ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.625-634

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В ПОЛУПОЛОСЕ С НЕГЛАДКОЙ БОКОВОЙ ГРАНИЦЕЙ

Рассматривается первая начально-краевая задача для одномерной по пространственной

переменной параболической по Петровскому системы второго порядка с дифференцируе-

мыми коэффициентами, заданной в полуполосе с негладкой боковой границей. Доказана

теорема о единственности классического решения этой задачи.

DOI: 10.31857/S0374064121050058

Введение. Работа посвящена исследованию единственности классического решения пер-

вой начально-краевой задачи для одномерной по пространственной переменной параболиче-

ской по Петровскому (см. [1]) системы второго порядка с дифференцируемыми коэффициен-

тами в полуполосе с негладкой боковой границей.

Хорошо известно (см., например, [2, 3]), что из принципа максимума вытекает единствен-

ность классического решения первой начально-краевой задачи для параболического уравне-

ния. В [4] доказано, что для параболических систем, вообще говоря, принцип максимума места

не имеет.

Из [5; 6, с. 706] следует единственность классического решения в пространстве Гёльдера

H2+α,1+α/2(Ω), α ∈ (0,1), первой начально-краевой задачи для параболической системы, если

боковые границы криволинейной трапеции - достаточно гладкие кривые, а именно, принад-

лежат классу H1+α/2, т.е. функции, задающие указанные границы, обладают первой произ-

водной из пространства Hα/2[0, T ].

Особый интерес указанная задача представляет в случае областей с негладкими боковыми

границами, в частности, имеющими “клювы”. В [7-9] (см. также [10-12]) установлены суще-

ствование и единственность классического решения в пространстве C1,0(Ω) первой начально-

краевой задачи для параболических систем в криволинейной трапеции с боковыми границами,

принадлежащими классу Жевре H(1+α)/2.

Классическая разрешимость рассматриваемой задачи исследовалась также в топологи-

чески более слабых пространствах Дини-Гёльдера. В случае одного уравнения существова-

ние и единственность классического решения первой начально-краевой задачи в полуполосе с

негладкой боковой границей хорошо известны. В [3, 13] установлены соответствующие теоремы

при условии, что функция, задающая негладкую боковую границу, принадлежит пространст-

ву H1/2+ω[0, T ], здесь и до конца введения ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий

условию Дини (определение см. в п.1).

В [14, 15] доказана теорема о существовании классического решения в пространстве C1,0(Ω)

первой начально-краевой задачи для параболической системы в полуполосе с негладкой бо-

ковой границей из класса H1/2+ω. Единственность полученного решения в этих работах не

рассматривалась.

Естественно, возникает вопрос о исследовании единственности классического решения пер-

вой начально-краевой задачи в случае параболической системы в полуполосе с боковой гра-

ницей из класса H1/2+ω. Отметим, что если не требовать, чтобы модуль непрерывности ω из

определения класса H1/2+ω, которому по предположению должна принадлежать боковая гра-

ница, удовлетворял условию Дини, то, как показано в работах [16, 17], на ней могут появиться

625

626

БАДЕРКО, САХАРОВ

слишком узкие “клювы”, что может привести к неограниченному росту вблизи боковой грани-

цы первой производной решения по пространственной переменной. Таким образом, указанное

условие на гладкость боковой границы является минимальным для исследования классической

разрешимости параболических начально-краевых задач в классе C1,0(Ω).

В настоящей работе устанавливается теорема о единственности классического решения

первой начально-краевой задачи для параболических систем с дифференцируемыми коэф-

фициентами в полуполосе с негладкой боковой границей из класса H1/2+ω в пространстве

C1,0(Ω) с дополнительным ограничением на характер гладкости решения по временной пере-

менной и на характер роста его второй производной по пространственной переменной вблизи

боковой границы. При доказательстве используется метод, разработанный в [11].

Работа состоит из трёх пунктов. В первом пункте приводятся необходимые определения и

формулируется основная теорема. Второй пункт посвящён построению матрицы Грина первой

начально-краевой задачи. В третьем пункте доказывается основная теорема.

1. Необходимые сведения и формулировка основного результата. Пусть фиксиро-

вано положительное число T . Введём нужные в дальнейшем функциональные пространства.

Через C[τ, T ], τ ∈ [0, T ), обозначим линейное нормированное пространство непрерывных век-

тор-функций (матриц) ψ : [τ, T ] → R^m, m ∈ N\{1}, с нормой ∥ψ; [τ, T ]∥⁰ := max |ψ(t)|, а его

t∈[τ,T ]

подпространство, состоящее из вектор-функций (матриц), обращающихся при t = τ в нуль,

через C[τ, T ], т.е. C[τ, T ] = {ψ ∈ C[τ, T ] : ψ(τ) = 0}. Здесь и далее для числового вектора a

(числовой матрицы A) под нормой |a| (соответственно нормой |A|) понимаем максимум из

модулей его компонент (её элементов).

Рассмотрим в полосе D = {(x, t) ∈ R² : x ∈ R, t ∈ (0, T )} некоторую область Ω такую,

что Ω

^⋂{(x, 0) : x ∈ R} = ∅. Обозначим через C(Ω) линейное пространство непрерывных

ограниченных вектор-функций (матриц) u : Ω → R^m с нормой ∥u; Ω∥⁰ := sup

|u(x, t)| и его

(x,t)∈Ω

подпространство C(Ω) := {u ∈ C(Ω) : u(x, 0) = 0}. Определим также линейное нормированное

пространство

C1,0(Ω) := {u ∈ C(Ω) : ∂_xu ∈ C(Ω)}

∑₁

с нормой ∥u; Ω∥1,0 :=

∥∂^lxu; Ω∥⁰ и его подпространство

l=0

C1,0(Ω) := {u ∈ C1,0(Ω) : ∂lxu ∈ C(Ω), l = 0, 1}.

Под значениями функций и их производных на границе области Ω понимаем их предель-

ные значения “изнутри” Ω.

Функция ν(z), z ≥ 0, называется почти убывающей, если при некоторой положительной

постоянной C неравенство ν(z₁) ≤ Cν(z₂) выполняется для всех z₁ ≥ z₂ ≥ 0.

Следуя [18, c. 147], модулем непрерывности называем непрерывную, неубывающую, полу-

аддитивную функцию ω : [0, +∞) → [0, +∞), для которой ω(0) = 0. Заметим, что

ω(|x|) exp{-|x|²/t} ≤ Cω(t1/2) exp{-c|x|²/t}

для некоторых положительных постоянных C, c и всех x ∈ R и t > 0. Говорят, что модуль

непрерывности ω удовлетворяет условию Дини, если для него выполняется соотношение

∫z

ω(z) := ω(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.

(1)

Через D обозначим линейное пространство, состоящее из модулей непрерывности, которые

удовлетворяют условию Дини (1). Если ω ∈ D, то ω - также модуль непрерывности, причём

ω(z) ≤ 2ω(z), z ≥ 0. Кроме того, если ω - модуль непрерывности, то функция ω^∗(z) = ω(z1/2)

также является модулем непрерывности, при этом если ω ∈ D, то ω^∗ ∈ D и при z ≥ 0 имеет

место равенство ω^∗(z) = 2ω(z1/2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

627

Зафиксируем некоторый модуль непрерывности ω . Введём следующие линейные норми-

рованные пространства: Hq+ω[τ, T ], q ∈ [0, 1), - пространство вектор-функций (матриц) ψ ∈

∈ C[τ,T], для которых

{

}

|Δ_tψ(t)|

∥ψ; [τ, T ]∥q+ω := ∥ψ; [τ, T ]∥⁰ +

sup

< ∞;

t,t+Δt∈(τ,T )

|Δt|^qω(|Δt|1/2)

Hq+ω[τ,T] := {ψ ∈ Hq+ω[τ,T] : ψ(0) = 0}; H^ω(Ω) - пространство вектор-функций (матриц)

u ∈ C(Ω) таких, что

{

}

|Δ_x,tu(x, t)|

∥u; Ω∥^ω := ∥u; Ω∥⁰ +

sup

< ∞;

(x,t),(x+Δx,t+Δt)∈Ω ω(|Δx| + |Δt|1/2)

Hω(Ω) := {u ∈ Hω(Ω) : u(x, 0) = 0}; H1,ω(Ω) - пространство вектор-функций (матриц) u ∈

∈ C1,0(Ω), для которых

{

}

|Δ_tu(x, t)|

∥u; Ω∥1,ω := ∥u; Ω∥1,0 +

sup

(x,t)(x,t+Δt)∈Ω

|Δt|1/2ω(|Δt|1/2)

{

}

|Δ_x,t∂_xu(x, t)|

sup

< ∞.

(x,t),(x+Δx,t+Δt)∈Ω ω(|Δx| + |Δt|1/2)

Пусть

∫

∂1/2ψ(t) ≡ (∂1/2tψ)(t) :=

√π dt(t-τ)-1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T],

- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [8, 14, 15], введём линейные

нормированные пространства

C1/2[0, T ] := {ψ ∈ C[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ C[0, T ]}

с нормой ∥ψ; [0, T ]∥1/2 := ∥ψ; [0, T ]∥⁰ + ∥∂1/2ψ; [0, T ]∥⁰ и

C1/2,ω[0, T ] := {ψ ∈ C1/2[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ Hω[0, T ]}

с нормой ∥ψ; [0, T ]∥1/2,ω := ∥ψ; [0, T ]∥⁰ + ∥∂1/2ψ; [0, T ]∥^ω .

Замечание 1. Если ψ ∈ H1/2+ω[0, T ], где ω ∈ D, то ψ ∈ C1/2[0, T ] (см. [19]). Обратное,

вообще говоря, неверно (см. [8]).

В полосе D рассмотрим равномерно параболический по Петровскому (см. [1]) оператор

∑

Lu := ∂_tu - A_l(x,t)∂^lxu, u = (u₁,... ,u_m)^т, m > 1,

l=0

где A_l = ∥a_ijl∥mi,j=1 - m × m-матрицы, элементами которых являются вещественные функции,

определённые в D и удовлетворяющие следующим условиям:

(a) собственные числа μ_r матрицы A₂ подчиняются неравенствам Re μ_r ≥ δ для некото-

рого δ > 0 и всех (x, t) ∈ D, r = 1, m;

(b) имеют место включения a_ijl ∈ Hω0 (D), i, j = 1, m, l = 0, 1, 2, где ω₀ - модуль непре-

рывности такой, что

∫z

∫

0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0,

и для некоторого ε₀ ∈ (0, 1) функция ω₀(z)z-ε0 , z > 0, почти убывает.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

628

БАДЕРКО, САХАРОВ

Известно (см. [20]), что при выполнении условий (a) и (b) у системы Lu = 0 существу-

ет фундаментальная матрица решений (ф.м.р.) Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ, и

справедливы оценки

|∂^kt∂^lxΓ(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)²/(t - τ)},

(2)

2k + l ≤ 2, (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ.

Далее через C, c обозначаем положительные постоянные, зависящие от числа T, размер-

ности m, коэффициентов оператора L и кривой Σ, определяемой ниже.

В полосе D выделяется полуполоса Ω = {(x, t) ∈ D : x > g(t)} с негладкой, вообще говоря,

боковой границей Σ = {(x, t) ∈ Ω : x = g(t)}, причём функция g удовлетворяет условию

g ∈ H1/2+ω1[0,T],

(3)

где ω₁ ∈ D и для некоторого ε₁ ∈ (0, 1) функция ω₁(z)z-ε1 , z > 0, почти убывает.

В области Ω рассмотрим первую начально-краевую задачу

Lu = 0 в Ω, u(x,0) = 0, x ≥ g(0), u|_Σ = ψ.

(4)

Известна следующая

Теорема 1 [14, 15]. Пусть для коэффициентов оператора L выполнены условия (a), (b)

и для функции g, задающей кривую Σ, - условие (3). Тогда для любой вектор-функции ψ ∈

∈ C1/2[0,T] классическим решением задачи (4) является потенциал простого слоя

∫t

u(x, t) = Γ(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,

(5)

где ϕ ∈ C[0, T ] - единственное в C[0, T ] решение граничного интегрального уравнения Воль-

терры первого рода

∫

Γ(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ = ψ(t), t ∈ [0, T ].

Решение (5) обладает свойствами

u, ∂_xu ∈ C(Ω),

|Δ_tu(x, t)| ≤ C|Δt|1/2, (x, t), (x, t + Δt) ∈ Ω.

Если, кроме того, ψ ∈ C1/2,ω2 [0, T ], где ω2 - модуль непрерывности, для которого суще-

ствует ε₂ ∈ (0,1) такое, что функция ω₂(z)z-ε2 , z > 0, почти убывает, то выполнена

оценка

|∂2xu(x, t)| ≤ C∥ψ; [0, T ]∥1/2,ω2 ω₃(d(x, t))d-1(x, t), (x, t) ∈ Ω,

где d(x, t) := |x - g(t)|, ω₃ =ω0 + ω₁ + ω₂.

Далее предполагаем, что для коэффициентов оператора L выполнено дополнительно

условие

Основное содержание настоящей работы составляет следующая

Теорема 2. Пусть для коэффициентов оператора L выполнены условия (a)-(c) и для

функции g, задающей кривую Σ, - условие (3). Пусть, кроме того, вектор-функция u ∈

∈ C2,1(Ω)

^⋂C1,0(Ω) - решение задачи

Lu = 0 в Ω, u(x,0) = 0, x ≥ g(0), u|_Σ = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

629

удовлетворяет неравенствам

|Δ_tu(x, t)| ≤ C|Δt|1/2, (x, t), (x, t + Δt) ∈ Ω,

(6)

|∂2xu(x, t)| ≤ Cω(d(x, t))d-1(x, t), (x, t) ∈ Ω,

(7)

где ω - некоторый модуль непрерывности. Тогда u ≡ 0 в Ω.

2. Матрица Грина первой начально-краевой задачи. Для любого промежутка 〈τ,η〉,

τ,η ∈ [0,T], τ < η, обозначим Ω〈τ,η〉 := {(x,t) ∈ Ω : t ∈ 〈τ,η〉}. Построим матрицу Грина

задачи (4), а именно, матрицу

G(x, t; ξ, τ) = Γ(x, t; ξ, τ) - v(x, t; ξ, τ), (x, t) ∈ Ω(τ,T], (ξ, τ) ∈ Ω,

где Γ - ф.м.р. системы Lu = 0, а матрица v(x, t; ξ, τ) для любой фиксированной точки

(ξ, τ) ∈ Ω является решением первой начально-краевой задачи

Lv(·;ξ,τ) = 0 в Ω(τ,T],

(8)

v(· ; ξ, τ) = 0 в Ω

^⋂ {t = τ},

(9)

v(· ; ξ, τ) = Ψ(· ; ξ, τ) на Σ

^⋂ {τ ≤ t ≤ T },

(10)

где Ψ(t; ξ, τ) = Γ(g(t), t; ξ, τ), t ∈ (τ, T ], Ψ(t; ξ, τ) = 0, t = τ.

Замечание 2. В частном случае, когда ω₁(x) = x^α, α ∈ (0, 1), для систем с постоянными

коэффициентами матрица Грина построена в [11].

Лемма. Матрица Ψ(t; ξ, τ) обладает следующими свойствами:

Ψ(· ; ξ, τ) ∈ H1/2+ω1 [τ, T ], Ψ(τ + 0; ξ, τ) = 0,

∥Ψ(· ; ξ, τ); [τ, T ]∥1/2+ω1 ≤ C(ξ, τ)

(11)

для любых (ξ, τ) ∈ Ω, где ω₁ - модуль непрерывности из условия (3), а C(ξ, τ) - положи-

тельная постоянная, зависящая только от ξ и τ.

Доказательство. В силу оценок (2), условия (3) и неравенств

ξ > g(τ) и (a - b)² ≥ a²/2 - 2b², a,b ∈ R,

(12)

получаем

|Ψ(t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp{-c(g(t) - ξ)²/(t - τ)} ≤ C(t - τ)-1/2 exp{-c(g(τ) - ξ)²/(t - τ)}.

Следовательно, имеет место оценка

|Ψ(t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ) exp{-c(ξ, τ)/(t - τ)}, τ < t ≤ T,

(13)

в которой c(ξ, τ) - положительная постоянная, зависящая только от ξ и τ.

Поэтому lim

Ψ(t; ξ, τ) = 0, а значит, справедливо включение Ψ(· ; ξ, τ) ∈ C[τ, T ] с оцен-

t→τ+0

кой |Ψ(t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ).

Докажем включение Ψ(· ; ξ, τ) ∈ H1/2+ω1 [τ, T ]. Проверим, что

|Δ_tΨ(t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ)(|Δt|)1/2ω₁(|Δt|1/2), t, t + Δt ∈ (τ, T ].

(14)

Не ограничивая общности, считаем Δt > 0. В случае Δt ≥ t - τ оценка (14) непосредственно

следует из (13). В случае Δt < t - τ, используя оценки (2), условие (3) и неравенства (12),

находим

|Δ_tΨ(t; ξ, τ)| ≤ C{(Δt)1/2ω₁((Δt)1/2)(t - τ)-1 + (Δt)(t - τ)-3/2} exp{-c(g(τ) - ξ)²/(t - τ)} ≤

≤ C(ξ,τ)(Δt)1/2ω₁((Δt)1/2),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

630

БАДЕРКО, САХАРОВ

откуда вытекает оценка (14), переходя в которой к пределу при t → τ + 0, окончательно

получаем доказываемое включение с оценкой (11). Лемма доказана.

Из леммы и теоремы 1 следует, что решением задачи (8)-(10) является потенциал просто-

го слоя

∫t

v(x, t; ξ, τ) = Γ(x, t; g(η), η)ϕ(η; ξ, τ) dη, (x, t) ∈ Ω(τ,T),

(15)

где матричная плотность ϕ(· ; ξ, τ) принадлежит пространству Hω4 [τ, T ], ω₄ =ω0 + ω₁, и

является единственным в C[τ, T ] решением интегрального уравнения Вольтерры первого рода

∫

Γ(g(t), t; g(η), η)ϕ(η) dη = Ψ(t; ξ, τ), t ∈ [τ, T ],

причём ϕ(τ + 0; ξ, τ) = 0 для любых (ξ, τ) ∈ Ω. Кроме того (см. [20, 21]), матрица (15)

принадлежит пространству H1,ω4 (Ω) и для неё справедливы оценки

|∂^lxv(x, t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ) exp{-c(x - g(t))²/(t - τ)}, (x, t) ∈ Ω(τ,T], l = 0, 1;

|∂2xv(x, t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ) d-1(x, t) ω₄(d(x, t)), (x, t) ∈ Ω(τ,T).

3. Доказательство теоремы единственности. Для оператора L рассмотрим сопря-

жённый к нему оператор L^∗, определяемый формулой (см. [22, c. 318])

∑

L^∗u = ∂_tu +

(-1)^l∂^lx(Aтl(x, t)u) ≡ ∂_tu + A^т2(x, t)∂2xu +

l=0

+ [2∂_xA^т2(x, t) - A^т1(x, t)]∂_xu + [∂2xA^т2(x, t) - ∂_xA^т1(x, t) + A^т0(x, t)]u,

где Aтl - транспонированная по отношению к A_l матрица, l = 0, 1, 2. Из результатов п. 2

следует, что можно построить матрицу Грина G^∗(x, t; ξ, τ), (x, t) ∈ Ω[0,τ), (ξ, τ) ∈ Ω, задачи

L^∗u = 0

в Ω, u(x,T) = 0, x ≥ g(T), u|_Σ = ψ,

а именно, функцию

G∗(x, t; ξ, τ) = Γ^∗(x, t; ξ, τ) - v^∗(x, t; ξ, τ), (x, t) ∈ Ω[0,τ), (ξ, τ) ∈ Ω,

где Γ^∗ - ф.м.р. системы L^∗u = 0, а матрица v^∗(x, t; ξ, τ) для любой фиксированной точки

(ξ, τ) ∈ Ω является решением первой начально-краевой задачи

L^∗v^∗(·;ξ,τ) = 0 в Ω[0,τ),

v^∗(·;ξ,τ) = 0 в Ω

^⋂ {t = τ},

v^∗(·;ξ,τ) = Ψ^∗(·;ξ,τ) на Σ

^⋂ {0 ≤ t ≤ τ},

где Ψ^∗(t; ξ, τ) = Γ^∗(g(t), t; ξ, τ), t ∈ [0, τ), Ψ^∗(t; ξ, τ) = 0, t = τ.

Известно (см. [22, с. 319]), что Γ^∗(x, t; ξ, τ) = Γ^т(ξ, τ; x, t), где Γ - ф.м.р. системы Lu = 0.

Поэтому из оценок (2) вытекают неравенства

|∂^kt∂^lxΓ^∗(x, t; ξ, τ)| ≤ C(τ - t)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)²/(τ - t)},

(16)

в которых 2k + l ≤ 2, (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t < τ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

631

Из результатов п. 2 следует, что для любых (ξ, τ) имеет место включение

v^∗ ∈ H

1,ω₄ (Ω[0,τ)),

(17)

где ω₄ =ω0 + ω₁, и выполнены оценки

|∂^lxv^∗(x, t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ) exp{-c(x - g(t))²/(τ - t)}, (x, t) ∈ Ω[0,τ), l = 0, 1,

(18)

|∂2xv^∗(x, t; ξ, τ)| ≤ C(ξ, τ)d-1(x, t)ω₄(d(x, t)), (x, t) ∈ Ω(0,τ).

(19)

Доказательство теоремы 2. Зафиксируем произвольно выбранную точку (ξ, τ) ∈ Ω и

докажем, что u(ξ, τ) = 0.

Пусть ε ∈ (0, τ) - произвольное фиксированное число. Положим

G∗(x, t) = G^∗(x, t; ξ, τ),

^Ĝ(x, t) = (G^∗)^т(x, t), v^∗(x, t) = v^∗(x, t; ξ, τ).

Пусть вектор-функция u удовлетворяет условиям теоремы 2. Справедливо тождество

0 =^Ĝ(x, t)Lu(x, t) + (L^∗G^∗)^т(x, t)u(x, t) = ∂_t[ ^Ĝ(x, t)u(x, t)] - ∂_x[ ^Ĝ(x, t)A₂(x, t)∂_xu(x, t) -

- (∂_x Ĝ(x, t))A₂(x, t)u(x, t) - Ĝ(x, t)(∂_xA₂(x, t))u(x, t) + ^Ĝ(x, t)A₁(x, t)u(x, t)],

в силу которого для любых ε ∈ (0, τ) и M > max{max |g|, |ξ|} имеет место равенство

[0,T ]

τ-ε

∫

0 = dt

{∂_t[^Ĝ(x, t)u(x, t)]} dx -

∂_x[^Ĝ(x,t)A₂(x,t)∂_xu(x,t) -

g(t)

− (∂_x Ĝ(x, t))A₂(x, t)u(x, t) - Ĝ(x, t)(∂_xA₂(x, t))u(x, t) + ^Ĝ(x, t)A₁(x, t)u(x, t)] dx ≡

≡ P(ε,M) - Q(ε,M),

(20)

где

τ-ε

∫

P (ε, M) = dt

{∂_t[^Ĝ(x, t)u(x, t)]} dx.

g(t)

Рассмотрим вектор-функцию P (ε, M). Только в доказательстве теоремы 2 примем обозна-

чение

∑

∥u∥ :=

sup|∂lxu| + sup{|Δtu||Δt|-1/2} + sup{|∂2xu|d(x, t)ω-1(d(x, t))}.

l≤1

Положим h(x, t) =^Ĝ(x, t)u(x, t), если x ≥ g(t), и h(x, t) = 0, если x < g(t). Заметим, что

∂_th(z,t)|z=g(t) = 0, 0 ≤ t ≤ τ - ε.

Действительно, при g(t) < g(t + Δt) из определения функции h следует равенство

h(g(t), t + Δt) - h(g(t), t) = 0.

В случае g(t) ≥ g(t + Δt) в силу оценок (6), (16), (19) и включения (17) находим

|h(g(t), t + Δt) - h(g(t), t)| = |Ĝ(g(t), t + Δt)u(g(t), t + Δt)| =

= | Ĝ(g(t), t + Δt) - Ĝ(g(t), t)||u(g(t), t + Δt) - u(g(t), t)| ≤ C(ε)∥u∥|Δt|ω₄(|Δt|1/2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

4^∗

632

БАДЕРКО, САХАРОВ

Поэтому существует вектор-функция f(x, t) ≡ ∂_th(x, t), (x, t) ∈ R × [0, τ - ε]. Заметим, что f

непрерывна на R × [0, τ - ε]. В самом деле, достаточно проверить, что

lim

f (x, t) = f(g(t₀), t₀) = 0, (x, t) ∈ Ω, t₀ ∈ [0, τ - ε].

(21)

(x,t)→(g(t₀),t₀)

По теореме о среднем в силу условий на гладкость вектор-функции u и соотношений (7),

(16)-(19) получаем при x, достаточно близких к g(t), неравенства

|[∂_t Ĝ(x, t)]u(x, t)| = |∂_t Ĝ(x, t)||u(x, t) - u(g(t), t)| ≤ C(ε)∥u∥ω₄(d(x, t)), t ∈ [0, τ - ε],

|Ĝ(x,t)∂_tu(x,t)| = |Ĝ(x,t) -Ĝ(g(t),t)||∂_tu(x,t)| ≤ C(ε)∥u∥ω(d(x,t)), t ∈ [0,τ - ε].

Следовательно, f(x, t) → 0 = f(g(t), t) при x → g(t) + 0 для любого t ∈ [0, τ - ε]. Отсюда

и из равенства f(x, t) - f(g(t₀), t₀) = f(x, t) - f(g(t), t) вытекает соотношение (21). Поэтому

f ∈ C{[-2M,2M] × [0,τ - ε]}. Тогда

τ-ε

∫

P (ε, M) = dt

f (x, t) dx =

∂_th(x,t)dx =

-2M

τ-ε

∫

= dt{∂_t

h(x, t) dx} =

h(x, τ - ε) dx -

h(x, 0) dx =

h(x, τ - ε) dx.

-2M

Положим û(x, t) = u(x, t), если x ≥ g(t), и û(x, t) = 0, если x < g(t). Тогда при M → +∞

получаем, что

∫

P (ε, M) =

^Ĝ(x, τ - ε)û(x, τ - ε) dx →

^Ĝ(x, τ - ε)û(x, τ - ε) dx =

−2M

-∞

+∞

[Γ(ξ, τ; x, τ - ε) - (v^∗)^т(x, τ - ε)]û(x, τ - ε) dx.

-∞

При ε → +0 имеем

∫

Γ(ξ, τ; x, τ - ε)û(x, τ - ε) dx → û(ξ, τ) = u(ξ, τ),

-∞

и в силу условий на гладкость вектор-функции u и оценок (18)



∫



∫

{

}



(x - g(t))²



(v^∗)^т(x, τ - ε)û(x, τ - ε) dx

C∥u∥ exp

-c

dx = C∥u∥√ε → 0,



≤

−∞

-∞

поэтому

lim

lim P (ε, M) = u(ξ, τ).

(22)

ε→+0

M→+∞

Рассмотрим вектор-функцию Q(ε, M). Для неё справедливо равенство

τ-ε

Q(ε, M) =

[^Ĝ(2M,t)A₂(2M,t)∂_xu(2M,t) - (∂_x Ĝ(2M,t))A₂(2M,t)u(2M,t) -

- Ĝ(2M,t)(∂_xA₂(2M,t))u(2M,t) +^Ĝ(2M,t)A₁(2M,t)u(2M,t)]dt.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

633

Из оценок (2), (18) и условий на гладкость вектор-функции u следует, что

τ-ε

∑

|Q(ε, M)| ≤ C∥u∥

[|∂^lxΓ(2M, t; ξ, τ)| + |∂^lxv^∗(2M, t)|] dt ≤

l=0

τ-ε

{

}

M²

≤ C(ε)∥u∥ exp

-c

dt → 0

при M → +∞, а значит,

lim

lim Q(ε, M) = 0.

(23)

ε→+0

M→+∞

Из соотношений (20), (22), (23) вытекает нужное равенство

0 = lim

lim

[P (ε, M) - Q(ε, M)] = u(ξ, τ).

ε→+0

M→+∞

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в

области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. С. 1-72.

2. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболиче-

ского типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). С. 3-146.

3. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного пара-

болического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. С. 806-834.

4. Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических сис-

тем второго порядка с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 1984. Т. 125 (167). № 4 (12).

С. 458-480.

5. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных

уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 83. С. 3-163.

6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях

с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379-381.

8. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической

системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. С. 198-208.

9. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболиче-

ских систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН.

2020. Т. 494. № 1. С. 5-8.

10. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решения первой начально-краевой задачи для пара-

болических систем на плоскости в модельном случае // Докл. РАН. 2018. Т. 483. № 3. С. 247-249.

11. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально краевой задачи для па-

раболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости

// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 673-682.

12. Baderko E.A., Cherepova M.F. Uniqueness of a solution in a Hölder class to the first initial boundary

value problem for a parabolic system in a bounded nonsmooth domain in the plane // J. of Math. Sci.

2020. V. 251. № 5. P. 557-572.

13. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го

порядка // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 1. С. 86-110.

14. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными

коэффициентами на плоскости // Докл. РАН. 2017. Т. 476. № 1. С. 7-10.

15. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients

// Appl. Anal. 2019. https://doi.org/10.1080/00036811.2019.1698733.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

634

БАДЕРКО, САХАРОВ

16. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальная регулярность (в смысле Липшица)

решений параболического уравнения 2-го порядка вблизи боковой части параболической границы

// Докл. АН СССР. 1974. Т. 219. № 4. С. 785-788.

17. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные оценки Липшица вблизи боковой

границы для решений параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 6.

С. 1172-1187.

18. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

19. Камынин Л.И. Гладкость тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гельдера // Сиб. мат. журн.

1970. Т. 11. № 5. С. 1017-1045.

20. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка

в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.

21. Baderko E.A., Cherepova M.F. Smoothness in the Dini space of a single layer potential for a parabolic

system in the plane // J. Math. Sci. 2018. V. 235. № 2. P. 154-167.

22. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 02.03.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 02.03.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 15.04.2021 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021