ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 4, с.577-580

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.926.4

ОБ УБЫВАЮЩИХ К НУЛЮ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ИЗМЕНЯЮЩИХ

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА ПРАВИЛЬНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Доказано, что, какова бы ни была вещественнозначная функция θ(·), определённая на

полуоси [0, +∞), монотонно возрастающая к +∞ и такая, что θ(t)/t → 0 при t → +∞,

при любом натуральном n ≥ 2 существует такая n-мерная правильная по Ляпунову ли-

нейная дифференциальная система, показатели Ляпунова которой изменяются при неко-

тором возмущении её матрицы коэффициентов, норма которого при всех t ≥ 0 не превос-

ходит const exp{-θ(t)}. Ранее примеры таких правильных систем были известны только

√

при θ(t) =

DOI: 10.31857/S0374064121040117

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

x = A(t)x, x = (x₁,...,x_n)^т ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ := [0,+∞),

(1)

порядка n ≥ 2, матрица коэффициентов A(·): R₊ → End Rⁿ которой кусочно-непрерывна

и ограничена на временной полуоси R₊. Через λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A) обозначим показатели

Ляпунова системы (1). Система (1) называется правильной [1, с. 38], если существует предел

∫t

lim

t-1

SpA(τ)dτ =: I_A, где SpA(·) - след матрицы A(·), и для её показателей Ляпунова

t→+∞

имеет место равенство λ₁(A)+. . .+λ_n(A) = I_A. Класс правильных систем (1) обозначим через

R_n и, отождествляя систему (1) и её матрицу коэффициентов, принадлежность системы (1)

этому классу будем записывать как A ∈ R_n.

Класс правильных систем введён А.М. Ляпуновым [1, с. 38] и является следующим после

класса приводимых систем классом систем с переменными коэффициентами, по своим свой-

ствам наиболее близким классу систем с постоянными коэффициентами. Так, правильные

системы при возмущениях высшего порядка малости сохраняют [1, с. 44-55] условную экспо-

ненциальную устойчивость, а также размерность экспоненциально устойчивого многообразия

и показатель асимптотики его решений. Поскольку правильные системы по своим свойствам

должны быть близки системам с постоянными коэффициентами, а для последних показатели

Ляпунова, как доказано К.П. Персидским, не изменяются при линейных убывающих к нулю

возмущениях, то одно время предполагалась справедливой гипотеза о том, что убывающие

к нулю возмущения матрицы коэффициентов правильной системы не изменяют показателей

Ляпунова системы, т.е. если A ∈ R_n и кусочно-непрерывная n × n-матрица Q(·) такова,

что ∥Q(t)∥ → 0 при t → +∞, то показатели Ляпунова системы (1) и показатели Ляпунова

λ₁(A + Q) ≤ ... ≤ λ_n(A + Q) возмущённой системы

y = (A(t) + Q(t))y, y ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

равны между собой: λ_k(A) = λ_k(A+Q) при всех k = 1, n. Справедливость этой гипотеза была

подтверждена для некоторых подклассов класса правильных систем в работах Б.Ф. Былова

и И.Г. Малкина. Однако в общем случае эта гипотеза оказалась неверной: первые контрпри-

меры к ней построены Р.Э. Виноградом в работах [2, 3]. Позже В.М. Миллионщиков усилил

этот результат, доказав [4], что линейные убывающие к нулю возмущения могут изменять по-

казатели Ляпунова даже статистически правильных систем - специального подкласса класса

правильных систем.

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

578

НИПАРКО

В работе [2] Р.Э. Виноградом построена такая система A ∈ R₂ и такая кусочно-непрерыв-

√

ная 2 × 2-матрица Q(·), удовлетворяющая при всех t ≥ 0 оценке ∥Q(t)∥ ≤ const exp(-

t),

что λ₂(A + Q) > λ₂(A). Естественно возникает вопрос, сколь быстро может убывать к ну-

лю норма кусочно-непрерывной матрицы-возмущения, чтобы это возмущение могло изменить

показатели Ляпунова правильной системы. Результат в противоположном направлении - об

устойчивости показателей Ляпунова правильных систем - хорошо известен и вытекает из

теоремы Богданова-Гробмана [5, 6], вследствие которой, если матрица-возмущение Q(·) удо-

влетворяет условию lim t-1 ln ∥Q(t)∥ < 0, то такое возмущение не изменяет показателей

t→+∞

Ляпунова правильной системы. Поэтому, чтобы матрица-возмущение Q(·), норма которой

убывает к нулю на бесконечности, могла изменять показатели Ляпунова правильной системы,

необходимо должно выполняться равенство lim t-1 ln ∥Q(t)∥ = 0.

t→+∞

Это утверждение близко к достаточному, как показывает следующая

Теорема. Для любого n ≥ 2, какова бы ни была положительная функция θ(t), t ∈

∈ R₊, монотонно возрастающая к +∞, для которой θ(t)/t → 0 при t → +∞, существуют

система A ∈ R_n и кусочно-непрерывная n × n-матрица Q(·), удовлетворяющая при всех

t ∈ R₊ оценке ∥Q(t)∥ ≤ const exp{-θ(t)}, такие, что справедливо неравенство λ_n(A + Q) >

> λ_n(A).

Доказательство теоремы проводится методом поворотов Миллионщикова [4, 7] с исполь-

зованием δ-характеристической последовательности для функции θ(·) [8].

1. Для функции θ(·): R₊ → R₊, монотонно возрастающей к +∞, определим зависящую от

положительных числовых параметров δ и α последовательность (T_k(δ, α; θ))k∈N рекуррентно

следующими соотношениями [8]:

T₁(δ,α;θ) = α и T_k(δ,α;θ) = Tk-1(δ,α;θ) + δθ(Tk-1(δ,α;θ)) при k ∈ N,

(2)

где число α = fix - любое, такое, что θ(t) > 0 при всех t ≥ α. Положим ещё T₀(δ, α; θ) = 0.

Далее считаем, что монотонно возрастающая к +∞ функция θ(·) задана и удовлетворяет

дополнительному условию

θ(t)/t → 0 при t → +∞.

(3)

Считая функцию θ(·) и числа δ и α фиксированными, в дальнейшем зависимость от них

элементов последовательности (2) будем в записи опускать и вместо T_k(δ, α; θ) писать T_k.

Установим нужное в дальнейшем свойство последовательности (T_k)k∈N. При k ∈ N обо-

значим Δ_k = T_k - Tk-1 и положим

{

Δ_k + Δk-2 + ... + Δ₂, если k чётное,

S_k =

Δ_k + Δk-2 + ... + Δ₁, если k нечётное.

Докажем, что S_k > T_k/2. В самом деле, вследствие определения (2) и монотонного возраста-

ния функции θ(·) имеем Δi+1 = δθ(T_i) > δθ(Ti-1) = Δ_i для любого i ≥ 2. Поэтому S_k > Sk-1

для любого k ≥ 3, а поскольку S_k + Sk-1 = T_k при всех k ≥ 2, то S_k > T_k/2.

2. Построим искомую систему (1) сначала при n = 2. Её матрицу коэффициентов зададим

равенствами

{

diag[1, -1] при t ∈ [T2k, T2k+1), k ∈ Z₊,

A(t) ≡

(4)

diag[-1, 1] при t ∈ [T2k-1, T2k), k ∈ N.

Докажем, что система (1) при n = 2 с матрицей коэффициентов (4) является правильной.

Поскольку след матрицы (3) тождественно нулевой, то для неё I_A = 0.

Найдём показатели Ляпунова системы (1), (4). Определим функцию a(·): R₊ → R₊ ра-

венствами

{

при t ∈ [T2k, T2k+1), k ∈ Z₊,

a(t) ≡

(5)

-1

при t ∈ [T2k-1, T2k), k ∈ N.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

ОБ УБЫВАЮЩИХ К НУЛЮ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

579

Поскольку система (1), (4) является диагональной, то её показатели Ляпунова совпадают

[9, гл. 2, § 4.1] с показателями Ляпунова тех двух её решений, которые в момент t = 0 выходят

из векторов (1, 0)^т и (0, 1)^т, т.е. решений x₁(t) = (exp b(t), 0)^т и x₂(t) = (0, exp{-b(t)})^т, где

∫t

b(t) =

a(τ) dτ. Очевидно, что показатель Ляпунова λ[x_j] решения x_j (·), j = 1, 2, опреде-

ляется равенством

∫

j+1

(-1)

λ[x_j ] = lim

a(τ) dτ,

(6)

t→+∞

а так как функция a(·) кусочно-постоянна и T = {T_k : k ∈ N} - множество её точек разрыва,

то при вычислении верхних пределов (6) достаточно считать [9, гл. 4, § 11.6, упр. 11.6.1], что

t в (6) пробегает только множество T , т.е. считать, что в (6) t = T_k и k → +∞, и тогда

вследствие определения (5) функции a(·) получаем

T_k

∫

j+1

∑

(-1)

λ[x_j ] = lim

a(τ) dτ =

(-1)ⁱΔ_i.

(7)

k→+∞ T_k

i=1

Из представления (7), поскольку Δ_i > Δi-1 при i ≥ 3, следует, что при нечётном k интеграл

в (7) отрицателен (не превосходит величины -T₁), а при чётном k положителен. Следова-

тельно, λ[x₁] ≥ 0 и при вычислении предела в (7) для j = 1 можно считать, что k чётное.

Заменяя в (7) Δ_i на T_i -Ti-1 и приводя подобные члены, несложно убедиться, что при чётном

k интеграл в (7) равен T_k -2Sk-1 -2T₁, а значит, в силу установленного в п. 1 доказательства

неравенства Sk-1 > Tk-1/2, он не превосходит величины T_k - Tk-1 - 2T₁ = δθ(Tk-1) - 2T₁.

Поэтому

λ[x₁] ≤ δ lim

θ(Tk-1)/T_k ≤ δ lim

θ(Tk-1)/Tk-1

⁽³⁾= 0.

k→+∞

Итак, λ[x₁] = 0. Точно так же доказывается, что λ[x₂] = 0.

Следовательно, система (1), (4) имеет нулевые показатели Ляпунова, а так как для неё

I_A = 0, то эта система является правильной.

3. Согласно методу поворотов Миллионщикова [7] (см. также [10, § 4.1]), на применении

которого мы здесь подробно останавливаться не будем, поскольку оно к настоящему времени

является достаточно стандартным и хорошо известным, возмущая систему (1), (4) разве что

на единичных отрезках D_k := [T_k - 1, T_k], k ∈ N, с помощью преобразования U_k(t), t ∈

∈ D_k, представляющего собой преобразование поворота на угол 4exp{-θ(T_k)}(t-Tk +1), мы

получаем матрицу Q(·), удовлетворяющую при t ∈ R₊ неравенству ∥Q(t)∥ ≤ 24 exp{-θ(t)},

и такое решение y(·) возмущённой системы

y = (A(t) + Q(t))y, y ∈ R², t ∈ R₊,

(8)

для которого на отрезках [T_k, Tk+1], k ∈ N, справедлива оценка

∥y(Tk+1)∥ ≥ exp{Tk+1 - T_k - θ(T_k)}∥y(T_k )∥, k ∈ N,

т.е. в силу определения (2) последовательности (T_k)k∈N оценка

∥y(Tk+1)∥ ≥ exp{(1 - δ-1)(Tk+1 - T_k)}∥y(T_k)∥, k ∈ N.

(9)

Тогда, последовательно применяя оценки (9), приходим к неравенству

∥y(Tk+1)∥ ≥ exp{(1 - δ-1)(Tk+1 - T₁)}∥y(T₁)∥.

Отсюда для показателя Ляпунова λ[y] рассматриваемого решения y(·) системы (8) получаем

оценку

λ[y] ≥ lim

T-1k+1 ln ∥y(Tk+1)∥ ≥ 1 - δ-1.

k→+∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021

10^∗

580

НИПАРКО

Поэтому, выбирая при задании (2) последовательности (T_k)k∈N число δ большим единицы,

будем иметь λ[y] ≥ 1 - δ-1 > 0.

Двумерная правильная система (1), для которой λ₂(A + Q) > λ₂(A) при некотором воз-

мущении Q(·), удовлетворяющем при всех t ∈ R₊ оценке ∥Q(t)∥ ≤ 24 exp{-θ(t)}, построена.

Чтобы построить такую n-мерную систему, достаточно к построенной системе (1), (4) присо-

единить n - 2 уравнения xi = 0, i = 3,n. Т√рема доказана.

В частности, взяв в этой теореме θ(t) ≡

t, получаем утверждение из примера Р.Э. Ви-

нограда [2].

Замечание. Стандартными рассуждениями с использованием теоремы Арцеля-Асколи,

применяемыми в методе поворотов В.М. Миллионщикова при оценке младшего показате-

ля Ляпунова [7; 10, § 4.1], аналогично предыдущему получаем, что для системы (1), (4)

существует такая матрица-возмущение Q₀(·), удовлетворяющая при всех t ∈ R₊ оценке

∥Q₀(t)∥ ≤ const exp{-θ(t)}, что имеет место неравенство λ₁(A + Q₀) < λ₁(A).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. В 6-ти т. Т. 2. М.; Л., 1956.

2. Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Докл. АН

СССР. 1953. Т. 91. № 5. С. 999-1002.

3. Виноград Р.Э. Отрицательное решение вопроса об устойчивости характеристических показателей

правильных систем // Прикл. математика и механика. 1953. Т. 17. Вып. 6. С. 645-650.

4. Миллионщиков В.М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правиль-

ных систем // Мат. заметки. 1967. Т. 2. Вып. 3. С. 315-318.

5. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Мат. сб. 1952. Т. 30.

№ 1. С. 121-166.

6. Богданов Ю.С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений // Мат.

сб. 1957. Т. 41. № 4. С. 481-498.

7. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем

// Сиб. мат. журн. 1969. Т. 10. № 1. С. 99-104.

8. Барабанов Е.А. Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных сис-

тем при экспоненциальных и степенных возмущениях: дис

канд. физ.-мат. наук. Минск, 1984.

9. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

10. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, 2006.

Белорусский аграрный технический университет,

Поступила в редакцию 20.09.2020 г.

г. Минск

После доработки 20.09.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№4

2021