ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.635-648

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:536.24

АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ

И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО

УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ-КОНВЕКЦИИ

Доказывается глобальная разрешимость краевых задач для уравнения реакции-диффу-

зии-конвекции в случае, когда коэффициент реакции в уравнении и коэффициент массооб-

мена в граничном условии нелинейно зависят от концентрации вещества. Устанавливается

принцип минимума и максимума для концентрации. В общем виде доказывается разре-

шимость задач мультипликативного управления. В случае, когда функционалы качества

и зависящие от решения коэффициенты модели дифференцируемы по Фреше, для экстре-

мальных задач выводятся системы оптимальности и устанавливается наличие принципа

bang-bang.

DOI: 10.31857/S037406412105006X

1. Введение. Разрешимость краевой задачи. Интерес к исследованию краевых задач

и задач управления как для линейных, так и для нелинейных моделей массо- и теплопереноса

не ослабевает на протяжении достаточно длительного периода (см., например, [1-11]). Отме-

тим, что приложения задач управления не ограничиваются поиском эффективных механизмов

управления физическими полями. В рамках оптимизационного подхода к задачам мультипли-

кативного управления сводятся обратные коэффициентные задачи, которые заключаются в

восстановлении неизвестных коэффициентов в уравнениях и граничных условиях рассматри-

ваемых моделей по дополнительной информации о решении краевых задач (см. [9, 11]).

Настоящая работа является продолжением и обобщением некоторых результатов [10-12]

по исследованию краевых и экстремальных задач для полулинейных уравнений реакции-

диффузии-конвекции. В отличие от [10-12] в данной статье рассматривается случай, когда

от решения краевой задачи зависят коэффициенты как в уравнении, так и в граничном усло-

вии рассматриваемой модели.

В ограниченной области Ω ⊂ R³ с границей Γ, содержащей две части Γ_D и Γ_N , рас-

сматривается следующая краевая задача для нелинейного уравнения реакции-диффузии-

конвекции:

-div (λ(x)∇ϕ) + u · ∇ϕ + k(ϕ,x)ϕ = f в Ω,

(1)

ϕ = ψ на Γ_D, λ(x)(∂ϕ/∂n + α(ϕ,x)ϕ) = χ на Γ_N.

(2)

Здесь x ∈ Ω и физический смысл входящих в задачу (1), (2) величин следующий: искомая

функция ϕ имеет смысл концентрации загрязняющего вещества, u - заданный вектор скоро-

сти, f - объёмная плотность внешних источников вещества, λ(x) - коэффициент диффузии,

k(ϕ, x) - коэффициент реакции, α(ϕ, x) - коэффициент массообмена, функция χ имеет смысл

плотности граничных источников. Далее задачу (1), (2) при заданных функциях λ, k, f, α,

χ и ψ будем называть задачей 1, а задачу 1 при ψ = 0 - задачей 1а.

В работе сначала доказывается глобальная разрешимость задачи 1а и локальная единствен-

ность её решения в случае, когда коэффициенты реакции и массообмена k и α достаточно

произвольно зависят от решения ϕ и от пространственной переменной x. Отметим, что при

ψ = 0 не требуется монотонность k(ϕ,x)ϕ и α(ϕ,x)ϕ, что принципиально для моделей го-

рения (см. [13]). В случае, когда указанные слагаемые монотонны, доказывается глобальная

разрешимость и нелокальная единственность решения задачи 1. Для решения задачи 1 уста-

навливается строгий принцип минимума и максимума.

Далее для задачи 1 формулируются задачи мультипликативного управления. При этом

предполагается, что коэффициент реакции имеет вид произведения k(ϕ, x) = β(x)k₀(ϕ). Роль

635

636

БРИЗИЦКИЙ и др.

управлений в рассматриваемых задачах играют функция β(x) и коэффициент диффузии

λ(x). Разрешимость задач управления, как и разрешимость краевых задач, доказывается для

коэффициентов реакции и массообмена общего вида. В случае, когда коэффициенты, зави-

сящие от решения, а также функционалы качества дифференцируемы по Фреше, для экс-

тремальных задач выводятся системы оптимальности. На основе анализа данных систем для

оптимальных решений конкретных задач управления устанавливается справедливость стаци-

онарного аналога принципа bang-bang (см. о содержании этого термина ниже или в [7, 8]).

При анализе рассматриваемых задач будем использовать функциональные пространства

Соболева H^s(D), s ∈ R. Здесь D обозначает либо область Ω, либо некоторую подобласть

Q ⊂ Ω, либо часть Γ_D границы Γ. Через ∥ · ∥_s,Q,| · |_s,Q и (·,·)_s,Q будем обозначать норму,

полунорму и скалярное произведение в H^s(Q). Нормы и скалярные произведения в простран-

ствах L²(Q), L²(Ω) или L²(Γ_N ) будем обозначать соответственно через ∥·∥_Q и ( · , · )_Q, ∥·∥Ω

и (·,·) или ∥·∥ΓN и (·,·)ΓN. Введём нужные в дальнейшем функциональные пространства:

Lp+(D) = {k ∈ L^p(D) : k ≥ 0}, p ≥ 3/2; Z = {v ∈ L⁴(Ω)³ : div v = 0 в Ω, v · n|_Γ

= 0};

H^sλ

(Ω) = {h ∈ H^s(Ω) : h ≥ λ₀ > 0 в Ω}, s > 3/2; T = {ϕ ∈ H¹(Ω) : ϕ|_Γ

= 0}.

Далее считаем, что выполняются следующие предположения:

(i) Ω - ограниченная область в R³ с границей Γ ∈ C0,1, являющейся объединением замы-

каний двух непересекающихся открытых участков Γ_D и Γ_N (Γ = Γ_D

^⋃Γ_N, ΓD ⋂Γ_N = ∅),

при этом поверхностная мера meas Γ_D положительна, а граница ∂Γ_D участка Γ_D состоит из

конечного числа липшицевых кривых;

(ii) имеют место включения

λ∈H^sλ

(Ω), s > 3/2, u ∈ Z, f ∈ L²(Ω), ψ ∈ H1/2(Γ_D), χ ∈ L²(Γ_N );

(iii) для любой функции v ∈ H¹(Ω) справедливо включение k(v, · ) ∈ Lp+(Ω) для некото-

рого p ≥ 3/2, не зависящего от v, и на любом замкнутом шаре B_r = {v ∈ H¹(Ω) : ∥v∥1,Ω ≤ r}

радиуса r выполняется неравенство

∥k(v₁, · ) - k(v₂, · )∥_Lp_(Ω) ≤ L₁∥v₁ - v₂∥_L4_(Ω) для всех v₁, v₂ ∈ B_r,

константа L₁ в котором зависит от r, но не зависит от v₁, v₂ ∈ B_r;

(iv) для любой функции w ∈ H¹(Ω) справедливо включение α(w, · ) ∈ Lq+(Γ_N ) для некото-

рого q ≥ 2, не зависящего от w, и на любом замкнутом шаре S_a = {w ∈ H¹(Ω) : ∥w∥1,Ω ≤ a}

радиуса a выполняется неравенство

∥α(w₁, · ) - α(w₂, · )∥_Lq(ΓN ) ≤ L2∥w1 - w2∥L2(Γ_N ) для всех w1, w2 ∈ Sa,

константа L₂ в котором зависит от a, но не зависит от w₁, w₂ ∈ S_a.

Отметим, что условия (iii) описывают оператор, действующий из H¹(Ω) в L^p(Ω), p ≥ 3/2,

и позволяющий учитывать достаточно произвольную зависимость коэффициента реакции как

от концентрации ϕ, так и от пространственной переменной x. Например,

{

ϕ² (или ϕ²|ϕ|),

если x ∈ Q,

k(ϕ, x) =

k₀(x) ∈ L3/2+(Ω \ Q), если x ∈ Ω \ Q,

где Q - открытое множество в Ω.

В свою очередь, условия (iv) задают оператор, действующий из H¹(Ω) в L^q(Γ_N ), q ≥ 2,

который позволяет учитывать зависимость коэффициента α от ϕ и x. Например,

{

|ϕ|,

если x ∈ Γ₀,

α(ϕ, x) =

α₀(x) ∈ L3/2+(Γ_N \ Γ₀), если x ∈ Γ_N \ Γ₀,

где Γ₀ - открытое множество в Γ_N .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

637

Замечание 1.1. В дальнейшем для упрощения будем писать k(ϕ) и α(ϕ) вместо k(ϕ, x)

и α(ϕ, x), за исключением тех случаев, где зависимость от x играет не менее важную роль,

чем нелинейная зависимость данных коэффициентов от ϕ.

Напомним также, что в силу теоремы вложения Соболева пространство H¹(Ω) вклады-

вается в пространство L^s(Ω) непрерывно при s ≤ 6 и компактно при s < 6 и с некоторой

константой C_s, зависящей от s и Ω, справедлива оценка

∥ϕ∥_Ls_(Ω) ≤ C_s∥ϕ∥1,Ω для любой ϕ ∈ H¹(Ω).

(3)

Пространство H1/2(Γ_N ) вкладывается в пространство L^q(Γ_N ) непрерывно при q ≤ 4 и ком-

пактно при q < 4. В силу непрерывности оператора следа γ : H¹(Ω) → H1/2(Γ_N ) (и его

сужения γ|ΓN на Γ_N ⊂ Γ) имеет место оценка

∥ϕ∥_Lq(ΓN )

C_q∥ϕ∥1,Ω для любой ϕ ∈ H¹(Ω)

(4)

с константой

C_q, зависящей от q и Γ_N.

Справедлива следующая техническая лемма (см. [14]).

Лемма 1.1. При выполнении предположений (i), (ii) и включений u ∈ Z, λ ∈ H^s (Ω),_λ

s > 3/2, k₁ ∈ Lp+(Ω), p ≥ 3/2, α₁ ∈ Lq+(Γ_N), q ≥ 2, существуют положительные кон-

станты C₀, δ₀, γ₁, зависящие только от Ω, константа γ_p, зависящая только от Ω и

p, и константа γ_q, зависящая только от Ω, Γ_N и q, с которыми справедливы следующие

оценки:

|(λ∇ϕ, ∇η)| ≤ C₀∥λ∥s,Ω∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

|(u · ∇ϕ, η)| ≤ γ₁∥u∥_L4_(Ω)3 ∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

|(k₁ϕ, η)| ≤ γ_p∥k₁∥_Lp_(Ω)∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

(5)

|(λα₁ϕ, η)| ≤ γ_q∥λ∥s,Ω∥α₁∥_Lq(ΓN )∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω для всех ϕ, η ∈ H¹(Ω),

|(χ, h)| ≤ γ₂∥χ∥ΓN ∥h∥1,Ω для любых χ ∈ L²(Γ_N ) и всех h ∈ H¹(Ω),

(u · ∇ϕ, ϕ) = 0, (λ∇ϕ, ∇ϕ) ≥ δ₀∥ϕ∥21,Ω для любых ϕ ∈ T ,

(λ∇ϕ, ∇ϕ) ≥ λ_∗∥ϕ∥21,Ω для любых ϕ ∈ T , где λ_∗ ≡ δ₀λ₀.

(6)

Умножим уравнение (1) на h ∈ T и проинтегрируем по Ω, воспользовавшись формулой

Грина. Учитывая условия (2), получаем, что выполняется соотношение

(λ∇ϕ, ∇h) + (k(ϕ)ϕ, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λα(ϕ)ϕ, h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T , где ϕ|ΓD = ψ.

(7)

Определение 1.1. Функцию ϕ ∈ H¹(Ω), удовлетворяющую соотношению (7), назовём

слабым решением задачи 1.

Определение 1.2. Функцию ϕ ∈ T , удовлетворяющую соотношению (7) при ψ = 0,

назовём слабым решением задачи 1a.

Разрешимость задачи (7) при ψ = 0 докажем с помощью теоремы Шаудера, построив

отображение G : T → T , действующее по формуле G(w) = ϕ, w ∈ T . Здесь функция ϕ ∈ T

является решением линейной задачи

a_w(ϕ,h) = (λ∇ϕ,∇h) + (k(w)ϕ,h) + (u · ∇ϕ,h) + (λα(w)ϕ,h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T .

(8)

Поскольку k(w) ∈ Lp+(Ω), p ≥ 3/2, и α(w) ∈ Lq+(Γ_N ), q ≥ 2, в силу предположений

(iii) и (iv), то из леммы 1.1 вытекает, что форма a_w : T × T → R непрерывна и коэрцитивна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

638

БРИЗИЦКИЙ и др.

с константой λ_∗ = δλ₀, а задача (8) в силу теоремы Лакса-Мильграма имеет единственное

решение ϕ ∈ T , и для него справедлива оценка

∥ϕ∥1,Ω ≤

M_ϕ ≡ C_∗(∥f∥_Ω + γ₂∥χ∥_Γ

C_∗ = λ-1∗.

(9)

Обозначим B_r = {w ∈ T : ∥w∥1,Ω ≤ r}, где r =

M_ϕ. Из оценки (9) следует, что введён-

ный выше оператор G отображает шар B_r в себя. Докажем, что G непрерывен и компактен

на B_r. Пусть {w_n}∞n=1 - произвольная последовательность из B_r. В силу рефлексивности

пространства T ⊂ H1(Ω) и компактности вложения H1(Ω) ⊂ L4(Ω) существует подпосле-

довательность последовательности {w_n}∞n=1, которую мы снова обозначим через {w_n}∞n=1, и

функция w ∈ B_r такие, что w_n → w слабо в H¹(Ω), w_n → w сильно в L⁴(Ω) и w_n|ΓN →

→ w|ΓN сильно в L²(Γ_N) при n → ∞. Положим ϕ_n = G(w_n), ϕ = G(w). Эти равенства

означают, что ϕ ∈ T - решение задачи (8), а ϕ_n ∈ T - решение задачи

(λ∇ϕ_n, ∇h) + (k(w_n)ϕ_n, h) + (u · ∇ϕ_n, h) + (λα(w_n)ϕ_n, h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T ,

(10)

получающейся из задачи (8) заменой w на w_n. Покажем, что ϕ_n → ϕ сильно в H¹(Ω) при

n → ∞. Почленно вычитая равенство (8) из равенства (10), будем иметь

(λ∇(ϕ_n - ϕ), ∇h) + (k(w)(ϕ_n - ϕ), h) + (u · ∇(ϕ_n - ϕ), h) + (λα(w)(ϕ_n - ϕ), h)ΓN =

= -((k(w_n) - k(w))ϕ_n,h) - (λ(α(w_n) - α(w))ϕ_n,h)ΓN для всех h ∈ T .

(11)

Используя оценку (5) и вытекающую из (9) оценку ∥ϕ_n∥1,Ω ≤Mϕ, n = 1, 2, . . . , выводим, что

|((k(w_n) - k(w))ϕ_n, h)| + |(λ(α(w_n) - α(w))ϕ_n, h)ΓN | ≤

≤ γ_pL₁M˜_ϕ∥w_n - w∥_L4_(Ω)∥h∥1,Ω + γ_qL₂M˜_ϕ∥λ∥s,Ω∥w_n - w∥_L2_(Γ

(12)

N)∥h∥1,Ω^.

Полагая h = ϕ_n - ϕ в (11), с учётом (6) и (12) получаем оценку

∥ϕ_n - ϕ∥1,Ω ≤ γ_pL₁ M˜_ϕ∥w_n - w∥_L4_(Ω) + γ_qL₂ M˜_ϕ∥λ∥s,Ω∥w_n - w∥_L2_(Γ

N),

из которой вытекает, что ∥ϕ_n - ϕ∥1,Ω → 0 при n → ∞. Отсюда следует непрерывность и

компактность оператора G. Тогда в силу теоремы Шаудера G имеет неподвижную точку

ϕ = G(ϕ) ∈ T , которая и является решением задачи (7) при ψ = 0.

Установим достаточные условия единственности решения задачи (7) с ψ = 0. Пусть

ϕ₁,ϕ₂ ∈ T - любые два её решения, разность которых ϕ = ϕ₁-ϕ₂ удовлетворяет соотношению

(λ∇ϕ, ∇h) + (k(ϕ₂)ϕ, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λα(ϕ₂)ϕ, h)ΓN = -((k(ϕ₁) - k(ϕ₂))ϕ₁, h) -

- (λ(α(ϕ₁) - α(ϕ₂))ϕ₁, h)ΓN для всех h ∈ T .

(13)

Рассуждая так же, как при выводе оценки (12), будем иметь

|((k(ϕ₁) - k(ϕ₂))ϕ₁, h)| + |(λ(α(ϕ₁) - α(ϕ₂))ϕ₁, h)ΓN | ≤

≤γ_pC₄L₁M˜_ϕ∥ϕ₁ - ϕ₂∥1,Ω∥h∥1,Ω + γ_qC2L2 M˜ϕ∥λ∥s,Ω∥ϕ1 - ϕ2∥1,Ω∥h∥1,Ω.

(14)

Здесь C₄ - константа, входящая в (3) при s = 4, а

C₂ - константа из (4) при l = 2. Полагая

h = ϕ в (13), с учётом (6) и (14) приходим к оценке

∥ϕ∥1,Ω ≤ C_∗(γ_pL₁C₄ + γ_qL₂

C₂∥λ∥s,Ω

M_ϕ∥ϕ∥1,Ω.

Пусть исходные данные f и χ задачи 1а таковы, что выполняется неравенство

(γ_pL₁C₄ + γ_qL₂

C₂∥λ∥s,Ω)(∥f∥_Ω + γ₂∥χ∥ΓN ) < λ2∗.

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

639

Тогда из предыдущего неравенства следует, что ∥ϕ∥1,Ω = 0 или ϕ₁ = ϕ₂. Сформулируем

полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 1.1. При выполнении предположений (i)-(iv) существует слабое решение ϕ ∈ T

задачи 1а и справедлива оценка (9). Если, к тому же, выполняется условие (15), то слабое

решение задачи 1а единственно.

Для доказательства разрешимости задачи 1 нам потребуется следующая лемма [14].

Лемма 1.2. Пусть выполняется предположение (i). Тогда для любой функции ψ ∈

∈ H1/2(Γ_D) существует функция ϕ₀ ∈ H¹(Ω) такая, что ϕ₀ = ψ на Γ_D и с некоторой

константой C_Γ, зависящей от Ω и Γ_D, справедлива оценка ∥ϕ₀∥1,Ω ≤ C_Γ∥ψ∥1/2,ΓD .

В дополнение к предположениям (iii), (iv) далее считаем, что нелинейности k(ϕ)ϕ и α(ϕ)ϕ

являются монотонными в том смысле, что выполняются следующие неравенства:

(v) (k(ϕ₁)ϕ₁ - k(ϕ₂)ϕ₂, ϕ₁ - ϕ₂) ≥ 0 для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ H¹(Ω);

(vi) (α(ϕ₁)ϕ₁ - α(ϕ₂)ϕ₂, ϕ₁ - ϕ₂)ΓN ≥ 0 для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ H¹(Ω).

Пусть также функции k(ϕ) и α(ϕ) ограничены в том смысле, что существуют положи-

тельные константы A₁, B₁, зависящие от k, и константы A₂, B₂, зависящие от α, такие, что

справедливы оценки:

(vii) ∥k(ϕ)∥Lp(Ω) ≤ A1∥ϕ∥r1,Ω + B1 для всех ϕ ∈ H1(Ω) при p ≥ 3/2, r ≥ 0;

(viii)

∥α(ϕ)∥_Lq(ΓN ) ≤ A2∥ϕ∥1,Ω + B2 для всех ϕ ∈ H¹(Ω) при q ≥ 2, l ≥ 0.

Решение задачи 1 ищем в виде суммы ϕ =

ϕ+ϕ₀, где ϕ₀ - заданная функция из леммы 1.2,

ϕ∈T - неизвестная функция. Подставляя ϕ=

ϕ + ϕ₀ в соотношение (7), будем иметь

(λ∇ϕ,∇h) + (k

ϕ+ϕ₀)

ϕ+ϕ₀),h)+(u·

ϕ, h) + (λα(ϕ+ϕ0)

ϕ + ϕ₀),h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN - (λ∇ϕ0,∇h) - (u · ∇ϕ0,h) для всех h ∈ T .

(16)

Прибавив к обеим частям равенства (16) слагаемые -(k(ϕ₀)ϕ₀, h) и -(λα(ϕ₀)ϕ₀, h)ΓN , полу-

чим, что для всех h ∈ T имеет место равенство

(λ∇ϕ,∇h)+(k

ϕ+ϕ₀)

ϕ+ϕ₀)-k(ϕ₀)ϕ₀,h)+(u·

ϕ,h)+(λα

ϕ+ϕ₀)

ϕ+ϕ₀)-λα(ϕ₀)ϕ₀,h)ΓN =

= 〈l, h〉 ≡ (f, h) + (χ, h)ΓN - (λ∇ϕ₀, ∇h) - (u · ∇ϕ₀, h) - (k(ϕ₀)ϕ₀, h) - (λα(ϕ₀)ϕ₀, h)ΓN .

(17)

Применив к его правой части неравенство Гёльдера, оценки из леммы 1.1, учитывая (3), свой-

ства (vii), (viii) и лемму 1.2, нетрудно показать, что l ∈ T^∗ и, более того, что

∥l∥_T ∗ ≤ M_l ≡ C₂∥f∥_Ω + γ₂∥χ∥ΓN + (C₀C_Γ∥λ∥s,Ω + γ₁C_Γ∥u∥_L4_(Ω)3 )∥ψ∥1/2,ΓD +

+ C_Γ(γ_p(A₁CrΓ∥ψ∥r1/2,Γ

+ B₁) + γ_q∥λ∥s,Ω(A₂ClΓ∥ψ∥l1/2,Γ

+ B₂))∥ψ∥1/2,ΓD.

(18)

Введём нелинейный оператор A : T → T^∗ по формуле

〈A(ϕ), h〉 ≡ (λ∇ϕ,∇h) + (k

ϕ+ϕ₀)

ϕ+ϕ₀)-k(ϕ₀)ϕ₀,h)+(u·

ϕ, h) +

+ (λα(ϕ+ϕ0)

ϕ + ϕ₀) - λα(ϕ₀)ϕ₀,h)ΓN для всех h ∈ T .

(19)

Для доказательства существования решения

ϕ ∈ T задачи (17), эквивалентной операторному

уравнению A(ϕ) = l, достаточно, согласно [15, с. 182], показать, что, во-первых, оператор A

непрерывен и ограничен; во-вторых, оператор A монотонен, т.е. (A(u) - A(v), u - v) ≥ 0 для

всех u, v ∈ T ; и, в-третьих, оператор A является коэрцитивным на T .

Покажем, что оператор A является непрерывным и ограниченным. Для этого вычтем

соотношение (19) при

ϕ=ϕ₂ изсоотношения(19)при

ϕ=

ϕ₁. Получим, что для всех h ∈ T

справедливо равенство

〈A(ϕ1) - A

ϕ₂),h〉 = (λ∇

ϕ₁ -

ϕ₂),∇h) + (k

ϕ₁ + ϕ₀) - k

ϕ₂ + ϕ₀),

ϕ₁h) +

+ (k(ϕ2 + ϕ0)

ϕ₁ -

ϕ₂),h) + (u · ∇

ϕ₁ -

ϕ₂),h) + (λ(α

ϕ₁ + ϕ₀) - α

ϕ₂ + ϕ₀)

ϕ₁,h)ΓN +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

640

БРИЗИЦКИЙ и др.

+ (λα(ϕ2 + ϕ0)

ϕ₁ -

ϕ₂),h)ΓN .

(20)

Из этого равенства с учётом оценок из леммы 1.1, свойств (iii) и (iv), а также оценок (3) и (4)

вытекает неравенство

|〈A(ϕ1) - A

ϕ₂),h〉| ≤ C₀∥λ∥s,Ω

ϕ₁ -

ϕ₂∥1,Ω∥h∥1,Ω + γ_pL₁C₄

ϕ₁ -

ϕ₂∥1,Ω

ϕ₁∥1,Ω∥h∥1,Ω +

+γ_p∥k

ϕ₂ + ϕ₀)∥_Lp_(Ω)

ϕ₁ - ϕ₂∥1,Ω∥h∥1,Ω + γ₁∥u∥_L4_(Ω)3

ϕ₁ -

ϕ₂∥1,Ω∥h∥1,Ω +

+γ_qL₂

C₂

ϕ₁ -

ϕ₂∥1,Ω

ϕ₁∥1,Ω∥h∥1,Ω + γ_q∥α

ϕ₂ + ϕ₀)∥_Lq(ΓN )

ϕ₁ -

ϕ₂∥1,Ω∥h∥1,Ω,

из которого следует непрерывность и ограниченность оператора A.

Запишем равенство (20) в следующем виде:

〈A(ϕ1) - A

ϕ₂),h〉 = (λ∇

ϕ₁ - ϕ₂),∇h) + (k

ϕ₁ + ϕ₀)

ϕ₁ + ϕ₀) - k

ϕ₂ + ϕ₀)

ϕ₂ + ϕ₀),h) +

+ (u · ∇(ϕ1 -

ϕ₂),h) + (λ(α

ϕ₁ + ϕ₀)

ϕ₁ + ϕ₀) - α

ϕ₂ + ϕ₀)

ϕ₂ + ϕ₀)),h)ΓN .

(21)

Подставим h =

ϕ₁ -

ϕ₂ в (21), тогда, учитывая неравенство (λ∇

ϕ₁ -

ϕ₂),∇

ϕ₁ -

ϕ₂)) ≥ 0,

равенство (u · ∇(ϕ1 -

ϕ₂),ϕ1 - ϕ2) = 0 (см. (6)), свойства (v) и (vi), заключаем, что

〈A(ϕ1) - A

ϕ₂),

ϕ₁ -

ϕ₂〉 ≥ 0.

Полагая h =

ϕ в соотношении (19), в силу леммы 1.1 и свойств (v), (vi) приходим к

неравенству

〈A(ϕ),

ϕ〉 = (λ∇ϕ,∇ϕ) + (k

ϕ+ϕ₀)

ϕ+ϕ₀)-k(ϕ₀)ϕ₀

ϕ) +

+ (λα(ϕ+ϕ0)

ϕ+ϕ₀)-λα(ϕ₀)ϕ₀

ϕ)ΓN ≥ λ_∗

ϕ∥21,Ω для всех

ϕ∈T,

(22)

которое означает коэрцитивность оператора A на T .

Из сказанного выше вытекает, что существует решение

ϕ∈T задачи(16).Полагая h=

в (16), вследствие неравенств (22) и (18) получаем оценку ∥

ϕ∥1,Ω ≤ C_∗∥l∥_T ∗, C_∗ = λ-1∗.

Тогда функция ϕ =

ϕ + ϕ₀ является решением задачи 1, и имеет место

∥ϕ∥1,Ω ≤ M_ϕ ≡ C_∗M_l + C_Γ∥ψ∥1/2,ΓD ,

(23)

где константа M_l введена в (18), а C_Γ - константа из леммы 1.2.

Покажем, что решение задачи 1 единственно. Пусть ϕ₁ и ϕ₂ ∈ H¹(Ω) - любые два решения

задачи 1. Тогда их разность ϕ = ϕ₁ - ϕ₂ ∈ T удовлетворяет соотношению

(λ∇ϕ, ∇h) + (k(ϕ₁)ϕ₁ - k(ϕ₂)ϕ₂, h) + (u · ∇ϕ, h) +

+ (λ(α(ϕ₁)ϕ₁ - α(ϕ₂)ϕ₂), h)ΓN = 0 для всех h ∈ T .

Полагая здесь h = ϕ, в силу леммы 1.1 и свойств (v), (vi) приходим к неравенству λ_∗∥ϕ∥1,Ω ≤

≤ 0, из которого вытекает, что ϕ₁ = ϕ₂ в Ω.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1.2. При выполнении предположений (i)-(viii) существует единственное слабое

решение ϕ ∈ H¹(Ω) задачи 1 и для него справедлива оценка (23).

В рамках подхода из [16, гл. 3, § 1] докажем принцип максимума и минимума для ϕ.

Пусть в дополнение к (i)-(viii) выполняется предположение

(ix) имеют место двойные неравенства

ψ_min ≤ ψ ≤ ψ_max п.в. на Γ_D, f_min ≤ f ≤ f_max п.в. в Ω,

λ_min ≤ λ ≤ λ_max п.в. в Ω и χ_min ≤ χ ≤ χ_max п.в. на Γ_N.

Здесь ψ_min, ψ_max, f_min, f_max, χ_min, χ_max - неотрицательные, а λ_min, λ_max - положи-

тельные числа.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

641

Для упрощения основного неравенства будем считать, что выполняется предположение

(x) коэффициенты реакции и массообмена имеют следующий вид: k(ϕ, x) = a(x)k₁(ϕ),

где k₁(·) : R → R₊ - непрерывная функция, 0 < a_min ≤ a(x) ≤ a_max < ∞ п.в. в Ω, при этом

[f_min/a_max, f_max/a_min] ∈ E(k₁(t)t) при t > 0, где E(k₁(t)t) - область значений функции k₁(t)t;

α(ϕ, x) = b(x)α₁(ϕ), где α₁(·) : R → R₊ - непрерывная функция, 0 < bmin ≤ b(x) ≤

≤ b_max < ∞ п.в. на Γ_N, при этом [χ_min/b_maxλ_max,χ_max/b_minλ_min] ∈ E(α₁(r)r) при r > 0, где

E(α₁(t)t) - область значений функции α₁(t)t.

Лемма 1.3. При выполнении предположений (i)-(x) для решения ϕ ∈ H¹(Ω) задачи 1

справедлив следующий принцип максимума и минимума:

m ≤ ϕ ≤ M п.в. в Ω, M = max{ψ_max,M₁,M₂}, m = min{ψ_min,m₁,m₂}.

(24)

Здесь M₁ и M₂ - минимальные корни уравнений k₁(M₁)M₁ = f_max/a_min и α₁(M₂)M₂ =

= χ_max/λ_minb_min, а m₁ и m₂ - максимальные корни уравнений k(m₁)m₁ = f_min/a_max и

α(m₂)m₂ = χ_min/λ_maxb_max.

Доказательство. Сначала докажем, что ϕ ≤ M п.в. в Ω. Для этого введём функцию

ϕ=

= max{ϕ-M,0}. Очевидно, что принцип максимума или оценка ϕ ≤ M п.в. в Ω выполняется

тогда и только тогда, когда

ϕ = 0 п.в. в Ω.

Через Q_M ⊂ Ω обозначим открытое измеримое подмножество Ω, в котором ϕ > M.

Из [17, c. 152] и [18] вытекает, что

ϕ = ∇ϕ п.в. в Q_M и

ϕ ∈ T . Тогда справедливы

следующие равенства:

(λ∇ϕ, ∇ϕ) = (λ

ϕ, ∇ϕ)QM = (λ∇ϕ, ∇ϕ) и (u · ∇ϕ,ϕ) = (u · ∇ϕ,ϕ) = 0.

С учётом этого, полагая h =

ϕ в равенстве (7), получаем

(λ∇ϕ, ∇ϕ) + (k(ϕ,·)ϕ,ϕ) + (λα(ϕ,·)ϕ,ϕ)ΓN = (f,ϕ) + (χ,ϕ)ΓN .

(25)

Очевидно, что

(k(ϕ, · )ϕ,

ϕ) = (k(ϕ,·)ϕ,ϕ)QM = (k

ϕ+M,·)

ϕ+M)

ϕ)QM

и для функций ϕ₁ =

ϕ+M и ϕ₂ = M из H¹(Ω) в силу свойств (v) справедливо неравенство

0≤(k

ϕ+M,·)

ϕ+M)-k(M,·)M,

ϕ) = (k

ϕ+M,·)

ϕ+M)-k(M,·)M,

ϕ)QM ,

(26)

поскольку

ϕ = 0 в Ω \ Q_M. Пусть также на некотором участке Γ0N ⊂ Γ_N выполняется

неравенство ϕ|_Γ0

> M. Тогда

(λα(ϕ, · )ϕ,

ϕ)ΓN = (λα(ϕ,·)ϕ,

ϕ)_Γ0

= (λα(ϕ+M,·)

ϕ+M)

ϕ)_Γ0 .

(27)

Аналогично, для функций ϕ₁ =

ϕ + M и ϕ₂ = M из H¹(Ω) в силу свойства (vi) верно

неравенство

0≤(λα

ϕ+M,·)

ϕ+M)-λα(M,·)M,

ϕ)ΓN = (λα

ϕ+M,·)

ϕ+M)-λα(M,·)M,

ϕ)_Γ0 .

С учётом этого, вычитая (k(M,·)M,

ϕ) и (λα(M,·)M,ϕ)ΓN из обеих частей равенства (25),

получаем

(λ∇ϕ,

ϕ)+(k

ϕ+M,·)

ϕ+M)-k(M,·)M,

ϕ)QM +(λ(α

ϕ+M,·)

ϕ+M)-α(M,·)M),

ϕ)_Γ0

= (f - k(M, · )M,

ϕ)QM + (χ - λα(M,·)M,ϕ)Γ0 .

Отсюда в силу леммы 1.1 и (26), (27) вытекает оценка

λ_∗

ϕ∥21,Ω ≤ (f - k(M,·)M,

ϕ)QM + (χ - λα(M,·)M,ϕ)Γ0 ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

642

БРИЗИЦКИЙ и др.

из которой следует, что если для коэффициентов k(ϕ, x) и α(ϕ, x) вида (x) постоянная M

выбрана согласно условию (24), то

ϕ = 0.

Для доказательства принципа минимума введём функцию

w = min{ϕ-m,0}. Рассуждая

так же, как для функции

ϕ, заключаем, что

w ∈ T . Будем предполагать, что в измеримом

открытом множестве Q_m ⊂ Ω и на участке Γ1N ⊂ Γ_N справедливо неравенство ϕ < m.

Рассуждая, как и выше, приходим к равенству

(λ∇ϕ,∇ϕ)+(k( w +m,·)( w +m)-k(m,·)m,w)Qm +(λ(α( w +m,·)(w+m)-α(m,·)m),

w)_Γ1

= (f - k(m, · )m,

w)Qm + (χ - λα(m,·)m,w)Γ1 ,

из которого выводим оценку

λ_∗∥ w∥21,Ω ≤ (f - k(m,·)m,

w)Qm + (χ - λα(m,·)m,w)Γ1 .

Из полученной оценки, как и выше, вытекает, что

w = 0 для постоянной m, выбранной

согласно (24).

Замечание 1.2. Для степенных коэффициентов параметры M_i, m_i, i = 1, 2, легко вы-

числяются. Например, при k(ϕ) = ϕ² и α(ϕ) = |ϕ| получаем, что M₁ = f^m

ax, m1 = f^m

M₂ = (χ_max/λ_min)1/2, m₂ = (χ_min/λ_max)1/2.

Замечание 1.3. Условие [f_min/a_max, f_max/a_min] ∈ E(k₁(t)t) при t > 0 в (x) можно заме-

нить условием, что функциональные относительно M₁ и m₁ уравнения k₁(M₁)M₁ =f_max/a_min

и k(m₁)m₁ = f_min/a_max имеют хотя бы по одному решению M₁ > 0 и m₁ > 0. Аналогич-

ную альтернативу имеет условие [χ_min/b_maxλ_max, χ_max/b_minλ_min] ∈ E(α₁(r)r) при r > 0. Если

функции k₁(t) и α₁(r) монотонны, то параметры M₁, M₂ и m₁, m₂ определяются одно-

значно.

2. Мультипликативная задача управления. При исследовании задач управления бу-

дем полагать, что для функции k(ϕ, x) выполняется предположение

(xi) коэффициент реакции имеет вид k(ϕ, x) = β(x)k₀(ϕ), где β(x) ∈ H¹⁺(Ω), k₀(ϕ) ∈

∈ L²⁺(Ω) для всех ϕ ∈ H¹(Ω), и удовлетворяет свойству (vii) при p > 2; кроме того, в любом

шаре B_r = {ϕ ∈ H¹(Ω) : ∥ϕ∥1,Ω ≤ r} радиуса r справедливо неравенство

∥k₀(ϕ₁) - k₀(ϕ₂)∥_Ω ≤ L₃∥ϕ₁ - ϕ₂∥_L4_(Ω) для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ B_r.

(28)

Здесь константа L₃ зависит от радиуса r и не зависит от функций ϕ₁, ϕ₂ ∈ B_r.

Несложно показать, что условия из (xi) описывают частный случай функции k(ϕ, x), удо-

влетворяющей предположению (iv). Действительно (см. также [12]),

∥β(k₀(ϕ₁) - k₀(ϕ₂))∥_L3/2_(Ω) ≤ ∥β∥_L6_(Ω)∥k0(ϕ1) - k0(ϕ2)∥Ω ≤ C6∥β∥1,Ω∥ϕ1 - ϕ2∥L4(Ω).

Для постановки задачи управления разобьём множество исходных данных задачи 1 на две

группы: группу фиксированных данных, куда отнесём функции u, k₀(ϕ), α(ϕ), f, χ и ψ,

и группу управлений, куда отнесём функции λ и β, предполагая, что они могут изменяться

в некоторых множествах K₁ и K₂, удовлетворяющих условию

(j) K₁ ⊂ Hsλ0 (Ω) и K₂ ⊂ H¹⁺(Ω) - непустные выпуклые замкнутые множества.

Введём пространство Y = T^∗ × H1/2(Γ_D), положим u = (λ, β), K = K₁ × K₂, зададим

оператор F = (F₁, F₂) : H¹(Ω) × K → Y формулами

〈F₁(ϕ, u), h〉 = (λ∇ϕ, ∇h) + (β(x)k₀(ϕ)ϕ, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λα(ϕ, x)ϕ, h)ΓN - (f, h) - (χ, h)ΓN ,

F₂(ϕ) = ϕ|ΓD - ψ

и запишем равенство (7) в виде F (ϕ, u) = 0. Рассматривая это равенство как условное огра-

ничение на состояние ϕ ∈ H¹(Ω) и управление u ∈ K, сформулируем следующую задачу

условной минимизации:

μ₀

μ₁

μ₂

J (ϕ, u) ≡

I(ϕ) +

∥λ∥2s,Ω +

∥β∥21,Ω → inf, F (ϕ, u) = 0, (ϕ, u) ∈ H¹(Ω) × K.

(29)

Здесь I : H¹(Ω) → R - функционал, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

643

Обозначим через Z_ad = {(ϕ, u) ∈ H¹(Ω) × K : F (ϕ, u) = 0, J(ϕ, u) < ∞} множество

допустимых пар для задачи (29) и предположим, что выполняется условие

(jj) μ₀ > 0, μ₁ ≥ 0, μ₂ ≥ 0 и K - ограниченное множество, либо μ_i > 0, i = 0, 1, 2, и

функционал I ограничен снизу.

Будем использовать следующие функционалы качества:

∫

I₁(ϕ) = ∥ϕ - ϕ^d∥2Q =

|ϕ - ϕ^d|²dx, I₂(ϕ) = ∥ϕ - ϕ^d∥21,Q.

(30)

Здесь ϕ^d ∈ L²(Q) (либо ϕ^d ∈ H¹(Q)) - заданная в подобласти Q ⊂ Ω функция.

Теорема 2.1. Пусть выполняются предположения (i)-(viii), (xi) и условия (j), (jj), функ-

ционал I : H¹(Ω) → R слабо полунепрерывен снизу и множество Z_ad не пусто. Тогда суще-

ствует по крайней мере одно решение (ϕ,u) ∈ H¹(Ω) × K задачи (29).

Доказательство. Пусть (ϕ_m, u_m) ∈ Z_ad - минимизирующая последовательность, для ко-

торой

lim

J (ϕ_m, u_m) = inf J(ϕ, u) ≡ J^∗.

m→∞

(ϕ,u)∈Z_ad

Из условия (jj) и теоремы 1.2 вытекают оценки

∥λ_m∥s,Ω ≤ c₁,

∥β_m∥1,Ω ≤ c₂,

∥ϕ_m∥1,Ω ≤ c₃,

(31)

в которых константы c₁, c₂, c₃ не зависят от m. Из этих оценок и условия (j) вытекает,

что существуют слабые пределы λ^∗ ∈ K₁, β^∗ ∈ K₂ и ϕ^∗ ∈ H¹(Ω) некоторых подпоследо-

вательностей последовательностей {λ_m},

{β_m} и {ϕ_m}. Указанные подпоследовательности

обозначим также через {λ_m},

{β_m} и {ϕ_m} соответственно, причём в силу компактности

вложений H¹(Ω) ⊂ L^p(Ω) при p < 6, H1/2(Γ_N ) ⊂ L^q(Γ_N ) при q < 4, H^s(Ω) ⊂ L^∞(Ω) и

Hs-1/2(Γ_N) ⊂ L^∞(Γ_N ) при s > 3/2 считаем, что при m → ∞ имеют место сходимости:

ϕm → ϕ^∗ слабо в H¹(Ω), слабо в L⁶(Ω) и сильно в L^s(Ω), s < 6,

ϕm|Γ_N → ϕ^∗|Γ_N слабо в H1/2(ΓN ), слабо в L⁴(ΓN ) и сильно в L^q(ΓN ), q < 4,

β_m → β^∗ слабо в H¹(Ω), слабо в L⁶(Ω) и сильно в L^p(Ω), p < 6,

λ_m → λ^∗ слабо в H^s(Ω) и сильно в L^∞(Ω),

λ_m|ΓN → λ^∗|_Γ

слабо в Hs-1/2(Γ_N ) и сильно в L^∞(Γ_N ), s > 3/2.

(32)

Очевидно, что F₂(ϕ^∗) = 0. Покажем, что F₁(ϕ^∗, u^∗) = 0, т.е. что

(λ^∗∇ϕ^∗, ∇h) + (β^∗k₀(ϕ^∗)ϕ^∗, h) + (u^∗ · ∇ϕ^∗, h) + (λ^∗α(ϕ^∗)ϕ^∗, h)_Γ

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T .

(33)

Для этого заметим, что пара функций (ϕ_m, u_m) удовлетворяет соотношению

(λ_m∇ϕ_m, ∇h) + (β_mk₀(ϕ_m)ϕ_m, h) + (u_m · ∇ϕ_m, h) + (λ_mα(ϕ_m)ϕ_m, h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T .

(34)

Перейдём в (34) к пределу при m → ∞. Из сходимостей (32) вытекает, что все линейные

слагаемые в (34) переходят в соответствующие слагаемые в (33). Исследуем поведение при

m → ∞ нелинейных слагаемых, начиная с (β_mk₀(ϕ_m)ϕ_m,h).

Справедливо равенство

(β_mk₀(ϕ_m)ϕ_m, h) - (β^∗k₀(ϕ^∗)ϕ^∗, h) =

= ((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h) + (β^∗(k₀(ϕ_m)ϕ_m - k₀(ϕ^∗)ϕ^∗), h).

(35)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

644

БРИЗИЦКИЙ и др.

Для сходимости к нулю второго слагаемого в правой части этого равенства достаточно, чтобы

k₀(ϕ_m) → k₀(ϕ^∗) сильно в L²(Ω) и β^∗hϕ_m → β^∗hϕ^∗ слабо в L²(Ω) для всех h ∈ T при

m → ∞. Действительно, из этих свойств вытекает сильная сходимость в L¹(Ω) произведения

указанных последовательностей, или

(k₀(ϕ_m)ϕ_m - k₀(ϕ^∗)ϕ^∗, β^∗h) → 0 при m → ∞ для всех h ∈ T .

(36)

Сильная сходимость k₀(ϕ_m) → k₀(ϕ^∗) в L²(Ω) при m → ∞ следует из предположения (x), а

из (32) вытекает, что β^∗hϕ_m → β^∗hϕ_m слабо в L²(Ω) при m → ∞ для всех h ∈ T .

Поскольку пространство C^∞(Ω) плотно вложено в T , то существует последовательность

{h_n} ∈ C^∞(Ω), сходящаяся к h по норме ∥ · ∥1,Ω. Используя {h_n}, для первого слагаемого

в (35) получаем

((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h) = ((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h - h_n) + ((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h_n).

В силу равномерной ограниченности по m величин ∥β_m - β^∗∥_L6_(Ω), ∥ϕm∥L6(Ω) и ∥k0(ϕm)∥Ω,

вытекающей из (x), из сходимости ∥h - h_n∥_L6_(Ω) → 0 при n → ∞ следует существование для

любого ε > 0 такого номера N = N(ε, h), что

|((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h - h_n)| ≤

≤ ∥β_m - β^∗∥_L6_(Ω)∥k₀(ϕ_m)∥_Ω∥ϕ_m∥_L6_(Ω)∥h - h_n∥_L6_(Ω) ≤ ε/2 для всех n ≥ N и m ∈ N.

(37)

В силу равномерной ограниченности по m величин ∥ϕ_m∥_L6_(Ω) и ∥k₀(ϕ_m)∥_Ω из сходимости

∥β_m - β^∗∥_L4_(Ω) → 0 при m → ∞ следует существование такого номера M = M(ε, h), что

|((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h_n)| ≤

≤ ∥β_m - β^∗∥_L4_(Ω)∥k₀(ϕ_m)∥_Ω∥ϕ_m∥_L6_(Ω)∥h_n∥_L8_(Ω) ≤ ε/2 для всех m ≥ M и n ∈ N.

(38)

Из оценок (37) и (38) вытекает, что ((β_m - β^∗)k₀(ϕ_m)ϕ_m, h) → 0 при m → ∞ для всех h ∈ T .

Тогда с учётом сходимости (36) получаем, что (β_mk₀(ϕ_m)ϕ_m, h) → (β^∗k₀(ϕ^∗)ϕ^∗, h) при

m → ∞ для всех h ∈ T .

Для слагаемого (λ_m∇ϕ_m, ∇h) справедливо равенство

(λ_m∇ϕ_m, ∇h) - (λ^∗∇ϕ^∗, ∇h) = ((λ_m - λ^∗)∇ϕ_m, ∇h) + (∇(ϕ_m - ϕ^∗), λ^∗∇h).

Поскольку λ^∗∇h ∈ L²(Ω)³, то в силу (32) получим, что (∇(ϕ_m - ϕ^∗), λ^∗∇h) → 0 при m → ∞

для всех h ∈ T . Применяя неравенство Гёльдера, заключаем в силу (32) и (31), что

|((λ_m - λ^∗)∇ϕ_m, ∇h)| ≤ ∥λ_m - λ^∗∥_L∞_(Ω)∥∇ϕ_m∥_Ω∥∇h∥_Ω → 0 при m → ∞.

В таком случае (λ_m∇ϕ_m, ∇h) → (λ^∗∇ϕ^∗, ∇h) при m → ∞.

Для нелинейного слагаемого (λ_mα(ϕ_m)ϕ_m, h)ΓN имеем равенство

(λ_mα(ϕ_m)ϕ_m, h)ΓN - (λ^∗α(ϕ^∗)ϕ^∗, h)_Γ

= ((λ_m - λ^∗)α(ϕ_m)ϕ_m, h)_Γ

+ (λ^∗(α(ϕ_m) - α(ϕ^∗))ϕ_m, h)_Γ

+ (λ^∗α(ϕ^∗)(ϕ_m - ϕ^∗), h)_Γ

Поскольку λ^∗α(ϕ^∗)h ∈ L4/3(Γ_N ), то (ϕ_m - ϕ^∗, λ^∗α(ϕ^∗)h)ΓN → 0 при m → ∞ в силу (32).

Применив далее неравенство Гёльдера, в силу предположения (iv) и равномерной ограни-

ченности по m величины ∥ϕ_m∥_L4(ΓN ) получим, что

|(λ^∗(α(ϕ_m) - α(ϕ^∗))ϕ_m, h)_Γ

| ≤ ∥λ^∗∥_L∞_(Ω)∥α(ϕ_m) - α(ϕ^∗)∥_Ω∥ϕ_m∥_L4_(Γ

N)∥h∥L⁴(ΓN)→0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

645

при m → ∞. Используя неравенство Гёльдера, в силу (32), равномерной ограниченности по

m величины ∥ϕ_m∥_L4(ΓN ) и вытекающей из свойства (viii) и (31) равномерной ограниченности

по m величины ∥α(ϕ_m)∥_Ω будем иметь

|((λ_m - λ^∗)α(ϕ_m)ϕ_m, h)_Γ

| ≤ ∥λ_m - λ^∗∥_L∞_(Γ

N)∥α(ϕm)∥ΓN^∥ϕm^∥L⁴(ΓN)^∥h∥L⁴(ΓN)→0

при m → ∞.

Поскольку функционал J слабо полунепрерывен снизу на H¹(Ω) × H^s(Ω) × H¹(Ω), то из

сказанного выше следует, что J(ϕ^∗, u^∗) = J^∗.

Замечание 2.1. Функционалы в (30) удовлетворяют условиям теоремы 2.1.

Следующим этапом в исследовании экстремальной задачи (29) является вывод системы

оптимальности, которая даёт ценную информацию о дополнительных свойствах оптимальных

решений. На основе её анализа устанавливается, в частности, единственность и устойчивость

оптимальных решений (см. детали, например, в [10-12] и [19, 20]).

Пусть, в дополнение к (i)-(xi), выполняется следующее предположение:

(xii) функции k₀(ϕ)ϕ и α(ϕ)ϕ непрерывно дифференцируемы по Фреше и их производные

удовлетворяют условиям:

(k₀(ϕ)ϕ)^′ = b(ϕ), где b(ϕ) ∈ L²⁺(Ω) для всех ϕ ∈ H¹(Ω);

(α(ϕ)ϕ)^′ = a(ϕ), где a(ϕ) ∈ L²⁺(Γ_N ) для всех ϕ ∈ H¹(Ω).

Введём сопряжённое к Y пространство Y^∗ = T × H1/2(Γ_D)^∗. Несложно показать, что

производная Фреше от оператора F = (F₁, F₂) : H¹(Ω)×K → Y по ϕ в каждой точке (ϕ, û) =

ϕ,λ

β) является линейным оператором F^′ϕ

ϕ, û) : H¹(Ω) → Y, ставящим в соответствие

каждому элементу h ∈ H¹(Ω) элемент F^′ϕ(ϕ, û)(h) = (ŷ1, ŷ2) ∈ Y. Здесь элементы

ŷ₁ ∈ T^∗ и

ŷ₂ ∈ H1/2(Γ_D) определяются по

ϕ и τ соотношениями

〈ŷ₁,τ〉 = (λ∇τ,∇h)+

βb(ϕ)τ, h)+(λa(ϕ)τ, h)ΓN +(u·∇τ, h) для всех τ ∈ H1(Ω), y2 = h|Γ

Через F^′ϕ(ϕ, û)∗ : Y∗ → H1(Ω)∗ обозначим сопряжённый к F′ϕ

ϕ, û) оператор.

Следуя общей теории гладко-выпуклых экстремальных задач [21], введём элемент y^∗ =

= (θ, ζ) ∈ Y^∗, который будем называть сопряжённым состоянием, и введём лагранжиан

L : H¹(Ω) × K × Y ^∗ → R по формуле

L(ϕ, u, y^∗) = J(ϕ, u) + 〈y^∗, F (ϕ, u)〉_Y ∗_×Y ≡J(ϕ, u) + 〈F₁(ϕ, u), θ〉_T ∗_×T + 〈ζ, F₂(ϕ, u)〉_Γ

где 〈ζ, · 〉ΓD = 〈ζ, · 〉_H1/2(ΓD )∗×H1/2(Γ_D )^.

Так ка

βb(ϕ) ∈ L3/2+(Ω) иλa

ϕ) ∈ L²⁺(Γ_N), то из [14] следует, что для любых функций

f ∈ L²(Ω) и ψ ∈ H1/2(Γ_D) существует единственное решение τ ∈ H¹(Ω) линейной задачи

(λ∇τ,∇h)+

βb(ϕ)τ, h)+ (λa(ϕ)τ, h)ΓN + (u ·∇τ, h) = (f, h) для всех h ∈ T , где τ|ΓD = ψ.

Тогда оператор F^′ϕ(ϕ, û) : H1(Ω) × K → Y - изоморфизм, а из [21] вытекает

Теорема 2.2. Пусть выполняются предположения (i)-(viii), (xi), (xii) и условия (j),

(jj), функционал I : H¹(Ω) → R непрерывно дифференцируем по ϕ в точке

ϕ и локаль-

ный минимум в задаче (29) достигается в точке

ϕ, û) ∈ H¹(Ω) × K. Тогда существует

единственный множитель Лагранжа y^∗ = (θ,ζ) ∈ Y^∗ такой, что выполняется уравнение

Эйлера-Лагранжа F^′ϕ

ϕ, û)^∗y^∗ = -J^′ϕ

ϕ, û) в H¹(Ω)^∗, эквивалентное тождеству

(λ∇τ,∇θ) +

βb(ϕ)τ, θ) + (λa(ϕ)τ, θ)ΓN + (u · ∇τ, θ) + 〈ζ, τ〉ΓD =

= -(μ₀/2)〈I^′ϕ

ϕ), τ〉 для всех τ ∈ H¹(Ω),

(39)

и справедлив принцип минимума L

ϕ, û,y^∗) ≤ L

ϕ,u,y^∗) для любого u ∈ K, эквивалентный

неравенствам

μ₁(λ,λ -λ)s,Ω + ((λ -λ)

ϕ, ∇θ) + ((λ -λ)α(ϕ

ϕ,θ)ΓN ≥ 0 для всех λ ∈ K₁,

μ₂

β,β

β)1,Ω +((β

β)k₀(ϕ)ϕ,θ) ≥ 0

для всех β ∈ K₂.

(40)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

646

БРИЗИЦКИЙ и др.

3. Анализ однопараметрической задачи управления. Свойство bang-bang. В дан-

ном пункте работы устанавливаются дополнительные свойства оптимального решения следу-

ющей задачи управления:

J (ϕ) ≡ (1/2)I(ϕ) → inf, F (ϕ, β) = 0, (ϕ, β) ∈ H¹(Ω) × K₃,

(41)

роль управления в которой играет функция β, тогда как λ считается заданной функцией.

Пусть выполняется условие

(jjj) K₃ ⊂ L⁶⁺(Ω) - непустое выпуклое замкнутое и ограниченное множество.

Докажем разрешимость задачи (41) в случае, когда k₀(ϕ) = ϕ². Очевидно, что для функ-

ции βk₀(ϕ) справедливо неравенство (28), поскольку для его выполнения достаточно, чтобы

β∈L⁶(Ω).

Справедлива

Теорема 3.1. Пусть выполнены предположения (i), (ii), (iv), (vi) (viii) и условие (jjj),

функционал I : H¹(Ω) → R слабо полунепрерывен снизу и множество Z_ad не пусто. Тогда

существует по крайней мере одно решение (ϕ, β) ∈ H¹(Ω) × K₃ задачи (41).

Доказательство. Пусть (ϕ_m, β_m) ∈ Z_ad - минимизирующая последовательность, для ко-

торой

lim

J (ϕ_m) = inf J(ϕ) ≡ J^∗, F (ϕ_m, β_m) = 0.

m→∞

(ϕ,β)∈Z_ad

Из условия (jjj) и теоремы 1.2 вытекают следующие оценки:

∥β_m∥_L6_(Ω) ≤ c₁,

∥ϕ_m∥1,Ω ≤ c₂,

где константы c₁, c₂ не зависят от m. Из этих оценок и условия (jjj) следует, что существуют

слабые пределы β^∗ ∈ K₃ и ϕ^∗ ∈ H¹(Ω) некоторых подпоследовательностей последовательно-

стей {β_m} и {ϕ_m}.

Единственным отличием от доказательства теоремы 2.1 является доказательство сходимо-

сти (β_mϕ3m, h) → (β^∗(ϕ^∗)³, h) при m → ∞ для всех h ∈ T при условии, что β_m → β^∗ слабо

в L⁶(Ω) при m → ∞.

Справедливо равенство

(β_mϕ3m, h) - (β^∗(ϕ^∗)³, h) = (β_m - β^∗, (ϕ^∗)³h) + (β_m(ϕ3m - (ϕ^∗)³), h).

Для всех h ∈ T из неравенства Гёльдера вытекает, что

|(β_m(ϕ3m - (ϕ^∗)³), h)| ≤ 2∥β_m∥_L6_(Ω)∥ϕ_m - ϕ^∗∥_L3_(Ω)(∥ϕ_m∥2L6(Ω)+∥ϕ∗∥^L6(Ω))∥h∥L⁶(Ω)→0

при m → ∞. Так как (ϕ^∗)³h ∈ L3/2(Ω), то (β_m - β^∗, (ϕ^∗)³h) → 0 при m → ∞.

Для задачи (41) также справедлив аналог теоремы 2.2, поскольку

ϕ² ∈ L²⁺(Ω), при этом

уравнение (39) и неравенство (40) принимают вид

(λ∇τ, ∇θ) + 3

ϕ²τ,θ) + (λa

ϕ)τ, θ)ΓN + (u · ∇τ, θ) + 〈ζ, τ〉ΓD =

= -(1/2)〈I^′ϕ

ϕ), τ〉 для всех τ ∈ H¹(Ω),

(42)

((β

ϕ³,θ) ≥ 0 для всех β ∈ K₃.

(43)

Пусть вместо условия (jjj) выполняется более жёсткое условие

(jjj^′) β_min ≤ β ≤ β_max п.в. в Ω для всех β ∈ K₃, где β_min, β_max - положительные числа.

Очевидно, что условие (jjj^′) задаёт частный случай выпуклого, ограниченного и замкну-

того множества, введённого в (jjj).

Покажем, что оптимальное управление

β(x) задачи (41) обладает свойством bang-bang,

согласно которому оно принимает одно из двух значений β_min или β_max в зависимости от

знака функции θ(x) в точке x ∈ Ω.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

647

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.1 из [22, с. 67].

Лемма 3.1. При выполнении условия (jjj^′) неравенство (43) эквивалентно неравенству

(β

ϕ³θ ≥ 0 п.в. в Ω для всех β ∈ K₃ .

Замечание 3.1. Лемма 3.1 может быть доказана методом от противного. Предположим,

что существует функция β₁ ∈ K₃, с которой на множестве D ⊂ Ω, meas D > 0, выполняется

неравенство (β₁

ϕ³θ < 0 п.в. в D. Рассмотрим функцию β₂ такую, что β₂

β, если

x ∈ D, и β₂ = β₁, если x ∈ D. Очевидно, что β₂ ∈ K₃ и для неё справедливо неравенство

((β₂

ϕ³,θ) = ((β₁

ϕ³,θ)_D < 0,

противоречащее (43).

Из лемм 3.1 и 1.3 вытекает

Следствие 3.1. Неравенство (43) эквивалентно неравенству

(β

β)θ ≥ 0

п.в. в Ω для всех β ∈ K₃.

(44)

Из (44) следует, что если θ < 0 п.в. в D₁ ⊆ Ω, то β

β п.в. в D₁ для всех β ∈ K₃. Тогда

β = β_max п.в. в D₁. В свою очередь,

β = β_min п.в. в D₂ ⊆ Ω, если θ > 0 п.в. в D₂.

Обратимся к функционалам I_i(ϕ), i = 1, 2, введённым равенствами (30). Очевидно, что

если I_i(ϕ) > 0, то

ϕ = ϕ^d в Q₁ ⊆ Q, measQ₁ > 0. Покажем, что при этом θ = 0 по крайней

мере п.в. в Q₁.

Пусть I(ϕ) = I₁(ϕ). Выбирая в соотношении (42) функцию τ из H¹⁰(Ω) и рассуждая так

же, как в [14], приходим к равенству

-(divλ∇θ) +

ϕ²θ - u · ∇θ = -

ϕ - ϕ^d)χ_Q п.в. в Ω,

(45)

где χ_Q - характеристическая функция подобласти Q ⊂ Ω. Из (45) вытекает, что θ = 0 п.в.

в Q₁. Используя (42), несложно показать, что аналогичный результат верен для функцио-

нала I₂.

Справедлива

Теорема 3.2. Пусть выполнены предположения (i), (ii), (iv), (vi), (ix) и условие (jjj^′).

Тогда существует по крайней мере одно решение (ϕ

β) ∈ H¹(Ω) × K₃ задачи (41), которому

соответствует единственный множитель Лагранжа y^∗ = (θ,ζ) ∈ Y^∗, удовлетворяющий

соотношениям (42), (43). Пусть I(ϕ) = Ii

ϕ) > 0, i = 1,2. Тогда

β = β_min, если θ > 0, и

β = β_max, если θ < 0.

Следствие 3.2. Если I

ϕ) = I_i

ϕ) > 0, i = 1,2, то оптимальное управление

β задачи

(41) не может быть внутренней точкой множества K₃.

Замечание 3.2. Если существует подмножество D₀ ⊂ Ω, meas D₀ > 0, на котором θ = 0,

то в этом подмножестве управление

β принимает значение β_max или β_min, а свойство bang-

bang для задачи (41) является не строгим. Если θ = 0 п.в. в Ω, то свойство bang-bang для

задачи (41) называют строгим, так как не нужно уточнять поведение

β при θ = 0 (см. [8]).

Например, если I(ϕ) = (1/2)∥ϕ - ϕ^d∥^2Ω и вместо I(ϕ) > 0 выполняется более жёсткое условие

ϕ = ϕ^d п.в. в Ω, то из равенства (45) вытекает, что θ = 0 п.в. в Ω.

Заключение. Отметим, что интерес к свойству bang-bang вызван исследованием задач

управления, в которых из практических соображений не используется регуляризация. В част-

ности, такая постановка задач управления используется при исследовании прикладных задач

тепловой и электромагнитной маскировки (см., например, работу [23] и приведённые в ней

ссылки).

Исследования Бризицкого Р.В. и Сарицкой Ж.Ю. выполнены в рамках государственного

задания Института прикладной математики ДВО РАН (тема 075-01095-20-00), исследования

Быстровой В.С. - при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (проект 075-15-2019-1878).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

5^∗

648

БРИЗИЦКИЙ и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ito K., Kunish K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations // Inverse Probl. 1997.

V. 14. P. 995-1013.

2. Nguyen P.A., Raymond J.-P. Control problems for convection-diffusion equations with control localized

on manifolds // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Var. 2001. V. 6. P. 467-488.

3. Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Оптимальное граничное управление системой, описывающей теп-

ловую конвекцию // Тр. Ин-та математики и механики УРО РАН. 2006. Т. 16. № 1. С. 76-101.

4. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели мас-

сопереноса // Прикл. механика и техн. физика. 2008. № 4. С. 24-35.

5. Nguyen P.A., Raymond J.-P. Pointwise control of the Boussinesq system // Systems Contr. Lett. 2011.

V. 60. P. 249-255.

6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Двухпараметрические экстремальные задачи граничного управления

для стационарных уравнений тепловой конвекции // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2011. Т. 51. № 9. С. 1645-1664.

7. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теп-

лообменом // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590-1597.

8. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Optimal boundary control of a steady-

state heat transfer model accounting for radiative effects // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 439. P. 678-689.

9. Алексеев Г.В., Левин В.А. Оптимизационный метод в задачах тепловой маскировки материальных

тел // Докл. РАН. 2016. Т. 471. № 1. С. 32-36.

10. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Об устойчивости решений задач управления для уравнения

конвекции-диффузии-реакции с сильной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53.

№ 4. С. 493-504.

11. Brizitskii R.V., Saritskaya Zh.Yu. Optimization analysis of the inverse coefficient problem for the

nonlinear convection-diffusion-reaction equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2018. V. 26. № 6. P. 821-

833.

12. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Обратные коэффициентные задачи для нелинейного уравнения

конвекции-диффузии-реакции // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. Вып. 1. С. 17-33.

13. Belyakov N.S., Babushok V.I., Minaev S.S. Influence of water mist on propagation and suppression of

laminar premixed // Combustion Theory and Modeling. 2018. V. 22. № 2. P. 394-409.

14. Алексеев Г.В., Вахитов И.С., Соболева О.В. Оценки устойчивости в задачах идентификации для

уравнения конвекции-диффузии-реакции // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2012.

Т. 52. № 12. С. 2190-2205.

15. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., 1972.

16. Ладыженская О.Н., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.

М., 1964.

17. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными

второго порядка. М., 1989.

18. Berninger H. Non-overlapping domain decomposition for the Richards equation via superposition

operators // Domain Decomposition Methods in Sci. and Engineering XVIII. Jerusalem, 2009. P. 169-176.

19. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Оценки устойчивости решений задач управления для уравнений

Максвелла при смешанных граничных условиях // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 8. С. 993-

1004.

20. Алексеев Г.В. Оценки устойчивости в задаче маскировки материальных тел для уравнений Макс-

велла // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2014. Т. 54. № 12. С. 1863-1878.

21. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Но-

восибирск, 1999.

22. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произ-

водными. М., 1972.

23. Alekseev G.V., Tereshko D.A. Particle swarm optimization-based algorithms for solving inverse problems

of designing thermal cloaking and shielding devices // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2019. V. 135.

P. 1269-1277.

Институт прикладной математики ДВО РАН,

Поступила в редакцию 09.04.2020 г.

г. Владивосток,

После доработки 08.02.2021 г.

Дальневосточный федеральный университет,

Принята к публикации 15.04.2021 г.

г. Владивосток

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021