ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.590-606

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51+519.216.73

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО

ТИПА С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

Для линейных одномерных однородных стохастических дифференциальных уравнений с

независимыми стандартным и дробным броуновскими движениями получены как доста-

точные, так и необходимые и достаточные условия наличия у них некоторых типов устой-

чивости.

DOI: 10.31857/S0374064121050022

Введение. В дальнейшем считаем, что на вероятностном пространстве (Ω, F, P) заданы

стандартное броуновское движение W (t) и дробное броуновское движение B^H (t) c показате-

лем Хёрста H ∈ (1/2, 1), определённые при t ≥ 0 и являющиеся независимыми.

Под одномерным стохастическим дифференциальным уравнением смешанного типа по-

нимается следующее уравнение:

dx(t) = f(t, x(t)) dt + g(t, x(t)) dW (t) + σ(t, x(t)) dB^H (t), t ≥ 0,

(1)

где f : [0, ∞) × R → R, g : [0, ∞) × R → R, σ : [0, ∞) × R → R - детерминированные функции.

Далее будем предполагать, что f(t, 0) = 0, g(t, 0) = 0, σ(t, 0) = 0 для всех t ≥ 0.

Для того чтобы определить решение уравнения (1), это уравнение рассматривают как ин-

тегральное. При этом существует несколько способов определения интегралов по dW и по

dB^H [1, гл. 2-5; 2, гл. 1, 2]. В настоящей работе интеграл по dW - стохастический инте-

грал Ито, а интеграл по dB^H - потраекторный интеграл Римана-Стилтьеса, введённый в

работе [3] и часто называемый потраекторным интегралом Янга. Различная природа этих ин-

тегралов обуславливает определённые сложности в исследовании уравнений (1): к примеру,

потраекторный интеграл Янга, вообще говоря, не обладает нулевым средним и не является

семимартингалом. Теоремы, дающие достаточные условия существования и единственности

решений уравнений (1), впервые получены в работе [4] для уравнений без сноса и в работе [5]

для уравнений (1) общего вида. В дальнейшем условия существования решений уравнений (1)

были значительно ослаблены, и была доказана непрерывная зависимость решений от началь-

ных данных при тех же условиях, которые обеспечивают существование решений [6-11]. Бо-

лее того, как показывают работы [12-15], привлечение теории грубых траекторий и теории

интегрирования Губинелли позволяет исследовать свойства решений уравнений (1) из более

широкого класса, чем указано выше, а именно, уравнений, содержащих дробные броуновские

движения с показателями Хёрста H ∈ (1/3, 1).

Устойчивость уравнений Ито (1) и систем таких уравнений (т.е. уравнений, не содержащих

дробное броуновское движение, σ ≡ 0) достаточно хорошо изучена - eй посвящена обширная

литература (см., например, [16-18]). В частности, в монографии [17] описан метод исследо-

вания устойчивости с помощью функций Ляпунова, опирающийся на свойство марковости

решений x(t) уравнений Ито. В свою очередь, для линейных уравнений Ито (1) и систем

таких уравнений в монографии [17] получены достаточные условия устойчивости их нулевых

решений.

Исследование устойчивости уравнений (1) общего вида представляется крайне сложной за-

дачей. При попытке расширения области применимости метода функций Ляпунова на класс

уравнений (1) с коэффициентом σ ≡ 0 возникают существенные трудности: интеграл Янга

не обладает нулевым средним и для него не существует оценок, аналогичных оценкам для

590

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

591

стохастического интеграла Ито. Кроме того, процесс B^H (t) обладает высокой дисперсией,

равной t2H ,

2H > 1, что влечёт за собой определённые ограничения на коэффициент σ

и усложняет исследование свойств устойчивости. Вопросам устойчивости достаточно общего

класса уравнений (1) посвящены работы [19, 20]. В работе [19] получены условия, обеспечива-

ющие локальную (т.е. на конечном отрезке [0, T ]) почти наверное экспоненциальную устойчи-

вость нулевого решения автономного уравнения (1), не содержащего W (t) (g ≡ 0), а также

глобальную почти наверное экспоненциальную устойчивость в случае, когда коэффициент

при dB^H линеен: σ(x) = γx, γ ∈ R. В работе [20] найдены условия, гарантирующие (α, p)-

асимптотическую устойчивость по вероятности и (α, p)-притяжение решений уравнений (1) c

выделенной линейной частью: f(t, x) = A(t)x + F (t, x).

В данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных однородных уравнений смешан-

ного типа

dx(t) = a(t)x(t) dt + b(t)x(t) dW (t) + c(t)x(t) dB^H (t), t ≥ 0,

(2)

где a: [0, ∞) → R, b: [0, ∞) → R, c: [0, ∞) → R - детерминированные функции. Отдельное

внимание будет уделено уравнениям (2), являющимся стационарными:

dx(t) = ax(t) dt + bx(t) dW (t) + cx(t) dB^H (t), t ≥ 0,

(3)

где a, b, c ∈ R.

В настоящей работе установлены необходимые и достаточные условия асимптотической

устойчивости по вероятности, p-устойчивости и экспоненциальной устойчивости нулевого ре-

шения уравнения (2), обобщающие результаты для соответствующих уравнений Ито [17, гл. 6].

Кроме того, получена явная формула, выражающая момент порядка p > 0 решения уравне-

ния (2). Результаты данной статьи могут быть использованы в дальнейшем, к примеру, при

исследовании устойчивости уравнений, сводящихся к линейным (например, уравнений бернул-

лиевского типа [21]), а также при исследовании устойчивости нулевого решения уравнения (1)

по линейному приближению.

1. Предварительные сведения и обозначения. Символом E будем обозначать ма-

тематическое ожидание случайных величин, определённых на вероятностном пространстве

(Ω, F, P). Сокращение “п.н.” будем использовать для словосочетания “почти наверное”, озна-

чающего, что то или иное утверждение справедливо на множестве

Ω ⊂ Ω вероятностной

меры 1, т.е. P{^Ω} = 1.

Дробным броуновским движением с показателем Хёрста H ∈ (0,1) называют центриро-

ванный непрерывный гауссовский процесс B^H (t), t ≥ 0, c ковариационной функцией

R_H(t,s) := EB^H(t)B^H(s) =

(t2H + s2H - |t - s|2H ), s, t ≥ 0.

При H = 1/2 дробное броуновское движение B1/2(t) является винеровским процессом.

Другими словами, процесс W (t) является частным процессом из семейства B^H (t) при

H = 1/2.

Введём в рассмотрение функцию

φ(t, s) := H(2H - 1)|t - s|2H-2, t, s ≥ 0.

Нетрудно видеть, что справедливо следующее представление [1, c. 24]:

∫t

∫

R_H(t,s) =

φ(u, v) dv du.

(4)

Через L2φ[0, T ] будем обозначать линейное пространство измеримых функций f : [0, T ] → R

∫_T ∫_T

таких, что конечен интеграл Лебега

f (s)f(u)φ(s, u) ds du. В работе [22] доказано, что

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

592

КАЧАН

на линейном пространстве классов эквивалентности функций из L2φ[0, T ] можно определить

скалярное произведение

∫T

∫

〈f, g〉_L2

f (s)g(u)φ(s, u) ds du, f, g ∈ L2φ[0, T ],

и, соответственно, норму

(∫T

∫

)1/2

√

∥f∥_L2

〈f, f〉_L2

f (s)f(u)φ(s, u) ds du

f ∈ L2φ[0,T];

это линейное пространство с заданным скалярным произведением 〈 , 〉_L2

является предгиль-

бертовым (не обладает свойством полноты).

Через C^λ(0, T ) обозначим линейное нормированное пространство функций f : [0, T ] → R,

непрерывных по Гёльдеру с показателем λ ∈ (0, 1], норма в котором задаётся равенством

|f(t) - f(s)|

∥f∥_Cλ;T := sup |f(t)| + sup

t∈[0,T ]

0≤s<t≤T (t - s)^λ

Пространство C^λ(0, T ) является банаховым.

Важнейшим свойством дробного броуновского движения B^H (t), используемым при по-

строении потраекторных интегралов, является свойство гёльдеровости его траекторий: для

любого ε∈(0, H) траектории процесса B^H (t), t ∈ [0, T ], п.н. принадлежат классу C^H-ε(0, T ).

Пусть α ∈ (0, 1/2). Через Wα,10(0, T ) будем обозначать пространство измеримых функций

f : [0,T] → R таких, что

∫T

∫

|f(s)|

|f(s) - f(u)|

∥f∥α,1;T :=

ds +

du ds < ∞.

s^α

(s - u)α+1

В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение ∥f∥_α,T := ∥f∥α,1;T .

Через f|_Y обозначаем сужение функции f : X → R на множество Y, Y ⊂ X ⊂ R.

Определение 1. Решением уравнения (1) (в сильном смысле) будем называть процесс x(t),

t ≥ 0, заданный на вероятностном пространстве (Ω,F,P), согласованный с потоком σ-алгебр

F_t, порождённым процессами W(t) и B^H(t), и обладающий свойствами:

1) существует α > 1 - H такое, что процесс x(t) имеет п.н. непрерывные по Гёльдеру с

показателем α траектории;

2) для любого t ≥ 0 п.н. выполняется равенство

∫t

∫

x(t) = x(0) + f(s, x(s)) ds + g(s, x(s)) dW (s) + σ(s, x(s)) dB^H (s),

где интеграл по процессу W (t) - стохастический интеграл Ито, а интеграл по процессу B^H (t) -

потраекторный интеграл Янга [5].

Замечание 1. Зачастую интеграл по процессу B^H (t) определяется как обобщённый ин-

теграл Стилтьеса с использованием дробных производных подынтегральных процессов [23].

∫_T

Однако, согласно замечанию 4.1 из [23], обобщённый интеграл Стилтьеса

f (t) dg(t) совпа-

дает с обычным интегралом Римана-Стилтьеса (интегралом Янга) в случае, если f ∈ C^λ(0, T ),

g ∈ C^μ(0,T) и λ + μ > 1.

Далее введём определения устойчивости, используемые в работе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

593

Определение 2. Нулевое решение уравнения (1) называется устойчивым по вероятно-

сти, если для любых ε₁,ε₂ > 0 существует δ = δ(ε₁,ε₂) > 0 такое, что для любого t > 0 и

любого решения x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию |x(0)| < δ п.н., справедливо

неравенство

P{|x(t)| > ε₁} < ε₂.

Определение 3. Нулевое решение уравнения (1) называют асимптотически устойчивым

по вероятности, если оно устойчиво по вероятности и для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) >

> 0 такое, что для любого решения x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию |x(0)| < δ

п.н., справедливо соотношение

P{|x(t)| > ε} ---→ 0.

t→∞

Определение 4. Нулевое решение уравнения (1) называется p -устойчивым (p > 0), если

для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что для любого t > 0 и любого решения

x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию |x(0)| < δ п.н., справедливо неравенство

E|x(t)|^p < ε.

Определение 5. Нулевое решение уравнения (1) называют асимптотически p-устойчи-

вым (p > 0), если оно p-устойчиво и для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что для

любого решения x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию |x(0)| < δ п.н., справедливо

соотношение

E|x(t)|^p ---→ 0.

t→∞

Определение 6. Нулевое решение уравнения (1) называют экспоненциально p-устойчи-

вым (p > 0), если существуют постоянные A = A(p) > 0 и α = α(p) > 0 такие, что для

всех t > 0

E|x(t)|^p ≤ AE|x(0)|e^-αt.

Как показано в работе [21], решение линейного уравнения (2) выражается формулой

(∫t(

)

∫

)

x(t) = x(0) exp

a(s) -

b²(s) ds + b(s)dW(s) + c(s)dB^H(s) ,

t ≥ 0,

(5)

которая, впрочем, может быть получена применением формулы Ито для процессов со стан-

дартным и дробным броуновским движением [2, c. 184] к процессу

∫^t

∫

y(t) = y(0) + b(s) dW (s) + c(s) dB^H (s)

и функции

(∫t(

)

F (t, y) = exp

a(s) -

b²(s) ds + y

Для удобства введём отдельное обозначение для процесса, стоящего в показателе экспо-

ненты в формуле (5):

∫t

(

)

∫

ν(t) :=

a(s) -

b²(s) ds + b(s)dW(s) + c(s)dB^H(s), t ≥ 0.

Тогда формула решения (5) примет вид x(t) = x(0)eν(t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

594

КАЧАН

2. Предположения. Далее всюду будем предполагать выполнение следующих условий.

П1. Процессы W (t) и B(H)(t), t ≥ 0, независимы.

П2. Случайная величина x(0) F₀-измерима и не зависит от W (t) и B(H)(t).

П3. Функции a(t), b(t) непрерывны при t ≥ 0.

П4. Существует λ > 1 - H такое, что функция c(t)|[0,T] принадлежит классу C^λ(0, T )

для любого T > 0.

Отметим, что условия П2-П4 гарантируют существование решения уравнения (5) и его

представление в виде (5).

3. Вспомогательные утверждения. В дальнейшем будут полезны несколько вспомога-

тельных утверждений.

В следующих двух леммах нам потребуется рассматривать произвольную последова-

тельность

P_n = {t₀,t₁,... ,tNn ∈ [0,t] : 0 = t₀ < t₁ < ... < tNn = t}

(6)

разбиений отрезка [0, t] c диаметрами

|P_n| = max{ti+1 - t_i : i = 0, N_n - 1},

стремящимися к нулю при n → ∞.

Лемма 1. Если процессы W (t) и B^H (t) независимы, то стохастический интеграл Ито

∫t

b(s) dW (s) и потраекторный интеграл Янга

c(s) dB^H (s) также независимы.

Доказательство. Рассмотрим интегральные суммы

∑

I(W)n =

b(t_i)(W (ti+1) - W (t_i)) и I(B)n =

c(t_i)(B^H (ti+1) - B^H (t_i))

i=0

∫t

для интегралов Ито I(W) =

b(s) dW (s) и Янга I(B) =

c(s) dB^H (s) соответственно вдоль

разбиений (6). Как известно, InW) стремится к I(W) по вероятности, а InB) стремится к I(B)

п.н. при n → ∞.

Очевидно, что суммы InW) и InB) являются линейными комбинациями компонент векто-

ров WPn = (W (t₀), . . . , W (tNn )) и BPn = (B^H (t₀), . . . , B^H (tNn )). Из независимости процессов

W (t) и B^H (t) следует независимость векторов WPn и BPn , откуда следует независимость

интегральных сумм InW) и InB). Значит, при любом n ∈ N справедливо равенство

(x₁, x₂) = F

(x₁)F

(x₂),

(InW),InB))

InW)

InB)

в котором F_ξ(x) - функция распределения случайной величины ξ. Так как вектор (InW), InB))

стремится к вектору (I(W), I(B)) по вероятности при n → ∞ и сходимость по вероятности

влечёт за собой сходимость по распределению, то, переходя к пределу в последнем равенстве,

будем иметь

F(I(W ),I(B))(x1^,x2)=FI(W )(x1)FI(B)(x2),

откуда следует независимость интегралов I(W) и I(B). Лемма доказана.

Предложение 1. Пусть c(s) ≡ 0 - непрерывная при s ≥ 0 функция и c|[0,t] ∈ L2φ[0, t] для

∫t

некоторого фиксированного t > 0. Тогда интеграл Янга

c(s) dB^H (s) - нормально распре-

делённая случайная величина с нулевым средним μ(t) = 0 и дисперсией

∫

σ²(t) = ∥c∥2L2

c(s)c(u)φ(s, u) ds du.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

595

Доказательство. Обозначим S := ∥c∥²

> 0. Рассмотрим интегральные суммы вдоль

L2φ;t

разбиений (6) с промежуточными точками τ_i ∈ [t_i, ti+1], i = 0, N_n - 1, возникающими при

применении к интегралам

∫

φ(u, v) du dv = φ(τ_i, τ_j)(ti+1 - t_i)(tj+1 - t_j)

теоремы о среднем:

∫

∑

I_n :=

c(τ_i)(B^H (ti+1) - B^H (t_i)) ---→

c(s) dB^H (s) (п.н.).

n→∞

i=0

Так как I_n есть линейная комбинация значений B^H (t), B^H (τ_i), i = 0, N_n - 1, гауссовского

процесса B^H (t), то I_n = I_n(ω) - нормально распределённая случайная величина для любо-

го n. Её среднее равно нулю:

∑

μ_n = EI_n(t) =

c(τ_i)(EB^H (ti+1) - EB^H (t_i)) = 0,

i=0

а дисперсия вычисляется по следующей формуле:

∑

σ2n = EI2n(t) =

c(τ_i)c(τ_j )E(B^H (ti+1) - B^H (t_i))(B^H (tj+1) - B^H (t_j)) =

i,j=0

∑

(

)

c(τ_i)c(τ_j )

R_H(ti+1,tj+1) - R_H(ti+1,t_j) - R_H(t_i,tj+1) + R_H(t_i,t_j)

i,j=0

где R_H (u, v) - ковариационная функция дробного броуновского движения B^H (t). Применяя

представление (4) и теорему о среднем, получаем

∫

∑

σ2n =

c(τ_i)c(τ_j )

φ(u, v) dv du =

c(τ_i)c(τ_j )φ(τ_i, τ_j )(ti+1 - t_i)(tj+1 - t_j).

i,j=0

Таким образом, lim

σ2n = S.

n→∞

Осталось доказать, что предел п.н. lim

I_n = I - нормально распределённая случайная

n→∞

величина. Сходимость п. н. влечёт за собой сходимость по распределению, поэтому для любого

x ∈ R имеем

∫

√

e-y2/(2σn) dy =

√

lim

e-y2/(2σn) dy,

FI (x) = lim

FIn (x) = lim_n→∞

n→∞

2πσ2n

2πS

n→∞

-∞

где F_ξ(x) - функция распределения случайной величины ξ. Рассмотрим функцию f(y, τ) =

= e-y2/(2τ), y ∈ (-∞,x), τ ∈ [S/2,3S/2]. Очевидно, f(y,τ) ≤ f(y,3S/2) для любого y и

∫

√

f (y, 3S/2) dy ≤

2π

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

596

КАЧАН

∫_x

поэтому интеграл

f (y, τ) dy сходится равномерно по τ ∈ [S/2, 3S/2] при любом фикси-

-∞

рованном x. C другой стороны, для любого y выполняется неравенство

f^′τ (y,τ) =

e-y2/(2τ) ≤

2τ²

поскольку max z²e-z2 = 1/e. Значит, из формулы конечных приращений следует неравенство

z∈R

|f(y, τ) - f(y, S)| ≤ 2|τ - S|/(Se)

для любого y и τ ∈ [S/2, 3S/2], откуда вытекает, что f(y, σ2n) → f(y, S) равномерно относи-

тельно y при n → ∞. Таким образом, переходя к пределу под знаком интеграла, получаем

∫

FI (x) =

√

e-y2/(2S) dy,

2πS

-∞

т.е. случайная величина I подчиняется нормальному закону распределения с параметрами

(μ, σ²) = (0, S), что и требовалось доказать.

Следующая лемма доказана в монографии [17, лемма 6.1].

∫t

Лемма 2. Стохастический интеграл Ито

b(s) dW (s) п.н. представим в виде

∫

b(s) dW (s) =^W(τ(t))

для всех t ≥ 0, где

^W(τ), τ ≥ 0, - некоторое другое стандартное броуновское движение

∫t

(винеровский процесс), а τ(t) =

b²(s)ds.

Лемма 3. Пусть для некоторых t > 0 и α ∈ (1-H, 1/2) имеет место включение c|[0,t] ∈

(

)

∈ Wα,10(0,t). Тогда при любом ε ∈

0, α - (1 - H)

справедливы следующие утверждения.

1) Существует константа K = K_H,ε,α, зависящая лишь от ε, α и H, такая, что п.н.

выполняется оценка

∫



c(s) dB^H (s)

Kη_H,ε,t(ω)∥c∥_α,ttH-ε+α-1 =: C^Hε,α(t,ω),

(7)



≤

где η_H,ε,t(ω) при фиксированном t - случайная величина, для которой п.н. имеет место

неравенство |BH (s) - BH (u)| ≤ ηH,ε,t|s - u|H-ε для всех s, u ∈ [0, t] и которая задаётся

равенством

(∫t

∫

)2/ε

|B^H (s) - B^H (u)|2ε

η_H,ε,t := γ_H,ε

ds du

|s - u|2H/ε

с некоторой константой γ_H,ε, зависящей лишь от H и ε.

2) Для случайного процесса C^Hε,α(t,ω), определённого правой частью неравенства (7), су-

ществует константа L = L_H,ε,α, зависящая лишь от ε, α и H, такая, что для любого

числа M > 0 справедлива оценка

)2/ε

H+α-1

⁽ ∥c∥_α,tt

P{C^Hε,α(t) ≤ M} ≥ 1 - L

(8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

597

Доказательство. Оценка (7) непосредственно следует из результатов работы [23]. В самом

деле, во-первых, согласно [23, с. 74] п.н. справедливо неравенство

∫



c(s) dB^H (s)



≤

Gα,t(ω)∥c∥α,t,

в котором

Gα,t =

sup

|D1-αBHu-(s)|,

u^-

Γ(1 - α)

0<s<u<t

здесь Γ - гамма-функция, D1-α

- оператор левосторонней дробной производной Вейля по-

u^-

рядка 1 - α [23, c. 59-60], а BHu- (s) = (B^H (s) - B^H (u-))1(0,u)(s), где 1(0,u)(s) - индикаторная

функция интервала (0, u). Во-вторых, из оценки, полученной в [23, лемма 7.5], следует не-

равенство

(

)

Gα,t ≤

η_H,ε,ttH-ε+α-1,

Γ(1 - α)Γ(α)

H-ε+α-1

из которого вытекает оценка (7).

Оценка (8) получается применением оценки из [23, лемма 7.4] и неравенства Маркова.

Из доказательства леммы 7.4 в [23, c. 77] следует справедливость неравенства E(η_H,ε,t)^q ≤

≤ γ^qH,εc_ε,qt^qε для любого q ≥ 2/ε и некоторой константы c_ε,q, зависящей от ε и q. Полагая

q = 2/ε, получаем оценку E(η_H,ε,t)2/ε ≤ L_H,εt² для некоторой константы L_H,ε, зависящей от

ε и H. Применяя неравенство Маркова, для любого M > 0 приходим к неравенству

L_H,εt

P{(η_H,ε,t)2/ε > M} ≤

равносильному неравенству P{η_H,ε,t > M} ≤ L_H,εt²/M2/ε, которое, в свою очередь, равно-

сильно неравенству

)2/ε

H-ε+α-1

⁽K∥c∥_α,tt

⁽ ∥c∥_α,ttH+α-1 )2/ε

P{C^Hε,α(t) > M} ≤ L_H,εt²

где L = L_H,εK2/ε - константа, зависящая от ε, α и H. Лемма доказана.

4. Устойчивость линейных уравнений. Обозначим

∫t

∫

√

A(t) := a(s) ds, τ(t) := b²(s) ds, A_τ (t) := A(t) -

τ (t), κ(t) :=

2τ(t) ln ln τ(t).

(9)

Достаточные условия асимптотической устойчивости по вероятности нулевого решения урав-

нения (2) даёт

Теорема 1. Пусть существует α ∈ (1 - H, 1/2) такое, что c|[0,T] ∈ Wα,10(0, T ) для

любого T > 0, и A(t), τ(t), A_τ (t) и κ(t) - функции, определённые равенствами (9). Тогда

справедливы следующие утверждения:

1) если τ(∞) < ∞ и выполнены условия

A(∞) = -∞, lim

tH+α-1∥c∥_α,t/A(t) = 0,

t→∞

то уравнение (2) имеет асимптотически устойчивое по вероятности нулевое решение;

2) если τ(∞) = ∞ и выполнены условия

lim

A_τ (t)/κ(t) < -1, lim

tH+α-1∥c∥_α,t/κ(t) = 0,

t→∞

то уравнение (2) имеет асимптотически устойчивое по вероятности нулевое решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

598

КАЧАН

Доказательство. Зафиксируем произвольное ε₁ > 0 и решение x(t) = x(0)eν(t) урав-

нения (2) с начальным значением x(0), п.н. удовлетворяющим неравенству |x(0)| < δ < ε₁.

Рассмотрим вероятность

P{|x(t)| > ε₁} = P{ν(t) > ln(ε₁/|x(0)|)} = 1 - P{ν(t) ≤ ln(ε₁/|x(0)|)}.

Достаточно доказать, что в условиях теоремы lim

P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)} = 0. Действительно,

t→∞

с одной стороны, в таком случае будет доказано, что lim

P{|x(t)| > ε₁} = 0, так как

t→∞

P{ν(t) ≤ ln(ε₁/|x(0)|)} ≥ P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)}.

С другой стороны, на любом отрезке t ∈ [0, T ] справедливо неравенство E|ν(t)| ≤ C_T < ∞

с некоторой константой C_T , зависящей от T, поскольку для любого t ∈ [0, T ] выполнены

неравенства

∫T

∫



|A(t)| ≤

|a(s)| ds, E

b(s) dW (s)

(τ(T ))1/2,



≤

∫



E c(s)dB^H(s)

KE|η_H,ε,T |∥c∥_α,T TH-ε+α-1 < ∞

≤

(ввиду леммы 3 и [23, лемма 7.4]). Тогда применение неравенства Маркова даёт оценку

P{|x(t)| > ε₁} ≤ P{|ν(t)| > ln(ε₁/δ)} ≤ C_T / ln(ε₁/δ),

и за счёт выбора достаточно малого δ можно добиться того, чтобы правая часть последнего

неравенства была меньше любого наперёд заданного ε₂ > 0.

Рассмотрим отдельно два случая, указанных в условии теоремы.

Случай 1. Пусть τ(∞) = τ₀ < ∞ и выполнены условия утверждения 1) теоремы. Введём

обозначения

∫^t

∫

ν_W (t) =

A(t) -

τ (t) + b(s) dW (s), ν_B(t) =

A(t) + c(s) dB^H (s).

В данных обозначениях ν(t) = ν_W (t) + ν_B(t). Рассмотрим события

{

}

{

}

A^Wt = ν_W (t) ≤

ln(ε₁/δ)

и A^Bt = ν_B(t) ≤

ln(ε₁/δ)

Несложно видеть, что P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)} ≥ P{A^Wt

^⋂ABt } = P{A^Wt}P{ABt }, поскольку процес-

∫t

сы

b(s) dW (s) и

c(s) dB^H (s) независимы.

Рассмотрим вероятность P{A^Wt }. Пусть

M (t) =

ln(ε₁/δ) -

A(t) +

τ (t).

В силу леммы 2 и свойств винеровского процесса будем иметь

√

M (t∫

τ (t)

∫

P{A^Wt } = P{W(τ(t)) ≤ M(t)} =

√

e-s2/(2τ(t)) ds =

√

e-s2/² ds ---→ 1,

2πτ(t)

2π

t→∞

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

599

поскольку A(∞) = -∞, τ(∞) = τ₀ и, соответственно,

√

lim

M (t)/

τ (t) =

t→∞

→∞

Теперь оценим вероятность P{A^Bt}, используя лемму 3:

{

}

⁽ 2∥c∥_α,ttH+α-1 )2/ε

P{A^Bt} ≥ P C^Hε,α(t) ≤

ln(ε₁/δ) -

A(t)

≥1-L

---→ 1,

ln(ε₁/δ) - A(t)

t→∞

так как

lim

tH+α-1∥c∥_α,t/A(t) = 0.

t→∞

Таким образом, P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)} ≥ P{A^Wt } P{A^Bt} ---→ 1, что и требовалось.

t→∞

Случай 2. Пусть τ(∞) = ∞ и выполнены условия утверждения 2) теоремы. Введём

обозначение для функции из условия утверждения 2):

J (t) := A_τ (t)/κ(t), lim J(t) < -1.

t→∞

Также для краткости обозначим

∫t

ξ(t) := A_τ (t) + c(s) dB^H (s).

По лемме 2 имеем

∫t

^W(τ(t)) = b(s) dW (s)

п.н., отсюда ν(t) =^W(τ(t)) + ξ(t) п.н. и, следовательно,

}

^{ν(t)

ln(ε₁/δ)

(τ(t))

ξ(t)

P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)} = P

≤

≥P

≤0

=: P{A}.

κ(t)

Выберем некоторое достаточно малое положительное

ε ∈ (0,-1 - lim J(t)) и рассмотрим

t→∞

события

}

{

}

(τ(t))

ξ(t)

A^Wt =

≤1+ε и A^ξt =

≤ -1 - ε .

κ(t)

Как и в случае 1), получаем P{A} ≥ P{A^Wt ⋂ A^ξt} = P{A^Wt} P{A^ξt}.

Рассмотрим вероятность P{A^Wt}. Для краткости введём обозначение

√

ζ(τ) := sup^W(s)/

2s ln ln s.

s≥τ

По закону повторного логарифма lim

ζ(τ(t)) = lim ζ(τ) = 1 п.н. Кроме того, функция τ(t)

t→∞

τ→∞

возрастает, а функция ζ(τ) убывает по τ при каждом фиксированном ω ∈ Ω. Значит, для

любых t₁, t₂ > 0, t₁ < t₂, справедливо включение {ζ(τ(t₁)) ≤ 1 + ε} ⊂ {ζ(τ(t₂)) ≤ 1 + ε},

откуда по аксиоме непрерывности

lim

P{A^Wt} ≥ lim

P{ζ(τ(t)) ≤ 1 + ε} ≥ P{ lim ζ(τ(t)) ≤ 1 + ε} = 1.

t→∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

2^∗

600

КАЧАН

Теперь оценим вероятность P{A^ξt} для достаточно больших t, применяя лемму 3. Имеем

{

∫

}

P{A^ξt} = P

c(s) dB^H (s) ≤ -1 - ε- J(t)

≥

κ(t)

}

(

)2/ε

^{C^H

(t)

∥c∥_α,ttH+α-1

≥P^ε,α

≤ -1 - ε- supJ (s)

≥1-L

κ(t)

s≥t

(-1 - ε- sup J(s))κ(t)

s≥t

Переходя в последнем неравенстве к пределу, получаем

(

)2/ε

H+α-1

∥c∥_α,tt

lim

P{A^ξt} ≥ 1 - L

lim

= 1.

t→∞

(-1 - ε- lim J(s))

t→∞

κ(t)

t→∞

Таким образом P{ν(t) ≤ ln(ε₁/δ)} ≥ P{A} ≥ P{A^Wt} P{A^ξt} ---→ 1. Теорема доказана.

t→∞

Следствие 1. Для уравнения (3) любое из условий:

1) b = 0, a < 0, c - любое;

2) b = 0, a < b²/2, c = 0,

является достаточным для асимптотической устойчивости по вероятности его нулевого

решения.

Доказательство получается непосредственным применением теоремы 1 с учётом того,

что в случае постоянной функции c(t) ≡ c выражение ∥c∥_α,t равно |c|t1-α/(1 - α).

Следующая теорема является критерием асимптотической устойчивости по вероятности

нулевого решения уравнения (2) в предположении, что коэффициент b(t) отличен от тож-

дественно нулевого. Обозначим

∫

∫t

C_φ(t) = ∥c∥2L2

c(s)c(u)φ(s, u) ds du.

(10)

Теорема 2. Пусть b ≡ 0 и c|[0,T] ∈ L2φ[0, T ] для любого T > 0. Уравнение (2) имеет

асимптотически устойчивое по вероятности нулевое решение тогда и только тогда, когда

выполняется соотношение

A_τ (t)

lim

√

= -∞,

t→∞

τ (t) + C_φ(t)

где A_τ (t), τ(t) и C_φ(t) - функции, определённые в равенствах (9) и (10).

Доказательство. Пусть c ≡ 0. Из лемм 1, 2 и предложения 1 следует, что интегралы Ито

∫t

I_W (t) =

b(s) dW (s) и Янга I_B(t) =

c(s) dB^H (s) при фиксированном t - независимые,

нормально распределённые случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями τ(t) и

C_φ(t) соответственно. Следовательно, их сумма - также нормально распределённая случайная

величина с нулевым средним и дисперсией τ(t) + C_φ(t), откуда для любого M > 0 выводим

равенство

P{ν(t) > M} = P{I_W (t) + I_B(t) > M - A_τ (t)} =

∫

∞

∫

∞

√

e-s2/(2(τ(t)+Cφ(t))) ds =

√

e-s2/² ds,

2π(τ(t) + C_φ(t))

2π

M-Aτ (t)

M (t)

M - A_τ(t)

M (t) =

√

(11)

τ (t) + C_φ(t)

Нетрудно видеть, что формула (11) верна и в случае c ≡ 0. Условие b ≡ 0 гарантирует, что

при достаточно больших t знаменатель дроби M(t) будет отличен от нуля.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

601

Далее, асимптотическая устойчивость равносильна соотношению lim P{ν(t) > M} =

t→∞

которое равносильно тому, что lim M(t) = ∞. Заметим, что при достаточно больших t выра-

t→∞

√

жение M/

τ (t) + C_φ(t) ограничено: для достаточно малого ϵ > 0 оно принадлежит отрезку

[

∕√

]

∕√

M lim

τ (t) + lim

C_φ(t) + ϵ,M

lim τ(t) + lim C_φ(t) - ϵ

t→∞

который, впрочем, может вырождаться в точку 0 в случае, если хотя бы оди√из пределов

lim τ(t) или lim C_φ(t) равен бесконечности. Из ограниченности функции M/

τ (t) + C_φ(t)

t→∞

√

следует равносильность соотношений lim

M (t) = ∞ и lim

A_τ (t)/

τ (t) + C_φ(t) = -∞, что

t→∞

и требовалось доказать.

Следствие 2. Для уравнения (3) необходимым и достаточным условием асимптотиче-

ской устойчивости по вероятности его нулевого решения является неравенство a < b²/2.

Доказательство. Если коэффициенты уравнения постоянны, то справедливы равенства

ν(t) = (a - b²/2)t + bW (t) + cB^H (t) и C_φ(t) = c²R_H (t, t) = c²t2H . При b = c = 0 утверждение

теоремы очевидно.

Если b = 0 и c = 0, то из формулы (11) следует эквивалентность

M (t) ∼ -(a - b²/2)t1/2/|b|

при t → ∞. Если же c = 0, то из формулы (11) следует эквивалентность

M (t) ∼ -(a - b²/2)t1-H /|c|

при t → ∞. Таким образом, для асимптотической устойчивости по вероятности необходимо и

достаточно, чтобы выполнялось неравенство a < b²/2, что и требовалось доказать.

Замечание 2. Из последнего утверждения следует, что слагаемое cx(t) dB^H (t) в уравне-

нии (3) не влияет на асимптотическую устойчивость по вероятности его нулевого решения.

В следующем предложении получена явная формула для момента порядка p > 0 решения

уравнения (2).

Предложение 2. Пусть c|[0,t] ∈ L2φ[0, t] для некоторого t > 0. Тогда для любого p > 0

справедливо равенство

( ∫t

(

∫

)

p-1

E|x(t)|^p = E|x(0)|^p exp p

a(s) +

b²(s) + pH(2H - 1) (s - u)2H-2c(s)c(u)du ds

где x(t) - решение уравнения (2) с начальным значением x(0).

Доказательство. Из представления (5) решения уравнения (2), независимости x(0), W (t),

B^H(t) и из леммы 1 следует равенство

( ∫t

(

)

E|x(t)|^p = E|x(0)|^p exp p

a(s) -

b²(s) ds

(∫t

) (∫t

)

× Eexp pb(s)dW(s) Eexp pc(s)dB^H(s)

(12)

∫t

Вычислим u(t) = E exp(

pb(s) dW (s)). Из представления (5) следует, что процесс η(t) =

∫t

= exp(

pb(s) dW (s)) является решением линейного уравнения

∫

η(t) = 1 +

b²(s)η(s)ds + p b(s)η(s)dW(s).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

602

КАЧАН

Возьмём математическое ожидание от обеих частей последнего равенства. Воспользовавшись

теоремой Фубини и тем, что среднее интеграла Ито равно нулю, получаем

∫

u(t) = 1 +

b²(s)u(s)ds.

Дифференцируя последнее равенство, приходим к уравнению

u^′(t) -

b²(t)u(t) = 0

c начальным условием u(0) = Eey(0) = 1. Его решение

(∫t

)

⁽p²

E exp pb(s) dW (s)

= u(t) = exp

τ (t)

(13)

∫t

Осталось вычислить v(t) = E exp(

pc(s) dB^H (s)). Для краткости введём обозначения:

∫t

y(t) =

pc(s) dB^H (s), z(t) = ey(t), тогда v(t) = Ez(t). Из представления решения (5) следует,

что процесс z(t) является решением линейного уравнения

∫t

z(t) = 1 + p c(s)z(s) dB^H (s).

(14)

∫t

Согласно [1, разд. 5.1] потраекторный интеграл Янга

c(s)z(s) dB^H (s) совпадает с симметри-

∫t

ческим интегралом

c(s)z(s)d^◦B^H (s). Согласно [1, теорема 5.5.1] симметрический интеграл

∫t

может быть выражен через интеграл Вика-Ито-Скорохода

c(s)z(s) ⋄ dB^H (s) по формуле

∫

c(s)z(s)d^◦B^H (s) = c(s)z(s) ⋄ dB^H (s) + D^φs(c(s)z(s)) ds

(п.н.), где D^φt - оператор φ-производной [1, разд. 3.5] (обобщённой производной по ω).

Поскольку интеграл Вика-Ито-Скорохода имеет нулевое среднее, то, взяв математическое

ожидание от обеих частей равенства (14), получим

∫t

v(t) = 1 + pE D^φs(c(s)z(s)) ds.

Вычислим φ-производную D^s(c(s)z(s)). Используя связь интеграла Янга, симметрическо-

го интеграла и интеграла Вика-Ито-Скорохода, нетрудно заметить, что

∫t

∫

y(t) = p c(s) dB^H (s) = p c(s)d^◦B^H (s) = p c(s) ⋄ dB^H (s),

поскольку функция c(s) не зависит от ω и, соответственно, D^s(c(s)) = 0. Следовательно,

∫t

z(t) = F (

c(s) ⋄ dB^H (s)), где F (y) = e^py. Согласно свойствам φ-производной [1, раздел 3.5]

будем иметь

(∫∞

)

D^φt(c(t)z(t)) = c(t)D^φtF(y(t)) = c(t)F^′(y(t)) = c(t)pey(t)D^φt

c(s)1[0,t](s) ⋄ dB^H (s)

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

603

∫∞

∫

= pc(t)z(t)

φ(s, t)c(s)1[0,t](s) ds = pH(2H - 1)c(t)z(t) (t - s)2H-2c(s) ds.

-∞

Таким образом, используя последнее равенство и применяя теорему Фубини к интегралу (14),

получаем интегральное уравнение для нахождения функции v(t):

∫^t

( ∫s

)

v(t) = 1 + p²H(2H - 1)

c(s) (s - u)2H-2c(u) du v(s) ds.

Дифференцируя последнее равенство, приходим к уравнению

(∫t

)

v^′(t) - p²H(2H - 1)c(t)

(t - s)2H-2c(s) ds v(t) = 0

c начальным условием v(0) = Eey(0) = 1. Его решение:

(∫t

)

(

∫

(∫s

)

E exp pc(s) dB^H (s)

= v(t) = exp p²H(2H - 1) c(s) (s - u)2H-2c(u)du ds

(15)

Теперь из равенств (12), (13), (15) вытекает требуемое. Предложение доказано.

Обозначим

∫t

∫

p-1

Fp(t) := a(t) +

b²(t) + pH(2H - 1) (t - u)2H-2c(t)c(u)du, I_p(t) := F_p(s)ds.

(16)

Из предложения 2 очевидным образом следует теорема о p-устойчивости нулевого решения

уравнения (2).

Теорема 3. Пусть c|[0,T] ∈ L2φ[0, T ] для любого T > 0, и F_p(t), I_p(t) - функции, опреде-

лённые равенствами (16). Тогда справедливы утверждения.

1. Уравнение (2) имеет p-устойчивое нулевое решение тогда и только тогда, когда

lim

I_p(t) < ∞.

t→∞

2. Уравнение (2) имеет асимптотически p-устойчивое нулевое решение тогда и только

тогда, когда lim

I_p(t) = -∞.

t→∞

3. Уравнение (2) имеет экспоненциально p-устойчивое нулевое решение, если

supF_p(t) < 0.

t>0

Следствие 3. Для уравнения (3) имеют место следующие утверждения:

1) необходимым и достаточным условием p-устойчивости его нулевого решения являет-

ся выполнение соотношений c = 0 и a ≤ (1 - p)b²/2;

2) необходимым и достаточным условием экспоненциальной p-устойчивости его нулевого

решения является выполнение соотношений c = 0 и a < (1 - p)b²/2.

В частности, нулевое решение не является p-устойчивым ни при каком c = 0.

Доказательство. Если коэффициенты уравнения (2) постоянны, то выражение для I_p(t)

принимает вид

∫^t(

)

(

)

p-1

I_p(t) =

b² + pHc²s2H-1 ds = a +

b² +

c²t2H-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

604

КАЧАН

Если c = 0, то имеет место эквивалентность I_p(t) ∼ pc²t2H /2, откуда lim

I_p(t) = ∞, и

t→∞

нулевое решение не является p-устойчивым. Поэтому с необходимостью c = 0. В таком случае

I_p(t) = (a + (p - 1)b²/2)t и утверждение становится очевидным.

Замечание 3. Условия асимптотической устойчивости по вероятности нулевого решения

стационарного уравнения (3) отличаются от условий асимптотической p-устойчивости. В кри-

терии асимптотической устойчивости по вероятности c - любое, а в критерии асимптотической

p-устойчивости c = 0 (при выполнении условий a < b²/2 и a < (1 - p)b²/2 соответственно).

Это обстоятельство объясняется тем, что асимптотическая устойчивость по вероятности

√

зависит от стандартного отклонения σ(t) =

b²t + c²t2H процесса ν(t) = (a-b²/2)t+bW(t)+

+ cB^H (t). Функция σ(t) имеет порядок роста t^H - более низкий, чем порядок роста ма-

тематического ожидания μ(t) = (a - b²/2)t процесса ν(t). В свою очередь, асимптотическая

p-устойчивость зависит от дисперсии σ²(t) процесса ν(t), имеющей порядок роста t2H - более

высокий, нежели порядок роста функции μ(t).

Замечание 4. Важное свойство линейного стационарного уравнения Ито (3) (c = 0),

состоящее в том, что для него из асимптотической устойчивости по вероятности следует p-

устойчивость его нулевого решения при достаточно малом p [17, разд. 6.1], перестаёт быть

верным в общем случае при c = 0.

5. Примеры.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

x(t)

dx(t) = -2tx(t) dt +

√

dW (t) + tx(t) dB^H (t), t ≥ 0.

1+t²

Для него

τ (t) = arctg t ---→

π/2, A(t) = -t² ---→

-∞,

∥c∥_α,t = t2-α/(1 - α)

t→∞

и нетрудно вычислить, что

lim

tH+α-1∥c∥_α,t/A(t) = lim tH-1/(1 - α) = 0.

t→∞

Поэтому на основании теоремы 1 заключаем, что нулевое решение этого уравнения асимпто-

тически устойчиво по вероятности.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

√

dx(t) = t(cos² t)x(t) dt + 2

t(cos t)x(t) dW (t) + x(t) dB^H (t), t ≥ 0.

В данном случае

τ (t) = t² + t sin 2t +

cos 2t ---→

∞, a(s) =

b²(t),

t→∞

соответственно

√

lim

A_τ (t)/κ(t) = -

lim

= -∞.

t→∞

τ→∞

2 ln ln τ

Поскольку ∥c∥_α,t = t1-α/(1 - α), τ(t) ∼ t², то

H-1

lim

tH+α-1∥c∥_α,t/κ(t) =

√

lim

√

= 0,

t→∞

2(1 - α)

t→∞

ln ln τ(t)

откуда на основании теоремы 1 заключаем, что нулевое решение асимптотически устойчиво

по вероятности.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

dx(t) = a(t)x(t) dt + b(t)x(t) dW (t) + e^-tx(t) dB^H (t), t ≥ 0.

(17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛСДУ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

605

Поскольку c(u) = e^-u ∈ (0, 1] при u ≥ 0, то

∫

(t - u)2H-2c(t)c(u) du ≤ c(t) (t - u)2H-2 du =

e^-tt2H-1.

2H - 1

Заметим, что функция ψ(t) = e^-tt2H-1 достигает максимума в точке t₀ = 2H - 1, поскольку

ψ(0) = ψ(∞) = 0, ψ^′(t) = e^-tt2H-2((2H - 1) - t). Значит, в обозначениях теоремы 3 бу-

дем иметь

p-1

Fp(t) ≤ a(t) +

b²(t) + pH(2H - 1)2H-1e1-2H < a(t) +

b²(t) + pH,

откуда на основании теоремы 3 достаточное условие экспоненциальной p-устойчивости даёт

неравенство

(

)

p-1

sup

a(t) +

b²(t)

≤ -pH.

t≥0

В некотором смысле последнее неравенство является аналогом условия 2 из следствия 3 в

классе уравнений (17) c непостоянными коэффициентами.

В частности, из последнего следует, что, к примеру, уравнение

(

)

(p - 1)H

√

dx(t) =

-β +

sin² t x(t) dt +

H(cos t)x(t) dW (t) + e^-tx(t) dB^H (t), t ≥ 0,

будет иметь p-экспоненциально устойчивое нулевое решение для любого p > 0 и β ≥

≥ (3p - 1)H/2.

Автор выражает благодарность М.М. Васьковскому за предложенное направление иссле-

дования и внимание, проявленное к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biagini F., Hu Y., Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and

Applications. London, 2008.

2. Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin;

Heidelberg, 2008.

3. Zahle M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I // Prob. Theory and

Rel. Fields. 1998. V. 111. № 3. P. 333-374.

4. Kubilius K. The existence and uniqueness of the solution of an integral equation driven by a p-semimar-

tingale of special type // Stoch. Proc. and Their Appl. 2002. V. 98. № 2. P. 289-315.

5. Guerra J., Nualart D. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard

Brownian motion // Stoch. Anal. and Appl. 2008. V. 26. № 5. P. 1053-1075.

6. Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений

с запаздыванием и стандартным и дробным броуновскими движениями // Весцi НАН Беларусi.

Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 1. С. 22-34.

7. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффици-

ентами // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 2. С. 187-200.

8. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффици-

ентами и с частично вырожденным оператором диффузии // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50.

№ 8. С. 1060-1076.

9. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование решений стохастических дифференциальных

включений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2015.

Т. 51. № 8. С. 997-1003.

10. Леваков А.А., Васьковский М.М. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений

со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 8.

С. 1011-1019.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

606

КАЧАН

11. Леваков А.А., Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения и включения.

Минск, 2019.

12. Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven

by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 // Stoch. Anal. and

Appl. 2018. V. 36. № 6. P. 909-931.

13. Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения смешанного типа со стандарт-

ными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3 // Весцi НАН

Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. T. 56. № 1. С. 36-50.

14. Васьковский М.М., Качан И.В. Асимптотические разложения решений стохастических дифферен-

циальных уравнений с дробными броуновскими движениями // Докл. НАН Беларуси. 2018. T. 62.

№ 4. С. 398-405.

15. Качан И.В. Непрерывная зависимость от начальных данных решений стохастических дифферен-

циальных уравнений с дробными броуновскими движениями // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат.

навук. 2018. Т. 54. № 2. C. 193-209.

16. Khasminskii R.Z. On the stability of nonlinear stochastic systems // J. of Appl. Math. and Mechanics.

1967. V. 30. № 5. P 1082-1089.

17. Khasminskii R.Z. Stochastic Stability of Differential Equations. Berlin; Heidelberg, 2012.

18. Mao X. Exponential Stability of Stochastic Differential Equations. New York, 1994.

19. Garrido-Atienza M.J., Neuenkirch A., Schmalfuss B. Asymptotical stability of differential equations

driven by Hölder-continuous paths // J. of Dynamics and Differ. Equat. 2018. V. 30. № 1. P. 359-377.

20. Васьковский М.М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференци-

альных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравне-

ния. 2017. Т. 53. № 2. С. 160-173.

21. Васьковский М.М., Качан И.В. Методы интегрирования стохастических дифференциальных урав-

нений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями // Весцi НАН Бела-

русi. Сер. фiз.-мат. навук. 2019. T. 55. № 2. С. 135-151.

22. Pipiras V., Taqqu M.S. Integration questions related to fractional Brownian motion // Prob. Theory and

Rel. Fields. 2000. V. 118. P. 251-291.

23. Nualart D., Rascanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion // Collect. Math.

2002. V. 53. № 1. P. 55-81.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 25.12.2020 г.

г. Минск

После доработки 25.12.2020 г.

Принята к публикации 02.03.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021