ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.719-728

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956+530.182

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ

НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА

С НЕИЗВЕСТНЫМ ИСТОЧНИКОМ

Рассматриваются обратные задачи определения начальных условий и стационарной неод-

нородности в краевых задачах для уравнения Бюргерса. Использовано преобразование,

позволяющее свести уравнение Бюргерса к уравнению с переменным коэффициентом от-

носительно функции, доступной измерению в томографических наблюдениях. Доказаны

теоремы единственности о восстановлении начальных условий по средним значениям ре-

шения по временной или пространственной переменным. Поставлены обратные задачи од-

новременного определения начальных данных и источника на отрезке и полупрямой. На ос-

новании спектральных представлений доказана единственность их решения.

DOI: 10.31857/S0374064121060017

Введение. Рассмотрим процесс переноса, описываемый неоднородным уравнением Бюр-

герса

u_t + 2uu_x = νu_xx + f(x),

0 < x < l, t > 0,

(1)

где ν > 0 и l - постоянные, f ∈ C[0, l]. Существуют различные физические интерпретации

функции u(x, t). Мы будем придерживаться её интерпретации как плотности частиц, непре-

рывной субстанции (например, газа см. [1, с. 99; 2, с. 121]) и т.п.

Поставим следующие дополнительные условия, которые определяют единственное решение

уравнения (1):

u(0, t) = μ₀, t ≥ 0,

(2)

u(l, t) = μ₁, t ≥ 0,

(3)

u(x, 0) = ϕ(x),

0≤x≤l,

(4)

где ϕ ∈ C[0, l], μ₀, μ₁ - действительные числа и выполнены условия согласования ϕ(0) = μ₀,

ϕ(l) = μ₁.

Под решением обратных задач для (1)-(4) задач будем понимать, не формулируя пока

точных постановок, восстановление функций ϕ(x) или f(x), если дополнительно известна

некоторая функция или функции, доступные в измерениях и определяемые решением u(x, t)

прямой задачи (1)-(4). Поскольку саму плотность не всегда можно непосредственно измерить,

то на практике (например, в томографии) широко используется метод, основанный на следу-

ющем феноменологическом законе изменения интенсивности проникающего излучения w(x)

в среде с плотностью u(x):

= -γu(x)w, x > 0,

что приводит к хорошо известной зависимости

∫_x

w(x) = w(0)e^-γ

u(ξ) dξ,

где γ > 0 - коэффициент поглощения, определяемый как свойствами среды, так и парамет-

рами излучения.

719

720

БАЕВ

Рассмотрим процесс, при котором плотность u(x, t) в уравнении (1) изменяется во времени

значительно медленнее распространения излучения. Введём вспомогательную функцию

∫x

v(x, t) = u(ξ, t) dξ,

0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0,

физический смысл которой - масса вещества на отрезке [0, x]. Тогда для интенсивности w(x, t)

приходим к следующей зависимости:

w(x, t) = w(0, t)e-γv(x,t),

где w(0, t) ∈ C¹[0, ∞), и пусть далее w(0, 0) = 1.

Получим уравнение относительно функции w(x, t). Так как v_x = u, то, заменяя в уравне-

нии (1) u на v_x, будем иметь

v_xt + (v2x)_x = νv_xxx + f(x),

откуда следует, что

∫x

v_t + v2x = νv_xx + F(x) + a(t), F(x) = f(ξ)dξ + b,

(5)

где функция a(t) и постоянная b выбираются произвольно.

С другой стороны,

w(x, t)

v(x, t) = -

(6)

w(0, t)

Подставляя последнее выражение в (5), находим:

[

(

]

⁾w

w_t(0,t)

w_t - νw_xx + ν -

= -γF(x) +

- γa(t).

γ w

w(0, t)

В силу произвольности функции a(t) полагаем γa(t) = w_t(0, t)/w(0, t). Поскольку переопреде-

лением функции w (возведением в положительную степень) всегда можно добиться равенства

γν = 1, то окончательно получаем

w_t = νw_xx - q(x)w,

0 < x < l, t > 0, q(x) = γF(x).

(7)

Для решения w(x, t) уравнения (7) вследствие условий (2)-(4) и равенств v_x = u и (6)

возникают следующие граничные и начальные условия:

w_x(0,t) + γμ₀w(0,t) = 0, t ≥ 0,

(8)

w_x(l,t) + γμ₁w(l,t) = 0, t ≥ 0,

(9)

∫_x

w(x, 0) = ψ(x) = e^-γ

ϕ(ξ) dξ,

0≤x≤l.

(10)

Поскольку из условия (10) следует, что

w_x(x,0) = -γϕ(x)w(x,0),

(11)

то непосредственной подстановкой выражения (11) для функции w_x(x, 0) в (8), (9) убеждаемся

в выполнении условий согласования граничных и начальных данных для w(x, t).

Заметим, что применённые выше редукции в какой-то мере можно рассматривать как обоб-

щение преобразования Коула-Хопфа [1, с. 100], в основе которого лежит хорошо известное и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

721

часто используемое в обратной задаче теории рассеяния линеаризующее преобразование для

уравнения Риккати (см. [2, с. 228; 3, с. 154]).

Уравнению Бюргерса посвящено огромное число работ, однако большая их часть связа-

на либо с поиском аналитических решений для источников специального вида [4; 5], либо с

использованием его как одного из эталонных уравнений при моделировании нелинейных про-

цессов в гидродинамике [6; 7].

Настоящая работа посвящена постановке и решению обратных задач для неоднородного

уравнения Бюргерса на основе дополнительных данных, доступных в измерениях, с одной

стороны, и, с другой стороны, в рамках строгих математических постановок. При этом в статье

при исследовании обратных начально-краевых задач для уравнений параболического типа

используются подходы и методы, предложенные и развитые в работах А.М. Денисова [8, с. 160;

9; 10].

1. Задачи определения начальных данных для уравнения Бюргерса на отрезке.

1.1. Прежде чем переходить к постановке и исследованию обратных задач, построим ре-

шение прямой задачи (7)-(10), основываясь на методе Фурье. При этом нам понадобится ор-

тогональный базис X_n(x), n ∈ N, в L₂[0, l], определяемый собственными функциями (с.ф.) -

решением задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Шрёдингера на отрезке [0, l]:

νX^′′ - q(x)X = -λX,

(12)

X^′(0) + γμ₀X(0) = 0,

(13)

X^′(l) + γμ₁X(l) = 0.

(14)

Дополнительным требованием к решению этой задачи поставим условие положительности

собственных значений (с.з.): λ_n > 0 для всех n ∈ N. Хорошо известно, что не при любых дей-

ствительных μ₀, μ₁ такое условие выполнено. Покажем, что его выполнения можно добиться

увеличением функции q(x), что возможно в силу произвольности постоянной b в (5).

∫емма 1. Для любой функции f ∈ C[0, l] найдётся такая постоянная b, что для q(x) =

= γ

f (ξ)dξ + γb собственные значения задачи (12)-(14) положительны, т.е. λ_n > 0 для

всех n ∈ N.

Доказательство. Пусть λ⁰¹ < λ⁰² < . . . <∫λ0n . . . - с.з. задачи Штурма-Лиувилля (12)-(14)

с коэффициентом q(x), равным q₀(x) = γ

f (ξ) dξ. Если в уравнении (12) коэффициент

q₀(x) заменить на q₀(x) + γb, то, очевидно, что с.ф. сохраняются, а с.з. изменятся и станут

равными λ_n = λ0n+γb, n ∈ N. Выбирая число b достаточно большим, приходим к выполнению

неравенства λ_n > 0 при всех n ∈ N. Лемма доказана.

Пусть {X_n(x)}, n ∈ N, - базис из с.ф. задачи (12)-(14) такой, что λ_n > 0 для всех n ∈ N.

Тогда решение задачи (7)-(10) представимо в виде ряда:

∑

w(x, t) =

ψ_ne-λntX_n(x),

0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0,

(15)

n=1

где

∫

(ψ, X_n)

ψ_n =

ψ(x)X_n(x) dx =

∥X_n∥

1.2. Поставим обратную задачу об определении неизвестного начального условия ϕ(x) в

задаче (1)-(4) по дополнительным данным, имеющим смысл среднего взвешенного значения

функции w(x, t) по t на отрезке [0, T ]:

∫

αw(x, 0) + (1 - α)w(x, T ) +

w(x, t)η(t) dt = w_T (x),

0≤x≤l,

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

722

БАЕВ

где 0 ≤ α ≤ 1, η ∈ C[0, T ]. Условие (16) охватывает широкий класс дополнительных данных

для уравнения Бюргерса, поскольку на практике получение достоверной томографической

информации, как правило, основано на усреднении.

Теорема 1. Пусть неоднородность f ∈ C[0, l] в уравнении (1) известна, а функция

η(t) ≥ 0 и числа α и β ≥ 0 в условии (16) заданы. Тогда обратная задача (1)-(4), (16)

может иметь лишь единственное решение.

Доказательство. Положим в (15) t = T. При этом для (16) получаем

∫

]

∑[

αw(x, 0) + (1 - α)w(x, T ) +

w(x, t)η(t) dt ψ_nX_n(x) = w_T (x).

n=1

∫l

Поскольку при w_T (x) = 0 и α + (1 - α)e-λnT + βT-1

e-λntη(t)dt = 0 верно равенство

ψ_n = 0 для всех n ∈ N, то в силу полноты системы {X_n(x)} в L₂[0,l] получаем, что ψ =

= 0. Предположение, что обратная задача (1)-(4), (16) имеет два решения ϕ = ϕ, в силу

∫_x

доказанного выше приводит к противоречию e^-γ

ϕ(ξ) dξ - e^-γ

ϕ(ξ) dξ = ψ(x) = 0 при всех

x ∈ [0,l]. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь обратную задачу об определении неизвестного начального условия ϕ(x)

в задаче (1)-(4), когда в качестве дополнительной информации дано среднее взвешенное зна-

чение функции w(x, t) по x на отрезке [0, l] при t ∈ [t₀, T ], t₀ > 0:

∫

αw(0, t) + (1 - α)w(l, t) +

w(x, t)ρ(x) dx = w_l(t),

(17)

где 0 ≤ α ≤ 1, ρ ∈ C[0, l].

Теорема 2. Пусть неоднородность f ∈ C[0, l] в уравнении (1) известна, а функция ρ(x)

и число α > 1/2 в условии (17) заданы, причём ρ(x) такова, что (ρ, X_n) > 0 для всех n ∈

∈ N. Тогда найдётся β > 0 такое, что обратная задача (1)-(4), (17) имеет не более одного

решения.

Доказательство. Очевидно, что (ρ, X_n) → 0 при n → ∞ в силу свойств рядов Фурье по

полной системе {X_n(x)}, n ∈ N, такой, что X_n(0) = 1. П√и этом для с.ф. Xn(x) справедлива

асимптотическая формула (см. [11, с. 221]) X_n(l) = cos(

λ_nl) + O(1/n), т.е. найдётся c > 0

такое, что при всех n ∈ N выполняется неравенство |X_n(l)| ≤ 1 + 2c/n. Тогда

αX_n(0) + (1 - α)X_n(l) ≥ 2α - 1 - 2c(1 - α)/n.

Поскольку α > 1/2, то найдётся ε > 0 такое, что

αX_n(0) + (1 - α)X_n(l) ≥ 2ε - c/n.

Выберем теперь N = N(ε, c) таким, чтобы при n > N выполнялось неравенство ε-c/n >

> 0. Очевидно, что при n ≤ N справедлива оценка αX_n(0) + (1 - α)X_n(l) ≥ 2ε - c. Так как

(ρ, X_n) > 0, то найдётся β > 0 такое, что β(ρ, X_n) > c.

Таким образом, доказано, что в условиях теоремы выполняется неравенство

αX_n(0) + (1 - α)X_n(l) + β(ρ, X_n) > ε.

Для доказательства единственности решения обратной задачи достаточно рассмотреть слу-

чай w_l(t) = 0 при t ∈ [t₀, T ], т.е. когда

∑

[αX_n(0) + (1 - α)X_n(l) + β(ρ, X_n)]ψ_ne-λnt = 0.

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

723

Поскольку левая часть последнего равенства является функцией, аналитической при t ≥ t₀ и

равной нулю на отрезке [t₀, T ], то она равна нулю при всех t ≥ t₀. Устремляя t к бесконеч-

ности, последовательно устанавливаем, что ψ_n = 0 для всех n ∈ N (подробнее см. [8, с. 119]).

Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям из доказательства теоремы 1. Теорема

доказана.

2. Обратные задачи для неоднородного уравнения Бюргерса на отрезке и полу-

прямой.

2.1. Пусть теперь неизвестны как начальное условие ϕ(x), так и источник f(x),

0 ≤

≤ x ≤ l, в уравнении Бюргерса. С учётом п. 1 такая задача сводится к определению функции

q(x) в уравнении (7) при неизвестной функции ψ(x). В качестве дополнительных данных

рассмотрим след решения задачи (7)-(10) при x = 0:

w(0, t) = g(t), t ≥ 0,

(18)

и след решения

w(x, t) задачи (7)-(10) при другом значении параметра μ₀, а именно, при

μ₀ = μ₀ :

w(0, t) = h(t), t ≥ 0.

(19)

Для разности z(x, t) = w(x, t)-

w(x, t) возникает обратная задача об определении функции

q(x):

z_t = νz_xx - q(x)z,

0 ≤ x ≤ l, t > 0,

(20)

z(x, 0) = 0,

0≤x≤l,

(21)

z_x(0,t) + γμ₀z(0,t) = γ(μ₀ - μ₀)h(t), t ≥ 0,

(22)

z_x(l,t) + γμ₁z(l,t) = 0, t ≥ 0,

(23)

z(0, t) = g(t) - h(t), t ≥ 0.

(24)

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу Коши [11, с. 221] относительно функции

y(x, p), p ∈ C (ниже y^′′(x, p) ≡ y_xx(x, p)):

νy^′′ - q(x)y = py,

0≤x≤l,

(25)

y(l, p) = 1, y^′(l, p) = -γμ₁.

Совершим в задаче (20)-(24) преобразование Лапласа по переменной t с параметром p, пред-

полагая, что q(x) > 0, и, тем самым, g(t), h(t) → 0 при t → ∞. Неравенства q(x) > 0 можно

добиться, зная априорную оценку: f(x) > f₀ = const при всех x ∈ [0, l]. Для z(x, p) ≓ z(x, t)

получаем

νz_xx - q(x)z = pz,

0≤x≤l,

zx(0, p) + γμ0 z(0, p) = γ(μ0 - μ0)^h(p),

(26)

zx(l, p) + γμ1 z(l, p) = 0,

z(0, p) = g(p) -h(p),

(27)

где g(p) ≓ g(t),

^h(p) ≓ h(t).

Нетрудно убедиться, что функции z(x, p) и y(x, p) линейно зависимы, и, следовательно,

z(x, p) = C(p)y(x, p). При этом в силу (26), (27) имеем

C(p)[y^′(0, p) + γμ₀y(0, p)] = γ(μ₀ - μ₀)^h(p), C(p)y(0, p) = g(p) -h(p).

Исключая C(p), приходим к равенству

y^′(0,p) + γμ₀y(0,p)

^h(p)

= γ(μ₀ - μ₀)

y(0, p)

g(p) -h(p)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

724

БАЕВ

Поскольку нули и полюсы правой части определяют два спектра задач Штурма-Лиувилля

для уравнения (25) с граничными условиями

y^′(l,p) + γμ₁y(l,p) = 0, y^′(0,p) + γμ₀y(0,p) = 0,

или вместо последнего условия

y(0, p) = 0,

то функция q(x) однозначно определяется данными (18), (19) обратной задачи [8; 12, с. 74].

Вернёмся к задаче определения функции ψ(x) по данным обратной задачи. Докажем, что

ψ(x) восстанавливается однозначно при известной функции q(x). Проведём доказательство

от противного. Пусть существуют различные функции ψ₀(x) и ψ(x),

0 ≤ x ≤ l, такие,

что w₀(0, t) = w(0, t), где w₀ и w - решения задач (7)-(10) для ψ₀ и ψ соответственно.

Поскольку для решений w₀ и w выполняются также краевые условия (8), то w0,x(0, t) =

= w_x(0,t). Но тогда для разности ω(x,t) = w₀(x,t) - w(x,t) имеет место следующая задача:

ω_t = νω_xx - q(x)ω,

0 < x < l, t > 0,

(28)

ω(0, t) = ω_x(0, t) = 0, t ≥ 0,

(29)

ω_x(l,t) + γμ₁ω(l,t) = 0, t ≥ 0,

(30)

ω(x, 0) = ω(x),

0≤x≤l,

(31)

где ω = ψ₀ - ψ.

Для дальнейшего нам понадобится

Лемма 2. Решение ω(x, t) задачи (28)-(30) равно нулю при x ∈ [0, l], t ∈ [0, ∞), т.е.

задача (28)-(31) разрешима лишь при ω = 0.

Доказательство. Пусть {X_n(x)},

{λ_n}, n ∈ N, - с.ф. и с.з. задачи (12)-(14) с условием

X_n(0) = 0 вместо условия (13). Тогда

∑

ω(x, t) =

ω_ne-λntX_n(x).

n=1

Продифференцируем функцию ω по x и положим x = 0:

∑

ω_x(0,t) =

ω_ne-λntX^′n(0) = 0.

n=1

Очевидно, что X^′n(0) = 0 для любого n ∈ N. Устремляя t к бесконечности, последовательно

устанавливаем, что ω_n = 0, и, следовательно, ω(x) = 0. Лемма доказана.

Таким образом, имеет место следующая

Лемма 3. Обратная задача определения функций q(x), ψ(x) из условий (7)-(10), (18),

(19) может иметь лишь единственное решение.

Вернёмся к обратной задаче для уравнения Бюргерса на отрезке. Пусть в качестве до-

полнительных данных для прямой задачи (1)-(4) заданы условия (18), (19), соответствующие

μ₀ = μ₀. Тогда из леммы 3 и связи задач (1)-(4) и (7)-(10) вытекает

Теорема 3. Пусть неизвестная функция f в уравнении (1) непрерывна и известна её

априорная оценка: f(x) > f₀ = const при всех x ∈ [0, l]. Тогда обратная задача (1)-(4), (18),

(19) имеет не более одного решения.

2.2. Перейдём теперь к задаче определения начального условия ϕ(x) и источника f(x)

на полупрямой x ≥ 0. Пусть далее функции f и ϕ таковы, что q ∈ C[0, ∞), q(x) неот-

∫ицательна и достаточно быстро стремится к нулю при x → ∞, причём выполнено условие

∞

xq(x)dx < ∞, а ψ ∈ C[0,∞)

^⋂L₂[0,∞). Нетрудно убедиться, что, согласно (5), (10), класс

таких функций не пуст и соответствует реальным физическим требованиям.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

725

Рассмотрим следующую спектральную задачу:

νX^′′(x,k) - q(x)X(x,k) = -k²X(x,k), x ≥ 0,

(32)

X^′(0,k) + γμ₀X(0,k) = 0,

|X(∞, k)| < ∞,

(33)

с условием нормировки X(0, k) = 1. Хорошо известно (см., например, [11, с. 59; 13, с. 31], что

любая функция ψ(x) из указанного класса представима в виде

∫∞

∫

∞

ψ(x) =

ψ(ξ)X(ξ, k) dξ X(x, k) dσ(k),

где σ(k) - спектральная функция задачи (32), (33). Соответственно, решение задачи

w_t = νw_xx - q(x)w, x,t > 0,

(34)

w_x(0,t) + γμ₀w(0,t) = 0, t ≥ 0,

(35)

w(x, 0) = ψ(x), x ≥ 0,

(36)

представимо в виде [14, с. 6]

∫∞

∫

∞

w(x, t) =

ψ(ξ)X(ξ, k) dξe-k2 tX(x, k) dσ(k).

Из этого представления следует, что при Re p ≥ p₀ > 0 определено преобразование Лапласа

функции w(x, t) с параметром p.

Рассмотрим обратную коэффициентную начально-краевую задачу на полупрямой x ≥ 0 :

в задаче (34)-(36) по следу решения

w(0, t) = g(t), t ≥ 0,

(37)

и следу решения при другом значении μ₀ = μ₀

w(0, t) = h(t), t ≥ 0,

(38)

найти функции q(x) и ψ(x) при x ≥ 0.

Докажем, что эта задача имеет лишь единственное решение. Рассуждения повторяют п. 3.1.

Для разности z(x, t) = w(x, t) -

w(x, t) возникает следующая обратная задача об определе-

нии q(x):

z_t = νz_xx - q(x)z, x,t > 0,

(39)

z(x, 0) = 0, x ≥ 0,

(40)

z_x(0,t) + γμ₀z(0,t) = γ(μ₀ - μ₀)h(t), t ≥ 0,

(41)

z(0, t) = g(t) - h(t), t ≥ 0,

(42)

z(∞, t) = 0, t ≥ 0.

(43)

Из условий (41), (42) и принципа суперпозиции вытекает, что для функции z₀(x, t), удовле-

творяющей соотношениям (39), (40), (43), можно считать известными следующие начально-

краевые условия:

2νz0,x(+0, t) = -δ(t), t ≥ 0,

(44)

z₀(x,0) = 0, x ≥ 0,

z₀(0,t) = f(t), t ≥ 0,

(45)

z₀(∞,t) = 0, t ≥ 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

726

БАЕВ

Покажем, что из условия (45) можно найти функцию q(x), x ≥ 0, лишь единственным

образом.

Замечание. Для уравнения теплопроводности

u_t = a²u_xx + F(x,t), t > 0,

в [15, с. 239] установлено, что три задачи

1) |x| < ∞, u(x, 0) = δ(x), F = 0, t ≥ 0,

2) |x| < ∞, u(x, 0) = 0, F = δ(x)δ(t), t ≥ 0,

3) x > 0, u(x, 0) = 0, F = 0, 2a2ux(+0, t) = -δ(t), t ≥ 0,

при x ≥ 0 имеют одно и то же (фундаментальное) решение

G(x, t) =

√

e-x2/4a2t.

4πa²t

Этот результат справедлив и в случае уравнения (39), что будет установлено в процессе дока-

зательства следующей леммы.

Лемма 4. Задача определения функции q(x), x ≥ 0, из условий (39), (40), (43) по дан-

ным (44), (45) может иметь лишь единственное решение.

Доказательство. Продолжим коэффициент q(x) и решение z₀(x, t) на полупрямую x ≤ 0

чётным образом. Очевидно, что z0,x(0, t) = 0 при t > 0. Остаётся проверить условие (44). Для

этого совершим преобразование Лапласа, положив z₀(x, p) ≓ z₀(x, t):

νz0,xx - q(x)z₀ = pz₀,

|x| < ∞,

2ν z0,x(±0, p) = ∓1,

z₀(±∞,p) = 0.

Рассмотрим теперь соответствующую начальную задачу относительно функции z(x, t):

z_t = νz_xx - q(x)z,

|x| < ∞, t > 0,

z(x, 0) = δ(x),

|x| < ∞,

z(±∞, t) = 0, t ≥ 0.

Совершив преобразование Лапласа в этой задаче, получим

νz_xx - q(x)z = pz- δ(x),

|x| < ∞,

(46)

z(±∞, p) = 0.

(47)

Докажем, что z(x, p) = z₀(x, p). Действительно, z(x, p) является функцией Грина задачи

(46), (47), откуда следует, что z(x, p) имеет при x = 0 скачок производной, т.е. 2ν z_x(±0, p) =

= ∓1. Таким образом, функции z(x,p) и z₀(x,p) являются решением одной и той же краевой

задачи на полупрямой x > 0. Доказательство для случая F = δ(x)δ(t) аналогично.

Из доказанного следует справедливость замечания и, в частности, эквивалентность задач

вида 1) и 3) для уравнения (39). Используем теперь результат из [14, с. 17], вкратце приведя

соответствующие выкладки.

Совершим преобразование Фурье по системе функций X₀(x, k), являющихся решением

уравнения (32) с условиями Коши X₀(0, k) = 1, X′0(0, k) = 0:

∞

∫∞

∫

−νk²

z(x, p)X₀(x, k) dx = p

z(x, p)X₀(x, k) dx - 1.

Отсюда получаем, что

∞

∫

z(x, p)X₀(x, k) dx =

p+νk²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

727

Совершая обратное преобразование Фурье, находим

∫∞

X₀(x,k)

z(x, p) =

dσ(k),

p+νk²

где σ(k) - спектральная функция задачи. Окончательно для прообраза Лапласа приходим к

следующей формуле:

∫∞

z(x, t) = e-νk2tX₀(x, k) dσ(k).

Полагая теперь x = 0, из данных обратной задачи получаем уравнение на σ(k):

∞

∫

e-νk2tdσ(k) = f(t), t ≥ 0.

Из теоремы Лёрха о взаимнооднозначности преобразования Лапласа [14, с. 75] следует, что

спектральная функция однозначно определяется по функции f(t). В свою очередь, функция

σ(k) однозначно определяет коэффициент q(x), x ≥ 0 [13, с. 46]. Лемма доказана.

Осталось доказать, что функция ψ(x) однозначно восстанавливается на полупрямой x ≥ 0

при известной функции q(x). Доказательство аналогично п. 3.1. Допустим, что существуют

ψ₀(x) = ψ(x) такие, что w₀(0,t) = w(0,t), где w₀ и w - решения задач (34)-(36) для ψ₀ и ψ

соответственно. Поскольку для решений w₀ и w выполняются также краевые условия (37), то

w0,x(0,t) = w_x(0,t). Но тогда для разности ω(x,t) = w₀(x,t) - w(x,t) имеет место следующая

задача:

ω_t = νω_xx - q(x)ω, x,t > 0,

ω(0, t) = ω_x(0, t) = 0, t ≥ 0,

|ω(∞, t)| < ∞, t ≥ 0,

ω(x, 0) = ω(x), x ≥ 0,

где ω = ψ₀ - ψ.

Функция ω(x, t) представима в виде

∞

∫∞

∫

ω(x, t) =

ω(ξ)X₀(ξ, k) dξe-k2tX₀(x, k) dσ(k),

поэтому

∫∞

∫

∞

ω(0, t) =

ω(ξ)X₀(ξ, k) dξe-k2tdσ(k) = 0, t ≥ 0.

Снова обращаясь к теореме о взаимнооднозначности преобразовании Лапласа [14, с. 75], за-

ключаем, что

∞

∫

ω(ξ)X₀(ξ, k) dξ = 0, k ≥ 0,

откуда следует

Теорема 4. Обратная задача определения функций f(x), ϕ(x), x ≥ 0, в прямой задаче

(1)-(4) по дополнительным данным (37), (38) может иметь лишь единственное решение.

Нетрудно убедиться, что теоремы единственности решения обратных задач одновременного

определения начальных условий и источника в уравнении Бюргерса на отрезке и полупрямой,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

728

БАЕВ

аналогичные теоремам 3 и 4, могут быть доказаны для дополнительных условий второго или

третьего рода взамен (37), (38).

Работа выполнена при содействии Московского центра фундаментальной и прикладной

математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977.

2. Нелинейные волны / Ред. С. Лейбович, С. Сибасс. М., 1977.

3. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М., 2001.

4. Петровский С.В. Точные решения уравнения Бюргерса с источником // Журн. техн. физики. 1999.

Т. 69. Вып. 8. С. 10-14.

5. Кудрявцев А.Г., Сапожников О.А. Получение точных решений неоднородного уравнения Бюргерса

с использованием преобразования Дарбу // Акуст. журн. 2011. Т. 57. № 3. С. 313-322.

6. Гужев Д.С., Калиткин Н.Н. Уравнение Бюргерса - тест для численных методов // Мат. модели-

рование. 1995. Т. 7. № 4. С. 99-127.

7. Samokhin A. Gradient catastrophes for a generalized Burgers equation on a finite interval // Geometry

and Physics. 2014. V. 85 (November). P. 177-184.

8. Denisov A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems. Utrecht, 1999.

9. Денисов А.М. Единственность и неединственность решения задачи определения источника в урав-

нении теплопроводности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2016. Т. 56. № 10. С. 1754-

1759.

10. Денисов А.М. Задачи определения неизвестного источника в параболическом и гиперболическом

уравнениях // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2015. Т. 55. № 5. С. 830-835.

11. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М., 1988.

12. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. Bd. 78. № 1.

S. 1-96.

13. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М., 1984.

14. Лаврентьев М.М., Резницкая М.М., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической фи-

зики. Новосибирск, 1982.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 21.01.2020 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 06.04.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021