ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.536-551

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЯХ С ЯДРАМИ, ПРЕДСТАВИМЫМИ

ИНТЕГРАЛАМИ СТИЛТЬЕСА

Рассматриваются заданные на положительной полуоси абстрактные линейные неоднород-

ные интегро-дифференциальные уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве,

имеющие неограниченные коэффициенты и интегральные слагаемые типа вольтерровой

свёртки с ядрами, представимыми интегралом Стилтьеса от убывающей экспоненты. Изу-

чаемые уравнения представляют собой абстрактную форму интегро-дифференциальных

уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих

ряд других важных приложений. Найдены достаточные условия, при выполнении кото-

рых начальная задача для рассматриваемых уравнений корректно разрешима в весовых

пространствах Соболева, а также установлена локализация и структура спектра оператор-

функций, являющихся символами этих уравнений. Предложенный подход может быть при-

менён для исследования других интегро-дифференциальных уравнений такого вида.

DOI: 10.31857/S0374064121040087

1. Введение. Постановка задачи. Работа посвящена исследованию интегро-диффе-

ренциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом

пространстве. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое

уравнение, возмущённое слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы.

Эти уравнения могут быть реализованы как интегро-дифференциальные уравнения в част-

ных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [1-4]), а также как интегро-

дифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [5-7]), которые описывают процесс рас-

пространения тепла в средах с памятью, кроме того, указанные уравнения возникают в задачах

усреднения в многофазных средах (закон Дарси) (см. [8]).

Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряжённый положитель-

ный оператор, A^∗ = A ≥ κ₀ (κ₀ = const > 0), действующий в пространстве H, име-

ющий компактный обратный. Пусть B - симметрический неотрицательный оператор, т.е.

(Bx, y) = (x, By) и (Bx, x) ≥ 0 для любых x, y ∈ Dom (A), удовлетворяющий неравен-

ству ∥Bx∥ ≤ κ∥Ax∥,

0 < κ = const < 1, для любого x ∈ Dom(A), Через I обозначаем

тождественный оператор в пространстве H.

Рассмотрим для заданного на положительной полуоси R₊ := (0, +∞) интегро-дифферен-

цильного уравнения второго порядка

∫

d²u(t)

+ Au(t) + Bu(t) - K(t - s)Au(s) ds - Q(t - s)Bu(s) ds = f(t), t ∈ R₊,

(1)

dt²

начальную задачу

u(+0) = ϕ₀,

(2)

u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁.

(3)

Предположим, что в уравнении (1) ядра K(t) и Q(t) интегральных операторов имеют сле-

дующее представление:

+^∞

∫

K(t) = e^-tτ dμ(τ), Q(t) =

e^-tτ dη(τ),

(4)

536

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

537

где dμ и dη - положительные меры, порождаемые возрастающими непрерывными справа

функциями распределения μ и η соответственно. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса.

Кроме того, будем считать, что выполнены условия

∫

dμ(τ)

dη(τ)

< 1,

< 1.

(5)

Условия (5) означают, что имеют место включения K(t), Q(t)∈L₁(R₊) и оценки ∥K∥L1 <1,

∥Q∥L1 < 1. Если к условиям (5) добавить также условия

+∞

∫

K(0) = dμ(τ) ≡ Var μ|∞0 < +∞, Q(0) = dη(τ) ≡ Var η|+∞0 < +∞

(6)

в предположении, что носители функций μ и η принадлежат полуоси (d₀, +∞), d₀ > 0, то

ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W¹¹(R₊).

Введём обозначение

A₀ := A + B.

Согласно известному результату (см. теорему в [9, с. 361]) оператор A₀ является самосопря-

жённым и положительным. Превратим область определения Dom (Aβ0 ) оператора Aβ0, β > 0,

в гильбертово пространство H_β, введя на Dom (Aβ0 ) норму ∥ · ∥_β = ∥Aβ0 · ∥, эквивалентную

норме графика оператора Aβ0 .

Замечание 1. Из свойств операторов A и B следует, что оператор A₀ является обрати-

мым, операторы AA-10, BA-10 - ограниченные, а оператор A-10 - компактный.

Интегро-дифференциальное уравнение (1) представляет собой абстрактную форму дина-

мического уравнения вязкоупругости, операторы A и B в котором порождаются следующими

дифференциальными выражениями:

(

)

A = -ρ-1μ Δu +

grad (div u)

B=-

ρ-1λgrad (div u),

где u = u(x, t) ∈ R³ - вектор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды,

среда заполняет ограниченную область Ω ⊂ R³ с достаточно гладкой границей ∂Ω, ρ -

постоянная плотность, ρ > 0, λ - коэффициенты Ламе, μ - положительные постоянные, K(t),

Q(t) - функции релаксации, характеризующие наследственные свойства среды. На границе

области ∂Ω выполняется краевое условие Дирихле

u|∂Ω = 0.

(7)

В качестве пространства H рассматривается пространство трёхмерных вектор-функций L₂(Ω).

Область определения Dom (A) принадлежит векторному пространству Соболева W²²(Ω) и

естественно выделяется краевым условием (7). Условия (5) имеют конкретный физический

смысл (подробнее см. [1, 2]).

В случае, когда оператор B является нулевым, а самосопряжённый положительный опе-

ратор A может быть реализован либо как Ay = -y^′′(x), где x ∈ (0, π), y(0) = y(π) = 0,

либо как Ay = -Δy с условиями Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой гра-

ницей, уравнение (1) представляет собой абстрактную форму уравнения Гуртина-Пипкина,

описывающего процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью (см.

подробнее [5-8]).

В наших предшествующих работах [10-14] проводилось подробное исследование задачи

(1)-(3) в случае, когда ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) представимы в виде рядов

убывающих экспонент с положительными коэффициентами, а также в случае, когда оператор

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

538

ВЛАСОВ, РАУТИАН

B нулевой. Наш подход к исследованию основан на спектральном анализе оператор-функ-

ции (8) (см. ниже), который также даёт возможность установить корректную разрешимость и

получить представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонентам, соответству-

ющим точкам спектра оператор-функции L(λ). Указанные результаты подытожены в моно-

графии [10, гл. 3]. Эти же вопросы рассматриваются в настоящей работе для более общего,

чем в [10-14], уравнения (1).

2. Формулировка результатов. Через Wn2,γ(R₊,A₀) обозначим пространство Соболева

вектор-функций на полуоси R₊ со значениями в H, снабжённое нормой

∫

)1/2

∥u∥_W n

(R₊,A₀) ≡

e-2γt(∥u(n)(t)∥2H + ∥An/20u(t)∥2H)dt

γ ≥ 0.

2,γ

Подробнее о пространствах Wn2,γ(R₊, A₀) см. монографию [15, гл. 1]. При n = 0 полагаем

W02,γ(R₊,A₀) ≡ L2,γ(R₊,H), при γ = 0 будем писать Wn2,0 = Wn2.

Определение 1. Будем называть вектор-функцию u(·) сильным решением задачи (1)-

(3), если она принадлежит пространству W22,γ(R₊, A₀) для некоторого γ ≥ 0, удовлетворяет

уравнению (1) почти всюду на полуоси R₊ и начальным условиям (2), (3).

Преобразование Лапласа сильного решения задачи (1)-(3) с нулевыми начальными усло-

виями ϕ₀ = ϕ₁ = 0 имеет следующее представление:

û(λ) = L-1(λ

f (λ).

Здесь

f (λ) - преобразование Лапласа вектор-функции f(t), t ≥ 0, оператор-функция L(λ)

является символом уравнения (1) и имеет следующий вид:

L(λ) = λ²I + A + B -K(λ)A -Q(λ)B,

(8)

где, как сказано выше,

^K(λ) и

^Q(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t) соот-

ветственно, т.е., как несложно убедиться,

+∞

∫

dμ(τ)

dη(τ)

^K(λ) =

^Q(λ) =

λ+τ

Определение 2. Вектор-функцию u(t) ∈ W12,γ(R₊,A1/20) назовём обобщённым (слабым)

решением задачи (1)-(3), если u(t) удовлетворяет интегральному тождеству

-〈u⁽¹⁾(t), v⁽¹⁾(t)〉L2,γ + 〈(A + B)1/2u(t), (A + B)1/2v(t)〉L2,γ + 2γ〈u⁽¹⁾(t), v(t)〉L2 ,γ -

'∫ t

(

− K(t - s)(A + B)-1/2Au(s)ds,(A + B)1/2v(t)

L2,γ

'∫t

(

− Q(t - s)(A + B)-1/2Bu(s)ds,(A + B)1/2v(t)

- 〈f(t), v(t)〉L2,γ - 〈ϕ₁, v(0)〉 = 0

(9)

L2,γ

для любой вектор-функции v(t) ∈ W12,γ(R₊, A1/20), а также условиям (2), (3).

Отметим, что, согласно определению пространства W12,γ (R₊, A1/20), вектор-функции u⁽¹⁾(t)

и A1/20u(t) принадлежат пространству L2,γ0(R₊,H), поскольку норма в этом пространстве

задаётся формулой

∫

)1/2

∥u∥

≡

e-2γt(∥u⁽¹⁾(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H)dt

γ ≥ 0.

W12,γ (R₊,A1/20

)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

539

Корректная разрешимость. Следующие теоремы дают достаточное условие корректной

разрешимости задачи (1)-(3).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)-(6), f^′(t) ∈ L2,γ0 (R₊, H) для некоторого γ₀ ≥ 0

и f(0) = 0, кроме того, ϕ₀ ∈ H₁, ϕ₁ ∈ H1/2. Тогда существует такое γ₁ ≥ γ₀, что для

любого γ > γ₁ задача (1)-(3) имеет единственное решение в пространстве W22,γ(R₊, A₀),

удовлетворяющее неравенству

∥u∥_W 2

≤ d(∥f^′(t)∥_L

2,γ

(R₊,A₀)

2,γ (R+,H) +^∥A0^ϕ0^∥H+∥A0/2ϕ1∥H ),

где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4)-(6), f(t) ∈ L2,γ0 (R₊, H) для некоторого γ₀ ≥ 0

и, кроме того, ϕ₀ ∈ H1/2, ϕ₁ ∈ H. Тогда существует такое γ₁ ≥ γ₀, что для любого γ >

> γ₁ задача (1)-(3) имеет обобщённое решение в пространстве W12,γ(R₊,A1/20), для которого

справедлива следующая оценка:

∥u∥

≤ d(∥f(t)∥L2,γ (R₊,H) + ∥A0/2ϕ0∥H + ∥ϕ1∥H ),

W12,γ(R₊,A1/20)

где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Спектральный анализ. Отметим, что в работах [13, 14] изучались интегро-дифферен-

циальные уравнения с сингулярными ядрами.

Перейдём к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выпол-

нены условия (4)-(6). Имеет место

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4)-(6). Тогда спектр оператор-функции L(λ) ле-

жит в открытой левой полуплоскости {λ ∈ C : Re λ < 0} и справедливо неравенство

∥A1/2L-1(λ)A1/2∥ ≤ const, Re λ > γ > 0.

(10)

Условия (5) являются существенными для устойчивости решения задачи (1)-(3).

Замечание 2. При нарушении условия (5), т.е. при выполнении неравенства

∫

dμ(τ)

> 1,

(11)

в правой полуплоскости может оказаться бесконечное число вещественных собственных зна-

чений оператор-функции L(λ).

Поясним это замечание, рассмотрев следующий частный случай: функция η(τ) и оператор

B нулевые, η(τ) = 0 и B = 0, а функция μ(τ) является ступенчатой функцией, имеющей

представление

∑

μ(τ) =

c_jχ[γ_j,γj+1),

j=1

где χ[γ_j , γj+1) - характеристические функции полуинтервалов [γ_j , γj+1),

0<γ_j <γj+1, j ∈

∈ N, и γ_j → +∞ при j → +∞. В этом случае условие (11) примет вид

∑

c_j

> 1.

j=1

K (λ), где

⌢

∑

c_j

K (λ) =

λ+γ_j

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

540

ВЛАСОВ, РАУТИАН

В силу сделанных предположений относительно оператора A его собственные векторы {e_j }∞j=1

образуют ортонормированный базис пространства H. Пусть вектору e_j отвечает собственное

значение a_j (Ae_j = a_je_j ). Тогда a_j → +∞ при j → +∞. Рассмотрим скалярные функции

∑

c_j

l_n(λ) := (L(λ)e_n,e_n) = λ² + a_n - a_n

λ+γ_j

j=1

являющиеся сужениями оператор-функции L(λ) на одномерные подпространства, натянутые

на собственные векторы e_n. Тогда уравнение l_n(x) = 0, x ∈ R, может быть записано в виде

ϕn(x) = ψ(x), где

∑

c_j

ϕn(x) =

+ 1, ψ(x) =

a_n

x+γ_j

j=1

Заметим, что на полуоси [0, +∞) функция ψ(x) является монотонно убывающей и достигает

∑_∞

на ней своего максимума при x = 0 и что этот максимум равен

(c_j /γ_j ) > 1. Поэтому

j=1

график функции ψ(x) пересекается с графиками парабол ϕ_n(x) при положительных значе-

ниях x_n, являющихся собственными значениями оператор-функции L(λ). При этом с ростом

n нули x_n будут стремиться к точке x^∗, являющейся решением уравнения ψ(x) = 1 при

положительных x, поскольку a_n → +∞ при n → +∞.

∑_∞

В случае

(c_j /γ_j ) = 1 точка λ = 0 является собственным значением оператор-функ-

j=1

ции L(λ) бесконечной кратности.

Следующие теоремы 4 и 5 доказаны в нашей работе [12].

Теорема 4. Пусть выполнены условия (4)-(6) и носители мер μ(τ), ν(τ) принадлежат

отрезку [d1, d2], где

< d₁ < d₂ < +∞). Тогда для любого сколь угодно малого θ₀ >

> 0 существует такое число R₀ > 0, что спектр оператор-функции L(λ) принадлежит

множеству

Ω = {λ ∈ C : Reλ < 0,

|λ| < R₀}

^⋃ {λ ∈ C : α₁ ≤ Re λ ≤ α₂},

где α₁ = α₀ - θ₀, R₀ ≥ max(d₂, -α₀ + θ₀),

((K(0)A + Q(0)B)f, f)

α₀ = -

sup

α₂ = -

inf

f ∈ D(A).

∥f∥=1

((A + B)f, f)

∥f∥=1

((A + B + d²²I)f, f)

При этом существует такое γ₀ > 0, что для оператор-функции L-1(λ) на множестве

{λ : Re λ < -R₀}

^⋃ {λ : Re λ > γ₀} справедлива оценка

const

∥L-1(λ)∥ ≤

|λ||Re λ|

Утверждение. Для величины α₀ справедлива следующая оценка:

α₀ ≥ -

∥A-1/20(K(0)A + Q(0)B)A-1/20∥.

Замечание 3. Согласно лемме 2.1 из работы [16] оператор A-1/2BA-1/2 допускает огра-

ниченное замыкание в пространстве H. Отсюда следует, что оператор A-1/2A₀A-1/2 = I +

+ A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в H. В свою очередь, в силу упомяну-

той леммы 2.1 из работы [16] и в силу самосопряжённости оператора A₀ = A + B оператор

A-1/20AA-1/20 также допускает ограниченное замыкание в пространстве H.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда невещественная часть спектра

оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной оси и состоит из соб-

ственных значений конечной алгебраической кратности, причём для любого ε > 0 в области

Ω_ε := Ω\{λ : |Imλ| < ε} собственные значения являются изолированными, т.е. не имеют

точек накопления.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

541

Отметим, что оператор-функция вида (8) в случае, когда ядра интегральных операторов

являются рядами убывающих экспонент с положительными коэффициентами, изучалась в

работе [11]. Теоремы 4, 5 представляют собой естественное развитие результатов, изложен-

ных в монографии [10]. Отметим также, что оператор-функция вида (8) в случае, когда ядра

интегральных операторов являются суммами дробно-экспоненциальных функций (функций

Работнова) с положительными коэффициентами, изучалась в работах [13, 14].

Обозначим через N(μ; L(λ)) кратность характеристического числа λ = μ оператор-функ-

ции L(λ). Пусть Ω ⊂ C - область. Введём функцию ν(r; Ω; L(λ)) переменной r ∈ R, пред-

ставляющую собой функцию распределения в области Ω. Предполагая L(λ) аналитической

оператор-функцией в области Ω, положим

∑

ν(r; Ω; L(λ)) :=

N (μ; L(λ)).

μ∈Ω

|μ|<r

Причём, если в области Ω

^⋂ {λ : |λ| < r} лежит бесконечное число характеристических чисел

функции L(λ) или N(μ; L(λ)) = +∞ хотя бы в одной точке μ ∈ Ω с |μ| < r, то полагаем,

что ν(r; Ω; L(λ)) = +∞. Обозначим область

Ψ_θ,η := {λ : |λ| > η,

| arg λ| < θ},

где π/2 < θ < π, причём здесь -π < arg λ ≤ π. В дальнейшем запись ν₁(t) ∼ ν₂(t) означает,

что ν₁(t)/ν₂(t) → 1 при t → +∞.

Следуя [17], через ℜ обозначим множество таких неубывающих функций ν(r), определён-

ных при достаточно больших вещественных r, что для каждой функции ν(r) ∈ ℜ существует

постоянная a > 1, для которой ν(ar) ≥ 2ν(r) при достаточно больших r. Пусть ℑ - множе-

ство неубывающих функций ν(r), обладающих свойством: для каждого ε > 0 найдётся такое

δ > 0, что ν(r + δr) ≤ (1 + ε)ν(r) для всех r из области определения.

Обозначим через P (λ) следующую оператор-функцию:

P (λ) := λ²I + A + B.

Используя теорему 2.1 [17] и теорему 4, получаем, что справедлива

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 3 и ν(r; Ψ_θ,η; P (λ)) ∈ ℜ

^⋂ℑ. Тогда спектр

оператор-функции L(λ) в области Ψ_θ,η состоит из дискретных точек спектра и справед-

ливо соотношение

ν(r; Ψ_θ,η; P (λ)) ∼ ν(r; Ψ_θ,η; L(λ)).

(12)

Обозначим через N(r, A1/20) число собственных чисел оператора A1/20 (подсчитанных с

учётом кратности) меньших чем r.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда ν(r,Ψ_θ,η,L(λ)) ∼ 2N(r,A1/20).

Утверждение следствия немедленно вытекает из теоремы 6 и соотношения

P (λ) = λ²I + A₀ = (λI - iA1/20)(λI + iA1/20).

Отметим, что в работах [18, 19] получены результаты о корректной разрешимости и по-

лучены оценки классических решений задачи вида (1)-(3), основанные на применении теории

полугрупп к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.

3. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1 приведено в ста-

тье [11].

Доказательство теоремы 2. Вначале докажем теорему в случае однородных (нулевых)

начальных условий (ϕ₀ = ϕ₁ = 0). Для доказательства корректной разрешимости задачи

(1)-(3) используем преобразование Лапласа. Напомним основные определения и утверждения,

которые будут использоваться далее.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

542

ВЛАСОВ, РАУТИАН

Определение 3. Назовём пространством Харди H₂(Re λ > γ,H) класс вектор-функций

f (λ) со значениями в H, голоморфных (аналитических) в полуплоскости {λ ∈ C : Re λ >

> γ ≥ 0}, для которых справедливо соотношение

∫

sup

f (x + iy)∥2H dy < +∞ (λ = x + iy).

x>γ

-∞

Сформулируем известную теорему Пэли-Винера для вектор-функций в пространстве Хар-

ди H₂(Re λ > γ, H).

Теорема (Пэли-Винер). 1. Пространство H₂(Re λ > γ, H) совпадает с множеством

вектор-функций (преобразований Лапласа), представимых в виде

∫

f (λ) =

√

e^-λtf(t)dt,

(13)

2π

где f(t) ∈ L2,γ(R₊, H), λ ∈ C, Re λ > γ ≥ 0.

2. Для любой вектор-функции

f (λ) ∈ H₂(Re λ > γ, H) существует и единственно пред-

ставление (13), где вектор-функция f(t) принадлежит пространству L2,γ(R₊, H), и спра-

ведлива формула обращения

∫

f (t) =

√

f (γ + iy)e(γ+iy)t dy, t ∈ R₊, γ ≥ 0.

2π

-∞

3. Для вектор-функций

f (λ) ∈ H₂(Re λ > γ, H) и f(t) ∈ L2,γ(R₊, H), связанных соотно-

шением (13), справедливо равенство

∫

f∥2H

≡ sup

f (x + iy)∥2H dy =

e-2γt∥f(t)∥2H dt ≡ ∥f∥2L

2(Re λ>γ,H)

2,γ (R+,H)

x>γ

−∞

Сформулированная теорема Пэли-Винера хорошо известна для скалярных функций и име-

ет естественное обобщение для вектор-функций со значениями в сепарабельном гильбертовом

пространстве.

При доказательстве теоремы 2 будут использоваться следующие леммы.

Лемма 1. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда существует такое γ > 0, что

оператор-функция (I - V (λ))-1, где

V (λ) =^K(λ)A(λ²I + A₀)-1 + ^Q(λ)B(λ²I + A₀)-1,

(14)

является аналитической в правой полуплоскости {λ : Re λ > γ} и имеет место неравенство

sup

∥(I - V (λ))-1∥ ≤ const.

λ:Re λ>γ

Лемма 2. Справедлива следующая оценка:

∥λ(λ²I + A₀)-1∥ ≤ 1/|Re λ|,

|Re λ| > γ.

Доказательства лемм 1 и 2 содержатся в статье [12].

Лемма 3. Множество функций h(t) таких, что h(0) = 0, h(t) ∈ W12,γ(R₊, A1/20), явля-

ется всюду плотным в пространстве L2,γ(R₊,H).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

543

Для удобства читателей, чтобы не загромождать изложение, доказательство леммы 3 пе-

ренесём в п. 4.

Вначале изучим задачу с нулевыми начальными данными ϕ₀ = ϕ₁ = 0. Рассмотрим фун-

даментальную в пространстве L2,γ(R₊, H) последовательность {fn(t)}∞n=1 функций таких,

что

n (t) ∈ L2,γ(R+, H) и

(0) = 0.

Для функции f_n(t), согласно теореме 2.1, найдётся единственное сильное решение u_n(t) ∈

∈ W22,γ(R₊,A₀) задачи (1)-(3). Отметим, что сильное решение u_n(t) удовлетворяет интеграль-

ному тождеству (9), что проверяется непосредственно интегрированием по частям. Заметим

далее, что последовательность решений {u_n(t)} является фундаментальной в пространстве

W12,γ(R₊,A1/20). Указанное свойство вытекает из теоремы Пэли-Винера, а также следующего

утверждения.

Лемма 4. При сделанных предположениях относительно операторов A и B справедливы

неравенства

∥A1/20L-1(λ)∥ ≤ const/Re λ,

(15)

∥λL-1(λ)∥ ≤ const/Re λ, Re λ ≥ γ > 0.

(16)

Также, чтобы не загромождать изложение, перенесём доказательство леммы 4 в п. 4.

На основании оценок (15), (16), согласно теореме Пэли-Винера, получаем

∥u_n(t)∥2W1

= ∥u(1)n(t)∥2L

+ ∥A1/20u(t)∥2L

≤ ( sup

|λ|∥L-1(λ)∥)²∥f_n(λ)∥2H

2,γ

2(Re λ>γ)

2,γ

Re λ>γ

+ ( sup

∥A1/20L-1(λ)∥)²

f_n(λ)∥2H

≤ const∥f_n(t)∥2L

(17)

2(Re λ>γ)

2,γ

Re λ>γ

Таким образом, по фундаментальной в пространстве L2,γ(R₊,H) последовательности{f_n (t)}∞n=1

мы получаем фундаментальную в пространстве W12,γ(R₊, A1/20) последовательность сильных

решений {u_n(t)}∞n=1. В силу полноты пространства W12,γ (R₊, A1/20) существует функция u(t) =

= lim

u_n(t), принадлежащая пространству W12,γ(R₊,A1/20) и удовлетворяющая интегрально-

n→∞

му тождеству (9). Последнее свойство вытекает из непрерывности скалярного произведения.

В самом деле, рассмотрим интегральное тождество для сильных решений u_n(t), соответству-

ющих вектор-функциям f_n(t):

-〈u(1)n(t), v⁽¹⁾(t)〉L2,γ + 〈A1/20u_n(t), A1/20v(t)〉L2,γ + 2γ〈u_n(t), v(t)〉L2,γ -

'∫t

(

'∫t

(

K(t - s)A-1/20Au_n(s) ds, A1/20v(t)

Q(t - s)A-1/20Bu_n(s) ds, Av(t)

L2,γ

− 〈f_n(t), v(t)〉L2,γ = 0.

(18)

Переходя к пределу при n → ∞ в соотношении (18), в силу непрерывности скалярного про-

изведения, получаем, что предельная функция u(t) = lim

u_n(t) удовлетворяет интеграль-

n→∞

ному тождеству (9) при ϕ₁ = 0. Здесь мы использовали то, что операторы A-1/20AA-1/20 и

A-1/20BA-1/20, как отмечалось выше, допускают ограниченные замыкания в пространстве H.

Рассмотрим теперь общий случай, а именно задачу (1)-(3) с ненулевыми начальными усло-

виями ϕ₀ и ϕ₁. Будем искать решение задачи (1)-(3) в виде

u(t) = cos(A1/20t)ϕ₀ + A-1/20 sin(A1/20)ϕ₁ + w(t),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

544

ВЛАСОВ, РАУТИАН

где w(t) - неизвестная функция. Очевидно, что функция w(t) является решением следующей

задачи с однородными начальными условиями:

∫

d²w

+ A₀w(t) - K(t - s)Aw(s)ds - Q(t - s)Bw(s)ds = f₁(t), t > 0,

dt²

w(+0) = 0,

w⁽¹⁾(+0) = 0,

здесь f₁(t) = f(t) + h(t), а вектор-функция h(t) имеет вид h(t) = h₁(t) + h₂(t), где

∫^t

h₁(t) = K(t - s)A(cos(A1/20s)ϕ₀ + A-1/20 sin(A1/20s)ϕ₁)ds,

∫t

h₂(t) = Q(t - s)B(cos(A1/20s)ϕ₀ + A-1/20 sin(A1/20s)ϕ₁)ds.

Для доказательства утверждения о разрешимости достаточно показать, что для некоторого

γ₀ ≥ 0 справедливо включение h(t) ∈ L2,γ0 (R₊,H). Интегрируя по частям, имеем

∫

e-τ(t-s) cos(A1/20s)ds = (A₀ + τ²I)-1(τ(cos(A1/20t) - e^-τt) + A1/20 sin(A1/20t)),

(19)

∫

e-τ(t-s) sin(A1/20s)ds = (A₀ + τ²I)-1(A1/20(e^-τtI - cos(A1/20t)) + τ sin(A1/20t)).

(20)

В дальнейшем нам потребуются следующие легко проверяемые предложения 1 и 2.

Предложение 1. При сделанных предположениях справедливо неравенство

∥(A₀ + τ²I)-1∥ ≤

τ-2∥A-1/20∥, τ > 0.

Доказательство предложения 1 приведено в [12].

Предложение 2. При сделанных предположениях справедливо неравенство

∥A₀(A₀ + τ²I)-1∥ ≤ 1, τ > 0.

Доказательство предложения 2 очевидно вытекает из спектральной теоремы для операто-

ра A₀.

Далее будем также использовать известные оценки ∥ cos(A1/20t)∥_H ≤ 1 и ∥ sin(A1/20t)∥_H ≤ 1,

также вытекающие из спектральной теоремы для оператора A₀.

Замечание 4. Из определения оператора A₀ следуют очевидные неравенства

∥Ax∥ ≤ ∥A₀x∥,

∥Bx∥ ≤ ∥A₀x∥, x ∈ Dom (A),

из которых, в свою очередь, вытекают неравенства

∥AA-10∥ ≤ 1,

∥BA-10∥ ≤ 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

545

В силу равенств (19), (20) получаем следующее представление для функции h₁(t):

∫t

∫

)

h₁(t) =

e-τ(t-s) dμ(τ) A(cos(A1/20s)ϕ₀ + A-1/20 sin(A1/20s)ϕ₁)ds =

+∞

(∫t

)

∫

(∫t

)

e-τ(t-s)Acos(A1/20s)ϕ₀ ds dμ(τ) +

e-τ(t-s)AA-1/20 sin(A1/20s)ϕ₁ ds dμ(τ) =

+∞

= A(A₀ + τ²I)-1(τ(cos(A1/20t) - e^-τtI) + A1/20 sin(A1/20t))ϕ₀ dμ(τ) +

+∞

+ A(A₀ + τ²I)-1(A1/20(e^-τtI - cos(A1/20t)) + τ sin(A1/20t))ϕ₁ dμ(τ).

(21)

Аналогично получаем представление для функции h₂(t):

∫t

h₂(t) = Q(t - s)B(cos(A1/20s)ϕ₀ + A-1/20 sin(A1/20s)ϕ₁)ds =

+∞

= B(A₀ + τ²I)-1(τ(cos(A1/20t) - e^-τtI) + A1/20sin(A1/20t))ϕ0 dμ(t) +

+∞

+ B(A₀ + τ²I)-1(A1/20(e^-τtI - cos(A1/20t)) + τ sin(A1/20t))ϕ1 dμ(t).

Из представления (21) вытекает следующая оценка:



∫



h

1(t)∥ ≤ ∥ (AA⁰¹)A0(A0 + τ²I)-1τ(cos A0/2t)ϕ0 dμ(τ)+

∫



+^ (AA-10)A₀(A₀ + τ²I)-1e^-τtϕ₀ dμ(τ)

⁺

∫



+^ (AA-10)A₀(A₀ + τ²I)-1 sin(A1/20t)A1/20ϕ₀ dμ(τ)

⁺

∫



+^ (AA-10)A-1/20A₀(A₀ + τ²I)-1A1/20e^-τtϕ₁ dμ(τ)

⁺



∫



+^ (AA-10)A-1/20A₀(A₀ + τ²I)-1A1/20(cos(A1/20t))ϕ₁ dμ(τ)

⁺

∫



+^ (AA-10)A₀A-1/20(A₀ + τ²I)-1τ sin(A1/20t)ϕ₁ dμ(τ)

^,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

546

ВЛАСОВ, РАУТИАН

в силу которой на основании предложений 1, 2 и замечания 4 получаем

+∞

∥h₁(t)∥ ≤

∥AA-10∥∥A1/20τ(A₀ + τ²I)-1∥∥cos(A1/20t)∥∥A1/20ϕ₀∥ dμ(τ) +

+^∞

∥AA-10∥∥A₀(A₀ + τ²I)-1∥e^-tτ ∥ϕ₀∥ dμ(τ) +

+∞

∥AA-10∥∥A₀(A₀ + τ²I)-1∥∥sin(A1/20t)∥∥ϕ₀∥ dμ(τ) +

+∞

∥AA-10∥∥A₀(A₀ + τ²I)-1∥∥A1/20A-1/20∥e^-tτ ∥ϕ₁∥ dμ(τ) +

+∞

∥AA-10∥∥A₀(A₀ + τ²I)-1∥∥A1/20A-1/20∥∥cos(A1/20t)∥∥ϕ₁∥ dμ(τ) +

+∞

∥AA-10∥∥A1/20τ(A₀ + τ²I)-1∥∥sin(A1/20t)∥∥ϕ₁∥ dμ(τ) ≤ K₁(∥A1/20ϕ₀∥ + ∥ϕ₁∥).

Таким образом, справедлива следующая оценка:

(22)

∥h₁(t)∥L2,γ (R₊,H) ≤ θ1(γ)K1(∥A0/2ϕ0∥ + ∥ϕ1∥),

где

∫

)1/2

θ₁(γ) =

e-2γt dt

^√2γ,

c постоянной K₁, не зависящей от векторов ϕ₀ и ϕ₁.

Дословно повторяя приведённые неравенства с заменой оператора A на оператор B, по-

лучаем оценку

∥h₂(t)∥L2,γ (R₊,H) ≤ θ1(γ)K2(∥A0/2ϕ0∥ + ∥ϕ1∥),

(23)

с постоянной K₂, не зависящей от векторов ϕ₀ и ϕ₁.

Объединяя оценки (22), (23), приходим к следующей оценке для вектор-функции h(t):

∥h(t)∥L2,γ (R₊,H) ≤ θ1(γ)K(∥A0/2ϕ0∥ + ∥ϕ1∥), K = K1 + K2,

на основании которой заключаем, что вектор-функция f₁(t) = f(t)+h(t) принадлежит прост-

ранству L2,γ(R₊, H) и для неё справедливо неравенство

∥f₁(t)∥L2,γ (R₊,H) ≤ ∥f(t)∥L2,γ (R₊,H) + d(γ)(∥A0/2ϕ0∥ + ∥ϕ1∥),

(24)

где d(γ) = θ₁(γ)K. Отсюда получаем обобщённую разрешимость задачи (1)-(3) с ненулевыми

начальными данными.

Перейдём к оценкам обобщённых решений. Начнём со случая нулевых начальных дан-

ных ϕ₀ = ϕ₁ = 0. Для фундаментальной в пространстве L2,γ(R₊, H) последовательности

{f_n(t)}∞n=1 и соответствующей ей фундаментальной последовательности решений {u_n(t)}∞n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

547

установлено неравенство (17). Переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве (17), в пределе

получаем неравенство

∥u(t)∥

≤ D∥f(t)∥L2,γ(R₊,H)

W12,γ(R₊,A1/20)

с постоянной D, не зависящей от функции f(t). Законность соответствующего предельного

перехода установлена в начале доказательства теоремы 2.

Перейдём к случаю ненулевых начальных данных. Принимая во внимание то, что задача с

ненулевыми начальными данными сводится к задаче с нулевыми начальными данными и новой

правой частью f₁(t) = f(t) + h(t) и учитывая оценку (24), получаем для решения исходной

задачи оценку

∥u(t)∥

W12,γ(R₊,A1/20)

≤ d(∥f(t)∥L2,γ (R₊,H) ⁺∥A0/2ϕ0∥ + ∥ϕ1∥)

с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f(t) и векторов ϕ₀ и ϕ₁. Теорема 2 до-

казана.

Доказательство теоремы 3. Преобразуем оператор-функцию L(λ) к виду

L(λ) = A1/2M(λ)A1/2,

где M(λ) = λ²A-1 + (1 -K(λ))I + (1 -Q(λ))K, а через K обозначен оператор A-1/2BA-1/2.

Согласно лемме 2.1 из работы [16] оператор K допускает ограниченное замыкание в прост-

ранстве H. Кроме того, оператор K является неотрицательным, т.е. (Kx, x) ≥ 0 для любого

x ∈ H, и симметричным в силу неотрицательности и симметричности оператора B.

Покажем, что оператор-функция L(λ) обратима в правой полуплоскости. Рассмотрим

форму (M(λ)f, f) для λ = x + iy таких, что x > |y|. Справедлива цепочка неравенств

(

∫

)

(x + τ) dμ(τ)

Re(M(λ)f,f) = (x² - y²)(A-1f,f) +

(f, f) +

(x + τ)² + y²

d₀

(

∫

)

(

∫

)

(x + τ) dν(τ)

dμ(τ)

+ 1-

(Kf, f) ≥ (x² - y²)(A-1f, f) +

(f, f) +

((x + τ)² + y

²)

x+τ

d₀

(

∫

)

(

∫

)

dν(τ)

dμ(τ)

+ 1-

(Kf, f) ≥

(f, f) = δ∥f∥²,

(25)

x+τ

d₀

∫+∞

где δ = 1 -

τ-1 dμ(τ) > 0.

d₀

Для λ = x + iy таких, что y ≥ x ≥ γ > 0 справедливы неравенства

+∞

∫

dμ(τ)

dν(τ)

Im (M(λ)f,f) = 2xy(A-1f,f) + y

(f, f) + y

(Kf, f) ≥

(x + τ)² + y

(x + τ)² + y²

d₀

+∞

∫

dμ(τ)

dν(τ)

≥ 2x²(A-1f, f) + y

(f, f) + y

(Kf, f) ≥ γ∥f∥².

(26)

(x + τ)² + y

(x + τ)² + y²

d₀

Для λ = x + iy таких, что y < -x < -γ > 0, γ > 0 справедливы неравенства

+∞

dμ(τ)

-Im (M(λ)f,f) ≥ 2x²(f,f) + |y|

(f, f) +

(x + τ)² + y²

d₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

8^∗

548

ВЛАСОВ, РАУТИАН

+∞

dν(τ)

+ |y|

(Kf, f) ≥ γ∥f∥².

(27)

(x + τ)² + y²

d₀

Объединяя неравенства (26) и (27), получаем, что в области {λ = x + iy : |y| > x ≥ γ > 0}

справедлива оценка

|Im (M(λ)f, f)| ≥ γ∥f∥².

В силу произвольности γ > 0 из неравенств (25) и (27) вытекает обратимость оператор-

функции M(λ), а следовательно, и оператор-функции L(λ) в правой полуплоскости. Оценка

(10) следует из неравенств (25), (27).

Рассмотрим оператор-функцию L(λ) на мнимой оси. Из представлений

(

∫

)

(

∫

)

τ dμ(τ)

τ dν(τ)

Re(M(iy)f,f) = -y²(A-1f,f) +

(f, f) +

(Kf, f),

τ² + y²

d₀

+∞

∫

τ dμ(τ)

τ dν(τ)

Im (M(iy)f,f) = y

(f, f) + y

(Kf, f),

τ² + y²

d₀

из условия (5) вытекает, что существует δ > 0, при котором для всех таких y, что |y| < δ,

справедливо неравенство

Re(M(iy)f,f) ≥ k(f,f)

(28)

с некоторой постоянной k > 0. С другой стороны, справедливо неравенство

∫

]

τ dμ(τ)

τ dν(τ)

|Im (M(iy)f, f )| ≥ |y|

(f, f) +

(Kf, f) .

(29)

τ² + y²

d₀

Из неравенств (28) и (29) вытекает обратимость оператор-функции L(λ) на мнимой оси. Тео-

рема 3 доказана.

Доказательство теоремы 6. Отметим, что в области Ψ_θ,η выполнено неравенство |cos ϕ|>

> |cosθ|, где ϕ = argλ, r = |λ|, и, следовательно,

r² + 2rτ cos ϕ + τ² ≥ r² - 2rτ cos θ + τ² ≥ r² + τ² - cos θ(r² + τ²) = (1 - cos θ)(r² + τ²).

(30)

Из соотношения

∫

dμ(τ)

r cos ϕ + τ

r sin ϕ

dμ(τ) - i

dμ(τ)

τ +λ

r² + 2rτ cos ϕ + τ²

d₀

и неравенства (30) следует оценка

 ∫



∫



dμ(τ)

r dμ(τ)

τ dμ(τ)



d₁

+d₂

(31)



≤

τ +λ

r² + τ²

d₀

где d₁ и d₂ - положительные постоянные.

Несложно видеть, что справедливы неравенства

+∞

∫

dμ(τ)

τ dμ(τ)

≤

dμ(τ) и

≤

dμ(τ).

(32)

r²(1 + τ²/r²)

τ² + r²

τr

d₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

549

Аналогичные оценки справедливы для интеграла

 ∫



dν(τ)



(33)



≤

τ+λ

d₀

Вследствие оценок (31), (32) получаем, что выполнены неравенства

| K(λ)| ≤ k₁/|λ|,

|Q(λ)| ≤ k₂/|λ|, λ ∈ Ψ_θ,η,

(34)

где k₁, k₂ - положительные постоянные.

В свою очередь из неравенств (34) и ограниченности операторов AA-10 и BA-10 вытекает,

что оператор-функция S(λ) =^K(λ)AA-10 +^Q(λ)BA-10 в области Ψ_θ,η допускает оценку

∥S(λ)∥ ≤ k₃/|λ|

(35)

с положительной постоянной k₃.

Обозначим через M (λ) оператор-функцию вида

M (λ) = L(λ)A-10 = I + λ²A-10 - S(λ).

После переобозначения H = A-1/20 получим, согласно оценке (35), что оператор-функция

M (λ) = I + λ²H² - S(λ)

удовлетворяет условию теоремы 2.1 в [17]. Следовательно, справедливо соотношение

ν(r, Ψ_θ,η, M₀(λ)) ∼ ν(r, Ψ_θ,η, M (λ)),

(36)

где M₀(λ) = I + λ²H². В силу очевидных равенств

ν(r, Ψ_θ,η, M₀(λ)) = ν(r, Ψ_θ,η, P (λ)) и ν(r, Ψ_θ,η, M (λ)) = ν(r, Ψ_θ,η, L(λ))

из (36) вытекает доказываемое соотношение (12). Теорема 6 доказана.

4. Дополнение.

Доказательство леммы 3. Пусть f ∈ L2,γ (R₊, H). Будем искать функцию h(t), удовле-

творяющую условиям: h(t) ∈ W12,γ(R₊, A1/20), h(0) = 0 и ∥f(t) - h(t)∥_L

2,γ (R+,H) ≤ε.Обозна-

чим через g(t) := e^-γtf(t) такую вектор-функцию, что g(t) ∈ L₂(R₊, H) и θ(t) := e^-γth(t) ∈

∈ W¹²(R₊,A1/20). Справедлива следующая цепочка равенств:

∫

∥f(t) - h(t)∥2L

= e-2γt∥f(t) - h(t)∥2 dt =

2,γ (R+,H)

+∞

∫

∥e^-γtf(t) - e^-γth(t)∥² dt =

∥g(t) - θ(t)∥² dt.

Таким образом, вопрос о плотности в пространстве L2,γ(R₊, H) семейства {h(t)} функций

таких, что h(t) ∈ W12,γ(R₊, A1/20) и h(+0) = 0 сводится к вопросу о плотности в пространстве

L₂(R₊,H) семейства {θ(t)} функций таких, что θ(t) ∈ W¹²(R₊,A1/20) и θ(+0) = 0. В свою

очередь плотность семейства функций {θ(t)} вытекает из известного результата из моногра-

фии [15]. В самом деле, согласно [15, теорема 2.1] семейство бесконечно дифференцируемых

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

550

ВЛАСОВ, РАУТИАН

финитных вектор-функций всюду плотно в пространстве L₂(R₊, H). Следовательно, подмно-

жество бесконечно дифференцируемых функций с носителем в R₊ всюду плотно в L₂(R₊, H).

Но указанное семейство, очевидно, принадлежит семейству функций {θ(t)} таких, что θ(t) ∈

∈ W¹²(R₊,A1/20) и θ(+0) = 0, что и доказывает лемму 3.

Доказательство леммы 4. Установим неравенства (15), (16). Оператор-функция L-1(λ)

представима в виде

L-1(λ) = (λ²I + A₀)-1(I - V (λ))-1,

(37)

где оператор-функция V (λ) задаётся равенством (14). Непосредственной проверкой несложно

убедиться в том, что справедливы неравенства

∥A1/20(λ²I + A₀)-1∥ ≤ const/|Re λ|,

∥λ(λ²I + A₀)-1∥ ≤ const/|Re λ|.

(38)

Отметим, что второе неравенство в (38) доказано в лемме 2. Для доказательства первого

неравенства, согласно спектральной теореме (см. [9, с. 452-453]), достаточно установить оценку

√α

sup

≤ const/|Re λ|, α ∈ σ(A₀) ⊂ [κ₀, +∞).

Re λ>γ λ² + α

Переходя к вещественной и мнимой части числа λ = τ + iν, получаем искомое неравенство

(√

√

)-1

√

α τ² + (ν -

√α)2 τ2 + (ν +

√α)²

≤ const/|τ|.

Отсюда на основании представления (37), неравенств (38) и теоремы 3 получаем утверждение

леммы 4.

Исследование выполнено в рамках Программы развития Междисциплинарной научно-об-

разовательной школы Московского университета “Математические методы анализа сложных

систем” при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (про-

ект 20-01-00288 A).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.

2. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York; London, 1971.

3. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory. Theory and

Applications. New York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2012.

4. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator approach to linear // Problems of Hydrodynamics. V. 2. Nonself

adjoint Problems for Viscous Fluids. Berlin; Basel; Boston, 2003.

5. Gurtin M.E., Pipkin A.C. General theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech.

Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

6. Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest // J. of Math.

Anal. and Appl. 2009. V. 355. P. 1-11.

7. Лыков А.В. Проблема тепло- и массообмена. Минск, 1976.

8. Vlasov V.V., Gavrikov A.A., Ivanov S.A., Knyaz’kov D.Yu., Samarin V.A., Shamaev A. S. Spectral

properties of combined media // J. of Math. Sci. 2010. V. 164. № 6. P. 948-963.

9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.

10. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

11. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифферен-

циальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Совр. математика. Фунд. направ-

ления. 2015. Т. 58. С. 22-42.

12. Vlasov V.V., Rautian N.A. Spectral analysis of linear models of viscoelasticity // J. of Math. Sci. 2018.

V. 230. № 5. P. 668-672.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

551

13. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и представление решений интегро-диффе-

ренциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Дифференц. уравнения. 2019.

T. 55. № 4. С. 574-587.

14. Vlasov V.V., Rautian N.A. A study of operator models arising in problems of hereditary mechanics // J.

of Math. Sci. 2020. V. 244. № 2. P. 170-182.

15. Лионс Ж.П., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

16. Шкаликов А.А. Сильно демпфированные пучки операторов и разрешимость соответствующих опе-

раторно-дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1988. Т. 177. № 1. C. 96-118.

17. Радзиевский Г.В. Асимптотика распределения характеристических чисел оператор-функций, ана-

литических в угле // Мат. сб. 1980. Т. 112. № 3. С. 396-420.

18. Власов В.В., Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-диффе-

ренциальными уравнениями // Дифференц. уравнения. 2020. T. 56. № 8. С. 1122-1126.

19. Раутиан Н.А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнени-

ями // Дифференц. уравнения. 2020. T. 56. № 9. С. 1226-1244.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 27.01.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 27.01.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 02.03.2021 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021