ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.572-576

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.926.4

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ

И ОПИСАННЫХ СФЕР РЕШЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ

Рассматриваются линейные стационарные дифференциальные уравнения с производной

Хукухары. Доказано, что если решение такого уравнения имеет в начальный момент непу-

стую внутренность, то показатели Ляпунова радиусов вписанной и описанной сфер этого

решения являются строгими и равны соответственно минимальному и максимальному мо-

дулям собственных значений матрицы коэффициентов системы.

DOI: 10.31857/S0374064121040105

1. Введение. Постановка задачи. В работе рассматриваются обыкновенные дифферен-

циальные уравнения с производной Хукухары [1; 2, с. 14]. Непосредственно из определения

производной Хукухары следует, что решения таких уравнений представляют собой при каж-

дом значении независимой переменной компактные выпуклые множества пространства R^d

при некотором d ∈ N, а значит, обладают нетривиальными геометрическими характеристи-

ками, изучение которых как функций независимой переменной для решений представляет

определённый интерес. Так, например, в работе [3] для некоторых классов уравнений с про-

изводной Хукухары получена формула вычисления d-мерного объёма значений их решений,

а в работе [4] дано полное описание линейных стационарных дифференциальных уравнений с

производной Хукухары, сохраняющих многогранники, т.е. таких уравнений, что любое их ре-

шение, которое при начальном значении независимой переменной является многогранником,

остаётся многогранником и для всех последующих значений.

В настоящей работе для линейных стационарных дифференциальных уравнений с произ-

водной Хукухары рассматриваются две геометрические характеристики решений - радиусы

вписанных и описанных сфер значений решений как функции независимой переменной и в

терминах матрицы коэффициентов системы вычислены их показатели Ляпунова.

Прежде чем точно сформулировать постановку задачи и изложить её решение, приведём

ряд необходимых определений. Через Ω(R^d) обозначим семейство всех непустых ограничен-

ных подмножеств пространства R^d. Совокупность всех непустых выпуклых компактных под-

множеств пространства R^d обозначим через K_c(R^d).

Определение 1. Суммой Минковского Z = X+Y двух множеств X, Y ⊂ R^d называется

= {x + y : x ∈ X, y ∈ Y }.

Определение 2 [1]. Множество Z ∈ K_c(R^d) такое, что X = Y + Z, где X, Y ∈ K_c(R^d),

называется разностью Хукухары множеств X, Y и обозначается как Z = X - Y.

Отметим, что не для любой пары множеств X, Y ∈ K_c(R^d) определена разность Хукухары

X -Y. Более того, если существует такое множество Z ∈ K_c(R^d), что X = Y +Z, то, вообще

говоря, Z = X + (-Y ). Однако если разность Хукухары множеств X и Y существует, то она

единственна.

= {x ∈ R^d : ∥x∥ ≤ 1} обозначим замкнутый шар единичного радиуса с центром

в начале координат.

Определение 3. Расстоянием Хаусдорфа h(·,·) на множестве Ω(R^d) называется ве-

личина

= inf{r ≥ 0 : X ⊂ Y + rB, Y ⊂ X + rB}, X, Y ∈ Ω(R^d).

572

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ СФЕР

573

Согласно теореме Хана пара (K_c(R^d), h) - полное метрическое пространство.

Определение 4. Для произвольного множества X ∈ Ω(R^d) через r(X) и R(X) обозна-

чим радиусы его вписанной и описанной сфер соответственно, т.е.

= inf{r ≥ 0 : X ⊂ x₀ + rB, x₀ ∈ R^d}.

Через I ⊂ R обозначим какой-либо интервал, вообще говоря, неограниченный.

Определение 5 [1]. Отображение X : I → K_c(R^d) называется дифференцируемым по Ху-

кухаре в точке t₀ ∈ I, если пределы

X(t₀ + Δt) - X(t₀)

X(t₀) - X(t₀ - Δt)

lim

Δt→+0

Δt

Δt→+0

Δt

существуют и равны между собой. В этом случае общее значение этих пределов, являющее-

ся, очевидно, выпуклым компактом, обозначается через D_H X(t₀) и называется производной

Хукухары отображения X в точке t₀.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

D_HX = AX, X(t) ∈ K_c(R^d), t ≥ 0,

(1)

с постоянной d × d-матрицей коэффициентов A. Через μ₁(A) и μ_n(A) обозначим соответ-

ственно максимальное и минимальное по модулю собственные значения матрицы A. Радиусы

вписанной и описанной сфер произвольного решения X(·) уравнения (1) будем рассматривать

как функции от времени t.

Естественно возникает задача описания асимптотического поведения радиусов вписанных

и описанных сфер решений уравнения (1). Несложно видеть, что если отображение X : I →

→ K_c(R^d) дифференцируемо в каждой точке интервала I, то для любых чисел a и b, a < b,

из интервала I определена разность X(b) - X(a). Следовательно, радиус r(X(t)) вписанной

и радиус R(X(t)) описанной сфер решения X(t) являются неубывающими функциями.

В настоящей работе доказано, что если внутренность решения X(·) в начальный момент

времени не пустая, то показатели Ляпунова λ[r(X)] и λ[R(X)] радиусов r(X(t)) и R(X(t))

являются строгими и равны соответственно величинам |μ_n(A)| и |μ₁(A)|, т.е.

= lim

log R(X(t)) = |μ₁(A)|.

t→∞ t

2. Основной результат. Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений.

Определение 6. Опорной функцией произвольного множества X ∈ Ω(R^d) называется

= sup(x,v), v ∈ R^d, где (·,·) -

x∈X

естественное скалярное произведение в R^d.

Несложно видеть, что для произвольного вектора v ∈ R^d верны равенства

s(Sn-1, v) = s(B, v) = ∥v∥,

= {x ∈ R^d : ∥x∥ = 1} - единичная (n - 1)-мерная сфера с центром в нуле. Если

X ⊂ Y, то s(X,v) ≤ s(Y,v) для любого v ∈ R^d. Обратно, если Y ∈ K_c(R^d) и s(X,v) ≤ s(Y,v)

при всех v ∈ R^d, то X ⊂ Y.

Лемма 1. Пусть X ∈ K_c(R^d) - центрально-симметричное относительно нуля множе-

ство, т.е. X = -X, тогда имеют место равенства

r(X) = min

s(X, v) и R(x) = max s(X, v).

v∈Sn-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

574

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Доказательство. Если для некоторых точек p₁, p₂ ∈ R^d и неотрицательных чисел r₁, r₂ ≥

≥ 0 верны включения p₁ + r₁B ⊂ X ⊂ p₂ + r₂B, то r₁B ⊂ X ⊂ r₂B. Действительно, так как

множество X центрально-симметричное, то -p₁ + r₁B ⊂ X ⊂ -p₂ + r₂B. Следовательно,

r₁B =

(-p₁ + r₁B + p₁ + r₁B) ⊂ X и X ⊂ (-p₂ + r₂B)

^⋂ (p₂ + r₂B) ⊂ r₂B.

Поэтому в определении 4 радиусов вписанной и описанной сфер достаточно рассматривать

сферы с центром в нуле.

Обозначим ρ = min s(X, v). Так как множество X является центрально-симметричным

v∈Sn-1

относительно нуля, то ρ ≥ 0. Если для некоторого числа r ≥ 0 верно включение rB ⊂ X, то

r = s(rB,v) ≤ s(X,v), v ∈ Sn-1,

а значит, r(X) ≤ ρ. С другой стороны, имеем s(ρB, v) ≤ s(X, v), v ∈ Sn-1, и, следователь-

но, ρB ⊂ X. Поэтому r(X) = min s(X, v). Равенство R(X) = max s(X, v) доказывается

v∈Sn-1

аналогично. Лемма доказана.

Для произвольного решения X(·) уравнения (1) справедливо равенство

∑

(t - t₀)^k

X(t) =

A^kX(t₀), t ≥ t₀ ≥ 0,

(2)

k=0

доказательство которого приведено в работе [4]. В частности, из равенства (2) следует, что,

если X(t₀) = B, то

∑

(t - t₀)^k

s(X(t), v) =

s(A^kB, v) =

∥(A^T)^kv∥, t ≥ t₀ ≥ 0.

k=0

Лемма 2. Пусть X(·) - такое решение уравнения (1), что X(0) = B. Тогда показа-

тель Ляпунова λ[r(X)] радиуса r(X(t)) вписанной сферы решения X(t) является строгим

и равен |μ_n(A)|.

Доказательство. Матрицы A и A^т подобны, поэтому μ_n(A^т) = μ_n(A). Если матрица A

вырожденная, т.е. μ_n(A) = 0, то найдётся такой вектор v ∈ Sn-1, что A^тv = 0. Следова-

тельно, s(X(t), v) = 1. Из равенства (2) следует, что X(t) - центрально-симметричное мно-

жество относительно нуля при любом t ≥ 0. Поэтому, согласно лемме 1, верно неравенство

r(X(t)) ≤ 1. С другой стороны, r(X(t)) ≥ r(X(0)) > 0, поэтому

λ[r(X)] = lim

log r(X(t)) = 0.

t→+∞ t

= (A^т)-1. Тогда для любого

вектора v ∈ Sn-1 и целого числа k верно неравенство

∥(A^т)^kv∥ ≥ ∥(A-т)^k∥-1∥v∥ = ∥(A-т)^k∥-1.

Согласно формуле Гельфанда [5] имеет место равенство

lim

∥(A-т)^k∥1/k = |μ_n(A)|-1.

k→+∞

Для произвольного ε > 0 найдётся такое N_ε > 0, что при k ≥ N_ε справедливо неравенство

∥(A-т)^k∥ ≤ (|μ_n(A)|-1 + ε)^k, а значит,

∥(A^т)^kv∥ ≥

при v ∈ Sn-1.

(|μ_n(A)|-1 + ε)^k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ СФЕР

575

Для некоторого многочлена p_ε(t), коэффициенты которого не зависят от вектора v, имеет

место неравенство

(

)

s(X(t), v) ≥ p_ε(t) + exp

|μ_n(A)|-1 + ε

Из леммы 1 следует оценка

lim

log r(X(t)) ≥

t→+∞ t

|μ_n(A)|-1 + ε

устремляя в которой ε к нулю, получаем, что

lim

log r(X(t)) ≥ |μ_n(A)|.

t→+∞ t

Пусть v = x + iy - собственный вектор матрицы A^т, соответств √щий собственному

значению μ_n(A). Без нарушения общности считаем ∥v∥ = 1 и ∥x∥ ≥ 1/

2 (если ∥x∥ ≤ ∥y∥,

то вместо v нужно рассмотреть вектор iv). Так как ∥(A^т)^kv∥² = ∥(A^т)^kx∥² + ∥(A^т)^ky∥², то

выполняется неравенство

∥(A^т)^kx∥ ≤ ∥(A^т)^kv∥ = |μ_n(A)|^k.

√

Положим u = x/∥x∥ ∈ Sn-1. Тогда ∥(A^т)^ku∥ ≤

2|μ_n(A)|^k, а значит,

√

s(X(t), u) ≤

2 exp(|μ_n(A)|t) и

lim

log r(X(t)) ≤ μ_n(A).

t→+∞ t

Поэтому показатель Ляпунова λ[r(X)] является строгим и равен |μ_n(A)|. Лемма доказана.

Лемма 3. Если X(·) - такое решение уравнения (1), что X(0) = B, то показатель

Ляпунова λ[R(X)] радиуса R(X(t)) описанной сферы решения X(t) является строгим и

равен |μ₁(A)|.

Доказательство. Согласно формуле Гельфанда lim

∥(A^т)^k∥1/k = |μ₁(A)|. При v ∈ Sn-1

t→+∞

верно ∥(A^т)^kv∥ ≤ ∥(A^т)^k∥. Рассуждая аналогично доказательству леммы 2, получаем, что

lim

log R(X(t)) ≤ |μ₁(A)|.

t→+∞ t

Пусть v = x + iy - единичный собственный вектор матрицы A^т, соответствующий соб-

ственному значению μ₁(A). Тогда ∥(A^т)^kx∥ + ∥(A^т)^ky∥ ≥ ∥(A^т)^kv∥ = |μ₁(A)|^k, а значит,

2R(X(t)) ≥ s(X(t), x/∥x∥) + s(X(t), y/∥y∥) ≥ s(X(t), x) + s(X(t), y) ≥ exp(|μ₁(A)|t),

так как ∥x∥ ≤ 1 и ∥y∥ ≤ 1 (если, скажем, x = 0, то считаем, что x/∥x∥ = 0). Следовательно,

lim

log R(X(t)) ≥ |μ₁(A)|.

t→+∞ t

Поэтому показатель Ляпунова λ[R(X)] является строгим и равен |μ₁(A)|. Лемма доказана.

Пусть Y (·) и Z(·) - такие два решения уравнения (1), что для некоторого значения t₀ ≥ 0

верно равенство Z(t₀) = p + kY (t₀), где p ∈ R^d и k ≥ 0. Тогда Z(t) = eA(t-t0)p + kY (t) при

t ≥ t₀, а значит,

r(Z(t)) = kr(Y (t)) и R(Z(t)) = kR(Y (t)).

В частности, из лемм 2 и 3 вытекает, что если Z(0) = p + kB, k > 0, то показатели Ляпуно-

ва λ[r(Z)] и λ[R(Z)] радиусов r(Z(t)) вписанной и R(Z(t)) описанной сфер решения Z(t)

являются строгими и равны соответственно величинам |μ_n(A)| и |μ₁(A)|.

Из равенства (2) непосредственно следует, что если для решений Y (·), Z(·) уравнения (1)

и некоторого значения t₀ ≥ 0 верно включение Y (t₀) ⊂ Z(t₀), то Y (t) ⊂ Z(t) при всех t ≥ t₀.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

576

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Теорема. Пусть X₀ ∈ K_c(R^d) - выпуклое компактное множество с непустой внутрен-

ностью, а X(·) - такое решение уравнения (1), что X(0) = X₀. Тогда показатели Ляпунова

λ[r(X)] и λ[R(X)] радиусов r(X(t)) вписанной и R(X(t)) описанной сфер решения X(t) яв-

ляются строгими и равны соответственно величинам |μ_n(A)| и |μ₁(A)|.

Доказательство. Выберем два шара p₁ + r₁B и p₂ + r₂B, r₂ ≥ r₁ > 0, таких, что p₁ +

+ r₁B ⊂ X(0) ⊂ p₂ + r₂B. Рассмотрим решения X₁(·) и X₂(·) уравнения (1) с начальными

условиями

X₁(0) = p₁ + r₁B и X₂(0) = p₂ + r₂B.

Тогда X₁(t) ⊂ X(t) ⊂ X₂(t) при t ≥ 0. Следовательно,

r(X₁(t)) ≤ r(X(t)) ≤ r(X₂(t)) и R(X₁(t)) ≤ R(X(t)) ≤ R(X₂(t)).

Поэтому λ[r(X(t))] = |μ_n(A)| и λ[R(X(t))] = |μ₁(A)|. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hukuhara M. Integration des applications measurables dont la valeur est un compact convexe // Funk.

Ekv. 1967. V. 10. P. 205-223.

2. Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of Set Differential Equations in

Metric Spaces. London, 2006.

3. Атамась И.В., Слынько В.И. Формула Лиувилля-Остроградского для некоторых классов диффе-

ренциальных уравнений с производной Хукухары // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 11.

С. 1452-1464.

4. Войделевич А.С. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с производной Хукухары,

сохраняющие многогранники // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1695-1698.

5. Gelfand I. Normierte Ringe // Мат. сб. 1941. Т. 9 (51). № 1. С. 3-24.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 08.08.2020 г.

г. Минск

После доработки 08.08.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021