ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.526-535

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956+519.216

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

С ОТНОСИТЕЛЬНО p-РАДИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

В ПРОСТРАНСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

Рассматривается задача Шоуолтера-Сидорова для стохастического варианта линейного

уравнения Гинзбурга-Ландау в гильбертовых пространствах гладких дифференциальных

форм, заданных на компактном ориентированном римановом многообразии без края, со

стохастическими процессами в качестве коэффициентов. Это уравнение приводится к аб-

страктному стохастическому уравнению соболевского типа с относительно радиальным

оператором в правой части, для которого устанавливается разрешимость задачи Шоуолте-

ра-Сидорова, а устойчивость решений исследуются с помощью дихотомий. Дифферен-

цирование стохастических процессов, являющихся коэффициентами дифференциальных

форм, понимается в смысле производной Нельсона-Гликлиха.

DOI: 10.31857/S0374064121040075

Введение. Линейное обобщённое уравнение Гинзбурга-Ландау

(λ + Δ)α_t = νΔα - ibΔ²α

(1)

изучалось в различных аспектах [1, гл. 2; 2; 3]. Здесь коэффициенты λ, ν, b ∈ R описывают

параметры системы, i - мнимая единица. Мы будем рассматривать уравнение (1) на d-мер-

ном компактном ориентированном римановом гладком многообразии M без края. Здесь Δ -

оператор Лапласа-Бельтрами, а α - k-форма (подробности см. [4, гл. 5, § 2; 5 гл. 6]), коэф-

фициенты которой зависят от t.

Уравнение (1) представляет собой частный случай общего стохастического уравнения со-

болевского типа вида

η=Mη,

(2)

где оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ {0}

⋃ N [6, гл. 2], а η = η(t) - стохастический

η(t) - его производная Нельсона-Гликлиха [7, гл. 8].

Авторами ранее рассматривалась задача Коши

lim

(η(t) - η₀) = 0

(3)

t→0+

для уравнения (1) и задача Шоуолтера-Сидорова

lim

P (η(t) - η₀) = 0

(4)

t→0+

для уравнения

L◦η=Mη+ω.

(5)

(Здесь оператор P - проектор, построенный по операторам L и M.) Были изучены случаи

(L, p)-ограниченного оператора M [8, 9] и сильно (L, p)-секториального оператора M [10].

Кроме того были проведены вычислительные эксперименты [11, 12], иллюстрирующие теоре-

тические положения и выводы [10]. Данная статья инициирована работой [13], однако главное

её отличие от [13] - рассмотрение задач (3), (4) для уравнений (2), (5) в пространствах стоха-

стических k-форм.

526

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

527

Статья кроме введения и списка литературы содержит три пункта. В п. 1, основываясь на

производной Нельсона-Гликлиха, вводятся пространства дифференциальных стохастических

K-“шумов”. В п. 2 описываются расщепления линейных пространств и действия операторов

в случае уравнений соболевского типа и их связь с C₀-полугруппами. В п. 3 определяют-

ся гильбертовы пространства дифференциальных форм, заданных на гладком компактном

римановом многообразии без края, с коэффициентами, являющимися стохастическими про-

цессами. Доказана разрешимость и существование дихотомий, и как следствие устойчивого и

неустойчивого инвариантного подпространств для стохастического варианта линейного урав-

нения Гинзбурга-Ландау.

1. Пространства стохастических K-шумов. Пусть Ω = (Ω,A,P) - вероятностное

пространство, R - множество действительных чисел, наделённое борелевой σ-алгеброй. Из-

меримое отображение ξ : Ω → R называется случайной величиной. Множество случайных

величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией образует гильбертово

пространство L₂ со скалярным произведением (ξ₁, ξ₂) = Eξ₁ξ₂.

Пусть I ⊂ R - интервал. Измеримое отображение η : I × Ω → R назовём стохастическим

процессом, для каждого фиксированного ω ∈ Ω функцию η(·,ω) : I → R - его траекторией,

а для каждого фиксированного t ∈ I случайную величину η(t, · ) : Ω → R - его сечением.

Стохастический процесс η = η(t, ω) назовём непрерывным, если п.н. (почти наверное) все

его траектории непрерывны. Множество непрерывных на I стохастических процессов, чьи

сечения лежат в пространстве L₂, образует банахово пространство CL₂(I) с нормой

∥η∥²⁰ = max Dη(t, · ).

t∈I

Хорошим примером непрерывного стохастического процесса служит винеровский процесс

(

)

∑

β(t, ω) =

ξ_k sin

(2k + 1)t

(6)

k=0

описывающий броуновское движение в модели Энштейна-Смолуховского (подробности смотри

в [2]). Здесь случайные величины ξ_k ∈ L₂ равномерно ограничены, т.е. Dξ_k ≤ K, k ∈ N, K -

некоторая положительная константа, и попарно независимы, т.е. (ξ_k, ξ_l) = 0, k = l, k, l ∈

∈ N. В дальнейшем стохастический процесс β = β(t,ω), определяемый равенством (6), будем

называть броуновским движением.

Пусть A₀ - σ-подалгебра σ-алгебры A. Построим подпространство L⁰² ⊂ L₂ случайных

величин, измеримых относительно σ-подалгебры A₀. Условным математическим ожидани-

ем E(ξ|A₀) случайной величины ξ называется значение Πξ, где Π : L₂ → L⁰² - ортопроектор.

Зафиксируем η ∈ CL₂(I) и t ∈ I, обозначим E^ηt = E(·|N^ηt), где N^ηt - σ-алгебра, порождён-

ная случайной величиной η(t). Производной Нельсона-Гликлиха◦η стохастического процесса

η в точке t ∈ I называется случайная величина

(

◦

⁽η(t + Δt,·) - η(t,·)⁾

⁽η(t,·) - η(t - Δt,·)⁾⁾

η=

lim

E^η

+ lim

E^η

Δt→0+

Δt

Δt→0+

Δt

если предел существует в смысле равномерной метрики на R. Производные Нельсона-Гликли-

ха стохастического процесса η = η(t, ω) определяются по индукции и обозначаются через

◦

η(l) =◦η(l)(t,ω), l ∈ N. Пространство тех стохастических процессов, производные Нельсона-

Гликлиха которых непрерывны на I до порядка l включительно, обозначается через C^lL₂(I).

При любом l ∈ N пространство C^lL₂(I) является банаховым с нормой

∑

∥η∥2l =

max D◦η(k)(t,·),

t∈I

k=0

◦

где◦η⁽⁰⁾ = η. В [14] показано, чтоβ(l) ∈ ClL2(R+) при всех l ∈ N, причём

β(l) = (2t)^-lβ. Заме-

тим, что обычную производную по t броуновского движения β = β(t, ω) (которой, кстати,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

528

ШАФРАНОВ и др.

не существует ни в одной точке t ∈ R₊) принято называть белым шумом. Поэтому произ-

◦

водную Нельсона-Гликлиха

β = (2t)-1β называют “белым шумом” [8, 13-16], а простран-

ства C^lL₂(I) - пространствами “шумов”. Отметим ещё, что “белый шум” отвечает модели

Энштейна-Смолуховского точнее, чем традиционный белый шум (детали см. в [2]). Для полно-

ты картины укажем ещё один подход [17], при котором белый шум понимается как обобщённая

производная броуновского движения. К сожалению, в рассматриваемой ситуации подход [17]

очень трудно реализуем технически.

Пусть H - действительное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произ-

ведением 〈 · , ·〉. Зафиксируем ортонормированный базис {ϕ_k} ⊂ H . Возьмём любую монотон-

∑_∞

ную последовательность K = {λ_k} ⊂ R , удовлетворяющую лишь требованию

λ2k < ∞, и

k=1

произвольную последовательность равномерно ограниченных случайных величин {ξ_k} ⊂ L₂.

Построим случайную K-величину

∑

ξ= λ_kξ_kϕ_k.

k=1

Пополнение линейной оболочки случайных K-величин по норме

∑

∥ξ∥²

H_KL₂

λ2kDξ_k

k=1

является гильбертовым пространством. Обозначим его через H_KL₂ и назовём пространством

случайных K-величин.

2. Относительно радиальные операторы и C₀-полугруппы в пространствах K-

шумов. Пусть U (F) - сепарабельное вещественное гильбертово пространство, через {ϕ_k}

({ψ_k}) обозначим базис в этом пространстве. Выберем последовательность случайных вели-

чин. Аналогично тому, как это сделано выше, построим пространство U_KL₂ (F_KL₂) U-

значных (F-значных) случайных K-величин, элементами которого являются векторы

(

)

∑

ξ= λ_kξ_kϕ_k ζ = λ_kζ_kψ_k

k=1

∑_∞

где последовательность K = {λ_k} ⊂ R₊ такова, что

λ2k < +∞, а {ξ_k} ⊂ L₂ ({ζ_k} ⊂ L₂),

k=1

причём ∥ξ_k∥L2 ≤ const (∥ζk∥L2 ≤ const).

Обозначим через L(U; F) пространство линейных ограниченных операторов, а через

Cl(U;F) - пространство линейных замкнутых операторов с всюду плотной областью опреде-

ления действующих из U в F. Пространства U_KL₂ и F_KL₂ всюду плотны в U и F соот-

ветственно. Справедлива следующая

Лемма 1 [10]. (i) Включение A ∈ L(U; F) имеет место тогда и только тогда, когда

справедливо включение A ∈ L(U_KL₂;F_KL₂);

(ii) включение A ∈ Cl(U;F) имеет место тогда и только тогда, когда справедливо вклю-

чение A ∈ Cl (U_KL₂; F_KL₂).

В силу леммы 1 все результаты [7, гл. 2] можно перенести на пространства случайных

K-величин U_KL₂ и F_KL₂.

Пусть операторы L ∈ L(U; F), M ∈ Cl (U; F). Через ρ^L(M) = {μ ∈ C : (μL - M)-1 ∈

∈ L(F;U)} обозначим L-резольвентное множество, а через σ^L(M) = C \ ρ^L(M) - L-спектр

оператора M.

Оператор-функции R^Lμ(M) = (μL - M)-1L и L^Lμ(M) = L(μL - M)-1 с областью опре-

деления ρ^L(M) называются правой L-резольвентой и левой L-резольвентой оператора M

соответственно, а функции (p + 1)-го переменного μ_q ∈ ρ^L(M), q = 0, p, определяемые равен-

∏_p

ствами RL(μ,p)(M) =

(μ_qL - M)-1L и LL(μ,p)(M) =

L(μ_qL - M)-1, - правой (L, p)-

q=0

резольвентой и левой (L,p)-резольвентой оператора M соответственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

529

Определение 1. Оператор M называется p-радиальным относительно оператора L,

или (L, p)-радиальным, если он удовлетворяет двум условиям:

(i) существует a ∈ R такое, что μ ∈ ρ^L(M) для любого μ > a;

(ii) существует постоянная K > 0 такая, что при любых μ_k > a, k = 0, p, и каждом n ∈ N

имеет место неравенство

(^p∏

)-1

max{∥(RL(μ,p)(M))ⁿ∥L(U

(μ_k

- a)ⁿ

KL2),∥(L(μ,p)(M))n∥L(FKL2)}≤K

k=0

Оператор M называется сильно (L, p)-радиальным слева, если он (L, p)-радиален и суще-

ствует линеал F, плотный в F_KL₂, такой, что

(^p∏

)-1

∥M(λL - M)-1LL(μ,p)(M)f∥ ≤ const × (λ - a)-1

(μ_k - a)

k=0

для всех f ∈ F при любых λ, μ₀, μ₁, μ_p > a.

Оператор M называется сильно (L, p)-радиальным, если он сильно (L, p)-радиален слева и

(^p∏

)-1

∥RL(μ,p)(M)(λL - M)-1∥ ≤ const × (λ - a)-1

(μ_k - a)

k=0

при любых λ, μ₀, μ₁, . . . , μ_p > a.

Лемма 2 [7]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным. Тогда справедливы следу-

ющие утверждения:

(i) длины всех цепочек M-присоединённых векторов оператора L ограничены числом p;

(ii) ядро ker RL(μ,p) совпадает с M-корневым пространством оператора L;

(iii) ker RL(μ,p)

^⋂ im RL(μ,p) = {0} (ker LL(μ,p) ⋂ im LL(μ,p) = {0}).

Определение 2. Отображение V^• ∈ C(R₊;L(H_KL₂)) называется полугруппой в гильбер-

товом пространстве H_KL₂, если V^τ V^t = Vτ+t для всех τ, t ∈ R₊.

Отождествим полугруппу с её графиком {V^t : t ∈ R₊}. Полугруппу {V^t : t ∈ R₊} назовём

C₀-полугруппой (сильно непрерывной полугруппой), если она сильно непрерывна при t > 0 и

существует lim

V tv = v п.н. (т.е. при почти всех ω ∈ Ω). Множество ker V ^• = {v ∈ H_KL2 :

t→0+

п.н. V^tv = 0 для некоторого t = t_ν ∈ R₊} назовём ядром, а множество im V^• = {v ∈ H_KL₂ :

п.н. v = V⁰v} - образом полугруппы {V^t : t ∈ R₊}.

Теорема 1 [15]. Пусть M - (L, p)-радиальный оператор. Тогда существует C₀-полугруп-

па операторов на пространстве U_KL₂ (F_KL₂).

Полугруппу на пространстве U_KL₂ (F_KL₂) можно представить в виде

)k(p+1)

⁽k(p + 1)

U^t = s - lim

RLk(p+1) (M)

∈ L(U_KL₂)

(7)

k→∞

(

)

)k(p+1)

⁽k(p + 1)

F^t = s - lim

LLk(p+1) (M)

∈ L(F_KL₂) .

k→∞

Лемма 3 [7]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным. Тогда

im U^• = im RL(μ,p) (im F^• = im LL(μ,p)).

Пусть M - (L, p)-радиальный оператор. Обозначим ker U^• = U^0KL₂, ker F^• = F^0KL₂,

im U^• = U^1KL₂, im F^• = U^1KL₂, а через L^k (M^k) обозначим сужение оператора L (M) на

UkKL₂ (domM

^⋂UkKL₂) при k = 0,1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

530

ШАФРАНОВ и др.

Лемма 4 [10]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным. Тогда справедливы сле-

дующие утверждения:

(i) имеют место включения L₀ ∈ L(U^0KL₂; F^0KL₂ и M₀ ∈ Cl (U^0KL₂; F^0KL₂);

(ii) существует оператор M-10 ∈ L(F^0KL₂;U^0KL₂);

(iii) оператор H = M-10L (G = LM-10) нильпотентен, причём степень его нильпотент-

ности не превосходит числа p.

Пусть существует оператор

L-11 ∈ L(F^1KL₂;U^1KL₂)

(8)

и пространства U_KL₂ и F_KL₂ расщепляются следующим образом:

U_KL₂ = U^0KL₂

^⊕U^1KL₂ и F_KL₂ = F^0KL₂⊕F^1KL₂.

(9)

Замечание 1. Условия (8) и (9) выполнены, когда гильбертовы пространства U_KL₂ и

F_KL₂ рефлексивны или когда оператор M сильно (L,p)-радиален.

Лемма 5 [15]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным и выполнены условия (8),

(9). Тогда справедливы включения L₁ ∈ L(U^1KL₂;F^1KL₂), M₀ ∈ Cl(U^0KL₂;F^0KL₂).

Любое из расщеплений (9) пространства эквивалентно существованию соответствующего

проектора. Этот проектор имеет вид s - lim U^t.

t→0+

Теорема 2 [15]. Пусть M - (L, p)-радиальный оператор. Тогда оператор S = L-11M₁

(T = M₁L-11) - генератор C₀-полугруппы U•1 (F•1), представляющий собой сужение полу-

группы U^• (F^•) на пространство U^1KL₂ (F^1KL₂).

Непрерывным стохастическим K-процессом назовём отображение η : I → U_KL₂, зада-

ваемое формулой

∑

η(t) =

λ_kη_k(t)ϕ_k,

k=1

если ряд равномерно сходится на любом компакте в I, где {η_k} ⊂ CL₂. Если ряд

∑

◦

η(t) =

λk◦η_k(t)ϕ_k

k=1

равномерно сходится на любом компакте в I и {η_k} ⊂ C¹L₂, то стохастический K-процесс

назовём непрерывно дифференцируемым по Нельсону-Гликлиху. Через C(I; U_KL₂) обозначим

множество непрерывных процессов, а через C¹(I; U_KL₂) - множество процессов, непрерывно

дифференцируемых по Нельсону-Гликлиху.

Рассмотрим линейное стохастическое уравнение соболевского типа

◦

Lη=Mη.

(10)

Стохастический K-процесс η ∈ C¹(I; U_KL₂) назовём решением уравнения (10), если при

подстановке его в это уравнение п.н. получаем тождество.

Определение 3. Множество P ⊂ U_KL₂ назовём фазовым пространством уравнения

(10), если для него выполняются следующие условия:

(i) п.н. каждая траектория решения η = η(t) уравнения (10) лежит в P;

(ii) для п.в. η₀ ∈ P существует решение уравнения (10), удовлетворяющее условию η(0) =

=η₀.

Теорема 3 [7]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным и выполнены условия (8),

(9). Тогда фазовое пространство уравнения (10) совпадает с образом разрешающей полугруп-

пы вида (7).

Определение 4. Подпространство I_K ⊂ U_KL₂ называется инвариантным простран-

ством уравнения (10), если при любом η₀ ∈ I_K решение задачи η(0) = η₀ для уравнения (10)

удовлетворяет включению η ∈ C¹(R; I_K).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

531

Определение 5. (i) Линейное пространство I^+K ⊂ P называется устойчивым инвари-

антным пространством уравнения (10), если существуют такие константы N₁ ∈ R₊ и ν₁ ∈

∈ R₊, что

∥η¹(t)∥_U

KL2 ≤^N1e-ν1(s-t)∥η1(s)∥UKL2прилюбыхs≥t,

где η¹ = η¹(t) ∈ I^+K при всех t ∈ R.

(ii) Линейное пространство I-K ⊂ P называется неустойчивым инвариантным простран-

ством уравнения (10), если существуют такие константы N₂ ∈ R₊ и ν₂ ∈ R₊, что

∥η²(t)∥_U

KL2 ≤^N2e-ν2(t-s)∥η2(s)∥UKL2прилюбыхt≥s,

где η² = η²(t) ∈ I-K при всех t ∈ R.

Если фазовое пространство расщепляется на прямую сумму P = I⁺

^⊕I^-, то говорят, что

решения уравнения (10) имеют экспоненциальную дихотомию.

Обозначим σL+(M) = {μ ∈ σ^L(M) : Re μ < 0} и σ^L-(M) = {μ ∈ σ^L(M) : Re μ > 0}.

Теорема 4 [15]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным, выполнены условия (8),

(9) и σ^L(M) = σL+(M)

^⋃σ^L-(M), причём σL+(M) - непустое ограниченное множество. Тогда

решения уравнения (10) имеют экспоненциальную дихотомию.

Следствие 1. Пусть оператор M является (L,p)-радиальным и выполнены условия (8),

(9). Если σ^L(M) = σL+(M), то фазовое пространство совпадает с устойчивым инвариант-

ным пространством, а если σ^L(M) = σ^L-(M), то - с неустойчивым инвариантным про-

странством.

Далее, рассмотрим неоднородное уравнение

L◦η=Mη+ω,

(11)

где вектор-функция ω принадлежит пространству C^∞(I; F_KL₂), I = [0, t). Пусть M - (L, p)-

радиальный оператор и выполнены условия (8), (9), тогда уравнение (11) можно рассматри-

вать в виде системы двух уравнений

H η⁰ = η⁰ + M-10(I - Q)ω⁰,

η¹ = Sη¹ + L-11Qω¹.

(12)

В силу леммы 4 оператор H нильпотентен, поэтому задача Коши η⁰(0) = η⁰⁰ для уравне-

ния (12) неразрешима при

∑

d^qω⁰

η⁰⁰ = - H^pM-1

(0).

dt^q

q=0

Следовательно, для однозначной разрешимости задачи Коши η(0) = η₀ для уравнения (11)

необходимо на вектор η₀ накладывать дополнительные условия, зависящие от правой части

уравнения.

В силу сказанного выше в качестве начальных условий будем рассматривать условия

Шоуолтера-Сидорова

lim

(R^Lα(M))p+1(η(L) - η₀) = 0.

(13)

t→0+

Пусть M - (L, p)-радиальный оператор и выполнены условия (8), (9), тогда соотношение (13)

эквивалентно условию

P (η(0) - η₀) = 0.

Решение η = η(t) уравнения (11) называется решением задачи (11), (13), если

lim (R^Lα(M))p+1η(t) = (R^Lα(M))p+1η₀.

t→0₊

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

7^∗

532

ШАФРАНОВ и др.

Теорема 5 [15]. Пусть оператор M является (L, p)-радиальным, выполнены условия

(8), (9) и включение ω ∈ C^∞(I;F_KL₂), I = [0,t). Тогда при любом η₀ ∈ U_KL₂ существует

решение η ∈ C¹(I;U_KL₂) задачи Шоуолтера-Сидорова (13) для уравнения (11), имеющее вид

∫

∑

d^qω⁰

η(t) = U^tη₀ -

H^pM-1

(t) + U^t-sω ds.

dt^q

q=0

3. Относительно радиальные операторы в гильбертовых пространствах диф-

ференциальных k-форм со стохастическими коэффициентами. Пусть M - гладкое

компактное ориентированное риманово многообразие без края с локальными координатами

x₁, x₂, ..., x_n. Обозначим через H_k = H_k(M,Ω) пространство гладких дифференциальных

k-форм, k = 0, n, со стохастическими коэффициентами. В наших рассмотрениях коэффици-

енты k-форм могут содержать время t ∈ [0, +∞), но дифференциалы от времени в наборе из

k-форм невозможны, т.е. дифференциальные формы имеют вид

∑

χi1,i₂,...,i_k (t,x1,x2,... ,xn,ω) =

ai1,i₂,...,i_k (t,xi₁ ,xi₂ ,... ,xi_k ,ω)dxi₁ ∧ dxi₂ ∧ ... ∧ dxi_k ,

|i₁,i₂,...,i_k|=k

где ai1,i₂,...,i_k (t, xi₁ , xi₂ , . . . , xi_k , ω) - коэффициенты, зависящие, в том числе, от времени, а

|i₁, i₂, . . . , i_k| - мультииндекс.

В пространствах H_k имеется стандартное скалярное произведение

∫

(ξ, ε)₀ = ξ ∧ ∗ε, ξ, ε ∈ H_k.

(14)

Здесь ∗ - оператор Ходжа и ∧ - оператор внутреннего умножения k-форм.

Пополняя по непрерывности пространство H_k по норме ∥ · ∥₀, соответствующей скаляр-

ному произведению (14), получаем пространство H0k. Вводя скалярные произведения в прост-

ранствах дифференцируемых или дважды дифференцируемых (в смысле Нельсона-Гликлиха)

k-форм и пополняя пространства по нормам, соответствующим этим скалярным произведе-

ниям, построим пространства H1k и H2k соответственно. Для этих гильбертовых пространств

имеют место непрерывные вложения H2k ⊆ H1k ⊆ H0k.

В построенных пространствах мы можем использовать обобщение лапласиана - оператор

Лапласа-Бельтрами Δ = dδ + δ d, где d - оператор внешнего умножения дифференциальных

форм, а оператор δ = ∗d∗ сопряжён к оператору d.

Замечание 2. Оператор Лапласа-Бельтрами на 0-формах, заданных в декартовой системе

координат, с точностью до знака совпадает с обычным оператором Лапласа.

Для полученных пространств имеет место обобщение теоремы Ходжа-Кодаиры.

Теорема 6 [10]. Для пространства H^lk, l = 0, 1, 2, имеет место следующее разложение

в прямую сумму подпространств:

Hlk = H^lkd

^⊕Hlkδ ⊕HlkΔ, l = 0,1,2,

где H_kd - потенциальные, H_kδ - соленоидальные, H_kd - гармонические формы.

Следствие 2. В условиях теоремы имеет место разложение

Hlk = (HlkΔ)^⊥

^⊕HlkΔ, l = 0,1,2.

Аналогично рассуждениям п. 1 введём в рассмотрение пространства случайных K-ве-

личин и пространства K-“шумов”, определённых на многообразии M. Пусть K = {λ_k} -

∑_∞

последовательность такая, что

λ2k < +∞. Через {ϕ_k} ⊂ H0k и {ψ_k} ⊂ H2k обозначим сис-

k=1

темы собственных векторов оператора Лапласа-Бельтрами, ортонормированные относительно

скалярного произведения в этих пространствах. Эти системы образуют базисы в пространст-

∑_∞

вах H0k и H2k. Элементами пространств H0kKL₂ и H2kKL₂ являются векторы χ =

λ_kξ_kϕ_k

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

533

∑_∞

и κ =

λ_kζ_kψ_k, в которых последовательности случайных величин {ξ_k} ⊂ L₂ и {ζ_k} ⊂

k=1

⊂ L₂ таковы, что для дисперсий выполняются неравенства Dξ_k ≤ const и Dζ_k ≤ const при

всех k ∈ N. По аналогии с п. 2 построим множество непрерывных процессов C(I; H0kKL₂) и

множество непрерывно дифференцируемых по Нельсон-Гликлиху процессов C¹(I; H0kKL₂).

Далее, перейдём к вопросу о существовании и устойчивости решений уравнения (1) в прост-

ранствах H0kKL₂. Для этого операторы L, M : H0kKL₂ → H2kKL₂ определим формулами

L = λ + Δ, M = νΔ - ibΔ²

(15)

и уравнение (1) сведём к уравнению

◦

Lχ = Mχ.

(16)

Лемма 6. При любых ν, λ, d ∈ R оператор M сильно (L, 0)-радиален.

Доказательство. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами {σ_k} ⊂ R дискретен, конечно-

кратен и сгущается к +∞ [5, гл. 6]. Рассмотрим L-спектр μ_k = (νσ_k - ibσ2k)/(λ + σ_k) опе-

ратора M, перейдём к пределу при k → +∞, получим в пределе ν - i∞, что и означает

(L, 0)-радиальность.

Теорема 7. (i) Если λ ∈ {σ_k}, то фазовое пространство уравнения (16) совпадает с

пространством H0kKL₂.

(ii) Если λ ∈ {σ_k}, то фазовым пространством уравнения (16) является пространство

P = {ε ∈ H0kKL₂ : 〈ε,ϕ_l〉 = 0, σ_l = λ}.

Доказательство вытекает из теоремы 3 при выборе в качестве пространства U_KL₂ прост-

ранства H0kKL₂.

Относительный спектр оператора M представим в виде двух не пересекающихся компо-

нент σ^L(M) = σL+(M)

^⋃σ^L-(M), где

{

}

{

}

νσ_k - ibσ2k

νσ_k - ibσ²

σL+(M) = μ_k =

, σ_k < -λ и σ^L-(M) = μ_k =

^k, σ_k > -λ

λ+σ_k

Теорема 8. (i) При любых ν, λ ∈ R_- и b ∈ R существуют конечномерное неустойчи-

вое и бесконечномерное устойчивое инвариантные пространства уравнения (16) и решения

уравнения (1) имеют экспоненциальную дихотомию.

(ii) При любых ν ∈ R_-, λ ∈ R₊ и b ∈ R фазовое пространство уравнения (16) совпадает

с устойчивым инвариантным пространством.

Доказательство следует из теоремы 4.

Наконец, рассмотрим неоднородное стохастическое уравнение Гинзбурга-Ландау

(λ + Δ)χ_t = νΔχ - ibΔ²χ + θ

(17)

в пространстве дифференциальных форм со стохастическими коэффициентами Hq0KL₂, за-

данных на гладких компактных ориентированных римановых многообразиях без края. Заме-

нив по формуле (15) и обозначив неоднородность ω = Θ, получим уравнение вида (11) и

можем для задачи с условием Шоуолтера-Сидорова

P (χ(0) - χ₀) = 0

(18)

применить теорему 5. Тогда справедлива

Теорема 9. При любых ν, λ, b ∈ R, вектор-функции ω ∈ C^∞(I; F_KL₂), I = [0, t), и про-

извольном χ₀ ∈ U_KL₂ существует решение χ ∈ C¹(I; U_KL₂) задачи Шоуолтера-Сидорова

(18) для уравнения (17), имеющее вид

∫

∑

d^qω⁰

χ(t) = U^tχ₀ -

(L-11M₁)^pM-1

(t) + U^t-sω ds,

dt^q

q=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

534

ШАФРАНОВ и др.

где

⎧

⎪∑

⎪

eμkt〈·,ϕ_k〉ϕ_k,

⎨

U^t =

k=1∑

⎪

eμkt〈·,ϕ_k〉ϕ_k,

⎩

k:σ_k=λ

а операторы определяются равенствами

⎧

⎪∑

⎪

(λ + σ_k)-1〈 · , ϕ_k〉ϕ_k,

⎨

L-11 =

k=1∑

⎪

(λ + σ_k)-1〈 · , ϕ_k 〉ϕ_k,

⎩

k:σ_k=λ

⎧

⎪∑

⎧

⎪

(νσ_k - ibσ2k)〈 · , ϕ_k 〉ϕ_k,

⎨O, σk = λ, k ∈ N,

⎨

∑

M₁ =

M-10 =

k=1∑

(νσ_k - ibσ2k)-1〈 · , ϕ_k〉ϕ_k.

⎪

⎩

⎪

(νσ_k - ibσ2k)〈 · , ϕ_k 〉ϕ_k,

⎩

k:σ_k=λ

Доказательство следует из теоремы 5 с учётом того, что операторы имеют вид (15), а

также исходя из стандартного [10] представления полугруппы U^t. Запись операторов L-11,

M₁, M-10 соответствует разложению операторов из формулы (15) по собственным функциям

используемого в нашем случае оператора Лапласа-Бельтрами.

В заключении отметим, что один из способов обобщить результаты работы состоит в изуче-

нии вопросов разрешимости и устойчивости решений нелинейного стохастического уравнения

Гинзбурга-Ландау (λ + Δ)χ_t = νΔχ - ibΔ²χ + βχ³, где β ∈ C.

Исследование Г.А. Свиридюка выполнено при финансовой поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований и Челябинской области (проект 20-41-000001).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загребина С.А., Сагадеева М.А. Устойчивые и неустойчивые многообразия решений полулинейных

уравнений соболевского типа. Челябинск, 2016.

2. Sagadeeva M.A., Zagrebina S.A., Manakova N.A. Optimal control of solutions of a multipoint initial-final

problem for non-autonomous evolutionary Sobolev type equation // Evolut. Equat. and Contr. Th. 2019.

V. 8. № 3. P. 473-488.

3. Сагадеева М.А., Шулепов А.Н. Об одной нелинейной модели на основе относительно радиального

уравнения соболевского типа // Вестн. Одесского нац. ун-та. Сер. Математика и механика. 2013.

Т. 18. № 2. С. 35-43.

4. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. M., 2005.

5. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., 1987.

6. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators.

Utrecht; Boston; Koln; Tokyo, 2003.

7. Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics. London;

Dordrecht; Heidelberg; New York, 2011.

8. Shafranov D.E., Kitaeva O.G. The Barenblatt-Zheltov-Kochina model with the Showalter-Sidorov

condition and additive “white noise” in spaces of differential forms on Riemannian manifolds without

boundary // Global and Stoch. Anal. 2018. V. 5. № 2. P. 145-159.

9. Kitaeva O.G., Shafranov D.E., Sviridyuk G.A. Exponential dichotomies in Barenblatt-Zheltov-Kochina

model in spaces of differential forms with “noise” // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат.

моделирование и программирование. 2019. Т. 12. Вып. 2. С. 47-57.

10. Kitaeva O.G., Shafranov D.E., Sviridyuk G.A. Degenerate holomorphic semigroups of operators in spaces

of k-“noises” on Riemannian manifolds // Semigroups of Operators-II Theory and Applications SOTA

2018. Springer Proc. in Math. and Statistics. Cham, 2020. V. 325. P. 279-292.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

535

11. Kitaeva O.G. Stable and unstable invariant spaces of one stochastic non-classical equations with a

relatively radial operator on a 3-torus // J. of Comp. and Eng. Math. 2020. V. 2. P. 40-49.

12. Shafranov D.E. Numerical solutions of the Dzektser equation with “white noise” in the space of smooth

differential forms on a torus // J. of Comp. and Eng. Math. 2020. V. 2. P. 58-65.

13. Favini A., Sviridyuk G.A., Sagadeeva M.A. Linear Sobolev type equations with relatively p-radial

operators in space of “noises” // Mediterranean J. of Math. 2016. V. 6. № 13. P. 4607-4621.

14. Favini A., Sviridyuk G.A., Manakova N.A. Linear Sobolev type equations with relatively p-sectorial

operators in space of “noises” // Abstr. and Appl. Anal. 2015. V. 15. 8 p.

15. Свиридюк Г.А., Манакова Н.А. Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера-

Сидорова с аддитивными “шумами” // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование

и программирование. 2014. Т. 7. Вып. 1. С. 90-103.

16. Favini A., Sviridyuk G.A., Zamyshlyaeva A.A. One class of Sobolev type equations of higher order with

additive “white noise” // Commun. on Pure and Appl. Anal. 2016. V. 1. № 15. P. 185-196.

17. Melnikova I.V. Abstract stochastic equations ii solutions spaces of abstract stochastic distributions // J.

of Math. Sci. 2003. V. 5. № 116. P. 3620-3656.

Южно-Уральский государственный университет,

Поступила в редакцию 23.11.2020 г.

г. Челябинск

После доработки 23.11.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021