ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.614-624
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.3
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СВОЙСТВА ИХ ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ
© 2021 г. Л. А. Алексеева
Рассматриваются бикватернионные волновые (биволновые) уравнения. Они представляют
собой бикватернионные обобщения уравнений Максвелла и Дирака и эквивалентны сис-
теме из восьми дифференциальных уравнений гиперболического типа. С использованием
теории обобщённых функций построены фундаментальные и обобщённые решения таких
уравнений, в том числе и разрывные, описывающие ударные волны, и получены условия
на фронтах. Построено решение задачи Коши для биволнового уравнения и бикватерни-
онные аналоги формул Кирхгофа-Грина, которые позволяют по граничным и начальным
значениям решения в ограниченной области определить его внутри области.
DOI: 10.31857/S0374064121050046
Введение. В настоящей работе строятся решения краевых задач для бикватернионных
волновых (биволновых) уравнений. Эти уравнения являются бикватернионными обобщения-
ми уравнений Максвелла и Дирака. Отметим, что кватернионное представление уравнений
Максвелла началось с работ Дж. Максвелла и имеет довольно обширную библиографию (см.,
например, [1-10] и др.). Бикватернионные волновые уравнения относятся к классу гипербо-
лических и описывают решения гиперболических систем из восьми дифференциальных урав-
нений первого порядка. Теория краевых задач для таких систем уравнений пока не получила
такого значительного развития, как теория краевых задач для уравнений и систем эллипти-
ческого и параболического типов.
Здесь развивается подобная теория для биволновых уравнений с использованием методов
теории обобщённых функций. Наиболее простая из краевых задач - это задача Коши с на-
чальными условиями. Её решение для волнового уравнения хорошо известно и определяется
формулами Даламбера, Пуассона и Кирхгофа при размерности пространства 1, 2 и 3 соот-
ветственно. Решение волнового уравнения при любых правых частях и начальных условиях
из класса обобщённых функций было предложено В.С. Владимировым [11, 12]. Здесь мы ис-
пользуем метод Владимирова для решения соответствующей задачи Коши для биволнового
уравнения.
Для решения начально-краевых задач в данной работе разработан метод обобщённых
функций (МОФ), основные идеи которого для классического волнового уравнения в прост-
ранствах размерности, не превосходящей трёх, изложены автором в работах [13, 14]. В основе
МОФ лежит представление краевой задачи в пространстве обобщённых функций, что позво-
ляет начальные и краевые условия перевести в правую часть дифференциальных уравнений
с использованием сингулярных обобщённых функций - простых и двойных слоёв на границе
области определения решения. Плотности этих слоёв определяются граничными значениями
решения и его производных. Свойства фундаментального решения - функции Грина уравне-
ния - дают возможность строить решение полученного уравнения в пространстве обобщён-
ных функций в виде его свёртки с правой частью этого уравнения. Регулярное интегральное
представление обобщённого решения даётся классическим решением краевой задачи, которое
позволяет найти решение внутри области определения по его граничным значениям, часть ко-
торых известна, а часть подлежит определению. Эти формулы являются аналогом известной
формулы Грина для уравнения Лапласа, которая по граничному значению и нормальной про-
изводной решения вычисляет его внутри области определения. Для определения неизвестных
граничных функций, используя предельные свойства решения при приближении к границе
области, строятся разрешающие граничные интегральные уравнения, как правило, сингуляр-
ные. Метод позволяет строить решения с учётом ударных волн, характерных для гиперболи-
ческих уравнений, на фронтах которых производные терпят скачки. Этот метод используется
614
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
615
в настоящей работе для построения обобщённых решений краевых задач и их интегральных
представлений.
1. Взаимные биградиенты. Биволновое уравнение. Рассмотрим бикватернионное
волновое уравнение вида
∇±B + F ◦ B = G(τ,x), (τ,x) ∈ M,
(1.1)
где M - пространство Минковского. Здесь и далее используем гамильтонову скалярно-век-
торную запись бикватернионов, употребляя для скаляра одноимённые строчные курсивные
буквы, а для вектора - прописные буквы:
B = b(τ,x) + B(τ,x), G = g(τ,x) + G(τ,x),
структурный коэффициент F - постоянный бикватернион. Предполагается, что B(τ, x) и
G(τ, x) принадлежат пространству обобщённых бикватернионов B′(M) на M. Под таковыми
понимаем бикватернионы, компоненты которых принадлежат классу обобщённых функций
медленного роста [12, § 8].
Дифференциальные бикватернионные операторы - взаимные биградиенты - имеют вид [14]
∇+ = ∂τ + i∇,
∇- = ∂τ - i∇.
(1.2)
Их действие определяется согласно кватернионному умножению в алгебре бикватернионов:
F ◦ B = (f + F) ◦ (b + B) = (fb - (F,B)) + (fB + bF + [F,B]),
(1.3)
где
∑
∑
(F, B) =
Fj Bj и
[F, B] =
εklmFkBlem
j=1
k,l,m=1
– это соответственно скалярное и векторное произведение указанных векторов, εklm - псев-
дотензор Леви-Чивиты, em - базисные элементы алгебры бикватернионов (m = 0, 1, 2, 3).
Согласно этому имеем
= (∂τ ± i∇) ◦ (b(τ, x) + B(τ, x)) = (∂τ b ∓ i(∇, B) + ∂τ B ± i(∇b + [∇, B]) =
= (∂τ b ∓ idiv B) + ∂τ B ± igrad b ± i rot B
(соответственно верхнему и нижнему знакам).
Уравнение (1.1) относится к классу биволновых уравнений общего вида
A ◦ ∇±B + C ◦ B = H(τ,x),
которые приводятся к (1.1), если существует обратный бикватернион A-1 :
A-1 = A- ◦ A/(a2 + (A,A)),
где A- = a - A (взаимный бикватернион). В этом случае, умножая равенство (1.3) слева на
A-1, получаем уравнение (1.1), в котором
F = A-1 ◦ C, G = A-1 ◦ H.
Введём также сопряжённый бикватернион: A∗ =A-. Здесь и далее черта над символом
означает комплексное сопряжение скалярной и векторной частей бикватерниона.
Ранее нами рассмотрены частные случаи, когда F скаляр или вектор. Уравнение (1.1) эк-
вивалентно модифицированной системе уравнений Максвелла при F = 0, уравнениям Дирака
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
3∗
616
АЛЕКСЕЕВА
при чисто мнимом F = iρ (см. работы [15, 16]). В этих работах с использованием теории обоб-
щённых функций построены элементарные и общие решения уравнения (1.1), описывающие
нестационарные гармонические по времени и статические бикватернионные поля.
Построим обобщённые решения (1.1) при произвольной правой части G(τ, x) ∈ B′(M).
2. Взаимные МД-операторы и их свойства. Введём дифференциальные бикватерни-
онные операторы
D+F = ∇+ + F = ∇+ + f + F, D-F = ∇- + F- = ∇- + f - F,
(2.1)
свойствами которых будем пользоваться далее для решения поставленной задачи. В связи с из-
ложенным выше назовём их взаимными МД-операторами (операторами Максвелла-Дирака).
Используем далее обозначение для классического волнового оператора - даламбертиана:
2
∂
□=
- Δ,
∂τ2
Δ = ∂21 + ∂22 + ∂23 - лапласиан.
Взаимные биградиенты и МД-операторы обладают полезными для приложений свой-
ствами.
Лемма. Взаимные биградиенты коммутируют между собой, и для их композиции имеет
место равенство
∇+∇- = ∇-∇+ = □.
МД-операторы коммутируют между собой, и для их композиции справедливо равенство
D+F ◦ D-F = D-F ◦ D+F = □ + 2f∂τ + f2 + (F,F) - 2i(F,∇).
Доказательство. Действительно, согласно определению (1.2), имеем
∇+∇- = (∂τ + i∇) ◦ (∂τ - i∇) = ∂τ ∂τ - (∇,∇) - i∂τ ∇ + i∂τ ∇ - [∇,∇] = ∇- ◦ ∇+ = □.
Аналогично, воспользовавшись определением (2.1), получим
D+F ◦ D-F = D-F ◦ D+F = (∇+ + f + F) ◦ (∇- + f - F) = □ + 2f∂τ + f2 + (F,F) + 2i(F,∇).
Далее значок кватернионного умножения между операторами не пишем.
3. Ударные волны как обобщённые решения биволнового уравнения. Условия
на фронтах. Рассмотрим решения уравнения (1.1) для верхнего знака биградиента:
D+FB = G(τ,x).
(3.1)
Решения для нижнего знака биградиента можно построить аналогично показанному ниже или
просто используя операцию комплексного сопряжения.
Заметим, что в силу леммы биволновое уравнение (1.1) является гиперболическим и допус-
кает решения, разрывные на характеристических поверхностях F ⊂ M, нормаль к которым
удовлетворяет характеристическому уравнению для волнового уравнения Даламбера:
n20 - n21 - n22 - n23 = 0.
(3.2)
Им соответствуют волновые фронты Fτ ⊂ R3, распространяющиеся в направлении волнового
вектора n(τ, x) = (n1, n2, n3) со скоростью
n0
v=-√
= 1.
n21 + n22 + n2
3
Из равенства (3.2) следует, что поверхность τ = const не может быть характеристической.
Если волновой вектор нормировать:
√
∥n∥ = n21 + n22 + n23 = 1,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
617
то из этих равенств вытекает, что
n0 = -1.
(3.3)
С учётом правил дифференцирования разрывных регулярных функций [12, § 6], действие
биградиента на соответствующий бикватернион имеет вид
∇+ B = ∇+B + {n0 + n} ◦ [B(τ,x)]F δF (τ,x),
где [B]F δF (τ, x) - простой слой на поверхности F, плотность которого равна скачку биква-
терниона на F, т.е.
[B]F = lim
{B(τ + n0ε, x + εn) - B(τ - n0ε, x - εn)}.
ε→+0
Следовательно, разрывные решения биволнового уравнения (1.1) должны удовлетворять сле-
дующему условию (условие на фронтах ударных волн):
{n0 + n} ◦ [B(τ, x)]F = 0.
Раскрывая в этом равенстве скалярную и векторную части, с учётом равенства (3.3) получаем
[b(τ, x)]F + i(n(τ, x), [B(τ, x)]F ) = 0
и
[B(τ, x)]F = i{n[b(τ, x)]F + [n, [B(τ, x)]F ]}.
Отсюда следует, что если [b(τ, x)]F = 0, то вектор [B(τ, x)]F перпендикулярен фронту волны,
т.е. если перед фронтом поле нулевое, то волна будет поперечной. Этот факт хорошо изве-
стен для электромагнитных волн, которые описываются чисто векторным бикватернионом с
нулевой скалярной частью.
4. Построение решений МД-уравнения. Будем называть биволновое уравнение (1.1)
МД-уравнением. Для построения его решений используем определение (2.1). В результате
из (3.1) следует, что
=Q.
Другими словами, каждая компонента бикватерниона B удовлетворяет скалярному уравнению
□u + 2f∂τ u + 2i(F,∇u) + f2u + (F,F)u = q(τ,x)
(4.1)
с соответствующей компонентой бикватерниона Q в правой части.
Заметим, что это уравнение, если положить m2 = f2 + (F, F ), содержит оператор Клей-
на-Гордона-Фока (□ + m2), а также дополнительное слагаемое 2f∂τ + 2i(F, ∇). Если f =
= ik - чисто мнимая величина, то в этом уравнении можно увидеть и оператор Шрёдингера
(2ik∂τ - Δ). Поэтому уравнение (4.1) называем КГФШ-уравнением.
Теорема 1. Решение биволнового уравнения (1.1) можно представить в виде
B = D-F(ψ ∗ G) = D-Fψ ∗ G + B0 = ψ ∗ D-FG + B0,
(4.2)
здесь ψ(τ, x) - фундаментальное решение уравнения (4.1) (при q = δ(τ)δ(x)), а B0(τ, x) -
решение однородного уравнения (3.1) (при G ≡ 0):
∑
∑
∑
B0 = D-Fψ0 ∗ C0 = ψ0 ∗ D-FC0 = D-F(ψ0 ∗ C0),
(4.3)
ψ0
ψ0
ψ0
где ψ0(τ, x)- решения однородного уравнения (1.1) (при q = 0), C0 ∈ B′(M) - произвольные
бикватернионы, допускающие такую свёртку.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
618
АЛЕКСЕЕВА
Доказательство. В силу линейности уравнения достаточно доказать утверждение для
каждого слагаемого в формуле (4.1). Подставим первое слагаемое в уравнение (3.1) и, исполь-
зуя определение (2.1) и свойство дифференцирования свёртки, получим
D-FD+F(ψ ∗ G) = {□ψ + 2f∂τ ψ + f2ψ + (F,F)ψ + 2i(F,∇ψ)} ∗ G = δ(τ)δ(x) ∗ G = G.
Для каждого слагаемого второй суммы аналогично имеем равенства
D-FD+F(ψ0 ∗ C0) = {□ + 2f∂τ + f2 + (F,F) + 2i(F,∇)}ψ0 ∗ C0 = 0.
Очевидно, что в силу линейности уравнения (1.1) любое его решение можно представить в
аналогичном виде. При этом в формулах (4.2) и (4.3) теоремы для построения решения мож-
но брать любое из равенств в зависимости от удобства вычисления свёрток, что зависит от
конкретного вида входящих в свёртку функций.
Следовательно, решение биволнового уравнения (3.1) определяется скалярными функци-
ями ψ(τ, x) и ψ0(τ, x) - решениями уравнения (4.1), которые будем называть скалярными
потенциалами решений МД-уравнения.
5. Построение функции Грина МД-уравнения. Рассмотрим фундаментальные реше-
ния уравнения (1.1):
∇±U + F ◦ U = δ(τ)δ(x),
здесь справа сингулярные дельта-функции. Фундаментальные решения определяются с точ-
ностью до решений однородного биволнового уравнения (с нулевой правой частью).
Определение. Назовём функцией Грина фундаментальное решение уравнения (4.2), удо-
влетворяющее следующим условиям излучения:
U(τ, x) = 0 при τ < 0 и U(τ, x) = 0 при ∥x∥ > τ.
Свойства фундаментальных решений позволяют строить частные решения уравнения (1.1)
в виде функциональной свёртки
B = G ∗ U = (g + G) ∗ (u + U) =
{
}
{
}
∑
∑
= g∗u- Gk ∗Uk
+ u∗G+g∗U+
εjklej(Gk ∗ Ul)
,
(5.1)
k=1
j,k,l=1
где в правой части стоят покомпонентные свёртки, которые следует брать согласно правилам
теории обобщённых функций [12, § 7]. Условия существования таких свёрток определяют класс
бикватернионов в правой части (1.1), для которых решения уравнения существуют.
Используя формулу теоремы 1, построим фундаментальные решения уравнения (5.1):
U(τ, x) = D-F(ψ ∗ δ(τ)δ(x)) = D-Fψ + B0 = D-Fψ + B0.
(5.2)
Здесь мы использовали свойство свёрток с дельта-функцией: ψ ∗ δ = ψ.
6. Функция Грина КГФШ-уравнения. Для построения функции Грина биволнового
уравнения найдём функцию Грина для КГФШ-уравнения, которая удовлетворяет уравнению
□ψ + 2f∂τ u + 2i(F,∇ψ) + f2ψ + (F,F)ψ = δ(τ)δ(x)
(6.1)
и условиям излучения:
ψ(τ, x) = 0 при τ < 0 и ψ(τ, x) = 0 при ∥x∥ > τ.
Теорема 2. Функция Грина уравнения (5.1) представима в виде
-i(F,x)-∥x∥f
e
ψ=
δ(τ - ∥x∥),
(6.2)
4π∥x∥
где δ(τ -∥x∥) - сингулярная обобщённая функция - простой слой на световом конусе ∥x∥ = τ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
619
Доказательство. Для доказательства формулы (6.2) используем преобразование Фурье
обобщённых функций. Далее переменные Фурье, соответствующие (τ, x), обозначаем (ω, ξ).
Рассмотрим преобразование Фурье КГФШ-уравнения (6.1):
(∥ξ∥2 - ω2 - 2ifω + 2(F, ξ) + f2 + (F, F )
ψ(ω, ξ) = 1,
которое можно записать следующим образом:
{(ξ + F, ξ + F ) + (f - iω)2
ψ = 1.
Откуда получим преобразование Фурье скалярного потенциала в виде
1
ψ(ω, ξ) =
(6.3)
(ξ + F, ξ + F ) - (ω + if)2
Для построения обратного преобразования Фурье воспользуемся фундаментальным решением
уравнения Даламбера
□χ = δ(x,t),
удовлетворяющим условиям излучения. Это решение имеет вид
1
χ(x, τ) =
δ(τ - ∥x∥).
4π∥x∥
Его преобразование Фурье равно следующей регуляризации функции (∥ξ∥2 - ω2)-1 :
[
]
1
1
F
δ(τ - ∥x∥)
=
(6.4)
4π∥x∥
∥ξ∥2 - (ω + i0)2
Вследствие свойств сдвига преобразования Фурье из равенств (6.3) и (6.4) вытекает представ-
ление (6.2). Теорема доказана.
Заметим, что ψ - сингулярная обобщённая функция, носителем которой является трёхмер-
ная расширяющаяся со временем сфера, т.е. сферическая расходящаяся волна, распространя-
ющаяся в R3 с единичной скоростью (τ - время).
7. Функция Грина и решения МД-уравнения. Используя равенства (6.2) и (6.4),
теперь можем дать представление функции Грина. Воспользовавшись формулой для обоб-
щённого решения (5.2), получаем представление решения в виде
{
}
}
-i(F,x)-∥x∥f
e
{e-i(F,x)-∥x∥f
U(τ, x) = D-
δ(τ - ∥x∥)
= (∂τ - i∇ + F-)
δ(τ - ∥x∥)
=
F
4π∥x∥
4π∥x∥
{
}
}
−i(F,x)-∥x∥f
e
{e-i(F,x)-∥x∥f
= (∂τ - i∇)
δ(τ - ∥x∥)
+
δ(τ - ∥x∥) F-,
4π∥x∥
4π∥x∥
где F- = f - F. Результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. Функция Грина МД-уравнения (1.1) имеет вид
{
}
}
-i(F,x)-∥x∥f
e
{e-i(F,x)-∥x∥f
U = (∂τ - i∇)
δ(τ - ∥x∥)
+
δ(τ - ∥x∥) F-,
4π∥x∥
4π∥x∥
а его общее решение представимо в виде
-i(F,x)-∥x∥f
e
B=
δ(τ - ∥x∥) ∗ D-FG + B0,
(7.1)
4π∥x∥
где B0 - решение однородного уравнения (1.1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
620
АЛЕКСЕЕВА
При B0 = 0 это решение описывает расходящиеся волны, порождаемые источником G.
Для регулярных дифференцируемых бикватернионов
K(τ, x) = k(τ, x) + K(τ, x) = D-FG(τ, x) = (∂τ - i∇)(g + G) + (f - F ) ◦ (g + G) =
= (∂τ g + fg + (F, G) + i div G) - i∇g + ∂τ G - i rot G + fG - gF - [F, G]
формула (7.1) представляется в интегральном виде:
-i(F,x)-∥x∥f
e
B(τ, x) =
δ(τ - ∥x∥) ∗ (k + K) + B0 =
4π∥x∥
∫
e-i(F,x-y)-∥x-y∥f
=
K(y, τ - ∥x - y∥) dy1 dy2 dy3 + B0.
4π∥x - y∥
∥x-y∥<τ
Для сингулярных бикватернионов для вычисления свёрток следует использовать определение
свёрток в пространстве обобщённых функций.
8. Задача Коши. Аналог формулы Кирхгофа. Так мы называем решение задачи
Коши для биволнового уравнения, по аналогии с формулами Кирхгофа - представлением ре-
шений волнового уравнения при заданных начальных данных в трёхмерном пространстве [12,
§ 13, с. 233]. Здесь начальные условия имеют вид
B(0, x) = B0(x),
где бикватернион начальных данных B0(x) - регулярный бикватернион, компоненты кото-
рого принадлежат классу непрерывных дифференцируемых функций. Предположим, что его
носитель ограничен:
Ωa = supp B0(x) ⊂ {x ∈ R3 : ∥x∥ < a}.
(8.1)
Требуется построить решение этой задачи, удовлетворяющее условию излучения:
B(τ, x) = 0 при
∥x∥ > τ + a.
(8.2)
Для построения решения задачи Коши воспользуемся методом Владимирова [12, § 13,
с. 229]. Рассмотрим уравнение (1.1) на пространстве обобщённых бикватернионов с носителем
на положительной полуоси времени, которые представим в виде обобщённого бикватерниона
B(τ,x)=B(τ,x)H(τ),
где B(τ, x) - решение задачи Коши, H(τ) - функция Хевисайда. В этом пространстве имеем
∇+ B + F ◦ B = (∇+B + F ◦ B)H(τ) + B0(x)δ(τ) = G(τ,x)H(τ) + B0(x)δ(τ).
Используя свойство функции Грина, представим решение в виде свёртки функции Грина с
правой частью:
B(τ, x) = U ∗ G(τ, x)H(τ) + U ∗ B0(x)δ(τ) = U ∗ G(τ, x)H(τ) +
{
}
}
-i(F,x)-∥x∥f
e
{e-i(F,x)-∥x∥f
+ (∂τ - i∇)
δ(τ - ∥x∥)
∗ B0(x)δ(τ) +
δ(τ - ∥x∥) F- ∗ B0(x)δ(τ) =
4π∥x∥
4π∥x∥
}
−i(F,x)-∥x∥f
{e
= U ∗ G(τ,x)H(τ) + (∂τ - i∇)
δSτ (x)∗B0(x)
= B1(τ,x) + B2(τ,x),
(8.3)
4π∥x∥
x
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
621
где δSτ (x) - простой слой на сфере Sτ радиуса τ и с центром в нуле, т.е. Sτ = {x : ∥x∥ = τ}.
Здесь первое слагаемое в правой части имеет с учётом условий излучения вид
∫
e-i(F,x-y)-∥x-y∥f
B1(τ,x) =
K(y, τ - ∥x - y∥) dy1 dy2 dy3.
4π∥x - y∥
∥x-y∥<τ
Второе слагаемое
B2(τ,x), содержащее неполную свёртку только по x, представляется сле-
дующим образом:
{
}
-i(F,x)-∥x∥f
e
B2(τ,x) = (∂τ - i∇)
δSτ (x)∗ B0(x)
=
4π∥x∥
x
{
}
}
−i(F,x)-∥x∥f
e
{e-i(F,x)-∥x∥f
=
∂τ (δSτ (x) ∗ B0(x))
-i
δSτ (x)∗ ∇B0(x)
=
4π∥x∥
4π∥x∥
x
(
∫
)
∫
−i(F,x)-∥x∥f
e
∂
e-i(F,x-y)-f∥x-y∥
=
B0(x - y) dy1 dy2 dy3
-i
∇B0(y)dS(y) =
4π∥x∥
∂τ
4π∥x - y∥
∥x-y∥≤τ
∥x-y∥=τ
(
∫
)
-i(F,x)-∥x∥f
e
=
b0(x - y) + B0(x - y)dS(y)
+
4π∥x∥
∥x-y∥=τ
∫
ei(F,y)-f∥x-y∥
+ ie-i(F,x)
(div B0(y) - rot B0(y))dS(y).
4π∥x - y∥
∥x-y∥=τ
Здесь интегралы поверхностные, берутся на сфере радиуса τ с центром в точке x.
Формулы (8.1)-(8.3) являются аналогом формулы Кирхгофа для биволнового уравнения
(1.1). Они представляют решение задачи Коши для биволнового МД-уравнения.
9. Динамический аналог формулы Грина. Под таковым мы понимаем представление
решения биволнового уравнения с нулевыми начальными данными в ограниченной открытой
области S- ⊂ R3 по его граничным значениям на границе S, по аналогии с представлением
решений уравнения Лапласа по граничным значениям его решений и производных [12, § ??,
с. ??]. Для этого используем характеристическую функцию этой области H-S(x), функцию
Хевисайда H(τ) и H-S(x)H(τ)-характеристическую функцию пространственно-временного
цилиндра C+ = {(τ, x) ∈ M : τ ≥ 0, x ∈ S- + S}. Их обобщённые производные имеют
вид
∂jH-S(x) = -nj(x)δS(x),
∂tH(t) = δ(t),
∂j(H-S(x)H(t)) = -nj(x)δS(x)H(t),
∂t(H-S(x)H(t)) = H-S(x)δ(t),
где сингулярная обобщённая функция nj(x)δS (x) - простой слой на поверхности S, n(x) =
= (n1, n2, n3) - внешняя единичная нормаль на границе S.
Введём регулярный бикватернион
B(τ,x)=B(τ,x)H-
(x)H(τ),
S
равный решению B(τ, x) этого уравнения с нулевыми начальными условиями в этой области
с её границей, а вне их равный нулю. Обобщённые частные производные этого бикватерниона
в B′(M) равны:
∂τ B(τ,x) =∂BH-S(x)H(τ) + B0H-S(x)δ(τ),
∂τ
∂j B(τ,x) =∂BH-S(x)H(τ) - BS(τ,x)nj(x)δS(x)H(τ).
(9.1)
∂xj
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
622
АЛЕКСЕЕВА
Здесь первые слагаемые справа - классические частные производные бикватерниона, BS (τ, x) -
значения B(τ, x) на S. С учётом представлений (9.1) и нулевых начальных условий (B0(x) =
= 0) действие биградиента на этот бикватернион имеет вид
∇+ B = {(∂τ b - idiv B) + ∂τ B + i(grad b + rotB)}H-S(x)H(τ) +
+ i{(n(x), B) - bn(x) - [n(x), B]}δS (x)H(t).
(9.2)
Тогда действие МД-операторов на этот бикватернион в пространстве обобщённых бикватер-
нионов, с учётом уравнения (1.1) и равенства (9.2), запишется следующим образом:
D+ B(τ,x) = ∇+ B + F ◦ B = G(τ,x)H-S(x)H(τ) +
+ i{(n(x), BS ) - bS n(x) - [n(x), BS ]}δS (x)H(t).
Ĝ(τ,x)=G(τ,x)H-
Обозначим
(x)H(τ) и введём сингулярный граничный бикватернион
S
Γ(τ,x)=Γ(τ,x)(τ,x)δS(x)H(t) = i{(n(x),BS) - bSn(x) - [n(x),BS]}δS(x)H(t).
Здесь Γ(τ, x) - плотность простого слоя на пространственно-временной цилиндрической по-
верхности: τ ≥ 0, x ∈ S. В результате приходим к уравнению
D+ B(τ,x) = ∇+ B + F ◦ B = Ĝ(τ,x) + Γ(τ,x),
решение которого имеет вид бикватернионной свёртки правой части с функцией Грина:
B(τ,x)=U◦ B=U+◦ Ĝ(τ,x)+U◦ Γ(τ,x).
(9.3)
Первое слагаемое в правой части вычисляется по формуле
B1(τ,x) = U ∗ Ĝ(τ,x) = (u + U) ∗ (ĝ +Ĝ) =
(
)
∑
∑
∑
∑
= u∗ĝ- Uk ∗Ĝk
+ (u ∗Ĝk + ĝ ∗ Uk)ek + ek
εklm(Ul ∗Ĝm),
k=1
k=1
k=1
l,m=1
где покомпонентные свёртки берутся согласно определению свёрток в пространстве обобщён-
ных функций.
Для регулярныхĜ(τ, x) = G(τ, x) они имеют следующее интегральное представление:
{
}
-(f∥x-y∥+i(F,x-y))
e
4πB1 = U ∗Ĝ(τ, x) = D-
δ(τ - ∥x∥) ∗Ĝ
=
F
∥x∥
∫
e-(fr(x,y)+i(F,x-y))
-
=∇-
G(τ - r(x, y),y)HS
(y) dy1 dy2 dy3 +
r(x, y)
r(x,y)≤τ
∫
e-(fr(x,y)+i(F,x-y))
-
+F- ◦
G(τ - r(x, y),y)HS
(y) dy1 dy2 dy3,
(9.4)
r(x, y)
r(x,y)≤τ
r(x, y) = ∥x - y∥. Вычисляя второе слагаемое, получаем
4πB2(τ, x) = U ∗ Γ(τ, x) =
-(fr(x,y)+i(F,x-y))
e
= i∇-
δ(τ - ∥x∥) ∗ ((n(x), BS ) - bSn(x) - [n(x), BS ])δS (x)H(t) +
∥x∥
{
}
-(fr(x,y)+i(F,x-y))
e
+ iF- ◦
δ(τ - ∥x∥) ∗
((n(x), BS ) - bS n(x) - [n(x), BS ])δS (x)H(t) =
∥x∥
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
БИКВАТЕРНИОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
623
∫
(n(y), BS (τ - r(x, y), y)) - bS(τ - r(x, y), y)n(y) - [n(x), BS (τ - r(x, y), y)]
= i∇-
dS(y) +
r(x, y) exp(r(x, y)f + i(F, x - y))
S
∫
i(n(y), BS (τ - r(x, y), y)) - bS (τ - r(x, y), y)n(y) - [n(x), BS (τ - r(x, y), y)]
+ iF- ◦
dS(y).
r(x, y) exp(r(x, y)f + i(F, x - y))
S
Здесь вначале берём интегралы, а затем применяем МД-оператор к полученному бикватер-
ниону.
Формулы (9.3), (9.4) представляют собой аналог формулы Грина. Они позволяют вычис-
лить бикватернион внутри области по его граничным значениям. Заметим, что все интегралы
и их производные существуют только при x ∈ S. Для граничных точек сами интегралы яв-
ляются слабо сингулярными и сходящимися, а вот их производные таковыми не являются.
Здесь наблюдаются те же особенности, что и у решений волнового уравнения в трёхмерном
пространстве [13].
Исследование интегральных представлений бикватерниона на границе позволяет получить
граничные сингулярные интегральные уравнения для решений начально-краевых задач для
биволновых уравнений и корректно поставить краевые условия на границе для построения их
решений. Это можно сделать предельным переходом по x ∈ S в аналоге формулы Грина к
границе S аналогично как для краевых задач для волнового уравнения [13].
Заключение. Используя построенные аналоги формулы Кирхгофа и Грина, можно по-
лучить аналоги формулы Грина при ненулевых начальных условиях, разлагая решение урав-
нения (1.1) на два бикватерниона, один из которых удовлетворяет начальным условиям, а
другой - нулевым. Формулы (9.3), (9.4) дают его представление с учётом действующих источ-
ников. Условия на границе для второго бикватерниона получим, используя граничные значе-
ния исходного бикватерниона и учитывая поправки от первого построенного бикватерниона.
После по этим формулам построим второй бикватернион.
Поскольку уравнения Максвелла и Дирака являются частным случаем биволновых урав-
нений, построенные решения могут использоваться для решения задач электродинамики и
теории поля. Они могут применяться в экспериментах, так как полевые характеристики ЭМ-
полей на границе можно измерить экспериментально, не решая сингулярные граничные инте-
гральные уравнения.
Заметим также, что трансформация электрогравимагнитных (ЭГМ) зарядов и токов под
действием внешних ЭГМ полей описывается бикватернионными дифференциальными уравне-
ниями типа (1.1) (см. [17, 18]). Построенные здесь решения можно использовать для решения
краевых задач в ЭГМ полях.
Работа выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Министерства образования
и науки Республики Казахстан (грант AP05132272, 2018-2020 гг.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hamilton W.R. On a new species of imaginary quantities connected with a theory of quaternions // Proc.
of the Royal Irish Academy. 1844. V. 2. P. 424-434.
2. Edmonds J.D. Eight Maxwell equations as one quaternionic // Amer. J. Phys. 1978. V. 46. № 4. P. 430.
3. Шпилькер Г.Л. Гиперкомплексные решения уравнений Максвелла // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272.
№ 6. С. 1359-1363.
4. Rodrigues W.A. Jr., Capelas de Oliviera E. Dirac and Maxwell equations in the Clifford and spinClifford
bundles // Int. J. of Theor. Phys. 1990. V. 29. P. 379-412.
5. Finkelstein D., Jauch J.M., Schiminovich S., Speiser D. Foundations of quaternion quantum mechanics
// J. Math. Phys. 1992. V. 3. P. 207-220.
6. Adler S.L. Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields. New York, 1995.
7. De Leo S., Rodrigues W.A. Jr. Quaternionic quantum mechanics: from complex to complexified
quaternions // Int. J. Theor. Phys. 1997. V. 36. P. 2725-2757.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
624
АЛЕКСЕЕВА
8. Ефремов А.П. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории // Гиперкомплексные числа
в геометрии и физике. 2004. Т. 1. № 1. С. 111-127.
9. Acevedo M., Lopez-Bonilla M.J., Sanchez-Meraz M. Quaternions, Maxwell equations and Lorentz
transformations // Apeiron. 2005. V. 12. № 4. P. 371.
10. Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. М., 2009.
11. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.
13. Алексеева Л.А. Граничные интегральные уравнения начально-краевой задачи для волнового урав-
нения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1451-1453.
14. Алексеева Л.А. Метод обобщённых функций в нестационарных краевых задачах для волнового
уравнения // Мат. журн. 2006. Т. 6. № 1. С. 16-32.
15. Alexeyeva L.A. Biquaternions algebra and its applications by solving of some theoretical physics equations
// Clifford Analysis, Clifford Algebras and Their Applications. 2012. V. 7. № 1. P. 19-39.
16. Alexeyeva L.A. Differential algebra of biquaternions. Dirac equations and its generalized solutions // Proc.
of the 8th Congress of ISAAC. Moscow, Aug 22-27, 2011. Moscow, 2011. P. 153-161.
17. Alexeyeva L.A. Newton’s laws for a biquaternionic model of the electro-gravimag-netic fields, charges,
currents, and their interactions // J. of Phys. Math. 2009. V. 1. P. 15.
18. Alexeyeva L.A. Biquaternionic form of laws of electro-gravimagnetic charges and currents interactions
// J. of Modern Phys. 2016. V. 7. P. 1351-1358.
Институт математики и математического моделирования
Поступила в редакцию 14.08.2020 г.
Министерства образования и науки Республики Казахстан,
После доработки 16.03.2021 г.
г. Алматы
Принята к публикации 15.04.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
