ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.507-525

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:539.3

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАВНОВЕСИЯ ПОЛОГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

ТИПА ТИМОШЕНКО С НЕЗАКРЕПЛЁННЫМИ КРАЯМИ

Изучается разрешимость нелинейной краевой задачи для системы пяти дифференциаль-

ных уравнений с частными производными второго порядка при заданных граничных усло-

виях, описывающей состояние равновесия упругих пологих неоднородных анизотропных

оболочек с незакреплёнными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко. Краевая за-

дача сводится к нелинейному операторному уравнению относительно обобщённых переме-

щений в соболевском пространстве, разрешимость которого устанавливается с использова-

нием принципа сжатых отображений.

DOI: 10.31857/S0374064121040063

1. Постановка задачи. В плоской односвязной ограниченной области Ω рассматривается

система нелинейных дифференциальных уравнений вида

T^jλ

+ R^j = 0, j = 1,2,

α^λ

Tλ3αλ + k_λT^λλ + (T^λμw3αμ )_αλ + R³ = 0,

M^jλ

- Tj3 + L^j = 0, j = 1,2,

(1)

α^λ

при выполнении на границе Γ области Ω условий

Tj1 dα²/ds - Tj2 dα¹/ds = P^j(s), j = 1,2,

T¹³ dα²/ds - T²³ dα¹/ds + T¹¹w3α1 dα²/ds - T²²w3α2 dα¹/ds +

+ T¹²(w3α2 dα²/ds - w3α1 dα¹/ds) = P³(s),

Mj1 dα²/ds - Mj2 dα¹/ds = N^j(s), j = 1,2.

(2)

В (1), (2) и ниже используются следующие обозначения:

T^ij ≡ T^ij(γ⁰) = Dijkn0γ0kn, M^ij ≡ M^ij(γ¹) = Dijkn2γ1kn, i,j,k,n = 1,3,

γ^l = (γl11,γl12,γl13,γl22,γl23,γl33), l = 0,1;

∫

D^ijknm = D^ijknm(α¹,α²) =

B^ijkn(α¹,α²,α³)(α³)^m dα³, m = 0,2, i,j,k,n = 1,3;

-h₀/2

γ0jj = w_jαj - k_jw₃ + w23αj /2 (j = 1,2), γ¹² = w1α2 + w2α1 + w3α1 w3α2 , γ^jj = ψ_jαj (j = 1,2),

γ¹¹² = ψ1α2 + ψ2α1 , γ0j3 = w3αj + ψ_j (j = 1,2), γ⁰³³ = γ1k3 ≡ 0 (k = 1,3),

(3)

B^ijkn(α¹,α²,α³) - известные функции трёх переменных, α^j = α^j(s) (j = 1,2) - уравнения

кривой Γ, s - длина дуги Γ; нижний индекс α^λ в (1)-(3) и далее означает дифференциро-

вание по α^λ, λ = 1, 2.

507

508

ТИМЕРГАЛИЕВ

Система (1) совместно с граничными условиями (2) описывает состояние равновесия упру-

гой пологой анизотропной неоднородной оболочки с незакреплёнными краями в рамках сдви-

говой модели Тимошенко [1, с. 168-170, 269], отнесённой к декартовой системе координат. При

этом: T^ij - усилия, M^ij - моменты; γ^lij (i, j = 1, 3, l = 0, 1) - компоненты деформаций

срединной поверхности S₀ оболочки, отождествляемой с областью Ω; w_j (j = 1, 2) и w₃ -

соответственно тангенциальные и нормальное перемещения точек поверхности S₀; ψ_i (i =

= 1, 2) - углы поворота нормальных сечений поверхности S₀; R^j, P^j (j = 1, 3), L^k, N^k

(k = 1, 2) - компоненты внешних сил, действующих на оболочку; B^ijkn(α¹, α², α³) (i, j, k, n =

= 1, 3) - упругие характеристики оболочки; k_j = k_j (α^j ) (j = 1, 2) - главные кривизны;

h₀ = const - толщина оболочки; α¹, α² - декартовы координаты точек области Ω.

В (1)-(3) и в дальнейшем по повторяющимся латинским индексам ведётся суммирование

от 1 до 3, по повторяющимся греческим индексам - от 1 до 2.

Задача (1), (2). Требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее граничным усло-

виям (2).

Необходимо отметить, что к настоящему времени достаточно полно изучена разрешимость

системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей состояние равновесия обо-

лочек в рамках простейшей модели Кирхгофа-Лява [2-5]. Вопросы существования решений

нелинейных задач в рамках более сложных моделей теории оболочек, не опирающихся на

гипотезы Кирхгофа-Лява, вошли в известный список нерешённых проблем математической

теории оболочек [2, c. 349]. В настоящее время имеется ряд работ [6-12], в которых в рамках

сдвиговой модели Тимошенко исследована разрешимость и доказаны теоремы существования

обобщённых решений в соболевских пространствах нелинейных задач для пологих изотропных

оболочек с незакреплёнными и шарнирно-опёртыми краями. В основе исследований в [6-12]

лежат интегральные представления для обобщённых перемещений, содержащие произвольные

голоморфные функции, которые находятся таким образом, чтобы обобщённые перемещения

удовлетворяли заданным граничным условиям. Построение интегральных представлений яв-

ляется одним из существенных моментов этого метода исследования.

В настоящей статье метод работ [6-12] развивается на случай пологих неоднородных ани-

зотропных оболочек типа Тимошенко с незакреплёнными краями, который описывается более

общей системой нелинейных дифференциальных уравнений, что существенно усложняет ис-

следование краевой задачи.

Краевую задачу (1), (2) будем изучать в обобщённой постановке. Будем предполагать, что

выполнены следующие условия:

(a) квадратичная форма B^ijknγ_ij γ_kn положительно определена во всём объёме, занятом

оболочкой;

(b) упругие характеристики B^ijkn(α¹, α², α³) - чётные функции по переменной α³ на от-

резке [-h₀/2, h₀/2], и имеют место включения B^ijkn ∈

p (Ω) × L1[-h0/2, h0/2] (i, j, k, n =

= 1, 3) и B¹¹¹¹, B¹²¹², B¹³¹³ ∈ C_β(Ω) × L₁[-h₀/2, h₀/2];

p (Ω) (j = 1, 2);

(d) компоненты внешних сил R^j (j = 1, 3) и L^k (k = 1, 2) принадлежат пространству

L_p(Ω), а компоненты P^j (j = 1,3) и N^k (k = 1,2) - пространству C_β(Γ);

(e) Ω - произвольная односвязная область с границей Γ ∈ C1β.

Здесь и везде далее 2 < p < 4/(2 - β),

0 < β < 1.

Определение. Назовём вектор обобщённых перемещений a = (w₁,w₂,w₃,ψ₁,ψ₂) обоб-

щённым решением задачи (1), (2), если a принадлежит пространству

p (Ω) и почти всюду

удовлетворяет системе (1) и поточечно граничным условиям (2).

Здесь

p (Ω) (i = 1, 2) - пространства Соболева. В силу теорем вложения для соболев-

ских пространств

p (Ω) c p > 2 обобщённое решение a принадлежит пространству C^α(Ω).

Здесь и везде далее α = (p-2)/p. Заметим, что при 2 < p < 4/(2-β) справедливо неравенство

α < β/2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

509

2. Построение интегральных представлений для обобщённых перемещений. Вве-

дём в рассмотрение две комплексные функции:

ω_j = ω_j(z) = D1111n(νj1α1 + νj2α2 ) + iD1212n(νj2α1 - νj1α2 ), nj = 2(j - 1),

ν1j = w_j, ν2j = ψ_j, j = 1,2, z = α¹ + iα².

(4)

В системе (1) усилия T^jk, моменты M^jk и компоненты деформаций γ^ljk заменим их

выражениями из (3). Прибавляя после этого к первому уравнению в (1) второе, умноженное

на мнимую единицу i, а к четвёртому уравнению - пятое, умноженное также на i, систему

(1) при помощи функций ω_j(z) из (4) представим в удобной для дальнейших исследований

форме

ω_jz + h^j(a) = f^j(a) - F^j(z), j = 1,2,

D¹³¹³⁰(w3α1_α1 + w3α2_α2 ) + h³(a) = f³(a) - F³(z), z ∈ Ω,

(5)

где приняты следующие обозначения:

ω_jz = (ω_jα1 + iω_jα2 )/2, j = 1,2, f^j(a) = f^je(a) + f^jχ(a), f^je(a) = f^js(a^′′) + f^jc(a), j = 1,3,

h^j(a) = D1212n

νj2α1 - D1212n

νj2α2 + i(D1212n

νj1α2 - D1212n

νj1α1) - (j - 1)D¹³¹³⁰(γ⁰¹³ + iγ⁰²³)/2,

jα²

jα¹

jα²

n_j = 2(j - 1), j = 1,2, h³(a) = D13130αλw3αλ + (D¹³¹³⁰ψ_λ)_αλ;

f2j-1s(a^′′) = fλμ2j-1kw_kαλ_αμ , j = 1,2, f2s(a^′′) = fλμ2δψ_δαλ_αμ ,

fjjk1 = -iD12jjn

/2,

2f12kj = -ij-1[D12jjn

- i(-1)^j D_n

/2], j = 1, 2,

f11k2 = -D1112n

/2, f22k2 = [i(D1111n

-D2222n) - D1222]/2, k = 1,2;n

fjj13 = -(D1jj30 + iDj2j30)/2, j = 1,2,

2f¹²¹³ = -iλ-1(D1λ230 + D2λ130)/2;

fjj3k = Dj3jk0, j,k = 1,2,

2f123j = D231j0 + D13j20, j = 1, 3, f¹¹³³ = 0, f²²³³ = D²³²³⁰ - D¹³¹³⁰,

Dnk = D1122n

-D1111n

+ 2D1212n,

n_k = 2(k - 1), k = 1,2;

f^jc(a) = (-1/2){D12λ2nνjλαλ + D1112n

(νj1α2 + νj2α1 ) + Dnj α1 νj2α2 + (2 - j)[D0αμ3w3αλ -

jα

jα¹

− (D1μλλ0k_λw₃)_αμ + (D1μλ30ψ_λ)_αμ ] + (j - 1)[D13λλ0k_λw₃ - D¹³²³⁰γ⁰²³ - D13λλ0w_λαλ -

- D¹³¹²⁰e⁰¹²] + i{D1λλ1nνjλαλ + D1222n

jα

jα²

(νj1α2 + νj2α1 ) + Dnj α2 νj1α1 + (Dn222j - Dn111j)α2 νj2α2 +

+ (2 - j)[D2μμ30αw3αλ - (D2μλλ0k_λw₃)_αμ + (D2μλ30ψ_λ)_αμ ] + (j - 1)[D23λλ0k_λw₃ -

- D¹³²³⁰γ⁰¹³ + (D¹³¹³⁰ - D²³²³⁰)γ⁰²³ - D23λλ0w_λαλ - D²³¹²⁰e⁰¹²]}}, j = 1,2,

f3c(a) = -{Dλ3110αλw1α1 + Dλ3120αλe⁰¹² + Dλ3220αλw2α2 + D13230αλw3α3-λ + (D²³²³⁰ - D¹³¹³⁰)_α2 w3α2 +

+ (D¹³²³⁰ψ_λ)_α3-λ + [(D²³²³⁰ - D¹³¹³⁰)ψ₂]_α2 - (Dλ3μμ0k_μw₃)_αλ + k_λT^λλ(e⁰)};

f1χ(a) = (-1/2)[T1λαλ(χ⁰) + iT2λαλ(χ⁰)], f2χ(a) = [T¹³(χ⁰) + iT²³(χ⁰)]/2,

f3χ(a) = -Tλ3αλ(χ⁰) - k_λT^λλ(χ⁰) - (T^λμw3αμ )_αλ ; F¹ = (R¹ + iR²)/2,

F² = (L¹ + iL²)/2, F³ = R³; e⁰ = (e⁰¹¹,e⁰¹²,e⁰²²), χ⁰ = (χ⁰¹¹,χ⁰¹²,χ⁰²²);

(6)

через e0jk и χ0jk обозначены соответственно линейные и нелинейные части компонент дефор-

мации γ0jk, т.е. γ0jk = e0jk + χ0jk, j, k = 1, 2; a^′′ - 15-мерный вектор, компонентами которого

являются частные производные второго порядка обобщённых перемещений w_jαλ_αμ , ψ_kαλ_αμ ,

j = 1,3, k,λ,μ = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

510

ТИМЕРГАЛИЕВ

Аналогично, граничные условия (2) запишем в виде

Re [(-1)j-1i^j t^′ω₁(t)] + 2(-1)j-1D¹²¹²⁰w3-jαλ dα^λ/ds = ϕ_j (a)(t) - P^j(s), j = 1, 2,

D¹³¹³⁰[(w3α2 + ψ₂)dα¹/ds - (w3α1 + ψ₁)dα²/ds] = ϕ₃(a)(t) - P³(s),

Re [(-1)j-1i^j t^′ω₂(t)]+2(-1)j-1D¹²¹²²ψ3-jαλ dα^λ/ds = ϕ3+j (a)(t)-N^j(s), j = 1, 2, t ∈ Γ, (7)

где

ϕj (a)(t) = ϕje(a)(t) + ϕjχ(a)(t), j = 1, 5;

ϕje(a)(t) = (-1)j-1[D02jj e¹² + D0w3-jα3-j + D0jλ3γ^λ3 - D0jλλkλw3 +

+ (j - 1)(D²²²²⁰ - D¹¹¹¹⁰)w2α2 ] dα3-j /ds + (-1)^j (D12λλ0e0λλ + D12λ30γ0λ3) dα^j /ds, j = 1, 2,

ϕ3+je(a)(t) = (-1)j-1[D12jj2γ¹¹² + D₂ψ3-jα3-j + (j - 1)(D²²²²² - D¹¹¹¹²)ψ2α2 ]dα3-j/ds +

+ (-1)^j D1λλ22ψ_λαλ dα^j /ds, j = 1, 2, ϕ3e(a)(t) = (-1)μ-1(Dμ3λλ0e0λλ + Dμ3120e⁰¹²) dα3-μ/ds +

+ (-1)^μD¹³²³⁰γ0μ3 dα^μ/ds - (D²³²³⁰ - D¹³¹³⁰)γ⁰²³ dα¹/ds;

ϕjχ(a)(t) = Tj1(χ⁰) dα²/ds - Tj2(χ⁰) dα¹/ds, j = 1, 2,

ϕ3χ(a)(t) = T¹³(χ⁰)dα²/ds - T²³(χ⁰)dα¹/ds + T¹¹w3α1 dα²/ds -

- T²²w3α2 dα¹/ds + T¹²(w3α2 dα²/ds - w3α1 dα¹/ds), ϕ3+jχ(a)(t) = 0, j = 1,2;

(8)

T^jk, T^jk(χ⁰) определены в (3).

В основе исследования системы уравнений (5) с граничными условиями (7) лежат инте-

гральные представления для обобщённых перемещений w_j (j = 1, 3), ψ_k (k = 1, 2). Для их

вывода рассмотрим уравнения

ω_jz = ρ^j (j = 1,2), D¹³¹³⁰(w3α1_α1 + w3α2_α2 ) = ρ³,

(9)

где ρ¹ = ρ₁ + iρ₂, ρ² = ρ₄ + iρ₅, ρ³ = ρ₃ - произвольно фиксированные функции, принадле-

жащие пространству L_p(Ω).

Первые два уравнения в (9) представляют собой неоднородные уравнения Коши-Римана.

Их общие решения даются формулами [13, c. 29]

ω_j(z) = Φ_j(z) + Tρ^j(z) ≡ ω_j(Φ_j;ρ^j)(z),

∫∫

ρ^j(ζ)

Tρ^j(z) = -

dξ dη, j = 1, 2, ζ = ξ + iη,

(10)

ζ-z

где Φ_j(z) - произвольные голоморфные функции, принадлежащие пространству C_α(Ω).

Известно [13, c. 39-41, 46], что T - вполне непрерывный оператор в пространствах L_p(Ω)

и C^kα(Ω), отображающий их в пространства C_α(Ω) и Ck+1α(Ω) соответственно. Кроме того,

существуют обобщённые производные

∫∫

∂Tf

f (ζ)

=f,

≡ Sf = -

dξ dη,

(11)

∂z

(ζ - z)²

где S - линейный ограниченный оператор в пространствах L_p(Ω), p > 1, и C^kα(Ω).

Представления (10) в свою очередь при помощи функций ω⁰¹ = w₂ + iw₁ и ω⁰² = ψ₂ + iψ₁

запишем в виде неоднородных уравнений Коши-Римана

ω0j¯z = i(d1n

ω_j + d2n

ω_j) ≡ idnj [ω_j], j = 1,2,

d^kn

= (1/D1111n

+ (-1)^k/D1212n

)/4, n_j = 2(j - 1), j, k = 1, 2,

(12)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

511

общие решения которых имеют вид

ω0j(z) = Ψ_j(z) + iTdnj [ω_j](z) ≡ ω0j(Ψ_j;ω_j)(z), j = 1,2,

(13)

где Ψ_j(z) - произвольные голоморфные функции пространства C1α(Ω).

Третье уравнение в (9) представим в виде

w3zz = ρ₃/4,

ρ₃ = ρ₃/D¹³¹³⁰, w3z = (w3α1 - iw3α2 )/2,

откуда находим, что

∫∫



z



w₃(z) = Re Ψ₃(z)

T ρ₃ ≡ w₃(Ψ₃;ρ₃)(z),

Tρ₃ =-

ρ₃(ζ)ln

−

ξ dη,

(14)

¹

^d

2π

где Ψ₃(z) ∈ C1α(Ω) - произвольная голоморфная функция.

Соотношения (13), (14) представляют собой искомые интегральные представления для

обобщённых перемещений. Для их частных производных первого порядка с учётом равенств

(10), (11), (13), (14) несложно получить формулы

ν_jkαk = Im[ω0jz - (-1)^kω0jz], ν_jkαn = Re[ω0jz + (-1)^kω0jz], k = n, j,k,n = 1,2;

ω0jz = Ψ^′j(z) + iSdnj [ω_j](z), ν1j = w_j, ν2j = ψ_j,

w3αj = 2Re (ij-1w3z), j = 1,2, w3z = Ψ′3(z)/2 + T ρ₃(z)/4;

(15)

ω0jz (j = 1,2) определяются равенствами (12).

Дифференцируя равенство (12) по z и z, равенство (13) дважды по z, используя при этом

формулу (8.20) из [13, c. 58] и соотношения (11), для производных второго порядка функции

ω0j получаем представления

ω0jzz = i(dnjz[ωj] + dn_j [ωj]z), ω^jzz = i(dn_j z[ωj] + dn_j [ωj]z), nj = 2(j - 1),

∫

dnj [ω_j](τ)

ω0jzz = Ψ^′′j(z) + iS(d_n

dτ ,

jζ[^ωj]+dnj[ωj^]ζ)(z)-

2π

(τ - z)²

w3zz = Ψ′′3(z)/2 + Sρ₃(z)/4, w3zz = ρ₃/4; dnjz[ωj] = dnjzωj + dnjzωj,

dnj [ω_j]_z = d1n

ω_jz + d2n

ω_jz, dnj [ω_j]_z = d1n

ω_jz + d2n

ω_jz, j = 1,2;

(16)

где функции ω_j , dnj [ω_j], ω_jz, ω_jz определены в (10), (12), (15).

Производные второго порядка обобщённых перемещений выражаются через функции ω0jzz,

ω0jzz, ω0jzz по формулам

ν_knαj_αj = -Re{iⁿ[ω0kzz + (-1)^j(ω0kzz + ω0kzz)]} ≡ P^jjkn(ω0k),ν_knα1_α2 = Re {in-1(ω0kzz - ω0kzz)} ≡

≡ P12kn(ω0k), k,n,j = 1,2; w3αj_αj = 2[w3zz + (-1)j-1 Rew3zz] ≡ Pjj13(w₃), j = 1,2,

(w₃).

(17)

w3α1α2 = -2Im w3zz ≡ P

3. Решение задачи (1), (2). Интегральные представления (13), (14) для обобщённых

перемещений a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂) содержат произвольные голоморфные функции Φ_j(z)

(j = 1, 2), Ψk(z) (k = 1, 3) и произвольные функции ρj(z) (j = 1, 3). Их найдём так,

чтобы обобщённые перемещения удовлетворяли системе (5) и граничным условиям (7), при

этом правые части уравнений (5) и граничных условий (7) временно считаем известными. С

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

512

ТИМЕРГАЛИЕВ

этой целью представления для функций (9), (13)-(15) подставим в левые части системы (5) и

граничных условий (7). В результате система уравнений (5) запишется в виде

ρ^j(z) + hj1(ρ)(z) + hj2(Φ)(z) = f^j(a)(z) - F^j(z), j = 1,3, z ∈ Ω,

(18)

где через hj1(ρ)(z) и hj2(Φ)(z) обозначены те части выражения оператора h^j (a) в (6), которые

содержат функции ρ = (ρ¹, ρ², ρ³) и Φ = (Φ₁, Φ₂, Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃) соответственно.

Граничные условия (7) с учётом представлений

Sdnj[Φ_j]⁺(t) = -(t^′)2 d1n

(t)Φ_j (t) + K0j (Φ_j)(t),

∫

d¹ (t)_n

ψ(τ, t) - ψ(t, t)

d² (t)_n

ψ(τ, t) - ψ(t, t)

K0j(Φ_j)(t) = -

Φ_j(τ)dτ -

Φ_j(τ) dτ -

2πi

τ-t

2πi

τ -t

∫∫

d1nj (ζ) - d¹ (t)_n

d2nj (ζ) - d² (t)_n

Φ_j(ζ)dξ dη -

Φ_j(ζ)dξ dη, j = 1,2,

(ζ - t)²

ψ(τ, t) = (τ - t)/(τ - t), ψ(t, t) = (t^′)²,

(19)

которые получаются при помощи равенств (10)-(12), формул (4.7), (4.9) из [13, c. 28] и формул

Сохоцкого [14, c. 66], преобразуются к виду

(-1)j-1β_n

(t) Re [i^j t^′Φ_k(t)] + 2D1212n(t) Re [ij-1t′Ψ′k(t)] +

+ 2D1212n(t) Re [ij t′K0k(Φk)(t)] + H3(k-1)+j ρk(t) = ϕ3(k-1)+j (a)(t) - F3k+j (s), k, j = 1, 2,

D¹³¹³⁰(t)Re [it^′Ψ′3(t)] + K₀₃(Φ)(t) + H₃ρ(t) = ϕ₃(a)(t) - F⁶(s),

(20)

где приняты следующие обозначения:

H3(k-1)+jρ^k(t) = (-1)j-1Re[i^jt^′Tρ^k(t)] + 2D1212n(t) Re {ij (t′Sdn

[T ρ^k]⁺(t) + t^′d_n

[T ρ^k](t))},

n_k = 2(k - 1), j,k = 1,2, H₃ρ(t) = D¹³¹³⁰(t)Re [it^′T ρ₃(t)] + D¹³¹³⁰(t)Re {it^′Td₂[Tρ²](t)},

K₀₃(Φ)(t) = D¹³¹³⁰(t)Re {t^′(Ψ₂(t) + iTd₂[Φ₂](t))}; βnj (t) = [1 - D1212n(t)/D1111(t)]/2,n

j = 1,2; F3+j(s) = P^j(s) (j = 1,3), F6+k(s) = N^k(s) (k = 1,2); Φ_j(t) ≡ Φ+j (t),

(21)

Ψ^′k(t) ≡ Ψ^′+_k(t), t ∈ Γ; символ Ψ⁺(t) здесь и далее означает предел функции Ψ(z) при

стремлении z → t ∈ Γ изнутри области Ω.

Таким образом, для определения функций ρ^j ∈ L_p(Ω) (j = 1, 3), Φ_k(z) ∈ C_α(Ω) (k = 1, 2)

и Ψ_j(z) ∈ C1α(Ω) (j = 1,3) получили систему уравнений (18), (20). Голоморфные функции

будем искать в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями:

Φ_k(z) = Θ(μ2k)(z) ≡ Φ_k(μ2k)(z), k = 1,2,

Ψ^′j(z) = i(j-1)(j-2)/2Θ(μ2j-1)(z) ≡ Ψ^′j(μ2j-1)(z), j = 1,3,

∫

f (τ) dτ

Θ(f)(z) =

(22)

2πi

τ^′(τ - z)

где μ_j(t) ∈ C_α(Γ) (j = 1, 5) - произвольные действительные функции, τ^′ = dτ/dσ, dσ -

элемент длины дуги кривой Γ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

513

Для функций Ψ_j(z) (j = 1, 3) имеем представления

Ψ_j(z) = i(j-1)(j-2)/2Θ⁰(μ2j-1)(z) + c2j-1 + ic2j ≡ Ψ_j(μ2j-1)(z) + c2j-1 + ic2j, j = 1,3,

∫

(

)

f (τ)

Θ⁰(f)(z) = -

dτ,

(23)

2πi

τ^′

где c_j (j = 1, 6) - произвольные действительные постоянные, под ln(1 - z/τ) понимается

однозначная ветвь, обращающаяся в нуль при z = 0.

Воспользовавшись формулами Сохоцкого [14, c. 66], находим Φ_k(t) (k = 1, 2) и Ψ^′j(t) (j =

= 1, 3), t ∈ Γ. Подставляя выражения для них, а также представление (23) в систему (18), (20),

после несложных преобразований приходим к следующей системе уравнений относительно

функций ρ = (ρ¹, ρ², ρ³) ∈ L_p(Ω) и μ = (μ₁, μ₂, μ₃, μ₄, μ₅) ∈ C_α(Γ):

ρ^j(z) + hj1(ρ)(z) + hj2(μ)(z) = f^j(a)(z) + g^jc(z) - F^j(z), z ∈ Ω, j = 1,3,

∫

]

∑[

μ_n(τ)

a_jn(t)μ_n(t) + b_jn(t)

dτ

+ K_jμ(t) + H_jρ(t) =

τ-t

n=1

= ϕ_j(a)(t) + g3+jc(t) - F3+j(t), t ∈ Γ, j = 1,5,

(24)

в которой приняты обозначения

K3(n-1)+jμ(t) = βnj1(t){Re [it^′Θ(μ2n+1-j)(t)] - iΘ(τ^′μ2n+1-j)(t)} + βnj2(t)Re [t^′Θ(μ2n+j-2)(t)] +

+ 2D1212m(t) Re [ij t′K0n(μ2n)(t)], n, j = 1, 2, K3μ(t) = K03(μ)(t) - D13130Re [t′Θ(μ5)(t)];

g6c(t) = D¹³¹³⁰(t)(-c₄ dα²/ds + c₃ dα¹/ds), g1c(z) = g3+jc(t) ≡ 0, j = 1,2,4,5;

a₁₁ = D¹²¹²⁰, a₂₂ = β₀/2, a₃₅ = -D¹³¹³⁰/2, a₄₃ = D¹²¹²², a₅₄ = β₂/2,

b₁₂ = β₀/(2π), b₂₁ = D¹²¹²⁰/π, b₄₄ = β₂/(2π), b₅₃ = D¹²¹²²/π;

(25)

остальные a_jk, b_jk равны нулю; здесь hj2(μ)(z) ≡ hj2(Φ(μ))(z), K0j (μ2j )(t) ≡ K0j (Φ_j (μ2j ))(t),

j = 1,2; K₀₃(μ)(t) ≡ K₀₃(Φ(μ))(t), Φ(μ) = (Φ₁(μ₂),Φ₂(μ₄),Ψ₁(μ₁),Ψ₂(μ₃),Ψ₃(μ₅)).

Лемма 1. Пусть выполнены условия (b), (c), (d), (e). Тогда справедливы следующие утвер-

ждения:

1) hj1(ρ) (j = 1, 3) - линейные вполне непрерывные операторы в L_p(Ω);

2) hj2(μ) (j = 1, 3) - линейные вполне непрерывные операторы из C_ν (Γ) в L_p(Ω) при

любом ν ∈ (0, 1);

3) K_j μ (j = 1, 5) - линейные вполне непрерывные операторы из C_ν (Γ) в C_γ (Γ) при любых

ν ∈ (0,1) и γ < β/2;

4) H_jρ (j = 1, 5) - линейные вполне непрерывные операторы из L_p(Ω) в C_α′ (Γ) при

любом α^′ < α и ограниченные операторы из L_p(Ω) в C_α(Γ);

5) имеют место включения f^j(a)(z), F^j (z), g^c (z) ∈ L_p(Ω) (j = 1, 3), ϕ_j (a)(t) ∈ C_α(Γ) и

F3+j(t),g6c(t),a_jk(t),b_jk(t) ∈ C_β(Γ) (j,k = 1,5).

Доказательство. Известно [13, c. 26-27], что интеграл типа Коши Θ(f) в (22) представля-

ет собой ограниченный оператор из C_α(Γ) в C_α(Ω), а его производная Θ^′(f) - ограниченный

оператор из C_α(Γ) в L_q(Ω),

1 < q < 2/(1 - α). Кроме того, нетрудно показать, что Θ(f) -

вполне непрерывный оператор из C_α(Γ) в L_p(Ω) при любом p > 1 и в C_α′ (Ω) при всех

α^′ < α. Учитывая это, а также свойства операторов T и S, определённых соответственно в

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

514

ТИМЕРГАЛИЕВ

(10) и (11), используя представления (15) для производных первого порядка обобщённых пе-

ремещений и выражения для операторов h^j (a) в (6), получаем, что первые два утверждения

леммы справедливы.

Так как ψ(τ, t) ∈ C_β(Γ) × C_β(Γ) [14, c. 28-32], d^kj(z) ∈ C_β(Ω), то, принимая во внимание

следствие 4.3 из [15, с. 124], легко убеждаемся в том, что первые два слагаемых правой части

равенства в (19), определяющего оператор K0j (μ2j ), представляют собой вполне непрерывные

операторы из C_ν (Γ) в C_γ(Γ) при любых ν ∈ (0, 1) и γ < β. Также нетрудно показать, что

третье и четвёртое слагаемые этого равенства в (19) представляют собой вполне непрерывные

операторы из C_ν (Γ) в C_γ(Γ) при всех ν ∈ (0, 1) и γ < β. Тогда получаем, что K0j (μ2j )

(j = 1, 2) - линейные вполне непрерывные операторы из C_ν (Γ) в C_γ(Γ) при любых ν ∈ (0, 1)

и γ < β. Так как D¹³¹³⁰ ∈ C_β(Ω), то аналогично из определения оператора K₀₃(μ) в (21)

следует, что K₀₃(μ) - линейный вполне непрерывный оператор из C_ν (Γ) в C_β(Γ) для всех

ν ∈ (0,1).

Далее, первые два слагаемых в правой части формулы для оператора K3(n-1)+j μ в (25)

преобразуем к виду

{

′

∫

(

)

∫

}

τ^′

μ2n+1-j(τ) (τ^′ - t^′)²

βnj1(t)

μ2n+1-j(τ)Im

dτ +

dτ

2πi

τ-t

4π

τ^′t^′

τ -t

Следовательно, с учётом включений τ^′, βnj1 ∈ C_β(Γ) и равенства

Im [τ^′/(τ - t)] = k_∗(τ,t)/|τ - t|1-β/2,

где k_∗(τ, t) ∈ Cβ/2(Γ)×Cβ/2(Γ) [14, с. 31-32, 55-56], а также следствий 4.4, 4.5 из [15, с. 125] по-

лучаем, что первые два слагаемых в выражении для оператора K3(n-1)+j μ в (25) определяют

линейный вполне непрерывный оператор из C_ν (Γ) в C_γ (Γ) при любых ν ∈ (0, 1) и γ < β/2.

Третье слагаемое в выражении для оператора K3(n-1)+j μ запишем в виде

(

)

βnj2(t)^∫

μ2n+j-2(τ)

t^′

dτ,

2π

τ^′

τ-t

откуда, как и выше, получаем, что третье слагаемое представляет собой линейный вполне

непрерывный оператор из C_ν (Γ) в C_γ (Γ) при всех ν ∈ (0, 1) и γ < β/2. Тогда из пред-

ставлений операторов K_j μ (j = 1, 5) в (25) вытекает справедливость третьего утверждения

леммы. Справедливость четвёртого её утверждения следует из представлений операторов H_jρ

(j = 1, 5) в (21) с учётом свойств операторов T и S, интеграла типа Коши и соотношений

(

)

∫

∂

dnk [Tρ^k](τ)

Sdnk[Tρ^k]⁺(t) = T

dnk [Tρ^k] (t) -

(t^′)² d_n

[T ρ^k](t) -

dτ, k = 1, 2,

∂ζ

2πi

τ -t

которые получаются с использованием формул (8.20) из [13, c. 58] и формул Сохоцкого. Спра-

ведливость пятого утверждения леммы непосредственно вытекает из формул (6), (8), (25).

Лемма доказана.

Исследуем разрешимость системы уравнений (24) в пространстве L_p(Ω) × C_α′ (Γ), α^′ < α.

Заметим, что любое решение (ρ, μ) ∈ L_p(Ω)×C_α′ (Γ) системы (24) в силу леммы 1 принадлежит

пространству L_p(Ω) × C_α(Γ). Используя выражения для a_jk(t), b_jk(t) из (25), вычисляем

определитель

det [A(t) - πiB(t)] = (-1/4)D¹²¹²⁰D¹²¹²²D¹³¹³⁰β₀β₂,

где β₀, β₂ определены в (21), а A = (a_jk)5×5, B = (b_jk)5×5 - квадратные матрицы 5-го

порядка. Итак, det [A(t) - πiB(t)] = 0 на Γ и для индекса системы (24) получаем равенство

[

]

det (A - πiB)

χ=

arg

2π

det (A + πiB)_Γ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

515

(здесь символ [arg ϕ]_Γ означает приращение аргумента функции ϕ при обходе кривой Γ один

раз в положительном направлении). Следовательно, к системе (24) применима альтернатива

Фредгольма. Пусть (ρ, μ) ∈ L_p(Ω) × C_α′ (Γ) - решение системы (24) при нулевой правой части

((f^j + g^c - F^j )(z) ≡ 0, j = 1, 3, (ϕ_j + gc+j - F3+j )(t) ≡ 0, j = 1, 5). Этому решению по

формулам (22), (23) с постоянными c_j = 0 (j = 1, 6) соответствуют голоморфные функции

Φ_k(z), Ψ_j(z), которые в свою очередь, согласно формулам (13), (14), определяют обобщённые

перемещения w_j (j = 1, 3), ψ_k (k = 1, 2). Эти перемещения, как нетрудно видеть, удовле-

творяют однородной системе линейных уравнений (5) (f^j - F^j ≡ 0, j = 1, 3) и однородным

линейным граничным условиям (7) (ϕ_j - F3+j ≡ 0, j = 1, 5). Действительную и мнимую час-

ти первого уравнения однородной системы (5) умножим соответственно на w₁ и w₂, второго

уравнения - соответственно на ψ₁ и ψ₂, а третье уравнение - на w₃. После этого проинте-

грируем по области Ω и сложим получившиеся равенства. С учётом однородных граничных

условий в (7) при выполнении условий

D1111n(z) - D1212n(z) > 0, nj = 2(j - 1), z ∈ Ω, j = 1, 2,

(26)

получаем, что w_j (j = 1, 3) и ψ_k (k = 1, 2) удовлетворяют системе

νj1α1 = 0, νj2α2 = 0, νj1α2 + νj2α1 = 0, w3αj + ψ_j = 0, j = 1,2,

(27)

где ν1j = w_j , ν2j = ψ_j , j = 1, 2. Решая систему (27), находим

w₁ = -c₀α² + c₁, w₂ = c₀α¹ + c₂, w₃ = -c₄α¹ - c₅α² + c₆, ψ₁ = c₄, ψ₂ = c₅,

(28)

где c_j - произвольные действительные постоянные. Так как Ψ_j(0) = 0 (j = 1, 3), w₃(0) =

= 0, то из (28) вытекает, что w₁ = -c₀α² + c₁, w₂ = c₀α¹ + c₂, w₃ = ψ₁ = ψ₂ ≡ 0. Тогда

ω₁(z) = 2ic₀D¹²¹²⁰, ω₂(z) ≡ 0 и из уравнений (9) следуют равенства

ρ¹(z) = 2ic₀D12120z, ρ²(z) = ρ³(z) ≡ 0, z ∈ Ω.

(29)

Используя формулы (10), (13), (14) и представление для ω0jz из (15), находим

Φ₁(z) = c₀α₀(z), Ψ′1(z) = c₀γ′0(z), Φ₂(z) = Ψ′2(z) = Ψ′3(z) ≡ 0,

∫

D¹²¹²⁰(t)

α₀(z) =

dt, γ′0(z) =

t-z

2πi

t-z

подставляя эти функции в (22), получаем

μ₁(t)/t^′ - c₀(t^′)² = F-1(t), μ₂(t)/t^′ - 2ic₀D¹²¹²⁰(t) = F-2(t), μ_j(t)/t^′ = F^-j(t), j = 3,5,

где F^-j(t) - граничные значения функции F^-j(z), голоморфной во внешности Ω и исчезающей

на бесконечности. Следовательно, для функции F^-j(z) во внешности области Ω приходим к

задаче Римана-Гильберта с краевым условием Re [it^′F^-j(t)] = f^-j(t), j = 1, 5, где f-1(t) =

= c0 Re(it^′), f-2 (t) = 2c₀D¹²¹²⁰(t)Ret^′, f-j (t) = 0, j = 3,5. Решение этой задачи имеет вид

[16, c. 253]

F^-j(z) = c₀f0j(z) + β0jf1j(z), j = 1,2, F^-j(z) = β0jf1j(z), j = 3,5, z ∈ Ω₁ ≡ C\Ω;

здесь f^kj(z) - известные голоморфные вне области Ω функции, c₀, β0j - произвольные дейст-

вительные постоянные. Тогда для функций μ_j(t) получаем представления

μ_j(t) = c₀μ0j(t) + β0jμ1j(t), j = 1,2, μ_j(t) = β0jμ1j(t), j = 3,5,

(30)

где μ^kj(t) - известные действительные функции, принадлежащие пространству C_α(Γ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

6^∗

516

ТИМЕРГАЛИЕВ

Решения (29), (30) показывают, что однородная система уравнений (24) имеет шесть ли-

нейно независимых решений. Тогда союзная с ней система уравнений также будет иметь

шесть линейно независимых решений. Для вывода союзной системы действительные и мни-

мые части левых частей уравнений в (18) умножим соответственно на действительные функ-

ции v₁, v₂, v₃, v₄, v₅ ∈ L_q(Ω),

1/p + 1/q = 1, и проинтегрируем по области Ω, а левые части

уравнений в (20) умножим на действительные функции ν₁, ν₂, ν₃, ν₄, ν₅ ∈ C_α(Γ) и проинте-

грируем по кривой Γ. После этого их сложим и приравняем к нулю. Заменяя голоморфные

функции Φ_j(z), Ψ_k(z), Ψ^′k(z) их выражениями из (22), (23) с постоянными, равными нулю,

переставляя порядок интегрирования в полученных повторных интегралах, после несложных,

но достаточно громоздких преобразований приходим к искомой союзной системе уравнений

v^j +2(-1)j-1Tdnj [S_jv](z)+2Θ(τ^′ν^j)(z) = 0, v^j = v3j-2+iv3j-1, ν^j = ν3j-2+iν3j-1, j = 1,2,

D¹³¹³⁰v₃(z) + Re[T(D¹³¹³⁰v²)(z)/4 - T(D¹³¹³v3)(z) + Θ(τ′D13130ν3)(z)] = 0

(31)

0ζ

в области Ω и с условиями

Re i{(-1)j-1Tdnj [S_jv](t) + Θ^-(τ^′ν^j)(t)} = 0, j = 1,2,

Re {T(D¹³¹³v3)(t) - T(D13130v2)(t)/4 - Θ-(τ′D13130ν3)(t)} = 0,

0ζ

Re {T(D¹²¹²

v^j)(t) - 2Θ^-(τ^′D1212nνj)(t) + (j - 1)[iT0(D1313

v₃)(t) -

n_jζ

0ζ

− iT⁰(D¹³¹³⁰v²)(t)/4 + T^0Γ(D¹³¹³⁰τ^′ν₃)(t)]} = 0, j = 1, 2,

(32)

на границе Γ.

В уравнениях (31), (32) приняты обозначения

S_jv(z) = (-1)^j{S(D¹²¹²vj)(z) - D1212nvj(z) - 2Θ′(τ′D1212νj)(z)} +n

n_jζ

+ (j - 1){T (D¹³¹³⁰v²)(z)/4 - T (D¹³¹³v3)(z) + D13130v3(z) + Θ(τ′D13130ν3)(z)}, j = 1,2,

0,ζ

∫∫

(

)

∫

(

)

T⁰f(z) = -

f (ζ) ln

dξ dη, T^0Γf(z) = -

f (τ) ln

dσ,

πi

2πi

∫

f (τ) dτ

Θ^′(f)(z) =

v = (v₁,v₂,v₃,v₄,v₅);

(33)

2πi

τ^′(τ - z)²

Θ^-(f)(t) - граничные значения функции Θ(f)(z) при стремлении z → t ∈ Γ извне области

Ω; операторы Tf, Sf, d_j[f], Θ(f) определены в (10)-(12), (22) соответственно.

Система (31), (32), как отмечено выше, имеет шесть линейно независимых решений. По-

лучим для них явные выражения. Далее в (31), (32) под v ∈ L_q(Ω),

1/p + 1/q = 1, ν =

= (ν₁, ν₂, ν₃, ν₄, ν₅) ∈ C_α(Γ) будем понимать некоторое её решение.

Заметим, что операторы T и T⁰, T^0Γ, введённые соответственно в (10) и (33), определяют

функции T f(z), T⁰f(z), T^0Γf(z), которые голоморфны во внешности области Ω и обраща-

ются в нуль на бесконечности. Этими же свойствами обладают и функции Θ(f)(z). Поэтому

равенства в (32) представляют собой краевые условия задачи Римана-Гильберта с нулевым

индексом для функций, голоморфных вне области Ω и исчезающих на бесконечности. Такая

задача, как известно, имеет только нулевое решение. Следовательно, равенства в (32) преоб-

разуются к виду

(-1)j-1T dnj [S_jv](z) + Θ(τ^′ν^j )(z) = 0, j = 1, 2,

T (D¹³¹³v3)(z) - T(D13130v2)(z)/4 - Θ(τ′D13130ν3)(z) = 0,

0ζ

T (D¹²¹²vj)(z) - 2Θ(τ′D1212nνj)(z) + (j - 1)[iT0(D1313v3)(z) -

n_jζ

0ζ

− iT⁰(D¹³¹³⁰v²)(z)/4 + T^0Γ(D¹³¹³⁰τ^′ν₃)(z)] = 0, j = 1, 2, z ∈ Ω₁.

(34)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

517

Пусть дополнительно выполнены условия

D1212n

(j = 1, 2), D¹³¹³⁰ ∈ W(2)p(Ω),

2 < p < 4/(2 - β).

(35)

Тогда из системы (31) в силу указанных выше свойств операторов T, S и интеграла типа

Коши Θ(f)(z), следует, что функции v_j (j = 1, 5) принадлежат пространству

q₁

(Ω), 1<

< q₁ < 2/(1 - α). Перейдём в равенствах (31) к пределу при z → t ∈ Γ изнутри области

Ω, а в первых трёх равенствах в (34) - извне области Ω и последние вычтем из первых трёх

соответственно. Принимая во внимание непрерывность функций вида T f(z) при f ∈ L_p(Ω)

на C и используя формулы Сохоцкого, получаем

v^j(t) = -2ν^j(t), j = 1,2, v₃(t) = -ν₃(t), t ∈ Γ.

(36)

Продифференцируем первые два соотношения в (31) по z. С учётом (11) получим

v^jz = 2(-1)^j dnj [S_jv](z), z ∈ Ω, j = 1,2.

Рассматривая последние равенства как систему относительно S_jv, j = 1, 2, и решая её, будем

иметь

S_jv(z) = 2(-1)j-1D1111n

D1212n(d1n

v^jz - d2n

v^jz), j = 1,2.

(37)

Используя представления в (33) для операторов S_jv (j = 1, 2), находим производные по z :

(S_j v)_z = (-1)j-1(D1212nvjz - D1212nvjz) + (j - 1)D13130(v3z + v2/4), j = 1,2.

(38)

Теперь соотношения (37) продифференцируем по z, после этого левые части получившихся

равенств заменим их выражениями из (38). Третье равенство в (31) дифференцируем по z

и z. При помощи несложных преобразований полученных соотношений убеждаемся в том,

что вектор-функция (v₁, v₂, 2v₃, v₄, v₅) является решением системы линейных уравнений (5)

при нулевой правой части (f^j - F^j ≡ 0, j = 1, 3).

Далее, в равенствах (37) переходим к пределу при z → t ∈ Γ изнутри области Ω, при

этом левую часть (S_j v)⁺(t) заменим выражением, полученным с использованием представле-

ния (S_j v)(z) в (33). Затем из них вычитаем соответственно равенства, которые получаются

в результате дифференцирования по z последних двух соотношений в (34) и последующего

перехода в них к пределу при z → t ∈ Γ извне Ω. Продифференцируем третьи соотношения в

(31) и (34) по z, в получившихся равенствах перейдём к пределу при z → t ∈ Γ соответствен-

но изнутри и извне области Ω и затем вычтем их друг из друга. При помощи полученных

таким образом равенств на кривой Γ, используя соотношения (36) и формулы

(Sf)⁺(t) - (Sf)^-(t) = -f(t) · (t^′)², Θ′+(τ^′f)(t) - Θ^′-(τ^′f)(t) = f_t + f_t · (t^′)², t ∈ Γ,

в которых операторы Sf, Θ^′(f) определены в (11), (33), после несложных преобразований

приходим к тому, что вектор-функция (v₁, v₂, 2v₃, v₄, v₅) удовлетворяет также и однородным

линейным граничным условиям в (7) (ϕ_j - F3+j ≡ 0, j = 1, 5). Таким образом, вектор-

функция v = (v₁, v₂, 2v₃, v₄, v₅) является решением однородной системы линейных уравнений

(5), удовлетворяющим однородным граничным условиям в (7). Тогда вектор-функция v удо-

влетворяет и системе уравнений (27), поэтому в соответствии с (28) для её компонент получаем

следующие представления:

v₁ = -c₀α² + c₁, v₂ = c₀α¹ + c₂, v₃ = (-c₄α¹ - c₅α² + c₆)/2, v₄ = c₄, v₅ = c₅,

где c_j - произвольные действительные постоянные.

Функции ν_j (t) и v_k(t) связаны друг с другом формулами (36). Следовательно, решение

(v, ν)^т, v = (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅), ν = (ν₁, ν₂, ν₃, ν₄, ν₅) союзной системы (31), (32) можно пред-

ставить в виде (v, ν)^т = c₀γ₁ + c₁γ₂ + c₂γ₃ + c₄γ₄ + c₅γ₅ + c₆γ₆, где γ_k = (γk1, γk2, . . . , γk10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

518

ТИМЕРГАЛИЕВ

(k = 1, 6) - линейно независимые решения системы (31), (32). Тогда для разрешимости систе-

мы (24) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

∫∫

{Re [(f¹ + g1c - F¹)(z)(γk1 - iγk2)(z) + (f² + g2c - F²)(z)(γk4 - iγk5)(z)] +

∫

∑

+ (f³ + g3c - F³)(z)γk3(z)} dα¹ dα² +

(ϕ_j + g3+jc - F3+j )(t)γk,5+j (t) ds = 0, k = 1, 6,

j=1Γ

которые после несложных преобразований принимают вид

∫∫

∫

∫∫

∫

R^jdα¹ dα² + P^j ds = 0, j = 1,2,

(R¹α² - R²α¹) dα¹ dα² + (P¹α² - P²α¹) ds = 0,

∫∫

∫

∫∫

(L^j - R³α^j ) dα¹ dα² + (N^j - P³α^j )ds -

[k_λT^λλ(γ⁰)α^j - T^jμ(γ⁰)w3αμ ] dα¹ dα² = 0,

∫∫

∫

∫∫

j = 1,2,

R³ dα¹ dα² + P³ ds +

k_λT^λλ(γ⁰)dα¹ dα² = 0,

(39)

где γ0 и w3 - произвольно фиксированные вектор деформации и функция соответственно.

При выполнении условий (39) общее решение системы (24) можно представить в виде

ρ^j(z) = ρ^je(a)(z) + ρ^jχ(a)(z) + ρ^j∗(z) + ρ^jF (z), z ∈ Ω, j = 1,3,

μ_k(t) = μ_ke(a)(t) + μ_kχ(a)(t) + μ_k∗(t) + μ_kF (t), t ∈ Γ, k = 1,5;

ρ^je(a) = R_jf_e(a), ρ^jχ(a) = R_jf_χ(a), ρ^j∗(z) = R_jg_c(z) + ρ^j(z), ρ^jF (z) = -R_jF(z), j = 1,3,

μ_ke(a) = Rk+3f_e(a), μ_kχ(a) = Rk+3f_χ(a), μ_k∗(t) = Rk+3g_c(t) + μ_k(t),

μ_kF (t) = -Rk+3F(t), k = 1,5,

(40)

где f_e(a) = (f1e, f2e, f3e, ϕ1e, . . . , ϕ5e), f_χ(a) = (f1χ, f2χ, f3χ, ϕ1χ, . . . , ϕ5χ), g_c = (g1c, g2c, . . . , g8c), F =

= (F¹, F², . . . , F⁸); R_j (j = 1, 3) и R_k (k = 4, 8) - линейные ограниченные операторы из

L_p(Ω)×C_α(Γ) в L_p(Ω) и в C_α(Γ) соответственно; функции ρ^j(z),

μ_k(t) заданы равенствами

(29), (30), а

fje, f^χ, ϕke, ϕkχ, g^c, Fⁿ - равенствами в (6), (8), (26).

Если выражения для функций μ_k(t) из (40) подставить в равенства (22), (23), то для

голоморфных функций получим представления

Φ_k(z) = Φ_ke(a)(z) + Φ_kχ(a)(z) + Φ_k∗(z) + Φ_kF (z), k = 1,2,

Ψ(n)j(z) = Ψ(n)je(a)(z) + Ψ(n)jχ(a)(z) + Ψ(n)j∗(z) + Ψ(n)jF(z), n = 0,1, j = 1,3;

Φ_ke(a) = Φ_k(μ2ke(a))(z), Φ_kχ(a) = Φ_k(μ2kχ(a))(z), Φ_k∗(z) = Φ_k(μ2k∗)(z) +Φk(z),

Φ_kF (z) = Φ_k(μ2kF )(z), Ψ(n)je(a) = Ψ(n)j(μ2j-1e(a))(z),

Ψ(n)jχ(a) = Ψ(n)j(μ2j-1χ(a))(z), Ψ(n)jF(z) = Ψ(n)j(μ2j-1F )(z),

Ψ(n)j∗(z) = Ψ(n)j(μ2j-1∗)(z) +Ψ(n)j(z), k = 1,2, j = 1,3, n = 0,1,

(41)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

519

где

Φ₁(z) = c₀α₀(z),

Φ₂(z) ≡ 0,

Ψ₁(z) = c₀γ₀(z) + c₁ + ic₂,

Ψ_j(z) = c2j-1 + ic2j, j = 2,3;

α₀(z), γ₀(z) - известные функции, определённые выше; c_j - произвольные действительные

постоянные.

Выражения для ρ^j (z) из (40) и голоморфных функций из (41) подставим в равенства (13),

(14). Тогда задача (1), (2) сведётся к системе нелинейных уравнений относительно обобщённых

перемещений a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂), которую представим в виде

ω0j(z) = ω0je(a) + ω0jχ(a) + ω0j∗(z) + ω0jF (z), j = 1,2,

w₃(z) = w3e(a) + w3χ(a) + w3∗(z) + w3F (z), z ∈ Ω,

(42)

где ω0je(a) = ω0j(Ψ_je(a); ω_je(a)), ω_je(a) = ω_j(Φ_je(a); ρ^e(a)), j = 1, 2, w3e(a) = w₃(Ψ3e(a); ρ3e(a));

операторы ω0jχ(a), w3χ(a), функции ω0j∗(z), w3∗(z) и ω0jF (z), w3F (z) определяются по тем же

формулам, что и операторы ω0je(a), w3e(a), с той лишь разницей, что в нижнем индексе вместо

“ e” нужно взять “ χ”, “ ∗”, “ F ” соответственно; операторы ω_j(Φ_j;ρ^j), ω0j(Ψ_j;ω_j) и w₃(Ψ₃;ρ³)

определены в (10), (13), (14). Отметим, что функции ω0j∗(z), w3∗(z) и ω0jF (z), w3F (z) зависят

соответственно от произвольных постоянных и внешних сил, действующих на оболочку. При

этом, как легко заметить, функции ω01∗(z) = w2∗ + iw1∗, ω02∗(z) = ψ2∗ + iψ1∗ удовлетворяют

системе уравнений (27), следовательно, для них имеют место представления (28).

Исследуем разрешимость системы (42) в пространстве

p (Ω).

Лемма 2. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d), (e). Тогда справедливы следующие

утверждения:

1) ω0je(a) (j = 1, 2) и w3e(a) - линейные ограниченные операторы в

p (Ω);

2) ω0jχ(a) (j = 1, 2) и w3χ(a) - нелинейные ограниченные операторы в

p (Ω), причём

для любых a^j = (wj1, wj2, wj3, ψj1, ψj2) ∈

p (Ω) (j = 1, 2) выполняются оценки

∥ω0jχ(a¹) - ω0jχ(a²)∥

, ∥w3χ(a¹) - w3χ(a²)∥

≤ c(∥a¹∥

+ ∥a²∥

p (Ω)

+ ∥w¹³∥²

+ ∥w²³∥²

)∥a¹ - a²∥

(43)

p (Ω)

где c - известная положительная постоянная, зависящая от физико-геометрических харак-

теристик оболочки;

3) ω0j∗(z), ω0jF (z) ∈

p (Ω), j = 1, 2.

Доказательство. Из представлений для

fje (a), f^χ(a) в (6) и ϕje(a), ϕjχ(a) в (8) следует,

что

e (a) и ϕje(a) - линейные ограниченные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω) и в Cα(Γ)

соответственно; f^χ(a) и ϕ_jχ(a) - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω)

и в C_α(Γ) соответственно; для f3χ(a), ϕ3χ(a) справедливы оценки вида (43), а для f^χ(a),

ϕjχ(a) (j = 1, 2) - оценки

∥f^jχ(a¹) - f^jχ(a²)∥_L

∥ϕ_jχ(a¹) - ϕ_jχ(a²)∥_C

p(Ω),

α(Γ) ≤c(∥w3∥_W (2)

p (Ω)

+ ∥w²³∥

)∥a¹ - a²∥

j = 1,2.

(44)

p (Ω)

Тогда из (40) с учётом ограниченности операторов R_j получаем, что ρ^e(a), μ_ke(a) - ли-

нейные, а ρ^χ(a), μ_kχ(a) - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω) и в Cα(Γ)

соответственно и для ρ^χ(a), μ_kχ(a) справедливы оценки (43). Следовательно, с учётом свойств

интеграла типа Коши из представлений (41) следует, что Φ_ke(a), Ψ^′je(a) - линейные, Φ_kχ(a),

Ψ^′jχ(a) - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в Cα(Ω) и вполне непрерывные

операторы из

p (Ω) в Lq(Ω) при любом q > 1 и в Cα′ (Ω) при всех α^′ < α, причём для

нелинейных операторов Φ_kχ(a), Ψ^′jχ(a) справедливы оценки (43).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

520

ТИМЕРГАЛИЕВ

Заметим, что функции ρ^e(a)(z), μ_ke(a)(t), определённые в (40), являются решением сис-

темы (24) с правой частью

fje (a)(z) (j = 1, 3), ϕke(a)(t) (k = 1, 5). Принимая этот факт

во внимание, а также выражения для операторов

fje (a), ϕke(a) в (6), свойства интеграла

типа Коши и операторов T, S, а также соотношение (4.9) из [13, c. 29] и лемму 1, после

несложных, но достаточно громоздких преобразований получаем, что операторы Φ^′ke(a) =

= Θ^′(μ2ke(a)), Ψ^′′je(a) = i(j-1)(j-2)/2Θ^′(μ2j-1e(a)) (оператор Θ^′(f) определён в (33)) и ρ^e(a)

представимы в виде

Φ^′ke(a) = Φ^′ks(a^′′) + Φ^′kc(a), k = 1,2,

Ψ^′′je(a) = Ψ^′′js(a^′′) + Ψ^′′jc(a), ρ^je(a) = f^js(a^′′) + ρ^jc(a), j = 1,3,

(45)

где Φ^′kc(a), Ψ^′′jc(a), ρ^c(a) - линейные вполне непрерывные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω), а

операторы Φ^′ks(a^′′), Ψ^′′js(a^′′) задаются равенствами

Φ^′ks(a^′′) = f^ks(a^′′) - SSf^ks(a^′′) - (t^′z)²(d_n

[T f^ks(a^′′)]_z - SSnk f^ks(a^′′))/d¹

n_k

(a^′′)]/(2 d1n

)2-δ, n_k = 2(k - 1), k = 1,2,

Ψ^′′js(a^′′) = i(t^′z)²[

s (a^′′) - SS

(a^′′) -

(a^′′)]/(2 d¹

)δ-1, j = 1,2,

n_j

Ψ′′3s(a^′′) = (t^′z)²[f3s(a^′′)/D¹³¹³⁰ -SS(f3s(a^′′)/D¹³¹³⁰)]/2+t^′zRe [(-i)λ-1t^′z][Θ03λ(a^′′)-SΘ03λ(a^′′)], (46)

в которых приняты обозначения

Snj f^js(a^′′) = S(dnj [Tf^js(a^′′)]_ζ) - (t^′z)² d2n

(

s (a^′′) - SSfjs (a′′)),

Θ0nj(a^′′) = δ0nϕk,λμ0,njw_kαλ_αμ , n = 1,3, Θ2nj(a^′′) = δ2nϕk,λμ2,njψ_kαλ_αμ , n,j = 1,2;

δnj1 = 1/Dn212j, δn_j2 = 1/βn_j , j = 1,2, δ03 = 1;

ϕk,λμn

(z) ∈

p (Ω) - известные функции, зависящие, как и функции f^λμnj(z) в (6), только от

δ,mj

упругих характеристик D^mjkn оболочки (при этом отметим, что в случае изотропных оболочек

имеет место тождество ϕ^k,λμn

(z) ≡ 0); операторы f^ks(a^′′), T, S, dnk [f]_z определены в (6),

δ,mj

(10), (11), (16) соответственно; t^′z = dt_z/ds, t_z - точка кривой Γ, ближайшая к z ∈ Ω.

Принимая во внимание указанные выше свойства операторов T, S,

fjs (a^′′) и t^z ∈ Cβ(Γ),

|t^′z| = 1, вследствие определений (46) получаем, что Φ^′ks(a^′′) и Ψ^′′js(a^′′) - линейные ограничен-

ные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω). Теперь, если использовать соотношения (12), (15)-(17),

(45) и оценки (44), то утверждение леммы становится очевидным. Лемма доказана.

Отметим, что в случае изотропных оболочек ω0je(a) (j = 1, 2) и w3e(a) - линейные вполне

непрерывные операторы в

p (Ω).

Систему (42) сведём к системе относительно вторых производных обобщённых перемеще-

ний. С этой целью уравнения (42) дважды дифференцируем по переменным z и z, при этом

используем соотношения (16), (45). Подставляя полученные выражения для ω0jzz, ω0jzz, ω0jzz

(j = 1, 2), w3zz, w3zz в правые части формул (17), приходим к искомой системе относительно

производных второго порядка, которую запишем в виде

a^′′ - P_s(a^′′) = P_c(a) + P_χ(a) + P_F (z),

(47)

где a^′′ - вектор, введённый в (6); P_c(a) - линейный вполне непрерывный и P_χ(a) - нелинейный

ограниченный матричные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω); для Pχ(a) справедлива оценка (44);

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

521

P_F (z) ∈ L_p(Ω) - известная вектор-функция, зависящая от внешних сил; P_s(a^′′) - матричный

оператор с компонентами вида

P^λμjks(a^′′) = P^λμjk(ω0js), Pλμ13s(a^′′) = Pλμ13(w3s), j,k,λ,μ = 1,2,

ω0jszz = i(d1n

ω_jsz + d2n

ω_jsz), ω0jszz = i(d1n

ω_jsz + d2n

ω_jsz),

ω0jszz = Ψ^′′js(a^′′) + iS(d1n

ω_jsζ + d2n

ω_jsζ) - i(t^′z)²[d1n

Φ^′js(a^′′) - d2n

(SΦ^′js(a^′′) -

s (a^′′) + SSfjs (a′′))],

ω_jsz = f^js(a^′′), ω_jsz = Φ^′js(a^′′) + Sf^js(a^′′), j = 1,2;

(48)

операторы P^λμjk определены в (17).

Из выражений (48) вытекает, что P_s(a^′′) относительно a^′′ ∈ L_p(Ω) является линейным

ограниченным оператором в L_p(Ω) и его норма вследствие (48) и неравенства ∥Sf∥Lp(Ω) ≤

≤ Λ_p∥f∥Lp(Ω) [13, c. 66] удовлетворяет оценке

∥P_s(a^′′)∥_L

p(Ω) ≤q(Λp)∥a′′∥Lp(Ω),

где

q(Λ_p) =

max

[qλμ1k(Λ_p), qλμ2δ(Λ_p)], qνβ1k(Λ_p) = 22-δpλμ2δ-11(Λ_p)1_λμ∥fνβ2δ-1k∥C(Ω) +

k=1,3, λ,μ,δ=1,2

+ 2pλμ11+γ (Λ_p)1_λμ∥δ0γ ϕk,νβ0,γδ ∥C(Ω)1^δ + pλμ32 (Λ_p)1_λμ∥ϕk,νβ0,δ3 ∥C(Ω)1^δ, k = 1, 3,

qνβ2k(Λ_p) = 2pλμ21(Λ_p)1_λμ∥fνβ2k∥C(Ω) + 2pλμ21+γ(Λ_p)1_λμ∥δ2γϕk,νβ2,γδ∥C(Ω)1^δ, k,ν,β = 1,2;

pλλj1(Λ_p) = (1 + Λ2p)b_j + [2 + (1 + Λ_p)²]a_j + (1 + Λ_p)(3 + Λ_p)(1 + Λ2p)l_ja2j,

pλλj2(Λ_p) = (1+ Λ_p)[(3+ Λ_p)l_ja_j + 1]/2, pλλj3(Λ_p) = (1+ Λ_p)[(3+ Λ_p)a_j + 2∥d1n

∥C(Ω)],j,λ=1,2;

p12j1(Λ_p) = (1 + Λ_p)²a_j[1 + (1 + Λ2p)l_ja_j] + (1 + Λ2p)b_j, p12j2(Λ_p) = (1 + Λ_p)[1 + (1 + Λ_p)l_ja_j]/2,

p12j3(Λ_p) = (1 + Λ_p)[2∥d1n

∥C(Ω)^+(1+Λp)aj],j=1,2;

pλμ31(Λ_p) = (1/2)(2 + Λ_p + Λ2p)∥1/D¹³¹³⁰∥C(Ω), pλμ32(Λ_p) = 1 + Λ_p, λ,μ = 1,2;

a_j = ∥d1n

∥C(Ω)+∥dnj^∥C(Ω)^,bj=∥1/Dnj12∥C(Ω)/4,lj=∥1/dnj^∥C(Ω)^,nj=2(j-1),j=1,2;

здесь символ a^λμ1_λμ означает суммирование Σ_λ,μa^λμ, Λ_p = ∥S∥Lp(Ω).

Пусть выполнено условие

q(1) < 1,

(49)

где q(1) - значение функции q(Λ_p) при Λ_p = 1. Отметим, что в случае изотропных оболочек

q(Λ_p) = 0.

Несложно видеть, что q(Λ_p) представляет собой непрерывную функцию переменной Λ_p.

Так как Λ_p непрерывна по p и Λ₂ = 1 [13, c. 270], то в силу (49) найдётся такое число ε > 0,

что выполняется неравенство q(Λ_p) < 1, если 2 < p ≤ 2 + ε < 4/(2 - β). Тогда линейный

оператор P_s(a^′′) в пространстве L_p(Ω),

2 < p ≤ 2 + ε, будет сжимающим. Следователь-

но, существует обратный оператор (I - P_s)-1, ограниченный в L_p(Ω), применив который к

уравнению (47), для производных второго порядка обобщённых перемещений получим пред-

ставление

a^′′ = a^′′c(a) + a^′′χ(a) + a^′′F (z),

(50)

где a^′′c(a) = (I - P_s)-1P_c(a), a^′′χ(a) = (I - P_s)-1P_χ(a), a^′′F (z) = (I - P_s)-1P_F (z), I - тожде-

ственный оператор.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

522

ТИМЕРГАЛИЕВ

Заметим, что a^′′c(a) - линейный вполне непрерывный и a^′′χ(a) - нелинейный ограниченный

операторы из

p (Ω) в Lp(Ω), причём для a^χ′ (a) справедлива оценка (43); a^F′ (z) ∈ Lp(Ω) -

известная функция, зависящая от внешних сил.

С учётом представления (50) операторы ω0je(a) и w3e(a), входящие в систему (42), запишем

в виде

ω0je(a) = ω0je,c(a) + ω0je,χ(a) + ω0je,F (z), j = 1,2, w3e(a) = w3e,c(a) + w3e,χ(a) + w3e,F (z),

где ω0je,c(a), w3e,c(a) - линейные вполне непрерывные и ω0je,χ(a), w3e,χ(a) - нелинейные огра-

ниченные операторы в

p (Ω); ω^je,F (z), w3e,F (z) ∈

p (Ω) - известные функции, зависящие

от внешних сил. Тогда система (42) преобразуется к эквивалентному виду

a - K(a) - G(a) = a_∗ + a_F,

(51)

где

K = (K₁,...,K₅), G = (G₁,...,G₅), a_∗ = (w1∗,w2∗,w3∗,ψ1∗,ψ2∗),

aF = (w1F ,

w2F ,w3F

ψ1F

ψ2F ), ω01∗ = w2∗ + iw1∗, ω02∗ = ψ2∗ + iψ1∗,

K3(n-1)+j(a) = -Re[i^jω0ne,c(a)], G3(n-1)+j(a) = -Re[i^jω0ne,χ(a) + ω0nχ(a)], n,j = 1,2;

K₃(a) = w3e,c(a), G₃(a) = w3e,χ(a) + w3χ(a),

w_jF = -Re [i^j(ω01e,F + ω01F )],

ψ_jF = -Re[i^j(ω02e,F + ω02F )], j = 1,2,

w3F = w3e,F + w3F .

Отметим, что K(a) - линейный вполне непрерывный и G(a) - нелинейный ограниченный

операторы в

p (Ω), причём для G(a) имеет место оценка (44); aF ∈

p (Ω) - известная

функция, зависящая от внешних сил, компоненты вектора a_∗ задаются формулами (28).

Покажем, что уравнение a - K(a) = 0 имеет лишь нулевое решение в пространстве

p (Ω),

2 < p ≤ 2+ε. Если a ∈

p (Ω) - ненулевое его решение, то ему по форму-

лам ρ^j (z) = ρ^e(a)(z), μ_k(t) = μ_ke(a)(t) (операторы ρ^e(a), μ_ke(a) определены в (40)) соот-

ветствуют функции ρ^j(z), μ_k(t), которые в свою очередь по формулам Φ_k(z) = Φ_ke(a)(z),

Ψ_j(z) = Ψ_je(a)(z) (операторы Φ_ke(a), Ψ_je(a) определены в (41)) определяют голоморфные

функции Φ_k(z) (k = 1, 2), Ψ_j(z) (j = 1, 3), причём выполнены условия Ψ_j(0) = 0, j = 1, 3.

Тогда вектор a удовлетворяет системе линейных уравнений

ω0j - ω0je(a) = 0, j = 1,2, w₃ - w3e(a) = 0,

следовательно, является решением системы линейных однородных уравнений равновесия, удо-

влетворяющим линейным однородным граничным условиям. Рассуждая так же, как и в случае

системы (24), приходим к заключению, что вектор a удовлетворяет системе e0jk = 0, γ1jk = 0,

γ0j3 = 0, j,k = 1,2. Решая её, для компонент вектора a получаем представления

w₁ = c₄[k2(α²) - k¹¹(α¹)] - c₅α²k⁰¹(α¹) + c₆k⁰¹(α¹) - c₀α² + c₁,

w₂ = c₅[k1(α¹) - k¹²(α²)] - c₄α¹k⁰²(α²) + c₆k⁰²(α²) + c₀α¹ + c₂,

w₃ = -c₄α¹ - c₅α² + c₆, ψ₁ = c₄, ψ₂ = c₅,

∫α^j

∫

α^j

k^mj(α^j) = x^mk_j(x)dx, m = 0,1,

kj (α^j ) = k^j(x)dx, j = 1, 2,

(52)

где c_j - произвольные действительные постоянные, откуда с учётом условий Ψ_j (0) = 0, j =

= 2, 3, w₃(0) = 0 будем иметь w₁ = -c₀α² +c₁, w₂ = c₀α¹ +c₂, w₃ = ψ₁ = ψ₂ ≡ 0. Подставляя

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

523

эти значения обобщённых перемещений в соотношения для операторов

fje (a), ϕke(a) из (6),

(8), получаем, что f_e(a) ≡ 0, следовательно, ρ^j(z) ≡ 0, j = 1, 3. С другой стороны, для ρ¹(z)

справедливо представление (29), откуда следует, что c₀ = 0. Тогда с учётом условия Ψ₁(0) = 0

будем иметь c₁ = c₂ = 0. Итак, существует обратный оператор (I - K)-1, ограниченный в

p (Ω), с помощью которого уравнение (51) сводится к эквивалентному уравнению

a - G_∗(a) = a_c + a_F,

(53)

где G_∗(a) = (I - K)-1G(a), a_c = (I - K)-1a_∗, a_F = (I - K)-1a_F .

Заметим, что вектор a_c, зависящий от шести произвольных постоянных, является реше-

нием однородной системы линейных уравнений равновесия, удовлетворяющим однородным

линейным граничным условиям. Поэтому для его компонент справедливы представления (52).

Также отметим, что вектор a_F в (53) зависит только от внешних сил и a_F = 0, если

внешние силы отсутствуют.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d), (e). Тогда справедливы следующие

утверждения:

1) G_∗(a) - нелинейный ограниченный оператор в

p (Ω), причём для любых вектор-

функций a^j = (wj1, wj2, wj3, ψj1, ψj2) (j = 1, 2) выполняется оценка

∥G_∗(a¹) - G_∗(a²)∥

≤ c_∗(∥a¹∥

+ ∥a²∥

+ ∥w¹³∥²

p (Ω)

+ ∥w²³∥²

)∥a¹ - a²∥

(54)

p (Ω)

где c_∗ - известная положительная постоянная, зависящая от физико-геометрических ха-

рактеристик оболочки;

2) a_c, a_F ∈

p (Ω).

Справедливость леммы 3 вытекает из леммы 2 вследствие указанных выше свойств опера-

торов (I - K)-1 и G.

Исследуем разрешимость уравнения (53) в пространстве

p (Ω), 2 < p ≤ 2 + ε. Исполь-

зуя оценку (54), для любых a^j ∈

p (Ω) (j = 1, 2), принадлежащих шару ∥a∥_W (2)

< r,

p (Ω)

получаем

∥G_∗(a¹) - G_∗(a²)∥

≤ q_∗∥a¹ - a²∥

q_∗ = 2c_∗r(1 + r).

p (Ω)

Предположим, что радиус r шара, внешние силы и вектор a_c таковы, что выполняются

неравенства

q_∗ < 1,

∥a_c + a_F ∥

< (1 - q_∗)r.

(55)‘

p (Ω)

Тогда к уравнению (53) можно применить принцип сжатых отображений [17, c. 146], соглас-

но которому уравнение (53) в шаре ∥a∥

< r имеет единственное решение вида a =

p (Ω)

= R(a_c + a_F ) ∈

p (Ω), которое можно представить в виде

a = a₀ + a^∗, a₀ = R(a_c + a_F) - R(a_c), a^∗ = R(a_c),

(56)

где R - резольвента оператора G_∗, a₀ = (w⁰¹, w⁰², w⁰³, ψ⁰¹, ψ⁰²), a^∗ = (w∗1, w∗2, w∗3, ψ∗1, ψ∗2).

Заметим, что если внешняя нагрузка отсутствует, т.е. a_F = 0, то вектор a₀ нулевой. Тогда

вектор a = a^∗ - это вектор “жёстких смещений” оболочки, т.е. обращает в нуль компоненты

деформации γ^ljk, j, k = 1, 3, l = 0, 1. Необходимо отметить, что эти “жёсткие смещения”

отличаются от реальных жёстких перемещений оболочки как абсолютно твердого тела. Решая

систему γ^ljk = 0, j, k = 1, 3, l = 0, 1, для “жёстких смещений” получаем явные выражения

w∗1 = c₄[k2(α²) - k¹¹(α¹)] - c₅α²k⁰¹(α¹) + c₆k⁰¹(α¹) - c₀α² + c₁ - c²⁴α¹/2 - c₄c₅α²/2,

w∗2 = c₅[k1(α¹) - k¹²(α²)] - c₄α¹k⁰²(α²) + c₆k⁰²(α²) + c₀α¹ + c₂ - c²⁵α²/2 - c₄c₅α¹/2,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

524

ТИМЕРГАЛИЕВ

w∗3 = -c₄α¹ - c₅α² + c₆, ψ∗1 = c₄, ψ∗2 = c₅,

где c_j - произвольные действительные постоянные.

Вектор a₀ определяется внешними силами, действующими на оболочку, вектором a_c и

удовлетворяет неравенствам [17, c. 149]

∥a_F ∥

/(1 + q_∗) ≤ ∥a₀∥

≤ ∥a_F ∥

/(1 - q_∗).

p (Ω)

Вернёмся к условиям разрешимости (39), в которых под a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂) ∈

p (Ω)

будем понимать решение задачи (1), (2). Тогда при помощи системы (1) условия разрешимости

преобразуем к виду

∫∫

∫

∫∫

∫

R^jdα¹ dα² + P^j ds = 0, j = 1,2,

(R¹α² - R²α¹) dα¹ dα² + (P¹α² - P²α¹) ds = 0,

∫∫

∫

[R¹k⁰¹(α¹) + R²k⁰²(α²) + R³] dα¹ dα² +

[P¹k⁰¹(α¹) + P²k⁰²(α²) + P³] ds = 0,

∫∫

{R¹[k2(α²) - k¹¹(α¹)] - R²α¹k⁰²(α²) - R³α¹ + L¹ + R¹w₃} dα¹ dα²+

^Ω ∫

{P¹[k2(α²) - k¹¹(α¹)] - P²α¹k⁰²(α²) - P³α¹ + N¹ + P¹w₃} ds = 0,

∫∫

{R¹α²k⁰¹(α¹) - R²[k1(α¹) - k¹²(α²)] + R³α² - L² - R²w₃} dα¹ dα² +

^Ω ∫

{P¹α²k⁰¹(α¹) - P²[k1(α¹) - k¹²(α²)] + P³α² - N² - P²w₃}] ds = 0,

(57)

Нетрудно видеть, что условия (57), в которых под перемещением w₃ понимается величина

w₃ = w⁰³+w∗3, являются не только достаточными, но и необходимыми условиями разрешимости

задачи (1), (2). Отметим, что в случае линейных задач слагаемые в (57), содержащие w₃,

отсутствуют.

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d), (e), (26), (35) и неравенства (55).

Тогда для разрешимости задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло-

вия (57). В случае их выполнения задача (1), (2) имеет в пространстве

p (Ω), 2<p≤2+

+ ε < 4/(2 - β), обобщённое решение a = (w₁,w₂,w₃,ψ₁,ψ₂) вида (56).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, 1975.

2. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М., 1989.

3. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л., 1978.

4. Карчевский М.М. Исследование разрешимости нелинейной задачи о равновесии пологой незакреп-

лённой оболочки // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2013. Т. 155. № 3. С. 105-110.

5. Тимергалиев С.Н. Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек. Казань,

2011.

6. Тимергалиев С.Н. Доказательство существования решения системы дифференциальных уравнений

с частными производными нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко // Дифференц.

уравнения. 2012. Т. 48. № 3. С. 450-454.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

525

7. Тимергалиев С.Н. О существовании решений геометрически нелинейных задач для пологих оболо-

чек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 2014. № 3. С. 40-56.

8. Тимергалиев С.Н. К вопросу о существовании решений нелинейной краевой задачи для системы

дифференциальных уравнений с частными производными теории пологих оболочек типа Тимошен-

ко со свободными краями // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 3. С. 373-386.

9. Тимергалиев С.Н., Харасова Л.С. Исследование разрешимости одной краевой задачи для системы

нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко // Диффе-

ренц. уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 651-664.

10. Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих

оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 2017. № 4. С. 59-75.

11. Тимергалиев С.Н. К проблеме разрешимости нелинейных задач равновесия пологих оболочек типа

Тимошенко // Прикл. математика и механика. 2018. Т. 82. № 1. С. 98-113.

12. Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений исследования разрешимости краевых задач для

системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих неоднородных оболочек типа

Тимошенко // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2. C. 238-254.

13. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1988.

14. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962.

15. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1963.

17. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.,

1956.

Казанский государственный

Поступила в редакцию 27.11.2020 г.

архитектурно-строительный университет

После доработки 27.11.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021