ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.583-589
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.927.2
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОПЕРАТОРА
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ТОЧКОЙ δ′-ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
© 2021 г. А. Р. Алиев, М. Дж. Манафов
Для оператора Штурма-Лиувилля с точкой δ′-взаимодействия получена формула регу-
ляризованного следа первого порядка. При больших значениях спектрального парамет-
ра найдены асимптотические представления для решений уравнения Штурма-Лиувилля с
условиями разрыва. Выведена асимптотика собственных значений исследуемого оператора.
Показано, что в формуле регуляризованного следа появляется дополнительное слагаемое,
учитывающее скачок функции распределения заряда в середине интервала. Отметим, что
регуляризованные следы применяются для приближённого вычисления первых собствен-
ных значений рассматриваемого оператора. Они полезны и при решении обратных задач
спектрального анализа для дифференциальных уравнений.
DOI: 10.31857/S0374064121050010
Посвящается светлой памяти академика
НАН Азербайджана М.Г. Гасымова
1. Введение. Теория регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных опе-
раторов насчитывает более 65 лет. Впервые формула следа для двух регулярных операторов
Штурма-Лиувилля получена И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [1]. Впоследствии следы
были вычислены для различных дифференциальных операторов (см. [2-6]) многими мате-
матиками, из которых особо отметим М.Г. Гасымова, в работе [3] которого для сингуляр-
ных операторов Штурма-Лиувилля с дискретными спектрами найден аналог формулы сле-
да Гельфанда-Левитана. Весомый вклад в развитие теории регуляризованных следов внесли
В.А. Садовничий и его ученики, с их результатами и с текущей ситуацией по данной тема-
тике можно ознакомиться по обстоятельному обзору [7]. Значимый интерес представляют и
работы [8, 9], в которых получены формулы следов для операторов Штурма-Лиувилля с син-
гулярными потенциалами (типа δ-функции).
В математической физике встречается достаточно много задач, когда коэффициенты диф-
ференциального оператора являются обобщёнными функциями. Например, в гильбертовом
пространстве L2[0, 1] дифференциальный оператор P ≡ -d2/dx2 с областью определения
D(P ) = {y(x) ∈ C[0, 1] : y′(x0 + 0) - y′(x0 - 0) = αy(x0), y(0) = y(1) = 0}
описывает стационарные колебания однородной струны, лежащей на упругом основании.
В точке x0 струна связана с пружинкой, жёсткость которой K(x) имеет плотность K′(x) =
= αδ(x - x0). Следует отметить, что в приложениях формулы следов имеют важное значение,
например, при приближённом вычислении первых собственных значений соответствующих
операторов (см. [2, 7]).
Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения
-y′′ + q(x)y = λy, x ∈ (0,π/2)
⋃ (π/2, π),
(1.1)
с граничными условиями
U (y) := y′(0) - hy(0) = 0, V (y) := y(π) = 0
(1.2)
и в точке x = π/2 условиями разрыва
{
y′(π/2 + 0) = y′(π/2 - 0) ≡ y′(π/2),
I(y) :=
(1.3)
y(π/2 + 0) - y(π/2 - 0) = αy′(π/2),
583
584
АЛИЕВ, МАНАФОВ
где h и α = 0 - заданные действительные числа, λ - спектральный параметр, q(x) - веще-
ственнозначная функция, причём q(x) ∈ W11(0, π).
Заметим, что уравнение (1.1) с условиями разрыва (1.3) сводится к уравнению
-y′′ + (αδ′(x - π/2) + q(x))y = λy, x ∈ (0,π),
(1.4)
где δ′(x) - производная функции Дирака (см. [10]). Отметим, что различные обратные спек-
тральные задачи для уравнения (1.4) исследованы в работе [11].
В настоящей работе для оператора Штурма-Лиувилля L в пространстве L2(0, π), порож-
дённого дифференциальным выражением -y′′ + q(x)y, с плотной областью определения
⎧
⎫
⎨
y′(0) - hy(0) = 0, y(π) = 0,
⎬
D(L) =
y ∈ W22((0,π/2)
⋃ (π/2, π))⋂ L2(0, π)
y′(π/2 + 0) = y′(π/2 - 0) ≡ y′(π/2),
⎩
⎭
y(π/2 + 0) - y(π/2 - 0) = αy′(π/2)
получена формула регуляризованного следа первого порядка.
2. Свойства спектральных характеристик. Пусть y(x) и z(x) - функции, непрерывно
дифференцируемые на интервалах (0, π/2) и (π/2, π). Обозначим 〈y, z〉 := yz′ - y′z. Если
y(x) и z(x) удовлетворяют условиям (1.3), т.е. имеют место I(y) и I(z), то, как несложно
убедиться,
〈y, z〉|x=π/2+0 = 〈y, z〉|x=π/2-0,
(2.1)
другими словами, функция 〈y, z〉 непрерывна на (0, π).
Обозначим через ϕ(x, λ), ψ(x, λ), c(x, λ), s(x, λ) решения уравнения (1.1), удовлетворя-
ющие начальным условиям
c(0, λ) = ϕ(0, λ) = s′(0, λ) = 1, c′(0, λ) = s(0, λ) = ψ(π, λ) = 0, ϕ′(0, λ) = h, ψ′(π, λ) = 1
и условиям разрыва (1.3). Для каждого фиксированного x функции ϕ(x, λ), ψ(x, λ), c(x, λ),
s(x, λ) являются целыми по λ. Очевидно, что
U (ϕ) := ϕ′(0, λ) - hϕ(0, λ) = 0, V (ψ) := ψ(π, λ) = 0.
Обозначим
Δ(λ) := 〈ϕ(x, λ), ψ(x, λ)〉.
(2.2)
В силу равенства (2.1) и теоремы Остроградского-Лиувилля [12, с. 83] Δ(λ) не зависит от x.
Функция Δ(λ) называется характеристической функцией краевой задачи (1.1)-(1.3). Подстав-
ляя x = 0 и x = π в (2.2), получаем
Δ(λ) = V (ϕ) = U(ψ).
(2.3)
Очевидно, что функция Δ(λ) является целой и имеет не более чем счётное множество ну-
лей {λn}.
Лемма 1. Собственные значения λn, n = 1, 2, . . . , действительные. Собственные функ-
ции ϕ(x, λn) и ψ(x, λn) вещественнозначные. Все нули функции Δ(λ) простые, т.е.
d
Δ(λn) = 0.
dλ
Мы опускаем доказательство этой леммы, поскольку оно аналогично тем доказательствам,
которые приведены в работе [13] для классических операторов Штурма-Лиувилля и в рабо-
те [14] для обыкновенных дифференциальных операторов с обобщёнными потенциалами.
Пусть c0(x, λ) и s0(x, λ) - гладкие решения уравнения (1.1) на интервале (0, π) при на-
чальных условиях
c0(0,λ) = s′0(0,λ) = 1, c′0(0,λ) = s0(0,λ) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
585
Тогда
c(x, λ) = c0(x, λ), s(x, λ) = s0(x, λ), x < π/2,
(2.4)
c(x, λ) = A1c0(x, λ) + B1s0(x, λ), s(x, λ) = A2c0(x, λ) + B2s0(x, λ), x > π/2,
(2.5)
где
A1 = 1 + αc′0(π/2,λ)s′0(π/2,λ), B1 = -α[c′0(π/2,λ)]2,
A2 = α[s′0(π/2,λ)]2, B2 = 1 - αc′0(π/2,λ)s′0(π/2,λ).
(2.6)
Пусть λ = k2. Нетрудно убедиться, что функция c0(x, λ) удовлетворяет следующему ин-
тегральному уравнению:
∫x
sin(k(x - t))
c0(x,λ) = cos(kx) +
q(t)c0(t, λ) dt.
(2.7)
k
0
Решая уравнение (2.7) методом последовательных приближений, находим, что
∫
x
{
[∫x
]2}
sin(kx)
cos(kx)
1
c0(x,λ) = cos(kx) +
q(t) dt +
q(x) - q(0) -
q(t) dt
+
2k
4k2
2
0
0
(
)
1
+O
exp(|Im k|x)
,
(2.8)
k3
∫
x
{
[∫x
]2}
cos(kx)
sin(kx)
1
c′0(x,λ) = -k sin(kx) +
q(t) dt +
q(x) + q(0) +
q(t) dt
+
2
4k
2
0
0
(
)
1
+O
exp(|Im k|x)
(2.9)
k3
Аналогично, решая соответствующее уравнение для функции s0(x, λ), будем иметь
∫
x
{
[∫x
]2}
sin(kx)
cos(kx)
sin(kx)
1
s0(x,λ) =
-
q(t) dt +
q(x) + q(0) -
q(t) dt
+
k
2k2
4k3
2
0
0
(
)
1
+O
exp(|Im k|x)
,
(2.10)
k4
∫
x
{
[∫x
]2}
sin(kx)
cos(kx)
1
s′0(x,λ) = cos(kx) +
q(t) dt -
q(x) - q(0) +
q(t) dt
+
2k
4k2
2
0
0
(
)
1
+O
exp(|Im k|x)
(2.11)
k4
В силу равенств (2.6) и соотношений (2.8)-(2.11) получаем:
∫
{
∫
]2}
α
α
α sin(kπ)
A1 = -
k sin(kπ) + 1 +
cos(kπ) q(t) dt +
q(π/2) +
q(t) dt
+ O(1/k2),
2
2
4
k
0
0
∫
α
α
α
B1 = -
k2(1 - cos(kπ)) +
k sin(kπ) q(t)dt +
[q(π/2) + q(0)] -
2
2
4
0
{
∫
]2}
α
−
cos(kπ) q(π/2) + q(0) +
q(t) dt
+ O(1/k),
4
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
586
АЛИЕВ, МАНАФОВ
∫
α
α sin(kπ)
A2 =
(1 + cos(kπ)) +
q(t) dt + O(1/k2),
2
2
k
0
∫
α
B2 =
k sin(kπ) + 1 - cos(kπ) q(t)dt + O(1/k).
2
0
Принимая во внимание (2.4)-(2.11) и то, что ϕ(x, λ) = c(x, λ) + hs(x, λ), имеем:
(
∫
x
1
)sin(kx)
ϕ(x, λ) = cos(kx) + h +
q(t) dt
+
2
k
0
∫
x
[∫x
]2}
(
)
{1
h
1
cos(kx)
1
+
[q(x) - q(0)] -
q(t) dt -
q(t) dt
+O
exp(|Im k|x)
,
4
2
8
k2
k3
0
0
если x < π/2,
[
∫
x
]
α
α
2
1
ϕ(x, λ) = -
k[sin(k(π - x)) + sin(kx)] +
+h+
q(t) dt cos(kx) +
2
2
α
2
0
{
∫
∫
x
]}
)∫x
α
1
α
{ 2h
(1
h
+
h+
q(t) dt -
q(t) dt
cos(k(π - x)) +
+
+
q(t) dt +
2
2
2
α
α
2
0
π/2
0
[
[∫x
]2]}
∫
∫
x
]
1
1
sin(kx)
α
+
- q(x) + 2q(π/2) + q(0) -
q(t) dt
+
q(t) dt -
q(t) dt
+
4
2
k
2
2
0
0
π/2
[
∫
∫
x
]2]}
1
1
sin(k(π - x))
+
- q(x) + 2q(π/2) + q(0) +
q(t) dt -
q(t) dt
+
4
2
k
0
π/2
(
)
1
+O
exp(|Im k|x)
,
(2.12)
k2
если x > π/2.
Из (2.3) и (2.12) следует, что
(
)
(
)
α
sin(kπ)
1
Δ(λ) = -
k sin(kπ) - ω1 cos(kπ) + ω2 - ω3
+O
exp(|Im k|π)
,
(2.13)
2
k
k2
где
∫
π
[ ∫π
∫
]
2
1
1
ω1 =
+h+
q(t) dt, ω2 = -h +
q(t) dt -
q(t) dt
,
α
2
2
0
π/2
0
)∫π
[∫π
]2
2
(1
h
1
1
ω3 =
h+
+
q(t) dt +
[-q(π) + 2q(π/2) + q(0)] -
q(t) dt
(2.14)
α
α
2
4
8
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
587
Используя представление (2.13), общеизвестным методом (см., например, [15, гл. 12]) получа-
ем, что при n → ∞ выполняется соотношение
1
ξn
kn = n +
(ω1 + (-1)n-1ω2) +
,
{ξn} ∈ l2.
πn
n2
Таким образом, доказана
Лемма 2. Оператор L имеет счётное множество собственных значений λn, n =
= 1, 2, . . . Для них при n → ∞ имеет место следующая асимптотическая формула:
2
σn
λn = n2 +
(ω1 + (-1)n-1ω2) +
,
{σn} ∈ l2.
(2.15)
π
n
3. Формула регуляризованного следа. В дальнейшем под регуляризованным следом
первого порядка для краевой задачи (1.1)-(1.3), а следовательно, и для задачи (1.4), (1.2),
будем понимать сумму ряда
(
)
∑
2
Sλ :=
λn - n2 -
(ω1 + (-1)n-1ω2)
(3.1)
π
n=1
Асимптотика (2.15) показывает, что ряд Sλ сходится.
Цель данной работы заключается в нахождении суммы ряда (3.1).
Теорема. Пусть q(x) ∈ W11(0, π). Тогда ряд (3.1) сходится, а его сумма равна
2ω1
ω21
Sλ = ω3 -
-
,
π
2
где ω1 и ω3 определены равенствами (2.14).
Доказательство. Поскольку Δ(λ) является целой функцией порядка 1/2, то из теоремы
Адамара [16, раздел 4.2] в силу соотношения (2.13) вытекает представление
(
)
∏
λ
Δ(λ) = A
1-
,
(3.2)
λn
n=1
где A - некоторая постоянная, которая будет определена ниже.
Пусть λ = -μ2. Сумму Sλ ряда (3.1) вычислим, сравнив асимптотические выражения из
формул (2.13) и (3.2) при μ → ∞. Вследствие представления (3.2) имеем
(λ1 + μ2) sh(μπ)
Δ(-μ2) =
CΦ(μ),
(3.3)
μπ
где
(
)
∏
∏
A
n2
n2 - λn
C =
,
Φ(μ) =
1-
λ1
λn
μ2 + n2
n=2
n=2
Исследуем асимптотическое поведение функции Φ(μ) при больших положительных μ.
Для этого нам понадобятся следующие формулы (см. [17]):
∑
∑
|n2 - λn|j
= O(1/μ3),
(3.4)
j
(μ
2 +n2)j
j=2
n=1
∑1
π coth(πμ)
1
π
1
=
-
=
-
+ O(exp(-2πμ)),
(3.5)
μ2 + n2
2μ
2μ2
2μ
2μ2
n=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
588
АЛИЕВ, МАНАФОВ
(
)
)1/2
∑
(∞∑
)1/2(∞∑
1
ω1 + (-1)n-1ω2
n2
1
1
λn - n2 - 2
≤
ξ2
n
=O(1/μ3) (3.6)
μ2
π
μ2 + n2
μ2
μ2 + n2
n=1
n=1
n=1
при условии sup |λn - n2 - 2(ω1 + (-1)n-1ω2)/π|n2 < ∞. Вследствие формул (3.4)-(3.6) имеем
n
(
)
∑
∑∑
∑
n2 - λn
1
(n2 -λn)j
2(ω1 + ω2)
1
ln Φ(μ) =
ln
1-
=-
=
+
μ2 + n2
j μ2 +n2
π
μ2 + (2m + 1)2
n=2
n=2 j=1
m=1
∑
∑
2(ω1 - ω2)
1
1
+
+
(λn - n2 - 2(ω1 + (-1)n-1ω2)/π) -
π
μ2 + (2m)2
μ2
m=1
n=2
∑
∑
∑
1
n2
(n2 -λn)j
-
(λn - n2 - 2(ω1 + (-1)n-1ω2)/π)
-
=
μ2
μ2 + n2
j
μ2 + n2
n=2
j=2
n=2
(
)
ω1
1
2ω1
=
+
Sλ +
+ O(1/μ3).
μ
μ2
π
Отсюда получаем, что
(
)
ω1
1
2ω1
ω21
Φ(μ) = 1 +
+
Sλ +
+
+ O(1/μ3),
μ
μ2
π
2
и тогда в силу тождества (3.3) будем иметь
{
(
)}
1
1
2ω1
ω21
Δ(-μ2) =
Ceμπ μ+ω1 +
Sλ +
+
+ O(1/μ2).
(3.7)
2
μ
π
2
Теперь же изучим асимптотическое поведение функции Δ(-μ2) = ϕ(π, -μ2) при больших
отрицательных λ = -μ2. Тогда, согласно формуле (2.12), справедливо представление
{
}
μπ
αe
1
Δ(-μ2) =
μ+ω1 +
ω3
+ O(1/μ2).
(3.8)
4
μ
Из соотношений (3.3), (3.7), (3.8), сравнивая коэффициенты, находим, что
α
2ω1
ω21
C =
,
Sλ = ω3 -
-
2
π
2
Теорема доказана.
4. Пример. Краевая задача
-y′′ = λy, x ∈ (0,π/2)
⋃ (π/2, π),
(4.1)
с граничными условиями
y′(0) = y(π) = 0
(4.2)
и в точке x = π/2 условиями разрыва
y′(π/2 + 0) = y′(π/2 - 0) ≡ y′(π/2), y(π/2 + 0) - y(π/2 - 0) = αy′(π/2)
(4.3)
является частным случаем краевой задачи (1.1)-(1.3), когда q(x) = 0, h = 0, где α = 0 -
действительное число. Отметим, что уравнение (4.1) с условиями разрыва (4.3) сводится также
к уравнению
-y′′ + αδ′(x - π/2)y = λy, x ∈ (0,π).
(4.4)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
589
Для этого случая формула (2.15) примет вид
4
σn
λn = n2 +
+
,
{σn} ∈ l2.
πα
n
Согласно теореме формула регуляризованного следа первого порядка для краевой задачи
(4.1)-(4.3), а следовательно, и для задачи (4.4), (4.2) запишется в виде
(
)
∑
4
4
2
Sλ :=
λn - n2 -
=-
-
πα
πα
α2
n=1
Отметим, что регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с
δ-потенциалом вычислен в работе [18].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифферен-
циального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 593-596.
2. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля // Успехи
мат. наук. 1958. Т. 13. № 3 (81). С. 111-143.
3. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов // Докл.
АН СССР. 1963. Т. 150. № 6. С. 1202-1205.
4. Gesztesy F., Holden H., Simon B., Zhao Z. A trace formula for multidimensional Schrödinger operators
// J. Funct. Anal. 1996. V. 141. № 2. P. 449-465.
5. Гусейнов Г.Ш., Левитан Б.М. О формулах следов для операторов Штурма-Лиувилля // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1978. № 1. С. 40-49.
6. Lax P.D. Trace formulas for the Schroedinger operator // Commun. Pure Appl. Math. 1994. V. 47.
P. 503-512.
7. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 5 (371).
С. 89-156.
8. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными
потенциалами // Мат. заметки. 2001. Т. 69. № 3. С. 427-442.
9. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и
формула следа для потенциала, содержащего δ-функции // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38.
№ 6. С. 735-751.
10. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics.
Providence, 2005.
11. Manafov M.Dzh. Inverse spectral and inverse nodal problems for Sturm-Liouville equations with point
δ′-interaction // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. Mathematics. 2017. V. 37.
№ 4. P. 111-119.
12. Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations. New York, 1955.
13. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М., 1970.
14. Манафов М.Дж. Описание области определения обыкновенного дифференциального оператора с
обобщенными потенциалами // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 5. С. 706-707.
15. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967.
16. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., 1956.
17. Левитан Б.М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля // Успехи
мат. наук. 1964. Т. 19. № 1 (115). С. 161-165.
18. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенци-
алом // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55. № 6 (336). С. 155-156.
Азербайджанский государственный университет
Поступила в редакцию 20.08.2019 г.
нефти и промышленности, г. Баку,
После доработки 05.02.2021 г.
Институт математики и механики
Принята к публикации 02.03.2021 г.
НАН Азербайджана, г. Баку,
Университет Адыямана,
г. Адыяман, Турция
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
