ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.488-495
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.6
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ
СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
© 2021 г. С. М. Пономарёв
Получены некоторые теоремы о единственности решения задачи Геллерстедта для урав-
нения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром λ.
DOI: 10.31857/S037406412104004X
Рассмотрим уравнение
uxx + (sgn y)uyy + λu = 0,
(1)
в котором λ - комплексный параметр, в области G, ограниченной в полуплоскости y > 0 ле-
жащей в этой полуплоскости ляпуновской кривой Γ c концами в точках A1(-l1, 0) и A2(l2, 0),
где l1 и l2 - заданные положительные числа, и при y ≤ 0 отрезками A1C1, C1O, OC2, C2A2
характеристик соответственно x + y = -l1, x - y = 0, x + y = 0, x - y = l2 уравнения (1),
где координаты точек C1(-l1/2, -l1/2), O(0, 0) и C2(l2/2, -l2/2).
Через G0 обозначим область G
⋂ {y > 0} и в полуплоскости y < 0 через G1 - треуголь-
ную область A1C1O, а через G2 - треугольную область OC2A2.
В области G для уравнения (1) рассмотрим задачу Геллерстедта с краевыми условиями
на внутренних характеристиках, которую обозначим G1λ.
Задача G1λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям:
u(x, y) ∈ C(G)
⋂C1(G)⋂ C2(G0 ⋃G1 ⋃ G2);
(2)
uxx + (sgn y)uyy + λu = 0, (x,y) ∈ G0
⋃G1⋃G2;
(3)
частные производные ux и uy непрерывны в замкнутой области G0 за исключением точек
A1, O, A2 и для любого ε > 0 градиент функции u(x,y) в точках A1, O, A2 может иметь
особенность:
C
|∇u(x, y)| ≤
,
C = const > 0;
(4)
[((x + l1)2 + y2)((x - l2)2 + y2)]1/4-ε(x2 + y2)1/2-ε
u(x, y)|Γ = u(x(s), y(s)) = ϕ(s),
0≤s≤l,
(5)
где x = x(s), y = y(s) - параметрические уравнения кривой Γ, s - длина её дуги, отсчи-
тываемой от точки A2(l2, 0), l - длина кривой Γ, а ϕ(s) - заданная достаточно гладкая
функция;
u(x, y)|C1 O = u(x, x) = ψ1(x),
-l1/2 ≤ x ≤ 0;
(6)
u(x, y)|OC2 = u(x, -x) = ψ2(x),
0 ≤ x ≤ l2/2,
(7)
где ψ1(x), ψ2(x) - заданные достаточно гладкие функции и ψ1(0) = ψ2(0).
В дальнейшем считаем, что λ - вещественный параметр.
Обозначим через G∗0 область в полуплоскости y < 0, симметричную области G0 относи-
тельно оси y = 0.
488
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
489
Пусть λ0 - наименьшее положительное собственное значение спектральной задачи
Δv + λv = 0, (x,y) ∈ Ω = G0
⋃G∗0⋃A1A2,
v|∂Ω = 0,
где ∂Ω - граница области Ω.
Теорема 1. Если существует решение задачи G1λ (2)-(7), то оно единственно при всех
λ<λ0.
Доказательство. Допуская существование двух различных решений u1(x, y) и u2(x, y)
задачи G1λ, получаем, что функция u = u1 - u2 является решением однородной задачи G1λ и
удовлетворяет однородной задаче [1]
uxx + uyy + λu = 0 в G0,
(8)
u|Γ = 0,
(9)
∫0
√
J1(
λ(t - x))
(ux + uy)|y=0 = λ
√
τ (t) dt,
-l1 < x < 0,
(10)
λ(t - x)
x
∫x
√
J1(
λ(x - t))
(ux - uy)|y=0 = -λ
√
τ (t) dt,
0 < x < l2, u(0,0) = 0,
(11)
λ(x - t)
0
√
где τ(x) = u(x, 0), J1(z) - функция Бесселя первого рода первого порядка,
λ > 0 при
λ > 0.
Поскольку Γ - ляпуновская кривая, то, применяя формулу Грина в области G0 и учитывая
неравенство (4) и условия (8), (9), получаем
0
l2
∫
∫
∫
∂u
∂u
(u2x + u2y - λu2) dx dy = -
u
dx -
u
dx,
(12)
∂y
∂y
y=0
y=0
G0
-l1
0
а учитывая условия (10), (11) и равенства τ(-l1) = τ(0) = τ(l2) = 0, будем иметь
∫
∫
0
∫
0
√
J1(
λ(t - x))
(u2x + u2y - λu2) dx dy = -λ τ(x)
√
τ (t) dt dx -
λ(t - x)
G0
-l1
x
∫l2
∫
x
√
J1(
λ(x - t))
− λ τ(x)
√
τ (t) dt dx.
(13)
λ(x - t)
0
0
Если λ = 0, то u(x, y) ≡ 0 в G0, а значит, и во всей области G.
Если λ > 0, то, учитывая, что J1(-z) = -J1(z) для всех z ∈ C, и меняя порядок
интегрирования в интегралах из правой части неравенства (13), получаем
∫
∫
0
∫
0
√
λ
J1(
λ(x - t))
(u2x + u2y - λu2) dx dy = -
τ (x)
√
τ (t) dt dx -
2
λ(x - t)
G0
-l1
-l1
l2
l2
√
∫
∫
λ
J1(
λ(x - t))
−
τ (x)
√
τ (t) dt dx ≡ (-λ)(M1 + M2).
(14)
2
λ(x - t)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
490
ПОНОМАРЁВ
Заменив в равенстве (14) функцию Бесселя её интегральным преобразованием [2, с. 92-93]
∫1
√
J1(z)
2
=
1 - θ2 cos(zθ)dθ,
z
π
0
будем иметь
l2
l2
1
∫
∫
∫
√
√
1
M2 =
τ (x)
1 - θ2 cos(
λ(x - t)θ) dθ τ(t) dt dx =
π
0
0
0
∫
1
[(∫l2
)2
(∫l2
)2]
√
√
√
1
=
1-θ2
τ (x) cos (
λθx) dx
+ τ(x)sin(
λθx) dx dθ ≥ 0,
(15)
π
0
0
0
∫
0
∫
0
∫
1
√
√
1
M1 =
τ (x)
1 - θ2 cos(
λ(x - t)θ) dθ τ(t) dt dx ≥ 0
(16)
π
−l1
-l1
0
для всех λ > 0.
Продолжим функцию u(x, y) чётным образом на область G∗0. Тогда получим функцию
◦
w(x, y) ∈
W12(Ω), т.е. функцию w(x,y), равную нулю на всей границе области Ω. Известно,
◦
что для любой функции w(x, y) ∈
W12(Ω) справедливо неравенство Фридрихса
∫
∫
1
w2 dxdy ≤
(w2x + w2y) dx dy,
λ0
Ω
Ω
из которого следует, что
∫
∫
1
u2 dxdy ≤
(u2x + u2y) dx dy.
(17)
λ0
G0
G0
Отметим, что множитель 1/λ0 в правой части неравенства Фридрихса нельзя заменить мень-
шим числом. В некоторых работах вместо 1/λ0 часто пишут, что найдётся такая постоянная
c(Ω) > 0, при которой
∫
∫
w2 dxdy ≤ c(Ω)
|∇w|2 dx dy.
Ω
Ω
Например, из оценки [3, с. 71, (2.12)] вытекает, что
3
∥w∥2,Ω ≤
(mes Ω)1/2∥∇w∥2,Ω,
2
где mes Ω - мера Лебега области Ω. Отсюда имеем
∫
∫
9mes G0
u2 dxdy ≤
(u2x + u2y) dx dy.
(18)
2
G0
G0
Теперь из равенства (14), воспользовавшись неравенствами (15)-(17), получим, что
∫
(λ0 - λ) u2 dx dy ≤ 0,
G0
и отсюда, если 0 < λ < λ0, тогда u(x, y) ≡ 0 в G0, а значит, и во всей области G.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
491
Рассмотрим теперь случай λ < 0. Функциональные уравнения (10) и (11), дающие связь
между функциями τ(x) и ∂u(x, 0)/∂y, запишем в виде [1, c. 94]
∫0
√
τ (x) = J0(
λ(t - x))ν(t) dt,
-l1 ≤ x ≤ 0,
(19)
x
∫x
√
τ (x) = J0(
λ(x - t))ν(t) dt,
0≤x≤l2,
(20)
0
где ν(x) = ∂u(x, 0)/∂y, J0(z) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Положим μ = -λ > 0, тогда из равенства (12), учитывая представления (19) и (20),
получаем
∫
∫
0
∫
0
(u2x + u2y + μu2) dx dy + ν(x) I0(√μ(t - x))ν(t)dtdx +
G0
-l1
x
∫l2
∫
x
+ ν(x) I0(√μ(x - t))ν(t)dtdx = 0,
(21)
0
0
где I0(z) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Рассмотрим задачу нахождения экстремумов (минимумов или максимумов) функционалов
∫0
∫
0
∫
0
V1(ν) = ν(x) I0(√μ(t - x))ν(t)dtdx = Φ1(x,ν)dx,
(22)
−l1
x
-l1
∫l2
∫
x
∫
l2
V2(ν) = ν(x) I0(√μ(x - t))ν(t)dtdx = Φ2(x,ν)dx
(23)
0
0
0
в формуле (21).
Рассмотрим функционал (23). Для него необходимое условие экстремума (уравнение Эй-
лера) имеет вид
∫
x
∫
x
I0(√μ(x - t))ν(t)dt + ν(x) I0(√μ(x - t))dt = 0.
(24)
0
0
Очевидно, что функция ν(x) ≡ 0 является решением этого однородного интегрального
уравнения Вольтерры третьего рода. Докажем, что уравнение (24) не имеет других решений
в классе функций, удовлетворяющих условиям (2), (4), и, следовательно, экстремум функци-
онала (23) может быть равен лишь нулю.
Положим
∫x
z(x) = ν(t) dt
(25)
0
(в частности, z(0) = 0) и запишем уравнение (24) в виде
x
∫x
∫
z′(x) I0(√μ(x - t)) dt + z(x) +√μ I′0(√μ(x - t))z(t) dt = 0.
(26)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
492
ПОНОМАРЁВ
Учитывая, что
√μx
√μx
∫
[
]
(
∫
)
1
1
(√μx)2
1
1+
+...
=
2I1(√μx) - I2(s)ds
= P(x),
√μxI0(s)ds=
3
2
√μx
0
0
будем иметь
[∫x
]-1
[
∫
x
]
1
A(x)
1
I0(√μ(x - t))dt
=
=
=
A(0) + A(1)(0)x + (x - t)A(2)(t) dt ,
xP(x)
x
x
0
0
∫x
где A(0) = 1, A(1)(0) = 0. Положим B(x) =
(x - t)A(2)(t) dt, тогда в силу уравнения (26)
0
получим
1
z′(x) +
z(x) = F (x),
(27)
x
где
x
∫
√μ[1 + B(x)]
F (x) = -
I1(√μ(x - t))z(t)dt -B(x)
z(x).
(28)
x
x
0
Решая для уравнения (27) начальную задачу с условием z(0) = 0, находим, что
x
∫
1
z(x) =
tF(t)dt.
(29)
x
0
Заменяя в определении (28) функцию z(x) её представлением (29), получаем
∫
x
∫
t
)
∫
x
√μ[1 + B(x)]
(1
B(x)
F (x) = -
I1(√μ(x - t))
sF(s)ds dt -
sF(s)ds.
(30)
x
t
x2
0
0
0
Положим y(x) = xF (x), тогда из (30) вытекает следующее интегральное уравнение для иско-
мой функции y(x):
∫x
[
(∫x
√
)
]
I1(
μ(x - t))
B(x)
y(x) = -
√μ(1 + B(x))
dt
+
y(s) ds.
(31)
t
x
0
s
Учитывая равенство [5, c. 539]
1
∫
(ln ε-1)2 dε = 2,
0
нетрудно убедиться в том, что
∫
l2
(∫x
)
|K(x, s)|2 ds dx < ∞,
0
0
где K(x, s) - ядро интегрального уравнения (31). Следовательно, функция y(x) ≡ 0 является
единственным решением однородного интегрального уравнения Вольтерры второго рода (31).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
493
Отсюда, учитывая равенства (29) и (25), заключаем, что ν(x) ≡ 0 - единственное решение
уравнения (24) в классе функций, удовлетворяющих условиям (2), (4).
Для того чтобы установить, сообщает ли экстремаль ν ≡ 0 функционалу (23) минимальное
или максимальное значение, рассмотрим функцию V2(ν + αη) вещественной переменной α
(где функция η(x) принадлежит классу пробных функций) и разложим её в ряд Тейлора
[
]
[
]
2
d
1
d
V2(ν + αη) = V2(ν) +
V2(ν + αη)
α+
V2(ν + αη)
α2 + ... =
dα
2
dα2
α=0
α=0
∫l2
∫
l2
∂Φ2
α2
∂2Φ2
= V2(ν) + α
η dx +
η2 dx =
∂ν
2
∂ν2
0
0
∫
l2
∫
x
= V2(ν) + δV2(ν,η) + α2
I0(√μ(x - t)) dt η2 dx,
(32)
0
0
где δV2(ν, η) - первая вариация функционала (23).
Подставив в формулу (32) экстремаль ν ≡ 0, нетрудно убедиться, что при условии μ > 0
экстремаль сообщает функционалу (23) минимум (равный нулю).
Рассмотрим теперь функционал (22). Для него необходимое условие экстремума (уравнение
Эйлера) имеет вид
∫
0
∫
0
I0(√μ(t - x))ν(t)dt + ν(x) I0(√μ(t - x))dt = 0.
x
x
Записав вторую вариацию функционала (22), нетрудно убедиться, что единственная экс-
тремаль ν ≡ 0 функционала (22) сообщает этому функционалу при условии μ > 0 минимум,
равный нулю. Таким образом, в силу равенства (21), учитывая, что все слагаемые в левой
части не могут быть отрицательными, получаем, что если μ = -λ > 0, то u(x, y) ≡ 0 в G0,
а значит, и во всей области G. Теорема доказана.
Заметим, что если Γ - единичная полуокружность x2 + y2 = 1, y ≥ 0, то значение λ0
легко находится (методом разделения переменных). Для сравнения имеем
2
4
=
= 0.14; λ0 = 5.78; λ11 = π2 = 9.86,
9mes G0
9π
где λ11 - первое собственное значение спектральной задачи G1λ [5].
Заметим, что не во всех случаях можно найти точные значения λ0, поэтому априорная
оценка типа (18) может быть использована при доказательстве теоремы 1.
Рассмотрим уравнение
(sgn y)uxx + uyy + λu = 0,
(33)
в котором λ - вещественный параметр, в области G (характеристики уравнений (1) и (33)
совпадают).
В области G для уравнения (33) рассмотрим задачу Геллерстедта с краевыми условиями
на внутренних характеристиках, которую обозначим G2λ.
Задача G2λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям
u(x, y) ∈ C(G)
⋂C1(G)⋂ C2(G0 ⋃ G1 ⋃ G2,
(34)
(sgn y)uxx + uyy + λu = 0, (x, y) ∈ G0
⋃G1⋃G2
(35)
и условиям (4)-(7).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
494
ПОНОМАРЁВ
Теорема 2. Если существует решение задачи G2λ (34), (35), (4)-(7), то оно единственно
при всех λ < λ0.
Доказательство. Допуская существование двух различных решений u1(x, y) и u2(x, y)
задачи G2λ, получаем, что функция u = u1 - u2 является решением однородной задачи G2λ,
а значит, если положить α = -λ, удовлетворяет следующей однородной задаче [1]:
uxx + uyy - αu = 0 в G0,
(36)
u|Γ = 0,
(37)
∫0
J1(√α(t - x))
(ux + uy)|y=0 = α
-l1 < x < 0,
(38)
√α(t - x)τ(t)dt,
x
∫x
J1(√α(x - t))
(ux - uy)|y=0 = -α
0 < x < l2, u(0,0) = 0.
(39)
√α(x - t)τ(t)dt,
0
Применяя формулу Грина в области G0 и учитывая условия (36) и (37), получаем
∫
∫
0
∫
l2
∂u
∂u
(u2x + u2y + αu2) dx dy = -
u
dx -
u
dx.
(40)
∂y
∂y
y=0
y=0
G0
-l1
0
Отсюда, используя условия (38), (39) и равенства τ(-l1) = τ(0) = τ(l2) = 0, будем иметь
∫
∫
0
∫
0
J1(√α(t - x))
(u2x + u2y + αu2) dx dy = -α τ(x)
√α(t - x)τ(t)dtdx-
G0
-l1
x
∫l2
∫
x
J1(√α(x - t))
− α τ(x)
√α(x - t)τ(t)dtdx.
0
0
Если α = 0, то u(x, y) ≡ 0 в G0, а значит, и во всей области G (λ = 0).
Если α > 0, то, учитывая равенство (14) и неравенства (15), (16), получаем
∫
(u2x + u2y + αu2) dx dy ≤ 0,
G0
и, следовательно, u(x, y) ≡ 0 в G0, а значит, и во всей области G (λ < 0).
Если α < 0, то функциональные уравнения (38) и (39), дающие связь между функциями
τ (x) и ν(x), запишем в виде [1, с. 94]
∫0
τ (x) = J0(√α(t - x))ν(t)dt, -l1 ≤ x ≤ 0,
(41)
x
∫x
τ (x) = J0(√α(x - t))ν(t) dt, 0≤x≤l2.
(42)
0
Из равенства (40), учитывая представления (41) и (42), следует, что (λ = -α > 0)
∫
∫
0
∫
0
√
(u2x + u2y - λu2) dx dy + ν(x) I0(
λ(t - x))ν(t) dt dx +
G0
-l1
x
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
495
∫l2
∫
x
√
+ ν(x) I0(
λ(x - t))ν(t) dt dx = 0.
0
0
Отсюда, учитывая обозначения (22) и (23), имеем
∫
(u2x + u2y - λu2) dx dy + V1(ν) + V2(ν) = 0,
G0
и, воспользовавшись неравенством (17) и тем, что функционалы V1(ν) и V2(ν) не могут быть
отрицательными, получаем
∫
(λ0 - λ) u2 dx dy ≤ 0.
G0
Поэтому, если 0 < λ < λ0, то u ≡ 0 в G0, а значит, и во всей области G. Теорема доказана.
Отметим, что теоремы 1 и 2 доказаны без каких-либо ограничений геометрического харак-
тера на кривую Γ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пономарёв С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа
Лаврентьева-Бицадзе: дис
д-ра физ.-мат. наук. М., 1981.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Т. II. М., 1974.
3. Ладыженская О.А., Уравльцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.
М., 1973.
4. Градштейн Г.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.
5. Пономарёв С.М. К спектральной задаче Геллерстедта-Франкля для уравнения смешанного типа
Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1699-1702.
г. Москва
Поступила в редакцию 23.11.2020 г.
После доработки 23.11.2020 г.
Принята к публикации 02.03.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
