ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.655-672

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.226+517.925.7

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕРЕГУЛЯРНО

ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Рассматривается краевая задача для заданного в прямоугольнике вырождающегося по

одной из переменных эллиптического дифференциального уравнения с аналитическими

коэффициентами. С использованием метода спектрального выделения особенностей по-

строено решение этой задачи в виде ряда Пуассона - ряда по собственным функциям

предельного линейного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с

аналитическими коэффициентами. Получены оценки функций фундаментальной системы

решений и функций Грина соответствующей этому оператору последовательности гранич-

ных задач, что позволило ослабить известные ранее условия сходимости построенного для

решения ряда, в том числе в случае наличия логарифмических особенностей.

DOI: 10.31857/S0374064121050083

Введение. Рассмотрим следующую краевую задачу (задачу E согласно терминологии

М.В. Келдыша [1]) для нерегулярно вырождающегося эллиптического уравнения в прямо-

угольнике D = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < b} ≡ (0,1) × (0,b):

u^′′xx + y²u^′′yy + c(y)u^′y - a(y)u = f(x,y), (x,y) ∈ D,

u(0, y) = u(1, y) = u(x, b) = 0,

|u(x, 0)| < +∞.

(1)

Коэффициенты a(z), c(z) дифференциального оператора при z ∈ C считаем аналитиче-

скими функциями в круге U = {z ∈ C : |z| < R}, R > b (y = Re z). Кроме того, функции

a(y) и c(y) неотрицательны при y ∈ [0, b], c(0) = 0, правая часть уравнения f(x, y) при

каждом фиксированном x аналитична по y при y ∈ [0, b] и непрерывна по совокупности

переменных в D.

Однородная задача (1) (f ≡ 0) для области с гладкой границей была поставлена М.В. Кел-

дышем в [1; 2, с. 299-301], им доказаны существование и единственность её классического

решения. Явного вида решения приведено не было. Рассмотрены другие задачи с коэффици-

ентом y^m при производной u_yy, указаны условия корректной разрешимости краевых задач

в терминах показателя m и знаков коэффициентов уравнения задачи (1). Эти задачи иссле-

довались и другими авторами. Отметим работы А.И. Янушаускаса [3, гл. 4], М.М. Смирнова

[4, с. 88-94] (0 < m < 2), Е.И. Моисеева [5, с. 73-88] (ym - при производной uxx, m > 0),

В.М. Ивакина [6] (m > 2), И.М. Петрушко [7] (m = 1) и др. Решения этих задач получены ли-

бо в виде интегралов (метод функций Грина), либо в виде биортогональных рядов; изучалось

также асимптотическое поведение решений при y → 0.

В [8; 9; 10, гл. X] предложен новый метод исследования таких задач - метод спектрально-

го выделения особенностей, позволяющий построить решение задачи в виде ряда Пуассона по

собственным функциям предельного оператора (y = 0) и указать, каким образом наличие вы-

рождения уравнения сказывается на решении и каким образом аналитичность коэффициентов

уравнения наследуется решением задачи (обобщение теоремы Коши-Ковалевской). Исследо-

ван случай задачи (1) с нулевым коэффициентом c(y). В [11] изучена задача (1) с ненулевым

коэффициентом c(y).

655

656

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

В данной работе продолжается изучение задачи (1). Применяется метод функции Грина

для вспомогательных задач для вырождающихся обыкновенных дифференциальных операто-

ров второго порядка. Это позволило снять некоторые ограничения на коэффициенты уравне-

ния (снимается условие на “малые знаменатели”).

От задачи (1) переходим к расширенной (регуляризованной) задаче, решение которой ищем

в виде ряда Пуассона

∑

v(x, y, τ) =

[τ_kϕ_k(y) + η_k(y)]ψ_k(x),

k=1

где ϕ_k, η_k - аналитические функции, представимые на [0, b] рядами по степеням y, а ψ_k(x) =

= sin(πkx) - собственные функции “предельного” оператора

L : lw(x) ≡ -w^′′(x) + a(0)w(x), x ∈ (0,1), w(0) = w(1) = 0,

отвечающие собственным значениям λ_k = -k²π² - a(0). Расширенная задача получается из

исходной задачи (1) после перехода в пространство бесконечной размерности (по аналогии с

методом регуляризации сингулярных возмущений [10, гл. 1, § 2]), τ = (τ₁, τ₂, . . .) - новые неза-

висимые переменные, τ_k отвечает своему собственному значению λ_k, k = 1, 2, . . . При τ_k =

= (y/b)rk (r_k записаны ниже) решение расширенной задачи переходит в решение задачи (1).

Новые переменные позволяют описать особенности решения, связанные с вырождением эл-

липтического оператора.

Для нахождения функций ϕ_k, η_k приходим к необходимости решить серию задач следую-

щего вида (далее обозначаем неизвестную функцию буквой y = y(x) с нижними индексами):

x²y^′′k + c(x)y^′k - (a(x) + π²k²)y_k = f_k(x), x ∈ (0,b),

|y_k(0)| < +∞, y_k(b) = 0,

(2)

∑_∞

где k ∈ N, а f_k(t) - коэффициенты спектрального разложения f(x, t) =

f_k(t)ψ_k(x).

k=1

В п. 1 исследуются задачи (2). Для задачи (2) получены оценки функции Грина и её

производной (через параметр k). Исследованы функции из фундаментальной системы реше-

ний задачи (2), для которых также получены необходимые оценки. Подобные результаты для

функции Грина в самосопряжённом случае для ОДУ без вырождения следуют, например, из

результатов [12, гл. I]. Общие результаты для задачи Коши для систем ОДУ без вырождения

изложены в [13, гл. VI].

Вернёмся к задаче (1). Установлено (в [8; 9; 10, гл. X] при c(y) = 0 и [11]), что при

выполнении условия (условие на “малые знаменатели”)

min |n(n - 1) + nc^′(0) - π²k² - a(0)| ≥ const × π²k²qπk0, q₀ > b/R, k ∈ N,

n∈N₀

и некоторых требованиях на правую часть f(x, y) (например, аналитичность в D) классиче-

ское решение задачи (1) существует и представляется рядом

∑

u(x, y) =

(η_k(y) + (y/b)rk ϕ_k(y)) sin(πkx),

(3)

k=1

функции η_k(y) и ϕ_k(y) в котором являются аналитическими в круге U. Ряд сходится равно-

мерно в D и допускает двукратное почленное дифференцирование по x и по y в области D.

Условие на малые знаменатели выполняется, если, например, значения a(0) и c^′(0) раци-

ональны. Это условие не является устойчивым относительно малых возмущений коэффици-

ентов уравнения. В данной работе приведённый результат будет доказан без использования

условия на малые знаменатели.

Результат работы можно трактовать как обобщение теоремы Коши-Ковалевской на вы-

рождающиеся эллиптические уравнения рассматриваемого вида - предложенная форма ре-

шения указывает, каким образом аналитичность коэффициентов уравнения наследуется ре-

шением задачи.

В п. 2 результаты, установленные в п. 1, применены для построения решения задачи (1).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

657

1. Оценки функции Грина краевой задачи для квадратично вырождающегося

обыкновенного дифференциального уравнения.

1.1. Свойства решений дифференциального уравнения с произвольным вырож-

дением. Установим ряд свойств решений однородных уравнений более общего вида. Данные

свойства будут полезны нам в дальнейшем. Рассмотрим уравнения

x^my^′′k + c(x)y^′k - (a(x) + π²k²)y_k = 0, k ∈ N,

(4)

где m - произвольное положительное число.

Лемма 1. Решение уравнения (4) при a(x)+ π²k² > 0 не может иметь положительного

максимума или отрицательного минимума во внутренней точке никакого отрезка T ⊂

⊂ [0, b].

Доказательство. Докажем утверждение для положительного максимума. Случай ми-

нимума доказывается аналогично. Пусть ξ ∈ T \ ∂T - точка положительного максимума.

Так как решение y_k уравнения (4) аналитично в точке ξ в силу аналитичности коэффи-

циентов дифференциального оператора, то выполняются необходимые условия максимума:

y^′k(ξ) = 0, y^′′k(ξ) ≤ 0. Тогда для решения y_k в точке ξ в силу уравнения получаем

ξ^my^′′k(ξ) = (a(ξ) + π²k²)y_k(ξ) > 0,

поскольку y_k(ξ) > 0 по предположению. Следовательно, так как ξ^m > 0, выполняется нера-

венство y^′′k(ξ) > 0 - противоречие. Лемма доказана.

Отметим, что проведённое доказательство верно и для любого вещественного показателя m.

Лемма 2. Каждое нетривиальное решение уравнения (4) при a(x) + π²k² > 0 имеет

на отрезке [0,b] не более одного нуля. Если этот нуль отличен от точки x = 0, то он

является простым.

Доказательство. Предположим, что решение y_k обращается в нуль в точках ξ₁ и ξ₂

отрезка [0, b]. Рассмотрим его на T = [ξ₁, ξ₂]. В силу леммы 1 y_k ≡ 0 на T, а в силу теоремы

единственности аналитических функций y_k ≡ 0 и на [0, b], что противоречит условию леммы.

Таким образом, произвольное решение y_k обращается в нуль не более чем в одной точке.

Пусть y_k(ξ) = 0, ξ = 0. Если кратность данного нуля больше единицы, то в силу теоремы

о единственности решения задачи Коши y_k ≡ 0. Лемма доказана.

Лемма 3. Существует номер k₀ ∈ N такой, что при каждом k ≥ k₀ всякое нетриви-

альное решение уравнения (4), обращающееся в нуль на одном из концов отрезка [0, b], будет

строго монотонным.

Доказательство. Используя уравнение (4), выразим решение y_k через его производные:

x^my^′′k + c(x)y^′k

y_k =

≡ A_k(x)y^′′k + C_k(x)y^′k.

(5)

a(x) + π²k²

Отметим, что функции a(x), c(x), A_k(x) и C_k(x) являются ограниченными функциями в

следующем смысле:

∥a∥_C1[0,b], ∥c∥_C1[0,b], ∥A_k∥C[0,b], ∥C_k∥C[0,b] ≤ M = const, k ∈ N.

Дифференцируя уравнение (4) по x, получаем

x^my^′′′k + mxm-1y^′′k + c(x)y^′′k + c^′(x)y^′k - [a(x) + π²k²]y^′k - a^′(x)y_k = 0.

(6)

Подставив выражение для y_k(x) из представления (5) в уравнение (6), получим следующее

дифференциальное соотношение для y^′k(x):

x^m(y^′k)^′′ + [mxm-1 + c(x) - a^′(x)A_k(x)](y^′k)^′ - [a(x) - c^′(x) + a^′(x)C_k(x) + π²k²](y^′k) = 0.

В силу равномерной ограниченности коэффициентов последнего уравнения выберем номер

k0 таким, чтобы имело место неравенство

a(x) - c^′(x) + a^′(x)C_k(x) + π²k² > 0, x ∈ [0, b], k ≥ k₀.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

658

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

Тогда для последнего уравнения выполнены все условия леммы 2, следовательно, y^′k может

обращаться в нуль на [0, b] не более чем в одной точке. Если это граничная точка, то y^′k(x)

не обращается в нуль на интервале (0, b), а значит, сохраняет на нём знак, из чего следует

строгая монотонность решения y_k.

Предположим, что y^′k(ξ) = 0, ξ ∈ (0, b). Не ограничивая общности, пусть y_k(ξ) > 0.

Если y^′′k(ξ) < 0, то ξ - точка локального положительного максимума функции y_k(x), что

противоречит лемме 1. Следовательно, y^′′k(ξ) > 0. По условию леммы y_k(η) = 0 при η = 0

или η = b, а тогда существует точка ζ ∈ (ξ, η) такая, что y_k(ζ) > y_k(ξ) > 0 = y_k(η), но это

также противоречит лемме 1. Поэтому y^′k(x) = 0, x ∈ (0, b). Но тогда y^′k(x) сохраняет знак,

а значит, y_k(x) строго монотонна. Лемма доказана.

1.2. Ограниченные решения однородной задачи. Далее будем считать, что m = 2.

Исследуем решения следующих задач (однородные уравнения задачи (2) с её краевым

условием в точке нуль, k ∈ N ):

x²y^′′k + c(x)y^′k - a(x)y_k - π²k²y_k = 0, x ∈ [0,b],

|y_k(0)| < +∞.

(7)

Разложим коэффициенты задачи в ряды Маклорена

∑

a(x) =

a_nxⁿ, c(x) =

c_nxⁿ.

(8)

n=0

n=1

Отметим, что при рассматриваемой постановке задачи (1) коэффициент c₁ неотрицателен.

В соответствии с [9, 11] проведём “регуляризацию” уравнения задачи (7). Оставим только

главные члены из разложений в ряды Маклорена коэффициентов уравнения:

x²y^′′k + xc₁y^′k - (a₀ + π²k²)y_k = 0.

Для полученного дифференциального уравнения его “характеристическое уравнение”

r(r - 1) + c₁r - a₀ - π²k² = r² + (c₁ - 1)r - a₀ - π²k² = 0

имеет 2 корня. Введём для них обозначения:

√

1-c₁ +

(1 - c₁)² + 4a₀ + 4π²k

1-c₁ -

(1 - c₁)² + 4a₀ + 4π²k²

r_k =

r^-k =

Далее будет показано, что числа r_k соответствуют ограниченным решениям однородного

уравнения (2), а числа r^-k - неограниченным.

Решение задачи (7) будем искать в виде y_k = (x/b)^rϕ_k, где ϕ_k - новая неизвестная функ-

ция, а постоянный показатель r пока не фиксируем. Подставляя это выражение в уравнение

и сокращая затем на (x/b)^r, получаем

x²ϕ^′′k + 2rxϕ^′k + r(r - 1)ϕ_k + c(x)ϕ^′k + rc(x)x-1ϕ_k - (a(x) + π²k²)ϕ_k = 0.

Положим r = r_k, тогда

x²ϕ^′′k + 2r_kxϕ^′k + c(x)ϕ^′k + r_kc(x)x-1ϕ_k - a(x)ϕ_k = 0,

(9)

где a(x) ≡ a(x) - a₀, c(x) ≡ c(x) - xc₁.

Теорема 1. Для любого номера k в классе A(U) существует нетривиальное решение

ϕk(x) уравнения (9). Это решение не может обращаться в нуль в точке x = b. При до-

полнительном условии ϕ_k(0) = 1 решение единственно и равномерно ограничено по k ∈ N,

x ∈ [0,b] вместе с первой и второй производными.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

659

Доказательство. Пусть решение ϕ_k(x) уравнения (9) в классе A(U) существует. Пред-

ставим его в виде ряда

∑

ϕk(x) =

ϕknxⁿ, x ∈ [0, b],

(10)

n=0

подставим этот ряд и разложения (8) в уравнение (9):

∑

n(n - 1)ϕ_knxⁿ +

2r_knϕ_knxⁿ +

c_mxm (n + 1)ϕk,n+1xn +

n=0

m=1

n=0

∑

+ r_kcm+1xm ϕknxn - amxm ϕknxn = 0.

m=1

n=0

m=1

n=0

Пользуясь абсолютной сходимостью рядов внутри области сходимости, перемножим их

почленно:

∑

n(n + 2r_k - 1)ϕ_knxⁿ +

c_m(n + 1)ϕk,n+1xn+m +

n=0

m=1 n=0

∑

r_kcm+1ϕ_knxn+m -

a_mϕ_knxn+m = 0.

m=1 n=0

Изменим порядок суммирования. Введём новый индекс суммирования l = n + m. Тогда вы-

ражение в левой части примет вид

(∑l

)

∑

n(n + 2r_k - 1)ϕ_knxⁿ +

c_m(l - m + 1)ϕk,l-m+1 x^l +

n=0

l=1

m=1

(∑l

)

(∑l

)

∑

r_kcm+1ϕ_k,l-m x^l -

a_mϕ_k,l-m x^l = 0.

l=1

m=1

l=1

m=1

Наконец, переобозначая l = n и пользуясь единственностью разложения аналитической

функции в ряд Тейлора, приходим к тождествам:

∑

n(n+2r_k -1)ϕ_kn +

c_m(n-m+1)ϕk,n-m+1 +r_k

cm+1ϕ_k,n-m -

a_mϕ_k,n-m = 0, n ∈ N.

m=1

Выберем ϕk,0 = 1. Тогда для остальных коэффициентов получим рекуррентные формулы:

ϕkn = -

n(n + 2r_k - 1 + c₁)

(∑

)

∑

c_m(n - m + 1)ϕk,n-m+1 + r_k

cm+1ϕ_k,n-m -

a_mϕ_k,n-m

n ∈ N,

2≤m≤n

1≤m≤n

где первая сумма при n = 1 не содержит слагаемых. Единственность решения уравнения (9)

доказана.

Докажем сходимость ряда для ϕ_k(x) в U. Рассмотрим следующую задачу Коши:

ϑ^′ - d(x)ϑ = 0, x ∈ [0,b], ϑ(0) = 1,

∑_∞

∫_x

где d(x) =

(|cn+2| + |an+1|)xⁿ. Её решение ϑ(x) = exp

d(ζ) dζ является аналитической

n=0

функцией в U. Найдём его в виде степенного ряда

∑

ϑ(x) =

ϑ_nxⁿ.

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

660

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

Подставим этот ряд в уравнение задачи и приравняем в получившемся равенстве коэффици-

енты при одинаковых степенях x:

∑

(n + 1)ϑn+1xⁿ -

(|cm+2| + |am+1|)xm

ϑ_nxⁿ = 0,

n=0

m=0

n=0

∑

(n + 1)ϑn+1 =

(|cm+2| + |am+1|)ϑ_n-m, n ∈ N₀.

m=0

Так как ϑ(0) = 1, то ϑ₀ = 1, и тогда для коэффициентов ряда получаем рекуррентные

соотношения

∑

ϑn+1 =

(|cm+2| + |am+1|)ϑ_n-m, n ∈ N₀.

n+1

m=0

Радиус сходимости R^′ полученного ряда определяется областью аналитичности функции

d(x) (см., например, [13, с. 102]). Функция d(x) по построению аналитична в U, следователь-

но, радиус R^′ не меньше R.

Вернёмся к ряду (10) для ϕ_k(x). Очевидно, что 1 = |ϕk0| ≤ ϑ₀ = 1. Пусть |ϕ_k,m| ≤ ϑ_m,

m = 0,n. Докажем эту оценку для n + 1, имеем

(n+1∑

∑

|ϕk,n+1| ≤

|c_m|(n - m + 2)|ϕk,n-m+2| + r_k

|cm+1∥ϕk,n+1-m| +

(n + 1)(n + 2r_k + c₁)

m=2

m=1

)

∑

(n+2∑

|a_m∥ϕk,n+1-m|

≤

|c_m|(n - m + 2 + r_k)ϑn-m+2 +

(n + 1)(n + 2r_k + c₁)

m=1

m=2

)

∑

(n+2∑

∑

|am-1|ϑn-m+2

≤

|c_m|ϑn-m+2 +

|am-1|ϑn-m+2

n+1

m=2

∑

(|cm+2| + |am+1|)ϑ_n-m = ϑn+1.

n+1

m=0

В силу принципа математической индукции |ϕ_k,n| ≤ ϑ_n, n ∈ N₀, k ∈ N.

Применив к ряду (10) признак Вейерштрасса, установим его равномерную сходимость в U

к решению уравнения (9). Выше было доказано, что при ϕ_k(0) = 1 справедливы оценки

|ϕ_k(x)| ≤ ϑ(x), x ∈ [0, b], k ∈ N.

Аналогично получаем оценки

|ϕ^′k(x)| ≤ ϑ^′(x),

|ϕ^′′k(x)| ≤ ϑ^′′(x), x ∈ [0, b], k ∈ N.

Поскольку функции ϑ(x), ϑ^′(x) и ϑ^′′(x) непрерывны на [0, b], то отсюда следует равномер-

ная ограниченность семейства функций ϕ_k(x), k ∈ N, вместе с их производными первого и

второго порядков.

Наконец, решение задачи (7) имеет вид

y_k(x) = (x/b)rk ϕ_k(x), y_k(0) = 0,

следовательно, в силу леммы 2 имеем y_k(b) = ϕ_k(b) = 0, как утверждается в теореме. Теорема

доказана.

В дальнейшем условимся понимать под ϕ_k(x) то решение уравнения (9), для которого

ϕk(0) = 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

661

Теорема 2. Существуют постоянные C₁ и C₂, не зависящие от k, такие, что

0 < C₁ ≤ ϕ_k(x) ≤ C₂, y ∈ [0,b], k ∈ N.

(11)

Доказательство. В силу теоремы 1 и признака равностепенной непрерывности каждое

из множеств {ϕ_k} и {ϕ^′k} равностепенно непрерывно и равномерно ограничено. Поэтому, как

следует из теоремы Арцела, множество {ϕ_k} предкомпактно в пространстве C¹[0, b]. Пусть

◦

ϕ - какая-либо предельная точка этого множества в C¹[0,b]. Поделим уравнение (9) на r_k и

затем перейдём в нём к пределу по той содержащейся в множестве {ϕ_k} последовательности,

◦

которая равномерно на [0, b] сходится к функции

ϕ,апоследовательностьеёпроизводных-

◦

к функции

ϕ^′. Пользуясь ограниченностью коэффициентов уравнения, получаем предельную

задачу Коши

◦

c(x)

◦

ϕ^′ +

ϕ=0,x∈[0,b],

ϕ(0)=1.

2x²

Решение этой задачи единственно. Следовательно, множество {ϕ_k} имеет единственную

предельную точку в C¹[0, b], и эта точка является решением данной задачи Коши. Так как

( ∫x

)

◦

c(ξ)

ϕ(x)=exp

dξ

2ξ²

◦

[0,b]◦

то найдутся постоянные A₁ и A₂ такие, что 0 < A₁ ≤ϕ(x)≤A2. Так как ϕkC

-→ϕ, то

0 < A₁/2 ≤ ϕ_k(x) ≤ 2A₂, x ∈ [0,b], k ≥ k₀.

Поскольку функция y_k(x) = (x/b)rk ϕ_k(x) является решением однородного уравнения (7),

y_k(0) = 0, то из этого заключаем, что ϕ_k(x) > 0 при x ∈ [0,b], k ∈ N (лемма 2). Тогда для

всех k ∈ N, x ∈ [0, b] справедливы оценки

0 < C₁ = min

(ϕ₁(x), . . . , ϕk0-1(x), A1/2) ≤ ϕk(x) ≤ C2 = max

(ϕ₁(x), . . . , ϕk0-1(x), 2A2).

x∈[0,b]

Теорема доказана.

Обозначим построенные ограниченные решения задач (7) через Y0k(x), т.е.

)r_k

⁽x

Y0k(x) =

ϕk(x).

Заметим, что при k ≥ k₀ выполняется неравенство

)

dY0k

⁽x)rk

r_k

⁽x)rk-¹

⁽x)rk(r_k

(x) =

ϕ′k(x) +

- ∥ϕ^′

x ∈ [0,b].

ϕk(x) ≥ const

∥C[0,b]

b b

Теоремы 1 и 2 позволяют сделать заключение об оценках решений задач (7) при k ≥ k₀,

именно:



)r_k

⁽x

r_k

⁽x)rk

dY0k



r_k

⁽x)rk



≤Y⁰(x) ≤C

≤

(x)



≤

¹ x b

² x b



d²Y0k



r2k

⁽x)rk



(x)

x ∈ [0,b],

(12)



≤

dx²

²x²

где

C₁

C₂ - положительные постоянные.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

662

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

1.3. Неограниченные решения однородной задачи. Для анализа функции Грина

задачи (2) установим аналогичные полученным в п. 1.2 соотношения для решений задач

x²y^′′k + c(x)y^′k - a(x)y_k - π²k²y_k = 0, x ∈ (0,b],

y_k(b) = 0,

где k ∈ N.

Проведя регуляризацию при r = r^-k, будем искать неограниченное решение в виде

= (x/b)rk ψ_k(x),

где ψ_k - новая неизвестная функция. В силу известного следствия из формулы Остроград-

ского-Лиувилля это решение можно записать в виде следующего интеграла:

∫x

( ∫ξ

)

c(ζ)

Y bk (x) = -Y 0k (x)

exp

dζ dξ.

(Y0k(ξ))2

ζ²

Несложно видеть, что условие Y^bk(b) = 0 выполнено. Подставляя в это представление

решения выражения для функций Y0k(x) и Y^bk(x), будем иметь

(

∫

( ∫ξ

∫

)

)r_k-r^-k

⁽ξ)-2rk

c₁

c(ζ)

ψ_k(x) = -

ϕk(x)

exp

dζ -

dζ dξ,

(ϕ_k(ξ))2

ζ²

или

)

∫

r_k-r^-k

⁽x

⁽ξ)-2rk-c1

ψ_k(x) = -

ϕk(x)

θ_k(ξ)dξ,

(13)

где

( ∫ξ

)

c(ζ)

θ_k(ξ) = exp

dζ (ϕ_k(ξ))-2,

0 < Θ₁ ≤ θ_k(ξ) ≤ Θ₂, ξ ∈ [0,b], k ∈ N,

(14)

ζ²

где Θ₁, Θ₂ - постоянные.

Далее равенство (13) понимаем как определение функций ψ_k(x).

Теорема 3. Существуют положительные постоянные Ψ₁ и Ψ₂, не зависящие от k,

такие, что равномерно по x ∈ (0, b], k ∈ N выполняются оценки

Ψ₂

kΨ₂

|ψ_k(x)| ≤

|ψ^′k(x)| ≤

|ψ^′′k(x)| ≤

x²

и равномерно по x ∈ (0, 3b/4], k ≥ k₀ - оценка

Ψ₁

≤ |ψ_k(x)|.

Доказательство. Пользуясь определением (13) функций ψ_k(x) и оценками (12) и (14)

функций ϕ_k(x) и θ_k(x), а также асимптотикой r_k ∼ πk и соотношением r_k + r^-k = 1 - c₁,

получаем при x ∈ [0, b] неравенства

⁽x)rk-rk ∫ b(ξ)-2rk-c1

⁽x)rk-rk[1

⁽x)1-2rk-c1]

|ψ_k(x)| ≤ C₂Θ₂

dξ ≤

k b

(

)

здесь и в дальнейшем C - некоторая положительная постоянная, не обязательно одна и та же

в разных оценках.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

663

Аналогично при x ∈ [0, b] имеем

)r_k-r^-k

⁽x)rk-rk ∫ b(ξ)-2rk-c1

⁽x

|ψ_k(x)| ≥ C₁Θ₁

dξ ≥

b2rk+c1(x1-2rk-c1 - b1-2rk-c1) =

k b

(

)

(

)

xrk-rk

C brk-rk - x^rk-rk

b-b

brk-rk-2rk-c1-1+2rk+c1

brk-rk

Обозначим brk-rk -x^rk-rk = h(x). При x ≤ x₀ = b exp(- ln 2/(r_k -r^-k)) справедлива оценка

h(x) ≥ brk-rk /2. Используя неравенство exp(ln 2/(r_k - r^-k)) ≤ 4/3, верное при достаточно

больших k, получаем, что x₀ ≥ 3b/4, т.е. указанная оценка функции h(x) имеет место на

отрезке [0, 3b/4]. Окончательно заключаем, что

C brk-rk

Ψ₁

|ψ_k(x)| ≥

x ∈ [0,3b/4], k ≥ k₀.

k₂b^rk-rk

Получим оценки на производные:

∫

)r_k-r^-k

r_k - r_k

⁽x

⁽ξ)-2rk-c1

ψ^′k(x) =

ϕk(x)

θ_k(ξ)dξ +

(

∫

)r_k-r^-k

⁽ξ)-2rk-c1

⁽x

⁽x)-2rk-c1

ϕ′k(x)

θ_k(ξ)dξ +

ϕk(x)

θ_k(x),

r_k - r_k

C(b + 1/b)

⁽x)-1

Ψ₂

|ψ^′k(x)| ≤

≤

x ∈ (0,b], k ∈ N.

Аналогично доказывается оценка для |ψ^′′k(x)|, x ∈ (0, b], k ∈ N. Теорема доказана.

Возвращаясь к функции Y^bk(x), получаем в силу теоремы 3 при k ∈ N следующие оценки:

)r^-k

C₄

⁽x

C₃

⁽x

Y bk (x) ≤

x ∈ [0,b],

≤ Y bk (x), x ∈ (0,3b/4],

k b



)r^-k

dYbk



C₄

⁽x



d²Y^bk



kC₄

⁽x



(x)

x ∈ (0,b],

(15)



≤



≤

x b

dx²

x²

где C₃, C₄ - некоторые положительные постоянные.

1.4. Построение функции Грина. Построим функции Грина G_k(x,ξ) задач (2). Пусть

⎧

⎪Y0k(x)Ybk(ξ)

⎨

если x < ξ,

w_k(ξ)ξ²

Gk(x, ξ) =_⎪

⎪Y0k(ξ)Ybk(x)

⎩

если ξ < x,

w_k(ξ)ξ²

где x, ξ ∈ (0, b), k ∈ N, здесь w_k(x) - определитель Вронского фундаментальной системы

решений (ФСР)

⎞

^⎛ Y0k(x) Y^bk(x)

⎠_.

w_k(x) = det⎝dY 0

dY^b

(x)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

6^∗

664

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

Лемма 4. Существует постоянная W > 0 такая, что

w_k(x) ≤ -Wx-c1 < 0

равномерно по x ∈ (0, b), k ≥ k₀, c₁ = c^′(0).

Доказательство. Воспользовавшись формулой Остроградского-Лиувилля, получим ра-

венство

∫

)

c(ξ)

⁽b⁾

w_k(x) = w_k

exp

dξ

=w_k

x-c1 P(x), x ∈ (0,b),

ξ²

b/2

где P (x) ≥ const = P > 0, k ∈ N.

Оценим величину w_k(b/2) сверху (по модулю - снизу). В силу леммы 3 при достаточно

больших k элементы ФСР будут монотонными функциями. Несложно видеть, что выполня-

ются неравенства

Y0k(x) > 0, Y0k′(x) > 0, Y^bk(x) > 0, Y^bk′(x) < 0.

Тогда

⁽b⁾

′

w_k

=Y⁰

-Y^b

Y0′

≤ -Y ^b

Y0′

Применив нужные из оценок (11) и (15), будем иметь

)r^-k

⁽b⁾

C₃

⁽1

2r_k(1)r

πC˜₁C₃

C₁C₃

w_k

≤-

·2-(rk+rk) =-2c1-¹

≡ -V.

Таким образом,

w_k(x) ≤ -Vx-c1 P = -Wx-c1, x ∈ (0,b), k ≥ k₀.

Лемма доказана.

Полученные в пп. 1.2, 1.3 и лемме 4 результаты позволяют легко найти равномерные оценки

функции Грина задачи (2) и её производных. Мы же докажем оценку интеграла по ξ от модуля

|G_k(x, ξ)| функции Грина, что, например, при условии равномерной ограниченности правых

частей задач (2) позволит перейти к асимптотике решений y_k(x) при k → +∞.

Введём обозначение

∫

∥f(x, ξ)∥_Lξ

|f(x, ξ)| dξ.

[0,b]

Теорема 4. Существует постоянная M > 0, при которой

∥G_k(x, ξ)∥_Lξ

≤

[0,b]

k²

равномерно по x ∈ [0, b], k ∈ N. Для любого компакта K ⊂ (0, b] найдётся постоянная

M_K > 0 такая, что



∂Gk



M_K



x,ξ)

≤



 ∂x⁽

Lξ1[0,b]

равномерно по x ∈ K, k ∈ N.

Доказательство. В силу определения (11) имеем

∫



∫



Y0k(ξ)Y^bk(x)

Y bk (ξ)Y 0k (x)

∥G_k(x, ξ)∥_Lξ

(x) =

|G_k(x, ξ)| dξ =



ξ+



ξ.

[0,b]



^d



^d

w_k(ξ)ξ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

665

Воспользовавшись для оценок функций Y0k и Y^bk первыми из оценок (11) и (15) и оценкой

снизу для определителя Вронского из леммы 4, получим

[

∫

]

C₂C₄

∥G_k(x, ξ)∥_Lξ

(x) ≤

b-(rk+rk)x^rk

ξrk+c1-² dξ + b-(rk+^rk

⁾xrk

ξrk+c1-² dξ

[0,b]

]

c₁-1

C₂C₄b

^[xrk+^rk+c1-1

xrk+rk+c1-¹

x^r

brk+c1-¹

r_k + c₁ - 1

r^-k + c₁ - 1

Учтём соотношения (r_k + r^-k) + (c₁ - 1) = (1 - c₁) + (c₁ - 1) = 0. Тогда r^-k + c₁ - 1 = -r_k.

Поэтому, продолжая оценку, будем иметь

[

c₁-1

r_k

C₂C₄b

∥G_k(x, ξ)∥_Lξ

(x) ≤

≤

[0,b]

kW r_k + c₁ - 1

r^-k + c₁ - 1

r^-k + c₁ - 1 b

(

)

(

)

c₁-1

C₂C₄b

C₂C₄bc1-¹

≤

r_k + c₁ - 1

r^-k + c₁ - 1

-r^-k

-r_k

Несложно видеть, что в последнем выражении множитель в скобках не превосходит 4/(πk)

при достаточно больших k, значит,

c₁-1

C₂C₄b

∥G_k(x, ξ)∥_Lξ

(x) ≤

x ∈ [0,b].

[0,b]

πW k²

Первая оценка доказана. Докажем вторую оценку теоремы 4. Зафиксируем произвольное

ε ∈ (0,b) и положим x ∈ K = [ε,b]. Повторяя уже проведённые преобразования, применяя

оценки производных ФСР и учитывая, что x ≥ ε, получаем следующие оценки:



∂Gk



C₂C₄bc1-¹ 1 k



x,ξ)

≤

MK =^MK(ε) =const,

k ∈ N.



 ∂x⁽

πW ε k²

Lξ1[0,b]

Теорема доказана.

2. Решение задачи для эллиптического уравнения.

2.1. Использование функции Грина для построения решения. Теорема сходимо-

сти. Пользуясь полученными в п. 1 результатами, докажем, что справедлива

Лемма 5. Пусть функции f_k(y) имеют вторые производные, равномерно ограниченные

по k ∈ N, y ∈ [0,b]. Тогда имеют место следующие асимптотические формулы:

∫

⁽ 1⁾

Gk(y, η)fk(η) dη = O

k ∈ N,

(16)

k²

равномерно по y ∈ [0, b],

∫

(

)

d^m

f(m)k(y)

Gk(y, η)fk(η) dη = -

k ∈ N,

(17)

dy^m

π²k²

k4-m

равномерно по y ∈ [ε, b - ε] для любого фиксированного ε ∈ (0, b/2), m = 0, 1, 2.

Доказательство. Пусть

∫^b

f_k(y)

Y_k(y) ≡ G_k(y,η)f_k(η)dη = -

+ R_k(y), y ∈ [0,b], k ∈ N,

(18)

π²k²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

666

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

где R_k(y) - некоторая функция. Получим оценки для R_k(y). Рассмотрим дифференциальную

операцию

L_k ≡ y²

+ c(y)

- (a(y) + π²k²), y ∈ [0, b].

dy²

Так как Y_k(y) - решение задачи (2), то L_kY_k(y) = f_k(y). Применяя к левой и правой частям

равенства (18) операцию L_k, получаем тождество

f^′′k(y)

f^′k(y)

f_k(y)

L_kY_k(y) = f_k(y) = -y²

- c(y)

+ a(y)

+ f_k(y) + L_kR_k(y), y ∈ (0,b), k ∈ N.

π²k²

Выразив отсюда L_kR_k(y), будем иметь

f^′′k(y)

f^′k(y)

f_k(y)

Fk(y)

L_kR_k(y) = y²

+ c(y)

- a(y)

≡

y ∈ (0,b), k ∈ N,

(19)

π²k²

где F_k(y) ≡ y²f^′′k(y)+c(y)f^′k(y)-a(y)f_k(y), а R_k(b) = f_k(b)/(π²k²). Используя функции Грина,

для R_k(y) получаем следующее выражение:

∫

]

[ f_k(b)

R_k(y) =

Y0k(y) + G_k(y,η)F_k(η)dη , y ∈ [0,b], k ∈ N.

(20)

π²k²

Y0k(b)

В силу теоремы 4 и оценок (11) функций Y 0k (y) выражение в квадратных скобках в равенстве

(20) равномерно ограничено по y ∈ [0, b], k ∈ N. Пусть M - точная верхняя грань его модуля.

Тогда

|R_k(y)| ≤

y ∈ [0,b], k ∈ N.

π²k²

Учитывая эту оценку в равенстве (18), получаем соотношение (16).

Зафиксируем произвольное ε ∈ (0, b/2) и m = 0, 1. Продифференцируем равенства (18) и

(20) по y m раз и рассмотрим их при y ∈ K = [ε, b - ε]. Пользуясь теми же оценками, что и

в первой части доказательства леммы, приходим к неравенству



[



)_m(

]

)r_k-m

_dmRk



 f_k(b)



⁽r_k

M_K



+ ∥F_k(y)∥C[0,b]

y∈K, k∈N, m=0,1.

≤

^C

 dy^m (

π²k²

^Y0k(b)

k2-m

Так как y/b < (b - ε)/b ≡ q < 1, то (y/b)rk -m ≤ (y/b)rk -¹ ≤ qconst×k. Для каждого фиксиро-

ванного ε найдётся постоянная Q_K такая, что (y/b)rk -m ≤ Q_K /k⁴ при всех y ∈ K, k ∈ N.

Тогда



[

]

_dmRk



Q_K



C × (πk)^m

≤

y ∈ K, k ∈ N, m = 0,1.

≤

 dy^m (

π²k²

k⁴

k2-m

k4-m

Учитывая эти оценки в равенстве (18), получаем соотношение (17) при m = 0, 1.

Для R^′′k(y) в силу (19) имеем

[

]

Fk(y)

R^′′k(y) = y-2

+ (a(y) + π²k²)R_k(y) - c(y)R^′k(y) , y ∈ K, k ∈ N.

π²k²

Для R^′′k(y), применяя установленные выше оценки функций R_k(y) и R^′k(y), получаем

]

^[C

|R^′′k(y)| ≤

+ (C + π²k²)

≤

y ∈ K, k ∈ N,

ε²

k²

k⁴

k³

k²

что доказывает соотношение (17) при m = 2. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

667

Теорема 5. Пусть правая часть f(x, y) задачи (1) имеет вторую непрерывную произ-

водную по y в D, а функции f(x, y) и f^′y(x, y) принадлежат классу Гёльдера по x ∈ [0, 1]

при любом y ∈ (0,b). Тогда классическое решение задачи (1) существует, единственно и

представляется рядом

∫

∑

u(x, y) =

Gk(y, η)fk(η) dη sin(πkx), (x, y) ∈ D.

(21)

k=1 0

Доказательство. Докажем непрерывность определённой рядом (21) функции u(x, y) в D.

Оценим общий член этого ряда:

 ∫



Gk(y, η)fk(η) dη sin(πkx)

∥f_k(y)∥C[0,b]∥G_k(y, η)∥_Lη

≤ 4∥f(x, y)∥C(D)

k ∈ N,



≤

[0,b]

k²

здесь мы использовали оценки теоремы 4. Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса, ряд

(21) сходится равномерно в D. Каждый его член непрерывен в D, следовательно, функция

u(x, y) также непрерывна в D. Выполнение для функции u(x, y) краевых условий задачи (1)

вытекает из вида общего члена ряда (21).

Применяя лемму 5, покажем, что ряд (21) можно дважды дифференцировать под знаком

суммы внутри D. Фиксируем любой компакт K ⊂ D, и пусть (x, y) ∈ K. Тогда

∫

∑

^∑∂²

Gk(y, η)fk(η) dη sin(πkx) = -

Gk(y, η)fk(η) dη π²k² sin(πkx) =

∂x²

k=1

k=1 0

(

∑

⁽ 1⁾⁾

⁽ 1⁾

f_k(y) + O

sin(πkx) =

f_k(y)sin(πkx) +

sin(πkx), (x,y) ∈ K.

k²

k=1

Так как x отделён от 0 и 1, то в силу принадлежности функции f(x, y) классу Гёльдера по

x первый ряд сходится при любом фиксированном y равномерно по x, (x, y) ∈ K, второй

ряд сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса.

Используя лемму 5 и неравенство 2ab ≤ a² + b², получаем следующую оценку:

∫



∑∂



∑



⁽f_k(y)

⁽ 1⁾⁾



k(y, η)fk(η) dη sin(πkx)

cos(πkx)

⁼



≤

^∂xG

πk

k³

k=1

∑

⁽ 1⁾

≤ (f_k(y))² +

+ O

(x, y) ∈ K.

π²k²

k³

k=1

Сходимость первого ряда в правой части этого неравенства следует из тождества Парсеваля.

Второй и третий ряды сходятся равномерно по (x, y) ∈ K в силу признака Вейерштрасса.

Используя полученные соотношения и то, что компакт K может быть выбран произвольным,

получаем, что ряд (21) допускает двукратное почленное дифференцирование по x внутри D.

Аналогично, при (x, y) ∈ K в силу леммы 5 имеют место следующие соотношения:

∫

(

))

∑

f(i)k(y)

Gk(y, η)fk(η) dη sin(πkx) =

sin(πkx), (x, y)∈K, i=1, 2.

∂yⁱ

π²k²

k4-i

k=1

Так как функция f^′′yy(x, y) непрерывна в D, то её коэффициенты разложения f^′′k(y) и f^′k(y)

равномерно ограничены по k ∈ N и по (x, y) ∈ K. Следовательно, указанные ряды сходятся

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

668

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

равномерно по (x, y) ∈ K и, аналогично, ряд (21) допускает двукратное почленное диффе-

ренцирование по y внутри D. Точно так же получаем



∫



(



 ∑



∑



∂²

f^′k(y)

⁽ 1⁾⁾



Gk(y, η)fk(η) dη sin(πkx)

cos(πkx)



≤



≤

∂x∂y

πk

k²

k=1

∑

⁽ 1⁾

≤ (f^′k(y))² + O

(x, y) ∈ K.

k²

k=1

Cледовательно, ряд из смешанных производных также сходится равномерно внутри D. Таким

образом, функция u(x, y) ∈ C²(D) является классическим решением задачи (1).

Докажем единственность классического решения задачи (1). Пусть u₁(x, y) и u₂(x, y) -

два её классических решения. Тогда функция v(x, y) ≡ u₁(x, y) - u₂(x, y) является решением

задачи (1) с нулевой правой частью. В силу результатов [1] функция v(x, y) является тожде-

ственным нулём. Теорема доказана.

2.2. Построение решения методом спектрального выделения особенностей. Далее

будем предполагать, что коэффициенты f_k(y) разложения правой части f(x, y) задачи (1)

являются аналитическими функциями в круге U. Построим решение этой задачи в явном

виде. Пользуясь аналитичностью функции f_k(y), разложим её в ряд Маклорена:

∑

f_k(y) =

f_knyⁿ, y ∈ U, k ∈ N.

(22)

n=0

Будем искать частное ограниченное решение η_k(y) уравнения (2) (меняем в (2) обозначе-

ния: x на y и y_k на η_k) в виде

η_k(y) = η^Ak(y) + ln y · η^Sk(y),

где η^Ak и η^Sk - аналитические функции в U. Разложим их также в ряды Маклорена:

∑

η^Ak(y) =

η^Aknyⁿ, η^Sk(y) =

η^Sknyⁿ, y ∈ [0,b], k ∈ N.

(23)

n=0

Для производных функции η_k(y) имеют место следующие формулы:

∑

η^′k(y) =

[(n + 1)ηAk,n+1 + ηSk,n+1]yⁿ + ln y

(n + 1)ηSk,n+1yⁿ, y ∈ [0, b], k ∈ N,

n=0

∑

y²η^′′k(y) =

[n(n - 1)η^Ak,n + (2n - 1)η^Sk,n]yⁿ + ln y

n(n - 1)η^Sk,nyⁿ, y ∈ [0, b], k ∈ N.

n=0

Подставив эти выражения в уравнение (2), получим тождества

∑

[n(n - 1)η^Ak,n + (2n - 1)η^Sk,n]yⁿ + ln y

n(n - 1)η^Sk,nyⁿ +

n=0

)

∑

(_∞∑

∑

+ c_mym

[(n + 1)ηAk,n+1 + ηSk,n+1]yⁿ + ln y

(n + 1)ηSk,n+1yn

m=1

n=0

)

∑

)(_∞∑

∑

a_mym + π2k2

η^Aknyⁿ + ln y

η^Sknyn

= f_knyⁿ, y ∈ [0,b], k ∈ N.

m=0

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

669

Аналогично доказательству теоремы 1, приравняв коэффициенты при yⁿ и ln y · yⁿ, придём

к системе равенств для коэффициентов рядов (23):

ν(n, k)η^Ak,n + (2n - 1 + c₁)η^Sk,n =

∑

=f_kn +

a_n-mη^Akm -

c_n-m[(m + 1)ηAk,m+1 + ηSk,m+1], n ∈ N₀, k ∈ N,

0≤m≤n-1

0≤m≤n-2

∑

ν(n, k)η^Sk,n +

c_n-m(m + 1)ηSk,m+1 -

a_n-mη^Skm = 0, n ∈ N₀, k ∈ N;

0≤m≤n-2

0≤m≤n-1

здесь и ниже принято обозначение

ν(n, k) = n(n + c₁ - 1) - π²k² - a₀

(т.е. через ν(n, k) обозначено выражение, стоящее под знаком минимума в неравенстве (3)).

I. Пусть при фиксированном k ∈ N для любого n ∈ N₀ величина ν(n,k) отлична от нуля.

Тогда положим ηSk,0 = 0, учитывая условие ограниченности решения. Как следствие, η^Skn = 0

для всех n ∈ N₀, т.е. η_k ∈ A(U). Для “аналитической” компоненты η^Ak(y) получим

∑

ν(n, k)η^Ak,n = f_kn +

a_n-mη^Akm -

(m + 1)c_n-mηAk,m+1, n ∈ N₀,

0≤m≤n-1

0≤m≤n-2

следовательно,

(

)

∑

η^Akn =

f_kn +

a_n-mη^Akm -

(m + 1)c_n-mη^A

n∈N₀.

k,m+1

ν(n, k)

0≤m≤n-1

0≤m≤n-2

Полученная формула совпадает с формулой из работы [11].

II. Пусть при некотором k ∈ N найдётся номер n₀ ∈ N такой, что ν(n₀,k) = 0 (нетрудно

видеть, что такой номер единственен). Данное условие выполняется тогда и только тогда,

когда квадратное относительно n₀ уравнение

n²⁰ + (c₁ - 1)n₀ - (π²k² + a₀) = 0

имеет положительный целый корень, или, иначе говоря, r_k ∈ N. Тогда

(

)

∑

η^Akn =

f_kn +

a_n-mη^Akm -

(m + 1)c_n-mη^A

n = 0,n₀ - 1,

k,m+1

ν(n, k)

0≤m≤n-1

0≤m≤n-2

η^Skn = 0, n = 0,n₀ - 1.

При n = n₀ получаем соотношение 0 · ηSk,n0 = 0, что позволяет выбрать любое η^S

k,n₀

Одновременно имеем

∑

0·η^Ak,n

+ (2n₀ - 1 + c₁)η^Sk,n

=fk,n0 +

an0-mη^km -

(m + 1)cn0-mηk,m+1.

0≤m≤n₀-1

0≤m≤n₀-2

Выберем η^A

= 0. Тогда

k,n₀

(

)

∑

η^Sk,n

fk,n0 +

an0-mη^km -

(m + 1)cn0-mη^k

,m+1

2n₀ - 1 + c₁

0≤m≤n₀-1

0≤m≤n₀-2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

670

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

Наконец, для оставшихся коэффициентов при всех n = n₀ + 1, n₀ + 2, . . . , получим рекур-

рентные формулы:

)

(n-1∑

∑

η^Skn =

a_n-mη^Skm -

c_n-m(m + 1)η^S

k,m+1

ν(n, k)

m=0

(

)

∑

η^Akn =

f_kn +

a_n-mη^Akm -

c_n-m[(m + 1)ηAk,m+1 + ηSk,m+1] - (2n - 1 + c₁)η^S

ν(n, k)

m=0

Докажем теперь сходимость построенных рядов (23) в U вне зависимости от того, какой

из случаев I или II имеет место.

Теорема 6. Ряды (23) имеют радиусы сходимости не меньше R при всех k ∈ N.

Доказательство. Фиксируем номер k ∈ N. Так как функции a(y), c(y) и f_k(y) являются

аналитическими в круге U, то в силу теоремы Коши-Адамара для любого R₁ ∈ (0, R) суще-

ствует число M > 0 такое, что |a_n|, |f_kn| ≤ M/Rn1, |cn| ≤ MR1/Rn1, n ∈ N0 (cм. разложения

(8) и (22)).

Поскольку ν(n, k) ∼ n² при любом фиксированном k ∈ N, то для любой постоянной

M₁ ≥ 1 (её мы выберем позже) и для любого числа M > 1 найдётся номер N такой (считаем

N > n₀), что при n ≥ N будет выполнено неравенство ν(n,k) ≥ nMM₁. Выберем также

число p > 2 такое, что

|η^Akn|, |η^Skn| ≤ pⁿ/Rn1, n = 0, N - 1

(см. разложения (17)). Методом математической индукции докажем, что последние неравен-

ства верны при всех n ∈ N₀. Пусть неравенства выполнены для всех номеров m = 0, n - 1.

Докажем их для номера n. Имеем

(



)

∑



∑



|η^Skn| ≤

a_n-mη^Skm

c_n-m(m + 1)ηSk,m+1

nMM₁)-1 ≤



⁺



 (

m=0

)

(n-1∑

∑

p^m

MR₁

pm+1

≤

(m + 1)

(nMM₁)-1 ≤

R^n-m

R^m

R^n-m

Rm+1

m=0

)

(n-1∑

∑

pⁿ - 1

2pⁿ

≤

p^m

pm+1

M-11 ≤

p^m =

≤

Rⁿ

Rn1

M₁Rⁿ

p-1

M₁Rⁿ

m=0

1 m=0

Если предположить, что M₁ ≥ 2, то получим |η^Skn| ≤ pⁿ/Rn1.

Аналогично для η^Akn :

(

]

)

∑

MR₁

^[pm+1

pm+1

pⁿ

|η^Akn| ≤

+ 2n

+ (M +1)

(nMM₁)-1 ≤

Rⁿ

R^n-m

R^m

R^n-m

Rm+11

Rn1

Rⁿ

m=0

(

)

∑

Mpm+1

pⁿ

≤

+ 2M

(MM₁)-1 ≤

Rⁿ

Rn1

Rⁿ

m=0

(

)

∑

≤

1 + p^m + 2 pm+1 + 2pⁿ + 2pⁿ

≤

M₁Rn

m=0

(

)

(

)

∑

pⁿ - 1

8pⁿ

≤

5pⁿ + 3

p^m

5pⁿ + 3

≤

(5pⁿ + 3pⁿ) =

M₁Rn

M₁Rn1

p-1

M₁Rn1

M₁Rⁿ

m=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ПУАССОНА

671

Окончательно положим M₁ = 8. Тогда, согласно методу математической индукции, нера-

венства |ηAkn|, |ηSkn| ≤ pn/Rn1 справедливы при всех n ∈ N0. Таким образом, пользуясь тео-

ремой Коши-Адамара, заключаем, что радиусы сходимости рядов (23) не меньше, чем R₂ =

= R₁/p > 0.

Покажем, что радиусы сходимости рядов (23) на самом деле не меньше, чем R. Подста-

вим функцию η_k(y) ≡ η^Ak(y) + ln y · η^Sk (y) в уравнение (2). Используя формулы производных

функции η_k(y):

η^Sk(y)

η^′k(y) = η^Ak′(y) +

+ ln y · ηSk ′(y),

η^′′k(y) = η^Ak′′(y) - η^Sk(y)y-2 + 2η^Sk′(y)y-1 + ln y · η^Sk′′(y),

получаем дифференциальные уравнения для функций η^Sk (y) и η^Ak(y):

y²η^Sk′′(y) + c(y)η^Sk′(y) - (π²k² + a(y))η^Sk(y) = 0,

(24)

y²η^Ak′′(y) + c(y)η^Ak′(y) - (π²k² + a(y))η^Ak(y) =

= f_k(y) - c(y)ηSk (y)y-1 + ηSk (y) - 2yηSk ′(y),

(25)

где y ∈ U, k ∈ N. Уравнение (24) - линейное дифференциальное уравнение относительно

η^Sk(y) с аналитическими в U коэффициентами и нулевой правой частью. Поэтому аналити-

ческое в U₂ = {y ∈ C : |y| < R₂} решение этого уравнения может быть единственным образом

аналитически продолжено в большую область U (см., например, [13, с. 102]). Из этого следует

сходимость ряда ηSk,0 + ηSk,1y + ηSk,2y² + . . . в области U.

Такие же рассуждения справедливы для функции η^Ak(y) и уравнения (25). Таким образом,

ряды (23) сходятся равномерно внутри области U. Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть правая часть f(x, y) задачи (1) имеет вторую непрерывную производ-

ную по y в D, все коэффициенты f_k(y) её разложения в ряд по системе {sin(πkx) : k ∈ N}

аналитичны в U, а функции f(x, y) и f^′y(x, y) принадлежат классу Гёльдера по x ∈ [0, 1]

при любом y ∈ (0,b). Тогда классическое решение задачи (1) существует, единственно и

представляется рядом

[

]

∑

η^Ak(b) + ln b · η^Sk(b)

⁽y)rk

u(x, y) =

η^Ak(y) + ln y · η^Sk(y) -

ϕk(y) sin(πkx), (x, y) ∈ D,

ϕk

(b)

k=1

где функции η^Ak(y), η^Sk (y) и ϕ_k(y) являются аналитическими в круге U. Если при неко-

тором номере k ∈ N показатель r_k ∈ N, то соответствующая функция η^Sk(y) является

тождественным нулём.

Доказательство. В силу преобразований, проведённых в данном пункте, выражение в

квадратных скобках является решением соответствующей задачи (2). Таким образом, данный

ряд совпадает с рядом (21) и по теореме 5 является единственным классическим решением

задачи (1). Свойство аналитичности коэффициентов последнего ряда следует из результатов

данного пункта и п. 1.2. Теорема доказана.

Отметим, что при фиксированном k ∈ N и y → 0 + 0 имеют место асимптотические

соотношения η^Ak(y) ∼ -f_k(y)/(π²k² + a(0)), η^Sk (y) ∼ const × yrk .

Работа выполнена при содействии Московского центра фундаментальной и прикладной

математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырожденных уравнений эллиптического типа на границе об-

ласти // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.

2. Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М., 1985.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

672

ЕМЕЛЬЯНОВ, ЛОМОВ

3. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск, 1979.

4. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

5. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.

6. Ивакин В.М. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических

уравнений и систем // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск,

1982. С. 12-21.

7. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стек-

лова. Т. 103. Краевые задачи для дифференциальных уравнений. 1968. С. 181-200.

8. Ломов И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных

уравнений // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 12. С. 2079-2089.

9. Ломов И.С. Метод спектрального разделения переменных для нерегулярно вырождающихся эл-

липтических дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 5. С. 593-596.

10. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

11. Емельянов Д.П., Ломов И.С. Построение точных решений нерегулярно вырождающихся эллипти-

ческих уравнений с аналитическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 1.

С. 45-58.

12. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряжённые обыкновенные

дифференциальные операторы). М., 1970.

13. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 09.02.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 09.02.2021 г.

Принята к публикации 15.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021