ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.649-654

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:532.5

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕРЕ

НЕСТАЦИОНАРНОГО ТРЁХОСНОГО

РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ ВЯЗКОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Рассматривается нестационарное трёхосное растяжение-сжатие движущегося и изменяю-

щего в процессе движения линейные размеры (при постоянном объёме) параллелепипеда,

заполненного ньютоновской вязкой жидкостью. Приводится постановка линеаризованной

задачи в терминах трёхмерных возмущений, наложенных на основной процесс. Для иссле-

дования этой задачи применяется метод интегральных соотношений, основанный на ис-

пользовании вариационных неравенств для оценок квадратичных функционалов. Данные

оценки приводят к достаточным интегральным признакам устойчивости по энергетиче-

ской мере при малых возмущениях - к признакам устойчивости по Ляпунову, асимпто-

тической устойчивости и экспоненциальной устойчивости. Выводится система линейных

неравенств, включающих два характерных числа Рейнольдса, при выполнении которой

начальная трёхмерная картина возмущений заведомо экспоненциально устойчива.

DOI: 10.31857/S0374064121050071

1. Кинематика трёхосного растяжения-сжатия пространства. Рассмотрим течение

несжимаемой однородной ньютоновской жидкости с плотностью ρ и динамической вязкостью

μ во всём трёхмерном пространстве R³ с декартовой системой координат Ox₁x₂x₃ на полу-

бесконечном интервале времени t > 0. Положим, что при эйлеровом описании движения

компоненты вектора (v₁, v₂, v₃) скорости являются следующими функциями x = (x₁, x₂, x₃)

и t:

v₁ = -k(t)x₁, v₂ = -m(t)x₂, v₃ = (k + m)(t)x₃,

(1.1)

где k(t) и m(t) - заданные при t > 0 непрерывно-дифференцируемые функции. Как видим,

поле скорости (1.1) обеспечивает несжимаемость и соответствует нестационарному трёхосному

растяжению-сжатию сплошной среды в R³.

Из уравнений (1.1) при начальных условиях x_j|t=0 = ξ_j, j = 1, 2, 3, следует лагранжев

закон движения:

( ∫ t

)

( ∫ t

)

(∫t

)

x₁ = ξ₁ exp

- k(τ)dτ

x₂ = ξ₂ exp

- m(τ)dτ

x₃ = ξ₃ exp (k + m)(τ)dτ

Плоскости, состоящие из лагранжевых частиц и параллельные в начальный момент ко-

ординатным плоскостям, движутся параллельно самим себе. Следовательно, материальные

частицы, принадлежащие при t = 0 параллелепипеду

Ω₀ = {(ξ₁,ξ₂,ξ₃) : a₁₀ < ξ₁ < a₂₀, b₁₀ < ξ₂ < b₂₀, c₁₀ < ξ₃ < c₂₀},

(1.2)

где ai0, bi0, ci0 - вещественные постоянные, i = 1, 2, остаются при t > 0 принадлежащими

параллелепипеду

Ω = {(x₁,x₂,x₃) : a₁(t) < x₁ < a₂(t), b₁(t) < x₂ < b₂(t), c₁(t) < x₃ < c₂(t)},

(1.3)

при этом

( ∫ t

)

( ∫ t

)

(∫t

)

a_i(t) = ai0 exp

- k(τ)dτ

b_i(t) = bi0 exp

- m(τ)dτ

c_i(t) = ci0 exp

(k+m)(τ) dτ

649

650

ГЕОРГИЕВСКИЙ

где i = 1, 2. В силу несжимаемости жидкости объём параллелепипеда Ω не зависит от вре-

мени:

(a₂ - a₁)(b₂ - b₁)(c₂ - c₁) ≡ (a₂₀ - a₁₀)(b₂₀ - b₁₀₎(c₂₀ - c₁₀).

Найдём напряжённое состояние, соответствующее в вязкой среде кинематике (1.1). Нену-

левые компоненты тензора напряжений Коши σ_ij (x, t) равны

σ₁₁ = -p - 2μk, σ₂₂ = -p - 2μm, σ₃₃ = -p + 2(k + m),

(1.4)

где p(x, t) - давление в несжимаемой среде, удовлетворяющее трём уравнениям Навье-Стокса:

p,1 = ρ(k - k²)x₁, p,2 = ρ(m˙ - m²)x₂, p,3 = -ρ(^k + m + (k + m)²)x₃,

(1.5)

здесь запятые в индексе означают частное дифференцирование по соответствующей коорди-

нате или по времени. Интегралом уравнений (1.5) служит функция

[(k - k²)x²¹ + (m˙ - m²)x²² - (^k + m˙ + (k + m)²)x²³] + p₀(t),

(1.6)

содержащая в качестве слагаемого произвольное давление p₀(t), которое по смыслу представ-

ляет собой давление в начале координат.

Сузим далее область, занимаемую вязкой средой, со всего трёхмерного пространства до па-

раллелепипеда Ω (см. (1.3)), тем самым переходя к анализу процесса трёхосного растяжения-

сжатия параллелепипеда. В такого рода процессах, важных в технологии обработки материа-

лов [1, 2], функции k(t) и m(t) обычно периодичны с соизмеримыми между собой периодами.

В дальнейшем для общности изложения условия периодичности налагать не будем.

2. Линеаризованная задача в возмущениях и её анализ методом интегральных

соотношений. Положим, что рассмотренный выше процесс, характеризуемый скоростями

(1.1) и напряжениями (1.4), (1.6), является основным, или невозмущённым. Наложим на него

трёхмерную картину возмущений δv_i(x, t), δσ_ij (x, t), i, j = 1, 2, 3. Функции времени a₁, a₂,

b₁, b₂, c₁, c₂, k и m, а следовательно, и границы параллелепипеда Ω (см. (1.3)) не претер-

певают изменений в возмущённом движении по сравнению с основным процессом. Начальные

значения δv_i(x, 0) считаются известными во всей области Ω₀ (см. (1.2)).

Запишем замкнутую линеаризованную систему четырёх уравнений относительно четырёх

неизвестных функций δv_i(x, t) и δp(x, t). Для упрощения будем опускать знаки вариаций δ :

-p,1 + μΔv₁ = ρ(v1,t - kv₁ - kx₁v1,1 - mx₂v1,2 + (k + m)x₃v1,3),

-p,2 + μΔv₂ = ρ(v2,t - mv₂ - kx₁v2,1 - mx₂v2,2 + (k + m)x₃v2,3),

-p,3 + μΔv₃ = ρ(v3,t + (k + m)v₃ - kx₁v3,1 - mx₂v3,2 + (k + m)x₃v3,3),

v1,1 + v2,2 + v3,3 = 0,

(2.1)

где Δ - трёхмерный оператор Лапласа.

Однородные кинематические граничные условия заданы на шести движущихся плоских

гранях параллелепипеда Ω:

x ∈ ∂Ω, t > 0 : v₁ = v₂ = v₃ = 0,

(2.2)

и означают, что в возмущённом движении распределение скоростей на этих гранях такое же,

как и в основном, т.е. описывается эйлеровым законом (1.1).

Для аналитического исследования задачи (2.1), (2.2) воспользуемся методом интегральных

соотношений [3], оперирующим с квадратичными функционалами, построенными на вектор-

ном поле v(x, t) = (v₁(x, t), v₂(x, t), v₃(x, t)). Введём обозначения для некоторых таких зави-

сящих от t функционалов:

∫

J²¹(t) = (v²¹ + v²² + v²³)(x,t)dΩ ≡

|v|²(x, t) dΩ,

(2.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕРЕ

651

∫

J²²(t) = (v_j,iv_j,i)(x,t)dΩ ≡

(|v,1|² + |v,2|² + |v,3|²)(x, t) dΩ.

По повторяющимся два раза индексам, обозначенным малыми латинскими буквами, произво-

дится суммирование от 1 до 3.

Умножим первое уравнение в системе (2.1) на v₁, второе на v₂, третье на v₃, затем

сложим полученные равенства и проинтегрируем по Ω в предположении, что все интегралы

существуют. Примем во внимание равенство

∫

p_,iv_i dΩ = pv_in_i dΣ - pv_i,i dΩ,

(2.4)

∂Ω

справедливое в силу четвёртого уравнения системы (2.1) и однородных граничных условий

(2.2) (n_i - компоненты единичной внешней нормали к поверхности ∂Ω), а также равенство

∫

1 dJ²¹

v_i,tv_i dΩ =

(|v|²)_,t (x, t) dΩ =

(2.5)

2 dt

которое имеет место в силу формулы дифференцирования по времени интеграла с зависящими

от t пределами:

∫

c₂

∫

b₂

∫

a₂

∂f

f (x, t) dΩ =

(x, t) dx₁ dx₂ dx₃ +

∂t

c1 b1

a₁

∫b2

∫

a₂

∫

b₂

∫

a₂

+ ċ₂

f (x₁, x₂, c₂(t), t) dx₁ dx₂ - ċ₁

f (x₁, x₂, c₁(t), t) dx₁ dx₂ +

b1 a1

b₁

a₁

∫c2

∫

a₂

∫

c₂

∫

a₂

+b₂

f (x₁, b₂(t), x₃, t) dx₁ dx₃ -b1

f (x₁, b₁(t), x₃, t) dx₁ dx₃ +

c1 a1

c₁

a₁

∫c2

∫

b₂

∫

c₂

∫

b₂

+ ˙a₂

f (a₂(t), x₂, x₃, t) dx₂ dx₃ - a₁

f (a₁(t), x₂, x₃, t) dx₂ dx₃.

(2.6)

c1 b1

c₁

b₁

В качестве f в (2.5) выступает функция |v|², равная нулю на всех шести гранях параллелепи-

педа Ω. Поэтому подынтегральные функции в шести двукратных интегралах в (2.6) нулевые.

Кроме того, выполняется равенство

∫

(v₁Δv₁ + v₂Δv₂ + v₃Δv₃) dΩ = -J²²,

(2.7)

опять же на основании однородных граничных условий (2.2).

С учётом равенств (2.4), (2.5) и (2.7) из системы (2.1) следует, что

1 dJ²¹

=K-νJ²²,

(2.8)

2 dt

где ν - кинематическая вязкость ньютоновской среды, а зависящий от t квадратичный функ-

ционал K имеет вид

∫

K = (kv²¹ + mv²² - (k + m)v²³ + kx₁vi,1v_i + mx₂vi,2v_i - (k + m)x₃vi,3v_i)dΩ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

652

ГЕОРГИЕВСКИЙ

Воспользуемся теперь [4, с. 29-30] неравенством Коши-Буняковского для функций из

пространства L₂(Ω):

K ≤ MJ²¹ + |k|l₁∥vi,1∥∥v_i∥ + |m|l₂∥vi,2∥∥v_i∥ + |k + m|l₃∥vi,3∥∥v_i∥,

(2.9)

где

M (t) = max{|k(t)|, |m(t)|, |(k + m)(t)|}, l_α(t) = sup |x_α|,

l(t) = max

l_α = max{|a₁(t)|,|a₂(t)|,|b₁(t)|,|b₂(t)|,|c₁(t)|,|c₂(t)|}.

(2.10)

α=1,2,3

В неравенстве (2.9) и всюду далее имеется в виду норма пространства L₂(Ω).

Так как произведение не превосходит полусуммы квадратов, верхнюю оценку (2.9) функ-

ционала K можно продолжить следующим образом:

|k|

K ≤MJ²¹ +

(l²¹∥v1,1∥² + ∥v₁∥² + l²¹∥v2,1∥² + ∥v₂∥² + l²¹∥v3,1∥² + ∥v₃∥²) +

|m|

(l²²∥v1,2∥² + ∥v₁∥² + l²²∥v2,2∥² + ∥v₂∥² + l²³∥v3,2∥² + ∥v₃∥²) +

|k + m|

(l²³∥v1,3∥² + ∥v₁∥² + l²³∥v2,3∥² + ∥v₂∥² + l²³∥v3,3∥² + ∥v₃∥²).

(2.11)

Пусть далее Λ²(t) - минимизирующий множитель в неравенстве Фридрихса

J²²(v) ≥ Λ²(t)J²¹(v)

(2.12)

для всех векторных полей v с компонентами v_i ∈ L₂(Ω), удовлетворяющими условиям (2.2).

На явном нахождении функции Λ²(t) остановимся позже.

Из неравенств (2.11), (2.12) следует, что при выполнении условия

2ν > Ml², t > 0,

(2.13)

левая часть равенства (2.8) допускает оценку

dJ²¹

≤ G(t)J²¹, G = 5M - Λ²(2ν - Ml²).

(2.14)

Неравенство (2.13), принадлежащее эвлюционному типу, приводит к окончательной искомой

оценке изменения во времени функционала J²¹(t):

(∫t

)

J²¹(t) ≤ J²¹(0)exp

G(τ) dτ

(2.15)

Из определения (2.3) видим, что с точностью до множителя ρ/2 этот квадратичный функ-

ционал имеет смысл кинетической энергии объёма Ω, построенной по полю возмущений v(x, t)

вектора скорости. В связи с этим неравенство (2.15) является энергетической, или интеграль-

ной по мере L₂, оценкой развития возмущений, наложенных на основной процесс растяжения-

сжатия (1.1). Таким образом, доказана следующая

Теорема 1. Ограниченность при t → ∞ экспоненты в неравенстве (2.15), в котором

функция G(t) имеет вид (2.14), в совокупности с оценкой (2.13) служит достаточным усло-

вием устойчивости по Ляпунову в смысле энергетической меры (2.3) трёхмерной картины

возмущений основного процесса, описываемого кинематикой (1.1).

Стремление к нулю при t → ∞ экспоненты в (2.15) в совокупности с оценкой (2.13)

служит достаточным условием асимптотической устойчивости в смысле энергетической

меры (2.3) этой трёхмерной картины.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МЕРЕ

653

3. Нахождение минимизирующего множителя Λ²(t). Поскольку каждая из функ-

ций v_i(x₁, x₂, x₃, t), i = 1, 2, 3, удовлетворяет граничным условиям (2.2), имеют место нера-

венства Фридрихса [5, § 4.1] (следующие ниже девять неравенств слева) и их следствия для

интегралов по всей области Ω (девять неравенств справа):

a₂

∫

π²

v2i,1 dx₁ ≥

v2i dx₁ =⇒

v2i,1 dΩ ≥

v2i dΩ,

(3.1)

(a₂ - a₁)²

a₁

∫

b₂

∫

b₂

∫

π²

v2i,2 dx₂ ≥

v2i dx₂ =⇒

v2i,2 dΩ ≥

v2i dΩ,

(3.2)

(b₂ - b₁)²

b₁

c₂

∫

π²

v2i,3 dx₃ ≥

v2i dx₃ =⇒

v2i,3 dΩ ≥

v2i dΩ.

(3.3)

(c₂ - c₁)²

c₁

Суммируя девять неравенств справа в импликациях (3.1)-(3.3), убеждаемся, что в нера-

венстве (2.12) можно положить

Λ²(t) = π²((a₂ - a₁)-2 + (b₂ - b₁)-2 + (c₂ - c₁)-2).

(3.4)

Итак, функция времени G(t) полностью определена. В неё в оценке (2.14) помимо посто-

янной кинематической вязкости ν входят функции M(t), l(t) и Λ²(t), определяемые в (2.10)

и (3.4) лишь основным движением.

4. Экспоненциальные оценки устойчивости по энергетической мере. Оценку (2.15),

хотя в неё и входит экспонента, в полной мере экспоненциальной назвать нельзя, поскольку

G(t) может быть произвольной функцией. Если же существует G₀ = const, такая что G(t) ≤

≤ G₀ при t > 0, то в силу (2.14) получаем

dJ²¹

≤G₀J²¹.

Это неравенство даёт уже экспоненциальную оценку

J²¹(t) ≤ J²¹(0)eG0t,

так что в случае G₀ < 0 и, разумеется, при выполнении требования (2.13) имеет место экспо-

ненциальная устойчивость основного процесса по энергетической мере.

Пусть существуют следующие верхние и нижние грани функций:

supM (t) = M0, supl(t) = l0, inf

Λ²(t) = Λ²⁰.

t>0

Тогда в силу (2.13) и (2.14) в качестве постоянной G₀ можно взять величину

G₀ = 5M₀ - Λ²⁰(2ν - M₀l²⁰).

Образуем два безразмерных числа R₁ = M₀l²⁰/ν и R₂ = M₀/(Λ²⁰ν), по сути являющиеся

числами Рейнольдса, построенными по двум характерным длинам l₀ и 1/Λ₀. Доказана

Теорема 2. Выполнения системы неравенств R₁ < 2, R₂ < (2 - R₁)/5 достаточно для

экспоненциальной устойчивости в смысле энергетической меры (2.3) трёхмерной картины

возмущений основного процесса, описываемого кинематикой (1.1).

Утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, относящиеся к оценкам развития возмуще-

ний, наложенных на другие характерные в приложениях существенно нестационарные течения

сплошной среды, сформулированы в недавних работах [6-9].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проекты 18-29-10085мк и 19-01-00016а).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

654

ГЕОРГИЕВСКИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Padmanabhan K.A., Vasin R.A., Enikeev F.U. Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics. Berlin;

Heidelberg; New York, 2001.

2. Чумаченко Е.Н., Смирнов О.М., Цепин М.А. Сверхпластичность: материалы, теория, технологии.

М., 2009.

3. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродина-

мической устойчивости // Итоги науки и техн. Сер. Механика жидкости и газа. 1991. Т. 25. С. 3-89.

4. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., 1985.

5. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М., 1997.

6. Георгиевский Д.В. Постановки линеаризованных краевых задач механики сплошной среды со спек-

тральным параметром в граничных условиях // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 683-690.

7. Георгиевский Д.В. Малые возмущения диффузионно-вихревых течений ньютоновской жидкости в

полуплоскости // Прикл. математика и механика. 2020. Т. 84. № 2. С. 151-157.

8. Georgievskii D.V., Putkaradze V.G. Evolution of perturbations imposed on 1D nonsteady shear in viscous

half-plane with oscillating boundary // Rus. J. Math. Phys. 2020. V. 27. № 2. P. 212-217.

9. Георгиевский Д.В. Оценки экспоненциального затухания возмущений, наложенных на продольные

гармонические колебания вязкого слоя // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 10. С. 1366-1375.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 19.02.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 19.02.2021 г.

Институт проблем механики

Принята к публикации 15.04.2021 г.

им. А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва,

Московский центр фундаментальной

и прикладной математики, г. Москва,

Научный центр мирового уровня

“Сверхзвук- МГУ”, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021