ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.673-686
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.223+517.575
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ
© 2021 г. В. В. Карачик
Строятся функции Грина задач Навье и Рикье-Неймана для бигармонического уравнения
в единичном шаре и приводятся интегральные представления решения этих задач.
DOI: 10.31857/S0374064121050095
Введение. Одним из эффективных методов представления решений краевых задач для
эллиптических уравнений является метод, основанный на построении функции Грина задачи.
Построению функции Грина в явном виде для различных классических краевых задач посвя-
щено достаточно много работ. Функции Грина для бигармонических задач Дирихле, Неймана,
Робина и др. в двумерном диске построены в [1] с помощью гармонических функций Грина за-
дачи Дирихле, а в [2, 3] найдено явное представление гармонической функции Робина. Явная
форма функции Грина в секторе для бигармонического и тригармонического уравнений приве-
дена в работах [4, 5]. Статьи [6, 7] посвящены построению функции Грина задачи Дирихле для
полигармонического уравнения в единичном шаре, а в работе [8] для бигармонического уравне-
ния в единичном шаре найден оператор Грина задачи Дирихле при полиномиальных данных.
В [9] дано явное представление функции Грина задачи Робина для уравнения Пуассона, а в
[10] приведён явный вид функции Грина для тригармонического уравнения в единичном шаре.
В работе [1] построены функции Грина ряда задач для бигармонического уравнения в
двумерном диске и приведены условия их разрешимости. Условия разрешимости некоторых
вариантов задач для бигармонического уравнения в шаре, исследованных в [1], были получе-
ны также в работах [11, 12], но без предоставления функций Грина. В работе [13] исследова-
на фредгольмовость и индекс обобщённой задачи Неймана, содержащей степени нормальных
производных в граничных условиях.
Хорошо известно (см., например, [14, с. 53]), что функция Грина задачи Дирихле для
уравнения Пуассона в шаре S = {x ∈ Rn : |x| < 1} при n ≥ 2 имеет вид
G2(x,ξ) = E(x,ξ) - E(x/|x|,|x|ξ),
(1)
где
⎧
⎨1
|x - ξ|2-n, n > 2,
n-2
E(x, ξ) =
⎩- ln |x - ξ|,
n = 2,
– элементарное решение уравнения Лапласа. По аналогии с этим решением в работе [15] было
определено элементарное решение
⎧
1
⎪
|x - ξ|4-n, n > 4, n = 3,
⎪
⎪2(n - 2)(n - 4)
⎨
1
E4(x,ξ) =
-
ln |x - ξ|,
n = 4,
(2)
⎪
4
⎪
⎪
x-ξ|2
⎩|
(ln |x - ξ| - 1),
n = 2,
4
бигармонического уравнения и доказано, что при n ≥ 3 функция вида
(
)
(
)
x
|x|2 - 1 |ξ|2 - 1
x
G4(x,ξ) = E4(x,ξ) - E4
, |x|ξ
-
E
, |x|ξ
|x|
2
2
|x|
673
674
КАРАЧИК
представляет собой функцию Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
S. Эта функция удовлетворяет граничным условиям G4(x,ξ)|ξ∈∂S = ∂G4(x,ξ)/∂ν|ξ∈∂S = 0
при x ∈ S и является симметричной, G4(x, ξ) = G4(ξ, x) при x = ξ ∈ S.
В настоящей работе в теореме 1 приводится интегральное представление функций класса
u ∈ C4(D)
⋂C3(D). Затем в теореме 2 определяется функция Грина задачи Навье [16] и в
следствии 1 даётся интегральное представление решения этой задачи. Далее исследуется за-
дача Рикье-Неймана [17]. В теореме 4 определяется функция Грина задачи Рикье-Неймана, а
в теореме 5 находится интегральное представление решения этой задачи. Даются два примера
решения рассмотренных однородных задач при полиномиальной правой части уравнения.
1. Интегральное представление. Приведём интегральное представление функции клас-
са u ∈ C4(D)
⋂C3(D), где D ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂D.
Теорема 1. Для функции u ∈ C4(D)
⋂C3(D) имеет место следующее интегральное
представление:
(
∫
∫
1
∂Δu
∂E4(x,ξ)
u(x) =
-
E4(x,ξ)
dsξ +
Δudsξ -
ωn
∂ν
∂ν
∂D
∂D
∫
∫
∫
)
∂u
∂ΔξE4(x,ξ)
− ΔξE4(x,ξ)
dsξ +
u(ξ) dsξ + E4(x, ξ)Δ2u(ξ) dξ ,
(3)
∂ν
∂ν
∂D
∂D
D
где ωn = |∂S| - площадь единичной сферы в Rn, ν - внешняя единичная нормаль к ∂D.
Доказательство. Рассмотрим функции u, v ∈ C2(D)
⋂C1(D). Нетрудно видеть, что для
них в области D верно тождество vΔu - uΔv = div(v∇u) - div(u∇v). Проинтегрировав это
тождество по области D и воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, придём к
равенству
∫
∫
(
)
∂u
∂v
(vΔu - uΔv) dξ =
v
-u
dsξ,
∂ν
∂ν
D
∂D
заменив в котором u на Δu и v на Δv, получим соответственно
∫
∫
(
)
∂Δu
∂v
(vΔ2u - ΔuΔv) dξ =
v
- Δu
dsξ,
∂ν
∂ν
D
∂D
∫
∫
(
)
∂u
∂Δv
(ΔvΔu - uΔ2v) dξ =
Δv
-u
dsξ.
∂ν
∂ν
D
∂D
Почленно складывая два последних равенства, будем иметь
∫
∫
(
)
∂Δu
∂v
∂u
∂Δv
(vΔ2u - uΔ2v) dξ =
v
- Δu
+ Δv
-u
dsξ.
(4)
∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
D
∂D
Очевидно, что полученная формула (4) верна для u, v ∈ C4(D)
⋂C3(D). Отметим точку
x ∈ D и выделим в области D содержащийся в ней замкнутый шар |ξ - x| ≤ δ с центром
в этой точке некоторого радиуса δ > 0. Оставшуюся часть области D обозначим через Dδ.
Очевидно, что ∂Dδ = ∂D
⋃ {ξ ∈ Rn : |ξ -x| = δ}. Применим формулу (4) для области D = Dδ
в случае, когда v(ξ) = E4(x, ξ), и при этом учтём, что Δ2ξE4(x, ξ) = 0 и ΔξE4(x, ξ) = -E(x, ξ)
при x = ξ ∈ D; в результате получим
∫
∫
(
)
∂Δu
∂E4(x,ξ)
∂u
∂E(x,ξ)
E4(x,ξ)Δ2u(ξ)dξ =
E4(x,ξ)
- Δu
- E(x,ξ)
+u
dsξ -
∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
Dδ
∂D
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
675
∫
(
)
∂Δu
∂E4(x,ξ)
∂u
∂E(x,ξ)
-
E4(x,ξ)
- Δu
- E(x,ξ)
+u
dsξ.
(5)
∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
|ξ-x|=ε
Знак минус возник из-за того, что вместо внутренней нормали к части границы облас-
ти Dδ - сфере |ξ - x| = δ - в формуле Гаусса-Остроградского взята внешняя нормаль. Вы-
числим второй интеграл в правой части равенства (5); для этого запишем его в виде суммы
четырёх интегралов от слагаемых подынтегральной функции и обозначим эти интегралы Iδ1,
Iδ2, Iδ3, Iδ4 в соответствии с порядком следования подынтегральных слагаемых.
Пусть n > 4 или n = 3. В силу формулы (2) E4(x, ξ)||x-ξ|=δ = δ4-n/(2(n - 2)(n - 4)) и,
значит,
∫
∂Δu
|Iδ1| ≤
|E4(x, ξ)|
sξ ≤ δ4-n max∥∇Δu∥ωnδn-1/(2(n - 2)|n - 4|) ≤ const δ3.
d
∂ν
ξ∈D
|ξ-x|=δ
Если n = 4, то E4(x, ξ)||x-ξ|=δ = -(1/4) ln δ, и тогда аналогично предыдущему
|Iδ1| ≤ | ln δ| max ∥∇Δu∥ω4δ3/4 ≤ const | ln δ|δ3.
ξ∈D
Если n = 2, то E4(x, ξ)||x-ξ|=δ = δ2| ln δ - 1|/4, и поэтому
|Iδ1| ≤ δ2| ln δ - 1| max ∥∇Δu∥ω2δ/4 ≤ const | ln δ - 1|δ3.
ξ∈D
Рассмотрим интеграл Iδ2 при n > 4 или n = 3. Учитывая, что
∑
∂E4(x,ξ)
1
ξi - xi ξi - xi
δ3-n
=-
=-
,
∂ν
2(n - 2)
|x - ξ| |x - ξ|n-2
2(n - 2)
|x-ξ|=δ
i=1
будем иметь
∫
∂E4(x,ξ)
|Iδ2| ≤
Δu| dsξ ≤ δ3-n max |Δu|ωnδn-1/(2(n - 2)) ≤ const δ2.
|
∂ν
ξ∈D
|ξ-x|=δ
Если n = 4, то
∑
∂E4(x,ξ)
1
ξi - xi ξi - xi
1
=-
=-
,
∂ν
4
|x - ξ| |x - ξ|2
4δ
|x-ξ|=δ
i=1
что совпадает с предыдущим случаем при n = 4, и, значит, получаем аналогичную оценку
|Iδ2| ≤ const δ2.
Если n = 2, то
∑
∂E4(x,ξ)
1
ξi - xi
1
=
2
(ξi - xi)(ln |x - ξ| - 1) +
|x - ξ| =
∂ν
4
|x - ξ|
4
|x-ξ|=δ
i=1
|x - ξ|
δ
=
(2 ln |x - ξ| - 1) =
(2 ln δ - 1),
4
4
и тогда
|Iδ2| ≤ δ|2 ln δ - 1| max |Δu|ω2δ/4 ≤ const δ2|2 ln δ - 1|.
ξ∈D
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
676
КАРАЧИК
Рассмотрим интеграл Iδ3 при n > 2. Учитывая, что E(x, ξ)||x-ξ|=δ = δ2-n/(n - 2),
получаем
∫
∂u
|Iδ3| ≤
|E(x, ξ)|
sξ ≤ δ2-n max∥∇u∥ωnδn-1/(n - 2) ≤ const δ.
d
∂ν
ξ∈D
|ξ-x|=δ
Если n = 2, то поскольку E(x, ξ)||x-ξ|=δ = - ln δ, будем иметь
|Iδ3| ≤ | ln δ| max ∥∇u∥ω2δ ≤ const δ| ln δ|.
ξ∈D
Во всех рассмотренных случаях Iδi ⇒ 0 при δ → 0, i = 1, 2, 3.
x∈D
Исследуем последний интеграл Iδ4. Поскольку при n ≥ 2 справедливо равенство
∑
∂E(x,ξ)
ξi - xi ξi - xi
=-
= -δ1-n,
∂ν
|ξ - x| |ξ - x|n
|x-ξ|=δ
i=1
то
∫
∫
∂E(x,ξ)
∂E(x,ξ)
δ
- u(x)
dsξ
|u(ξ) - u(x)|
sξ ≤
I
4
≤
d
∂ν
∂ν
|ξ-x|=δ
|ξ-x|=δ
≤ δ1-n max |u(ξ) - u(x)|ωnδn-1 = ωu(δ)ωn,
|ξ-x|≤δ
где ωu(δ) - модуль непрерывности функции u. По теореме Кантора ωu(δ) → 0 при δ → 0, а
значит,
(
∫
)
∂E(x,ξ)
ωnδn-1
Iδ4 = Iδ4 - u(x)
dsξ
+ u(x)
→ ωnu(x) при δ → 0.
∂ν
δn-1
|ξ-x|=δ
Перейдём к пределу при δ → 0 в равенстве (5). В силу интегрируемой особенности в
объёмном интеграле слева имеет место сходимость
∫
∫
lim
E4(x,ξ)f(ξ)dξ = E4(x,ξ)f(ξ)dξ,
δ→0
Dδ
D
вследствие которой и найденных выше пределов при δ → 0 интегралов Iδi, i = 1, 4, получаем
∫
∫
(
)
∂Δu
∂E4(x,ξ)
∂u
∂E(x,ξ)
E4(x,ξ)Δ2u(ξ)dξ=
E4(x,ξ)
-Δu
-E(x,ξ)
+ u(ξ)
dsξ +ωnu(x).
∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
D
∂D
Перенося интеграл из правой части этого равенства в левую, деля на ωn и учитывая
тождество ΔξE4(x, ξ) = -E(x, ξ), приходим к формуле (3). Теорема доказана.
2. Функция Грина задачи Навье. Далее граничные задачи будем рассматривать в шаре
S. Задача Навье [16] (в работе [1] она называется также задачей Дирихле-2) заключается
в нахождении функции u ∈ C4(S)
⋂C3(S), являющейся решением следующей граничной
задачи для неоднородного бигармонического уравнения:
Δ2u(x) = f(x), x ∈ S,
u|∂S = ϕ0(ξ), Δu|∂S = ϕ1(ξ), ξ ∈ ∂S.
(6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
677
Рассмотрим функцию вида
Gr4(x, ξ) = E4(x, ξ) + gr4(x, ξ),
(7)
где gr4(x, ξ) ∈ C3ξ(S) - бигармоническая функция по переменным x, ξ ∈ S такая, что
Gr4(x, ξ)|ξ∈∂S = ΔξGr4(x, ξ)|ξ∈∂S = 0
при x ∈ S. Назовём функцию Gr4(x, ξ) функцией Грина задачи Навье (6). Обозначим также
∫
1
Er4(x,y) =
E(x, y)E(y, ξ) dy.
ωn
S
Теорема 2. Функция Грина Gr4(x, ξ) задачи Навье (6) находится по формуле
∫
1
Gr4(x, ξ) =
G2(x,y)G2(y,ξ)dy,
(8)
ωn
S
где функция G2(x, y) определена равенством (1).
Доказательство. Сначала докажем, что функция (8) представима в виде (7). Для этого
установим, что функция g0(x, ξ) = Er4(x, ξ) - E4(x, ξ) является гармонической по ξ = x ∈ S,
где функция E4(x, y) определена равенством (2). Пусть x = ξ ∈ S. Обозначим Sδ = S \ {y ∈
∈ Rn : |x - y| ≤ δ} и возьмём δ > 0 настолько малым, чтобы ξ ∈ Sδ, т.е. |x - ξ| > δ и
{y ∈ Rn : |x - y| ≤ δ} ⊂ S. Тогда
(∫
∫
)
1
Er4(x,ξ) =
+
E(x, y)E(y, ξ) dy.
ωn
Sδ
|x-y|≤δ
Поскольку ξ ∈ Sδ и x ∈ Sδ, то, согласно свойству объёмного потенциала, имеем
∫
1
Δξ
E(x, y)E(y, ξ) dy = -E(x, ξ).
(9)
ωn
Sδ
Пусть n > 4 или n = 3. Другие случаи рассматриваются аналогично. Обозначим
∫
∫
1
F (x, ξ) =
E(x, y)E(y, ξ) dy =
|η|2-n|x - ξ - η|2-n dη.
(n - 2)2
|x-y|≤δ
|η|≤δ
Подынтегральная функция в последнем интеграле имеет особенность только в нуле (|x - ξ -
- η| ≥ |x - ξ| - δ > 0), и поэтому операцию дифференцирования по ξ этого интеграла можно
внести под знак интеграла, а значит, F (x, ξ) - гармоническая функция по ξ. Следовательно,
в силу свойств функции E4(x, ξ) получаем, что
Δξg0(x,ξ) = Δξ(Er4(x,ξ) - E4(x,ξ)) = -E(x,ξ) - (-E(x,ξ)) = 0
при x = ξ. Функция E4(x, ξ) при ξ = x имеет особенность O(|x - ξ|4-n), если n > 4. Далее,
∫
∫
Er4(x,ξ) = C
|x - ξ - η|n-2|η|n-2 dη ≤ C
|z - η|2-n|η|2-n dη =
|ξ+η|<1
|η|<2
(
∫
∫
)
=C
+
|z - η|2-n|η|2-n dη ≡ I1 + I2,
|z|<|η|<2
|η|<|z|
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
678
КАРАЧИК
где z = x - ξ. Для интеграла I1 справедлива оценка
∫
I1 ≤ C|z|3-n
|z - η|2-n|η|-1 dη = O(|z|3-n),
|η|<2
так как, согласно [18, c. 27], интеграл в правой части неравенства ограничен. Кроме того,
∫
∫
I2
= C|z|2-n|z|n
|z - θ|z||2-n|θ|2-n dθ = C|z|4-n
|z - θ|2-n|θ|2-n dθ,
|θ|z||<|z|
|θ|<1
где
z = z/|z|. Поскольку интеграл непрерывен по
z ∈ ∂S [18, с. 27], то I2 = O(|x - ξ|4-n).
Значит, g0(x, ξ) = O(|z|3-n) и по теореме о стирании особенностей [18, с. 368] функция g0(x, ξ)
гармоническая в S.
Каждая из функций Er4(x, ξ) и E4(x, ξ) симметрична, поэтому функция g0(x, ξ) является
гармонической и по x. Теперь преобразуем функцию Gr4. Согласно доказанному выше имеем
(∫
1
Gr4(x, ξ) = E4(x, ξ) + g0(x, ξ) +
E(x, y)gd(y, ξ) dy +
ωn
S
∫
∫
)
+ gd(x,y)E(y,ξ)dy + gd(x,y)gd(y,ξ)dy
≡ E4(x,ξ) + gr4(x,ξ),
(10)
S
S
где gd(x, ξ) = -E(x/|x|, |x|ξ). Первый и третий интегралы в полученном равенстве - гармо-
нические функции по ξ, поскольку особенность в первом интеграле интегрируемая, а диф-
ференцирование эту особенность не усиливает. Второй интеграл в силу свойств объёмного
потенциала - бигармоническая функция по ξ, так как функция gd(x, y) = -E(x/|x|, |x|y)
имеет ограниченные производные по y в S при x ∈ S [14, с. 58].
Проверим граничные условия для функции Gr4. Вследствие свойств функции Грина G2(x, ξ)
и непрерывности объёмного потенциала получаем
∫
1
Gr4(x, ξ)|ξ∈∂S =
G2(x,y)G2(y,ξ)|ξ∈∂S dy = 0,
ωn
S
где x ∈ S. С помощью (10) в силу свойств объёмного потенциала при x ∈ S найдём, что
ΔξGr4(x,ξ)|ξ∈∂S = (-E(x,ξ) - gd(x,ξ))|ξ∈∂S = -G2(x,ξ)|ξ∈∂S = 0.
Поскольку каждая из функций E4(x, ξ) и gd(x, y) симметрична, то функция Gr4(x, ξ)
из (8) также симметрична. Из равенства (10) следует, что gr4(x, ξ) ∈ C3ξ(S) при x ∈ S, так как
такими являются функции gd(x, ξ) и g0(x, ξ). Теорема доказана.
Следствие 1. Функция u ∈ C4(S)
⋂C3(S), являющаяся решением задачи Навье (6), мо-
жет быть представлена в виде
∫
∫
∫
1
∂ΔξGr4(x,ξ)
1
∂Gr4(x,ξ)
1
u(x) =
ϕ0(ξ)dsξ +
ϕ1(ξ)dsξ +
Gr4(x, ξ)f(ξ) dξ.
(11)
ωn
∂ν
ωn
∂ν
ωn
∂S
∂S
S
Если ϕ0 ∈ C(∂S), ϕ1 ∈ C1+ε(∂S) и f ∈ C1(S), то функция u(x), определённая равен-
ством (11), является решением задачи Навье (6).
Доказательство. Пусть u ∈ C4(S)
⋂C3(S) - решение задачи Навье (6). Воспользовав-
шись формулой (3) и аналогично выводимой формулой
∫
(
)
∂Δu
∂gr4(x,ξ)
∂u
∂Δξgr
4
(x, ξ)
0=
-gr4(x,ξ)
+
Δu - Δξgr4(x,ξ)
+
u(ξ) dsξ +
∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
∂S
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
679
∫
+ gr4(x,ξ)f(ξ)dξ,
(12)
S
придём к равенству
∫
(
1
∂Δu
∂Gr4(x,ξ)
u(x) =
-Gr4(x,ξ)
+
Δu -
ωn
∂ν
∂ν
∂S
)
∫
∂u
∂ΔξGr4(x,ξ)
1
- ΔξGr4(x,ξ)
+
u(ξ) dsξ +
Gr4(x, ξ)f(ξ) dξ.
∂ν
∂ν
ωn
S
Из него, так как Gr4(x, ξ)|ξ∈∂S = ΔξGr4(x, ξ)|ξ∈∂S = 0 при x ∈ S, вытекает представление (11).
Проверим, что функция u(x), определяемая равенством (11), является решением задачи
Навье (6) при ϕ0 ∈ C(∂S), ϕ1 ∈ C1(∂S) и f ∈ C1(S). Обозначим первый, второй и третий
интегралы из (11) через u1, u2 и u3 соответственно. Поскольку ΔξGr4(x, ξ) = -G2(x, ξ) при
x = ξ (доказывается аналогично (9)), то, как известно, функция
∫
1
∂G2(x,ξ)
u1(x) = -
ϕ0(ξ)dsξ ≡ wϕ0 (x)
ωn
∂ν
∂S
является таким решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре S, что его сужение
на ∂S совпадает с функцией ϕ0. Далее, по теореме Фубини получаем
∫
(
∫
)
∫
1
1
∂G2(y,ξ)
1
u2(x) =
G2(x,y)
ϕ1(ξ)dsξ dy = -
G2(x,y)wϕ1 (y)dy,
ωn
ωn
∂ν
ωn
S
∂S
S
а значит, Δxu2(x) = wϕ1 (x) и u2(x)|∂S = 0. При этом от функции wϕ1 (x) нужно требо-
вать, чтобы имело место включение wϕ1 ∈ C1(S), а оно выполнено, если ϕ1 ∈ C1+ε(∂S) [19,
лемма 2.7]. Итак, бигармоническая функция u1(x) + u2(x) - решение задачи Навье (6) для
однородного бигармонического уравнения. Наконец, в силу свойств функции G2(x, ξ) имеем
∫
1
Δ2u3(x) = -
Δ
G2(x,ξ)f(ξ)dξ = f(x)
ωn
S
и u3(x)|∂S = Δu3(x)|∂S = 0. Следствие доказано.
Отметим, что задача Навье в шаре S безусловно разрешима [20].
3. Задача Рикье-Неймана. Задача Рикье-Неймана [17] (в [1] она называется задачей
Неймана-2) заключается в нахождении функции u ∈ C4(S)
⋂C3(S), являющейся решением
следующей граничной задачи для неоднородного бигармонического уравнения:
Δ2u(x) = f(x), x ∈ S,
∂u
∂Δu
= ϕ0(ξ),
= ϕ1(ξ), ξ ∈ ∂S.
(13)
∂ν
∂ν
∂S
∂S
Сначала сделаем несколько замечаний по задаче Неймана. В работе [20] построена функция
Грина N (x, ξ) = E(x, ξ) - E0(x, ξ) задачи Неймана для уравнения Пуассона в шаре S, где
гармоническая функция E0(x, ξ) записывается в виде
∫1
(
(
)
x
) dt
Ê
E0(x,ξ) =
,t|x|ξ
+1
|x|
t
0
и Ê(x,ξ) = ΛxE(x,ξ). Здесь Λxu = ∑ni=1 xiuxi. Очевидно, что функция N(x,ξ) симметрична.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
7∗
680
КАРАЧИК
Теорема 3. Пусть f ∈ C1(S) и ψ ∈ C(∂S). Тогда решение задачи Неймана
∂u
Δu = f,
=ψ
∂ν
∂S
при условии
∫
∫
ψ(ξ) dsξ = f(ξ) dξ
(14)
∂S
S
с точностью до константы можно записать в виде
∫
∫
1
1
vψ(x) =
N (x, ξ)ψ(ξ) dsξ -
N (x, ξ)f(ξ) dξ.
(15)
ωn
ωn
∂S
S
Доказательство. Сначала заметим, что Λu = ∂u/∂ν на ∂S. В работе [20, теорема 2]
установлено, что второй интеграл в представлении (15) является решением неоднородного
уравнения Пуассона с f ∈ C1(S) в правой части и что
∫
∫
Λx
N (x, ξ)f(ξ) dξ
= - f(ξ)dξ.
(16)
x∈∂S
S
S
Рассмотрим первый интеграл в условии (14). Очевидно, что функция N (x, ξ) в силу
её определения является гармонической в S. Используя симметричность функции G2(x, ξ),
нетрудно подсчитать, что при ξ ∈ ∂S справедливы равенства
(
)
x
∂G2(x,ξ)
ΛxN(x,ξ) = ΛxE(x,ξ) -Ê
, |x|ξ
- 1 = -ΛξG2(x,ξ) - 1 = -
- 1,
|x|
∂ν
а поэтому по свойству функции Грина G2(x, ξ) (см. (1)) задачи Дирихле в S имеем
∫
∫
∫
1
1
∂G2(x,ξ)
1
ΛxN(x,ξ)ψ(ξ)dsξ|x∈∂S = -
ψ(ξ) dsξ
-
ψ(ξ) dsξ =
ωn
ωn
∂ν
ωn
x∈∂S
∂S
∂S
∂S
∫
1
= ψ(x) -
ψ(ξ) dsξ .
ωn
∂S
Отсюда получаем
∫
∫
∂vψ(x)
1
1
|x∈∂S = ψ(x) -
ψ(ξ) dsξ +
f (ξ) dξ.
∂ν
ωn
ωn
∂S
S
Теперь, воспользовавшись условием (14), заключаем, что гармоническая в S функция vψ(x)
удовлетворяет также и граничному условию задачи Неймана. Теорема доказана.
В доказательстве теоремы 3 для любой функции ϕ ∈ C(∂S) получена следующая формула:
∫
∫
1
∂N(x,ξ)
1
ϕ(ξ) dsξ
= ϕ(x) -
ϕ(ξ) dξ.
(17)
ωn
∂νx
ωn
x∈∂S
∂S
∂S
Вернёмся к задаче Рикье-Неймана (13). Рассмотрим функцию вида
Grn4(x, ξ) = E4(x, ξ) + grn4(x, ξ),
(18)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
681
где grn4(x, ξ) ∈ C4(S)
⋂C3(S) - бигармоническая функция по переменным x,ξ ∈ S такая, что
∂Grn4(x,ξ)
∂ΔξGrn4(x,ξ)
= 0,
=1
(19)
∂ν
∂ν
ξ∈∂S
ξ∈∂S
при x ∈ S. Назовём функцию Grn4(x, ξ) функцией Грина задачи Рикье-Неймана (13).
Теорема 4. Функцию Грина Grn4(x, ξ) задачи Рикье-Неймана (13) можно представить
в виде
(∫
∫
∫
)
1
1
Grn4(x, ξ) =
N (x, y)N (y, ξ) dy -
N (x, y) dy N (y, ξ) dy
,
(20)
ωn
τn
S
S
S
где τn = |S| - объём шара S. Функция Грина Grn4(x, ξ) является симметричной функцией.
Доказательство. Сначала докажем, что функция (20) представима в виде (18). Нетрудно
видеть, что имеет место равенство
(∫
∫
1
Grn4(x, ξ) = En4(x, ξ) -
E(x, y)E0(y, ξ) dy + E0(x, y)E(y, ξ) dy -
ωn
S
S
∫
∫
∫
)
1
-
E0(x,y)E0(y,ξ)dy +
N (x, y) dy N (y, ξ) dy
≡ E4(x,ξ) + grn4(x,ξ),
τn
S
S
S
которое аналогично равенству Er4(x, ξ) = E4(x, ξ)+g0(x, ξ) из теоремы 2. Первый и третий ин-
тегралы в полученном выше равенстве - гармонические функции по ξ, так как особенность в
первом интеграле интегрируемая, а дифференцирование эту особенность не усиливает. Второй
интеграл в силу свойств объёмного потенциала - бигармоническая функция по ξ, поскольку
функция E0(x, ξ) имеет ограниченные производные по ξ в S при x ∈ S.
Проверим граничные условия для функции Grn4(x, ξ). По свойству (16) функции Грина
N (x, ξ) и непрерывной дифференцируемости объёмного потенциала при x ∈ S имеем
(
∫
∫
)
∂Grn4(x,ξ)
1
1
=
-
N (x, y) dy +
N (x, y) dy τn
= 0.
∂ν
ωn
τn
ξ∈∂S
S
S
В работе [20] установлено, что ΛξN (x, ξ)|ξ∈∂S = -1, и так как
∫
1
ΔξGrn4(x,ξ) = -N(x,ξ) +
N (x, y) dy
|S|
S
при x = ξ (доказывается аналогично (9)), то при x ∈ S выполняется равенство
∂ΔξGrn4(x,ξ)
= 1.
∂ν
ξ∈∂S
Симметричность функции Grn4(x, ξ) вытекает из симметричности функции N (x, ξ). Тео-
рема доказана.
Теорема 5. Пусть функция u ∈ C4(S)
⋂C3(S) является решением задачи Рикье-Нейма-
на (13). Тогда эта функция может быть представлена в виде
∫
∫
1
1
u(x) = -
ΔξGrn4(x,ξ)ϕ0(ξ)dsξ -
Grn4(x, ξ)ϕ1(ξ) dsξ +
ωn
ωn
∂S
∂S
∫
1
+
Grn4(x, ξ)f(ξ) dξ + C,
(21)
ωn
S
где C - некоторая постоянная.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
682
КАРАЧИК
Если ϕ0 ∈ C(∂S), ϕ1 ∈ C1+ε(∂S) и f ∈ C1(S), то функция u(x), определённая равен-
ством (21), является решением задачи Рикье-Неймана (13) при условии
∫
∫
ϕ1(ξ)dsξ = f(ξ)dξ.
(22)
∂S
S
Доказательство. Пусть u(x) - решение задачи Рикье-Неймана (13). Аналогично доказа-
тельству следствия 1, воспользовавшись формулами (3) и (12) при gr4(x, ξ) = grn4(x, ξ), придём
к равенству
∫
(
1
∂Δu
∂Grn4(x,ξ)
u(x) =
-Grn4(x,ξ)
+
Δu -
ωn
∂ν
∂ν
∂S
)
∫
∂u
∂ΔξGrn4(x,ξ)
1
- ΔξGrn4(x,ξ)
+
u(ξ) dsξ +
Grn4(x, ξ)f(ξ) dξ,
∂ν
∂ν
ωn
S
∫
учитывая в котором равенство (19), получаем представление (21) при C =
u(ξ) dsξ /ωn.
∂S
Проверим, что функция u(x), заданная равенством (21), - решение задачи Навье при ϕ0 ∈
∈ C(∂S), ϕ1 ∈ C1(∂S) и f ∈ C1(S). Обозначим первый, второй и третий интегралы из (21)
через v1, v2 и v3 соответственно. Поскольку при x = ξ справедливо равенство
∫
1
ΔξGrn4(x,ξ) = -N(x,ξ) +
N (x, y) dy,
τn
S
то в силу представления (15) функция
∫
∫
)
1
1
( 1∫
v1(x) =
N (x, ξ)ϕ0(ξ) dsξ -
N (x, y)
ϕ0(ξ)dsξ dy
ωn
ωn
τn
∂S
S
∂S
является ре∫ением задачи Неймана для уравнения Лапласа в S c функцией ϕ0 на границе и
значением
ϕ0(ξ)dsξ/τn в правой части уравнения (требуемое условие равенства интегра-
∂S
лов выполнено). Значит, v1(x) - бигармоническая функция, удовлетворяющая условиям
∂v1
∂Δv1
= ϕ0(x),
= 0.
∂ν
∂ν
∂S
∂S
Далее, в силу теоремы Фубини будем иметь
∫
(
∫
∫
∫
)
1
1
1
v2(x) = -
N (x, y)
N (y, ξ)ϕ1(ξ) dsξ -
N (z, ξ) dz ϕ1(ξ) dsξ dy,
ωn
ωn
τn
S
∂S
∂S
S
откуда в силу (15) (интеграл по y от выражения в скобках равен нулю) получаем
∫
∫
∫
1
1
Δxv2(x) =
N (x, ξ)ϕ1(ξ) dsξ -
N (z, ξ) dz ϕ1(ξ) dsξ ≡ vϕ1;0(x) - C
ωn
τn
∂S
∂S
S
и ∂v2/∂ν|∂S = 0. Кроме того, Δ2xv2(x) = 0 и, согласно формуле (17),
∫
∂Δv2
1
|∂S = ϕ1(x) -
ϕ1(ξ)dξ.
∂ν
ωn
∂S
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
683
Для вычисления Δxv2(x) нужно требовать, чтобы имело место включение vϕ1;0 ∈ C1(S),
а оно выполнено, если ϕ1 ∈ C1+ε(∂S) [19]. Наконец, в силу свойств функций Grn4(x, ξ) и
N (x, ξ) имеем
∫
1
Δ2v3(x) = -
Δ
N (x, ξ)f(ξ) dξ = f(x)
ωn
S
при f ∈ C1(S). Теперь, воспользовавшись тем, что в этом равенстве производную можно
внести под знак объёмного потенциала, и равенством ΛxN (x, ξ)|x∈∂S = -1, получаем
∫
∂v3
∂Δv3
1
|x∈∂S = 0,
|x∈∂S =
f (ξ) dξ.
∂ν
∂ν
ωn
S
Таким образом, функция u(x) = v1(x) + v2(x) + v3(x) является решением следующей за-
дачи Рикье-Неймана:
Δ2u(x) = 0 + 0 + f(x) = f(x),
∂u
= ϕ0(x) + 0 + 0 = ϕ0(x),
∂ν
x∈∂S
∫
∫
∂Δu
1
1
= 0 + ϕ1(x) -
ϕ1(ξ)dξ +
f (ξ) dξ.
∂ν
ωn
ωn
x∈∂S
∂S
S
Поэтому, если выполнены условия (22), то функция u(x), определённая равенством (21), яв-
ляется решением задачи (13). Теорема доказана.
Замечание. Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи Рикье-Неймана
для полигармонического уравнения получено в работе [17], и это условие (22).
4. Примеры. Пусть {H(i)k(x) : i = 1,hk, k ∈ N0} - полная система однородных степени
k ∈ N0 и ортогональных на ∂S сферических гармоник (см., например, [21]), нормированных
∫
так, что
(H(i)k(ξ))2 dsξ = ωn, и
∂S
)
2k + n - 2
(k + n - 3
hk =
n-2
n-3
при n > 2 (hk = 2 при n = 2) - размерность базиса однородных гармонических многочленов
степени k.
Найдём решения рассмотренных выше однородных задач (нулевые значения на границе)
для неоднородного бигармонического уравнения в шаре при f(x) = |x|2lHmj)(x), l ∈ N0.
4.1. Задача Навье. По теореме 2 функция Грина задачи Навье Gr4(x,ξ) имеет вид
∫
1
Gr4(x, ξ) =
G2(x,y)G2(y,ξ)dy.
ωn
S
Функция G2(x, ξ) симметрична и из работы [15, лемма 3.2] следует, что при n > 2 и
|x| > |ξ| справедливо представление
∑
∑
G2(x,ξ) =
H(i)k(x)H(i)k(ξ).
2k + n - 2
k=0
i=1
Вычислим следующий интеграл:
∫
∫
1
∫
1
1
I(x) =
G2(x,ξ)f(ξ)dξ = ρn-1dρ
G2(x,ρξ)f(ρξ)dsξ =
ωn
ωn
S
0
|ξ|=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
684
КАРАЧИК
∫
∫
1
)
∫
1
= lim
+
ρn-1dρ
G2(x,ρξ)f(ρξ)dsξ ≡ lim
(Iε1(x) + Iε2(x)).
ε→0
ωn
ε→+0
0
|x|+ε
|ξ|=1
Если x = 0, то интеграл Iε1(x) нужно опустить. Вычислим интеграл Iε1(x). Так как |ξ| <
< |x| - ε ≡ a < |x|, то, согласно [15, лемма 3.1], следующий ниже ряд сходится равномерно по
ξ и поэтому суммирование и интегрирование можно поменять местами:
∫
∫
∑
∑
Iε1(x) =
ρ2l+m+n-1+k dρ
H(i)k(x)1
H(i)k(ξ)H(j)m(ξ)dsξ.
2k + n - 2
ω
n
k=0
i=1
0
|ξ|=1
Вследствие ортогональности системы {H(i)k(x) : i = 1, hk, k ∈ N0} находим, что
2l+2m+n
|x|-(2m+n-2) - 1 (|x| - ε)
Iε1(x) =
H(j)m(x).
2m + n - 2
2l + 2m + n
Переходя к пределу при ε → +0, получаем
2l+2m+n
|x|2l+2 - |x|
lim
Iε1(x) =
H(j)m(x).
ε→+0
(2m + n - 2)(2l + 2m + n)
Аналогично, используя симметричность функции G2(x, ξ), найдём, что
∫1
ρ-(2m+n-2) - 1
Iε2(x) =
ρ2l+2m+n-1
dρ H(j)m(x) =
2m + n - 2
|x|+ε
(
)
2l+2
1
1
1
(|x| + ε)
(|x| + ε)2l+2m+n
=
-
-
+
H(j)m(x).
2m + n - 2
2l + 2
2l + 2m + n
2l + 2
2l + 2m + n
Переходя к пределу при ε → +0, получаем
)
2l+2
1
(1 - |x|
1 - |x|2l+2m+n
lim
Iε2(x) =
-
H(j)m(x).
ε→+0
2m + n - 2
2l + 2
2l + 2m + n
Таким образом, будем иметь
∫
1
1
G2(x,ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ)dξ = I01(x) + I02(x) =
(1 - |x|2l+2)H(j)m(x),
ωn
Cl,m
S
где обозначено Cl,m = (2l + 2)(2l + 2m + n). Следовательно, в силу теоремы Фубини
∫
∫
∫
1
1
1
Gr4(x, ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ =
G2(x,y)
G2(y,ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ)dξ dy =
ωn
ωn
ωn
S
S
S
∫
)
1
1
( |x|2l+4 - 1
1 - |x|2
=
G2(x,y)(1 - |y|2l+2)H(j)m(y)dy =
+
H(j)m(x).
(23)
Cl,m ωn
Cl,mCl+1,m
Cl,mC0,m
S
4.2. Задача Рикье-Неймана. По теореме 4 функция Грина Grn4(x,ξ) имеет вид
(∫
∫
∫
)
1
n
Grn4(x, ξ) =
N (x, y)N (y, ξ) dy -
N (x, y) dy N (y, ξ) dy
ωn
ωn
S
S
S
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧ НАВЬЕ И РИКЬЕ-НЕЙМАНА
685
Условие разрешимости однородной задачи Рикье-Неймана при f(x) = |x|2lHmj)(x) даётся
∫
равенствомS |ξ|2lHmj)(ξ) dξ = 0, которое возможно только при m > 0, поскольку при таких
∫
m верно равенство
Hmj)(ξ)dsξ = 0. В работе [20, замечание 2] доказана формула
∂S
∫
1
|x|2l+2 - (2l + 2 + m)/m
N (x, ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ = -
H(j)m(x).
(24)
ωn
Cl,m
S
В силу теоремы Фубини имеем
∫
∫
∫
1
1
1
Grn4(x, ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ =
N (x, y)
N (y, ξ)f(ξ) dξ dy -
ωn
ωn
ωn
S
S
S
∫
∫
(
∫
)
n
1
1
-
N (x, y) dy
N (y, ξ) dy
|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ ≡ J1(x) + J2(x).
ωn
ωn
ωn
S
S
S
Вычислим интеграл J1(x). В силу формулы (24) получаем
∫
1
|y|2l+2 - (2l + 2 + m)/m
J1(x) = -
N (x, y)
H(j)m(y)dy =
ωn
Cl,m
S
)
( |x|2l+4 - (2l + 4 + m)/m
2l + 2 + m |x|2 - (m + 2)/m
=
-
H(j)m(x).
Cl,mCl+1,m
mCl,m
C0,m
Из результатов работы [20, теорема 1] при |ξ| > |x| следует представление
∑
∑
N (x, ξ) =
H(i)k(x)H(i)k(ξ) +|ξ|-(n-2)
,
2k + n - 2
n-2
k=1
i=1
из которого находим, что
∫
∫
∫
1
)
∫
1
1
n-1
N (x, ξ) dξ =
+
ρ
N (x, ρξ) dsξ dρ =
ωn
ωn
S
0
|x|
∂S
)
2
1
( |x|
1
|x|2
1
|x|2
=
+
-
=
-
n-2
n
2
2
2(n - 2)
2n
Поэтому, используя симметричность функции N (x, ξ), получаем
∫
(
∫
)
∫
(
)
1
1
1
|ξ|2l
|ξ|2l+2
N (y, ξ) dy
|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ =
-
H(j)m(ξ)dξ = 0,
ωn
ωn
ωn
2(n - 2)
2n
S
S
S
откуда следует, что J2(x) = 0. Значит, при m > 0 справедливо равенство
∫
1
Grn4(x, ξ)|ξ|2lH(j)m(ξ) dξ =
ωn
S
)
( |x|2l+4 - (2l + 4 + m)/m
2l + 2 + m |x|2 - (m + 2)/m
=
-
H(j)m(x).
(25)
Cl,mCl+1,m
mCl,m
C0,m
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
686
КАРАЧИК
Поскольку коэффициенты при многочленах Hmj)(x) в правых частях формул (23) и (25) не
зависят от индекса j, то в них можно положить Hmj)(x) = Hm(x), где Hm(x) - произвольный
однородный гармонический многочлен степени m.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (По-
становление № 211 от 16.03.2013, соглашение № 02.A03.21.0011).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Begehr H. Biharmonic Green functions // Le Matematiche. 2006. V. 61. № 2. P. 395-405.
2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function // Complex Variables and Elliptic Equat.
2013. V. 58. № 4. P. 483-496.
3. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin
problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 6. № 3. P. 163-172.
4. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector
// Complex Variables and Elliptic Equat. 2013. V. 58. № 1. P. 7-22.
5. Ying Wang. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables and Elliptic Equаt.
2014. V. 59. № 5. P. 732-749.
6. Boggio T. Sulle funzioni di Green d’ordine m // Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97-135.
7. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet
problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex Variables and Elliptic Equat. 2008. V. 53.
P. 177-183.
8. Карачик В.В., Антропова Н.А. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармонического
уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. 2013. V. 49. № 2. С. 250-254.
9. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green’s function of the Robin problem for the Poisson equation
// Adv. in Pure and Appl. Math. 2019. V. 10. № 3. С. 203-214.
10. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре // Мат.
заметки. 2020. Т. 107. № 1. С. 87-105.
11. Карачик В.В., Торебек Б.Т. О задаче Дирихле-Рикье для бигармонического уравнения // Мат.
заметки. 2017. T. 102. № 1. С. 39-51.
12. Карачик В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения // Мат. труды. 2016.
Т. 19. № 2. С. 86-108.
13. Солдатов А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана // Дифференц. уравне-
ния. 2020. Т. 56. № 2. С. 217-225.
14. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982.
15. Karachik V.V. Green’s function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball // Complex
Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 9. P. 1500-1521.
16. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic // Complex Variables and Elliptic Equat.
2009. V. 54. P. 79-93.
17. Карачик В.В. Задача Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре // Дифференц.
уравнения. 2018. V. 54. № 5. С. 653-662.
18. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.
19. Алимов Ш.А. Об одной задаче с наклонной производной // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17.
№ 10. С. 1738-1751.
20. Карачик В.В., Турметов Б.Х. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона
// Мат. труды. 2018. Т. 21. № 1. С. 17-34.
21. Karachik V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1998.
V. 126. № 12. P. 3513-3519.
Южно-Уральский государственный университет
Поступила в редакцию 16.09.2020 г.
(Национальный исследовательский университет),
После доработки 16.09.2020 г.
г. Челябинск
Принята к публикации 15.04.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№5
2021
