ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 5, с.687-699

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956+517.958:539.3

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ТЕРМОУПРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассматривается задача аналитического продолжения решения системы уравнений тер-

моупругости в пространственной области по его значениям и значениям его напряжений,

известным на части границы этой области, т.е. задача Коши.

DOI: 10.31857/S0374064121050101

Введение. В настоящей работе предлагается явная формула восстановления решения сис-

тем термоупругости в пространственной области по его значениям и значениям напряжений,

заданным только на части границы области. Рассмотрения ведутся в двух направлениях: поиск

разумных условий разрешимости и вывод формул для решений, а также критериев разреши-

мости поставленной задачи.

Для решения задач теории упругости требуется задание тех или иных граничных усло-

вий на всей границе области. В классических задачах это задание либо вектора смещения,

либо вектора напряжения на всей границе области, либо смещений на одной части границы,

а напряжений - на другой. В других вариантах задач на каждой части границы заданы ком-

бинации необходимого количества компонент смещений и напряжений. Эти краевые задачи

или подобные им задачи математической физики являются корректными и хорошо изучены.

Во многих реальных задачах, однако, смещения и напряжения либо недоступны для измере-

ния на части границы, либо известны опосредовано при помощи некоторых их интегральных

характеристик.

Система уравнений термоупругости является эллиптической. Как известно, задача Коши

для эллиптических уравнений некорректна (пример Адамара). Решение может существовать,

тогда оно единственно, но не устойчиво, т.е. решение может сильно изменяться при малом

изменении начальных данных. В некорректных задачах существование решения и принад-

лежность его классу корректности предполагается априори.

Задача Коши для эллиптических уравнений являлась предметом изучения математиков на

протяжении двадцатого века и продолжает по сей день притягивать внимание исследователей.

Развитие специальных методов, позволяющих работать с некорректными задачами Коши,

стимулировалось запросами практики. Такие задачи ставились в гидродинамике, в теории

передачи сигналов, в томографии, в геологоразведке, в геофизике, в теории упругости и т.д.

Решение задачи Коши для одномерной системы уравнений Коши-Римана впервые получил

Т. Карлеман в 1926 г. [1]. Им была предложена идея введения в интегральную формулу Коши

дополнительной функции, позволяющей при помощи предельного перехода погасить влияние

интегралов по той части границы, где значения продолжаемой функции не заданы. Идею

Карлемана развили Г.М. Голузин и В.И. Крылов в 1933 г. [2], которые нашли общий способ

получения формул Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана.

На основе результатов Карлемана и Голузина-Крылова М.М. Лаврентьев ввёл понятие

функции Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана. Метод Лаврентье-

ва [3] состоит в аппроксимации ядра Коши на дополнительной части границы области вне

носителя данных задачи Коши.

Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа - это фундаментальное реше-

ние, зависящее от положительного числового параметра, стремящегося к нулю вместе со своей

производной по нормали на части границы области вне носителя данных Коши, когда пара-

метр стремится к бесконечности. При помощи функции Карлемана и интегральной формулы

687

688

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

Грина получается формула Карлемана, которая даёт точное решение задачи Коши, когда

данные заданы точно. Построение функции Карлемана позволяет также строить регуляриза-

цию, если данные Коши заданы приближённо. Существование функции Карлемана следует

из аппроксимационной теоремы Мергеляна [4].

В 1959 г. В.А. Фок и Ф.М. Куни [5] нашли применение формулы Карлемана для одномерной

системы уравнений Коши-Римана. В случае, когда часть границы области является отрезком

действительной оси, они, используя формулу Карлемана, нашли критерий разрешимости за-

дачи Коши для системы уравнений Коши-Римана на плоскости. Аналог формулы Карлемана

и критерии разрешимости задачи Коши для аналитических функций многих переменных по-

лучены в работах [6, 7], для гармонических функций - в работах [8-10], а также в работах

авторов [11-16].

Монографии [3, 9, 17, 18] представляют собой достаточно полный обзор по формулам Кар-

лемана.

В данной работе на основе метода функции Карлемана строится регуляризованное решение

задачи Коши для системы уравнений термоупругости.

Пусть x = (x₁, x₂, x₃) и y = (y₁, y₂, y₃) - точки вещественного евклидова пространства R³,

D - ограниченная односвязная область в R³ с кусочно-гладкой границей ∂D и S - гладкая

часть ∂D.

Пусть 4-компонентная вектор-функция U(x) = (u₁(x), u₂(x), u₃(x), u₄(x))^∗, где^∗ здесь и

далее означает операцию транспонирования, удовлетворяет в области D системе уравнений

термоупругости [19, с. 50]

B(∂_x, ω)U(x) = 0,

(1)

где B(∂_x, ω) = ∥B_kj (∂_x, ω)∥4×4 - операторная 4 × 4-матрица с элементами

B_kj(∂_x,ω) = δ_kj(μΔ + ρω²) + (λ + μ)∂²/∂x_k∂x_j, k,j = 1,2,3,

Bk4(∂_x,ω) = -γ∂/∂x_k, k = 1,2,3,

B4j(∂_x,ω) = -iωη∂/∂x_j, j = 1,2,3,

B₄₄(∂_x,ω) = Δ + iω/θ,

Δ - оператор Лапласа, δ_kj - символ Кронекера, i - мнимая единица, т.е. i² = -1, коэффи-

циенты λ, μ, ρ, ω, θ - характеристики среды - удовлетворяют условиям μ > 0, λ + 2μ > 0,

θ > 0, ρ > 0, γη > 0, а ω - некоторое действительное число, называемое частотой колебания.

Пусть U(x) = (u(x), v(x))^∗, где u(x) = (u₁(x), u₂(x), u₃(x)) - вектор смещения, v(x) -

температура среды. Тогда уравнение (1) можно записать в виде системы

μΔu + (λ + μ)grad div u - γ grad v + ρω²u = 0,

iω

Δv +

v + iωηdivu = 0,

где λ, μ - постоянные Ламе.

Вектор-функция U(y) называется регулярнoй в D, если она непрерывна вместе со своими

частными производными второго порядка в D и первого порядка на D = D

^⋃∂D.

1. Фундаментальные решения уравнений термоупругости и интегральное пред-

ставление. Для уравнения термоупругости (1) имеем

det B(∂_x, ω) = μ²(λ + 2μ)(Δ + λ²¹)(Δ + λ²²)(Δ + λ²³)²,

где λ²¹ и λ²² определяются из уравнений

iω

iωγη

iω

λ²¹ + λ²² =

+k²¹, λ²¹λ²² =

k²¹,

λ + 2μ

k²¹ = ρω²/(λ + 2μ), причём предполагается, что λ²¹ = λ²², а λ²³ = ρω²/μ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

689

Алгебраическое дополнение элемента B_kj(∂_x, ω) в детерминанте det B(∂_x, ω), которое обо-

значим через B_kj(∂_x, ω), равно

^{δ_kj

B_kj(∂_x,ω) = μ²(λ + 2μ)(1 - δk4)(1 - δj4)

(Δ + λ²¹)(Δ + λ²²)(Δ + λ²³) -

[

(

)

]

}

∂

iω

∂

(λ + μ) Δ +

+ iωηγ (Δ + λ²³)

+ γμ²δk4(1 - δj4)

(Δ + λ²³)² -

μ(λ + 2μ) ∂x_k∂x_j

∂x_j

∂

− iημ²ωδj4(1 - δk4)

(Δ + λ²³)² + μ²(λ + 2μ)δk4δj4(Δ + λ²¹)(Δ + λ²³)², k, j = 1, 4.

∂x_k

Подставляя в систему (1) вместо U матрицу

U = ∥B_kj(∂_x,ω)∥∗4×4ϕ,

(2)

где ϕ - скалярная функция, получаем

∑

B_kq(∂_x,ω)B_qj(∂_x,ω)ϕ =

B_kq(∂_x,ω)B_jq(∂_x,ω)ϕ ≡

q=1

≡ δ_kj detB(∂_x,ω)ϕ = δ_kjμ²(λ + 2μ)(Δ + λ²¹)(Δ + λ²²)(Δ + λ²³)²ϕ = 0, k,j = 1,4,

и для функции ψ = μ²(λ + 2μ)(Δ + λ²³)ϕ имеем уравнение

(Δ + λ²¹)(Δ + λ²²)(Δ + λ²³)ψ = 0.

Для того чтобы матрица решений (2) оказалась фундаментальной, мы должны найти та-

кое решение последнего уравнения, частные производные четвёртого порядка которого имеют

особенности лишь вида |x|-1. Такое решение, если оно существует, должно удовлетворять

условиям

exp(λ_q|x|)

(Δ + λ2q+1)(Δ + λ2q+2)ψ =

q = 1,2,3,

2π|x|

где λ₄ = λ₁, λ₅ = λ₂.

Рассматривая эти соотношения как систему уравнений относительно ψ, Δψ, Δ²ψ, найдём

∑

exp(iλ_q|x|)

ψ=

(3)

2π

(λ2q+1 - λ2q)(λ2q+2 - λ2q)|x|

q=1

и после подстановки значения ψ в (2), помня, что B_jq(∂_x, ω) содержит множитель Δ + λ²³,

получим матрицу фундаментальных решений уравнения (1)

Ψ(x, ω) = ∥Ψ_kj (x, ω)∥4×4,

(4)

здесь

{

)

∑

⁽δ_kj

∂²

Ψ_kj(x,ω) =

(1 - δk4)(1 - δj4)

δ3q - α_q

2πμ

∂x_k∂x_j

q=1

[

]

∂

^} exp(iλ_q|x|)

+ β_q iωη(1 - δj4)

- γ(1 - δk4)

+δk4δj4γ_q

∂x_j

∂x_k

|x|

где

(-1)^q(1 - iωθ-1λ-2q)(δ1q + δ2q)

δ3q

∑

α_q =

α_q = 0,

2π(λ + 2μ)(λ²² - λ²¹)

2πρω²

q=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

690

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

∑

(-1)^q(δ1q + δ2q)

β_q =

β_q = 0,

2π(λ + 2μ)(λ²² - λ²¹)

q=1

(-1)^q(λ2q - k²¹)(δ1q + δ2q)

∑

γ_q =

γ_q = 1.

2π(λ²² - λ²¹)

q=1

Несложно проверить, что каждый вектор-столбец в фундаментальной матрице Ψ(x, ω)

имеет единственную особенность в точке x = 0, и притом порядок не выше |x|-1. Кроме

того, из представления (4) с помощью непосредственных вычислений вытекает

Теорема 1. Каждый столбец матрицы Ψ(x, ω), рассматриваемый как вектор, удовле-

творяет системе (1) во всех точках пространства R³, кроме начала координат.

Заметим, что матрица Ψ(x, ω) не симметрична и её строки, рассматриваемые как векторы,

не удовлетворяют уравнению (1).

Для матрицы Ψ(x, ω) имеет место равенство Ψ^∗kj(x, ω) = Ψ_jk(-x, ω), k, j = 1, 4.

Прямым вычислением доказывается

Теорема 2. Каждый столбец матрицы Ψ^∗(x, ω), рассматриваемый как вектор, удовле-

творяет союзному уравнению B^∗(∂_x, ω)U = 0 (B^∗kj (∂_x, ω) = B_jk(-∂_x, ω)) во всех точках

пространства R³, кроме начала координат.

Обозначим через B = B/μ²(λ + 2μ)(Δ + λ²³), где B = ∥B_kj (∂_x, ω)∥4×4. Тогда B явля-

ется матричным дифференциальным оператором второго порядка в R³, удовлетворяющим

равенствам BB = BB = pE₄, где p(Δ) = (Δ + k²¹)(Δ + k²²)(Δ + k²³).

Функция ψ, определяемая равенством (3), является фундаментальным решением в R³

самосопряжённого оператора p(Δ), и Ψ(x, ω) = Bψ.

Отсюда следует, что если u является решением уравнения pu = 0 в каком-то открытом

множестве O ⊂ R³, то U = Bu будет решением уравнения BU = 0 на O.

Известно, что для регулярного решения системы (1) верно следующее интегральное пред-

ставление [19, с. 380]:

∫

2U(x) = (Ψ(x - y, ω){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(y - x, ω)}^∗U(y)) ds_y , x ∈ D,

(5)

∂D

где R(∂_y, ν(y)) - оператор напряжения, определяемый равенством

⎛

⎞

-γν₁

⎜

-γν₂

⎟

R(∂_y, ν(y)) = ∥R_kj (∂_y, ν(y))∥4×4 =

⎝

⎠,

-γν₃

∂/∂ν(y)

T = T(∂_y,ν(y)) = ∥T_kj(∂_y,ν(y))∥3×3,

T_kj(∂_y,ν(y)) = λν_k(y)∂/∂y_j + μν_j(y)∂/∂y_k + (λ + μ)δ_kj∂/∂ν(y), k,j = 1,2,3,

⎛

⎞

-iωην₁

-iωην₂⎟

^R(∂_y, ν(y)) = ∥Rkj (∂_y, ν(y))∥4×4 =^⎝

⎠,

-iωην₃

∂/∂ν(y)

Ψ(x, ω) = Ψ^∗(x, ω) = Ψ(-x, ω), ν(y) = (ν₁(y), ν₂(y), ν₃(y)) - внешний единичный вектор нор-

мали к поверхности ∂D в точке y.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

691

2. Задача Коши и критерий разрешимости. Через S обозначим гладкую открытую

часть поверхности ∂D. Задача Коши для системы BU = 0 в D с данными на S состоит в

следующем: для заданных функций U₀ и U₁ на S со значениями в R⁴ найти решение U

этой системы в D такое, что U = U₀ и R(∂_y, ν(y))U = U₁ на S.

Чтобы изучить эту задачу, мы должны выбрать функциональные пространства для U₀,

U₁ и U. Строгий анализ можно найти в [9, гл. 10, § 10.4]. Этот анализ немного громоздок, так

как поведение решения вблизи границы S требует внимательного изучения. Чтобы выделить

основные трудности в задаче Коши, ограничимся случаем, когда U₀ и U₁ - интегрируемые

функции на S классов C¹ и C соответственно. Таким образом, мы рассматриваем задачу

B(∂_x, ω)U(x) = 0, x ∈ D,

U (y) = U₀(y), y ∈ S,

R(∂_y, ν(y))U(y) = U₁(y), y ∈ S,

(6)

где U₀ ∈ C¹(S)

^⋂L₁(S), U₁ ∈ C(S)^⋂L₁(S).

Известно, что эта задача некорректна. Её некорректность аналогична некорректности за-

дачи Коши для уравнения Лапласа [8]. Хорошо известно, что задача (6) имеет не более одного

решения в любом разумно выбранном пространстве функций на D.

Введём функцию

∫

2U(x) = (Ψ(x - y, ω)U₁(y) - {R(∂_y, ν(y))Ψ(y - x, ω)}^∗U₀(y)) ds_y

(7)

для x ∈ S. Так как фундаментальное решение Ψ(x - y, ω) является вещественным и анали-

тическим, кроме начала координат в R³, то функция U также является вещественно анали-

тической в R³ \ D. Кроме того, U является решением однородной системы (1), т.е. системы

B(∂_x, ω)U(x) = 0, x ∈ R³ \ D.

В частности, компоненты векторнозначной функции U являются решениями скалярного

уравнения

p(Δ)ϕ = (Δ + λ²¹)(Δ + λ²²)(Δ + λ²³)ϕ = 0

в R³ \ D. Если x ∈ S, то оба интеграла U и R(∂_y,ν(y))U имеют скачки, равные U₀ и U₁

соответственно.

Введём обозначения U^±(x) = U(x), x ∈ D^±, где D⁺ = D, D^- = R³ \ D.

Лемма 1. Если S ∈ C², а U₀(y) ∈ C¹(S)

^⋂L₁(S), U₁(y) ∈ C(S)^⋂ L₁(S), то вектор-

функция U^- непрерывно продолжается вместе со своими первыми производными в D^-

^⋃S

тогда и только тогда, когда U⁺ непрерывно продолжается вместе со своими первыми про-

изводными в D⁺

^⋃S.

Доказательство. Воспользуемся тем, что существует гладкая в некоторой окрестности S

в R³ функци

U такая, что сужение на S функци

U и R(∂_y,ν(y)

U равны U₀ и U₁ соот-

ветственно (см. [20, лемма 28.2]). Тогда на основании формулы Сохоцкого-Племеля получаем:

если y ∈ S, ν(y) - единичный вектор внешней нормали к S в точке y, то

lim{U+(y + εν(y)) - U-(y - εν(y))} = U0(y),

ε→0

lim

{R(∂_y, ν(y))U⁺(y + εν(y)) - R(∂_y, ν(y))U^-(y - εν(y))} = U₁(y),

ε→0

причём предел достигается равномерно на компактных подмножествах S. Для удобства в

дальнейшем эти предельные соотношения запишем в виде

lim{∂^pU⁺(y + εν(y)) - ∂^pU^-(y - εν(y))} = ∂^p

U (y),

|p| ≤ 1,

(8)

ε→0

где

U (y) = U₀(y) при p = 0,

∂¹

U (y) = U₁(y) при p = 1 и ∂¹ = R(∂_y, ν(y)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

692

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

Пусть, например, вектор-функция U⁺ гладко продолжается в D⁺

^⋃S. Зафиксируем муль-

тииндекс p (|p| ≤ 1), тогда

lim ∂^pU^-(y - εν(y)) = ∂^pU⁺(y) - ∂^p

U (y),

|p| ≤ 1.

ε→0

Доопределим ∂^pU^- в D^-

^⋃S следующим образом:

{

∂^pU^-(x),

x∈D^-,

∂^p

U-(x) =

∂^pU⁺(x) - ∂^p

U (x), x ∈ S.

Покажем, что ∂^p

U- непрерывна в D- ⋃ S. Зафиксируем произвольно выбранную точку x0 ∈

∈S ичисло τ >0. Поскольку ∂

^- непрерывна на S, то найдётся такое δ₀, что если x₁ ∈ S

и |x₁ - x₀| < δ₀, то справедливо неравенство

|∂^p

U-(x1) - ∂p

U-(x0)| < τ/2.

Уменьшая в случае надобности величину δ₀, можно считать, что K = Bδ0 (x₀)

^⋂S - компакт-

ное подмножество в S.

Так как поверхность S является гладкой, то можно выбрать число 0 < δ < δ₀/2 таким,

чтобы каждая точка x ∈ B_δ(x₀)

^⋂D^- представлялась в виде x = x₁ + εν(x₁), где x₁ ∈ S, а

ε = dist(x,S). Тогда ε < δ, поэтому |x₁ - x₀| ≤ |x₁ - x| + |x - x₀| < δ₀, т.е. x₁ ∈ K.

Учитывая, что предел в (8) достигается равномерно на компактных подмножествах по-

верхности S, и уменьшая, если надо, δ, можно добиться того, чтобы при x₁ ∈ K и 0 < ε < δ

выполнялось неравенство

|∂^p

^-(x₁ + εν(x₁)) - ∂^p

U-(x1)| < τ/2.

Пусть теперь x ∈ B_δ(x₀)

^⋂D^-, тогда x = x₁ + εν(x₁) для некоторых x₁ ∈ K и 0 < ε < δ.

Поэтому

|∂^p

U-(x0) - ∂p

U-(x)| ≤ |∂p

U-(x0) - ∂p

U-(x1)| + |∂p

U-(x1 + εν(x1)) - ∂p

^-(x₁)| < τ.

Следовательно, вектор-функция U^- гладко продолжается в D^-

^⋃S, если вектор-функция

U⁺ гладко продолжается в D⁺

^⋃S, и наоборот. Лемма доказана.

Теорема 3. Для того чтобы существовало решение U ∈ C¹(D

^⋃S) задачи Коши (6),

необходимо и достаточно, чтобы интеграл U можно было продолжить из R³ \ D через S

в D как вещественную аналитическую функцию.

Доказательство. Необходимость. Пусть имеется решение U ∈ C¹(D

^⋃S) задачи Коши

(6) в R³ \ ∂D. Определим функцию V следующим образом:

{

U (x) - U(x), x ∈ D,

V (x) =

(9)

U (x),

x∈R³ \D.

Сужение вектор-функции V на D обозначим через V⁺, а на R³ \ D через V^-. На основе

формул (5), (7) и (9) получим

∫

2V⁺(x) =

({R(∂_y, ν(y))Ψ(y - x, ω)}^∗U(y) - Ψ(x - y, ω){R(∂_y, ν(y))U(y)}) ds_y

∂D\S

для всех x ∈ D.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

693

Отсюда следует, что V⁺ продолжается через S до аналитической функции V на всё

множество R³ \ (∂D \ S) со значениями в R³, т.е.

∫

2V (x) = (Ψ(x - y, ω){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(y - x, ω)}^∗U(y)) ds_y

для всех x ∈ R³ \ D. Поэтому U по лемме 1 продолжается из R³ \ D через S в D как

вещественная аналитическая функция.

Достаточность. Обратно, пусть U продолжается до вещественной аналитической функ-

ции V из R³ \ D через S в D со значениями в R³, так что V = U вне окрестности D.

Тогда

B(∂_x, ω)V (x) = 0, x ∈ R³ \ D.

Поскольку вектор-функция B(∂_x, ω)V является вещественно аналитической, то она также

обращается в нуль на D.

Положим U(x) = U(x) - V (x), x ∈ D. Из только что доказанного следует, что U яв-

ляется гладкой функцией в окрестности поверхности S в D, удовлетворяющей уравнению

B(∂_x, ω)U = 0. Мы утверждаем, что U является требуемым решением задачи (6). Несложно

проверить, что U = U₀ и R(∂_y, ν(y))U = U₁ на S. Так как V является гладкой в R³ \(∂D\S),

без труда можем получить формулу Сохоцкого-Племеля

U (y) = U⁺(y) - V⁺(y) = U⁺(y) - V^-(y) = U⁺(y) - U^-(y) = U₀(y), y ∈ S,

аналогично

R(∂_y, ν(y))U(y) = R(∂_y, ν(y))U⁺(y)-R(∂_y, ν(y))V⁺(y) = R(∂_y, ν(y))U⁺(y)-R(∂_y, ν(y))V^-(y) =

= R(∂_y,ν(y))U⁺(y) - R(∂_y,ν(y))U^-(y) = U₁(y), y ∈ S.

Теорема доказана.

3. Базисы с двойной ортогональностью. Формула Карлемана. “Задача продолже-

ния” функций в гильбертовых пространствах имеет приемлемое решение в терминах базисов

с двойной ортогональностью (ср. [9, гл. 12]). Идея применения этого понятия принадлежит

С. Бергману (1927 г.), который использовал его для вывода критерия аналитического продол-

жения. Мы применяем этот метод к задаче Коши (6) в том частном случае, когда D является

частью шара B_R с центром в начале координат и радиусом R > 0.

Пусть S - гладкая замкнутая поверхность в B_R, разбивающая его на две связные ком-

поненты B+R и B^-R и ориентированная как граница B^-R, при этом 0 ∈ B+R, 0 ∈ S. Пусть

D = B^-R и его граница состоит из S и части границы сферы ∂B_R в R³.

Как показано выше, интеграл U(x) является решением уравнения B(∂_x, ω)U(x) = 0 и его

компоненты удовлетворяют скалярному уравнению p(Δ)u = 0 вне D. Последнее уравнение

фактически является скалярным и вытекает из первого. Мы здесь применяем базисы двой-

ной ортогональности для получения условия аналитического продолжения решения уравнения

p(Δ)u = 0 из маленького шара - окрестности нуля - в большой шар B_R.

Оператор Гельмгольца Δ + k² в сферических координатах в R³ имеет вид

{(

)₂

}

∂

Δ+k² =

+k²r²

-Δ_S ,

r²

∂r

где Δ_S - оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере, k > 0.

Решая уравнение Гельмгольца (Δ + k²)u = 0 методом Фурье, получаем

u(r, ϕ, ϑ) =

√rJn+1/2(kr)Yn(ϕ,ϑ),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

694

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

∑_n

где Jn+1/2(kr) - функция Бесселя (n + 1/2)-го порядка, Y_n(ϕ, ϑ) =

Y_n,m - сферические

m=0

функции n-го порядка [21, с. 555].

Верны следующие утверждения [22].

Теорема 4. Для каждого R > 0 система решений Jn+1/2(kr)Y_n(ϕ, ϑ), n ∈ N, уравнения

Гельмгольца (Δ + k²)u = 0 является ортогональным базисом в подпространстве L²(B_R).

Теорема 5. Для фундаментального решения уравнения Гельмгольца в R³ имеет место

разложение

∑

1 exp (ik|x - y|)

c_n,m(y,k

J_n(k|x|)P_n,m(x),

(10)

4π

|x - y|

n=0 m=0

ряд в котором сходится равномерно вместе со всеми своими производными на компактных

подмножествах конуса K = {(x,y) ∈ R³ × R³ : |x| < |y|}.

Здесь

(∫

∫

)-1

exp(ik|x - y|)

c_n,m(y,k) = -

J_n(k|x|)P_n,m(x)dx

|Jn+1/2(rk)|²r dr

4π

|x - y|

B_|y|

∑

(-1)^j(t/2)

J_n(t) =

j!Γ(j + n + 3/2)

j=0

P_n,m(x) = |x|ⁿY^mn(θ,ϕ) - однородные гармоники n-го порядка (шаровые функции).

Представление (10), полученное для фундаментального решения с помощью ортогонально-

го базиса, позволяет получить следующую формулу Карлемана для восстановления решения

однородной системы (1):

∑

Ψ(y - x, ω) = Ψ_n(x, y),

(11)

n=0

в которой ряд равномерно сходится вместе со всеми производными на компактных подмно-

жествах конуса K = {(x, y) ∈ R³ × R³ : |x| < |y|} и каждая Ψ_n является 4 × 4-матрицей,

так что

{

)

∑

⁽ δ_kj

∂²

Ψ_n,kj(x,ω) =

(1 - δk4)(1 - δj4)

δ3q - α_q

2πμ

∂x_k∂x_j

q=1

[

]

∑

∂

+ β_q iωη(1 - δj4)

- γ(1 - δk4)

+δk4δj4γ_q

c_n,m(y,k

J_n(k|x|)P_n,m(x).

∂x_j

∂x_k

m=0

Теперь, если заменить ∂/∂x_i на -∂/∂y_i, получим, что справедлива

Теорема 6. Каждый член Ψ_n(x, y) является вещественно аналитической матрично-

значной функцией на R³ × (R³ \ {0}), удовлетворяющей уравнениям

B(∂_x, ω)Ψ_n(x, y) = 0 и B^∗(∂_y, ω)(Ψ_n(x, y))^∗ = 0.

Доказательство. Указанные свойства матрицы Ψ_n(x, y) вытекают из её построения. Син-

∫ |y|

гулярность при y = 0 обусловлена интегралом

|Jn+1/2(rk)|²r dr. Теорема доказана.

Так как матричнозначные функции Ψ_n(x, y), n ∈ N, удовлетворяют союзному уравнению

B^∗(∂_y,ω)(Ψ_n(x,y))^∗ = 0, то ряда (11) достаточно для получения явной формулы решения

задачи Коши (6).

Пусть

∑

Ψ(n)(x,y) = Ψ(x - y,ω) -

Ψ_ν(x,y), (x,y) ∈ R³ × (R³ \ {0}).

ν=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

695

Теорема 7. Для любой вектор-функции U ∈ C¹(D) верно интегральное представление

[∫

]

2U(x) = lim

(Ψ(n)(x, y){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(n)(x, y)}^∗U (y)) dsy

n→∞

для всех x ∈ D.

Доказательство. Из представления (5), теоремы 6 и формулы Грина вытекает равенство

∫

0 = (Ψ(n)(x,y){R(∂_y,ν(y))U(y)} - {R(∂_y,ν(y))Ψ(n)(x,y)}^∗U(y))ds_y

∂D

∑_n

при x ∈ D, где Ψ(n)(x, y) =

Ψ_ν(x,y) - регулярное решение системы (1). Теперь, вычитая

ν=0

это равенство из равенства (5), будем иметь

∫

2U(x) = (Ψ(n)(x, y){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(n)(x, y)}^∗U(y)) ds_y .

(12)

∂D

Левую часть равенства (12) представим в виде I₁ + I₂, где

∫

I₁ = (Ψ(n)(x,y){R(∂_y,ν(y))U(y)} - {R(∂_y,ν(y))Ψ(n)(x,y)}^∗U(y))ds_y,

∫

I₂ =

(Ψ(n)(x, y){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(n)(x, y)}^∗U(y)) ds_y.

∂D\S

При y ∈ ∂D \ S, где |x| < |y|, в интеграле I₂ последовательность матричнозначных функций

Ψ(n)(y,x) по теореме 5 равномерно сходится к нулю, когда n → ∞. Поэтому, переходя в

равенстве (12) к пределу при n → ∞, приходим к утверждению теоремы.

Пусть U является решением задачи (6). Вне S в R³ имеем

∫

(Ψ(n)(x, y){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Ψ(n)(x, y)}^∗U(y)) ds_y = U(x) - V(n)(x),

(13)

где

∫

V(n)(x) = (Ψ(n)(x,y)U₁(y) - {R(∂_y,ν(y))Ψ(n)(x,y)}^∗U₀(y))ds_y,

или

∫

∑

V(n)(x) =

(Ψ_m(x, y)U₁(y) - {R(∂_y, ν(y))Ψ_m(x, y)}^∗U₀(y)) ds_y.

m=0_S

Теперь пусть ε = dist {0, S} > 0. Если x ∈ B_ε, то левая часть равенства (13) стремится

к нулю, так как ряд (11) сходится равномерно вместе со своими первыми производными по

y на S. Отсюда следует, что последовательность {V(n)} сходится к U равномерно вместе со

своими производными на компактных подмножествах шара B_ε. Отсюда и теоремы 3 вытекает

условие разрешимости задачи (6).

Следствие 1. Если последовательность {V(n)} сходится равномерно на компактных под-

множествах шара B_R, то задача Коши (6) разрешима.

Доказательство. Так как члены последовательности

{V(n)} покомпонентно являются

решением скалярного уравнения pϕ = 0, то по теореме Стилтьеса-Витали его предел V =

= lim

V(n) также покомпонентно удовлетворяет тому же уравнению в B_R. Поэтому V яв-

n→∞

ляется вещественно аналитической функцией на B_R с значениями в R³. Но V совпадает в

маленьком шаре B_ε с U, что гарантирует по теореме 3 разрешимость задачи Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

8^∗

696

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

4. Условие разрешимости на языке матрицы Карлемана. Пусть D - ограниченная

односвязная область в R³ с кусочно-гладкой границей ∂D, состоящей из гладкой части S,

лежащей в полупространстве y₃ > 0, и части ∂D \ S, лежащей в плоскости y₃ = 0.

Рассмотрим задачу Коши (6). Для её решения для данной односвязной области S ис-

пользуется метод функции Карлемана, т.е. строится матрица Карлемана и с помощью этой

матрицы даётся формула для нахождения решения внутри области.

Следуя [8], приведём

Определение. Матрицей Карлемана задачи (6) называется 4 × 4-матрица Π(y,x,ω,σ),

зависящая от двух точек y, x и положительного числового параметра σ, удовлетворяющая

следующим двум условиям:

1) имеет место равенство Π(y, x, ω, σ) = Ψ(y - x, ω) + G(y, x, σ), где Ψ(y - x, ω) - матрица

фундаментальных решений систем термоупругости, а матрица G(y, x, σ) удовлетворяет по

переменной y системе (1) всюду

∫

2) справедливо неравенство

(|Π(y, x, ω, σ)| + |R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)|) dsy ≤ ε(σ), в

∂D\S

котором ε(σ) → 0 при σ → ∞.

√∑₄

Здесь и далее |Π| - евклидова норма матрицы Π = ∥Πkj∥, т.е. |Π| =

(Π_kj )².

k,j=1

√∑

В частности, |U| =

u2k.

k=1

Известно, что для вектор-функций U и

U, регулярных в D, и вектор-функций BU и

U, абсолютно интегрируемых в D, справедлива формула [19, с. 376]

∫

[U(y)

B(∂_y, ω

U (y)}

U (y){B(∂_y , ω)U(y)}] dy =

∫

[U(y)

R(∂_y, ν(y)

U (y)}

U (y){R(∂_y , ν(y))U(y)}] ds_y ,

∂D

где

B(∂_x, ω) =

B_kj(∂_x,ω)∥4×4,

B_kj(∂_x,ω) = B_jk(-∂_x,ω).

Подставляя в это равенство вместо

U (y) и U(y) соответственно G(y, x, σ) и регулярное

решение U(y) системы (1), будем иметь

∫

[G(y, x, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y , ν(y))G^∗(y, x, σ)}^∗U(y)] ds_y.

(14)

∂D

Почленно складывая равенства (5) и (14), заключаем, что имеет место

Теорема 8. Всякое регулярное решение U(x) системы (1) в области D определяется

формулой

∫

2U(x) =

[Π(y, x, ω, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)}^∗U(y)] ds_y, x ∈ D,

∂D

где Π(y, x, ω, σ) - матрица Карлемана,

Π(y, x, ω, σ) = Ψ(x - y, ω) + G^∗(y, x, σ).

С целью построения приближённого решения задачи (6) построим матрицу Карлемана

следующим образом:

Π(y, x, ω, σ) = ∥Π_kj (y, x, ω, σ)∥4×4,

{

)

∑

⁽δ_kj

∂²

Π_kj(y,x,ω,σ) =

(1 - δk4)(1 - δj4)

δ3q - α_q

2πμ

∂x_k∂x_j

q=1

[

]

}

∂

+ β_q iωη(1 - δj4)

- γ(1 - δk4)

+ δk4δj4γ_q Φ(y,x,σ,iλ_q), k,j = 1,2,3,

∂x_j

∂x_k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

697

{

}

∑

∂

Π4j(y,x,ω,σ) =

iβ_qωη(1 - δj4)

+ δj4γ_q Φ(y,x,σ,iλ_q), j = 1,2,3,

∂x_j

q=1

{

}

∑

∂

Πk4(y,x,ω,σ) =

- β_qγ(1 - δk4)

+ δk4γ_q Φ(y,x,σ,iλ_q), k = 1,2,3,

∂x_k

q=1

∑

Π₄₄(y,x,ω,σ) =

γ_qΦ(y,x,σ,iλ_q),

(15)

q=1

где

∫

∞

exp(σw²)

cos(Λu) du

Φ(y, x, σ, Λ) =

√

(16)

-2π² exp(σx²³)

w-x₃

u² + α²

√

w=i

u² + α² +y₃, α² = (y₁ -x₁)² +(y₂ -x₂)², α > 0. Из результатов работы [23] вытекает

Лемма 2. Функция Φ(y, x, σ, Λ), определяемая равенством (16), представима в виде

exp(iΛr)

Φ(y, x, σ, Λ) =

+ ϕ(y, x, σ, Λ), r = |y - x|,

(17)

4πr

где ϕ(y, x, σ, Λ) - некоторая функция, заданная для всех значений и удовлетворяющая урав-

нению Гельмгольца, Δ(∂_y)ϕ + Λ²ϕ = 0, y ∈ D, где Δ(∂_y) = ∂²/∂y²¹ + ∂²/∂y²² + ∂²/∂y²³.

Для функции Φ(y, x, σ, Λ) справедливо неравенство

∫

(



)

∂Φ(y,x,σ,Λ)

|Φ(y, x, σ, Λ)| +



s_y ≤ C(Λ,D)σ exp(-σx²³),

(18)



 d

∂ν

∂D\S

где C(Λ, D) - некоторая ограниченная функция, не зависящая от σ.

Функцию Φ(y, x, σ, Λ) назовём функцией Карлемана для уравнения Гельмгольца. Функция

Φ(y, x, σ, Λ) при x = y дважды непрерывно дифференцируема по y, и имеют место следую-

щие неравенства:

|Φ(y, x, σ, Λ)| ≤ C₁r-1 exp{σ(y²³ - x²³)},

|∂Φ(y, x, σ, Λ)/∂y_k | ≤ C₂r-2σ exp{σ(y²³ - x²³)}, k = 1, 2, 3,

|∂²Φ(y, x, σ, Λ)/∂y_k ∂y_j| ≤ C₃r-3σ² exp{σ (y²³ - x²³)}, k, j = 1, 2, 3.

(19)

Из леммы 2 вытекает

Лемма 3. Матрица Π(y, x, ω, σ), определённая равенствами (15), (16), является матри-

цей Карлемана задачи (6).

Доказательство. В силу равенств (15)-(17) имеем Π(y, x, ω, σ) = Ψ(x - y, ω) + G(y, x, σ),

где Ψ(x - y, ω) = ∥Ψ_kj(x - y, ω)∥ и G(y, x, σ) = ∥G_kj (y, x, σ)∥, а

{

)

∑

⁽δ_kj

∂²

Ψ_kj(x,ω) =

(1 - δk4)(1 - δj4)

δ3q - α_q

2πμ

∂x_k∂x_j

q=1

[

]

∂

^} exp(iλ_q|x|)

+ β_q iωη(1 - δj4)

- γ(1 - δk4)

+δk4δj4γ_q

∂x_j

∂x_k

|x|

{

)

∑

⁽ δ_kj

∂²

Gkj(y, x, σ) =

(1 - δk4)(1 - δj4)

δ3q - α_q

2πμ

∂x_k∂x_j

q=1

[

]

}

∂

+ β_q iωη(1 - δj4)

- γ(1 - δk4)

+ δk4δj4γ_q ϕ(y,x,σ,Λ).

∂x_j

∂x_k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

698

МАХМУДОВ, НИЁЗОВ

Непосредственным вычислением несложно убедиться, что матрица G(y, x, σ) по перемен-

ной y удовлетворяет системе (1) всюду в области D.

Используя равенства (15), (16) и (18), получаем

∫

(|Π(y, x, ω, σ)| + |R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)|) ds_y ≤ C(x)σ³ exp(-σx²³),

(20)

∂D\S

где C(x) - некоторая ограниченная внутри D функция, не зависящая от σ.

При x ∈ D положим

∫

2U_σ(x) =

[Π(y, x, ω, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)}^∗U(y)] ds_y .

(21)

Имеет место

Теорема 9. Пусть U(x) - регулярное решение уравнения (1) в области D, удовлетворя-

ющее условию

|U(y)| + |R(∂_y, ν(y))U(y)| ≤ M, y ∈ ∂D \ S.

(22)

Тогда при σ ≥ 1 справедлива оценка

|U(x) - U_σ(x)| ≤ MC₁(x)σ³ exp(-σx²³),

∫

где C₁(x) = C

r-2 ds_y.

∂Dρ

Доказательство. Вследствие равенств (5) и (21) имеем



∫



1



|U(x) - U_σ(x)| ≤

[Π(y, x, ω, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)}^∗U(y)] ds_y



≤

∂D\S

∫

≤

[|Π(y, x, ω, σ)| + |R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω, σ)|][|U(y)| + |R(∂_y, ν(y))U(y)|] ds_y .

∂D\S

Теперь в силу неравенств (20) и (22) получаем требуемую оценку.

Следствие 2. При выполнении условия (21) справедливы следующие эквивалентные фор-

мулы продолжения:

∫

U (x) = lim

U_σ(x) =

lim

[Π(y, x, ω, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} -

σ→∞

- {R(∂_y,ν(y))Π(y,x,ω,σ)}^∗U(y)]ds_y, x ∈ D,

(23)

∫

U (x) =

[Π(y, x, ω){R(∂_y , ν(y))U(y)} - {R(∂_y, ν(y))Π(y, x, ω)}^∗U(y)] ds_y +

∞

∫

Q(x, ω, σ) dσ, x ∈ D,

(24)

где

∫

Q(x, ω, σ) =

[P (y, x, ω, σ){R(∂_y , ν(y))U(y)} -

- {R(∂_y,ν(y))P^∗(y,x,ω,σ)}^∗U(y)]ds_y, x ∈ D,

(25)

P (y, x, ω, σ) = ∂/∂σΠ(y, x, ω, σ) = ∥∂/∂σΠ_kj (y, x, ω, σ)∥,

а Π(y, x, ω) - матрица, заданная равенствами (15), в которых Φ(y, x, σ, Λ)=(4πr)-1exp(iΛr).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ

699

Эквивалентность формул продолжения (23) и (24) вытекает из соотношения

∫∞

dU_σ(x)

lim

U_σ(x) =

dσ + U₀(x).

σ→∞

dσ

Заключение. Аналогичные результаты можно получить для областей типа конуса и для

неограниченных областей типа слоя, а также для системы уравнений моментной теории уп-

ругости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Carleman T. Les Functions Quasi Analitiques. Paris, 1926.

2. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Саrleman‘a и ее приложение к аналитическому

продолжению функций // Мат. сб. 1933. Т. 40. № 2. С. 144-149.

3. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962.

4. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближённое решение задачи Коши для уравне-

ния Лапласа // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11. Вып. 5 (71). С. 337-340.

5. Фок В.А., Куни Ф.М. О введении “гасящей” функции в дисперсионные соотношения // Докл. АН

СССР. 1959. Т. 127. № 6. С. 1195-1198.

6. Gonchar A.A. On analytic continuation from the “edge of wedge” // Ann. Acad. Sci. Finnical. Ser. AI:

Matem. 1985. V. 10. P. 221-225.

7. Кытманов A.M. Интеграл Мартинелли-Бохнера и его применения. Новосибирск, 1991.

8. Ярмухамедов Ш.Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235. № 2.

С. 281-283.

9. Tarkhanov N.N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations. Math. Top. V. 7. Berlin, 1995.

10. Шлапунов А.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 3. С. 205-

215.

11. Makhmudov O., Niyozov I. Regularization of a solutions to the Cauchy problem for systems of elasticity

theory. More progresses on analysis // Proc. of the Int. 5th ISAAK Congress / Eds. H.G.W. Begehr.

Singapore, 2009.

12. Makhmudov O., Niyozov I., Tarkhanov N. The Cauchy problem of couple-stress elasticity // Contemp.

Math. 2008. V. 455. P. 297-310.

13. Makhmudov O., Niyozov I. The Cauchy problem for the Lame system in infinite domains in R^m // J.

of Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. V. 14. № 9. P. 905-924.

14. Makhmudov O., Niyozov I. Regularization of a solution to the Cauchy problem for the system of

thermoelasticity // Contemp. Math. 2005. V. 382. P. 285-289.

15. Махмудов О.И., Ниёзов И.Э. Об одной задаче Коши для системы уравнений теории упругости

// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. C. 674-678.

16. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы теории упругости

// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 2. C. 369-376.

17. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики

и анализа. М., 1980.

18. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск, 1990.

19. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейтвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математи-

ческой теории упругости и термоупругости. М., 1976.

20. Тарханов Н.Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск, 1991.

21. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М., 1974.

22. Махмудов О.И., Ниёзов И.Э. О задаче Коши для системы динамических уравнений теории упру-

гости // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1164-1173.

23. Махмудов К.О., Махмудов О.И., Тарханов Н.Н. Нестандартная задача Коши для уравнения теп-

лопроводности // Мат. заметки. 2017. Т. 102. Вып. 2. С. 270-283.

Самаркандский государственный университет

Поступила в редакцию 10.11.2020 г.

им. Алишера Навои, Узбекистан

После доработки 20.03.2021 г.

Принята к публикации 15.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№5

2021