + Π(-)u + P(-)u, v(-) + Π(-)v + P(-)v,x,ε) -



- F(u(-) + Π(-)u, v(-) + Π(-)v,x,ε)]^

x=ε3/4ζ,ξ=ε1/4ζ

функции Πf и P f имеют выражения, аналогичные выражениям для ΠF и P F.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

442

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Чтобы найти граничные условия для погранслойных функций при ξ = 0 и ζ = 0, подста-

вим выражения (26) и (27) для U(-)(x, ε) и V(-)(x, ε) в первое и второе краевые условия из

(11), используя представления для u(-), Π(-)u, P(-)u и

v(-), Π(-)v, P(-)v в виде рядов

и учитывая тот факт, что производные всех членов рядов для Q(-)u, R(-)u и Q(-)v, R(-)v

равны нулю в точке x = 0 (см. замечание в конце п. 3.3). Получим равенства

(-)

∑

dΠ(-)u

dP(-)iu

εi/2

(0) +

εi/4

(0) +

εi/4

(0) = 0,

dξ

dζ

i=0

(-)

∑

dΠ(-)iv

dP(-)iv

εi/2

(0) +

εi/4

(0) +

εi/4

(0) = 0.

dξ

dζ

i=0

Из этих равенств стандартным способом получаем

(-)

dP(-)iu

dΠ(-)iu

i/2

(0) = -

(0) -

(0), i = 0, 1, 2, . . . ,

(38)

dζ

dξ

dΠ(-)0v

dv(-)0

(0) = -

(0),

(39)

dξ

(-)

dΠ(-)1v

dΠ(-)iv

dv_i

dP(-)i-2v

(0) = 0,

(0) = -

(0) -

(0), i = 2, 3, . . . ,

(40)

dξ

dζ

где du(-)i/2(0)/dx = dv(-)i/2(0)/dx = 0, если i - нечётное число.

К полученным граничным условиям добавим стандартные для погранслойных функций

условия на бесконечности

Π(-)iv(∞) = 0, P(-)iu(∞) = 0, P(-)iv(∞) = 0, i = 0,1,2,...

(41)

Уравнения (36), (37) и граничные условия (38)-(41) дают возможность определить последо-

вательно для i = 0, 1, 2, . . . погранслойные функции в следующем порядке: Π(-)iv → Π(-)iu →

→P(-)iu → P(-)iv.

Для Π(-)0u, Π(-)0v из равенств (36) следует система уравнений

^h(0)[u(-)1(0) + Π(-)0u - ϕ1v(0)(v(-)1(0) + Π(-)0v)]² -h(0)[u(-)1(0) -

ϕ1v(0)v(-)1(0)]² = 0,

d²Π(-)0v

f_u(0)Π(-)0u

f_v(0)Π(-)0v, ξ ≥ 0.

dξ²

Из её первого уравнения получаем равенство

Π(-)0u =

ϕ1v(0)Π(-)0v,

(42)

в силу которого второе уравнение принимает вид

d²Π(-)0v

= g1v(0)Π(-)0v, ξ ≥ 0.

dξ²

Решение этого уравнения с граничными условиями (39) и Π(-)0v(∞) = 0 (см. (41)) нахо-

дится в явном виде:

(-)

√

Π(-)0v(ξ) =dv0

(0)(g1v (0))-1/2 exp(-

g1v(0)ξ), ξ ≥ 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

443

Так как g1v(0) > 0 в силу условия А8, то функция Π(-)0v(ξ) имеет экспоненциальную оценку

|Π(-)0v(ξ)| ≤ c exp(-κξ), ξ ≥ 0.

(43)

Функция Π(-)0u(ξ) определяется теперь из равенства (42) и также имеет оценку вида (43).

Кроме того, так как функция Π(-)0u(ξ) найдена, то из условий (38) при i = 0 получаем

граничное условие для P(-)0u(ζ) в точке ζ = 0:

dP(-)0u

du(-)0

dΠ(-)0u

(0) = -

(0) -

(0) =: γ₀.

(44)

dζ

dξ

Уравнения для P(-)0u, P(-)0v извлекаются из равенств (37) и имеют вид

d²P(-)0u

= 2^h(0)a(0)P(-)0u, ζ ≥ 0,

(45)

dζ²

d²P(-)0v

f_u(0)P(-)0u, ζ ≥ 0,

(46)

dζ²

где величина a(0) определена в (34).

Решение уравнения (45) с граничными условиями (44) и P(-)0u(∞) = 0 (см. (41)) также

находится в явном виде:

P(-)0u(ζ) = -γ₀k-10 exp(-k₀ζ), ζ ≥ 0,

√

где k₀ :=

2^h(0)a(0) > 0, и имеет, очевидно, экспоненциальную оценку

|P(-)0u(ζ)| ≤ c exp(-κζ), ζ ≥ 0.

(47)

Зная P(-)0u(ζ), из уравнения (46) с условием P(-)0v(∞) = 0 (см. (41)) находим функцию

P(-)0v(ζ):

∫

P(-)0v(ζ) =

f_u(0)P(-)0u(t)dtds,

∞ ∞

для неё также имеет место оценка вида (47).

При i = 1, 2, . . . для Π(-)iu, Π(-)iv из равенств (36) вытекает линейная система уравнений

Π(-)iu -

ϕ1v(0)Π(-)iv = π_i(ξ),

d²Π(-)iv

f_u(0)Π(-)iu

f_v(0)Π(-)iv + π_i(ξ), ξ ≥ 0,

dξ²

а для P(-)iu, P(-)iv из равенств (37) - линейная система уравнений

d²P(-)iu

= k²⁰P(-)iu + p_i(ζ), ζ ≥ 0,

dζ²

d²P(-)iv

f_u(0)P(-)iu + p_i(ζ), ζ ≥ 0,

dζ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

444

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

где неоднородности

π_i(ξ), π_i(ξ) и p_i(ζ),

pi(ζ) выражаются рекуррентно через функции

Π(-)ju(ξ), Π(-)jv(ξ) и P(-)ju(ζ), P(-)jv(ζ) с номерами j < i и имеют экспоненциальные оценки

вида (43) и (47), если такие же оценки имеют погранслойные функции с номерами j < i. Эти

уравнения с граничными условиями (40), (38), (41) решаются в той же последовательности,

как и уравнения для погранслойных функций при i = 0, при этом решения находятся в явном

виде и имеют экспоненциальные оценки вида (43) и (47).

Итак, погранслойные ряды построены.

3.3. Внутрислойная часть асимптотики. Внутрислойная часть асимптотики строится

в виде рядов по целым степеням

√ε

∑

Q(-)u(τ,ε) =

εi/4Q(-)iu(τ), Q(-)v(τ,ε) =

εi/4Q(-)iv(τ),

(48)

i=0

∑

R(-)u(σ,ε) =

εi/4R(-)iu(σ), R(-)v(σ,ε) =

εi/4R(-)iv(σ).

(49)

i=0

Стандартным способом (см. [2, с. 28]) для функций Q(-)u, Q(-)v получаем систему уравнений

d²Q(-)u

d²Q(-)v

= QF,

= Qf,

(50)

dτ²

где



QF := [F(u(-) + Q(-)u, v(-) + Q(-)v,x,ε) - F(u(-), v(-),x,ε)]



x=x∗+√ετ

функция Qf имеет аналогичное выражение. Из этой системы также стандартным способом

будем последовательно для i = 0, 1, 2, . . . извлекать уравнения для функций Q(-)iu, Q(-)iv.

Для Q(-)0u, Q(-)0v получаем систему уравнений

F(u(-)0(x_∗) + Q(-)0u, v(-)0(x_∗) + Q(-)0v,x_∗,0) = 0,

d²Q(-)0v

= f(u(-)0(x_∗) + Q(-)0u, v(-)0(x_∗) + Q(-)0v,x_∗,0), τ ≤ 0.

dτ²

Из первого уравнения следует равенство

u(-)0(x_∗) + Q(-)0u = ϕ₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v,x_∗),

(51)

в силу которого второе уравнение, используя вид функции g₁(v, x) (см. условие А2), запишем

в виде

d²Q(-)0v

= g₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v,x_∗), τ ≤ 0.

(52)

dτ²

К этому уравнению нужно добавить граничные условия. Чтобы получить граничное усло-

вие при τ = 0, подставим выражение (27) для V(-)(x, ε) в четвёртое краевое условие из

(11), используя представления v(-), Q(-)v, R(-)v в виде рядов и учитывая тот факт, что все

члены рядов Π(-)v и P(-)v равны нулю при x = x_∗ (см. замечание в конце этого пункта).

В результате получим равенство

∑

εi/2v(-)i(x_∗) +

εi/4Q(-)iv(0) +

εi/4R(-)iv(0) = v_∗.

(53)

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

445

Отсюда находим v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(0) = v_∗, и, следовательно, граничное условие для Q(-)0v(τ)

при τ = 0 имеет вид

Q(-)0v(0) = v_∗ - v(-)0(x_∗).

(54)

Отметим, что v_∗ - v(-)0(x_∗) = v_∗ - v₁(x_∗) > 0 (см. (7)).

В качестве второго граничного условия для функции Q(-)0v(τ) и также для остальных

функций Q(-)iv(τ), i = 1, 2, . . . , возьмём стандартное условие на бесконечности:

Q(-)iv(-∞) = 0, i = 0,1,2,...

(55)

Для точек v_∗ и x_∗, достаточно близких к v₀ и x₀ соответственно, в силу второго неравен-

ства из условия А8 справедливо неравенство ∂g₁(v, x_∗)/∂v > 0 при v ∈ [v(-)0(x_∗), v_∗]. Поэтому

задача (52), (54), (55) для функции Q(-)0v(τ) сводится стандартным способом к уравнению

первого порядка

(-)

∫

)1/2

dQ(-)v

g₁(v(-)0(x_∗) + s,x_∗)ds

τ ≤ 0,

(56)

dτ

с начальным условием (54).

Уравнение (56) интегрируется в квадратурах, его решение с начальным условием (54) яв-

ляется возрастающей функцией (от нуля при τ = -∞ до (v_∗ - v(-)0(x_∗)) при τ = 0) и имеет

экспоненциальную оценку

|Q(-)0v(τ)| ≤ c exp(κτ), τ ≤ 0.

(57)

Теперь из равенства (51) находим Q(-)0u(τ):

Q(-)0u(τ) = ϕ₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗) - u(-)0(x_∗) =

= ϕ₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗) - ϕ₁(v(-)0(x_∗),x_∗).

(58)

Отсюда следует, что Q(-)0u(τ) и её производные также имеют экспоненциальные оценки ви-

да (57).

Несложные вычисления показывают, что справедливы равенства

Q(-)1v(τ) = 0, Q(-)1u(τ) = 0, τ ≤ 0,

(59)

а для функций Q(-)2u, Q(-)2v вследствие (50) получаем систему уравнений

^ĥ(x_∗, τ)(Q(-)2u -

ϕ1v(x_∗,τ)Q(-)2v + ψ₂(τ))² = B(τ),

(60)

d²Q(-)2v

f_u(x_∗,τ)Q(-)2u

f_v(x_∗,τ)Q(-)2v + χ₂(τ), τ ≤ 0,

(61)

dτ²

где^ĥ(x, τ) := h(-)(ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x), v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x) (см. (30)),

(-)

)

⁽du

dv(-)

ψ₂(τ) :=

(x_∗) -

ϕ1v(x_∗,τ)

(x_∗) -

ϕ1x(τ) τ + u(-)1(x_∗) -

ϕ1v(x_∗,τ)v(-)1(x_∗),

∂ϕ₁

ϕ1v(x,τ) :=

(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ),x),

(62)

∂v

∂ϕ₁

ϕ1x(τ) :=

(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗),

∂x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

446

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

(-)

d²Q

B(τ) :=

(τ)

F₁(τ),

(63)

dτ²

F₁(τ) := F₁(ϕ₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗), v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗,0),

(

(-)

)

χ₂(τ) :=

f_u(x_∗,τ)

f_u(x_∗))

(x_∗)τ + u(-)1(x_∗)

(

)

(-)

dv₀

f_v(x_∗,τ)

f_v(x_∗))

(x_∗)τ + v(-)1(x_∗)

f_x(x_∗,τ)

f_x(x_∗))τ,

∂f

f_u(x,τ) :=

(ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x), v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x, 0);

(64)

∂u

обозначения

f_v(x,τ) и

f_x(x,τ) имеют аналогичный смысл,

f_u(x) и

f_v(x) определены в (31).

Дифференцируя дважды выражение (58) для функции Q(-)0u(τ) и используя равенства

(52) и (56), приходим к равенству

(-)

v₀

∫

d²Q(-)

(τ) =

ϕ1v(x_∗,τ)g₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗) +

ϕ1vv(x_∗,τ)

g₁(s,x_∗)ds.

dτ²

v(-)0(x∗)

Поэтому выражение (63) для B(τ) можно записать в виде

B(τ) = [G(v, x_∗) + F₁(ϕ₁(v, x_∗), v, x_∗, 0)]|

(65)

v=v(-)0(x∗)+Q(-)0v(τ)

где

∫

∂ϕ₁

∂²ϕ1

G(v, x) :=

(v, x)g₁(v, x) + 2

(v, x)

g₁(s,x)ds.

∂v

∂v²

v₁(x)

Из уравнения (60) следует, что для разрешимости системы (60), (61) необходимо выполне-

ние условия

B(τ) ≥ 0

при τ ≤ 0.

(66)

Учитывая вид (65) функции B(τ) и то, что (v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ)) ∈ (v(-)0(x_∗), v_∗] = (v₁(x_∗), v_∗]

при τ ≤ 0, введём требование, обеспечивающее выполнение неравенства (66).

Условие А9. При v ∈ [v₁(x₀), v₀] выполняется неравенство

G(v, x₀) + F₁(ϕ₁(v, x₀), v, x₀, 0) > 0.

Тогда B(τ) > 0 при τ ≤ 0 (для v_∗ и x_∗, достаточно близких к v₀ и x₀ соответственно),

и из уравнения (60) получаем

Q(-)2u = ϕ1v(x_∗,τ)Q(-)2v + b(τ) - ψ₂(τ),

(67)

где

b(τ) := (ĥ-1(x_∗, τ)B(τ))1/2 ≥ c > 0 при τ ≤ 0,

(68)

берём положительное значение корня изĥ-1(x_∗, τ)B(τ), что будет важно при определении

функций R(-)iu(σ), R(-)iv(σ).

Из определения (63) для B(τ), используя экспоненциальные оценки функций Q(-)0u, Q(-)0v,

d²Q(-)0u/dτ², а также равенства (34) для корня a(x), получаем^ĥ(x_∗,-∞) =^h(x_∗),

b(-∞) = (h-1(x_∗)B(-∞))1/2 = (h-1(x_∗

F₁(x_∗))1/2 = a(x_∗).

(69)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

447

Кроме того, из выражения для ψ₂(τ) следует, что ψ₂(-∞) = a(x_∗), а r₂(τ) := b(τ) - ψ₂(τ)

имеет экспоненциальную оценку вида (57):

|r₂(τ)| ≤ c exp(κτ), τ ≤ 0.

Такую же оценку имеет функция χ₂(τ).

Подставляя выражение (67) для Q(-)2u в уравнение (61) и учитывая, что

∂g₁

f_u(x_∗,τ

ϕ1v(x_∗,τ)

f_v(x_∗,τ) = ĝ1v(x_∗,τ) :=

(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗),

∂v

приходим к следующему уравнению для функции Q(-)2v(τ):

d²Q(-)2v

= ĝ1v(x_∗,τ)Q(-)2v + q₂(τ), τ ≤ 0,

(70)

dτ²

где q₂(τ) = χ₂(τ)

f_u(x_∗,τ)r₂(τ), q₂(τ) имеет оценку вида (57).

Граничные условия для Q(-)2v(τ) следуют из (53) и (55):

Q(-)2v(0) = -v(-)1(x_∗) - R(-)0v(0), Q(-)2v(-∞) = 0.

(71)

Мы видим, что первое граничное условие содержит неизвестную пока величину R(-)0v(0).

Обратимся поэтому к построению рядов для R(-)u, R(-)v. В отличие от рядов для Q(-)u,

Q(-)v ряды для R(-)u, R(-)v будут построены не стандартным способом, а с помощью алго-

ритма, разработанного для сингулярно возмущённых задач с кратным корнем вырожденного

уравнения [3-6], в которых стандартный алгоритм не применим. С этой целью введём ещё

одну внутрислойную переменную η = (x - x_∗)/ε3/4 и, используя равенства x = x_∗ + ε3/4η,

τ = ε1/4η, запишем систему уравнений для R(-)u, R(-)v в виде

d²R(-)u

d²R(-)v

= RF,

= εRf,

(72)

dσ²

где

RF := [F(u(-) + Q(-)u + R(-)u, v(-) + Q(-)v + R(-)v,x,ε) -



- F(u(-) + Q(-)u, v(-) + Q(-)v,x,ε)]^

x=x∗+ε3/4η

τ=ε1/4η

функция Rf имеет аналогичное выражение. Разложив правые части уравнений в ряды по

степеням

√ε, будем последовательно для i = 0, 1, 2, . . . извлекать из системы (72) уравнения

для R(-)iu, R(-)iv нестандартным способом.

Уравнения для R(-)0u, R(-)0v возьмём в виде (для упрощения записи используем равенства

v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(0) = v_∗,

u(-)0(x_∗) + Q(-)0u(0) = ϕ₁(v_∗,x_∗))

d²R(-)0u

= h(-)(ϕ₁(v_∗,x_∗) + R(-)0u,v_∗,x_∗)[(R(-)0u)² + 2√εb(0)R(-)0u],

(73)

dσ²

d²R(-)0v

√εR(-)0f(σ), σ ≤ 0,

(74)

dσ²

где R(-)0f(σ) := f(ϕ₁(v_∗, x_∗)+R(-)0u, v_∗, x_∗, 0)-f(ϕ₁(v_∗, x_∗), v_∗, x_∗, 0), величина b(0) определена

в (68), b(0) > 0 (это существенно для поведения функции R(-)0u(σ)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

448

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Чтобы получить граничное условие для R(-)0u(σ) при σ = 0, подставим выражение (26)

для U(-)(x, ε) в третье краевое условие из (11). Получим равенство, аналогичное (53):

∑

εi/2u(-)i(x_∗) +

εi/4Q(-)iu(0) +

εi/4R(-)iu(0) = ϕ₂(v_∗,x_∗),

(75)

i=0

откуда имеем u(-)0(x_∗)+Q(-)0u(0)+R(-)0u(0) = ϕ₂(v_∗, x_∗). Из этого равенства находим R(-)0u(0).

Так как u(-)0(x_∗) + Q(-)0u(0) = ϕ₁(v_∗, x_∗) (см. (51) и (54)), то

R(-)0u(0) = ϕ₂(v_∗,x_∗) - ϕ₁(v_∗,x_∗).

(76)

В качестве второго граничного условия для функции R(-)0u(σ) и также для остальных

функций R(-)iu(σ), i = 1, 2, . . . , возьмём стандартное условие на бесконечности:

R(-)iu(-∞) = 0, i = 0,1,2,...

(77)

Задача (73), (76), (77) для R(-)0u(σ) сводится к уравнению первого порядка

(-)

∫

)1/2

dR(-)u

√

h(-)(ϕ₁(v_∗,x_∗) + s,v_∗,x_∗)(s² + 2

εb(0)s)ds

σ ≤ 0,

(78)

dσ

с начальным условием (76). Уравнение (78) интегрируется в квадратурах, его решение с на-

чальным условием (76) является возрастающей функцией (от нуля при σ = -∞ до величины

(ϕ₂(v_∗, x_∗) - ϕ₁(v_∗, x_∗)) при σ = 0) и имеет двустороннюю оценку (см. [5]):

c₁Rκ1 (σ,ε) ≤ R(-)0u(σ) ≤ c₂Rκ2 (σ,ε), σ ≤ 0,

(79)

где c₁, c₂, κ₁, κ₂ - не зависящие от ε постоянные, c₂ ≥ c₁ > 0, κ₁ ≥ κ₂ > 0, а

R_κ(σ,ε) =

√εexp(ε1/4κσ)[1 + ε1/4 - exp(ε1/4κσ)]-2, κ > 0, σ ≤ 0,

(80)

– функция, которая будет эталонной (оценочной) функцией для всех функций R(-)iu(σ),

R(-)iv(σ), i = 0,1,2,... , т.е. каждая из этих функций будет иметь оценку вида

|R(-)iu(σ)| ≤ cR_κ(σ, ε), σ ≤ 0,

(81)

с различными, вообще говоря, числами c и κ для различных i. Для R(-)0u(σ) эта оценка

следует из (79).

Несложный анализ выражения (80) показывает, что функция R_κ(σ, ε) монотонно стремит-

ся к нулю при σ → -∞, причём убывание носит различный характер на трёх промежутках

(в трёх зонах) полупрямой σ ≤ 0.

Первая зона - отрезок [-ε^-γ ≤ σ ≤ 0], где в качестве γ можно взять любое число из

интервала (0, 1/4), сколь угодно близкое к 1/4. В этой зоне функция Rκ(σ, ε) убывает с

уменьшением σ (т.е. с ростом |σ|) степенным образом: R_κ(σ, ε) = O(1/(1 + σ²)) при фикси-

рованном ε.

Вторая (переходная) зона - отрезок [-ε-1/4 ≤ σ ≤ -ε^-γ]. Здесь происходит постепенное

изменение масштаба внутрислойной переменной и характера убывания функции R_κ(σ, ε) от

степенного убывания по отношению к σ до экспоненциального по отношению к новой внут-

рислойной переменной η = (x - x_∗)/ε3/4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

449

Третья зона - полупрямая σ ≤ -ε-1/4. Здесь функция R_κ(σ, ε) убывает экспоненциально

по отношению к внутрислойной переменной η, именно: R_κ(σ, ε) = O(√εexp(κη)), η ≤ -1.

Отметим, что если формировать уравнение для R(-)0u(σ) стандартным способом, то в

правой части уравнения (73) не будет слагаемого 2√εb(0)R(-)0u, и тогда на всей полупрямой

σ ≤ 0 функция R(-)0u(σ) будет иметь оценку R(-)0u(σ) = O(1/(1 +σ²)), что не соответствует

истинному поведению решения задачи (10), (11) в окрестности точки x = x_∗.

Отметим также, что функция R(-)0u зависит не только от σ, но и от ε, и то же самое имеет

место для всех других внутрислойных функций, но для упрощения записи их зависимость от

ε указывать не будем, т.е. будем писать R(-)iu(σ), R(-)iv(σ) вместо R(-)iu(σ,ε), R(-)iv(σ,ε).

Итак, функция R(-)0u(σ) определена, и, значит, правая часть в уравнении (74) для R(-)0v(σ)

является теперь известной функцией, имеющей, очевидно, оценку

|√εR(-)0f(σ)| ≤ c√εRκ(σ, ε), σ ≤ 0.

(82)

Для однозначного определения функции R(-)0v(σ) (и так же будет для остальных функций

R(-)iv(σ)) достаточно задать стандартное условие на бесконечности:

R(-)iv(-∞) = 0, i = 0,1,2,...

(83)

Решение уравнения (74) с условием R(-)0v(-∞) = 0 имеет вид

∫σ

∫

R(-)0v(σ) =

√εR(-)0f(t) dt ds,

(84)

−∞ -∞

откуда в силу (82) следует оценка

|R(-)0v(σ)| ≤ cR_κ(σ, ε), σ ≤ 0.

(85)

Отметим, что нестандартность формирования уравнения (74) для функции R(-)0v(σ), со-

стоящая в том, что правая часть в (74) содержит множитель

√ε, имела целью получить для

R(-)0v(σ) оценку (85). Кроме того, из (84) следует, что

dR(-)0v

(0) = O(√ε).

(86)

dσ

Эта оценка понадобится в п. 4.

Так как функция R(-)0v(σ) найдена, то известно число R(-)0v(0), входящее в граничное

условие для Q(-)2v(τ) (см. (71)). Это даёт возможность определить функцию Q(-)2v(τ). Она

выражается формулой

(

∫

)

Q(-)2v(τ) = Φ(τ) Φ-1(0)Q(-)2v(0) + Φ-2(s)

Φ(t)q₂(t) dt ds

-∞

где Φ(τ) := dQ(-)0v(τ)/dτ , Q(-)2v(0) = -v(-)1(x_∗) - R(-)0v(0) (см. (71)). Отсюда для Q(-)2v(τ)

следует экспоненциальная оценка вида (57). Зная Q(-)2v(τ), по формуле (67) находим функцию

Q(-)2u(τ), для которой, очевидно, также справедлива оценка вида (57).

Таким образом, на данном этапе определены все главные члены внутрислойных рядов (48)

и (49), причём они находились в следующем порядке: Q(-)0v → Q(-)0u → R(-)0u → R(-)0v, и,

кроме того, найдены функции Q(-)1v, Q(-)1u (см. (59)) и Q(-)2v, Q(-)2u.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

450

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Для каждого i = 1, 2, . . . внутрислойные функции определяются в таком же порядке, как и

для i = 0. При i = 3, 4, . . . для Q(-)iu(τ), Q(-)iv(τ) получается линейная система уравнений,

которая приводится к виду, аналогичному (67), (70):

Q(-)iu =

ϕ1v(x_∗,τ)Q(-)iv + ψ_i(τ),

(87)

d²Q(-)iv

= ĝ1v(x_∗,τ)Q(-)iv + q_i(τ), τ ≤ 0,

(88)

dτ²

где функции ψ_i(τ) и q_i(τ) выражаются рекуррентно через Q(-)ju(τ), Q(-)jv(τ) с номерами

j < i и имеют оценки вида (57).

Граничные условия для функции Q(-)iv(τ) извлекаются из (53), (55):

Q(-)iv(0) = -(v(-)i/2(x_∗) + R(-)i-2v(0)), Q(-)iv(-∞) = 0,

(89)

где v(-)i/2(x_∗) = 0, если i - нечётное число.

Решение задачи (88), (89) задаётся формулой, аналогичной выражению для Q(-)2v(τ), а

функция Q(-)iu(τ) определяется после этого формулой (87). Из этих формул для функций

Q(-)iv(τ), Q(-)iu(τ) получаются оценки вида (57).

Для R(-)iu(σ), R(-)iv(σ) при i = 1, 2, . . . из системы (72) извлекается нестандартным

способом линейная система уравнений

d²R(-)iu

= K(σ,ε)R(-)iu + r(-)i(σ,ε),

(90)

dσ²

d²R(-)iv

√εf˜_u(σ)R(-)iu(σ) + ρ(-)i(σ,ε), σ ≤ 0,

(91)

dσ²

где

K(σ, ε) := 2h(-)(σ)(R(-)0u(σ) +

√εb(0)) + h(-)u(σ)(R(-)0u(σ) + 2√εb(0))R(-)0u(σ),

(92)

h(-)(σ) := h(-)(ϕ₁(v_∗, x_∗) + R(-)0u(σ), v_∗, x_∗),

(-)

∂h

h(-)

(σ) :=

(ϕ₁(v_∗, x_∗) + R(-)0u(σ), v_∗, x_∗),

∂u

обозначенияhv-)(σ),

f_u(σ),

f_v(σ) имеют аналогичный смысл, а функции r(-)i(σ,ε) и ρ(-)i(σ,ε)

выражаются рекуррентно через R(-)ju(σ), R(-)jv(σ) с номерами j < i и формируются с

помощью нестандартного алгоритма так, чтобы они имели оценку

|r(-)i(σ, ε)| + |ρ(-)i(σ, ε)| ≤ c(R2κ(σ, ε) +

√εR_κ(σ, ε)), σ ≤ 0,

(93)

функция R_κ(σ, ε) в которой определена в (80). При этом в процессе формирования этих функ-

ций используется переменная η = (x - x_∗)/ε3/4, а в уравнениях (90) и (91) она заменяется на

ε1/4σ (более детальное описание нестандартного алгоритма см. в [3-6]).

Запишем, например, выражения для r(-)1(σ, ε) и ρ(-)1(σ, ε):

(

)

dQ(-)0u

h(-)

r(-)1(σ,ε) =

(σ)

(0) +h(-)v(σ)^dQ0-)

(0) ε1/4σ[(R(-)0u(σ))² + 2√εb(0)R(-)0u(σ)],

dτ

{

}

dQ(-)0u

dQ(-)v

ρ(-)1(σ,ε) =

f_u(σ)

f_u(x_∗,0))

(0) +

f_v(σ)

f_v(x_∗,0))

(0) ε3/4σ.

dτ

Эти функции имеют, очевидно, оценку вида (93).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

451

Граничные условия для функции R(-)iu(σ) следуют из (75) и (77):

R(-)iu(0) = -(u(-)i/2(x_∗) + Q(-)iu(0)), R(-)iu(-∞) = 0,

(94)

где

u(-)i/2(x_∗) = 0, если i - нечётное число, а для функции R(-)iv(σ) имеем граничное усло-

вие (83).

Решение задачи (90), (94) выражается формулой

(

∫

)

R(-)iu(σ) = Ψ(σ) Ψ-1(0)R(-)iu(0) + Ψ-2(s) Ψ(t)r(-)i(t,ε)dtds ,

(95)

-∞

где Ψ(σ) := dR(-)0u(σ)/dσ, значение R(-)iu(0) определено в (94). Из представления (95) для

R(-)iu(σ) следует оценка (81).

Так как функция R(-)iu(σ) найдена, то правая часть в уравнении (91) является теперь

известной функцией, имеющей оценку вида (93). Решение задачи (91), (83) выражается фор-

мулой, аналогичной (84):

∫σ

∫

R(-)iv(σ) =

(√εf˜u(t)R(-)iu(t) + ρ(-)i(t,ε))dtds,

−∞ -∞

откуда следует оценка |R(-)iv(σ)| ≤ cR_κ(σ, ε), σ ≤ 0.

Итак, внутрислойные ряды (48) и (49) построены, и их коэффициенты имеют оценки вида

(57) и (81). Из этих оценок следует, что внутренний слой в левой полуокрестности точки x_∗

является четырёхзонным. Первые две зоны определены при описании поведения эталонной

функции R_κ(σ, ε) - это отрезки [-ε^-γ ≤σ ≤ 0] и [-ε-1/4 ≤σ ≤-ε^-γ], т.е. [x_∗ - ε1-γ ≤x≤x_∗]

и [x_∗ - ε3/4 ≤ x ≤ x_∗ - ε1-γ ], где 0 < γ < 1/4. В качестве третьей зоны можно взять отрезок

[x_∗ - ε5/8 ≤ x ≤ x_∗ - ε3/4]. На этом отрезке происходит экспоненциальное убывание R(-)-

функций по отношению к внутрислойной переменной η, изменяющейся от -1 до -ε-1/8, а

Q(-)-функции почти не изменяются, так как на этом отрезке τ ∈ [-ε1/8,-ε1/4]. И, наконец,

в четвёртой зоне [x_∗ - δ ≤ x ≤ x_∗ - ε5/8] R(-)-функции являются величинами порядка o(ε^N )

для любого N > 0, а Q(-)-функции экспоненциально убывают.

Замечание. При построении рядов Π(-)u, Π(-)v и P(-)u, P(-)v утверждалось, что

производные всех членов внутрислойных рядов Q(-)u, Q(-)v и R(-)u, R(-)v будут равны

нулю в точке x = 0. Это свойство является результатом стандартной процедуры умножения

внутрислойных функций на бесконечно дифференцируемые срезающие функции (см. [2, с. 82]).

Аналогичное умножение на срезающие функции произведём для членов погранслойных рядов

Π(-)u, Π(-)v и P(-)u, P(-)v, а также для погранслойных и внутрислойных функций во

второй вспомогательной задаче.

3.4. Обоснование асимптотики.

3.4.1. Теорема об асимптотике решения первой вспомогательной задачи. Для

обоснования построенной асимптотики нам понадобятся ещё два условия, связанные с произ-

водными функций ϕ, F и f.

Условие А10. Справедливы неравенства

∂ϕ₁

ϕ1v(x) > 0 при x ∈ [0, x₀] и

(v, x₀) > 0 при v ∈ [v₁(x₀), v₀].

∂v

Чтобы сформулировать условие А11, определим кривые l₄, l₅, l₆ в пространстве пере-

менных (u, v, x), аналогичные кривым l₁, l₂, l₃ из условия А6:

l₄ = {(u,v,x): ϕ₁(v₀, x₀) ≤ u ≤ ϕ₂(v₀, x₀), v = v₀, x = x₀},

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

2^∗

452

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

l₅ = {(u,v,x): u = ϕ₁(v, x₀), v₁(x₀) ≤ v ≤ v₀, x = x₀},

l₆ = {(u,v,x): u = ϕ₁(v₁(x),x), v = v₁(x),

0 ≤ x ≤ x₀}.

Условие А11. Имеют место неравенства

∂F

(u, v₀, x₀, 0) < 0 при ϕ₁(v₀, x₀) < u ≤ ϕ₂(v₀, x₀)

∂v

∂f

(u, v, x, 0) < 0 при (u, v, x) ∈ l(-) = l₄

^⋃l₅⋃l₆.

∂u

Отметим, что для точек v_∗ и x_∗, достаточно близких к v₀ и x₀ соответственно, неравен-

ства из условий А10 и А11 останутся верными, если в них заменить v₀ на v_∗ и x₀ на x_∗.

Обозначим через

n (x, ε) и

n (x, ε) следующие частичные суммы построенных рядов

(26) и (27):

(

)

(

)

∑

U(-)n(x,ε) =

εi/2u(-)i(x) +

εi/4Π(-)iu

+ε3/4

εi/4P(-)iu

√ε

ε3/4

i=0

∑

⁽x-x_∗)

∑

⁽x-x_∗)

εi/4Q(-)iu

+ εi/4R(-)iu

(96)

√ε

i=0

(

)

(

)

∑

V (-)n(x,ε) =

εi/2v(-)i(x) +

εi/4Π(-)iv

+ε5/4

εi/4P(-)iv

√ε

ε3/4

i=0

∑

⁽x-x_∗)

εi/4Q(-)iv

εi/4R(-)iv

(97)

√ε

i=0

Из алгоритма построения рядов (26) и (27) следуют равенства

d²

L_ε(U(-)n,V(-)n) := ε²

- F(U(-)n,V (-)n,x,ε) = O(ε(n+1)/2), x ∈ (0,x_∗),

(98)

dx²

d²

M_ε(V(-)n,U(-)n) := ε

- f(U(-)n,V (-)n,x,ε) = O(εn/2), x ∈ (0,x_∗),

(99)

dx²

(0, ε) = 0,

U(-)n(x_∗,ε) = ϕ₂(v_∗,x_∗), V(-)n(x_∗,ε) = v_∗ + O(ε(n+1)/2).

Они означают, что ряды (26), (27) являются (пока) формальными асимптотическими рядами

для задачи (10), (11).

Теорема 2. Пусть выполнены условия А1-А4 и А7-А11. Тогда при произвольных v_∗ и x_∗,

достаточно близких к v₀ и x₀ соответственно, и любом натуральном n для всех доста-

точно малых ε существует решение (u(-)(x,ε),v(-)(x,ε)) задачи (10), (11), для компонент

которого при каждом m = 0, n имеют место представления

u(-)(x,ε) = U(-)m(x,ε) + O(ε(m+1)/2), v(-)(x,ε) = V(-)m(x,ε) + O(ε(m+1)/2), x ∈ [0,x_∗]. (100)

3.4.2. О методе доказательства теоремы 2. Докажем теорему 2 с помощью асимп-

тотического метода дифференциальных неравенств, т.е. построив верхнее и нижнее решения

задачи (10), (11) на основе формальных асимптотических рядов (26), (27) [7]. Напомним по-

нятия верхнего и нижнего решений для задачи (10), (11).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

453

Определение. Две пары функций (U(x,ε),V (x,ε)) и (U(x,ε),V (x,ε)), принадлежащих

по переменной x классу C⁽²⁾(0, x_∗)

^⋂C⁽¹⁾[0,x_∗)^⋂ C[0,x_∗], называются упорядоченными верх-

ним и нижним решениями задачи (10), (11), если они удовлетворяют следующим условиям:

1◦ имеют место неравенства (условие упорядоченности)

U (x, ε) ≤ U(x, ε) и V (x, ε) ≤ V (x, ε) при

0≤x≤x_∗;

2◦ выполняются неравенства

L_ε(U,v) ≤ 0 ≤ L_ε(U,v) при V (x,ε) ≤ v ≤ V (x,ε),

0<x<x_∗,

M_ε(V ,u) ≤ 0 ≤ M_ε(V ,u) при U(x,ε) ≤ u ≤ U(x,ε),

0<x<x_∗

(операторы L_ε и M_ε определены равенствами (98) и (99));

3◦ справедливы неравенства

(0, ε) ≤ 0 ≤

(0, ε),

(0, ε) ≤ 0 ≤

(0, ε),

U (x_∗, ε) ≤ ϕ₂(v_∗, x_∗) ≤ U(x_∗, ε), V (x_∗, ε) ≤ v_∗ ≤ V (x_∗, ε).

Если существуют упорядоченные верхнее и нижнее решения задачи (10), (11), то эта задача

имеет решение u = u(-)(x, ε), v = v(-)(x, ε) (возможно, не единственное), для компонент

которого верхнее и нижнее решения являются соответствующими оценками сверху и снизу:

U (x, ε) ≤ u(-)(x, ε) ≤ U(x, ε), V (x, ε) ≤ v(-)(x, ε) ≤ V (x, ε), x ∈ [0, x_∗].

(101)

Если функция F (u, v, x, ε) является невозрастающей функцией аргумента v, а функция

f (u, v, x, ε) - невозрастающей функцией аргумента u в области

G₀ = {(u,v,x,ε): U(x,ε) ≤ u ≤ U(x,ε), V (x,ε) ≤ v ≤ V (x,ε), 0 ≤ x ≤ x_∗, 0 ≤ ε ≤ ε₀}

(102)

(т.е. функции F и f удовлетворяют в области G₀ условию квазимонотонности), то для вы-

полнения условия 2^◦ из определения достаточно, чтобы выполнялись неравенства

L_ε(U,V ) ≤ 0 ≤ L_ε(U,V ), x ∈ (0,x_∗),

(103)

M_ε(V ,U) ≤ 0 ≤ M_ε(V ,U), x ∈ (0,x_∗).

(104)

Мы будем использовать это утверждение при доказательстве теоремы 2.

3.4.3. Нижнее и верхнее решения задачи (10), (11). Определим функции α(x,τ) и

β(x, τ) как решение СЛАУ

α-

ϕ1v(x,τ)β = A,

f_u(x,τ)α

f_v(x,τ)β = A,

(105)

где функции

ϕ1v(x,τ) и

f_u(x,τ),

f_v(x,τ) заданы равенствами (62) и (64), A > 0 - число,

которое будет выбрано ниже достаточно большим. Определитель этой системы равен

∂g₁

f_v(x,τ)

f_u(x,τ

ϕ1v(x,τ) = ĝ1v(x,τ) :=

(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ),x).

(106)

∂v

Для входящих в равенство (106) производных имеют место при 0 ≤ x ≤ x_∗, τ ≤ 0 пред-

ставления

f_u(x,τ)

f_u(x_∗,τ)

f_u(x)

f_u(x_∗) + O(√ε),

(107)

f_v(x,τ)

f_v(x_∗,τ)

f_v(x)

f_v(x_∗) + O(√ε),

(108)

ϕ1v(x,τ) =

ϕ1v(x_∗,τ) +

ϕ1v(x) -

ϕ1v(x_∗) + O(√ε),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

454

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

ĝ1v(x,τ) = ĝ1v(x_∗,τ) + g1v(x) - g1v(x_∗) + O(√ε);

функции

f_u(x),

f_v(x),

ϕ1v(x),

g1v(x) определены равенствами (31), (32).

Из этих представлений для

f_u(x,τ) (в силу условия А11), для

ϕ1v(x,τ) (в силу условия

А10) и для ĝ1v(x, τ) (в силу условия А8) при достаточно малых ε следуют оценки

f_u(x,τ) ≤ c < 0,

ϕ1v(x,τ) ≥ c > 0,

ĝ1v(x,τ) ≥ c > 0 при

0 ≤ x ≤ x_∗, τ ≤ 0.

(109)

В свою очередь, из (106) и этих оценок вытекает аналогичная оценка для

f_v(x,τ):

f_v(x,τ) ≥ c > 0 при

0 ≤ x ≤ x_∗, τ ≤ 0.

(110)

Числа c в каждом из неравенств (109) и в неравенстве (110), вообще говоря, различны, но все

они не зависят от ε.

Так как ĝ1v(x, τ) ≥ c > 0, то система (105) имеет единственное решение:

α(x, τ) =

f_v(x,τ) +

ϕ1v(x,τ))ĝ-11v(x,τ)A, β(x,τ) = (1

f_u(x,τ))ĝ-11v(x,τ)A,

(111)

для которого в силу (109) и (110) справедливы оценки 0 < c₁A ≤ α(x, τ) ≤ c₂A,

0 < c₁A ≤

≤ β(x,τ) ≤ c₂A при 0 ≤ x ≤ x_∗, τ ≤ 0, где постоянные c₁ и c₂ не зависят от ε.

Нам понадобятся ещё оценки производных:

(

)

d²α

d²

x-x_∗

∂²α

1∂²α

⁽A⁾

α x,

(x, τ) +

(x, τ) = O

(112)

dx²

√ε

∂x²

√ε ∂x∂τ(x,τ)+

ε ∂τ²

d²β

∂²β

=ε

(x, τ) + 2√ε∂2β

(x, τ) +

(x, τ) = Aq(τ) + O(A)√ε,

(113)

dx²

∂x²

∂x∂τ

∂τ²

где

|q(τ)| ≤ c exp(κτ), c > 0, κ > 0, τ ≤ 0.

(114)

Верхнее и нижнее решения задачи (10), (11) построим в виде

U (x, ε) = U(-)n(x, ε) + εn/2Z(x, ε), V (x, ε) = V(-)n(x, ε) + εn/2z(x, ε),

(115)

U (x, ε) = U(-)n(x, ε) - εn/2Z(x, ε), V (x, ε) = V(-)n(x, ε) - εn/2z(x, ε),

(116)

где n ≥ 2,

Z(x, ε) := α(x, τ) +

ϕ1v(x_∗,τ)γ(τ) + G(σ,ε) + exp(-ξ),

z(x, ε) := β(x, τ) + γ(τ) -

√εH(σ, ε) + exp(-ξ),

α(x, τ), β(x, τ) - решение (111) системы (105), а функции γ(τ), G(σ, ε) и H(σ, ε),

выбор

которых уточним ниже, будут иметь оценки

0 ≤ γ(τ) ≤ cAexp(κτ), τ ≤ 0,

(117)

0 ≤ G(σ,ε) ≤ cAR_κ(σ,ε), σ ≤ 0,

(118)

0 ≤ H(σ,ε) ≤ cAR_κ(σ,ε), σ ≤ 0;

(119)

положительные числа c и κ не зависят от ε и, вообще говоря, различны в разных оценках.

В п. 3.4.5 мы покажем, как выбрать число A и функции γ, G, H, чтобы для всех доста-

точно малых ε две пары функций (115) и (116) были верхним и нижним решениями задачи

(10), (11). С этой целью в следующем пункте получим некоторые представления и оценки для

производных функций F и f.

3.4.4. Оценки производных функций F и f. Введём обозначения

^Ũ (x, ε) := u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) +

√ε(u(-)1(x) + Π(-)0u(ξ) + Q(-)2u(τ)),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

455

V (x, ε) := v(-)0(x) + Q(-)0v(τ) +

√ε(v(-)1(x) + Π(-)0v(ξ) + Q(-)2v(τ)),

∂F

Fu(x, ε) :=

(U(-)n(x, ε), V(-)n(x, ε), x, ε), n ≥ 1,

(120)

∂u

∂F

Fu(x, ε) :=

(^Ũ(x,ε)

V (x, ε), x, ε),

∂u

аналогичный смысл имеют обозначения F_v(x, ε), f_u(x, ε), f_v(x, ε),

Fv(x, ε).

При оценках производных нам понадобятся равенства

u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) = ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ),x) + O(√ε), 0 ≤ x ≤ x∗, τ ≤ 0,

(121)

^Ũ (x, ε) - ϕ₁

V (x, ε), x) =

√ε(a(x) - a(x_∗) + b(τ)) + O(ε),

(122)

где функции a(x) и b(τ) определены равенствами (34) и (68).

Так как a(x) > 0, b(τ) > 0 и b(τ) → a(x_∗) при τ → -∞ (см. (69)), то из (122) при

достаточно малых ε вытекает оценка

^Ũ (x, ε) - ϕ₁

V (x, ε), x) ≥ C

√ε > 0.

(123)

Приступим к представлениям и оценкам производных. Начнём с очевидных равенств при

x ∈ [0,x_∗]:

f_u(x,ε)

f_u(x,τ) + O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε),

(124)

f_v(x,ε)

f_v(x,τ) + O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε),

(125)

где

f_u(x,τ) и

f_v(x,τ) определены в (64), R_κ(σ,ε) - в (80).

Рассмотрим теперь производные функции F, используя равенство (122):

(-)

∂h

∂F₁

Fu(x, ε) = 2h(-)

V,x)

U -ϕ₁

V ,x)) +

(^Ũ

V,x)

U -ϕ₁

V ,x))² - ε

(^Ũ

V ,x,ε) =

∂u

= 2h(-)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) + O(√ε), v(-)0(x) + Q(-)0v(τ) + O(√ε),x) ×

√ε(a(x) - a(x_∗) + b(τ)) + O(ε) = 2ĥ(x, τ)√ε(a(x) - a(x_∗) + b(τ)) + O(ε).

Отсюда (в силу (123)) следует оценка

Fu(x, ε) ≥ c0

√ε > 0, x ∈ [0,x_∗].

(126)

Дл

Fv(x, ε) аналогичным способом получается представление

Fv(x, ε) = -ϕ1v(x,τ

Fu(x, ε) + O(ε),

(127)

откуда в силу (126) и неравенства

ϕ1v(x,τ) ≥ c > 0 (см. (109)) вытекает оценка

Fv(x, ε) ≤ -c1

√ε < 0, x ∈ [0,x_∗].

(128)

Чтобы получить представления для производных F_u(x, ε) и F_v(x, ε) (обозначения см. в

(120)), воспользуемся равенствами (при n ≥ 1,

0≤x≤x_∗)

U(-)n(x,ε) =^Ũ(x,ε) + R(-)0u(σ) + ε1/4O(R_κ(σ,ε)) + O(ε3/4),

V(-)n(x,ε)

V (x, ε) +

√εO(R_κ(σ, ε)) + O(ε3/4).

(129)

Используя их, получаем

U(-)n(x,ε) - ϕ₁(V(-)n(x,ε),x) =^Ũ(x,ε) - ϕ₁

V (x, ε), x) +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

456

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

+ R(-)0u(σ) + ε1/4O(R_κ(σ,ε)) + O(ε3/4), x ∈ [0,x_∗].

(130)

Отсюда с учётом (122) получается более грубая оценка для этой разности:

U(-)n(x,ε) - ϕ₁(V(-)n(x,ε),x) = O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε), x ∈ [0,x∗].

(131)

С помощью равенств (129)-(131) оценим разность F_u(x, ε)

Fu(x, ε):

,V(-)n,x)

U -ϕ₁

V ,x) + R(-)0u + ε1/4O(R_κ) + O(ε3/4)) +

Fu(x, ε)

Fu(x, ε) = 2h(-)(

(-)

∂h

(U(-)n, V(-)n, x)(O(R_κ) + O(√ε))2 - 2h(-)( Ũ,

V,x)(Ũ -ϕ₁

V ,x)) + O(ε) =

∂u

= 2[h(-)(U(-)n, V(-)n, x) - h(-)(^Ũ

V,x)]

U -ϕ₁

V ,x)) +

+ 2h(-)(U(-)n, V (-)n, x)R(-)0u + O(R2κ) + ε1/4O(R_κ) + O(ε3/4) =

= 2[O(R_κ) + O(ε3/4)]O(√ε) + 2[ĥ(x, τ) + O(Rκ) + O(√ε)]R(-)0u +

+ O(R2κ) + ε1/4O(R_κ) + O(ε3/4) = 2^ĥ(x,τ)R(-)0u + O(R2κ) + ε1/4O(R_κ) + O(ε3/4).

Отсюда следует, что

Fu(x, ε)

Fu(x, ε) + 2^ĥ(x, τ)R0-)u + O(R^κ) + ε1/4O(Rκ) + O(ε3/4).

(132)

Аналогично получается равенство

Fv(x, ε)

Fv(x, ε) - 2ϕ1v(x,τ)ĥ(x,τ)R(-)0u + O(R2κ) + ε1/4O(Rκ) + O(ε3/4).

(133)

Сравнивая равенства (132) и (133) и учитывая представление (127), приходим к равенству

Fv(x, ε) = -ϕ1v(x,τ)Fu(x,ε) + O(R2κ) + ε1/4O(Rκ) + O(ε3/4), x ∈ [0,x∗].

(134)

Запишем также более грубую оценку, которая следует из (132):

Fu(x, ε) = O(Rκ) + O(

√ε), x ∈ [0,x_∗].

(135)

Наряду с полученными представлениями и оценками, нам понадобится ещё одно представ-

ление для производной F_u(x, ε). Оно связано с функцией K(σ, ε) (см. (92)). Преобразуем

разность F_u(x, ε) - K(σ, ε) следующим образом:

Fu(x, ε) - K(σ, ε) =

∂F

(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) + R(-)0u(σ) + O(ε1/4), v(-)0(x) + Q(-)0v(τ) + O(√ε), x, ε) -

∂u

− 2h(-)(σ)(R(-)0u(σ) +

√εb(0)) - h(-)u(σ)(R(-)0u(σ) + 2√εb(0))R(-)0u(σ) =

= 2h(-)(M)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) + R(-)0u(σ) - ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x)) +

(-)

∂h

(M)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) + R(-)0u(σ) - ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x))² -

∂u

- 2h(-)(σ)R(-)0u(σ) - h(-)u(σ)(R(-)0u(σ))² + O(ε1/4),

где M := (u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) + R(-)0u(σ), v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

457

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями R(-)0u(σ):

[

]

[

(-)

∂h

Fu(x, ε) - K(σ, ε) =

(M) -h(-)u(σ) (R(-)0u(σ))² +

2h(-)(M) - 2h(-)(σ) +

∂u

]

(-)

∂h

(M)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) - ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x)) R(-)0u(σ) +

∂u

[

+ 2h(-)(M)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) - ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x)) +

]

(-)

∂h

(M)(u(-)0(x) + Q(-)0u(τ) - ϕ₁(v(-)0(x) + Q(-)0v(τ), x))2

+ O(ε1/4).

∂u

Тогда, используя равенство (121) и заменяя x на x_∗ + εσ и τ на

√εσ в координатах точки

M, получаем оценку

[

]

√

Fu(x, ε) - K(σ, ε) = O(

√εσ)(R(-)0u(σ))² + O(√εσ) + 2∂h(-)(M)O(

ε) R(-)0u(σ) +

∂u

[

]

+ 2h(-)(M)O(√ε) +∂h(-)(M)(O(√ε))2

+ O(ε1/4),

∂u

а поскольку O(√εσ)R(-)0u(σ) = O(ε1/4) при σ ≤ 0 (это следует из оценки (79)), то Fu(x, ε) -

− K(σ,ε) = O(ε1/4) и, значит,

Fu(x, ε) = K(σ, ε) + O(ε1/4), x ∈ [0, x∗].

(136)

3.4.5. Проверка выполнения условий 1^◦- 3^◦ определения. Пусть теперь в формулах

(115) и (116) n ≥ 2. Покажем, что число A и функции γ(τ), G(σ, ε), H(σ, ε), удовлетво-

ряющие неравенствам (117)-(119), можно выбрать так, что пары функций (U , V ) и (U, V ),

определённые формулами (115) и (116), будут удовлетворять для достаточно малых ε усло-

виям 1^◦- 3^◦ определения, т.е. будут верхним и нижним решениями задачи (10), (11).

Условие 1^◦ (т.е. условие упорядоченности) очевидно выполнено.

Перейдём к проверке условия 2^◦. Заметим, что функции f(u, v, x, ε) (в силу условия А11)

и F(u,v,x,ε) (в силу неравенства (128) и условия А11) удовлетворяют условию квазимоно-

тонности для достаточно малых ε в области G₀ (см. (102), где U, V и U, V определены

в (115) и (116)), поэтому для выполнения условия 2◦ достаточно, чтобы были выполнены

неравенства (103) и (104).

Проверим выполнение неравенства (103) для L_ε(U, V ). Используя формулы (115), по-

лучаем

d²U

d²

d²α

L_ε(U,V ) = ε²

- F(U,V ,x,ε) = ε²

+εn/2+2

dx²

d²G

d²

+εn/2+2

ϕ1v(x_∗,τ)γ(τ)) + εn/2+2

+εn/2+2

e^-ξ -

dx²

−F(U(-)n +εn/2(α+

ϕ1v(x_∗,τ)γ + G + e^-ξ),V(-)n + εn/2(β + γ -

√εH + e^-ξ), x, ε) =

d²G

= L_ε(U(-)n,V (-)n) + εn/2+2O(A/ε) + εn/2+1

ϕ1v(x_∗,τ)γ(τ)) + εn/2

+εn/2+1e^-ξ -

dτ²

dσ²

−[F (U(-)n+εn/2(α+ϕ1v(x∗,τ)γ+G+e-ξ),V(-)n+εn/2(β+γ-√εH+e-ξ), x, ε)-F (U(-)n, V(-)n, x, ε)]=

d²G

= O(ε(n+1)/2) + O(A)εn/2+1 + εn/2

- [. . .].

(137)

dσ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

458

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

При записи этих равенств были использованы равенства (98), (112) и априорное предположе-

ние о том, что функции |dγ/dτ| и |d²γ/dτ²| имеют такие же оценки, как и сама функция γ(τ)

(см. (117)). Отметим, что первое слагаемое O(ε(n+1)/2) в правой части последнего равенства

в (137) не зависит от A.

Преобразуем выражение в квадратных скобках, используя равенство (134), первое равен-

ство в (105) и учитывая, что функции α, β, γ, G и H являются величинами порядка O(A)

(см. (111) и (117)-(119)):

[. . .] = F_u(x, ε)(α + ϕ1v(x_∗, τ)γ + e^-ξ)εn/2 + F_v(x, ε)(β + γ + e^-ξ)εn/2 +

+ F_u(x,ε)Gεn/2 - F_v(x,ε)Hε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ =

=F_u(x,ε)(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ + e^-ξ)εn/2 -

ϕ1v(x,τ)F_u(x,ε)(β + γ + e^-ξ)εn/2 +

+ F_u(x,ε)Gεn/2 + O(AR2κ(σ,ε))εn/2 + O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4 +

+ O(A)εn/2+3/4 + O(A²)εⁿ = F_u(x,ε)Aεn/2 + F_u(x,ε)

ϕ1v(x_∗,τ) -

ϕ1v(x,τ))γεn/2 +

+ F_u(x,ε)(1 - ϕ1v(x,τ))e^-ξεn/2 + F_u(x,ε)Gεn/2 + O(AR2κ(σ,ε))εn/2 +

+ O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4 + O(A)εn/2+3/4 + O(A²)εⁿ.

Рассмотрим по отдельности первые четыре слагаемых в правой части последнего равен-

ства. В первом слагаемом используем формулу (132) для F_u(x, ε):

Fu(x, ε)Aεn/2 =

Fu(x, ε) + 2^ĥ(x, τ)R0-)u(σ) + O(R^κ(σ, ε)) + ε1/4O(Rκ(σ, ε)) + O(ε3/4))Aεn/2 =

=F˜_u(x,ε)Aεn/2+2^ĥ(x,τ)R(-)0u(σ)Aεn/2+O(AR2κ(σ,ε))εn/2+O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4+O(A)εn/2+3/4.

Во втором слагаемом используем формулу (135) и оценку (117):

Fu(x, ε)(ϕ1v(x∗,τ) -

ϕ1v(x,τ))γεn/2 = (O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε))O(√ετ)γεn/2 =

= O(AR_κ(σ,ε))ε(n+1)/2 + O(A)εn/2+1.

В третьем слагаемом снова воспользуемся формулой (135) и учтём, что R_κ(σ, ε)e^-ξ = o(ε^N )

для любого N > 0:

Fu(x, ε)(1 - ϕ1v(x, τ))e^-ξ εn/2 = (O(Rκ(σ, ε)) + O(

√ε))(1 -

ϕ1v(x,τ))e^-ξεn/2 = O(ε(n+1)/2).

В четвёртом слагаемом используем представление (136) для F_u(x, ε):

Fu(x, ε)Gεn/2 = K(σ, ε)Gεn/2 + O(εn/2+1/4)G.

Возвращаемся теперь к выражению для L_ε(U, V ) из (137), используя полученные равен-

ства, оценку (126) и неравенство |O(AR2κ(σ, ε))| ≤ c₃AR2κ(σ, ε):

L_ε(U,V ) = O(ε(n+1)/2)

Fu(x, ε)Aεn/2 - 2^ĥ(x, τ)R0-)u(σ)Aεn/2 +

)

⁽d²G

- K(σ,ε)G + O(AR2κ(σ,ε)) εn/2 + O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4 + O(A)εn/2+3/4 + O(A²)εⁿ ≤

dσ²

)

⁽d²G

≤ O(ε(n+1)/2) - c₀Aε(n+1)/2 - 2^ĥ(x,τ)R(-)0u(σ)Aεn/2 +

- K(σ,ε)G + c₃AR2κ(σ,ε) εn/2 +

dσ²

+ O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4 + O(A)εn/2+3/4 + O(A²)εⁿ.

(138)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

459

Определим функцию G(σ, ε) как решение краевой задачи

d²G

= K(σ,ε)G - c₃AR2κ(σ,ε), σ < 0; G(0,ε) = 0, G(-∞,ε) = 0.

dσ²

Тогда

∫σ

∫

G(σ, ε) = -c₃AΨ(σ) Ψ-2(s) Ψ(t)R2κ(t, ε) dt ds,

-∞

где Ψ(σ) := dR(-)0u(σ)/dσ. Отсюда следует оценка (118).

Из неравенства (138) следует, что

L_ε(U,V ) ≤ O(ε(n+1)/2) - c₀Aε(n+1)/2 - 2^ĥ(x,τ)R(-)0u(σ)Aεn/2 +

+ O(AR_κ(σ,ε))εn/2+1/4 + O(A)εn/2+3/4 + O(A²)εⁿ.

(139)

Первое слагаемое в правой части неравенства (139) не зависит от A, поэтому сумму первых

двух слагаемых можно сделать отрицательной за счёт выбора достаточно большого A. При

фиксированном A сумма третьего и четвёртого слагаемых также будет отрицательной при

достаточно малых ε в силу оценок (79). Так как n ≥ 2, то пятое и шестое слагаемые имеют

более высокий порядок малости по ε, чем первые четыре и, значит, при достаточно малых

ε не изменят знака всей суммы в правой части (139), т.е. будет выполнено неравенство для

L_ε(U,V ) из (103):

L_ε(U,V ) ≤ 0, x ∈ (0,x_∗).

Проверим выполнение неравенства (104) для M_ε(V , U):

d²V

d²

d²β

d²γ

M_ε(V ,U) = ε

- f(U,V ,x,ε) = ε

+εn/2+1

dx²

d²H

-ε(n+3)/2

+εn/2+1

e^-ξ - f(U(-)n + εn/2(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ + G + e^-ξ),

dx²

V (-)n + εn/2(β + γ -

√εH + e^-ξ), x, ε) = M_ε(V(-)n, U(-)n) + εn/2(Aq(τ) + O(A)√ε) +

d²γ

d²H

+εn/2

-ε(n-1)/2

+εn/2e^-ξ - [f(U(-)n + εn/2(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ + G + e^-ξ),

dτ²

dσ²

V (-)n + εn/2(β + γ -

√εH + e^-ξ), x, ε) - f(U(-)n, V(-)n, x, ε)] =

(

)

d²γ

d²H

= O(εn/2) + εn/2 Aq(τ) +

-ε(n-1)/2

+ O(A)ε(n+1)/2 - [...].

(140)

dτ²

dσ²

При записи этих равенств были использованы равенства (99) и (113). Отметим, что первое

слагаемое O(εn/2) в правой части последнего равенства в (140) не зависит от A.

Преобразуем выражение в квадратных скобках, используя полученную оценку

G = O(AR_κ(σ,ε))

и априорную оценку H = O(A), которая следует из (119). Имеем

[. . .] = f_u(x, ε)(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ + G + e^-ξ)εn/2 + f_v(x,ε)(β + γ + e^-ξ)εn/2 -

- f_v(x,ε)Hε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ =

=f_u(x,ε)(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ)εn/2 + f_v(x,ε)(β + γ)εn/2 +

+ O(εn/2) + O(AR_κ(σ,ε))εn/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

460

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Продолжим преобразование этого выражения, используя формулы (124) и (125):

[. . .] =

f_u(x,τ) + O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε))(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ)εn/2 +

f_v(x,τ) + O(R_κ(σ,ε)) + O(√ε))(β + γ)εn/2 +

+ O(εn/2) + O(AR_κ(σ,ε))εn/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ =

f_u(x,τ)(α +

ϕ1v(x_∗,τ)γ)εn/2

f_v(x,τ)(β + γ)εn/2 +

+ O(εn/2) + O(AR_κ(σ,ε))εn/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ =

= Aεn/2 +

f_u(x,τ

ϕ1v(x_∗,τ)

f_v(x,τ)}γεn/2 +

+ O(εn/2) + O(AR_κ(σ,ε))εn/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ.

Выражение в фигурных скобках преобразуем, используя формулы (106)-(108):

{. . .} =

f_u(x_∗,τ)

f_u(x)

f_u(x_∗) + O(√ε))

ϕ1v(x_∗,τ)

f_v(x_∗,τ)

f_v(x)

f_v(x_∗) +

+ O(√ε) =

f_u(x_∗,τ

ϕ1v(x_∗,τ)

f_v(x_∗,τ) +

f_u(x)

f_u(x_∗)

ϕ1v(x_∗,τ) +

+f¯_v(x)

f_v(x_∗) + O(√ε) = ĝ1v(x∗,τ) + O(√ετ) + O(√ε).

Воспользовавшись оценкой (117), заключаем, что

{ĝ1v(x_∗,τ) + O(√ετ) + O(√ε)}γεn/2 = ĝ1v(x∗, τ)γεn/2 + O(A)ε(n+1)/2.

Возвращаемся теперь к выражению (140) для M_ε(V , U), используя полученные равенства,

оценку |q(τ)| ≤ c₄ exp(κτ) (см. (114)) и неравенство |O(AR_κ(σ, ε))| ≤ c₅AR_κ(σ, ε):

(

)

d²γ

M_ε(V ,U) = O(εn/2) - Aεn/2 + Aq(τ) +

- ĝ1v(x_∗,τ)γ εn/2 +

dτ²

)

⁽√

d²H

+ εO(AR_κ(σ, ε)) -

ε(n-1)/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ ≤

dσ²

(

)

d²γ

≤ O(εn/2) - Aεn/2 + c₄Aexp(κτ) +

- ĝ1v(x_∗,τ)γ εn/2 +

dτ²

)

⁽√

d²H

+ εc₅AR_κ(σ, ε) -

ε(n-1)/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ.

(141)

dσ²

Определим функции γ(τ) и H(σ, ε) как решения задач

d²γ

= ĝ1v(x_∗,τ)γ - c₄Aexp(κτ), τ < 0; γ(0) = 0, γ(-∞) = 0

dτ²

d²H

√εc₅AR_κ(σ, ε), σ < 0; H(-∞, ε) = 0.

dσ²

Тогда

∫τ

∫

γ(τ) = -c₄AΦ(τ) Φ-2(s) Φ(t) exp(κt) dt ds,

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

461

где Φ(τ) := dQ(-)0v(τ)/dτ , и

∫

H(σ, ε) =

√εc₅A

R_κ(t,ε)dtds,

-∞ -∞

откуда следуют оценки (117) и (119).

В результате из неравенства (141) следует, что

M_ε(V ,U) ≤ O(εn/2) - Aεn/2 + O(A)ε(n+1)/2 + O(A²)εⁿ.

Очевидно, что при достаточно большом A и достаточно малых ε выполнено неравенство для

M_ε(V ,U) из (104):

M_ε(V ,U) ≤ 0, x ∈ (0,x_∗).

Таким же образом доказывается, что функции U, V , определённые в (116), при достаточ-

но большом A и достаточно малых ε удовлетворяют неравенствам для L_ε(U, V ) и M_ε(V , U )

из (103) и (104). Итак, функции U, V и U, V удовлетворяют условию 2^◦ из определения.

Несложно проверяется, что эти функции удовлетворяют также условию 3^◦ из определения,

и, значит, две пары функций (U(x, ε), V (x, ε)) и (U (x, ε), V (x, ε)), определённые формулами

(115) и (116), являются для достаточно большого A и достаточно малых ε упорядоченными

верхним и нижним решениями задачи (10), (11).

3.4.6. Завершение доказательства теоремы 2. Из существования верхнего и нижнего

решений задачи (10), (11) следует, что эта задача для достаточно малых ε имеет решение

(u(-)(x, ε), v(-)(x, ε)), удовлетворяющее неравенствам (101), а так как U, V и U, V от-

личаются от

n на величины порядка O(εn/2), то и решение (u(-)(x, ε), v(-)(x, ε))

отличается от (

) на величины того же порядка, т.е.

u(-)(x,ε) = U(-)n(x,ε) + O(εn/2), v(-)(x,ε) = V(-)n(x,ε) + O(εn/2), x ∈ [0,x_∗].

(142)

Эти оценки нетрудно улучшить, если записать равенства (142) для номера n+1 и восполь-

зоваться тем, что U(-)n+1(x, ε) =

n (x, ε) + O(ε(n+1)/2),

(x, ε) =

n (x, ε) + O(ε(n+1)/2),

n+1

x ∈ [0,x_∗]. Тогда для n ≥ 1 получим равенства

u(-)(x,ε) = U(-)n(x,ε) + O(ε(n+1)/2), v(-)(x,ε) = V(-)n(x,ε) + O(ε(n+1)/2), x ∈ [0,x_∗].

(143)

Таким же способом из равенств (143) получаются аналогичные равенства для m = 0, n - 1,

и, значит, для каждого m = 0, n справедливы равенства (100). Теорема 2 доказана.

Следствие 2.1. Предельным положением при ε → 0 кривой lε-) ={(u,v,x): u=u(-)(x,ε),

v = v(-)(x,ε),

0 ≤ x ≤ x_∗} (т.е. графика решения задачи (10), (11)) является кривая l∗-),

которая определяется так же, как кривая l(-) в условии А11, с заменой v0

на v_∗ и

x₀

на x_∗.

Стандартным способом получается

Следствие 2.2. Для производных решения задачи (10), (11) справедливы асимптотиче-

ские представления

du(-)

(x, ε) =

(x, ε) + O(ε(n-1)/2),

dv(-)

(x, ε) =

(x, ε) + O(εn/2), x ∈ [0, x_∗].

(144)

4. Основная теорема. Решения (u(-), v(-)) и (u⁽⁺⁾, v⁽⁺⁾) первой и второй вспомога-

тельных задач зависят от v_∗ и x_∗ как от параметров. Введём обозначения, отражающие эту

зависимость: u(-)(x, ε, v_∗, x_∗), v(-)(x, ε, v_∗, x_∗) и u⁽⁺⁾(x, ε, v_∗, x_∗), v⁽⁺⁾(x, ε, v_∗, x_∗).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

462

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

Для любых v_∗ и x_∗, достаточно близких к v₀ и x₀ соответственно, решения (u(-), v(-))

и (u⁽⁺⁾, v⁽⁺⁾) непрерывно сшиваются в точке x_∗, так как (см. (11) и (13))

u(-)(x_∗,ε,v_∗,x_∗) = u⁽⁺⁾(x_∗,ε,v_∗,x_∗) = ϕ₂(v_∗,x_∗),

v(-)(x_∗,ε,v_∗,x_∗) = v⁽⁺⁾(x_∗,ε,v_∗,x_∗) = v_∗.

Поэтому функции

{

u(-)(x,ε,v_∗,x_∗),

0≤x≤x_∗,

v(-)(x,ε,v_∗,x_∗),

0≤x≤x_∗,

u(x, ε) =

v(x, ε) =

u⁽⁺⁾(x,ε,v_∗,x_∗),

x_∗

≤ x ≤ 1;

v⁽⁺⁾(x,ε,v_∗,x_∗),

x_∗ ≤ x ≤ 1,

будут решением исходной задачи (1), (2) с внутренним переходным слоем в окрестности точки

x_∗, если в этой точке непрерывно сшиваются также и производные du(-)/dx и du⁽⁺⁾/dx,

dv(-)/dx и dv⁽⁺⁾/dx, т.е. если

du(-)

du⁽⁺⁾

dv(-)

dv⁽⁺⁾

(x_∗, ε, v_∗, x_∗)-

(x_∗, ε, v_∗, x_∗) = 0,

(x_∗, ε, v_∗, x_∗)-

(x_∗, ε, v_∗, x_∗) = 0. (145)

Докажем, что существует решение системы уравнений (145) относительно v_∗, x_∗, сколь

угодно близкое к v₀,

x₀ при достаточно малых ε. С этой целью построим сначала формаль-

ные асимптотические ряды для v_∗ и x_∗ следующим образом. Подставим в равенства (145)

вместо u(-) и v(-) ряды (26) и (27), а вместо u⁽⁺⁾ и v⁽⁺⁾ - ряды (14) и (15) с учётом того, что

производные Π(±)-функций и P(±)-функций равны нулю в точке x_∗ и, кроме того, R⁽⁺⁾⁰v =

= R⁽⁺⁾¹v = 0 (см. (18)). После умножения первого из полученных равенств на ε и второго на

√ε придём к равенствам

∑

du(-)i

dQ(-)u

dR(-)iu

εi/2

(x_∗) +

εi/4

(0, v_∗, x_∗) +

εi/4

(0, v_∗, x_∗) -

dτ

dσ

i=0

∑

du(+)i

dQ⁽⁺⁾u

dR(+)iu

-ε

εⁱ

(x_∗) -

εi/2

(0, v_∗, x_∗) -

εi/2

(0, v_∗, x_∗) = 0,

(146)

dτ

dσ

i=0

∑

dv(-)

dQ(-)v

dR(-)iv

εi/2

(x_∗) +

εi/4

(0, v_∗, x_∗) +

εi/4

(0, v_∗, x_∗) -

dτ

dσ

i=0

∑

dv⁽⁺⁾

dQ(+)iv

dR(+)i+2v

√ε

εⁱ

(x_∗) -

εi/2

(0, v_∗, x_∗) -

εi/2

(0, v_∗, x_∗) = 0,

(147)

dτ

dσ

i=0

в записи которых отражён тот факт, что внутрислойные Q(±)- и R(±)-функции зависят от v_∗

и x_∗ как от параметров.

Асимптотические ряды для v_∗ и x_∗ будем строить в виде

∑

v_∗ =

εi/4v_i, x_∗ =

εi/4x_i.

(148)

i=0

Подставим ряды (148) в равенства (146), (147) и разложим затем левые части этих равенств в

ряды по целым степеням

√ε, после чего будем приравнивать нулю коэффициенты разложе-

ний. Учитывая оценку (86), в нулевом порядке получим следующие уравнения относительно

v₀, x₀ :

dR(-)0u

dR⁽⁺⁾⁰u

dQ(-)0v

dQ⁽⁺⁾⁰v

(0, v₀, x₀) =

(0, v₀, x₀),

(0, v₀, x₀) =

(0, v₀, x₀).

dσ

dτ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

463

Подставляя в них выражения (19), (20), (56), (78) для производных, приходим к системе урав-

нений

∫

)1/2

∫

)1/2

I(v₀, x₀) :=

F (u, v₀, x₀, 0) du

- 2

F (u, v₀, x₀, 0) du

= 0,

ϕ₁(v₀,x₀)

ϕ₃(v₀,x₀)

( ∫v0

)1/2

( ∫v0

)1/2

J (v₀, x₀) :=

g₁(v,x₀)dv

- 2

g₃(v,x₀)dv

= 0.

(149)

v₁(x₀)

v₃(x₀)

Эта система эквивалентна системе (5), (6), которая в силу условия А4 имеет решение v₀ =

= v₀, x₀ = x₀. В следующих порядках при i ≥ 1 будут получаться СЛАУ вида

(v₀, x₀)v_i +

(v₀, x₀)x_i = a_i,

(v₀, x₀)v_i +

(v₀, x₀)x_i = b_i,

(150)

∂v₀

∂x₀

∂v₀

∂x₀

где числа a_i и b_i рекуррентно выражаются через v_j и x_j с номерами j < i, которые на i-м



шаге уже известны. Определителем этой системы является якобиан

равный

D(v₀, x₀)

v0=v₀ ,



x₀=x₀

D(I, J)



произведению положительного множителя на якобиан

который отличен от

D(v₀, x₀)

v0=v₀ ,

x₀=x₀

нуля (см. (8)). Поэтому для каждого i ≥ 1 СЛАУ (150) имеет единственное решение v_i =

= v_i, x_i = x_i. Таким образом, построены ряды (148), в которых v_i = v_i, x_i = x_i, и эти ряды

удовлетворяют формально уравнениям (146), (147).

Положим теперь

∑

v_∗ = Y_m(δ) :=

εi/4v_i + εm+3/4δ, x_∗ = X_m(ρ) :=

εi/4x_i + εm+3/4ρ,

(151)

i=0

где δ и ρ - произвольные числа, которые могут зависеть от ε, но остаются ограниченны-

ми при ε → 0, и рассмотрим решения (u(-)(x, ε, Y_m(δ), X_m(ρ)), v(-)(x, ε, Y_m(δ), X_m(ρ))) и

(u⁽⁺⁾(x, ε, Y_m(δ), X_m(ρ)), v⁽⁺⁾(x, ε, Y_m(δ), X_m(ρ))) первой и второй вспомогательных задач. Для

их производных по x справедливы представления (25) и (144). Возьмём представление (25)

при n = m, представление (144) при n = 2m + 1, положим x = X_m(ρ) и, учитывая, что в

точке x = X_m(ρ) производные всех Π(±)-функций и P(±)-функций равны нулю, подставим

полученные выражения для производных в уравнения (145) и разложим затем левые части

этих уравнений по целым степеням

√ε. Так как (v0, x0) и (vi, xi) удовлетворяют уравнениям

(149) и (150), то левые части уравнений (145) примут вид

)

(-)

⁽ du

du⁽⁺⁾

(X_m(ρ), ε, Y_m(δ), X_m(ρ)) -

(X_m(ρ), ε, Y_m(δ), X_m(ρ))

)

∑

⁽

I(v₀, x₀) +

εi/4

(v₀, x₀)v_i +

(v₀, x₀)x_i - a_i

∂v₀

∂x₀

i=1

)

⁽

∂I

+εm+3/4

(v₀, x₀)δ +

(v₀, x₀)ρ

+ O(εm+1) =

∂v₀

∂x₀

)

⁽

∂I

=εm+3/4

(v₀, x₀)δ +

(v₀, x₀)ρ + O(ε1/4) ,

(152)

∂v₀

∂x₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

464

БУТУЗОВ, СИМАКОВ

)

⁽ dv(-)

dv⁽⁺⁾

√ε

(X_m(ρ), ε, Y_m(δ), X_m(ρ)) -

(X_m(ρ), ε, Y_m(δ), X_m(ρ))

)

∑

⁽

J(v₀, x₀) +

εi/4

(v₀, x₀)v_i +

(v₀, x₀)x_i - b_i

∂v₀

∂x₀

i=1

)

⁽

∂J

+εm+3/4

(v₀, x₀)δ +

(v₀, x₀)ρ

+ O(εm+1) =

∂v₀

∂x₀

)

⁽

∂J

=εm+3/4

(v₀, x₀)δ +

(v₀, x₀)ρ + O(ε1/4)

(153)

∂v₀

∂x₀

Слагаемые O(ε1/4) в правых частях равенств (152) и (153) зависят от δ и ρ, но являются

величинами указанного порядка малости при ε → 0 равномерно относительно δ и ρ из



фиксированной окрестности точки (δ = 0, ρ = 0), а так как

0, то при всех

D(v₀, x₀)

v0=v₀ =

x₀=x₀

достаточно малых ε существуют такие δ =^δ = O(ε1/4) и ρ = ρ = O(ε1/4), для которых

правые части в (152) и (153) равны нулю. Следовательно, v_∗ = Y_m(^δ) и x_∗ = X_m(ρ) являются

решением системы уравнений (145), а пара функций

{

u(-)(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)),

0 ≤ x ≤ X_m(ρ),

u(x, ε) =

u⁽⁺⁾(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)), X_m(ρ) ≤ x ≤ 1;

{

v(-)(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)),

0 ≤ x ≤ X_m(ρ),

v(x, ε) =

v⁽⁺⁾(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)), X_m(ρ) ≤ x ≤ 1,

- решением задачи (1), (2) с внутренним переходным слоем в окрестности точки X_m(ρ). За-

метим, что Y_m(^δ) и X_m(ρ) сколь угодно близки к v₀ и x₀ для достаточно малых ε, что и

требовалось при разбиении исходной задачи на две вспомогательные.

Обозначим через

n (x, ε, V, X) и

n (x, ε, V, X) функции, определённые формулами

(22), (23) и (96), (97) при v_∗ = V, x_∗ = X. Тогда для компонент решения (u(x, ε), v(x, ε))

исходной задачи (1), (2) в силу представлений (24) и (100) при m ≥ 1 справедливы асимпто-

тические равенства

{

(-)

U₂

(x, ε, Y_m(^δ), X_m(ρ)) + O(ε^m),

0 ≤ x ≤ X_m(ρ),

m-1

u(x, ε) =

U(+)m-1(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)) + O(ε^m),

X_m(ρ) ≤ x ≤ 1;

{

(-)

V₂

(x, ε, Y_m(^δ), X_m(ρ)) + O(ε^m),

0 ≤ x ≤ X_m(ρ),

m-1

v(x, ε) =

(154)

V (+)m-1(x,ε,Y_m(^δ),X_m(ρ)) + O(ε^m),

X_m(ρ) ≤ x ≤ 1.

Формулы (154) имеют тот недостаток, что величины^δ и

ρ, от которых зависят U(-)2m-1,

V(-)2m-1

и U(+)m-1, V(+)m-1, точно не известны, известен только их порядок

(^δ = O(ε1/4),

ρ =

= O(ε1/4)), и, следовательно, Y_m(^δ), X_m(ρ), τ = (x-X_m(ρ))/√ε и σ = (x-X_m(ρ))/ε также

не определены точно. Заменим в формулах (154) Y_m(^δ) на Y_m(0) и X_m(ρ) на X_m(0), т.е. в

выражениях (151) для Y_m(^δ) и X_m(ρ) отбросим последние слагаемые εm+3/4 δ = O(εm+1) и

εm+3/4 ρ = O(εm+1). Тогда аргумент τ изменится на величину порядка O(εm+1/2), а аргумент

σ - на величину порядка O(ε^m), и, значит, Q(±)-функции изменятся на величины порядка

O(εm+1/2), а R(±)-функции - на величины порядка O(ε^m). Поэтому при замене Y_m(^δ) на

Y_m(0) и X_m(ρ) на X_m(0) формулы (154) не изменятся.

Заменив в этих формулах m на n + 1, сформулируем полученный основной результат.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

465

Теорема 3. Пусть выполнены условия А1-А11. Тогда для любого целого n ≥ 0 при всех

достаточно малых ε существует решение (u(x,ε),v(x,ε)) задачи (1), (2), для которого

справедливы асимптотические равенства

u(x, ε) = U_n(x, ε) + O(εn+1), v(x, ε) = V_n(x, ε) + O(εn+1), x ∈ [0, 1],

(155)

где

{

(-)

U₂

(x, ε, Yn+1(0), Xn+1(0)),

0 ≤ x ≤ Xn+1(0),

n+1

U_n(x,ε) =

n (x, ε, Yn+1(0), Xn+1(0)), Xn+1(0) ≤ x ≤ 1;

{

(-)

V₂

(x, ε, Yn+1(0), Xn+1(0)),

0 ≤ x ≤ Xn+1(0),

n+1

V_n(x,ε) =

n (x, ε, Yn+1(0), Xn+1(0)), Xn+1(0) ≤ x ≤ 1;

∑4n+7

Yn+1(0) =

εi/4v_i, Xn+1(0) =

εi/4x_i, а функции U(-)2n+1, V(-)2n+1 и

i=0

определены формулами (96), (97) и (22), (23), в которых x_∗ = Xn+1(0).

Из представлений (155) вытекают утверждения.

Следствие 3.1. Имеют место предельные равенства (9).

Следствие 3.2. Предельным положением при ε → 0 кривой l_ε = {(u,v,x): u = u(x,ε),

v = v(x,ε),

0 ≤ x ≤ 1} является кривая l = l(-)

^⋃l⁽⁺⁾, где кривые l⁽⁺⁾ и l(-) определены в

условиях А6 и А11.

Следствие 3.3. При каждом m = 0,n - 1 для решения (u(x,ε),v(x,ε)) справедливы

равенства вида (155), в которых n заменено на m.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 18-11-

00042).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в син-

гулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2012. Т. 52. № 11. С. 1983-2003.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.,

1990.

3. Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенная краевая задача с многозонным внутренним переходным

слоем // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22. № 1. С. 5-22.

4. Бутузов В.Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным

корнем вырожденного уравнения // Мат. заметки. 2013. Т. 94. № 1. С. 68-80.

5. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения стационарного решения сингулярно возму-

щенной параболической задачи с кратным корнем вырожденного уравнения // Дифференц. урав-

нения. 2015. Т. 51. № 12. С. 1593-1605.

6. Бутузов В.Ф. О сингулярно возмущенных системах ОДУ с кратным корнем вырожденного урав-

нения // Изв. РАН. Сер. математическая. 2020. Т. 84. № 2. С. 60-89.

7. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингу-

лярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7.

С. 1132-1139.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 05.11.2020 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 05.11.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021