ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.607-613

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926

МЕТОД ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

В УСЛОВИЯХ ГЁЛЬДЕРА

Методом замороженных коэффициентов для линейной системы обыкновенных дифферен-

циальных уравнений получены различные признаки экспоненциальной устойчивости. При

этом использована и доказана уточнённая оценка Гельфанда-Шилова матричной экспо-

ненты. Отдельно рассматриваются случаи, когда матрица коэффициентов системы удо-

влетворяет на всей числовой полуоси условию Липшица или условию Гёльдера.

DOI: 10.31857/S0374064121050034

Оценка Гельфанда-Шилова и её уточнение. Пусть A = (a_ij) - вещественная или

комплексная n × n-матрица. Нас интересует поведение матричной экспоненты

∑

t^kA

t^kA^k

etA = E + tA + ... +

+...=

(1)

k=0

Здесь E - единичная n × n-матрица. Поскольку общее решение линейной обыкновенной диф-

ференциальной системы с матрицей коэффициентов A имеет вид etAC, где C ∈ Rⁿ - вектор

произвольных постоянных, то в качественной теории обыкновенных дифференциальных урав-

нений важную роль играют различные оценки матричной экспоненты, причём с учётом нашей

цели - изучения условий устойчивости - нас интересуют оценки матричной экспоненты при

неотрицательных значениях времени t ∈ [0, +∞). Помимо представления (1) существуют и

другие способы задания матричной экспоненты.

Далее через ∥ · ∥ обозначается матричная норма. Получим оценки нормы матричной экс-

поненты. Прежде всего, так как

∑

t^k∥A∥

t^k∥A∥^k

∥etA∥ ≤ ∥E∥ + t∥A∥ + . . . +

+...=

k=0

то

∥etA∥ ≤ et∥A∥

(0 ≤ t < ∞).

(2)

Эта оценка крайне груба: из неё, например, не следует стремление при t → +∞ матричной

экспоненты к нулю, если матрица A является гурвицевой. Частично этот недостаток устра-

няет оценка

∥etA∥ ≤ e^ta

(0 ≤ t < ∞),

(3)

где a = ∥A∥_log - логарифмическая норма Лозинского матрицы A, т.е.

∥E + tA∥ - ∥E∥

∥A∥_log = lim

0<t→0

[1, c. 461; 2, c. 92, задача 16; 3, c. 93-94; 4]. Логарифмическая норма Лозинского может быть

положительной, равной нулю или отрицательной; если ∥A∥_log < 0, то матрица A гурвицева,

причём spa A ≤ ∥A∥_log (спектральной абсциссой spa A матрицы A называется максималь-

ная из вещественных частей её собственных значений).

607

608

ПЕРОВ и др.

В оценках (2) и (3) порядок n матрицы не играет никакой роли. Более точная в опре-

делённом смысле оценка, учитывающая порядок матрицы, найдена Гельфандом и Шило-

вым [5, с. 78]:

∑

∥etA∥ ≤ e^tα

t^k(2∥A∥)^k

(0 ≤ t < ∞),

(4)

k=0

где α = spa A и n - порядок матрицы A. Для получения этой оценки в [5] использовался

интерполяционный многочлен Ньютона. Более точный анализ рассуждений из [5] приводит к

оценке

∑

t^k(2∥A∥)^k

∥etA∥ ≤ e^tα

(0 ≤ t < ∞).

(5)

k=0

Это уточнение указано в монографии [1, с. 131]. Под оценкой Гельфанда-Шилова будем пони-

мать оценку (5).

При выводе этой оценки вначале предполагается, что собственные значения λ₁, λ₂, . . . , λ_n

матрицы A попарно различны; тогда для аналитической функции f значение f(A) можно

найти в виде следующего интерполяционного многочлена Ньютона:

f (A) = a₁E + a₂(A - λ₁E) + a₃(A - λ₁E)(A - λ₂E) +

... + a_n(A - λ₁E)(A - λ₂E)···(A - λn-1E),

(6)

коэффициенты которого a_j, j = 1, n, вычисляются по формуле [5, c. 80]

∫1

∫

ak+1 = ds₁ ···

f(k)(λ₁ + (λ₂ - λ₁)s₁ + ... + (λk+1 - λ_k)s_k)ds_k, k = 0,n - 1.

(7)

Из формулы (7) вытекает оценка

|ak+1| ≤

max |f(k)(λ)|,

(8)

λ∈Bk+1

где Bk+1 - выпуклая оболочка первых k + 1 собственных значений λ₁, λ₂, . . . , λk+1.

В интересующем нас случае f(λ) = e^tλ; поэтому f(k)(λ) = e^tλt^k и оценка (8) принимает вид

|ak+1| ≤

e^tαt^k

(0 ≤ t < ∞),

(9)

а так как, кроме того, ∥A - λ_j E∥ ≤ ∥A∥ + |λ_j | ≤ 2∥A∥, то из (6) и (9) следует, что оценка (5)

справедлива для матриц, все собственные значения которых попарно различны. Поскольку

множество таких матриц всюду плотно в линейном нормированном пространстве матриц, то

из соображений непрерывности заключаем, что оценка Гельфанда-Шилова (5) выполняется

для любой матрицы A.

В книге [5] k-кратный интеграл в (7) заменялся просто единицей, что и объясняет проис-

хождение оценки (4).

Оценим норму A - λ_jE более аккуратно: ∥A - λ_jE∥ ≤ ∥A∥ + |λ_j | ≤ ∥A∥ + spr A (спек-

тральным радиусом spr A матрицы A называется число, равное наибольшему из модулей

её собственных значений; известно, что spr A ≤ ∥A∥ для любой матричной нормы). Таким

образом, наше уточнение оценки (5) состоит в следующем:

∑

(ρ + ∥A∥)^k

∥etA∥ ≤ e^tα

t^k

(0 ≤ t < ∞).

(10)

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

МЕТОД ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ГЁЛЬДЕРА

609

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици-

ентами

∑

x_i =

a_ij(t)x_j, i = 1,n;

x = A(t)x,

(11)

j=1

где A(t) = (a_ij (t)) - матрица n-го порядка. Предположим, что A(t) гурвицева при каждом t.

Означает ли это, что система (11) асимптотически устойчива? Ответ на поставленный вопрос

отрицательный, как показывает приводимый ниже пример.

Пусть n = 2 и

(

)

-1 - 2cos(4t)

2 + 2sin(4t)

A(t) =

(12)

-2 + 2sin(4t)

-1 + 2cos(4t)

Характеристическое уравнение det(λE-A(t)) ≡ λ²+2λ+1 матрицы A(t) не зависит от t, а её

собственные значения следующие: λ₁(t) = λ₂(t) = -1. Поэтому spa A(t) = -1 и матрица A(t)

является гурвицевой при каждом t. С другой стороны, система (11) в рассматриваемом случае

имеет решение (e^t sin(2t), e^t cos(2t))^т, для которого ∥x(t)∥ = e^t. Отметим, что в монографии [1,

с. 124, формула (9.3)] вместо матрицы (12) приведена транспонированная к ней матрица.

Результаты А.Ю. Левина [6]. Пусть ∥A(t)∥ ≤ h и spa A(t) ≤ -γ, где γ > 0 при

0 ≤ t < ∞. Мы видим, что A(t) гурвицева при всех неотрицательных t. Введём условие

медленного изменения матричнозначной функции A(t): имеет место неравенство

∥A(t + s) - A(t)∥ ≤ ϕ(s) (t ≥ t₀, s > 0),

(13)

где для функции ϕ выполняется оценка

∞

∫

∑

(2h)^k

e^-γt

t^kϕ(t)dt < 1.

(14)

k=0

Пусть выполнено условие медленного роста (13) и условие (14). Тогда система (11) экспонен-

циально устойчива [6].

Если колебание функции A(t) достаточно мало:

∥A(t) - A(s)∥ ≤ α при

0 ≤ t,s < ∞

(15)

(в этом случае ϕ(s) ≡ α), то условие экспоненциальной устойчивости (14) приводит к оценке

2h - γ

(0 <) α <

(16)

(2hγ-1)ⁿ - 1

Если выполнено условие Липшица

∥A(t) - A(s)∥ ≤ L|t - s| при

0 ≤ t,s < ∞

(17)

(в этом случае ϕ(s) = Ls), то условие экспоненциальной устойчивости (14) даёт оценку

(2h - γ)

(0 <) L <

(18)

n(2hγ-1)n+1 - (n + 1)(2hγ-1)ⁿ + 1

Условие (14) вытекает из метода замороженных коэффициентов В.М. Алексеева [7] (см.

также [1, § 10]).

Основное условие. Рассмотрим систему (11). Предположим, что при всех t ≥ 0 выпол-

няются неравенства

spaA(t) ≤ -γ, sprA(t) ≤ ρ и

∥A(t)∥ ≤ h,

(19)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

610

ПЕРОВ и др.

где γ, ρ, h - некоторые положительные постоянные, причём без ограничения общности счи-

таем, что γ ≤ ρ ≤ h. Использование оценки (10) в сочетании с условием (13), (14) медленного

изменения, согласно методу замороженных коэффициентов В.М. Алексеева [7], приводит к

следующему условию экспоненциальной устойчивости системы (11):

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^kϕ(t)dt < 1.

(20)

k=0

Так как ρ + h ≤ 2h, то новое условие устойчивости не хуже известного (14) и лучше,

если ρ < h.

Пусть выполнена оценка (15). Тогда основное условие (20) принимает вид

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^kα dt < 1.

k=0

Так как

∫

∞

∫

∞

∑

(ρ + h)^k

(ρ + h)^k k!

⁽ρ+h)k

e^-tγ

t^k dt =

e^-tγt^k dt =

γk+1

k=0

∑n-1

то, воспользовавшись очевидным тождеством

ζ^k = (ζⁿ -1)/(ζ -1) при ζ = 1, получаем

k=0

ρ+h-γ

(0 <) α <

((ρ + h)γ-1)ⁿ - 1

Эта оценка улучшает оценку (16) (и совпадает с ней, если ρ = h).

Условие Липшица. Пусть выполнено условие Липшица (17). Основное условие (20) в

рассматриваемом случае принимает вид

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^kLtdt < 1.

(21)

k=0

Имеем

∫

∞

∫

∞

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

tk+1 dt =

e^-tγtk+1 dt =

k=0

∑

(ρ + h)^k (k + 1)!

⁽ρ+h)k

(k + 1).

γk+2

γ²

k=0

Поэтому неравенство (21) запишется в виде

(ρ + h - γ)

(0 <) L <

(22)

n((ρ + h)γ-1)n+1 - (n + 1)((ρ + h)γ-1)ⁿ + 1

Полученная оценка уточняет оценку (18) (и совпадает с ней, если ρ = h). При выводе оценки

(22) мы воспользовались следующим тождеством:

∑

ζ^k(k + 1) = (nζn+1 - (n + 1)ζⁿ + 1)(ζ - 1)² при ζ = 1.

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

МЕТОД ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ГЁЛЬДЕРА

611

Заметим, что в рассматриваемом случае ζ = (ρ + h)/γ ≥ 2.

Вернёмся к условию Липшица (17). Так как A(t) ≤ h, то ∥A(t) - A(s)∥ ≤ 2h для всех t

и s. Поэтому вместо (17) можно использовать оценку

|A(t) - A(s)∥ ≤ min{L|t - s|, 2h}

(0 ≤ t, s < ∞).

Основное условие (20) для такого модуля непрерывности принимает вид

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^k min{Lt,2h}dt < 1.

k=0

Оценивая min{Lt, 2h} сверху суммой Lt + 2h, приходим к неравенству

∫a

∫

∞

∑

(ρ + h)^k

−tγ

(ρ + h)^k

L e^-tγ

tk+1 dt + 2h e

t^k dt < 1.

k=0

Видим, что оценка (22) может быть существенно улучшена, однако мы не приводим получаю-

щиеся формулы, так как они имеют громоздкий вид и, что самое главное, не позволяют дать

явную оценку для постоянной Липшица.

Условие Гёльдера. Пусть выполнено условие Гёльдера

∥A(t) - A(s)∥ ≤ H|t - s|^σ

(0 ≤ t, s < ∞),

(23)

где H и σ - некоторые положительные постоянные, причём 0 < σ < 1. Как и прежде, счита-

ем, что при всех t ≥ 0 имеют место неравенства (19), где γ, ρ, h - некоторые положительные

постоянные, причём без ограничения общности γ ≤ ρ ≤ h.

Основное условие (20) в этом случае принимает вид

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^kHt^σ dt < 1,

(24)

k=0

и всё сводится к нахождению следующего выражения:

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

J =

e^-tγtk+σ dt.

(25)

k=0

С этим обозначением неравенство (24) запишется в виде HJ < 1. Чтобы найти значения несоб-

∫_∞

ственного интеграла

e^-tγtk+σ dt с нецелым показателем k + σ, нам понадобятся свойства

∫_∞

гамма-функции [8] Γ(a) =

xa-1e^-xdx (a > 0). (Эйлеров интеграл второго рода). Сделав

в искомом интеграле замену s = γt, получим

∫

∞

∫

∞

∫

∞

⁽s)k+σ ds

e^-tγtk+σ dt = e^-s

e^-ssk+σ ds =

Γ(1 + k + σ).

γ1+k+σ

Так как

Γ(a + 1) = aΓ(a),

(26)

то

∞

∫

e^-tγtk+σ dt =

(k + σ)Γ(k + σ).

γk+σ+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

612

ПЕРОВ и др.

Поэтому интересующее нас выражение (25) принимает вид

∑

(ρ + h)^k

J =

(k + σ)Γ(k + σ).

γk+σ+1

k=0

Применяя последовательно формулу (26), будем иметь

(k + σ)Γ(k + σ) = (k + σ)(k - 1 + σ)Γ(k - 1 + σ) = . . . = (k + σ)(k - 1 + σ) · · · σΓ(σ).

Это означает, что

∑

⁽ρ + h)k(k + σ)(k - 1 + σ)···σ

J =

Γ(σ).

γ1+σ

k=0

Поэтому условие (24) запишется следующим образом (краткое сообщение о последнем резуль-

тате приведено в [9]):

)-1

(n-1∑

⁽ρ+h)k(k + σ)(k - 1 + σ) · · · (σ)

0<H <γ1+σ

Γ(σ)

(27)

k=0

Рассмотрим более подробно случай σ = 1/2. Тогда условие (23) принимает вид

√

∥A(t) - A(s)∥ ≤ H

|t - s| = H|t - s|1/2.

Найдём значение Γ(1/2). Так как, согласно [8],

Γ(a)Γ(1 - a) = π/sin(aπ)

(0 < a < 1),

то отсюда при a = σ = 1/2 имеем Γ(1/2) =

√π. Поскольку

(

)(

)

(2k + 1)(2k - 1) · · · 1

(2k + 1)!!

···

2k⁺¹

то при σ = 1/2 получаем

(k + σ)(k - 1 + σ) · · · σ

(2k + 1)!!

√π

Γ(σ) =

(2k)!!

Поэтому оценка (27) в конечном итоге при σ = 1/2 принимает вид

(n-1∑

⁽ρ + h)k(2k + 1)!!)-1

0 < H < 2γ3/2π-1/2

(2k)!!

k=0

Вернёмся к условию Гёльдера (23). Так как ∥A(t)∥ ≤ h для рассматриваемых значений t,

то ∥A(t) - A(s)∥ ≤ 2h. Поэтому вместо (23) можно использовать оценку

∥A(t) - A(s)∥ ≤ min{H|t - s|^σ, 2h}

(0 ≤ t, s < ∞).

Основное условие (20) в этом случае принимает вид

∞

∫

∑

(ρ + h)^k

e^-tγ

t^k min{Ht^σ,2h}dt < 1.

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

МЕТОД ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ГЁЛЬДЕРА

613

Полагая b = (2h/L)1/σ , получаем

∞

∫^b

∫

∑

(ρ + h)^k

−tγ

H e^-tγ

tk+σ dt + 2h e

t^k dt < 1.

k=0

Как видим, оценка (22) может быть существенно улучшена, однако мы не приводим получаю-

щиеся формулы, так как они имеют громоздкий вид и, что самое главное, не позволяют дать

явную оценку для постоянной Гёльдера.

Исследования Перова А.И. выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фун-

даментальных исследований (проект 19-01-00732).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом

пространстве. М., 1970.

3. Перов А.И., Коструб И.Д. Признаки устойчивости периодических решений систем дифференци-

альных уравнений, основанные на теории внедиагонально неотрицательных матриц. Воронеж, 2015.

4. Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1958. № 5. С. 52-90.

5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М., 1958.

6. Левин А.Ю. Теорема Харитонова для слабостационарных систем // Успехи мат. наук. 1995. Т. 50.

Вып. 6 (306). С. 189-190.

7. Алексеев В.М. Оценка погрешности численного интегрирования // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134.

№ 2. С. 247-250.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1970.

9. Перов А.И., Коструб И.Д., Каверина В.К. Метод замороженных коэффициентов в условиях Гёль-

дера Современные методы теории краевых задач // Материалы междунар. конф. Воронежская

весенняя мат. школа “Понтрягинские чтения XXXI” (3-9 мая 2020 г.). Воронеж, 2020. С. 171-172.

Воронежский государственный университет,

Поступила в редакцию 23.02.2021 г.

Финансовый университет при правительстве

После доработки 23.02.2021 г.

Российской Федерации, г. Москва

Принята к публикации 15.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021