ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.496-506
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ПОЛОСЕ С НЕГЛАДКОЙ КРИВОЙ РАЗДЕЛА СРЕД
© 2021 г. С. И. Сахаров
Доказано существование классического решения контактной задачи для параболических
по Петровскому систем второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами в полосе,
разделённой негладкой кривой на две области.
DOI: 10.31857/S0374064121040051
Важное место в теории краевых задач для параболических систем занимают задачи с раз-
рывными коэффициентами (см. [1, с. 157]). Однозначная классическая разрешимость в классах
Гёльдера C2+α,1+α/2 контактной задачи для параболических систем установлена в работах [2-
4]. Особый интерес такая задача представляет в случае негладкой кривой раздела сред (см.,
например, [5, с. 183-188; 6, 7]). В [8] исследованы существование и единственность решения в
классе Дини контактной задачи для параболического уравнения с коэффициентами, разрыв-
ными на негладкой кривой раздела сред, принадлежащей классу Дини-Гёльдера. В работах [9,
10] доказана однозначная разрешимость в классах C1+α,(1+α)/2 контактной задачи для много-
мерного по пространственной переменной x параболического уравнения с коэффициентами,
разрывными на негладкой поверхности раздела сред.
В настоящей работе установлена классическая разрешимость в классе C1,0 контактной
задачи для одномерных (по x) параболических систем второго порядка с негладкой кривой
раздела сред, принадлежащей классу Дини-Гёльдера, при более слабых, чем в [8], предпо-
ложениях о гладкости коэффициентов и минимальных предположениях о гладкости правых
частей в условиях сопряжения. В частности, от правой части в условии сопряжения перво-
го рода требуется только существование непрерывной дробной производной порядка 1/2, а
от правой части в условии сопряжения второго рода - лишь непрерывность. Исследование
проводится методом интегральных уравнений, разработанным в [11-13].
Статья состоит из трёх пунктов. В п. 1 вводятся используемые в работе обозначения и
функциональные пространства, ставится контактная задача и формулируется основная тео-
рема. В п. 2 устанавливается однозначная разрешимость системы интегральных уравнений, к
которой редуцируется исходная задача. В п. 3 доказывается основная теорема.
1. Постановка задачи. Пусть фиксировано положительное число T. Через C[0,T] обо-
значим линейное пространство непрерывных (вектор-)функций ψ : [0, T ] → Rm, m ∈ N,
с нормой
∥ψ; [0, T ]∥0
= max
|ψ(t)|, а через C[0, T ]
- его подпространство, состоящее из
t∈[0,T ]
0
(вектор-)функций, обращающихся в нуле в нуль. Здесь и далее для числового вектора a
(числовой матрицы A) под нормой |a| (соответственно, нормой |A|) понимаем максимум
из модулей его компонент (её элементов).
Пусть
t
∫
1
d
∂1/2ψ(t) ≡ (∂1/2tψ)(t) :=
√π dt(t-τ)-1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T],
0
- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [11, 12], введём следующие
линейные нормированные пространства: C1/2[0, T ] := {ψ ∈ C[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ C[0, T ]} с нор-
мой ∥ψ; [0, T ]∥1/2 = max
|ψ(t)| + max
|∂1/2ψ(t)| и C1/2[0, T ] := {ψ ∈ C1/2[0, T ] : ψ(0) = 0,
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
0
∂1/2ψ(0) = 0}.
496
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
497
Пусть D = R × (0, T ), а Ω - некоторая область в D. Рассмотрим линейное пространство
C0(Ω) непрерывных и ограниченных (вектор-)функций u : Ω → Rm с нормой ∥u;Ω∥0 =
= sup
|u(x, t)| и его подпространство C(Ω) := {u ∈ C0(Ω) : u(x, 0) = 0}, а также линейное
0
(x,t)∈Ω
∑1
пространство C1,0(Ω) := {u ∈ C(Ω) : ∂xu ∈ C(Ω)} с нормой ∥u; Ω∥1,0 =
∥∂lxu; Ω∥0.
l=0
0
0
0
Под значениями функций и их производных на границе области Ω понимаем их предель-
ные значения “изнутри” Ω.
Функция ν(z), z ≥ 0, называется почти убывающей, если при некоторой положительной
постоянной C выполняется неравенство ν(z1) ≤ Cν(z2) для всех z1 ≥ z2 ≥ 0.
Следуя [14, c. 147], модулем непрерывности называем непрерывную, неубывающую, полу-
аддитивную функцию ω : [0, +∞) → [0, +∞) такую, что ω(0) = 0. Заметим, что
ω(|x|) exp{-|x|2/t} ≤ Cω(t1/2) exp{-c|x|2/t}
для некоторых положительных постоянных C, c и всех x ∈ R и t > 0. Говорят, что модуль
непрерывности ω удовлетворяет условию Дини, если выполняется соотношение
∫z
ω(z) := ω(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.
(1)
0
Если модуль непрерывности ω удовлетворяет условию Дини (1), то функция ω - также
модуль непрерывности, причём ω(z) ≤ 2ω(z), z ≥ 0. Кроме того, функция ω∗(z) = ω(z1/2)
также является модулем непрерывности, при этом, если ω удовлетворяет условию (1), то ω∗
также удовлетворяет условию Дини (1) и при z ≥ 0 имеет место равенство ω∗(z) = 2ω(z1/2).
Пусть ω - некоторый модуль непрерывности. Через H1/2+ω[0, T ] обозначим линейное
0
пространство (вектор-)функций ψ ∈ C[0, T ], для которых
0
}
{ |ψ(t + Δt) - ψ(t)|
∥ψ; [0, T ]∥1/2+ω = ∥ψ; [0, T ]∥0 +
sup
< ∞.
t,t+Δt∈(0,T )
|Δt|1/2ω(|Δt|1/2)
Введём пространство Hω[0, T ] (вектор-)функций ψ ∈ C[0, T ], для которых
0
0
}
{ |ψ(t + Δt) - ψ(t)|
∥ψ; [0, T ]∥ω = ∥ψ; [0, T ]∥0 +
sup
< ∞.
t,t+Δt∈(0,T )
ω(|Δt|1/2)
Замечание 1.1. Если ψ ∈ H1/2+ω[0, T ], где ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий
0
условию (1), то ψ ∈ C1/2[0, T ] (см. [15]). Обратное, вообще говоря, неверно (см. [12]).
0
В полосе D рассмотрим равномерно параболические по Петровскому (см. [16]) операторы
∑
L(s)u = ∂tu -
A(s)k(x,t)∂kxu, u = (u1,... ,um)т, s = 1,2,
k=0
где A(s)k = ∥a(s)ijk∥mi,j=1 - m × m-матрицы, элементы которых - вещественные функции, опреде-
лённые в D и удовлетворяющие следующим условиям:
(a) собственные числа μrs) матриц A(s)2 подчиняются неравенствам Re μrs)(x, t) ≥ δ для
некоторого δ > 0 и всех (x, t) ∈ D, r = 1, m, s = 1, 2;
(b) a(s)ijk ∈ C0(D) и |Δx,ta(s)ijk(x, t)| ≤ ω0(|Δx| + |Δt|1/2), k = 0, 1, 2, i, j = 1, m, s = 1, 2, где
∫z
∫y
ω0 - модуль непрерывности такой, чтоω0(z) =
y-1 dy
ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0, и для
0
0
некоторого ε0 ∈ (0, 1) функция ω0(z)z-ε0 , z > 0, почти убывает.
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
498
САХАРОВ
Полоса D разделяется на области Ω(1) = {(x, t) ∈ D : x < g(t)} и Ω(2) = {(x, t) ∈
∈ D : x > g(t)} негладкой, вообще говоря, кривой Σ = {(x,t) ∈ D : x = g(t)}, где функция g
удовлетворяет условию
|Δtg(t)| ≤ |Δt|1/2ω1(|Δt|1/2), t, t + Δt ∈ [0, T ],
(2)
ω1 - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию (1), и такой, что при некотором ε1 ∈
∈ (0, 1) функция ω1(z)z-ε1 , z > 0, почти убывает.
Ставится задача нахождения (вектор-)функций u(s) ∈ C1,0(Ω(s)), s = 1, 2, являющихся
0
регулярными решениями уравнений
L(s)u(s)(x,t) = 0, (x,t) ∈ Ω(s), s = 1,2,
(3)
удовлетворяющими начальным условиям
u(1)(x,0) = 0, x ≤ g(0); u(2)(x,0) = 0, x ≥ g(0),
(4)
и на границе Σ условиям сопряжения
∂kx(u(1) - u(2))(g(t),t) = ψk+1(t), k = 0,1, t ∈ [0,T],
(5)
где ψ1 ∈ C1/2[0, T ], ψ2 ∈ C[0, T ] - заданные функции.
0
0
Известно (см. [17]), что при выполнении условий (а) и (b) у систем L(s)u(s) = 0, s = 1, 2,
существуют фундаментальные матрицы решений
Γ(s)(x,t;ξ,τ) = Z(x - ξ,t - τ;A(s)2(ξ,τ)) + W(s)(x,t;ξ,τ), (x,t;ξ,τ) ∈ D × D, t > τ,
(6)
где
∫
1
Z(x, t; A(s)2(ξ, τ)) =
eiσx exp{-σ2A(s)2(ξ,τ)t}dσ, t > 0,
0 ≤ τ ≤ T, x,ξ ∈ R,
(7)
2π
−∞
∫t
∫
W(s)(x,t;ξ,τ) = dη
Z(x - y, t - η; A(s)2(y, η))μ(s)(y, η; ξ, τ) dy,
(8)
τ
-∞
(вектор-)плотности μ(s) в представлении (8) находятся из условия, что матрицы Γ(s)(x, t; ξ, τ)
при любых фиксированных (ξ, τ), ξ ∈ R,
0 ≤ τ < T, удовлетворяют по переменным (x,t)
уравнениям L(s)u(s) = 0 в слое R × (τ, T ).
Имеют место следующие оценки (см. [17]):
|∂kt∂lxΓ(s)(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
|∂kt∂lxW(s)(x, t; ξ, τ)| ≤ C ω0((t - τ)1/2)(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
(9)
2k + l ≤ 2, x, ξ ∈ R, 0≤τ <t≤T,
|∂kt∂lxZ(x, t; A(s)2(ξ, τ))| ≤ C(k, l)t-(2k+l+1)/2 exp{-x2/t},
(10)
|Δξ,τ ∂kt∂lxZ(x, t; A(s)2(ξ, τ))| ≤ C(k, l)ω0(|Δξ| + |Δτ|1/2)t-(2k+l+1)/2 exp{-cx2/t},
k,l ≥ 0, x,ξ,ξ + Δξ ∈ R, τ,τ + Δτ ∈ [0,T], t > 0,
|Δt∂lxW(s)(x, t; ξ, τ)| ≤ C(Δt)1-l/2 ω0((t - τ)1/2)(t - τ)-3/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
(11)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
499
l = 0,1, x,ξ ∈ R, 0 ≤ τ < t < t+ Δt ≤ T, Δt ≤ t - τ. Здесь и далее через C и c обозначаем
положительные постоянные, зависящие от величин δ, T, коэффициентов операторов L(s) и
кривой Σ.
Основным результатом работы является следующая
Теорема. Пусть коэффициенты операторов L(s), s = 1, 2, удовлетворяют условиям (а)
и (b), а для функции g, задающей кривую Σ, выполняется условие (2). Тогда для любых
(вектор-)функций ψ1 ∈ C1/2[0, T ] и ψ2 ∈ C[0, T ] решением задачи (3)-(5) являются потен-
0
0
циалы простого слоя
∫t
u(s)(x,t) = Γ(s)(x,t;g(τ),τ)ϕ(s)(τ)dτ, (x,t) ∈ Ω(s), s = 1,2,
(12)
0
где (ϕ(1), ϕ(2))т ∈ C[0, T ] × C[0, T ] - единственное в C[0, T ] × C[0, T ] решение системы инте-
0
0
гральных уравнений
∫
t
∑
(-1)(s+1) Γ(s)(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(s) (τ) dτ = ψ1(t),
(13)
s=1
0
∫
t
]
∑[
(2A(s)2)-1(g(t),t)ϕ(s)(t) + (-1)s+1
∂xΓ(s)(g(t),t;g(τ),τ)ϕ(s)(τ)dτ
= ψ2(t),
(14)
s=1
0
t ∈ [0,T], и справедливы оценки
∥u(s); Ω(s)∥1,0 ≤ C(∥ψ1; [0, T ]∥1/2 + ∥ψ2; [0, T ]∥0), s = 1, 2.
(15)
Замечание 1.2. Условия ψ1 ∈ C1/2[0, T ], ψ2 ∈ C[0, T ] теоремы являются минимальными
0
0
для того, чтобы функции u(s), s = 1, 2, являющиеся решением задачи (3)-(5), принадлежали
классам C1,0(Ω(s)), s = 1, 2.
0
В самом деле, пусть D+ = {(x, t) ∈ D : x > 0} и функция u ∈ C1,0(D+) является
0
регулярным решением уравнения ∂tu - ∂2xu = 0 в D+. Обозначим
ψ1(t) = u(0,t),
ψ2(t) =
= ∂xu(0,t), t ∈ [0,T]. Тогда
ψ2 ∈ C[0, T ]. Докажем, что
ψ1 ∈ C1/2[0,T]. Из представления
0
0
∫t
{
}
1
x2
u(x, t) = -2 Z(x, t - τ
ψ2(τ)dτ, где Z(x,t) =
√
exp
-
,
x ∈ R, t > 0,
2
πt
4t
0
и равенства (см. [12])
∂1/2tZ(x,t) = -∂xZ(x,t), x > 0, t > 0,
следует, что
∫
t
∫
τ
2
∂1/2tu(x,t) = -
ψ2(η)dη =
√π∂t (t-τ)-1/2 dτZ(x,τ-η
0
0
t
t
t
∫
∫
∫
2
=-
ψ2(τ)dτ (t - η)-1/2Z(x,η - τ)dη = -2
ψ2(τ)∂1/2tZ(x,t - τ)dτ =
√π∂t
0
τ
0
∫t
=2
ψ2(τ)∂xZ(x,t - τ)dτ = -∂xu(x,t), (x,t) ∈ D+.
(16)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
5∗
500
САХАРОВ
Из равномерной по t ∈ [0, T ] сходимости ∂xu(x, t)
ψ2(t) при x → +0 и из (16) следует, что
t
∫
1
∂t
ψ2(t)
√π(t-τ)-1/2u(x,τ)dτ→
0
при x → +0 равномерно по t ∈ [0, T ]. Отсюда в силу соотношения
∫
t
∫
t
lim
(t - τ)-1/2u(x, τ) dτ = (t - τ)-1/2
ψ1(τ)dτ, t ∈ [0,T],
x→+0
0
0
заключаем, что существует
t
∫
1
ψ1(τ)dτ, t ∈ [0,T],
√π∂t (t-τ)-1/2
0
и
ψ1 ∈ C1/2[0,T].
0
2. Система интегральных уравнений. Следуя методу из [11-13], докажем, что для
любых ψ1 ∈ C1/2[0, T ] и ψ2 ∈ C[0, T ] существует единственное решение ϕ(s) ∈ C[0, T ], s =
0
0
0
= 1, 2, системы (13), (14). Пусть A(s)(τ) = A(s)2(g(τ), τ), s = 1, 2. Используя представление
(6), положим
Γ(s)(g(t),t;g(τ),τ) = Z(0,t - τ;A(s)(τ)) + N(s)1(t,τ),
где
N(s)1(t,τ) = [Z(g(t) - g(τ),t - τ;A(s)(τ)) - Z(0,t - τ;A(s)(τ))] + W(s)(g(t),t;g(τ),τ).
Обозначим N(s)2(t, τ) = ∂xΓ(s)(g(t), t; g(τ), τ). Тогда система (13), (14) запишется в виде
{∫ t
∫
t
}
∑
(-1)s+1
Z(0, t - τ; A(s)(τ))ϕ(s)(τ) dτ + N(s)1(t, τ)ϕ(s)(τ) dτ
= ψ1(t),
(17)
s=1
0
0
∫
t
}
∑{1
(A(s))-1(t)ϕ(s)(t) + (-1)s+1 N(s)2(t, τ)ϕ(s)(τ) dτ
= ψ2(t), t ∈ [0,T].
(18)
2
s=1
0
Пусть
∫
1
M(s)(τ) =
(19)
√πexp{-y2A(s)(τ)}dy,s=1,2,
-∞
и
t
∫
1
I1/2ϕ(t) =
√π(t-τ)-1/2ϕ(τ)dτ,t∈[0,T].
0
В силу обозначения (7) имеем
1
Z(0, t - τ; A(s)(τ)) =
√
M(s)(τ), s = 1,2,
2
π(t - τ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
501
поэтому уравнение (17) может быть записано в виде
{
∫
t
}
∑
1
(-1)s+1
I1/2(M(s)ϕ(s))(t) +
N(s)1(t,τ)ϕ(s)(τ)dτ
= ψ1(t), t ∈ [0,T].
2
s=1
0
Обозначим
∫t
H(s)kϕ(s)(t) = N(s)k(t,τ)ϕ(s)(τ)dτ, s = 1,2, k = 1,2, t ∈ [0,T],
0
и запишем систему (17), (18) в операторном виде
}
∑
{1
(-1)s+1
I1/2(M(s)ϕ(s)) + H(s)1ϕ(s)
=ψ1,
(20)
2
s=1
∑
{(2A(s))-1ϕ(s) + (-1)s+1H(s)2ϕ(s)} = ψ2.
(21)
s=1
Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда операторы H(s)1, s = 1, 2, явля-
ются ограниченными операторами из C[0, T ] в H1/2+ω[0, T ], ω = ω0 + ω1.
0
Доказательство. Достаточно доказать оценки
|H(s)1ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0t1/2ω(t1/2),
(22)
|ΔtH(s)1ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0(Δt)1/2ω((Δt)1/2),
(23)
t,t + Δt ∈ [0,T], Δt > 0, s = 1,2,
∥ϕ∥0 = ∥ϕ; [0, T ]∥0.
Докажем неравенство (22). В силу условия (2) и оценки (10) имеем
|Z(g(t) - g(τ), t - τ; A(s)(τ)) - Z(0, t - τ; A(s)(τ))| ≤ C(t - τ)-1/2ω1((t - τ)1/2),
откуда, с учётом (9),
|N(s)1(t, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2ω((t - τ)1/2),
(24)
и, следовательно,
t
∫
|H(s)1ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0 (t - τ)-1/2ω((t - τ)1/2) dτ ≤ C∥ϕ∥0t1/2ω(t1/2), s = 1, 2.
0
Неравенство (23) в силу оценки (22) достаточно доказать в случае 0 < Δt < t. Положим
∫
∫
∑
ΔtH(s)k
ϕ(t) =
(-1)j+1
N(s)k(t + jΔt,τ)ϕ(τ)dτ +
[ΔtN(s)k(t, τ)]ϕ(τ) dτ ≡
j=0
t-Δt
0
≡ R(s)k,1(t) - R(s)k,0(t) + R(s)k,2(t), k = 1,2, s = 1,2.
(25)
Из неравенства (24) вытекает оценка для R(s)1,j(t) при j = 0, 1 и s = 1, 2:
∫
|R(s)1,j(t)| ≤ C∥ϕ∥0
(t + jΔt - τ)-1/2ω((t + jΔt - τ)1/2) dτ ≤ C∥ϕ∥0(Δt)1/2ω((Δt)1/2).
t-Δt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
502
САХАРОВ
Рассмотрим функцию R(s)1,2(t). Из представления (см. [18])
∂xZ(g(t) - g(τ),t - τ;A(s)(τ)) = -g(t)-g(τ)(A(s))-1(τ)Z(g(t) - g(τ), t - τ; A(s)(τ)),
(26)
2(t - τ)
теоремы о среднем и неравенств (2), (10) следует, что
|Δt[Z(g(t) - g(τ), t - τ; A(s)(τ)) - Z(0, t - τ; A(s)(τ))]| ≤
≤ Cω1((t - τ)1/2)[(Δt)1/2(t - τ)-1ω1((Δt)1/2) + Δt(t - τ)-3/2], Δt ≤ t - τ.
Отсюда и из оценки (11) вытекает неравенство
|ΔtN(s)1(t, τ)| ≤ C{(Δt)1/2ω1((Δt)1/2)(t - τ)-1ω1((t - τ)1/2) +
+ Δt(t - τ)-3/2ω((t - τ)1/2)}, Δt ≤ t - τ,
вследствие которого получаем
{
∫
|R(s)1,2(t)| ≤ C (Δt)1/2ω1((Δt)1/2)ω1(T1/2) + (Δt)1-ε0/2 ω0((Δt)1/2)
(t - τ)-(3-ε0)/2 dτ +
0
∫
}
+ (Δt)1-ε1/2ω1((Δt)1/2)
(t - τ)-(3-ε1)/2 dτ
∥ϕ∥0 ≤ C∥ϕ∥0(Δt)1/2ω((Δt)1/2), s = 1, 2.
0
Лемма 2.2. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда операторы H(s)2, s = 1, 2, явля-
ются ограниченными операторами из C[0, T ] в Hω[0, T ],
ω=ω0 +ω1.
0
Доказательство. Утверждение леммы следует из оценок
|H(s)2ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0 ω(t1/2),
(27)
|ΔtH(s)2ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0 ω((Δt)1/2),
(28)
t,t + Δt ∈ [0,T], s = 1,2, Δt > 0.
Докажем неравенство (27). В силу представления (6) имеем
N(s)2(t,τ) = ∂xZ(g(t) - g(τ),t - τ;A(s)(τ)) + ∂xW(s)(g(t),t;g(τ),τ), s = 1,2.
Из неравенств (2), (10) и представления (26) следует оценка
|∂xZ(g(t) - g(τ), t - τ; A(s)(τ))| ≤ Cω1((t - τ)1/2)(t - τ)-1,
которая вместе с неравенством (9) даёт оценку
|N(s)2(t, τ)| ≤ Cω((t - τ)1/2)(t - τ)-1, s = 1, 2,
(29)
и, следовательно,
t
∫
|H(s)2ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0 ω((t - τ)1/2)(t - τ)-1 dτ ≤ C∥ϕ∥0 ω(t1/2), s = 1, 2.
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
503
Неравенство (28) для s = 1, 2 доказываем с помощью представления (25). При этом в силу
оценки (27) можно считать, что 0 < Δt < t. Из (29) вытекает, что при s = 1, 2, j = 0, 1
справедлива оценка
∫
|R(s)2,j(t)| ≤ C∥ϕ∥0
ω((t + jΔt - τ)1/2)(t + jΔt - τ)-1 dτ ≤ C∥ϕ∥0 ω((Δt)1/2).
t-Δt
Рассмотрим R(s)2,2(t). Используя соотношения (2), (10) и (26), получаем
|Δt∂xZ(g(t)-g(τ), t-τ; A(s)(τ))| ≤ C[(Δt)1/2ω1((Δt)1/2)(t-τ)-3/2 +(Δt)ω1((t-τ)1/2)(t-τ)-2] ≤
≤ C(Δt)1/2ω1((Δt)1/2)(t - τ)-3/2,
0 < Δt < t - τ, s = 1,2.
Вместе с неравенством (11) это даёт оценку
{
∫
|R(s)2,2(t)| ≤ C∥ϕ∥0 (Δt)1/2ω1((Δt)1/2)
(t - τ)-3/2 dτ +
0
∫
}
+ (Δt)(1-ε0)/2 ω0((Δt)1/2)
(t - τ)-(3-ε0)/2 dτ
≤ C∥ϕ∥0ω((Δt)1/2), s = 1,2.
0
Приведём известные результаты для дальнейшего исследования полученной системы ин-
тегральных уравнений.
Лемма 2.3 [15]. Пусть ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (1).
Тогда ∂1/2 - ограниченный оператор из H1/2+ω[0, T ] в Hω[0, T ].
0
0
Следуя А.Н. Тихонову [19], назовём оператор K : C[0, T ] → C[0, T ] вольтерровым, если
для любого t ∈ [0, T ] из равенства ϕ1 = ϕ2 на [0, t] следует, что Kϕ1 = Kϕ2 на [0, t].
Лемма 2.4 [12]. Пусть K : C[0, T ] → Hω[0, T ] - линейный ограниченный вольтерров
0
оператор, где ω - модуль непрерывности. Тогда для любой (вектор-)функции ψ ∈ C[0,T]
уравнение ϕ + Kϕ = ψ имеет единственное решение ϕ ∈ C[0, T ] и справедлива оценка
∥ϕ; [0, T ]∥0 ≤ C∥ψ; [0, T ]∥0 с некоторой положительной постоянной C.
Основным результатом этого пункта работы является
Лемма 2.5. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любых (вектор-)функций ψ1 ∈
∈ C1/2[0, T ] и ψ2 ∈ C[0, T ] система (13), (14) имеет единственное решение (ϕ(1), ϕ(2)) ∈
0
0
∈C[0, T ] × C[0, T ] и для него справедливы оценки
0
0
∥ϕ(s); [0, T ]∥0 ≤ C(∥ψ1; [0, T ]∥1/2 + ∥ψ2; [0, T ]∥0), s = 1, 2.
(30)
Доказательство. Как показано выше, система (13), (14) может быть записана в виде сис-
темы (20), (21). Применяя к обеим частям векторного уравнения (20) оператор дробного диф-
ференцирования ∂1/2, получаем в силу лемм 2.1-2.3 и равенств ∂1/2I1/2ϕ = ϕ, I1/2∂1/2ψ = ψ,
справедливых для любых ϕ ∈ C[0, T ] и ψ ∈ C1/2[0, T ], следующую систему интегральных
уравнений Вольтерры второго рода, эквивалентную для ϕ(s) ∈ C[0, T ] системе (20), (21):
∑
[(-1)s+1M(s)ϕ(s) + K(s)1ϕ(s)] = 2∂1/2ψ1,
(31)
s=1
∑
[(A(s))-1ϕ(s) + K(s)2ϕ(s)] = 2ψ2,
(32)
s=1
где K(s)1 = (-1)s+12∂1/2H(s)1, K(s)2 = (-1)s+12H(s)2, s = 1, 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
504
САХАРОВ
Положим
(
)
(2)
M(1)
-M
A(t) =
(t), t ∈ [0, T ],
(A(1))-1
(A(2))-1
и докажем, что det A(t) = 0, t ∈ [0, T ]. В самом деле, пусть t0 ∈ [0, T ] фиксировано, A =
= A(t0), A(s) = A(s)(t0), M(s) = M(s)(t0), s = 1, 2, и
(
)
M(1)/√p -M(2)/
√p
Q(p) =
,
Re p > 0.
(A(1))-1
(A(2))-1
Достаточно проверить, что det Q(p) = 0, Re p > 0. Известны оценки (см. [20, с. 299])
| exp{-t(pE + A(s)σ2)}| ≤ C(1 + t1/4 + t1/4|σ|)8(m-1) exp{-ct(1 + σ2)},
(33)
t ≥ 0, σ ∈ R, Rep > 0, s = 1,2, где C и c - некоторые положительные постоянные, E -
единичная матрица. В [21, с. 354] доказано, что
det (pE + A(s)σ2) = 0, σ ∈ R, Re p > 0, s = 1, 2.
(34)
Вследствие обозначения (19) и соотношений (33), (34) с использованием теоремы Коши (см.
[21, с. 357]) получаем
∫
∫
∫
∫
1
1
1
2 exp{-t(pE + A(s)σ2)} dσ =
√pM(s) =
√πe-pt dtexp{-tA(s)σ2}dσ=
√πdt
0
-∞
0
0
∫
∫
1
=-
2(pE + A(s)σ2)-1∂t exp{-t(pE + A(s)σ2)} dt =
√πdσ
0
0
∫
∫
1
1
=
(35)
√π(pE+A(s)σ2)-1 dσ=
√π(pE+A(s)σ2)-1 dσ,
−∞
γ+
Rep > 0, s = 1,2, где γ+ - простой замкнутый контур, лежащий целиком в положитель-
ной полуплоскости и охватывающий корни уравнений det (pE + A(s)σ2), s = 1, 2, имеющие
положительные мнимые части.
Кроме того, известны равенства (см. [21, с. 357])
∫
1
σ(pE + A(s)σ2)-1 dσ = (A(s))-1, Re p > 0, s = 1, 2.
πi
γ+
Отсюда и из представления (35) следует, что
⎛
∫
∫
⎞
1
1
-
⎜
√π(pE+A(1)σ2)-1 dσ
√π(pE+A(2)σ2)-1 dσ⎟
⎜
⎟
⎜
γ+
γ+
⎟
Q(p) =
⎜
∫
∫
⎟, Rep > 0.
⎜
1
1
⎟
⎝
σ(pE + A(1)σ2)-1 dσ
σ(pE + A(2)σ2)-1 dσ
⎠
πi
πi
γ+
γ+
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
505
Условие det Q(p) = 0, Re p > 0, совпадает (см. [1, с. 694-700]) с условием однозначной раз-
решимости следующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений:
L(d/dx, p)v = 0, x > 0,
(B(d/dx)v)(x, p)|x=0 = 0,
|v(x, p)|
→ 0,
x→+∞
где
(
)
(
)
A(1)
0
E
-E
L(d/dx, p) = pE
Ad2/dx2,
A=
,
B(d/dx) =
,
Rep > 0,
0
A(2)
E d/dx E d/dx
и равносильным образом может быть сформулировано в виде (см. [1, c. 700]): строки матрицы
(
)
P(1)(σ)(pE + A(1)σ2)-1
-P(2)(σ)(pE + A(2)σ2)-1
Q(p) =
,
iσP(1)(σ)(pE + A(1)σ2)-1 iσP(2)(σ)(pE + A(2)σ2)-1
где P(s), s = 1, 2, - полиномы по σ, корни которых совпадают соответственно с корнями
уравнений det (pE + A(s)σ2), s = 1, 2, имеющими отрицательную мнимую часть, линейно
независимы как полиномы по σ при Re p > 0. Так как это условие для
Q, очевидно, выпол-
нено, то, следовательно, det Q(p) = 0, Re p > 0.
Введём обозначения
(
)
(
)
(
)
K(1)
K(2)1
ϕ(1)
2∂1/2ψ1
1
K =
,
ϕ=
,
ψ=
ϕ(2)
2ψ2
K(1)2
K(2)2
и запишем систему (31), (32) в виде векторного уравнения
ϕ+Kϕ
ψ,
(36)
где оператор
K действует по правилу:
( Kϕ)(t) = A-1(t)(Kϕ)(t), ϕ ∈ C[0,T],
ψ(t) = A-1(t)ψ(t).
В силу лемм 2.1-2.3
K : C[0,T] → Hω[0,T] - линейный ограниченный вольтерров оператор,
0
и по лемме 2.4 уравнение (36) имеет единственное решение ϕ ∈ C[0, T ], причём выполнена
оценка ∥ϕ; [0, T ]∥0 ≤ C∥ψ; [0, T ]∥0. Следовательно, справедлива оценка (30). Кроме того, из
вида уравнений (31), (32), условий на ψ1, ψ2 и лемм 2.1-2.3 следует, что ϕ(s)(0) = 0, s = 1, 2.
3. Доказательство теоремы. Решение задачи (3)-(5) ищем в виде потенциалов простого
слоя (12), где (вектор-)плотности ϕ(s) ∈ C[0, T ], s = 1, 2, подлежат определению. Для любых
0
ϕ(s) ∈ C[0, T ], s = 1, 2, (вектор-)функции u(s), s = 1, 2, являются регулярными решениями
уравнений (3) и удовлетворяют начальным условиям (4). Подставляя представления (12) в
условия сопряжения (5), получаем для нахождения неизвестных (вектор-)плотностей ϕ(s),
s = 1,2, систему интегральных уравнений Вольтерры (13), (14). Из леммы 2.5 следует, что
система (13), (14) имеет единственное решение ϕ(s) ∈ C[0, T ], s = 1, 2. Поэтому существует
0
решение задачи (3)-(5), которое имеет вид (12), где ϕ(s), s = 1, 2, - решение системы (13),
(14). Из результатов работы [13] о свойствах потенциала простого слоя и оценок (30) следует,
что найденные решения принадлежат классам C1,0(Ω(s)), s = 1, 2, и выполнены оценки (15).
0
Теорема доказана.
Автор выражает благодарность профессору Е.А. Бадерко за постановку задачи и постоян-
ное внимание к работе.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
506
САХАРОВ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
2. Житарашу Н.В. Шаудеровские оценки и разрешимость общих краевых задач для общих парабо-
лических систем с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169. № 3. С. 511-513.
3. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Матрица Грина однородной параболической граничной задачи
для систем с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 4. С. 797-800.
4. Дринь М.М., Ивасишен С.Д. Матрица Грина общей граничной задачи для параболической по
И.Г. Петровскому системы с разрывными коэффициентами // Докл. АН УССР. Сер. А. 1984. № 11.
С. 7-10.
5. Лахтин Ю.М., Коган Я.Д., Шпис Г.И., Бёмер З. Теория и технология азотирования. М., 1992.
6. Mittemeijer E., Somers M.A.J. Thermodynamics, kinetics, and process control of nit riding // Surface
Enjineering. 1997. V. 13. № 6. P. 483-497.
7. Ratajski J. Model of growth kinetics of nitrided layer in the binary Fe-N system, nitriding technology.
Theorie & practice // Proc. the 9th Intern. Seminar. Warsaw, 2003. P. 149-159.
8. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного пара-
болического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. C. 806-834.
9. Шевелева В.Н. Об одной задаче контактной теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1991.
Т. 27. № 1. C. 172-174.
10. Шевелева В.Н. Об одной задаче контактной теплопроводности. II // Дифференц. уравнения. 1992.
Т. 28. № 4. С. 729-730.
11. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях
с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. C. 379-381.
12. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической
системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. C. 198-208.
13. Baderko E.A., Cherepova M.F. Bitsadze-Samarskii problem for parabolic systems with Dini continuous
coefficients // Complex Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 5. P. 753-765.
14. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
15. Камынин Л.И. Гладкость тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат. журн.
1970. Т. 11. № 5. C. 1017-1045.
16. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 7. С. 1-72.
17. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
18. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго поряд-
ка // Деп. ВИНИТИ АН СССР. 02.09.88. № 6850-В88.
19. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам
математической физики // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 8. C. 1-25.
20. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
21. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1964.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 14.09.2020 г.
им. М.В. Ломоносова
После доработки 14.09.2020 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 02.03.2021 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№4
2021
