ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.466-472
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.52+517.977
УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ
ЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ДИАГОНАЛЬНЫМ УСРЕДНЕНИЕМ
МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ
© 2021 г. А. К. Деменчук
Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффи-
циентов, имеющей диагональное усреднение, и управлением в виде обратной связи, ли-
нейной по фазовым переменным. Матрица при управлении постоянная квадратная, имеет
нулевые строки, а её ненулевые строки линейно независимы. Коэффициент обратной свя-
зи предполагается почти периодическим и таким, что его частотный модуль содержится в
частотном модуле матрицы коэффициентов. Получены необходимые и достаточные усло-
вия, при выполнении которых разрешима задача управления асинхронным спектром этой
системы, состоящая в нахождении такого управления из допустимого множества, чтобы у
замкнутой этим управлением системы появились почти периодические решения с наперёд
заданными частотами, причём пересечение модулей частот решения и матрицы коэффи-
циентов тривиально.
DOI: 10.31857/S0374064121040026
Введение. Изучению различных вопросов теории управления для обыкновенных диф-
ференциальных периодических систем посвящено достаточно большое число работ (см., на-
пример, [1-3] и др.). Для почти периодических систем управления подобные исследования
существенно усложняются. В этом направлении можно отметить работы [4-8], характерной
особенностью которых является рассмотрение так называемого регулярного случая, т.е. когда
априори предполагается, что множество частот любого почти периодического решения систе-
мы является подмножеством множества частот её правой части.
Вместе с тем, как показали в 1955 г. Я. Курцвейль и О. Вейвода [9], нормальная система
первого порядка обыкновенных дифференциальных почти периодических уравнений может
допускать такие решения, для которых пересечение их частотных модулей и частотных моду-
лей правой части системы является тривиальным. Впоследствии такого рода решения были
названы сильно нерегулярными, их частотный спектр - асинхронным, а описываемые ими
колебания - асинхронными. В случае периодической системы нерегулярность означает несо-
измеримость частот системы и её решения.
Отметим, что ещё в середине 30-х годов прошлого века в исследованиях параметрического
воздействия на двухконтурные системы, проводившихся под общим руководством Л.И. Ман-
дельштама и Н.Д. Папалекси, в отличие от обычного параметрического возбуждения, которое
имело место только при целочисленном отношении частот, была продемонстрирована возмож-
ность возбуждения колебаний на частотах, находящихся практически в любом отношении с
частотой изменения параметров [10]. Асинхронные колебания, начиная с 70-х годов прошлого
века, реализовывались в ряде технических устройств. В частности, пример устойчивой колеба-
тельной системы, в которой действующая на пролетающий в конденсаторном поле заряд гар-
моническая сила имеет в общем случае частоту, несоизмеримую с частотой колебаний самого
заряда, приведён в работе [11]. В обзоре [12] показано, что некоторые неавтономные системы,
а именно, системы с высокочастотным источником энергии, могут вести себя как автоколеба-
тельные, важным свойством которых является независимость частотного спектра колебаний
от спектра источника. Осуществимость асинхронных колебаний при переходе к макроскопи-
ческим массам установлена в работе [13] на примере электромеханической системы.
Задача синтеза обыкновенных дифференциальных периодических систем, обладающих
сильно нерегулярными решениями, поставлена в работе [14] в виде задачи управления асин-
хронным спектром. Серия условий её разрешимости приведена в монографии [15, гл. III].
466
УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ
467
Задача управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем сформули-
рована в работе [16], в которой дан критерий её разрешимости в случае, когда среднее значение
матрицы коэффициентов нулевое.
В настоящей статье исследуются вопросы разрешимости задачи управления асинхронным
спектром линейных почти периодических систем, у которых усреднение матрицы коэффици-
ентов является диагональным, а матрица при управлении имеет нулевые строки.
1. Предварительные сведения и обозначения. Пусть P = (pij), i = 1,n, j = 1,m, -
некоторая матрица и 1 ≤ k1 < . . . < ks ≤ n,
1 ≤ l1 < ... < lq ≤ m - две упорядоченные
последовательности натуральных чисел. Подматрицу матрицы P, стоящую на пересечении
строк с номерами k1, . . . , ks и столбцов с номерами l1, . . . , lq, обозначим через Pl1...lq , т.е. этаk
1...ks
s × q-матрица имеет вид
⎛
⎞
pk1l1
... pk1lq
Pl1...lq
=⎝
⎠.
k1...ks
pksl1
... pkslq
Приведём необходимые для дальнейшего изложения понятия и факты из теории почти
периодических (по Бору) функций [17, гл. 1, 2]. Пусть F (t) - непрерывная на всей числовой
оси почти периодическая вещественнозначная матрица (вектор). Через
F будем обозначать
её среднее значение
T
∫
1
F = lim
F (t) dt,
T→∞ T
0
а через
F - осциллирующую часть:
F (t) = F (t)
F. Вещественное число λ называется
показателем Фурье (частотой) матрицы F(t), если хотя бы один из пределов
∫
T
∫
T
1
1
lim
F (t) cos(λt) dt,
lim
F (t) sin(λt) dt
T→∞ T
T→∞ T
0
0
отличен от нуля. Как известно, множество таких чисел λ не более чем счётно. Через Mod (F )
обозначим модуль частот (частотный модуль) матрицы F (t), т.е. наименьшую аддитивную
группу вещественных чисел, содержащую все показатели Фурье этой матрицы.
Под частотным модулем нормальной системы первого порядка будем понимать частот-
ный модуль её правой части. Из результатов работы [9] следует, что линейная дифференциаль-
ная система Ż = F (t)z может иметь почти периодическое решение z(t) такое, что пересечение
частотных модулей решения Mod (z) и системы Mod (F ) тривиально:
Mod (z)
⋂ Mod (F ) = {0}.
Такого рода решения называются сильно нерегулярными [18]. Из результатов работы [18] сле-
дует, что вектор-функция z(t) является также решением линейной функциональной системы.
Столбцовым рангом матрицы F(t) называется наибольшее число её линейно независи-
мых столбцов, т.е. наибольшее число её столбцов таких, что никакая нетривиальная линейная
их комбинация, коэффициенты которой - вещественные числа, не равна тождественно нулю.
Столбцовый ранг матрицы F (t) обозначим rankcolF. Аналогично - с заменой столбцов стро-
ками - определяется строчный ранг матрицы F (t), который обозначим rankrowF. Очевидно,
что в общем случае строчный и столбцовый ранги матрицы F (t) не обязаны совпадать между
собой∗). Будем говорить, что F (t) - матрица неполного столбцового ранга, если её столбцовый
ранг меньше числа столбцов.
Справедлива вытекающая из [18]
(
)
sin t sin t
∗) Простейший пример доставляет матрица F (t) =
; для неё rankcolF = 1, а rankrowF = 2.
cos t cos t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
3∗
468
ДЕМЕНЧУК
Лемма. Линейная функциональная система
F (t)z = 0
имеет нетривиальное сильно нерегулярное почти периодическое решение z(t) в том и толь-
ко в том случае, когда
F (t) - матрица неполного столбцового ранга.
2. Постановка задачи. Рассмотрим линейную систему управления
x = A(t)x + Bu, t ∈ R, x ∈ Rn, n ≥ 2,
(1)
где x = x(t) ∈ Rn - фазовый вектор, u = u(t) ∈ Rn - вход, A(t) - непрерывная почти пери-
одическая n × n-матрица коэффициентов, матрица B при управлении является постоянной
квадратной и имеет порядок n. Будем считать, что управление задаётся в виде линейной по
фазовым переменным обратной связи
u = U(t)x
(2)
с непрерывной почти периодической n × n-матрицей U(t) (коэффициентом обратной связи),
модуль частот которой содержится в модуле частот матрицы коэффициентов, т.е. Mod (U) ⊂
⊂ Mod (A).
Задачу выбора такого коэффициента обратной связи U(t), чтобы замкнутая система
x = (A(t) + BU(t))x
(3)
имела сильно нерегулярное периодическое решение с заданным спектром частот L, будем на-
зывать задачей управления асинхронным спектром с целевым множеством L. Для системы
(1) исследуем вопросы разрешимости поставленной задачи.
Заметим, что если матрица при управлении невырожденная, то решение такой задачи не
вызывает затруднений. Поэтому далее считаем, что матрица B вырожденная, её строки с
номерами k1, . . . , kd,
1 ≤ k1 < ... < kd ≤ n, нулевые, а ненулевые её строки линейно незави-
симы, т.е.
rank B = r < n, B1...n
k1...kd
=0
(d = n - r).
(4)
Будем также предполагать, что среднее значение матрицы коэффициентов является диа-
гональным
A = diag[a11,...,ann].
(5)
3. Основной результат. Пусть kd+1,... ,kn, 1 ≤ kd+1 < ... < kn ≤ n, - номера ненулевых
строк матрицы B при управлении. С учётом нумерации нулевых и ненулевых строк этой
матрицы примем следующие обозначения:
(t), A22(t) = Akd+1...kn (t),k
...kd
...kn
d+1...kn
(t), x′ = col (xk1 , . . . , xk
),
x′′ = col (xk
,...,xkn).
...n
...n
d
d+1
Если у некоторой матрицы M произвольным образом поменять местами её строки (столб-
цы), то через ordcol M (через ordrow M) обозначим результат обратной перестановки строк
(столбцов) в порядке возрастания их номеров. Тогда, в частности, будем иметь
ordrow (col (x′, x′′)) = x, ordcol (U11(t) U12(t)) = U(t).
Пусть L = {λ1, λ2, . . .}, λj = 0, j = 1, 2, . . . , - множество действительных чисел таких,
что пересечение образованного ими модуля и частотного модуля матрицы коэффициентов A(t)
тривиально. Справедлива
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ
469
Теорема. Для системы (1), (4), (5) задача управления асинхронным спектром с целевым
множеством L разрешима в том и только в том случае, когда матрица A12(t) имеет
неполный столбцовый ранг
rankcolA12 = r1 < r
(6)
и мощность |L| целевого множества удовлетворяет оценке∗)
|L| ≤ [(r - r1)/2].
(7)
Доказательство. Необходимость. Пусть поставленная задача разрешима. Это означает,
что существует коэффициент обратной связи U(t), Mod (U) ⊂ Mod (A), такой, что замкнутая
управлением (2) система (3) имеет сильно нерегулярное почти периодическое решение x(t) с
множеством частот L.
Из компонент вектора x(t) образуем векторы x′(t) и x′′(t). Из [19] следует, что вектор
x′(t) будет решением линейной однородной системы с постоянной матрицей коэффициентов,
которая в силу условий (4), (5) является диагональной. Поэтому этот вектор не может иметь
нетривиальных частот. Следовательно, множество L определяется только частотами вектор-
функции x′′(t), а значит, она должна быть нетривиальной.
Согласно [19] вектор x′′(t) удовлетворяет, с одной стороны, линейной стационарной диф-
ференциальной системе, а с другой, с учётом условия (4), - линейной функциональной системе
A12(t)x′′ = 0.
(8)
Так как вектор-функция x(t) - сильно нерегулярное решение системы (3), то выполняется
условие Mod (x)
⋂ Mod (A) = {0}. Отсюда, поскольку имеют место включения Mod (x′′) ⊂
⊂ Mod (x) и Mod (A12) ⊂ Mod (A), вытекает равенство Mod (x′′)
⋂ Mod (A12) = {0}, которое
означает, что вектор-функция x′′(t) является сильно нерегулярным решением функциональ-
ной системы (8). Тогда из леммы следует, что матрица коэффициентов этой системы имеет
неполный столбцовый ранг, т.е. справедливо неравенство (6).
В силу того, что столбцовый ранг матрицы A12(t) равен r1, между компонентами реше-
ния x′′(t) системы (8) имеется следующая зависимость: некоторые его r1 компонент линейно
выражаются через остальные r - r1 компонент (назовём их базисными). Поэтому частоты
вектор-функции x′′(t) определяются только частотами её базисных компонент. Как отмечено
выше, вектор-функция x′′(t), а значит, и r - r1 её базисных компонент являются решением
линейной стационарной системы. Следовательно, число частот базисных компонент не пре-
восходит величины [(r - r1)/2]. Поскольку других частот у решения x(t) системы (3) нет, то
справедлива оценка (7).
Достаточность. Пусть выполнены условия теоремы. Требуемый для решения поставлен-
ной задачи матричный коэффициент обратной связи будем искать в так называемом канони-
ческом виде U(t)
U
U (t). Предварительно рассмотрим систему
x=
A+
U )x,
A(t) +
U (t))x = 0.
(9)
Применительно к матрице B при управлении для краткости положим
B11 = B1...nk
,
B21 = B1...nk
1...kd
d+1...kn
Из условия (4) вытекает, что d × n-матрица B11 является нулевой, а r × n-матрица B21,
составленная из ненулевых строк матрицы B с номерами 1 ≤ kd+1 < . . . < kn ≤ n, имеет
полный строчный ранг
rank B21 = r.
(10)
Поскольку, согласно предположению (5), среднее значение матрицы A(t) является диагональ-
ным, то матрицы
A11 и
A22 также диагональные, а матрицы
A12 и
A21 нулевые, при этом
A12(t) = A12(t),
A21 = A21(t).
∗) Здесь и далее [·] - целая часть числа.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
470
ДЕМЕНЧУК
Значит, с учётом условий (4), (5) и принятых обозначений систему (9) можно записать
в виде
x′
=
A11x′,
x′′
=
A21 + B21
U11)x′ +
A22 + B21
U12)x′,
A11(t)x′ + A12(t)x′′ = 0, (A21(t) + B21
U11(t))x′ +
A22(t) + B21
U12(t))x′′ = 0.
(11)
Так как матриц
A11 диагональная, то первое уравнение системы (11) не имеет почти периоди-
ческих решений x′(t) с ненулевыми частотами, отличных от тривиального. Поэтому x′(t) ≡ 0
и система (11) примет вид
A12(t)x′′ = 0,
x′′
=
A22 + B21
U12)x′′,
A22(t) + B21
U12(t))x′′ = 0, x′(t) ≡ 0.
(12)
Как видим, блоки
U11
и
U11(t) могут быть произвольными. Поскольку столбцовый ранг
матрицы A12(t) равен r1 < r, то найдётся постоянная неособенная r × r-матрица Q такая,
что у матрицы A12(t)Q первые d1 = r - r1 столбцов нулевые, а остальные r1 столбцов
линейно независимые между собой (один из алгоритмов построения матрицы Q приведён в
монографии [15, с. 43]). Тогда замена переменных
x′′ = Qy
(13)
приводит систему (12) к системе
A12(t)Qy = 0,
y=Q-1
A22 + B21
U12)Qy,
A22(t) + B21
U12(t))Qy = 0, x′(t) ≡ 0.
(14)
Ввиду того, что последние r1 столбцов матрицы A12(t)Q линейно независимы, из леммы сле-
дует, что соответствующие компоненты искомого сильно нерегулярного почти периодического
решения y(t) первого уравнения системы (14) тривиальны, т.е. y(t) = col (y′(t), y′′(t)), y′(t) =
= col (y1(t), . . . , yd1 (t)), y′′(t) ≡ col (0, . . . , 0). Поэтому система (14) примет следующий вид:
(
)
(
)
(
)
y′
y′
y′
=Q-1
A22 + B21
U12)Q
,
A22(t) + B21
U12(t))Q
= 0,
0
0
0
y′′(t) ≡ 0, x′(t) ≡ 0.
(15)
Принимая во внимание условие (7), возьмём постоянную блочно-треугольную r × r-матрицу
(
)
H11
H12
H =
,
0
H22
у которой d1 × d1- блок H11 имеет чисто мнимые собственные числа
±iλ1, . . . , ±iλs, λj ∈ L, j = 1, s, s ≤ [d1/2],
а остальные блоки H12 и H22 произвольные.
Пусть Er,r - квадратная единичная матрица порядка r. Так как ранг r × n-матрицы B21
равен r и r < n, то ранг расширенной r × (n + r)-матрицы, составленной из матриц B21 и
Er,r, также равен r. Следовательно, алгебраическая неоднородная система
B21V = Er,r
(16)
с неизвестной r × r-матрицей V имеет решение V = V0. Положим
U12 = V0(QHQ-1
A22).
(17)
Подставляя определённое равенством (17) значение
U12
в первое уравнение системы (15),
получаем
(
)
(
)
(
)
y′
y′
y′
=Q-1
A22 + B21(W0(QHQ-1
A22)))Q
=H
,
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ
471
откуда с учётом строения матрицы H находим, что
y′ =H11y′.
Полученная система имеет 2s-параметрическое семейство почти периодических решений
∑
y′(t) =
(Aj cos(λj t) + Bj sin(λj t)),
(18)
j=1
где постоянные векторы Aj , Bj, j = 1, s, зависят от 2s произвольных вещественных посто-
янных. Итак, при выполнении условий (16), (17) первое уравнение системы (15) имеет решение
(18).
Далее возьмём почти периодическую блочную матрицу G(t) =
(G11(t) G12(t)) такую, что
её r × d1-блок G11 нулевой, а r × r1-блок G12 - произвольная почти периодическая матрица с
нулевым средним значением и Mod (G12) ⊂ Mod (A). В силу условия (4) матричное уравнение
B21W = G(t)Q-1
A22(t)
относительно неизвестной r × r-матрицы W имеет решение
W (t) = V0(G(t)Q-1
A22(t)), Mod (W) ⊂ Mod (G) ⊂ Mod (A).
Положим
U12(t) = W(t) = V0(G(t)Q-1
A22(t)).
(19)
Тогда выполняется тождество
(
)
(
)
y′(t)
y′(t)
A22(t) + B21
U12(t))Q
=
A22(t) + B21V0(G(t)Q-1
A22(t)))Q
≡ 0.
0
0
Значит, при выполнении условия (16), (19) вектор y′(t) будет удовлетворять и второму урав-
нению системы (15). В результате получаем, что система (15) имеет решение
y′(t), y′′(t) ≡ 0, x′(t) ≡ 0.
Возвращаясь к исходным переменным с учётом преобразования (13), находим решение
системы (11):
x′(t) ≡ 0, x′′(t) = Qcol (y′(t),y′′(t)) = Qcol (y′(t),0).
(20)
Тогда вектор-функция
x(t) = ordrow(col (x′(t), x′′(t))),
(21)
компоненты которой определяются равенствами (18), (20), удовлетворяет системе (9), при этом
в силу свойства чисел λj, j = 1, s, из множества L выполняется условие
Mod (x)
⋂ Mod (A) = {0}.
Следовательно, согласно [19], вектор-функция x(t) является сильно нерегулярным почти пе-
риодическим решением с множеством частот L системы (3).
Таким образом, при выполнении условий теоремы для системы (1) разрешима задача
управления асинхронным спектром с целевым множеством L. Требуемый для этого коэф-
фициент обратной связи управления (2) имеет вид
U (t) = ordcol(U11(t) U12(t)),
где блок U11(t) - произвольная почти периодическая d1 × r-матрица, модуль частот которой
содержится в модуле частот матрицы коэффициентов, а стационарная и осциллирующая части
блока U12(t) задаются равенствами (17) и (19) соответственно. Сильно нерегулярное почти
периодическое решение x(t) замкнутой управлением (2) системы (3) определяется равенством
(21). Достаточность, а вместе с ней и теорема доказаны.
Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фун-
даментальных исследований (проект Ф20Р-005).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
472
ДЕМЕНЧУК
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1968.
2. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.
3. Тонков Е.Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями // Диффе-
ренц. уравнения. 1976. Т. 12. № 6. С. 1007-1011.
4. Иванов А.Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями // Прикл. математика
и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 837-846.
5. Гайшун И.В. Введение в теорию нестационарных линейных систем. Минск, 1999.
6. Иванов А.Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I
// Изв. Ин-та математики и информатики. 2002. Вып. 1. С. 3-100.
7. Попова С.Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэф-
фициентами // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2008. Вып. 2. С. 117-118.
8. Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линей-
ных систем. Минск, 2012.
9. Курцвейль Я., Вейвода О. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных
дифференциальных уравнений // Чехосл. мат. журн. 1955. Т. 5. № 3. С. 362-370.
10. Папалекси Н.Д. Об одном случае параметрически связанных систем // Изв. АН СССР. Сер. физ.
1939. Т. 1. С. 373-379.
11. Пеннер Д.И., Дубошинский Я.Б., Дубошинский Д.Б., Козаков М.И. Колебания с саморегулирую-
щимся временем взаимодействия // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. № 5. С. 1065-1066.
12. Ланда П.С., Дубошинский Я.Б. Автоколебательные системы с высокочастотными источниками
энергии // Успехи физ. наук. 1989. Т. 158. Вып. 4. С. 729-742.
13. Пеннер Д.И., Дубошинский Д.Б., Козаков М.И., Вермель А.С., Галкин Ю.В. Асинхронное возбуж-
дение незатухающих колебаний // Успехи физ. наук. 1973. Т. 109. Вып. 1. С. 402-406.
14. Деменчук А.К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний
// Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53. № 4. С. 37-42.
15. Деменчук А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и
управление. Saarbrücken, 2012.
16. Деменчук А.К. Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром ли-
нейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов // Весцi НАН
Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2019. Т. 55. № 2. C. 176-181.
17. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М., 1953.
18. Demenchuk А.К. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems // Math.
Bohemica. 2001. V. 126. № 1. P. 221-228.
19. Деменчук А.К. О почти периодических решениях обыкновенных дифференциальных систем // Вес-
цi АН БССР. Cер. фiз.-мат. навук. 1987. № 4. С. 16-22.
Институт математики НАН Беларуси,
Поступила в редакцию 12.09.2020 г.
г. Минск,
После доработки 12.09.2020 г.
Белорусский государственный университет,
Принята к публикации 02.03.2021 г.
г. Минск
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
