ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.735-751

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

НА ВНУТРЕННЕЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

Для уравнения (sign y)|y|^mu_xx + u_yy - (m/2y)u_y = 0, рассматриваемого в некоторой сме-

шанной области, доказаны теоремы единственности и существования решения задачи с

недостающим условием Трикоми на граничной характеристике и аналогом условия Франк-

ля на внутренней характеристике и на отрезке вырождения.

DOI: 10.31857/S0374064121060030

1. Постановка задачи ТF (Трикоми-Франкля). Пусть D - конечная односвязная

область комплексной плоскости C = {z = x + iy}, ограниченная при y > 0 нормальной

кривой σ₀ (y = σ₀(x)), заданной уравнением x² + 4(m + 2)-2ym+2 = 1, с концами в точках

A(-1, 0) и B(1, 0), а при y < 0 - характеристиками AC и BC уравнения

(sign y)|y|^mu_xx + u_yy - (m/2y)u_y = 0,

(1)

где m - положительная постоянная.

Обозначим через D⁺ и D^- части области D, лежащие соответственно в полуплоскостях

y > 0 и y < 0, через C₀ и C₁ - точки пересечения соответственно характеристик AC

и BC с характеристиками, выходящими из точки E(c,0), а через C^∗ - точку пересечения

характеристики EC₁ c характеристикой, выходящей из точки E₁(c₁, 0), где c, c₁ - некоторые

числа, принадлежащие интервалу I = (-1, 1) оси y = 0, причём c < c₁ < 1.

Пусть p(x) = a₁x - b₁ и q(x) = a₂ - b₂x - линейные функции, отображающие отрезок [c, 1]

на отрезки [c, c₁] и [c₁, 1] соответственно, причём p(c) = c, p(1) = c₁ и q(c) = 1, q(1) = c₁,

т.е. a₁ = (c₁ - c)/(1 - c), b₁ = c(c₁ - 1)/(1 - c) и a₂ = (1 - cc₁)/(1 - c), b₂ = (1 - c₁)/(1 - c),

при этом a₁ + b₂ = 1, a₂ + b₁ = 1.

В работе Трикоми [1] краевое условие ставилось на всей характеристике AC. В настоя-

щей работе исследуется корректность задачи, в которой характеристика AC произвольным

образом разбита на два куска AC₀ и C₀C и на AC₀ задано условие Трикоми, а C₀C осво-

бождён от краевого условия, и это недостающее условие Трикоми заменено аналогами условия

Франкля [2-5] на внутренней характеристике EC₁ и на отрезке вырождения EB ⊂ AB.

Задача ТF (Трикоми-Франкля). Требуется найти в области D функцию u(x, y) ∈

∈ C(D), удовлетворяющую следующим условиям:

1) функция u(x, y) принадлежит классу C²(D⁺) и удовлетворяет уравнению (1) в облас-

ти D⁺;

2) функция u(x, y) является в области D^- обобщённым решением класса R₁ уравне-

ния (1) (u(x, y) ∈ R₁, если в формуле Даламбера τ^′(x), ν(x) ∈ H (см. ниже представление (7)

[6, с. 104]);

3) на интервале вырождения AB имеет место условие сопряжения

∂u

lim

(-y)-m/2

= lim

y-m/2

x ∈ I \ {c},

(2)

y→-0

∂y

y→+0

∂y

причём эти пределы при x = ±1, x = c могут иметь особенности порядка ниже единицы;

735

2^∗

736

МИРСАБУРОВА

4) выполняются равенства

u(x, y)|σ0 = ϕ(x), x ∈ I,

(3)

u(x, y)|AC0 = ψ₀(x), x ∈ [-1, (c - 1)/2],

(4)

u[θ^∗(p(x))] - μu[θ^∗(q(x))] = ψ₁(x), x ∈ [c, 1],

(5)

u(p(x), 0) - u(q(x), 0) = f(x), x ∈ [c, 1],

(6)

где μ - постоянная, μ ∈ (0, 1), а θ^∗(x₀) = (x₀ + c)/2 - i[(m + 2)(x₀ - c)/4]2/(m+2) - аффикс

точки пересечения характеристики EC₁ с характеристикой, выходящей из точки M(x₀, 0),

где x₀ ∈ (c, 1) [7, 8], функции ϕ(x), ψ₀(x), ψ₁(x), f(x) заданы и ϕ(x) ∈ C0,α0 (I), ψ₀(x) ∈

∈ C[-1,(c - 1)/2]

^⋂C1,α0 (-1, (c - 1)/2), ψ₁(x), f(x) ∈ C[c, 1]^⋂ C1,α0 (c, 1), причём

ϕ(x) = (1 - x²)ϕ₀(x), ϕ₀(x) ∈ C0,α0 (I), ψ₀(-1) = 0, ψ₁(1) = 0, f(1) = 0.

Заметим, что условия (5) и (6) являются аналогами условия Франкля [2] на внутренней ха-

рактеристике EC₁ = EC^∗

^⋃C^∗C₁ и на отрезке вырождения EB = (EE₁ ⋃E₁B) ⊂ AB соот-

ветственно. Обозначим u(x, 0) = τ(x), x ∈ I, тогда условие (6) примет вид

τ (p(x)) - τ(q(x)) = f(x), x ∈ [c, 1].

(6^∗)

2. Единственность решения задачи TF. Формула Даламбера, дающая в области D^-

для уравнения (1) решение видоизменённой задачи Коши с начальными данными

∂u

u(x, 0) = τ(x), x ∈ I; lim

(-y)-m/2

= ν(x), x ∈ I,

y→-0

∂y

имеет вид [9, с. 39]

[ (

)

(

)]

u(x, y) =

τ x-

(-y)(m+2)/2

+τ x+

(-y)(m+2)/2

m+2

∫1

(

)

(m+2)/2

(-y)

ν x+

(-y)(m+2)/2 dt.

(7)

m+2

−1

С помощью формулы Даламбера в силу краевых условий (4) и (5) с учётом равенства (6^∗)

соответственно получаем

τ^′(x) - ν(x) = ψ′0((x - 1)/2), x ∈ (-1,c),

(8)

b₂(1 - μ)τ^′(q(x)) + a₁ν(p(x)) + μb₂ν(q(x)) = ψ₂(x), x ∈ (c,1),

(9)

где ψ₂(x) = f^′(x) - 2ψ′1(x).

Равенства (8) и (9) являются первыми функциональными соотношениями между неизвест-

ными функциями τ(x) и ν(x), привнесёнными соответственно на интервалы (-1, c) и (c, 1)

оси y = 0 из области D^-.

Для задачи ТF аналогом принципа экстремума Бицадзе [10, с. 301] является

Теорема 1. Решение u(x, y) задачи TF при выполнении условий ψ₀(x) ≡ 0, ψ₁(x) ≡ 0,

f (x) ≡ 0 свои наибольшее положительное значение (НПЗ) или наименьшее отрицательное

значение (НОЗ) в замкнутой области D⁺ может принимать только в точках нормальной

кривой σ₀.

Доказательство. Пусть функция u(x, y) удовлетворяет условиям теоремы 1. В силу

принципа Хопфа [10, с. 25] решение u(x, y) уравнения 1 своего НПЗ во внутренних точках

области D⁺ не достигает.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

737

Допустим, что функция u(x, y) в области D⁺ своего НПЗ или НОЗ достигает в точках

интервала I = (-1, 1) оси y = 0.

Пусть (x₀, 0), x₀ ∈ I, - точка НПЗ функции u(x, y), а следовательно, и функции τ(x) =

= u(x, 0).

Рассмотрим отдельно три случая возможного расположения точки x₀.

1. Пусть x₀ ∈ (-1, c). Тогда в этой точке имеем [11; 9, с. 74]

ν(x₀) < 0.

(10)

С другой стороны, в силу соответствующего однородного соотношения (8) (с τ^′(x₀) = 0,

ψ₀(x) ≡ 0) верно равенство ν(x₀) = 0, что в силу (2) противоречит неравенству (10). Следо-

вательно, x₀ ∈ (-1, c).

2. Пусть решение u(x, y) своего НПЗ достигает во внутренней точке x₀ интервала (c, 1).

Тогда в силу соответствующего однородного условия (6^∗) (c f(x) ≡ 0) решение u(x, y) своего

НПЗ достигает в двух точках (p(x₀), 0) и (q(x₀), 0). Следовательно, в этих точках ν(p(x₀)) <

< 0, ν(q(x₀)) < 0 [11; 9, с. 74], откуда следует, что

a₁ν(p(x₀)) + μb₂ν(q(x₀)) < 0.

(11)

Однако в силу соответствующего однородного соотношения (9) (c τ^′(q(x₀)) = 0, ψ₂(x) ≡

≡ 0) имеем a₁ν(p(x₀)) + μb₂ν(q(x₀)) = 0, что вследствие (2) противоречит неравенству (11).

Поэтому x₀ ∈ (c, 1)

3. Пусть x₀ = c. Тогда из соответствующего однородного условия (6^∗) (c f(x) ≡ 0) при

x = c с учётом значений p(c) = c, q(c) = 1, τ(1) = ϕ(1) = 0 вытекает, что τ(c) - τ(1) = 0,

т.е. τ(c) = 0. Следовательно, и в этом случае приходим к противоречию.

Таким образом, решение u(x, y), удовлетворяющее условиям теоремы 1, своего НПЗ во

внутренних точках интервала I не достигает.

Так же, как и выше, доказывается, что решение u(x, y), для которого выполнены условия

теоремы 1, своего НОЗ не достигает во внутренних точках интервала I.

Итак, решение u(x, y), удовлетворяющее условиям теоремы 1, своих НПЗ и НОЗ в замкну-

той области D⁺ может достигать только в точках нормальной кривой σ₀. Теорема доказана.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие. Задача TF имеет не более одного решения.

В самом деле, согласно теореме 1, решение однородной задачи TF в замкнутой области

D⁺ своих НПЗ и НОЗ достигает в точках нормальной кривой σ₀, а в этих точках в силу

соответствующего однородного условия (3) (с ϕ(x) ≡ 0) u(x, y)|σ0 = 0. Отсюда следует, что

u(x, y) ≡ 0 всюду в замкнутой области D⁺, а значит, и во всей смешанной области D.

3. Существование решения задачи TF.

Теорема 2. Пусть для числовых параметров задачи T F выполняется неравенство

(

)

^√c₁ -c

⁽1-c₁)²

μ(1 + b∗2) +

(1 + a∗1)

< 1,

(12)

(1 - μ²)

1-c₁

c₁

-c

в котором a∗1 = cos(θπ)-0.5a₁ sin(θπ), b∗2 = cos(θπ)-0.5b₂ sin(θπ), θπ = arctg((1+μ)/(1-μ)).

Тогда задача T F однозначно разрешима.

Заметим, что множество числовых параметров задачи T F, удовлетворяющих неравенству

(12), не пусто. Действительно, например, пусть μ = 1 - c₁. Тогда, если число c₁ достаточно

близко к единице, разность 1 - c₁ достаточна мала, и неравенство (12) при этих значений c₁

выполняется.

Доказательство теоремы 2.

3.1. Вывод системы неклассических сингулярных интегральных уравнений Три-

коми. Решение уравнения (1) в области D⁺, удовлетворяющее краевым условиям Дирихле

u(x, 0) = τ(x), x ∈ I; u(x, y) |σ0 = ϕ(x), x ∈ I,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

738

МИРСАБУРОВА

имеет вид [9, c. 143; 10, с. 180; 11; 12]

∫

{[

]-1

u(x, y) =

y(m+2)/2

(x - t)² +

ym+2

π(m + 2)

(m + 2)²

−1

[

]-1}

∫

4t²

ϕ(ξ)

- (1 - xt)² +

ym+2

τ (t) dt +

(1 - R²) (r-2- - r-2+)√

dξ,

(13)

(m + 2)²

2π

1-ξ²

-1

где

r2∓ = (x - ξ)² +

(y(m+2)/2 ∓ η(m+2)/2)², (ξ, η) ∈ σ₀,

(m + 2)²

ξ² +

ηm+2 = 1, R² = x² +

ym+2.

(m + 2)²

Продифференцируем решение (13) по y, затем умножим полученное тождество на y-m/2

и перейдём к пределу при y → +0, в результате получим

(∫1

∫

)

τ^′(t) dt

τ (t) dt

ν(x) = -

+ Φ₀(x), x ∈ I,

(14)

x-t

(1 - xt)²

−1

-1

где

∫¹

Φ₀(x) =

(1 - x²)

(1 - 2xξ + x²)-2ϕ(ξ) dξ.

-1

Равенство (14) является вторым функциональным соотношением между неизвестными

функциями τ(x) и ν(x), привнесённым на интервал I = (-1, 1) оси y = 0 из области D⁺.

Отметим, что равенство (14) справедливо для всего промежутка I.

Заменяя в соотношениях (8) и (9) функцию ν(x) её представлением (14), запишем их в

виде

(∫1

∫1

)

τ^′(t) dt

τ (t) dt

τ^′(x) = -

+ F₀(x), x ∈ (-1,c),

(15)

x-t

(1 - xt)²

−1

-1

(∫1

∫

)

a₁

τ^′(t) dt

τ (t) dt

-b₂(1 - μ)τ^′(q(x)) +

p(x) - t

(1 - p(x)t)²

−1

-1

(∫1

∫

)

μb₂

τ^′(t) dt

τ (t) dt

= E₀(x), x ∈ (c,1),

(16)

q(x) - t

(1 - q(x)t)²

−1

-1

где F₀(x) = Φ₀(x) + ψ′0((x - 1)/2), E₀(x) = a₁Φ₀(p(x)) + μb₂Φ₀(q(x)) - ψ₂(x).

Заметим, что соотношения (15) и (16) являются интегро-дифференциальными уравнения-

ми для неизвестной функции τ(x) в промежутках (-1, c) и (c, 1) соответственно.

Равенство (15) проинтегрируем в пределах от -1 до x, а равенство (16) - от c до x,

затем, выполнив стандартные преобразования [11, 12] с использованием следующих легко до-

казываемых тождеств:

(

)

p(x) - c

t-c

t - p(x)

c-t

t(1 - p(x)t)

t(1 - ct)

t - c t - p(x)

1 - ct 1 - p(x)t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

739

(

)

1 - q(x)

q(x) - t

1-t

t(1 - q(x)t)

t(1 - t)

1 - t t - q(x)

1 - q(x)t

получим интегральные уравнения

∫

(

)

1+x

τ (x) =

τ (t) dt + (1 + x)F₁(x), x ∈ (-1, c),

(17)

1+t t-x

1 - xt

−1

∫

(

)

p(x) - c

t-c

(1 - μ)τ(q(x)) -

τ (t) dt +

t - c t - p(x)

1 - ct 1 - p(x)t

−1

∫

(

)

1 - q(x)

τ (t) dt = (c - x)E₁(x), x ∈ (c, 1),

(18)

1 - t t - q(x)

1 - q(x)t

−1

где

∫x

∫

(1 + x)F₁(x) = F₀(t) dt, (c - x)E₁(x) = E₀(t) dt.

-1

Заметим, что уравнения (17) и (18) имеют место для x ∈ (-1, c) и x ∈ (c, 1) соответствен-

но. Чтобы рассмотреть их на одном промежутке I = (-1, 1), заменим x в уравнении (17) на

ax - b, а в уравнении (18) на bx + a, где a = (1 + c)/2, b = (1 - c)/2, a + b = 1, a - b = c.

Тогда уравнения (17) и (18) запишутся соответственно в виде

∫

(

)

a(1 + x)

τ (ax - b) =

τ (t) dt + a(1 + x)F₁(ax - b), x ∈ I, (19)

1 + t t - ax + b

1 - (ax - b)t

−1

∫

(

)

p(bx + a) - c

t-c

(1 - μ)τ(q(bx + a)) -

τ (t) dt +

t-c

t - p(bx + a)

1 - ct 1 - p(bx + a)t

−1

∫

(

)

1 - q(bx + a)

τ (t) dt = b(1 + x)E₁(bx + a), x ∈ I. (20)

1-t

t - q(bx + a)

1 - q(bx + a)t

−1

Теперь систему уравнений (19), (20) подчиним условию (6∗). Для этого интегралы по

промежутку (-1, 1) разобьём на три интеграла по промежуткам (-1, c), (c, c1) и (c1, 1),

затем в интегралах по промежутку (c, c₁) сделаем замену переменной интегрирования t = p(s)

(t ∈ (c, c₁), s ∈ (c, 1)), а в интегралах по промежутку (c₁, 1) - замену t = q(s) (t ∈ (c₁, 1),

s ∈ (c,1)) и учтём в них вытекающее из условия (6^∗) равенство τ(p(x)) = τ(q(x)) + f(x).

C учётом этих преобразований система уравнений (19), (20) примет вид

∫

(

)

a(1 + x)

τ (ax - b) =

τ (s) ds +

1 + s s - ax + b

1 - (ax - b)s

−1

∫

(

)

a₁

a(1 + x)

τ (q(s)) ds +

1 + p(s) p(s) - ax + b

1 - (ax - b)p(s)

∫

(

)

b₂

a(1 + x)

τ (q(s)) ds + (1 + x)F₂(x), x ∈ I,

(21)

1 + q(s) q(s) - ax + b

1 - (ax - b)q(s)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

740

МИРСАБУРОВА

∫

(

)

p(bx + a) - c

s-c

(1 - μ)τ(q(bx + a)) -

τ (s) ds -

s-c

s - p(bx + a)

1 - cs 1 - p(bx + a)s

−1

∫

(

)

a₁

p(bx + a) - c

p(s) - c

τ (q(s)) ds +

p(s) - c

p(s) - p(bx + a)

1 - cp(s) 1 - p(bx + a)p(s)

∫

(

)

b₂

p(bx + a) - c

q(s) - c

τ (q(s)) ds -

q(s) - c

q(s) - p(bx + a)

1 - cq(s) 1 - p(bx + a)q(s)

∫

)

⁽1 - q(bx + a)⁾⁽

τ (s) ds -

1-s

s - q(bx + a)

1 - q(bx + a)s

−1

∫1

(

)

μa₁

1 - q(bx + a)

τ (q(s)) ds +

1 - p(s)

p(s) - q(bx + a)

1 - q(bx + a)p(s)

∫

(

)

μb₂

1 - q(bx + a)

τ (q(s)) ds =

1 - q(s)

q(s) - q(bx + a)

1 - q(bx + a)q(s)

= (1 + x)E₂(x), x ∈ I,

(22)

где (1 + x)F₂(x) и (1 + x)E₂(x) - известные функции.

Чтобы заменить в уравнениях системы (21), (22) промежутки интегрирования (-1, c) и

(c, 1) на один и тот же промежуток (-1, 1), в интегралах по промежутку (-1, c) сделаем

замену переменной интегрирования s = at - b (s ∈ (-1, c), t ∈ (-1, 1)), а в интегралах по

промежутку (c, 1) - замену s = bt + a (s ∈ (c, 1), t ∈ (-1, 1)), и, выделив в них интегралы с

сингулярными особенностями, запишем эту систему в виде

∫

(

)

1+x

τ₀(x) =

τ₀(t)dt +

1+t t-x

1 - (ax - b)(at - b)

−1

∫

a₁b

(1 + x)τ₁(t) dt

+ (1 + x)T [τ₁] + (1 + x)F₂(x), x ∈ I,

(23)

2π

p(bt + a) - ax + b

−1

∫1

a₁b

p(bx + a) - c

τ₁(t)dt

μbb₂

(1 - μ)τ₁(x) -

p(bt + a) - c p(bt + a) - p(bx + a)

−1

∫1

(

)

1 - q(bx + a)

τ₁(t)dt =

1 - q(bt + a) q(bt + a) - q(bx + a)

1 - q(bx + a)q(bt + a)

−1

∫1

p(bx + a) - c

τ₀(t)dt

at - b - c at - b - p(bx + a)

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

741

∫¹

]

^[p(bx + a) - c

b₂

1 - q(bx + a)

μa₁

τ₁(t)dt +

q(bt + a) - c q(bt + a) - p(bx + a)

1 - p(bt + a) p(bt + a) - q(bx + a)

−1

+ (1 + x)R₀[τ₀] + (1 + x)R₁[τ₁] + (1 + x)E₂(x), x ∈ I,

(24)

где τ₀(x) = τ(ax - b), τ₁(x) = τ(q(bx + a)), а (1 + x)T [τ1],

(1 + x)R₀[τ₀],

(1 + x)R₁[τ₁] -

регулярные операторы.

Уравнения (23) и (24) являются неклассическими интегральными уравнениями Трикоми,

так как они имеют две особенности:

1) несингулярные части ядра имеют некарлемановские сдвиги видов ax - b, p(bx + a),

q(bx + a);

2) интегральные операторы в правых частях уравнений (23) и (24) не являются регулярны-

ми, поскольку ядра этих операторов при (x, t) = (1, -1) в (23) и при (x, t) = (-1, 1), (x, t) =

= (1, 1) в (24) имеют изолированные особенности первого порядка (и поэтому они выделены

отдельно).

3.2. Исключение неизвестной функции τ₀(x) из системы уравнений (23) и (24).

Временно считая правую часть уравнения (23) известной функцией и учитывая тождество

1+c₁

p(bt + a) - ax + b =

(b₀t - a₀x + 1),

в котором a₀ = (1 + c)/(1 + c₁), b₀ = (c₁ - c)/(1 + c₁), a₀ + b₀ = 1, запишем (23) в виде

∫

)

⁽1+x⁾⁽

τ₀(x) -

τ₀(t)dt = g₀(t), x ∈ (-1,1),

(25)

1+t t-x

1 - (ax - b)(at - b)

−1

где

∫

a₁b

(1 + x)τ₁(t) dt

g₀(x) =

+ (1 + x)T [τ₁] + (1 + x)F₂(x), x ∈ (-1, 1).

(26)

π(1 + c₁)

b₀t - a₀x + 1

−1

Решение уравнения (25) будем искать в классе функций Гёльдера H(-1, 1), в котором функ-

ция (1+x)-1τ₀(x) может быть неограниченной в точке x = -1 и ограничена на правом конце

отрезка [-1, 1], т.е. в классе h(1) [6, с. 43].

Применяя к уравнению (25) метод регуляризации Карлемана, развитый С.Г. Михлиным

[13], получаем решение

∫

g₀(x)

⁽1 - x)1/4(1 + x)1/2( 1 - c(ax - b )1/4

τ₀(x) =

2π

1-t

1+t

1 - c(at - b)

-1

(

)

g₀(t)dt, x ∈ I.

(27)

t-x

1 - (ax - b)(at - b)

Теперь, заменяя в выражении (27) функцию g₀(x) её представлением (26), приходим к урав-

нению

∫

a₁b

(1 + x)τ₁(t) dt

a₁b

⁽1-x)1/4

τ₀(x) =

τ₁(s)ds

π(1 + c₁)

b₀t - a₀x + 1

π²(1 + c₁)

1-t

-1

−1

-1

1/2

(1 + x)1/2(1 + t)

+ (1 + x)T₁[τ₁] + (1 + x)F₃(x),

(28)

t-x

b₀s - a₀t + 1

в котором T₁[τ₁] - регулярный оператор, а (1 + x)F₃(x) - известная функция.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

742

МИРСАБУРОВА

Вычислим внутренний интеграл в (28):

∫1

⁽1 - x)1/4(1 + x)1/2

(1 + t)1/2

A(x, s) =

dt.

(29)

1-t

t-x b₀s-a₀t+1

−1

Рациональную часть подынтегрального выражения в (29) разложим на простые дроби и к

получившимся интегралам применим формулы [9, с. 125; 14]

∫

(

)

(1 + t)α-1(1 - t)β-1

π ctg(βπ)

2β-1

B(α, β - 1)

1-x

dt =

F α, 1 - β, 2 - β;

;

t-x

(1 + x)1-α(1 - x)1-β

(1 + x)1-α

−1

∫

(1 + t)α-1(1 - t)β-1

bβ-1a1-α-β

dt =

bs - at + 1

sin(βπ) (1 + a - bs)1-α(1 + s)1-β

−1

(

)

B(α, β - 1)

b(1 + s)

2 - α - β,1,2 - β;-

(30)

22-α-βa

здесь α = 3/2, β = 3/4, B(α, β) - бета-функция Эйлера, F (a, b, c; x) - гипергеометрическая

функция Гаусса [6, c. 6]. В силу (30) находим интеграл (29):

{

(

) (

)

1/2

(1 - x)1/4(1 + x)

π(1 + x)1/2

1-x

A(x, s) =

-21/4B 3/2, -1/4 F

;

b₀s - a₀x + 1

(1 - x)1/4

√

(

)}

−1/4

2πa₀b

B(3/2, -1/4)

b₀(1 + s)

, 1,

(31)

(1 + a₀ - b₀s)-1/2(1 + s)1/4

21/4

2a₀

Вследствие (31) уравнение (28) принимает вид

-1/4

∫

b-1/40a₁b

⁽1-x)1/4

τ₁(s)ds

τ₀(x) =

(1 + x)1/2

π(1 + c₁)

1+s

b₀s - a₀x + 1

-1

+ (1 + x)1/2T₂[τ₁] + (1 + x)F₃(x), x ∈ I,

(32)

где

√

)1/2

]

-1/4

∫

b-1/40a₁b

⁽1-x)1/4[(

τ₁(s)ds

(1+x)1/2T₂[τ₁] =

(1+x)1/2

1+a₀-b₀s

-21/2

π(1 + c₁)

1+s

b₀s - a₀x + 1

−1

∫

[

(

)

a₁b21/4B(3/2,-1/4)

(1 - x)1/4

1-x

;

π²(1 + c₁)

b₀s - a₀x+1

−1

(

)]

b₀(1 + s)

-F -

, 1,

τ₁(s)ds + (1 + x)T₁[τ₁]

2a₀

– регулярный оператор.

Подставляя выражение для τ₀(x) из (32) в первый интеграл и в регулярный оператор

R₀[τ₀] правой части (24), будем иметь

∫

ba₁

⁽p(bx + a) - c⁾

τ₁(t)dt

μbb₂

(1 - μ)τ₁(x) -

p(bt + a) - c p(bt + a) - p(bx + a)

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

743

∫¹

)

⁽1 - q(bx + a)⁾⁽

τ₁(t)dt =

1 - q(bt + a)

q(bt + a) - q(bx + a)

1 - q(bx + a)q(bt + a)

−1

∫

λ₀

p(bx + a) - c

(1 + t)1/2(1 - t)-3/4 dt

τ₁(s)ds

(1 + s)1/4

(b₀s - a₀t + 1)(at - b - p(bx + a))

−1

-1

∫

]

^[(p(bx + a) - c⁾

b₂

⁽1 - q(bx + a)⁾

μa₁

τ₁(t)dt +

q(bt + a) - c q(bt + a) - p(bx + a)

1 - p(bt + a) at - b - q(bx + a)

−1

+ (1 + x)R₂[τ₁] + (1 + x)E₃(x),

(33)

где λ₀ = -a-1/40b-1/40a₁b(1 + c₁), R₂[τ₁] - регулярный оператор, (1 + x)E3(x) - известная

функция.

Вычислим внутренний интеграл в правой части уравнения (33):

∫¹

(1 + t)1/2(1 - t)-3/4 dt

I(x, s) =

(34)

(b₀s - a₀t + 1)(at - b - p(bx + a))

-1

Разложив рациональную часть подынтегрального выражения в (34) на простые дроби, по-

лучим

I(x, s) =

(a₀I₁(s) + aI₂(x)),

(35)

ω(x, s)

где

∫1

)

(1 + t)1/2(1 - t)-3/4 dt

23/4(b₀(1 + s))-3/4

⁽3

⁽1

2a₀

I₁(s) =

;

(36)

b₀s - a₀t + 1

(b₀s + a₀ + 1)1/4

b₀s + a₀ + 1

−1

∫1

(1 + t)1/2(1 - t)-3/4 dt

I₂(x) =

at - b - p(bx + a)

-1

)

-3/4

23/4(p(bx + a) - c)

⁽3

⁽1

;

(37)

(1 + p(bx + a))1/4

1 + p(bx + a)

ω(x, s) = ab₀s + a - a₀b - a₀p(bx + a) = ab₀(s - 1) - a₀a₁b(x - 1) = ab₀(s - x).

(38)

При вычислении интегралов (36) и (37) сделаны замены переменной интегрирования t =

= -1 + 2σ, затем использованы интегральное представление гипергеометрической функции

Гаусса F (a, b, c; x) [6, с. 8] и формула автотрансформации для гипергеометрических функ-

ций [6, с. 10].

В силу (36)-(38) равенство (35) запишем в виде

I(x, s) = (1 + s)-3/4K(x, s),

(39)

где

{

)

-3/4

23/4B(3/2,1/4)

a₀b

⁽1

2a₀

K(x, s) =

;

ab₀(s - x)

(b₀s + a₀ + 1)1/4

b₀s + a₀ + 1

(

)3/4

)}

1+s

⁽1

;

(1 + p(bx + a))1/4 p(bx + a) - c

1 + p(bx + a)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

744

МИРСАБУРОВА

и с учётом тождеств 2a₀/(b₀s + a₀ + 1) = 2a/(1 + p(bs + a)), a/a₁b = a₀/b₀ заключаем, что

K(x, s) - регулярное ядро.

Вследствие равенства (39) двойной интеграл в правой части уравнения (33) преобразуется

к виду

∫

λ₀

p(bx + a) - c

(1 + t)1/2(1 - t)-3/4 dt

τ₁(s)ds

(1 + s)1/4

(b₀s - at + 1)(at - b - p(bx + a))

−1

-1

∫1

λ₀

⁽p(bx + a) - c⁾

K(x, s)τ₁(s) ds.

(40)

(1 + s)

−1

С учётом равенства (40) и тождеств

p(bx + a) - c = ba₁(1 + x),

1 - q(bx + a) = bb₂(1 + x), p(bt + a) - p(bx + a) = ba₁(t - x),

q(bt + a) - q(bx + a) = -bb₂(t - x), q(bt + a) - p(bx + a) = -b(b₂t + a₁x - 1),

p(bt + a) - q(bx + a) = b(a₁t + b₂x - 1),

уравнение (33) принимает вид

∫

)

⁽1+x⁾⁽1+μ

μbb₂

(1 - μ)τ₁(x) -

τ₁(t)dt =

1+t t-x

1 - q(bx + a)q(bt + a)

−1

∫

(

)

1+x

b₂

μa₁

τ₁(t)dt -

b₂t + a₁x - 1

a₁t + b₂x - 1

−1

∫1

∫

[(

)

⁽1+x⁾

1+x

ba₁(1 + t)

b₂

- λ₀ba₁

K(x, t)τ₁(t) dt +

-1

1+t

q(bt + a) - c

b₂t + a₁x - 1

−1

-1

(

)

]

bb₂(1 + t)

μa₁

-1

τ₁(t)dt - (1 + x)R₂[τ₁] - (1 + x)E₃(x).

(41)

1 - p(bt + a)

a₁t + b₂x - 1

Уравнение (41) является неклассическим сингулярным интегральным уравнением, так как оно

имеет две особенности:

1) “несингулярная” часть ядра имеет некарлемановские сдвиги q(bx + a), q(bt + a), причём

q(bx + a)q(bt + a)|x=-1,t=-1 = q(c)q(c) = 1;

2) первый интегральный оператор в его правой части не является регулярным, поскольку

при t = 1, x = 1 ядро этого оператора имеет изолированную особенность первого порядка (и

поэтому он выделен отдельно первым).

Временно считая правую часть уравнения (41) известной функцией и вводя обозначение

ρ(x) = (1 + x)-1τ₁(x), запишем его в виде

∫

)

⁽1+μ

μbb₂

(1 - μ)ρ(x) -

ρ(t) dt = g(x), x ∈ I,

(42)

t-x

1 - q(bx + a)q(bt + a)

−1

где

∫1(

)

b₂

μa₁

g(x) =

ρ(t) dt + R₃[ρ] - E₃(x), x ∈ I,

(43)

b₂t + a₁x - 1

a₁t + b₂x - 1

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

745

∫¹

∫

[(

)

ba₁(1 + t)

b₂

R₃[ρ] = -λ₀ba₁ K(x,t)ρ(t)dt -

-1

q(bt + a) - c

b₂t + a₁x - 1

−1

-1

(

)

]

bb₂(1 + t)

μa₁

-1

ρ(t) dt - R₂[ρ]

1 - p(bt + a)

a₁t + b₂x - 1

– регулярный оператор, а R₂[ρ] получается из R₂[τ₁] заменой τ₁(x) = (1 + x)ρ(x).

Решение ρ(x) уравнения (42) будем искать в классе функций Гёльдера H(-1, 1), в котором

функция ρ(x) может быть неограниченной в точке x = -1 и ограничена на правом конце

отрезка [-1, 1], т.е. в классе h(1) [6, с. 43].

С учётом тождеств q(bx + a) = a₃ - b₃x, bb₂ = b₃, где a₃ = (1 + c₁)/2, b₃ = (1 - c₁)/2,

запишем уравнение (42) в виде

∫1(

)

βb₃

ρ(x) -

ρ(t) dt = (α - β)g(x), x ∈ I,

(44)

t-x

1 - (b₃x - a₃)(b₃t - a₃)

−1

где α = (1 + μ)/(1 - μ), β = μ/(1 - μ), α = 1 - 2β.

3.3. Решение нестандартного сингулярного интегрального уравнения (44).

Теорема 3. Если функция g(x) ∈ L_p(-1, 1), p > 1, удовлетворяет условию Гёльдера при

x ∈ (-1,1), то для решения ρ(x) уравнения (44) в классе функций H(-1,1), в котором

функция может быть неограниченной в точке x = -1 и ограничена при x = 1, справедлива

формула

∫

α-β

⁽⁽ 1 + t)2 1 - x 1 - c₁(b₃x - a₃))θ

ρ(x) =

g(x) +

1+α²

π(1 + α²)

1+x

1 - t 1 - c₁(b₃t - a₃)

-1

(

)

b₃β((1 + αi)/(1 + βi))

g(t) dt,

(45)

t-x

1 - (b₃x - a₃)(b₃t - a₃)

где θπ = arctg α, 0 < θ < 1/2.

Доказательство. Хотя метод доказательства теоремы 3 такой же, как и в работах [13,

14], однако имеет свои особенности, обусловленные наличием двух различных параметров α

и β в уравнении (44), поэтому приведём схему доказательства теоремы 3.

Пусть z - произвольная точка комплексной плоскости. Следуя подходу Карлемана, раз-

витому С.Г. Михлиным [13], положим

∫

(

)

βb₃

Φ(α, β; z) =

ρ(t) dt.

2πi

t-z

1 - (b₃z - a₃)(b₃t - a₃)

−1

Очевидно, что функция Φ(α, β; z) голоморфна как в верхней, так и в нижней полуплос-

костях и обращается в нуль на бесконечности. Обозначим через Φ⁺(α, β; x) и Φ^-(α, β; x) её

предельные значения, когда z стремится к точке x действительной оси соответственно из

верхней или из нижней полуплоскостей. Нетрудно проверить, что имеет место равенство

(

)

1+a₃ +a₃z

Φ α, β;

= (b₃z - a₃)Φ(β, α; z).

(46)

b₃z - a₃

Дробно-линейное преобразование W (z) = (1 + a₃ + a₃z)/(b₃z - a₃) переводит верхнюю

полуплоскость в нижнюю и наоборот. При этом промежуток (-1, 1) переходит в множество

Δ, совпадающее с объединением интервалов (-∞,-1)

^⋃ (-(2 + c₁)/c₁, +∞), если c₁ < 0, с

интервалом (-∞, -1), если c₁ = 0, и с интервалом (-(2 + c₁)/c₁, -1), если c₁ > 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

746

МИРСАБУРОВА

Формулы Сохоцкого-Племеля [10, с. 145] для функции Φ(α, β; z) имеют вид

∫

(

)

αρ(x)

βb₃

Φ^±(α,β;x) = ±

ρ(t) dt.

(47)

2πi

t-x

1 - (b₃x - a₃)(b₃t - a₃)

−1

В силу формул (47) уравнение (44) принимает вид

1 + αi

α(α - β)g(x)

Φ⁺(α,β;x) -

Φ^-(α,β;x) =

x∈I.

(48)

1 - αi

Заменив в (48) x на W (x), с учётом соотношения (46) получим равенство

1 - αi

α(α - β) g(W (x))

Φ⁺(β,α;W(x)) -

Φ^-(β,α;W(x)) = -

1 + αi

1 + αi b₃x - a₃

поменяв в котором α и β местами, будем иметь

1-βi

β(β - α) g(W (x))

Φ⁺(α,β;W(x)) -

Φ^-(α,β;W(x)) = -

x ∈ Δ.

(49)

1+βi

1+βi b₃x-a₃

Таким образом, в силу (48) и (49) нахождение решения интегрального уравнения (44) сводится

к следующей задаче теории функции комплексной переменной: найти исчезающую на беско-

нечности функцию Φ(α, β; z), голоморфную как в верхней, так и в нижней полуплоскостях,

и удовлетворяющую граничному условию

Φ⁺(α,β;x) - G(x)Φ^-(α,β;x) = h(x), x ∈ (-∞,+∞),

(50)

где

⎧

1 + αi

α(α - β)g(x)

⎪

при x ∈ I,

⎪

при x ∈ I,

⎨1 - αi

⎨

1 - αi

1-βi

β(β - α) g(W (x))

G(x) =

h(x) =

(51)

при x ∈ Δ,

⎪

⎪1+βi

⎪

1+βi b₃x-a₃

⎩

⋃

^⎩1

при x ∈ I

^⋃Δ,

при x ∈ I

Δ.

Метод решения краевой задачи (50), (51) такой же, как и в работе [13].

3.4. Вывод интегрального уравнения Винера-Хопфа. Решение (45) с учётом обо-

значений α = (1 + μ)/(1 - μ), β = μ/(1 - μ) запишем в виде

∫

(1 - μ)g(x)

⁽⁽ 1 + t)2 1 - x 1 - c₁(b₃x - a₃))θ

ρ(x) =

2(1 + μ²)

π(1 + μ²)

1+x

1 - t 1 - c₁(b₃t - a₃)

-1

)

⁽1+μ

b₃μ((1 - μ + (1 + μ)i)/(1 - μ + μi))

g(t) dt.

(52)

t-x

1 - (b₃x - a₃)(b₃t - a₃)

Заменяя в (52) g(x) его выражением из (43), получаем

∫1(

)

1-μ

b₂

μa₁

ρ(x) =

ρ(t) dt +

2π(1 + μ²)

b₂t + a₁x - 1

a₁t + b₂x - 1

−1

∫

)

1+μ

⁽1-x)θ(

b₂

μa₁

ρ(s) ds

+ R₄[ρ] + E₄(x), (53)

π²(1 + μ²)

1-t

a₁t + b₂s - 1

b₂t + a₁s - 1 t - x

−1

-1

где R₄[ρ] - регулярный оператор, E₄(x) - известная функция.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

747

Вычислим внутренний интеграл в (53):

∫1

(

)

b₂

μa₁

B(x, s) =

(54)

(1 - t)^θ a₁t + b₂s - 1

b₂t + a₁s - 1 t - x

−1

Разложив в равенстве (54) рациональную часть подынтегрального выражения на простые

дроби, запишем это равенство в виде

∫

(

)

b₂

a₁

B(x, s) =

a₁(a₁x + b₂s - 1)

t-x

a₁t + b₂s - 1

(1 - t)^θ

−1

∫

(

)

μa₁

b₂

(55)

b₂(b₂x + a₁s - 1)

t-x

b₂t + a₁s - 1

(1 - t)^θ

−1

Согласно первой формуле в (30) имеем

∫1

(1 - t)^-θ

π ctg(θπ)

B(1, -θ)

I₃(x) =

dt = -

F (1, θ, 1 + θ; (1 - x)/2).

(56)

t-x

(1 - x)^θ

2θ

−1

Теперь, используя разложение [6, c. 55]

∑

Γ(a + b)

Γ(a + k)Γ(b + k)

F (a, b, a + b; 1 - σ) = -

F (a, b, 1; σ)lnσ +

Γ(a)Γ(b)

Γ²(a)Γ²(b)

(k!)²

k=0

[

]

Γ^′(1 + k)

Γ^′(a + k)

Γ^′(b + k)

× 2

σ^k,

Γ(1 + k)

Γ(a + k)

Γ(b + k)

с учётом тождеств B(1,-θ) = -1/θ и F(a,b,b;σ) = (1 - σ)^-a правую часть равенства (56)

запишем в виде

∫1

(1 - t)^-θ

π ctg(θπ)

1+x

I₃(x) =

dt = -

+ Q(x),

(57)

t-x

(1 - x)^θ

−1

где

-θ

∑

Γ(1 + k)Γ(θ + k)

^[Γ^′(1 + k)

Γ^′(θ + k)

^](1 + x)k

Q(x) =

Γ(θ)

(k!)²

Γ(1 + k)

Γ(θ + k)

k=0

Нетрудно вычислить, что

∫

(

)

adt

21-θab^-θ

1-θ,1-θ,2-θ;

(58)

(1 - t)^θ at + bs - 1

(1 - θ)(1 - s)^θ(1 + a - bs)1-θ

1 + a - bs

−1

Таким образом, с учётом (57) и (58) равенство (55) запишется в виде

[

]

b₂π ctg(θπ)

π(2b₂)1-θ

B(x, s) =

a₁(1 - x)^θ

sin(θπ)(1 + a₁ - b₂s)1-θ(1 - s)^θ (a₁x + b₂s - 1)

[

]

a₁π ctg(θπ)

π(2a₁)1-θ

+ B₀(x,s),

(59)

b₂(1 - x)^θ

sin(θπ)(1 + b₂ - a₁s)1-θ(1 - s)^θ (b₂x + a₁s - 1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

748

МИРСАБУРОВА

где

(

)(

)

1+x

b₂

μa₁

B₀(x,s) =

- ln

+ Q(x)

a₁(a₁x + b₂s - 1)

b₂(b₂x + a₁s - 1)

[

(

)

(

)]

θ-1

(2b₂)1-θ(1 + a₁ - b₂s)

1-θ,1-θ,2-θ;

-F 1-θ,1-θ,2-θ;1

(1 - θ)(1 - s)^θ

1+a₁ -b₂s

1-θ

(2a₁)

a₁x + b₂s - 1

(1 - θ)(1 - s)^θ(1 + b₂ - a₁s)1-θ

[

(

)

(

)]

2b₂

× F 1-θ,1-θ,2-θ;

-F 1-θ,1-θ,2-θ;1

1+b₂ -a₁s

b₂x + a₁s - 1

здесь (1 - x)^θB₀(x, s) - регулярное ядро.

Следовательно, в силу (59) уравнение (53) принимает вид

∫1(

)

1-μ

b₂

μa₁

ρ(x) =

ρ(t) dt -

2π(1 + μ²)

b₂t + a₁x - 1

a₁t + b₂x - 1

−1

∫

1-μ

^{[b₂π ctg(θπ)

π(2b₂)1-θ

⁽1-x)θ]

π²(1 + μ²)

a₁

sin(θπ)(1 + a₁ - b₂s)1-θ

1-s a₁x+b₂s-1

−1

1-θ

^[a₁π ctg(θπ)

π(2a₁)

⁽1-x)θ]

b₂

sin(θπ)(1 + b₂ - a₁s)1-θ

1-s b₂x+a₁s-1

}

+ (1 - x)^θB₀(x, s) ρ(s) ds + R₄[ρ] + E₄(x).

(60)

Запишем уравнение (60), выделив в нём ядро с неподвижными особенностями первого порядка

при x = 1, s = 1, в виде

∫

{

[

1-μ

b₂

a₁ sin(θπ)

⁽a₁)^θ(1-x)θ]

ρ(x) = -

cos(θπ) -

π(1 + μ²)

a₁ sin(θπ)

b₂

1-s a₁x+b₂s-1

−1

[

}

μa₁

b₂ sin(θπ)

⁽b₂)^θ(1-x)θ]

cos(θπ)-

ρ(s) ds+R₅[ρ]+E₄(x), (61)

b₂ sin(θπ)

a₁

1-s b₂x+a₁s-1

где x ∈ I, а

∫

{

[(

)1-θ

1-μ

2b₂

⁽b₂)1-θ](1-x)θ

R₅[ρ] = R₄[ρ] -

π²(1 + μ²)

sin(θπ)

1+a₁ -b₂s

a₁

1-s a₁x+b₂s-1

−1

[(

)1-θ

}

2a₁

⁽a₁)1-θ](1-x)θ

+ (1 - x)^θB₀(x, s) ρ(s) ds

sin(θπ)

1+b₂ -a₁s

b₂

1-s b₂x+a₁s-1

– регулярный оператор.

С учётом тождеств a₁x+b₂s-1 = b₂(s-1)+a₁(x-1), b₂x+a₁s-1 = a₁(s-1)+b₂(x-1),

сделав замену переменных x = 1 - 2e^-y, s = 1 - 2e^-t, запишем уравнение (61) в виде

∞

∫

{

1-μ

ρ(1 - 2e^-y)e-y/2 =

k-1[a∗1 + k^θeθ(t-y)]

b₂π sin(θπ)(1 + μ²)

ke-(y-t)/2 + e(y-t)/2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

749

}

+ μk[b∗2 + k^-θeθ(t-y)]

e-t/2ρ(t)dt + e-y/2R₅[ρ] + e-y/2E₄(1 - 2e-y/2), (62)

e-(y-t)/2 + ke(y-t)/2

где 0 ≤ y < ∞ и k = a₁/b₂, a∗1 = cos(θπ) - 0.5a₁ sin(θπ), b∗2 = cos(θπ) - 0.5b₂ sin(θπ).

В обозначениях ρ₁(y) = ρ(1 - 2e^-y)e-y/2 и

√

}

2/π(1 - μ)

^{k-1[a∗1 + k^θe^-θx]

μk[b∗2 + k^-θe^-θx]

K₀(x) =

(63)

b₂ sin(θπ)(1 + μ²)

ke-x/2 + ex/2

e-x/2 + kex/2

уравнение (62) примет вид

∞

∫

ρ₁(y) =

√

K₀(y - t)ρ₁(t)dt + R₆[y] + E₅(y),

0 ≤ y < ∞,

(64)

2π

где R₆[y] = e-y/2R₅[ρ], E₅(y) = e-y/2E₄(y).

Уравнение (64) представляет собой интегральное уравнение Винера-Хопфа [15, c. 55; 16,

17]. Так как в (63) 0 < θ < 1/2, то функция K₀(x) имеет показательный порядок убывания

на бесконечности, причём K′0(x) ∈ C[0, ∞]. Тогда K₀(x) ∈ L₂

^⋂H_α = {0} [15, c. 12].

3.5. Исследование интегрального уравнения Винера-Хопфа (64). Теоремы Фред-

гольма для интегральных уравнений типа свёртки применимы лишь в случае, когда индекс

этих уравнений равен нулю. Индекс уравнения (64) совпадает с индексом выражения 1-

− K^∧(x), взятым с обратным знаком, т.е. χ = -Ind(1 - K^∧(x)), здесь

∫

K^∧(x) =

√

K₀(t)e^ixt dt =

2π

-∞

∫

}

1-μ

^{k-1[a∗1 + k^θe^-θt]

μk[b∗2 + k^-θe^-θt]

e^ixtθ dt =

b₂π sin(θπ)(1 + μ²)

ke-t/2 + et/2

e-t/2 + ket/2

−∞

[

∫

1-μ

e^-θte^ixt dt

e^ixt dt

μk1-θ

+ μkb^∗

b₂π sin(θπ)(1 + μ²)

ket/2 + e-t/2

−∞

-∞

+∞

∫

]

e^-θte^ixt dt

e^ixt dt

1-μ

+kθ-1

+k-1a^∗

et/2 + ke-t/2

b₂π sin(θπ)(1 + μ²)

−∞

-∞

[

(

)

(

)]

× μk1-θJ(k,θ;x) + μkb∗2J(k,0;x) + kθ-2J

,θ;x

+k-2a∗1J

, 0; x

(65)

где

∫∞

e^-θte^ixt dt

J (k, θ; x) =

ket/2 + e-t/2

-∞

Вычислим интеграл Фурье (65) с помощью теории вычетов [15, c. 18]. Имеем

+∞

e-t/4e^-ixt dt

2πe-(θπ+xlnk)i(1 - e-2πxe-2θπi)

J (k, θ; x) =

(ket/2 + e-t/2)

k0.5-θe^πx(1 - e-4π(x+θi))

−∞

-ix ln k

2πe

πe-ixlnk

= A(k, θ; x) + iB(k, θ; x),

(66)

k0.5-θ(eπ(x+θi) + e-π(x+θi))

k0.5-θ ch(π(x + θi))

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

750

МИРСАБУРОВА

где

π[cos(x ln k) - tg(θπ) sin(x ln k) th(πx)]

A(k, θ; x) =

(67)

k0.5-θ cos(θπ)ch(πx)[1 + tg²(πθ)th²(πx)]

π[sin(x ln k) + tg(θπ) cos(x ln k) th(πx)]

B(k, θ; x) = -

(68)

k0.5-θ cos(θπ)ch(πx)[1 + tg²(πθ)th²(πx)]

В силу того, что 0 < θ < 1/2,

| cos(x ln k)| ≤ 1,

| th(πx)| < 1, из равенств

(67) и (68) вытекает оценка

}

|A(k, θ; x)|

π(1 + tg(θπ))

≤

(69)

|B(k, θ; x)|

k0.5-θ cos(θπ)ch(πx)

причём A(k, θ; x) = O(1/ch(πx)), B(k, θ; x) = O(1/ch(πx)) для достаточно больших |x|.

Вследствие представлений (65) и (66) имеем 1 - K^∧(x) = 1 - A^∗(x) - iB^∗(x), где

[

(

)

(

)]

1-μ

A^∗(x)=

μk1-θA(k,θ;x)+μkb∗2A(k,0;x)+kθ-2A

,θ;x

+k-2a∗1A

, 0; x

b₂π sin(θπ)(1 + μ²)

[

(

)

(

)]

-(1 - μ)

B^∗(x)=

μk1-θB(k,θ;x)+μkb∗2B(k,0;x)+kθ-2B

,θ;x

+k-2a∗1B

, 0; x

b₂π sin(θπ)(1+μ²)

Из определения функций A^∗(x) и B^∗(x) и оценки (69) следует, что

}

√

|A^∗(x)|

2(1 - μ)(1 + tg(θπ))

k[(μ(1 + b∗2) + (1 + a∗1)k²)]

≤

(70)

|B^∗(x)|

b₂ sin(2θπ)(1 + μ²)ch(πx)

причём A^∗(x) = O(1/ch(πx)), B^∗(x) = O(1/ch(πx)) для достаточно больших |x|.

Так как tg(θπ) = (1 + μ)/(1 - μ), то



(1-μ)(1+tg(θπ))

2(1 + μ²)



⁼

sin(2θπ)

(1 - μ²)

Отсюда и из оценки (70) с учётом того, что k = a₁/b₂ = (c₁ - c)/(1 - c₁) и ch(πx) ≥ 1, в силу

условия (12) теоремы 2 вытекает неравенство

}

(

)

|A^∗(x)|

^√c₁ -c

⁽1-c₁)²

≤

μ(1 + b∗2) +

(1 + a∗1)

< 1.

|B^∗(x)|

(1 - μ²)

1-c₁

c₁

-c

Следовательно,

Re (1 - K^∧(x)) = 1 - A^∗(x) > 0.

(71)

Индекс χ уравнения (64), т.е. изменение аргумента комплекснозначной функции 1-K^∧(x)

на действительной оси, выраженное в полных оборотах и взятое с обратным знаком [15, c. 28,

c. 56], с учётом неравенства (71) равен

[

]_∞

Im (1 - K^∧(x))

χ = -Ind(1 - K^∧(x)) = -

[arg(1 - K^∧(x))]^∞-∞ = -

arctg

2π

Re (1 - K^∧(x))

-∞

[

]_∞

[

]

-B^∗(x)

arctg

- arctg

= 0,

2π

1 - A^∗(x)_-∞

2π

так как A^∗(±∞) = 0, B^∗(±∞) = 0. Следовательно, уравнение (64) однозначно редуцируется

к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого

следует из единственности решения задачи TF. Теорема 2 доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

ЗАДАЧА С АНАЛОГОМ УСЛОВИЯ ФРАНКЛЯ

751

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.; Л., 1947.

2. Франкль Ф.И. Обтекание профилей газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым

скачком уплотнения // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. № 2. С. 196-202.

3. Девингталь Ю.В. О существовании и единственности решения одной задачи Ф.И. Франкля // Изв.

вузов. Математика. 1958. № 2 (3). С. 39-51.

4. Линь Цзянь-бин. О некоторых задачах Франкля // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Математика, меха-

ника и астрономия. 1961. Т. 3. № 13. С. 28-39.

5. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравне-

ний смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 60-68.

6. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

7. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на пере-

ходной линии // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1962. Т. 122. № 3. С. 3-16.

8. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешан-

ного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. № 1. С. 44-59.

9. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с син-

гулярными коэффициентами. Ташкент, 2005.

10. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.

11. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: дис

д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

12. Мирсабуров М. Задача с аналогами условия Франкля на характеристике и на отрезке вырождения

для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом // Дифференц. уравнения. 2017.

Т. 53. № 6. С. 778-788.

13. Михлин С.Г. Об интегральном уравнении F. Trikomi // Докл. АН СССР. 1948. Т. 59. № 6. С. 1053-

1056.

14. Мирсабуров М., Хуррамов Н. Задача с условием Бицадзе-Самарского на характеристиках одного

семейства и общими условиями сопряжения на линии вырождения для уравнения Геллерстедта с

сингулярным коэффициентом // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1073-1094.

15. Гахов Ф.Д., Черский Ю.Н. Уравнения типа свертки. М., 1978.

16. Полосин А.А. Об однозначной разрешимость задачи Трикоми для специальной области // Диффе-

ренц. уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 394-401.

17. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-

Самарского на параллельных характеристиках // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1281-

1284.

Термезский государственный университет,

Поступила в редакцию 27.07.2020 г.

Узбекистан

После доработки 27.04.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

3^∗