ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.473-487

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

С ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРОМ

Рассматривается класс линейных параметрических дифференциальных систем x = μA(t)x,

заданных на полуоси t ≥ 0, где μ ∈ R - параметр, x ∈ Rⁿ, а матрица A(·): [0, +∞) →

→ R^n×n кусочно-непрерывна и ограничена. Доказано, что при каждом n ≥ 2 некоторое

множество тогда и только тогда представляет собой множество неправильности одной из

таких систем (т.е. множество тех μ, при которых эта система неправильна по Ляпунову),

когда оно является G_δσ -множеством вещественной прямой, не содержащим нуль. Необхо-

димость указанных условий установлена ранее. Сформулированное утверждение решает

задачу, поставленную Н.А. Изобовым в начале 90-х годов.

DOI: 10.31857/S0374064121040038

Рассмотрим зависящую от параметра μ ∈ R линейную систему

x = μC(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1_μ)

с кусочно-непрерывной и ограниченной матрицей коэффициентов. Множеством неправильно-

сти системы

x = C(t)x, x(t) ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

(2_C )

называется [1] множество тех значений μ ∈ R, при которых соответствующая система (1_μ)

неправильна по Ляпунову [2, с. 38].

Первый пример правильной системы (2), для которой множество неправильности не пу-

сто, построен Н.А. Изобовым (см. [1]). Позднее были построены (см. библиографию в [3])

примеры систем (2_C ) с различными метрическими и топологическими свойствами их мно-

жеств неправильности. В частности, как установлено в [4, 5], мера Лебега такого множества

может принимать любое наперёд заданное значение. В работе [4] установлено также, что мно-

жество неправильности необходимо должно быть G_δσ -множеством вещественной прямой, не

содержащим нуля.

В связи с этими результатами в работе [3] была поставлена задача о полном описании клас-

са множеств неправильности линейных систем (2_C ). В направлении решения этой задачи в

работах [6] и [7] доказано, что множеством неправильности может быть соответственно любое

открытое и любое замкнутое множества вещественной прямой, не содержащие нуля. Вместе с

тем задача полного описания множеств неправильности оставалась нерешённой. Она решена

в настоящей работе. Оказывается, что приведённые выше необходимые условия [4], которым

должны удовлетворять множества неправильности: быть G_δσ -множеством и не содержать ну-

ля, являются и достаточными. Для доказательства этого утверждения нам понадобится ряд

лемм, из которых оно будет следовать непосредственно.

Для(юбого ϕ ∈ ) матрицу поворота на угол ϕ по часовой стрелке обозначим через

cos ϕ sin ϕ

U (ϕ) ≡

и положим

- sin ϕ cos ϕ

(

)

J := U(2-1π) =

−1

√

Для всякого y = (y₁, y₂)^т ∈ R² и 2×2-матрицы Z используем обозначения ∥y∥ ≡

y²¹ + y²²

для евклидовой нормы и ∥Z∥ ≡ max ∥Zy∥ для спектральной нормы.

∥y∥=1

473

474

ЛИПНИЦКИЙ

Для любой строго возрастающей последовательности (m_k)∞k=1 ⊂ N и чисел 5 ≤ i_k ∈ N

определим последовательность (T_k)∞k=1, полагая

T₁ := 2, Tk+1 := m_k(i_k + 2)T_k, k ∈ N.

Положим также

θ_k := m_ki_kT_k, τ_k := θ_k + m_kT_k, k ∈ N.

Для любой последовательности (b_k)∞k=1 ⊂ R и числа d ∈ R, d = 0, определим матрицу

A(·) = A( · , d, (m_k , i_k, b_k)∞k=1), для всех l = 1, T_k, k ∈ N, полагая

A(t) ≡ b_kJ, t ∈ (τ_k - m_kl, τ_k - m_kl + 1],

A(t) ≡ -b_kJ, t ∈ [τ_k + m_kl - 1, τ_k + m_kl).

(

)

Для всех остальных t ∈ R₊ положим A(t) ≡ d

-1

Обозначим через X_A(t, s) матрицу Коши системы (2_A) и зададим число δ(d) равенствами

δ(d) := 1, если d > 0, и δ(d) := 2, если d < 0. Обозначим также

L_d(α) := {x ∈ R² : |x3-δ(d)/xδ(d)| ≤ α}.

Заметим, что

(

)

L_d(α) = L_d(m-2sgndα).

1/m

Лемма 1. Матрица X_A(Tk+1, θ_k) является самосопряжённой.

Доказательство. Для любых s(t) := 2τ_k - t и t ∈ [τ_k, Tk+1] выполняется равенство

A(s(t)) = A^т(t), следствием которого являются соотношения

X_A(s(t),τ_k) = -A(s(t))X_A(s(t),τ_k) = -A^т(t)X_A(s(t),τ_k).

Таким образом, столбцы матрицы X_A(s(t), τ_k) - решения сопряжённой к (2_A) системы

x =

= -A^т(t)x, из чего вытекает равенство

X_A(s(t),τ_k) = X_-Aт (t,τ_k)C,

(3)

матрица C в котором не зависит от t.

Согласно [8, с. 119] справедливо соотношение

X_-Aт(t,τ_k) = [X-1A(t,τ_k)]^т = XтA(τ_k,t).

(4)

Полагая в (3) t := τ_k, получаем равенство C = E, учитывая которое и полагая в (3), (4)

t := Tk+1, будем иметь X_A(τ_k, θ_k) = XтA(Tk+1, τ_k). Отсюда следует соотношение

X_A(Tk+1,θ_k) = X_A(Tk+1,τ_k)XтA(Tk+1,τ_k),

из которого вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Для каждого d = 0 определим число k₀(d) ∈ N равенством k₀(d) := 2 + [|d|-1] (здесь и в

дальнейшем [·] обозначает целую часть числа).

Лемма 2. Для любого k ∈ N, k ≥ k₀(d) - 1, имеет место включение

(5_k)

X(Tk+1, Tk0(d))eδ(d) ⊂ Ld(2e4mk T^k|d|).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

475

Доказательство. Зафиксируем произвольное k ≥ k₀(d). Поскольку в силу леммы 1 мат-

рица X_A(Tk+1, θ_k) является самосопряжённой, то она ортогональным преобразованием приво-

дится к диагональному виду [9, c. 78], а её собственные значения вещественны и положитель-

ны, т.е. вследствие вытекающего из соотношения Tr A(t) ≡ 0 равенства det X_A(Tk+1, θ_k) = 1

найдутся f₁, h ∈ R, h ≥ 1, такие, что

X_A(Tk+1,θ_k) = U(f₁)diag [h²,h-2]U(-f₁).

(6)

В силу верной для любого l ∈ N оценки Tl+1 ≥ 2T_l и того, что T₁ = 2, имеет место

неравенство T_n ≥ n, n ∈ N. Отсюда для любого n ≥ k - 1 в силу неравенств n ≥ k₀(d) -

- 1 ≥ |d|-1 получаем оценки

e-Tn|d| ≤ e-1 < 2-1.

(7_n)

Тогда, так как i_j ≥ 5 при всех значениях j, то

(7k-1)

2e4mk-1Tk-1|d| ≤ 2e-Tk-1|d|eTk|d|

< eTk|d| и

2θ_k - 3T_k ≥ 7m_kT_k,

откуда вытекают включение L_d(2e4mk-1 Tk-1|d|) ⊂ L_d(eTk |d|) и, с учётом последнего, соот-

ношение

X(θ_k, T_k)L_d(2e4mk-1Tk-1 ) ⊂ diag [ed(θk -Tk), e-d(θk -Tk)]L_d(eTk |d|) =

= L_d(e(-2θk+3Tk)^|d|) ⊂ L_d(e-7mkT^k|d|).

(8)

С другой стороны, из представления (6) для любого x ∈ R², ∥x∥ = 1, и g = gx ∈ R, zx ∈ R2,

определяемых равенствами

(cos g, sin g)^т := U(-f₁)x, z_x := X_A(Tk+1, θ_k)x,

= det[u,v] обозначено псевдоскалярное произведение

векторов u, v ∈ R²)

(x ∨ z_x) = (U(-f₁)x ∨ U(-f₁)z)

⁽⁶⁾=(U(-f₁)x ∨ diag [h², 1/h²]U(-f₁)x) =

= ((cos g, sin g)^т ∨ (h² cos g, h-2 sin g)^т) = -(h² - h-2) cos g sin g,

(9)

откуда имеем

(6),(9)

| sin ∠(x, z_x)|

= (h² - h-2)| cos g sin g|∥(h² cos g, h-2 sin g)^т∥-1 ≤ 1 - h-4.

(10)

Для любых j ∈ N, t, s ∈ [j - 1, j] справедливо одно из двух равенств: либо X_A(t, s) =

= diag [ed(t-s),ed(s-t)], либо найдётся γ_j ∈ R такое, что X_A(t,s) = U(γ_j(t - s)). Поэтому

∥X_A(t, s)∥ ≤ max{∥diag [ed(t-s), ed(s-t)]∥, ∥U(γ_j (t - s))∥} = e^|d||t-s|.

Отсюда для любых r, s ∈ R,

[r] > s ≥ 0, получаем оценки (произведение по пустому множе-

ству считаем равным единице)

( [r]-1_∏

)

∥X_A(r, s)∥ ≤ ∥X_A(r, [r])∥

∥X(j, j - 1)∥

∥X_A(1 + [s], s)∥ ≤ e|d|(r-s).

j=1+[s]

Аналогично в случае 0 ≤ r < [s] выполняются оценки

( [s]-1_∏

)

∥X_A(r, s)∥ ≤ ∥X_A(r, [r] + 1)∥

∥X(j - 1, j)∥

∥X_A([s], s)∥ ≤ e|d|(s-r).

j=1+[r]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

476

ЛИПНИЦКИЙ

В обоих случаях имеем неравенство

∥X_A(r, s)∥ ≤ e^|d||r-s|,

0 ≤ r,s ∈ R.

(11_r,s)

(7_k )

Для любого x ∈ L_d(e-7mk T^k |d|)

⊂ L_d(2-1e-4mkT^k|d|) из (11Tk+1,θ_k) в силу оценок

h = ∥X_A(Tk+1,θ_k)∥1/2

⁽¹¹⁾≤ e2-1|Tk+1^-θk^||d| = e^mk^Tk^|d|

вытекают неравенства

|x3-δ(d)|

| sin ∠(eδ(d), x)| =

≤

≤2-1e-4mkT^k|d| ≤

∥x∥

|xδ(d)|

2h⁴

Отсюда вследствие (10) получаем, что

| sin ∠(eδ(d), z_x)| ≤ | sin ∠(eδ(d), x)|| cos ∠(x, z_x)|+| sin ∠(x, z_x)|| cos ∠(eδ(d), x)|

⁽¹⁰⁾≤ 1-1/(2h⁴). (12)

В случае k = k₀(d)-1 имеем X_A(Tk+1, Tk0(d))eδ(d) = eδ(d) ⊂ Ld(2e4mk T^k|d|), т.е. справедливо

включение (5k0(d)-1).

Предположим, что включение (5k-1) верно для некоторого k ≥ k₀(d). Тогда в силу выте-

кающих для любого x ∈ L_d(e-7mk T^k|d|) из неравенства (12) оценок



 (z_x)3-δ(d)



 cos ∠(e3-δ(d), z_x)

| sin ∠(eδ(d), z_x)|



⁽¹²⁾≤1-2-1h-4

= 2h⁴ - 1

⁼

≤

 (z_x)δ(d)

 cos ∠(eδ(d), z_x)

|1 - sin ∠(eδ(d), z_x)|

2-¹h-4

имеют место включения

(5k-1)

X_A(Tk+1,Tk0(d))eδ(d) = XA(Tk+1,Tk)XA(Tk,Tk₀(d))eδ(d)

⊂

(5k-1)

⊂ X_A(Tk+1,θ_k)X_A(θ_k,T_k)L_d(2e4mk-1Tk-1|d|)

⁽⁸⁾⊂ X_A(Tk+1, θ_k)L_d(e-7mk^Tk^|d|) ⊂

⊂ L_d(2h⁴ - 1) ⊂ L_d(2e4mkT^k|d|).

Таким образом, выполняется включение (5_k), откуда, согласно методу математической ин-

дукции, следует справедливость включения (5_n) для любого целого n ≥ k₀(d) - 1. Лемма

доказана.

(

)

e^κ

Введём обозначение

Y_κ(γ) := U(γ)

, где γ, κ ∈ R.

e-κ

Замечание. В работе [7] определена матрица

(

)

e^kμ

Y_k(μ) := U(μ/k + π/2)

e^-kμ

Леммы 1 и 2 из [7] не верны. Их утверждения становятся корректными, если заменить Y_k(μ)

матрицей

(

)

e^k

Y_k(μ) := U(μ/k + π/2)

e^-k

Лемма 3. Для любых γ, κ ∈ R, удовлетворяющих неравенству | cos γ| ≤ 1/e2|κ|, справед-

лива оценка

Y2κ(γ)∥ < e².

(13)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

477

Доказательство в силу равенств

Y_κ(γ)

Y_κ(γκ-π/2) совпадает с учётом приведённого

выше замечания с доказательством леммы 2 из [7], в котором k следует заменить на κ, а

вместо r_μ взять γ.

Лемма 4. Если d = 0 и найдутся l ∈ N и последовательность (k_j )∞j=1 ⊂ N такие, что

для любого p ∈ {k_j : j ∈ N} выполняются неравенства i_p ≤ l, m_p ≥ 2 max{l, |d|-1} и оценка

| cos b_p| < e-2mp|d|, то система (2_A) неправильна по Ляпунову.

Доказательство. Зафиксируем произвольные 0 = d ∈ R и k ∈ N. Обозначим κ_k :=

:= d(m_k - 1). Имеют место равенства

X_A(τ_k -m_kl+1,τ_k -m_k(l+1)+1) = U(b_k)diag [ed(mk-¹⁾,ed(1-mk)]

Yκk (b_k),

0 < l ≤ T_k, (14)

X_A(τ_k,τ_k - m_k + 1) = diag [ed(mk-¹⁾,ed(1-mk)]

Yκk (0), X_A(θ_k + 1,θ_k) = U(b_k),

(15)

X_A(τ_k + m_kl,τ_k + m_k(l - 1)) = U(-b_k)diag [ed(mk-¹⁾,ed(1-mk)]

Yκk (-b_k),

0<l≤T_k.

(16)

Из них с учётом чётности T_k вытекает, что

(Tk-1_∏

)

(14),(15)

X_A(τ_k,θ_k) = X_A(τ_k,τ_k - m_k + 1)

X_A(τ_k - m_kl + 1,τ_k - m_k(l + 1)+ 1) X_A(θ_k + 1,θ_k)

l=1

(14),(15)

= U(-b_k

Yκk (b_k)Tk U(b_k).

(17)

Аналогичным образом приходим к равенствам

∏

X_A(Tk+1,τ_k) =

X_A(Tk+1 - m_kl,Tk+1 - m_k(l + 1))

⁽¹⁶⁾=

Yκk (-b_k)Tk .

(18)

l=0

Возьмём произвольное p из последовательности (k_j )∞j=1, определённой в формулировке

леммы. Из равенств (17) и (18) в силу леммы 3, учитывая делимость T_p на T₁ = 2, получаем

оценки

(17),(18)

∥X(Tp+1, θ_p)∥ = ∥X(Tp+1, τ_p)X_A(τ_p, θ_p)∥ ≤ ∥X(Tp+1, τ_p)∥∥X_A(τ_p, θ_p)∥

(17),(18)

Yκk (-b_k)Tp ∥

Yκk (b_k)Tp ∥ ≤

Yκk (-b_k)²∥Tp/²

Yκk (b_k)²∥Tp/²

⁽¹³⁾≤ e2Tp .

(19)

Из неравенства (11θp,0) следует, что

∥X_A(θ_p, 0)∥ ≤ e|d|θp = empi^pT^p|d|.

(20)

Используя (19), (20) и учитывая верные по условию леммы неравенства 2/m_p ≤ |d| и i_p ≤ l,

получаем оценки

ln ∥X(Tp+1, 0)∥

(19),(20)

2T_p + m_pi_pT_p|d|

(ln ∥X(Tp+1, θ_p)∥ + ln ∥X(θ_p, 0)∥)

≤

Tp+1

m_p(i_p + 2)T_p

(

)

(

)

(

) (

)

1+i_p

+ i_p|d|

≤ |d|

= |d|

≤ |d|

(21_p)

i_p + 2

m_p

i_p

l+2

В силу неравенства (110,Tp ) справедлива оценка

∥X_A(0, T_p)∥ ≤ e|d|Tp ,

(22)

учитывая которую и оценки i_p ≥ 4, m_p ≥ 2l,

∥X(θ_p, T_p)∥ ≤ ∥X(θ_p, 0)∥∥X(0, T_p )∥,

(23)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

478

ЛИПНИЦКИЙ

а также равенства

∥X(θ_p, T_p)∥ = ∥diag [ed(θp -Tp), e-d(θp -Tp)]∥ = e|d|(θp-Tp),

(24)

будем иметь

ln ∥X(θ_p, 0)∥

≥

θ_p

(

)

(

)

(22),(24)

|d|(θ_p - 2T_p)

≥

= |d|

≥ |d|

(25)

θ_p

m_pi_p

Согласно формуле Ляпунова [10, с. 41] для старшего характеристического показателя λ_max(A)

имеет место равенство

λ_max(A) = lim

ln ∥X_A(t, 0)∥.

(26)

t→+∞ t

Пусть x(t), t ≥ 0, ∥x(0)∥ = 1, - какое-либо решение системы (2A) такое, что λ[x] = λmax(A).

Тогда из соотношений (25) и (26) вытекает оценка

(

)

lim

ln ∥x(t)∥

⁽²⁶⁾= lim

ln ∥X_A(t, 0)∥ ≥ lim

ln ∥X_A(θ_k, 0)∥

⁽²⁵⁾≥ |d| 1-

(27)

t→+∞ t

k→+∞ θ_k

С другой стороны, поскольку ∥x(t)∥ ≤ ∥X_A(t, 0)∥, t ≥ 0, в силу (21kj ), j ∈ N, справедливы

неравенства

(

)

lim

ln ∥x(t)∥ ≤ lim

ln ∥X_A(t, 0)∥ ≤ lim

ln ∥X_A(Tkj +1, 0)∥

⁽²¹⁾≤ |d| 1-

(28)

t→+∞ t

j→+∞ Tk_j+1

Из оценок (27) и (28) следует отсутствие точного предела у функции ln ∥x(t)∥ при t → +∞,

что, согласно [8, c. 284], влечёт за собой неправильность системы (2_A). Лемма доказана.

ОбозначимLκ := Lsgnκ(2³κ²), κ ∈ R.

Лемма 5. Для любых γ, κ ∈ R таких, что

| sin γ| ≥ κ-2 и κ > 2⁴,

(29)

имеют место включение

Y_κ(γ + π/2)Lκ ⊂Lκ

(30)

и для любого x ∈Lκ неравенство

Y_κ(γ + π/2)x∥/∥x∥ > eκ-

^√κ.

(31)

Доказательство в силу равенств

Y_κ(γ+π/2)

Y_κ(γκ) совпадает с учётом приведённого

выше замечания с доказательством леммы 2 из [7], в котором k следует заменить на κ, L_k -

конусомLκ, а вместо ρ_μ взять γ.

ОбозначимLk,d := L_d(2³d²(m_k - 1)²).

Лемма 6. Для любых d = 0, k ∈ N таких, что

m_k > 1 + 2⁴/|d|,

| cos b_k| ≥ d-2(m_k - 1)-2,

(32)

выполняется включение

X_A(Tk+1,θ_k - m_k + 1)Lk,d ⊂Lk,d,

(33)

а для всякого решения x(·) системы (2_A) с начальным условием x(θ_k - m_k + 1) ∈Lk,d при

любых 1 ≤ l ≤ 2T_k имеет место оценка

√

∥x(θ_k + m_kl)∥

≥e|d|(mk-1)-

|d|(m_k-1).

(34_l)

∥x(θ_k + m_k(l - 1))∥

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

479

Доказательство. В случае, если d > 0, полагая в условиях леммы 5 κ = κ_k := d(m_k - 1),

γ := δb_k - π/2, где δ ∈ {-1, 0, 1}, учитывая равенства

L_κ =Lk,d,

Yκk (γ + π/2)

Yκk (δb_k) и

то, что, как следует из неравенств (32), справедливы условия (29), получаем из (30) включение

Yκk (δb_k)Lk,d ⊂Lk,d,

(35_d)

а из (31) для любого x ∈Lk,d имеем неравенство

Yκk (δb_k)x∥/∥x∥ > eκk-

^√κ_k = e|d|(mk-1)-√|d|(mk -1).

(36)

Если же d < 0, то в силу равенств

Yκk (δb_k) = U(δb_k)diag [eκk ,e-κk ] = U(δb_k)J diag [e-κk ,eκk ]J-1 =

Y-κk (δb_k)J-1

(37)

с учётом включения (35_-d) и того, что

L_k,d = JLk,-d,

(38)

справедливы включения

= L_k,d,

т.е. включение (35_d) выполняется для любых d = 0.

= L_k,-d,

имеем оценки

Yκk (δb_k)x∥

⁽³⁷⁾= ∥J

Y-κk (δb_k)J-1x∥ =

Y-κk (δb_k)J-1x∥

⁽³⁶⁾> ∥x∥e-κk-√-κk = ∥x∥e|d|(mk-1)-√|d|(mk -1).

Таким образом, неравенство (36) справедливо для всех d = 0.

Из включения (35), используя равенства (14)-(16), получаем соотношения

⊂ L_k,d,

0≤l<T_k,

(39)

X_A(τ_k,τ_k - m_k + 1)Lk,d = diag [ed(mk-¹⁾,ed(1-mk)]L_d(2³d²(m_k - 1)²) =

= L_d(e-2|d|(mk-¹⁾2³d²(m_k - 1)²) ⊂ L_d(2³d²(m_k - 1)²) = Lk,d,

(40)

⊂ L_k,d,

0<l≤T_k.

(41)

Тогда для любого 0 ≤ j < T_k выполняются включения

X_A(θ_k + jm_k + 1,θ_k - m_k + 1)Lk,d =

)

(^j∏

X_A(θ_k + m_k(j - l) + 1,θ_k + m_k(j - l - 1) + 1)

⊂ L_k,d.

(42)

l=0

В частности, при j = T_k - 1 отсюда вытекает, что

X_A(τ_k - m_k + 1,θ_k - m_k + 1)Lk,d ⊂Lk,d.

(43)

Из (40) и (43) следуют включения

⊂

L_k,d,

(44)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

480

ЛИПНИЦКИЙ

в силу которых и включения (41) заключаем, что

)

(^j∏

X_A(τ_k + jm_k,θ_k - m_k + 1)Lk,d =

X_A(τ_k + m_kl,τ_k + m_k(l - 1))

l=1

L_k,d

⊂

(45)

для любого 0 < j ≤ T_k. В частности, при j = T_k имеем включение (33).

Положим^δ(j) := 1, если 0 ≤ j < T_k, и^δ(j) := 0, если T_k ≤ j ≤ 2T_k.

Пусть x(·) - какое-либо решение системы (2_A) с начальным условием x(θ_k -m_k +1) ∈Lk,d.

Из (42), (44) и (45) следует включение

y_k,j := x(θ_k + m_kj +^δ(j)) ∈Lk,d,

0 ≤ j < 2T_k.

(46_j )

Для любого 0 ≤ j < T_k справедливы равенства

∥y_k,j∥ = ∥U(b_k)x(θ_k + m_kj)∥ = ∥x(θ_k + m_kj)∥.

(47_j )

Тогда в силу (46_j ) для любого 0 < j ≤ 2T_k и некоторого^δ(j) ∈ {-1, 0, 1} выполняются

оценки

(36),(46j-1 )

√

∥x(θ_k + m_kj)∥

(47_j )

∥y_k,j∥

(14)-(16)

Yκk (^δ(j)b_k)yk,j-1∥

> e|d|(mk-1)-

|d|(m_k-1),

∥x(θ_k + m_k(j - 1))∥

∥yk,j-1∥

т.е. имеет место неравенство (34_j ). Лемма доказана.

Лемма 7. Если m_k → +∞ при k → +∞ и для любого l ∈ N найдётся k_l ∈ N такое,

что для всех k ≥ k_l, удовлетворяющих условию i_k ≤ l, выполняется оценка∗)

| cos b_k| > |d|-2(m_k - 1)-2,

(48)

то система (2_A) правильна по Ляпунову.

Доказательство. Обозначим x(t) := X_A(t, Tk0(d))eδ(d).

Считаем, что d = 0, и зафиксируем произвольное k ∈ N, k ≥ k₀(d).

Из неравенства Tk+1 ≥ i_km_kT_k вытекают оценки

(7_k )

4m_kT_k + 2|d|-1 ln 2

≤ 5m_kT_k ≤ 5Tk+1i-1k.

(49_k)

Возьмём произвольные 1 ≤ α ∈ R и y ∈ L_d(α). Если |y3-δ(d)| ≤ 2-1∥y∥, то выполняются

неравенства |yδ(d)| ≥ ∥y∥ - |y3-δ(d)| ≥ 2-1∥y∥. В противном случае, так как y ∈ L_d(α), будут

справедливы неравенства |yδ(d)| ≥ α-1|y3-δ(d)| ≥ 2-1α-1∥y∥. В обоих случаях, учитывая, что

α ≥ 1, получаем оценку

|yδ(d)| ≥ 2-1α-1∥y∥, α ≥ 1, y ∈ L_d(α).

(50_α)

Положим α := 2e4mkT^k|d|. Поскольку T_k ≥ k ≥ k₀(d) > |d|-1, то, следовательно, α ≥ 1,

поэтому в силу (5_k), (50α) и (49k) получаем неравенство

(5_k ),(50α)

(49_k )

|xδ(d)(Tk+1)|

≥

2-²e-4mk T^k|d|∥x(Tk+1)∥

≥ e-5Tk+1ik1|d|∥x(Tk+1)∥.

Отсюда для любого t ∈ [Tk+1, θk+1] следует, что

∥x(t)∥ = ∥diag [ed(t-Tk+1), ed(-t+Tk+1)]x(Tk+1)∥ ≥

∗) Второе неравенство в (32).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

481

≥ e|d|(t-Tk+1)|xδ(d)(Tk+1)| ≥ e|d|(t-Tk+1-5Tk+1ik1)∥x(Tk+1)∥.

(51_k)

При всех неотрицательных r, s ∈ R вследствие неравенства (11_r,s) справедливы оценки

(11r,s )

∥x(r)∥ = ∥X_A(r, s)x(s)∥ ≤ ∥X_A(r, s)∥∥x(s)∥

≤ e^|d||r-s|∥x(s)∥.

(52_r,s)

Полагая в них r := Tk0(d), s := Tk и учитывая равенства ∥x(Tk₀(d))∥ = ∥eδ(d)∥ = 1, получаем

∥x(T_k)∥

⁽⁵²⁾≥ e^-|d||Tk0(d)^-Tk^|∥x(T_k

(53)

0(d))∥≥e-|d|Tk .

Далее, зафиксируем произвольно l ∈ N и число k > k₀(d) такое, что выполняется нера-

венство m_k ≥ 1 + 2⁴|d|-1. Из (53) в силу (51k-1) с учётом неравенства ik ≥ 5 вытекают

оценки

(51k-1)

∥x(θ_k)∥ = ∥diag [ed(θk -Tk), e-d(θk -Tk)]x(T_k)∥

≥ e|d|(θk-Tk)e-Tk|d|∥x(T_k)∥

⁽⁵³⁾≥ e|d|(θk-3Tk⁾.

(54)

Рассмотрим сначала случай, когда i_k ≤ l.

Вследствие оценок (48), (49k-1) и неравенств i_k ≥ 5, ik-1 ≥ 5 имеем

(49k-1)

-2(θ_k - T_k - m_k + 1) + |d|-1 ln 2 + 4mk-1Tk-1

≤

2(-i_km_kT_k + T_k + m_k) + 5T_ki-1k-1 ≤

≤ 2(-3m_kT_k + (1 - m_k)T_k + (1 - T_k)m_k) + T_k ≤

≤ -6m_kT_k + T_k ≤ 0 ≤ |d|-1 ln

⁽⁴⁸⁾≤ |d|-1 ln(|d|²(m_k - 1)²).

(55)

| cos b_k|

В силу включения (5k-1), полагая α := θ_k - m_k + 1 и учитывая оценку (55), получаем

соотношения

(5k-1)

x(α) = diag [ed(α-Tk ), e-d(α-Tk )]x(T_k)

∈ diag [ed(α-Tk),e-d(α-Tk)]L_d(2e4mk-1Tk-1|d|) =

= L_d(e-2(θk-Tk-mk+1)|d|2e4mk-1Tk-1|d|)

⁽⁵⁵⁾⊂ L_k,d.

(56)

√

Обозначим β_k,d := m-1k(m_k - 1 -

(m_k - 1)|d|-1).

Из (48) и (56) в силу леммы 6 следует для любого 1 ≤ l ≤ 2T_k оценка

√

∥x(θ_k + m_kl)∥

≥e|d|(mk-1)-

|d|(m_k-1) = e|d|βk,dm^k

(57)

∥x(θ_k + m_k(l - 1)∥

и включение x(Tk+1) ⊂ Lk,d, из которого вследствие (50_α), где α := 2³d²(m_k - 1)², вытекает

неравенство

|xδ(d)(Tk+1)| ≥ 2-4m-2k|d|-2∥x(Tk+1)∥.

(58)

Для любого θ_k ≤ t ≤ Tk+1 найдётся единственное l_t ∈ N такое, что t ∈ [m_k(l_t - 1), m_kl_t).

Для таких t из (52mk lt,t^{)и(57)следуютоценки}

∏

∥x(t)∥

∥x(m_kl_t)∥

∥x(m_kp)∥

⁽⁵²⁾≥ e^-|d||t-mk^lt^|

⁽⁵⁷⁾≥

∥x(θ_k)∥

∥x(m_kl_t)∥

∥x(θ_k)∥

∥x(m_k(p - 1))∥

p=1+θ_km-1

⁽⁵⁷⁾≥ e^-|d|mk e(lt^-θkmk1)^βk,d^mk^|d| ≥ e|d|(βk,d(t-θk)-mk⁾.

(59)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

482

ЛИПНИЦКИЙ

Отсюда и из (54), поскольку β_k,d ≤ 1 и t-1(m_k + 3T_k) ≤ θ-1k(m_k + 3T_k) = i-1k(T-1k + 3m-1k),

вытекают неравенства

(

)

(54),(59)

ln ∥x(t)∥

∥x(t)∥

+ ln ∥x(θ_k)∥

≥

∥x(θ_k)∥

(54),(59)

|d|

≥

(β_k,d(t - θ_k) - m_k + θ_k - 3T_k) ≥ |d|(β_k,d - T-1k - 3m-1k), t ∈ [θ_k, Tk+1].

(60_t)

В силу (58) для любого t ∈ [Tk+1, θk+1] выполняются оценки

∥x(t)∥ = ∥diag [ed(t-Tk+1), e-d(t-Tk+1)]x(Tk+1)∥

⁽⁵⁸⁾≥ e|d|(t-Tk+1⁾2-4m-2k|d|-2∥x(Tk+1)∥.

Отсюда и из (60Tk+1 ), так как

ln(4m_k|d|)

4m_k|d|

≤

t≥Tk+1,

(61)

t|d|

Tk+1|d|

i_k + 2

T_k

вытекают неравенства

ln ∥x(t)∥

⁽⁶⁰⁾≥1(|d|(t - Tk+1) - ln(24m2k|d|2) + |d|(βk,d - T-1k - 3m-1k)Tk+1) ≥

(

)

⁾Tk+1

ln(4m_k|d|)

≥ |d|

1-β_k,d +

-2

⁽⁶¹⁾≥

T_k

m_k t

t|d|

(

)

(61)

≥ |d| β_k,d -

Tk+1 ≤ t ≤ θk+1.

(62)

T_k

m_k

В случае же, когда i_k > l, для любого t ∈ [θ_k, Tk+1] вследствие (52Tk+1,t) и (54), поскольку

2θ_k - t = t - 2(θ_k - t) ≥ t - 2(θ_k - Tk+1) = t - 4m_kT_k,

справедливы неравенства

∥x(t)∥

≥ e|d|(θk-t)e|d|(θk-3Tk) = e|d|(2θk-t-3Tk) ≥ e|d|(t-(4mk+3)Tk),

(63)

откуда, так как

(4m_k + 3)T_k

4m_k + 3

≤

(64)

θ_k

i_km_k

i_k

вытекают оценки

(

)

(64)

ln ∥x(t)∥

⁽⁶³⁾≥^|d|(t - (4mk + 3)Tk)

≥ |d|

t ∈ [θ_k,Tk+1].

(65)

i_k

Полагая, в частности, в (65) t := Tk+1, получаем в силу оценок (51k) для любого t ∈

∈ [Tk+1, θk+1] неравенства

(51_k ),(65)

t-1 ln ∥x(t)∥

≥ t-1|d|(t - Tk+1 - 5i-1kTk+1 + (1 - 7i-1k)Tk+1) =

= |d|(1 - 12t-1i-1kTk+1) ≥ |d|(1 - 12i-1k).

(66)

Зафиксируем произвольное ε > 0. Положим l_ε := 12|d|ε-1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

483

Выберем k_ε ≥ max{k₀(d) + 1, 4ε-1|d|} таким, чтобы выполнялось неравенство

mkε ≥ max{1 + 2⁴|d|-1,2⁴|d| max{1,ε-1,ε-2}}.

Зафиксируем произвольные k ≥ k_ε и t ∈ [θ_k, θk+1].

Справедливы оценки

√

|d|

|d|β_k,d ≥ |d| -

≥ |d| -

(67)

m_k

Отсюда, если выполняется неравенство i_k ≤ l_ε, вследствие (60) и (62) получаем, так как

T_k ≥ k ≥ 4ε-1|d|, оценки

(60),(62)

t-1 ln ∥x(t)∥

≥

|d|(β_k,d - 2T-1k - 3m-1k)

⁽⁶⁷⁾≥ |d| - ε.

(68)

Если же i_k > l_ε, то в силу (65) и (66) имеют место оценки

t-1 ln ∥x(t)∥ ≥ |d| - 12|d|i-1k ≥ |d| - ε.

(69)

Из (68) и (69) вытекает существование точного предела lim t-1 ln ∥x(t)∥, откуда в силу лем-

t→+∞

мы из [11] следует правильность системы (2_A). Лемма доказана.

Пусть M - произвольное G_δσ -множество. Найдутся открытые множества

M_n,l ⊂ R, l,n ∈

∈ N, такие, что множества

M_l, l ∈ N, определённые равенствами

M_l :=⋂∞n=1 Mˇ_n,l, удовле-

⋃∞

творяют соотношению M =

M_l. Обозначим

M_n,l :=⋂np=1

M_p,l. Справедливы включение

l=1

M_n,l

Mn+1,l ⊂

(70_n)

и равенство

M_l =⋂∞n=1 Mˆ_n,l.

Определим рекуррентно последовательность {j_n}∞n=0 ⊂ N

^⊔ {0}, полагая j₀ := 0 и j_n :=

:= 2n9n+n3 + jn-1, n ∈ N.

Для любых k, l, n ∈ N и α ∈ R обозначим J_n := {jn-1 + 1, . . . , j_n},

(

)

j_n + jn-1

κ_k = κ_k(n) :=

ρ_n,l(α) = ρ_n,l(α,

M_n,l) :=

inf

|α - β|.

9n+n3

β∈R\

M_n,l

Обозначим также через I_n,k = I_n,k({Mn,l}n,l∈N) множество тех l ∈ N, для которых либо

ρ_n,l(κ_k(n)) ≥ 2/n, либо найдётся p ∈ {1,... ,n - 1} такое, что

2/n ≤ ρ_p,l(κ_k(n)) ≤ 5/n.

(71_p,n)

Лемма 8. Для любых μ ∈ M и l ∈ N существует n₀ = n₀(μ, l) ∈ N такое, что при

любом n ≥ n₀ выполнение для некоторого k ∈ J_n неравенства

|μ - κ_k(n)| < 2/n

(72_k,n)

влечёт за собой включение l ∈ I_n,k.

Доказательство. Зафиксируем произвольные μ ∈ M и l ∈ N. Обозначим F_μ,l := {p : μ ∈

⋂_∞

⋃∞

∈ Mˆ_p,l}. Так как μ ∈ R\M ⊂ R\Ml = R\(

M_n,l) =

(R\Mn,l), то найдётся n ∈ N

n=1

⊂ R\Mr,l, r ≥ n. Поэтому supF_μ,l < n, т.е. множество F_μ,l конечно.

Если F_μ,l = ∅, то положим q(μ, l) := 0, n₀ := 1. В противном случае обозначим q =

= q(μ,l) := maxF_μ,l. Из включения μ ∈

M_q,l и того, что множество

M_q,l открыто, следует

положительность числа ρ_q,l(μ). Поэтому определена величина n₀ := 1 + [8/ρ_q,l(μ)].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

4^∗

484

ЛИПНИЦКИЙ

Предположим, что для некоторых n ∈ N, n ≥ n₀, и k ∈ J_n справедливо неравен-

ство (72_k,n).

Для любого p > q(μ, l) в силу соотношения p ∈ F_μ,l, эквивалентного включению μ ∈

∈ R\ Mp,l, имеет место равенство ρ_p,l(μ) = 0. Из него вследствие неравенств (72_k,n) вытекают

оценки

(72_k,n)

ρ_p,l(κ_k) ≤ ρ_p,l(μ) + |μ - κ_k(n)|

2/n, p > q(μ, l).

(73_p)

Отсюда в случае q(μ, l) = 0 следует соотношение l ∈ I_n,k.

Рассмотрим теперь случай q(μ, l) > 0. Справедливо неравенство

8/ρ_q,l(μ) < n₀.

(74)

Тогда для любого p ∈ {1, . . . , q} в силу вытекающего из (70_r), r ∈ {p, . . . , q-1}, включения

M_q,l ⊂

M_p,l справедливы неравенства

(72),(74)

ρ_p,l(κ_k) ≥ ρ_q,l(κ_k(n)) ≥ ρ_q,l(μ) - |μ - κ_k|

≥

p ∈ {1,...,q}.

n₀

Отсюда и из (73_p) следует, что соотношения (71_p,n), p ∈ N, не выполнены, а это влечёт за

собой включение l ∈ I_n,k. Лемма доказана.

Для любого натурального k найдётся единственное n = n(k) ∈ N такое, что k ∈ J_n.

Определим значения m_k, i_k и b_k, зависящие от выбора открытых множеств

M_n,l ⊂ R, l,n ∈

⋃_∞ ⋂_∞

∈ N, таких, что M =

M_n,l, равенствами

l=1

n=1

d := μ, m_k := 1 + n(k)², n ∈ N, μ ∈ R,

(75)

i_k := max{5,min I_n,k}, b_k(μ) :=

(μ - κ_k(n)), μ ∈ R, если I_n,k = ∅,

(76)

i_k := 5, b_k(μ) ≡ 0, если I_n,k = ∅.

(77)

Зададим матрицу

A_μ(·)

A_μ(·,

M_n,l)n,l∈N), μ ∈ R, равенством

A_μ(t) := A(t) = A(t,d,(m_k,i_k,b_k)∞k=1), t ≥ 0,

в котором величины d, m_k, i_k, b_k определяются соотношениями (75)-(77).

Лемма 9. Если 0 ∈ M, то cистема (2

) неправильна по Ляпунову при любом μ ∈ M

Aμ

и правильна при всех остальных μ ∈ R\M.

Доказательство. Пусть μ ∈ M. Зафиксируем произвольное l₀ ∈ N.

Положим n₁ = n₁(μ, l₀) := max({2|μ|}

^⋃ {n₀(μ, l) : 1 ≤ l ≤ l₀}) (число n₀(μ, l) определено

в формулировке леммы 8).

Для любого k > jn1 найдётся n ≥ n₁ такое, что k ∈ J_n. Справедливы оценки

|κ_k(n)| ≤ max{|κjn-1 (n)|, |κjn (n)|} = 9-n-n3 |j_n - jn-1|/2 = n.

(78)

Если I_n,k = ∅, то выполняются соотношения

cos b_k(μ) = 1 > n-2.

(79)

Рассмотрим случай, когда I_n,k = ∅. Из оценки (78) вытекают неравенства



_π



|μ|

|κ_k|



b_k(μ)

|μ - κ_k(n)| ≤

⁽⁷⁸⁾≤¹

+1<

(80)

⁼

^2^-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

485

Если |μ - κ_k(n)| ≥ 2/n, то вследствие (80) имеют место оценки



)



⁽π



_π



| cos b_k(μ)| =^ sin

- b_k(μ)

⁽⁸⁰⁾>¹

b_k(μ)

|μ - κ_k(n)| ≥

(81)



2-

⁼

n²

Если же |μ - κ_k(n)| < 2/n, то в силу леммы 8 любое натуральное l, не превосходящее l₀, не

содержится в множестве I_n.k. Отсюда следуют неравенства i_k ≥ min I_n,k > l₀.

Таким образом, для любого k > jn1(μ,l₀) выполняется одно из двух неравенств: либо ik >

> l₀, либо, поскольку n² = (m_k - 1)²/n² ≤ μ²(m_k - 1)², вследствие (79) и (81) справедлива

оценка | cos b_k(μ)| > μ-2(m_k - 1)-2. Следовательно, выполнены условия леммы 7, а значит,

система (2

) правильна.

Aμ

M_n,l

Пусть теперь μ ∈ M. В этом случае найдётся l ∈ N такое, что μ ∈

M_l. Тогда μ ∈

для всех n ∈ N.

Зафиксируем произвольно натуральное n ≥ max{3, 2|μ|}. В силу вытекающей из включе-

ния μ ∈Mn,l и того, что множество

M_n,l открыто, положительности числа ρ_n,l(μ) определена

величина r = r(μ, n, l) := [4/ρ_n,l(μ)].

Выполняются неравенства r ≤ 4/ρ_n,l(μ) < 1 + r, откуда следуют оценки

4/r ≥ ρ_n,l(μ) > 4/(1 + r).

(82)

Рассмотрим случай, когда имеет место неравенство

ρ_n,l(μ) < 2^-n + 9-n-n3 .

(83)

Из (82) и (83) вытекает, что 1/n

> 2/(1 + r), откуда следуют оценки

r > 2n - 1 ≥ n ≥ 3.

(84)

Поэтому в силу (82) и (84) справедливы неравенства

ρ_n,l(μ)

> 4/(3-1r + r) = 3/r.

(85)

Для любого целого p ≥ n, поскольку |μ|

≤ 2-1p

⁽⁷⁸⁾< max{|κjp-1 (p)|, |κjp (p)|}, найдётся

q_p = q_p(μ) ∈ J_p такое, что

|μ - κqp (p)| ≤ 9-p-p3 .

(86_p)

В силу (82), (85) и (86_r) выполняются неравенства

(82),(86r )

≥

≥ ρ_n,l(μ) + |μ - κqr(r)| ≥ ρ_n,l(κqr(r)) ≥

9r+r3

(85),(86r )

≥ ρ_n,l(μ) - |μ - κqr(r)|

≥

9r+r3

Следовательно, имеют место оценки (71_n,r), в силу которых, учитывая верное, согласно (84),

неравенство n < r, получаем включение l ∈ Ir,qr .

В случае же, когда неравенство (83) не выполняется, справедливы вследствие (86_n) нера-

венства

(86n)

ρ_n,l(κqn(n)) ≥ ρ_n,l(μ) - |μ - κqn(n)|

≥ 2/n,

из которых вытекает включение l ∈ In,qn . Таким образом, в любом случае для некоторого

p ∈ {n,r} имеет место включение l ∈ Ip,qp, влекущее за собой в силу (76) оценку

iqp ≤^l:= max{5,l}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

486

ЛИПНИЦКИЙ

Обозначим

Ξ_l := {k ∈ N : i_k ≤l, | cos bk(μ)| < e-2mk |μ|}.

Предположим, что существует k₀ := max Ξ_l. Зафиксируем произвольно

n₀ ≥ max{k₀,2l,2|μ|,2|μ|-1}.

Тогда для некоторого p ≥ n₀ существует q_p ∈ J_p, при котором выполняются оценка iqp ≤^l

и соотношение Ip,qp = ∅. Вследствие этого и неравенства (86_p) справедливы оценки

(86p )

≤ 9-p-p3 ≤ 3-2mqp^|μ| < e-2mqp^|μ|.

Поэтому q_p ∈ Ξ_l. При этом q_p > jp-1 ≥ jn0-1 ≥ jk₀ , откуда с учётом неравенства k0 ≤ jk₀ по-

лучаем оценку q_p > k₀. Последнее противоречит равенству k₀ := max Ξ_l, а значит, множество

Ξ_l неограничено.

Учитывая верные для любого целого p > jn0-1 неравенства

m_p = 1 + n(p)² > n(p) ≥ n₀ ≥ 2max{l,|μ|-1},

заключаем, что для данного l выполнены условия леммы 4, в которой вместо l следует взять

l, а в качестве последовательности (k_j )∞j=1 - множество Ξ_l ⋂ (jn0-1, +∞). Следовательно,

система (2

) неправильна. Лемма доказана.

Aμ

Обозначим через T множество всех t ∈ R₊ таких, что

A_μ(t) = μdiag [1,-1].

Для каждого t ∈ T определим функцию ω(·) равенством ω(t) ≡ 0. Для всех остальных

t ∈ [T_k,Tk+1), k ∈ N, полагаем q_t := 0, если t < τ_k,j, и q_t := 1 в противном случае, и пусть

ω(t) := (-1)qt b_k(0). Справедливо равенство

A₀(t) = ω(t)J, t ∈ R₊\T .

(87)

Определим для каждого k ∈ N число ζ_k, полагая ζ_k = 0, если In(k),k = ∅, и ζ_k := 1/n(k) в

противном случае. При любом t ∈ R₊\T выполняются соотношения

A_μ(t) = (-1)qtζ_kμJ

A₀(t)

⁽⁸⁷⁾=((-1)qt ζ_kμ + ω(t))J,

(88_μ)

влекущие за собой равенства

(88₁)

A₁(t) + (1 - μ)ω(t)J

= A˜_μ(t), t ∈ R₊\T .

(89)

Зададим матрицу C(t), t ≥ 0, следующим образом:

(

)

∫

C(t) := U-1(τ)

A₁(t)U(τ) -

U (τ)

t ≥ 0, τ = τ(t) := ω(s)ds.

(90)

Сделав в семействе (1μ) с матрицей C(·), задаваемой равенством (90), линейную замену

переменных y(t) := U(τ(t))x(t), учитывая соотношения

(

)

- sin τ cos τ

U (τ(t)) =

τ (t) =

− cos τ

- sin τdt

(

)(

)

cos τ sin τ

ω(t) = ω(t)JU(τ(t))

(91)

−1

- sin τ cos τ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВ НЕПРАВИЛЬНОСТИ

487

и используя равенство (89), придём, как легко убедиться, к семейству (2

Aμ

(

)

(

)

= μU(τ(t))C(t)x +

U (τ(t)) x

⁽⁹⁰⁾= μ

A₁(t)U(τ(t)) -

U (τ(t)) x +

(

)

U (τ(t)) x

⁽⁹¹⁾= μA1(t)U(τ(t))x + (1 - μ)ω(t)JU(τ(t))x(89)≡A˜μ(t)y, y ∈ R2, t ≥ 0.

Основной результат настоящей работы составляет следующая

Теорема. Для любого G_δσ -множества M ⊂ R,

0 ∈ M, cистема (1_μ) с матрицей C(·),

заданной равенством (90), неправильна по Ляпунову при всех μ ∈ M и правильна при всех

остальных μ ∈ R.

Доказательство. Из леммы 9 следует, что cистема (2

) неправильна по Ляпунову при

Aμ

всех μ ∈ M и правильна при всех остальных μ ∈ R.

Отсюда, поскольку в силу асимптотической эквивалентности систем (1_μ) и (2

) они обе

Aμ

одновременно либо правильны, либо неправильны, и вытекает утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Изобов Н.А., Макаров Е.К. О неправильных по Ляпунову линейных системах с параметром при

производной // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 1870-1880.

2. Ляпунов А.М. Собр.соч.: в 6-ти т. Т. 2. М.-Л., 1956.

3. Изобов Н.А. Исследования в Белоруссии по теории характеристических показателей Ляпунова и её

приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 12. С. 2034-2055.

4. Макаров Е.К. О мере множества неправильности линейной системы с параметром при производной

// Докл. АН БССР. 1989. Т. 33. № 4. С. 302-305.

5. Липницкий А.В. О мере множеств неправильности линейных систем // Дифференц. уравнения.

1998. Т. 34. № 12. С. 211-215.

6. Барабанов Е.А. О множествах неправильности семейств линейных дифференциальных систем

// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1067-1084.

7. Липницкий А.В. Замкнутые множества неправильности линейных дифференциальных систем с

параметром-множителем при производной // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 2. С. 189-194.

8. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

9. Ланкастер П. Теория матриц М., 1973.

10. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, 2006.

11. Макаров Е.К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференц.

уравнения. 1989. Т. 25. № 2. С. 209-212.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 17.07.2020 г.

г. Минск

После доработки 17.07.2020 г.

Принята к публикации 11.12.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021