ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.769-783
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.74
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ И С НЕСКОЛЬКИМИ
БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ
© 2021 г. А. А. Бободжанов, М. А. Бободжанова, В. Ф. Сафонов
Рассматривается нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с нулевым оператором
дифференциальной части, интегральный оператор которого содержит несколько быстро
изменяющихся ядер. Работа является продолжением исследований, проведённых ранее для
уравнений с только одним быстро изменяющимся ядром. Доказано, что условия разреши-
мости соответствующих итерационных задач, как и в линейном случае, имеют вид не диф-
ференциальных (как в задачах с ненулевым оператором дифференциальной части), а ин-
тегро-дифференциальных уравнений, причём на структуру этих уравнений существенное
влияние оказывает нелинейность. В нелинейном случае могут возникнуть так называемые
резонансы, которые значительно усложняют разработку соответствующего алгоритма ме-
тода регуляризации. В работе рассматривается нерезонансный случай.
DOI: 10.31857/S0374064121060054
Введение. В настоящей работе метод регуляризации Ломова [1, 2] обобщается на интегро-
дифференциальные уравнения, интегральный оператор которых содержит несколько быстро
изменяющихся ядер, имеющие вид
t
∫
∑
dy
ε
=
Ejε(t,s)Kj(t,s)y(s,ε)ds + εf(y,t), y(0,ε) = y0, t ∈ [0,T],
(1)
dt
j=1 0
где
(
∫
t
)
1
Ejε(t,s) ≡ exp
μj(θ)dθ
ε
s
Работа является продолжением исследований, проведённых ранее для уравнений, содержа-
щих только одно быстро изменяющееся ядро. Основные идеи такого обобщения и тонкости,
возникающие при разработке соответствующего алгоритма метода регуляризации, полностью
просматриваются в случае двух быстро изменяющихся ядер, поэтому ради сокращения вы-
кладок рассмотрен именно этот случай.
Аналогичная задача с одним спектральным значением ядра интегрального оператора изу-
чалась в одной из работ авторов. В этом случае сингулярности в решении задачи описываются
только спектральным значением ядра.
Следствием равенства нулю оператора дифференциальной части уравнения (1) являет-
ся то, что в первом приближении асимптотика решения рассматриваемой задачи не содер-
жит функции пограничного слоя, а сам предельный оператор является вырожденным (но не
нулевым). При этом условия разрешимости соответствующих итерационных задач, как и в
линейном случае, имеют вид не дифференциальных (как это было в задачах с ненулевым
оператором дифференциальной части), а интегро-дифференциальных уравнений, причём на
структуру этих уравнений существенное влияние оказывает нелинейность. Кроме того, в нели-
нейном случае могут возникнуть так называемые резонансы, которые значительно усложняют
769
770
БОБОДЖАНОВ и др.
разработку соответствующего алгоритма метода регуляризации. В настоящей работе рассмат-
ривается нерезонансный случай.
Задача (1) рассматривается при следующих предположениях:
1) μj(t) ∈ C∞([0, T ], C), Kj (t, s) ∈ C∞(0 ≤ s ≤ t ≤ T, C), j = 1, 2;
2) μ1(t) = μ2(t) для любого t ∈ [0, T ];
3) μj(t) = 0, Re μj (t) ≤ 0 при всех t ∈ [0, T ], j = 1, 2;
∑N
4) f(y, t) - многочлен∗) по y, т.е. f(y, t) =
fm(t)ym с коэффициентами
m=0
fm(t) ∈ C∞([0,T],C), m = 0,N, N < ∞;
5) спектральные значения μj(t), j = 1, 2, ядер интегрального оператора таковы, что при
всех t ∈ [0, T ] выполняются неравенства (m = (m1, m2) - мультииндекс, |m| = m1 + m2)
(m, μ(t)) ≡ m1μ1(t) + m2μ2(t) = 0,
|m| ≥ 2,
(m, μ(t)) = μj (t),
|m| ≥ 2, j ∈ 1, 2
(т.е. рассматривается нерезонансный случай).
Как сказано выше, работа является продолжением исследований [3, 4], проведённых ранее
для одного быстро изменяющегося ядра. В отличие от линейного случая в правой части за-
дачи (1) отсутствует неоднородность соответствующей линейной задачи. Наличие её в задаче
повлекло бы за собой появление в асимптотическом решении членов с отрицательными сте-
пенями параметра ε, причём в нелинейном случае таких степеней оказалось бы бесконечно
много, а соответствующее формальное асимптотическое решение имело бы вид ряда Лорана.
Это сделало бы разработку алгоритма асимптотических решений проблематичной, поэтому в
настоящей работе, стремясь оставаться в рамках асимптотических решений типа рядов Тей-
лора, мы исключили неоднородность. Переходя к разработке алгоритма, отметим, что всюду
в работе векторы-столбцы записываются в фигурных скобках, а векторы-строки - в круглых
скобках.
1. Эквивалентная интегро-дифференциальная система и её регуляризация. Вве-
дём две новые неизвестные функции
∫t
∫t
z1 = E1ε(t,s)K1(t,s)y(s,ε)ds, z2 = E2ε(t,s)K2(t,s)y(s,ε)ds.
0
0
Дифференцируя их по t, будем иметь
∫t
∫
t
dzj
μj(t)
∂Kj(t,s)
= Kj(t,t)y +
Ejε(t,s)Kj(t,s)y(s,ε)ds + Ejε(t,s)
y(s, ε) ds,
dt
ε
∂t
0
0
т.е.
∫t
dzj
∂Kj(t,s)
ε
= μj(t)zj + εKj(t,t)y + ε Ejε(t,s)
y(s, ε) ds, j = 1, 2.
dt
∂t
0
Вместо (1) получаем систему
∫t
∫t
dw
ε
= A(t)w + εA1(t)w + ε E1ε(t, s)G1(t, s)w(s, ε) ds + ε E2ε(t, s)G2(t, s)w(s, ε) ds + εF (w, t),
dt
0
0
w(0, ε) = {y0, 0, 0},
(2)
∗) Функция f(y, t) взята в виде многочлена ради упрощения выкладок. Можно считать, что f(y, t) является
аналитической по y, т.е. тогда в 4) N = ∞.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
771
где w = {y, z1, z2}, F (w, t) = {f(y, t), 0, 0}, а матрицы A(t), A1(t), Gj (t, s) имеют вид
⎛
⎞
⎛
⎞
0
1
1
0
0
0
A(t) =⎝0
μ1(t)
0
⎠,A1(t) = ⎝K1(t,t)
0
0⎠,
0
0
μ2(t)
K2(t,t)
0
0
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
0
0
0
0
G1(t,s) =⎝∂K1(t,s)/∂t
0
0⎠,G2(t,s) = ⎝
0
0
0⎠.
0
0
0
∂K2(t,s)/∂t
0
0
Так как спектр σ(A(t)) = {0, μ1(t), μ2(t)} матрицы A(t) имеет два ненулевых собственных
значения μj(t), то регуляризацию задачи (2) проведём с помощью переменных
∫
t
1
ψj(t)
τj =
μj(θ)dθ ≡
,
j = 1,2.
ε
ε
0
Для расширения
w = {y(t,τ,ε), z1(t,τ,ε), z2(t,τ,ε)} получим следующую систему:
∂w
∂w
∂w
ε
+ μ1(t)
+ μ2(t)
- A(t)w - εA1(t) w -
∂t
∂τ1
∂τ2
t
∫
∑
-ε
Ejε(t,s)Gj(t,s) w(s,ψ(s)/ε,ε)ds = εF( w,t),
j=1 0
w(0, 0, ε) = {y0, 0, 0}q (τ = (τ1, τ2), ψ(t) = (ψ1(t), ψ1(t))).
(3)
Однако задачу (3) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не проведена
регуляризация интегрального оператора
(
)
∫
t
∑
Jw≡J
w(t, τ, ε)
=
Ejε(t,s)Gj(t,s) w(s,ψ(s)/ε,ε)ds.
t=s
τ=ψ(s)/ε
j=1 0
Для регуляризации оператора J w введём класс Mε = U|τ=ψ(t)/ε, асимптотически инвариант-
ный относительно оператора J (см. [1, с. 62]). При этом в качестве U возьмём пространство
вектор-функций w(t, τ), представимых суммами вида
∑
w(t, τ) = w0(t) +
w(m)(t)e(m,τ),
(4)
|m|=1
где w0(t), w(m)(t) ∈ C∞([0, T ], C3), |m| = 1, Nw.
Покажем, что класс Mε асимптотически инвариантен относительно оператора J. Для
этого надо показать, что образ Jw(t, τ) на функциях вида (4) представим в виде ряда
)
∑ ( ∑
Jw(t,τ) =
εk
w(m)k(t)e(m,τ) + w(0)k(t)
,
τ=ψ(t)/ε
k=0
1≤|m|≤Nwk
сходящегося асимптотически к Jw (при ε → +0) равномерно по t ∈ [0, T ]. Подставляя ряд
(4) в определение для Jw(t, τ), будем иметь
t
t
∫
∫
∑
∑
∑
Jw(t,τ) =
Ejε(t,s)
Gj (t, s)w(m)(s)Eεm](s) ds +
Ejε(t,s)Gj(t,s)w0(s)ds,
(5)
|m|=1
j=1 0
j=1 0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
772
БОБОДЖАНОВ и др.
здесь и ниже принято обозначение
(
∫
s
)
1
E[m]ε(s) ≡ exp
(m, μ(θ)) dθ
ε
0
Обозначим w(1,0)(t) ≡ w1(t), w(0,1)(t) ≡ w2(t) и преобразуем первую сумму в (5):
∫
∑
∑
Ejε(t,s)
Gj (t, s)w(m)(s)Eεm](s) ds =
∑∫t Ejε(t,s)E[m]ε(s)Gj(t,s)w(m)(s)ds =
j=1 0
|m|=1
j=1 |m|=10
∫
t
∑
∑
= Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)Gj(t,s)w(m)(s)ds =
j=1
|m|=1 0
t
∫
∑
= Ejε(t,0) E1ε(s,0)Ejε(0,s)Gj(t,s)w1(s)ds +
j=1
0
t
∫
∑
+ Ejε(t,0) E2ε(s,0)Ejε(0,s)Gj(t,s)w2(s)ds +
j=1
0
t
∫
∑
∑
+ Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)Gj(t,s)w(m)(s)ds.
j=1
|m|=2 0
Рассмотрим по отдельности каждую из последних сумм:
∫
t
∑
S1 = Ejε(t,0) E1ε(s,0)Ejε(0,s)Gj(t,s)w1(s)ds ≡
j=1
0
∫t
∫
t
≡ E1ε(t,0) G1(t,s)w1(s)ds + E2ε(t,0) E1ε(s,0)E2ε(0,s)G2(t,s)w1(s)ds,
0
0
∫
t
∑
S2 = Ejε(t,0) E2ε(s,0)Ejε(0,s)Gj(t,s)w2(s)ds ≡
j=1
0
∫t
∫
t
≡ E2ε(t,0) G2(t,s)w2(s)ds + E1ε(t,0) E2ε(s,0)E1ε(0,s)G1(t,s)w2(s)ds,
0
0
∫
t
∑
∑
S3 = Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)Gj(t,s)w(m)(s)ds.
j=1
|m|=2 0
Первые слагаемые в полученных представлениях сумм S1 и S2 не нуждаются в регуляриза-
ции. Проведём регуляризацию вторых слагаемых в S1 и S2, используя операцию интегриро-
вания по частям:
t
∫t
∫
G2(t,s)w1(s)
E2ε(t,0) E1ε(s,0)E2ε(0,s)G2(t,s)w1(s)ds = εE2ε(t,0)
d(E1ε(s, 0)E2ε(0, s)) =
μ1(s) - μ2(s)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
773
]
[G2(t,t)w1(t)
G2(t,0)w1(0)
= εE2ε(t, 0)
E1ε(t,0)E2ε(0,t) -
-
μ1(t) - μ2(t)
μ1(0) - μ2(0)
∫t
( ∂ G2(t,s)w1(s))
-εE2ε(t, 0) E1ε(s, 0)E2ε(0, s)
ds =
∂s μ1(s) - μ2(s)
0
]
[G2(t,t)w1(t)
G2(t,0)w1(0)
=ε
E1ε(t,0) -
E2ε(t,0) -
μ1(t) - μ2(t)
μ1(0) - μ2(0)
∫t
( ∂ G2(t,s)w1(s))
- εE2ε(t, 0) E1ε(s, 0)E2ε(0, s)
ds;
∂s μ1(s) - μ2(s)
0
∫t
∫
t
G1(t,s)w2(s)
E1ε(t,0) E2ε(s,0)E1ε(0,s)G1(t,s)w2(s)ds = εE1ε(t,0)
d(E2ε(s, 0)E1ε(0, s)) =
μ2(s) - μ1(s)
0
0
]
[G1(t,t)w2(t)
G1(t,0)w2(0)
=ε
E2ε(t,0) -
E1ε(t,0) -
μ2(t) - μ1(t)
μ2(0) - μ1(0)
∫t
( ∂ G1(t,s)w2(s))
- εE1ε(t, 0) E2ε(s, 0)E1ε(0, s)
ds.
∂s μ2(s) - μ1(s)
0
Переходим к сумме S3. Проводя аналогичные преобразования, будем иметь
t
∫
∑
∑
Gj(t, s)w(m)(s)
S3 = ε Ejε(t,0)
d(E[m]ε(s)Ejε (0, s)) =
(m, μ(s)) - μj(s)
j=1
|m|=2 0
[
]
∑
∑
Gj (t, t)w(m)(t)
Gj (t, 0)w(m)(0)
= ε Ejε(t,0)
E[m]ε(t)Ejε(0,t) -
-
(m, μ(t)) - μj(t)
(m, μ(0)) - μj(0)
j=1
|m|=2
t
∫
∑
∑
( ∂ Gj(t,s)w(m)(s))
− ε Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)
ds =
∂s (m,μ(s)) - μj(s)
j=1
|m|=2 0
[
]
∑
∑
Gj (t, t)w(m)(t)
Gj (t, 0)w(m)(0)
=ε
E[m]ε(t) -
Ejε(t,0)
-
(m, μ(t)) - μj (t)
(m, μ(0)) - μj(0)
j=1 |m|=2
∫
t
∑
∑
( ∂ Gj(t,s)w(m)(s))
− ε Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)
ds.
∂s (m,μ(s)) - μj(s)
j=1
|m|=2 0
В итоге первая сумма в (5) преобразуется к виду
∫
∑
Ejε(t,s)
Gj (t, s)w(m)(s)Eεm](s) ds =
j=1 0
|m|=1
t
∫t
∫
= E1ε(t,0) G1(t,s)w1(s)ds + E2ε(t,0) G2(t,s)w2(s)ds +
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
774
БОБОДЖАНОВ и др.
]
[G2(t,t)w1(t)
G2(t,0)w1(0)
+ε
E1ε(t,0) -
E2ε(t,0) -
μ1(t) - μ2(t)
μ1(0) - μ2(0)
∫t
( ∂ G2(t,s)w1(s))
- εE2ε(t, 0) E1ε(s, 0)E2ε(0, s)
ds +
∂s μ1(s) - μ2(s)
0
]
[G1(t,t)w2(t)
G1(t,0)w2(0)
+ε
E2ε(t,0) -
E1ε(t,0) -
μ2(t) - μ1(t)
μ2(0) - μ1(0)
∫t
( ∂ G1(t,s)w2(s))
- εE1ε(t, 0) E2ε(s, 0)E1ε(0, s)
ds +
∂s μ2(s) - μ1(s)
0
[
]
∑
∑
Gj (t, t)w(m)(t)
Gj (t, 0)w(m)(0)
+ε
E[m]ε(t) -
Ejε(t,0)
-
(m, μ(t)) - μj(t)
(m, μ(0)) - μj(0)
j=1 |m|=2
∫
t
∑
∑
( ∂ Gj(t,s)w(m)(s))
− ε Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)
ds.
∂s (m,μ(s)) - μj(s)
j=1
|m|=2 0
Преобразуем теперь вторую сумму в (5), используя операцию интегрирования по частям:
t
∫
∫
∑
Gj (t, s)w0(s)
Ejε(t,s)Gj(t,s)w0(s)ds = ε
dEjε (t, s) =
-μj(s)
j=1 0
j=1 0
∫
t
∑
s=t
∑
Gj (t, s)w0(s)
∂
(Gj(t,s)w0(s))
=ε
Ejε(t,s)
-ε
Ejε(t,s)
ds =
-μj(s)
∂s
-μj(s)
s=0
j=1
j=1 0
[
]
∫
t
∑
∑
Gj (t, t)w0(t)
Gj (t, 0)w0(0)
∂
(Gj(t,s)w0(s))
=ε
-
Ejε(t,0)
-ε
Ejε(t,s)
ds.
-μj(t)
-μj(0)
∂s
-μj(s)
j=1
j=1 0
Объединяя полученные результаты, будем иметь
∫
t
∫
t
∑
∑
∑
J (t, ε) =
Ejε(t,s)Gj(t,s)w0(s)ds +
Ejε(t,s)
Gj (t, s)w(m)(s)Eεm](s) ds =
|m|=1
j=1 0
j=1 0
t
∫t
∫
= E1ε(t,0) G1(t,s)w1(s)ds + E2ε(t,0) G2(t,s)w2(s)ds +
0
0
]
[G2(t,t)w1(t)
G2(t,0)w1(0)
+ε
E1ε(t,0) -
E2ε(t,0) -
μ1(t) - μ2(t)
μ1(0) - μ2(0)
∫t
( ∂ G2(t,s)w1(s))
- εE2ε(t, 0) E1ε(s, 0)E2ε(0, s)
ds +
∂s μ1(s) - μ2(s)
0
]
[G1(t,t)w2(t)
G1(t,0)w2(0)
+ε
E2ε(t,0) -
E1ε(t,0) -
μ2(t) - μ1(t)
μ2(0) - μ1(0)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
775
∫t
( ∂ G1(t,s)w2(s))
- εE1ε(t, 0) E2ε(s, 0)E1ε(0, s)
ds +
∂s μ2(s) - μ1(s)
0
]
∑
∑∫t[G
j (t, t)w(m)(t)
Gj (t, 0)w(m)(0)
+ε
E[m]ε(t) -
Ejε(t,0)
-
(m, μ(t)) - μj(t)
(m, μ(0)) - μj(0)
j=1 |m|=2 0
∫
t
∑
∑
( ∂ Gj(t,s)w(m)(s))
− ε Ejε(t,0)
E[m]ε(s)Ejε(0,s)
ds +
∂s (m,μ(s)) - μj(s)
j=1
|m|=2 0
[
]
∫
t
∑
∑
Gj (t, t)w0(t)
Gj (t, 0)w0(0)
∂
(Gj(t,s)w0(s))
+ε
-
Ejε(t,0)
-ε
Ejε(t,s)
ds.
-μj(t)
-μj
(0)
∂s
-μj(s)
j=1
j=1 0
Продолжая этот процесс далее, приходим к разложению
∫t
∫
t
Jw(t,τ) = E1ε(t,0) G1(t,s)w1(s)ds + E2ε(t,0) G2(t,s)w2(s)ds +
0
0
∑
+
(-1)ν εν+1{[(Iν12(G1(t, s)w2(s)))s=tE2ε(t, 0) - (Iν12(G1(t, s)w2(s)))s=0E1ε(t, 0)] +
ν=0
+ [(Iν21(G2(t, s)w1(s)))s=tE1ε(t, 0) - (Iν21(G2(t, s)w1(s)))s=0E2ε(t, 0)] +
∑
+
[(Iνj0(Gj (t, s)w0(s)))
- (Iνj0(Gj (t, s)w0(s)))
Ejε(t,s)] +
s=t
s=0
j=1
∑
∑
+
[(Iνm,j (Gj (t, s)w(m)(s)))
E[m]ε(t) - (Iνm,j(Gj(t,s)w(m)(s)))
Ejε(t,0)]},
(6)
s=t
s=0
j=1 m|=2
где введены операторы
1
1
∂
1
I012 =
,
Iν12 =
Iν-112, I021 =
,
μ2(s) - μ1(s)
μ2(s) - μ1(s) ∂s
μ1(s) - μ2(s)
1
∂
1
1
∂
Iν21 =
Iν-121, I0m.j =
,
Iνm.j =
Iν-1m.j,
μ1(s) - μ2(s) ∂s
(m, μ(s)) - μj(s)
(m, μ(s)) - μj (s) ∂s
1
1
∂
I0j0 =
,
Iνj0 =
Iν-1j0, j = 1,2,
|m| = 2, 3, . . . , ν = 1, 2, . . .
-μj(s)
−μj(s) ∂s
При этом нетрудно показать (см. [5, с. 294]), что ряд справа в (6) сходится к функции Jw(t, ε)
(при ε → +0) равномерно по t ∈ [0, T ].
Введём операторы порядка (по ε) Rm : U → U равенствами
∫t
∫
t
R0w(t,τ) = eτ1 G1(t,s)w1(s)ds + eτ2 G2(t,s)w2(s)ds,
0
0
Rν+1w(t,τ) = (-1)ν{[(Iν12(G1(t,s)w2(s)))s=teτ2 - (Iν12(G1(t,s)w2(s)))s=0eτ1 ] +
+ [(Iν21(G2(t, s)w1(s)))s=teτ1 - (Iν21(G2(t, s)w1(s)))s=0eτ2 ] +
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
776
БОБОДЖАНОВ и др.
∑
+
[(Iνj0(Gj (t, s)w0(s)))s=t - (Iνj0(Gj (t, s)w0(s)))s=0eτj ] +
j=1
∑
∑
+
[(Iνm,j (Gj (t, s)w(m)(s)))s=te(m,τ) - (Iνm,j (Gj (t, s)w(m)(s)))s=0eτj ]}, ν ≥ 0,
(7)
j=1 m|=2
где τ = ψ(t)/ε. Тогда образ Jw(t, τ) можно записать в виде
∑
Jw(t,τ) = R0w(t,τ) +
εm+1Rm+1w(t,τ).
m=0
Проведём расширение оператора J на рядах вида
∑
w(t, τ, ε) =
εkwk(t,τ)
(8)
k=0
с коэффициентами wk(t, τ) ∈ U, k ≥ 0.
Определение 1. Формальным расширением
J оператора J на рядах вида (8) называется
оператор
∑ ν∑
= εν Rν-sws(t,τ).
ν=0
s=0
Несмотря на то, что расширение
J оператора J определено формально, им вполне мож-
но пользоваться (см. ниже теорему 3) при построении асимптотического решения конечного
порядка по ε. Теперь несложно записать регуляризованную (по отношению к (2)), задачу
∂w
∂w
∂w
Lε w ≡ ε
+ μ1(t)
+ μ2(t)
- A(t) w - εA1(t) w -
J w = εF( w,t),
∂t
∂τ1
∂τ2
w(0, 0, ε) = {y0, 0, 0}.
(9)
2. Разрешимость итерационных задач. Подставляя ряд (8) в задачу (9) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем следующие итерационные задачи:
∂w0
∂w0
L0w0(t,τ) ≡ μ1(t)
+ μ2(t)
- A(t)w0 = 0,
∂τ1
∂τ2
w0(0,0) = w0;
(100)
∂w0
L0w1(t,τ) = -
+ A1(t)w0 + F(w0,t) + R0w0,
∂t
w1(0,0) = 0;
(101)
···
∂wk-1
L0wk(t,τ) = -
+ A1(t)wk-1 + Pk(w0,... ,wk-1,t) + R0wk-1 + R1wk-2 + ... + Rkw-1,
∂t
wk(0,0) = 0, k ≥ 1,
(10k)
где Pk(w0, w1, . . . , wk-1, t) - некоторый многочлен от w0, . . . , wk-1, линейный относитель-
но wk-1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
777
Переходя к формулировке теорем о нормальной и однозначной разрешимости итерацион-
ных задач (10k), вычислим собственные векторы ϕj (t) и χj(t) матриц A(t) и A∗(t) соот-
ветственно. Нетрудно проверить, что они имеют вид
{
}
{
}
ϕ0(t) = {1,0,0}, ϕ1(t) =
1/μ1(t), 1, 0
,
ϕ2(t) =
1/μ2(t), 0, 1
,
{
}
χ0(t) =
1, -1/μ1(t), -1/μ2(t)
,
χ1(t) = {0,1,0}, χ2(t) = {0,0,1},
причём векторы ϕ0(t), ϕ1(t), ϕ2(t) соответствуют собственным значениям λ0(t) ≡ 0, λ1(t) ≡
≡ μ1(t), λ2(t) ≡ μ2(t) матрицы A(t), а векторы χ0(t), χ1(t), χ2(t) - собственным значениям
λ0(t) ≡ 0,
λ1(t) ≡ μ1(t),
λ2(t) ≡ μ2(t) матрицы A∗(t) соответственно.
Каждая из итерационных систем (10k) имеет вид
∂w
∂w
L0w(t,τ) ≡ μ1(t)
+ μ2(t)
- A(t)w = P (t, τ),
(11)
∂τ1
∂τ2
∑NP
где P (t, τ) = P0(t) + P1(t)eτ1 + P2(t)eτ2 +
P(m)(t)e(m,τ) ∈ U.
|m|=2
Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1)-5) и P (t, τ) ∈ U. Для того чтобы сис-
тема (11) имела решение в пространстве U, необходимо и достаточно, чтобы∗) имели место
тождества
(Pj (t), χj (t)) ≡ 0, j = 0, 1, 2, t ∈ [0, T ].
(12)
Доказательство. Будем искать решение системы (11) в виде суммы (4). Подставляя (4)
в (11), получаем равенство
∑
∑
μ1(t)w1(t)eτ1 +
μ1(t)m1w(m)(t)e(m,τ) + μ2(t)w2(t)eτ2 +
μ2(t)m2w(m)(t)e(m,τ) -
|m|=2
|m|=2
∑
- A(t)w0(t) - A(t)w1(t)eτ1 - A(t)w2(t)eτ2 -
A(t)w(m)(t)e(m,τ) =
|m|=2
∑
= P0(t) + P1(t)eτ1 + P2(t)eτ2 +
P(m)(t)e(m,τ),
|m|=2
или
∑
-A(t)w0(t) + [μ1(t)I - A(t)]eτ1 + [μ2(t)I - A(t)]eτ2 +
[(m, μ(t)I - A(t))]w(m)(t)e(m,τ) =
|m|=2
∑
= P0(t) + P1(t)eτ1 + P2(t)eτ2 +
P(m)(t)e(m,τ),
|m|=2
где I - единичная матрица.
В силу линейной независимости экспонент 1, eτ1 , eτ2 , e(m,τ)
(|m| ≥ 2) это равенство
имеет место лишь при Nw = NP . Приравнивая отдельно коэффициенты при одинаковых
функциях e(m,τ) и свободные члены, будем иметь
[μj (t)I - A(t)]wj (t) = Pj (t) (j = 1, 2),
-A(t)w0(t) = P0(t),
[(m, μ(t))I - A(t)]w(m)(t) = P(m)(t),
2 ≤ |m| ≤ NP.
(13)
∗) Здесь и всюду далее через (,) обозначено стандартное скалярное произведение в комплексном прост-
ранстве C3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
778
БОБОДЖАНОВ и др.
Так как выполнено предположение 5) об отсутствии резонанса, то последняя система имеет
единственное решение при каждом m (2 ≤ |m| ≤ NP ):
w(m)(t) = [(m,μ(t))I - A(t)]-1P(m)(t),
2 ≤ |m| ≤ NP.
(14)
Сделаем в первых трёх системах из (13) замены переменных wj(t) = Φ(t)ξj, w0(t) =
= Φ(t)η, j = 1,2, где Φ(t) = (ϕ0(t),ϕ1(t),ϕ2(t)) - матрица из собственных векторов опера-
тора A(t). Умножая полученные системы слева на Φ-1(t) и учитывая, что (Φ-1(t))∗=χ(t) ≡
≡ (χ0(t), χ1(t), χ2(t)) - матрица из собственных векторов сопряжённого оператора A∗(t), будем
иметь
[μj (t)I - Λ(t)]ξj (t) = {(Pj (t), χ0(t)), (Pj (t), χ1(t)), (Pj (t), χ2(t))}, j = 1, 2,
- Λη(t) = {(P0(t), χ0(t)), (P0(t), χ1(t)), (P0(t), χ2(t))},
где Λ(t) = diag (μ0(t), μ1(t), μ2(t)) ≡ diag (0, μ1(t), μ2(t)). Запишем эти системы более подробно
(аргумент t везде опускаем и обозначаем ξj = {ξ1j, ξ2j, ξ3j}, η = {η1, η2, η3}):
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
μj
0
0
ξ1j
(Pj , χ0)
⎝0
μj - μ1
0
⎠⎝ξ2j⎠= ⎝(Pj , χ1)⎠,j=1,2,
(14j )
0
0
μj - μ2
ξ3j
(Pj , χ2)
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
0
η1
(P0, χ0)
⎝0
-μ1
0
⎠⎝η2⎠= ⎝(P0, χ1)⎠.
(15)
0
0
-μ2
η3
(P0, χ2)
Видим, что вторая строка матрицы системы (141) (j = 1) нулевая, поэтому для разрешимо-
сти этой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (P1(t), χ1(t)) ≡ 0;
при этом ξ21(t) ≡ α1(t) ∈ C∞([0, T ], C1) - произвольная скалярная функция. И аналогично,
третья строка матрицы системы (142) (j = 2) нулевая, поэтому для разрешимости этой сис-
темы необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество (P2(t), χ2(t)) ≡ 0; при этом
ξ32(t) ≡ α2(t) ∈ C∞([0,T],C1) - произвольная скалярная функция. Поскольку в системе (15)
первая строка нулевая, то для разрешимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось тождество (P0(t), χ0(t)) ≡ 0; при этом η1(t) ≡ α0(t) ∈ C∞([0, T ], C1) - про-
извольная скалярная функция. Таким образом, для разрешимости систем (13) (а значит, и
системы (11)) необходимо и достаточно выполнения условий (12). Теорема доказана.
Замечание 1. Если выполнены условия (12), то, как это видно из (14) и уравнений (14j ) и
(15) (с учётом того, что wj (t) = Φ(t)ξj , w0(t) = Φ(t)η, j = 1, 2), система (11) имеет следующее
решение в пространстве U :
[
]
(P1(t), χ0(t))
(P1(t), χ2(t))
w(t, τ) = α1(t)ϕ1(t) +
ϕ0(t) +
ϕ2(t) eτ1 +
μ1(t)
μ1(t) - μ2(t)
[
]
(P2(t), χ0(t))
(P2(t), χ1(t))
+ α2(t)ϕ2(t) +
ϕ0(t) +
ϕ1(t) eτ2 +
μ2(t)
μ2(t) - μ1(t)
[
] NP∑
(P0(t), χ1(t))
(P0(t), χ2(t))
+ α0(t)ϕ0(t)+
ϕ1(t)+
ϕ2(t) +
[(m, μ(t))I - A(t)]-1P(m)(t)e(m,τ) ≡
-μ1(t)
-μ2(t)
|m|=2
[
]
∑
∑
≡
αj(t)ϕj(t) +
pjk(t)ϕk(t) eτj + α0(t)ϕ0(t) +
j=1
k=0,k=j
∑
∑
+ p0k(t)ϕk(t) +
[(m, μ(t))I - A(t)]-1P(m)(t)e(m,τ),
(16)
k=1
|m|=2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
779
где αj(t) ∈ C∞([0, T ], C1) - произвольные функции, pjk(t) ≡ (Pj (t), χk(t))/(μj (t) - μk(t)),
j, k = 0, 1, 2.
Обозначим через U(k) подпространство пространства U однородных относительно eτ1 ,
eτ2 многочленов степени k :
∑
z(t, u) =
z(m)(t)e(m,τ), z(m)(t) ∈ C∞([0,T],C3),
|m| = k = 0, 1, 2, . . . ,
|m|=k
∑
c присоединённым к ним элементом 0 ≡
0·e(m,τ). В пространстве U(k) введём скаляр-
|m|=k
ное (при каждом t ∈ [0, T ]) произведение
!
∑
〈w(k)(t, u), z(k)(t, u)〉 ≡
=
|m|=k
∑
∑
def=
(w(k)(t), z(k)(t)) =
(w(k)(t))т · z(k)(t).
|m|=k
|m|=k
Если w(t, τ) - элемент (4) пространства U, то через w(k)(t, u) будем обозначать сумму его
слагаемых, принадлежащую пространству U(k).
Рассмотрим систему (11) при дополнительных условиях
w(0, 0) = w∗,
!
∂w(1)
-
+ A1(t)w(1) + R0w(1) + Q(1)(t,τ),χj(t)eτj
≡ 0, j = 1, 2, t ∈ [0, T ];
∂t
!
∂w(0)
-
+ A1(t)w(0) + R0w(0) + Q(0)(t,τ),χ0(t)
≡ 0, t ∈ [0, T ],
(17)
∂t
∑NP
где Q(t, τ) = Q1(t)eτ1 + Q2(t)eτ2 + Q0(t) +
Q(m)(t)e(m,τ) ∈ U - известная функция,
|m|=2
w∗ ∈ C3 - известный постоянный вектор.
Имеет место следующая
Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1)-5) и вектор-функция P (t, τ) ∈ U удо-
влетворяет условиям (12). Тогда система (11) при дополнительных условиях (17) однозначно
разрешима в пространстве U.
Доказательство. Так как выполнены условия (12), то система (11) имеет решение (16) в
пространстве U, где функции αj(t) пока произвольны. Подчинив решение (16) начальному
условию w(0, 0) = w∗, получим равенство
∑[
∑
∑
αj(0)ϕj(0) +
pjk(0)ϕk(0)
+
[(m, μ(0))I - A(0)]-1P(m)(0) = w∗,
j=0
k=0,k=j
|m|=2
т.е.
∑
αj(0)ϕj(0) = w∗,
(18)
j=0
где
[
∑
∑
∑
w∗ = w∗ -
pjk(0)ϕk(0)
-
[(m, μ(0))I - A(0)]-1P(m)(0).
j=0
k=0,k=j
|m|=2
Умножая равенство (18) скалярно на χs(0), будем иметь
αs(0) = (w∗,χs(0)), s = 0,1,2.
(19)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
780
БОБОДЖАНОВ и др.
Вычислим теперь выражения
(k)
∂w
-
+ A1(t)w(k) + R0w(k) + Q(k)(t,τ), k = 0,1,2.
∂t
Поскольку в эти выражения не входят экспоненты измерения |m| ≥ 2, то в решении (16)
можно ограничиться суммой
[
]
∑
∑
∑
ŵ(t, τ) =
αj(t)ϕj(t) +
pjk(t)ϕk(t) eτj + α0(t)ϕ0(t) +
p0k(t)ϕk(t).
j=1
k=0,k=j
k=1
Учитывая определение в (7) оператора R0, будем иметь∗)
[
]
∑
∑
∂ŵ
-
+ A1(t) ŵ + R0 ŵ + Q(t,τ) = -
(αj (t)ϕj (t))• +
(pjk(t)ϕk(t))• eτj -
∂τ
j=1
k=0,k=j
[
]
∑
∑
∑
− (α0(t)ϕ0(t))• + (p0k(t)ϕ0(t))• +
αj(t)A1(t)ϕj(t) +
pjk(t)A1(t)ϕk(t) eτj +
k=1
j=1
k=0,k=j
∫
t
[
]
∑
∑
+ α0(t)A1(t)ϕ0(t) +
p0k(t)A1(t)ϕk(t) + eτ1 G1(t,s) α1(s)ϕ1(s) +
p1k(s)ϕk(s) ds +
k=1
k=0
0
k=1
∫t
[
]
∑
∑
+eτ2
G2(t,s) α2(s)ϕ2(s) +
p2k(s)ϕk(s) ds +
Qj(t)eτj + Q0(t).
k=0
j=1
0
Далее эту функцию надо подчинить условиям (17). Начнём с последнего условия в (17),
т.е., что равносильно, с условия
!
∂ŵ(0)
-
+ A1(t) ŵ(0) + R0 ŵ(0) + Q(0)(t,τ),χ0(t)
≡ 0, t ∈ [0, T ].
∂t
Учитывая биортонормированность систем {ϕj (t)} и {χk(t)}, запишем это условие в виде
α0(t) = (A1(t)ϕ0(t) -ϕ˙0(t),χ0(t))α0(t) + q0(t),
(20)
где обозначено
(
)
∑
∑
q0(t) ≡ Q0(t) -
(p0k(t)ϕk(t))• +
p0k(t)A1(t)ϕk(t),χ0(t)
k=1
k=0
Получено дифференциальное уравнение относительно функции α0(t). В случае первых двух
условий в (17) аналогично получим интегро-дифференциальные уравнения
∫t
α1(t) = (A1(t)ϕ1(t) -ϕ˙1(t),χ1(t))α1(t) + (G1(t,s)ϕ1(s),χ1(t))α1(s)ds + q1(t),
0
∫t
α2(t) = (A1(t)ϕ2(t) -ϕ˙2(t),χ2(t))α2(t) + (G2(t,s)ϕ2(s),χ2(t))α2(s)ds + q2(t),
(21)
0
∗) Жирная точка означает дифференцирование по t.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
781
где обозначено
∫
t
∑
∑
∑
q1(t) ≡ (Q1(t) -
(p1k(t)ϕk(t))• +
p1k(t)A1(t)ϕk(t) +
p1k(s)G1(t,s)ϕk(s)ds,χ1(t)),
k=0
k=0
k=0
0
k=1
k=1
k=1
∫
t
∑
∑
∑
q2(t) ≡ (Q2(t) -
(p2k(t)ϕk(t))• +
p2k(t)A1(t)ϕk(t) +
p2k(s)G2(t,s)ϕk(s)ds,χ2(t)).
k=0
k=0
k=0 0
Присоединяя к уравнениям (20) и (21) начальные условия (19) и решая полученные начальные
задачи, найдём однозначно функции αj(t), а значит, однозначно вычислим в пространстве U
решение (16) системы (11) при дополнительных условиях (17). Теорема доказана.
Решения итерационных задач wk(t, τ) ∈ U находятся с помощью применения теорем 1 и 2.
Покажем, как это можно сделать на примере первой итерационной задачи (100).
3. Построение решений итерационных задач. Рассмотрим первую итерационную за-
дачу (100). Построим её решение, не используя выкладки, полученные в предыдущем парагра-
фе. Так как её правая часть P = P(0)(t, τ) тождественно нулевая, то условия ортогональности
(12) для задачи (100) выполнены автоматически. Поэтому задача (100) имеет следующее ре-
шение (см. формулу (16)):
∑
w0(t,τ) =
α(0)j(t)ϕj(t)eτj + α(0)0(t)ϕ0(t),
(22)
j=1
где α(0)j(t) ∈ C∞([0, T ], C1) - пока произвольные функции. При этом система (101) принима-
ет вид
)
)
(2∑
(2∑
∂
L0w1(t,τ) = -
α(0)j(t)ϕj(t)eτj +α(0)0(t)ϕ0(t) +A1(t)
α(0)j(t)ϕj(t)eτj +α(0)0(t)ϕ0(t)
+
∂t
j=1
j=1
)
(2∑
+F
α(0)j(t)ϕj(t)eτj + α(0)0(t)ϕ0(t),t
+ R0w0 ≡ P(1)(t,τ).
(23)
j=1
Эта система будет разрешимой в пространстве U тогда и только тогда, когда свободный
член P0(t) и коэффициенты Pj (t) при экспонентах eτi (измерения |m| = 1) её правой части
P(1)(t,τ) удовлетворяют условиям ортогональности (12). Выделим P0(t) и Pj(t) в правой
части P(1)(t, τ). Используя формулу Тейлора, будем иметь
)
(2∑
∑
F
α(0)j(t)ϕj(t)eτj +α(0)0(t)ϕ0(t),t
=F(α(0)0(t),t)+∂F(α00)(t),t)
α(0)j(t)ϕj(t)eτj +r(eτ1 ,eτ2 ,t),
∂w
j=1
j=1
где функция r(eτ1 , eτ2 , t) содержит члены с экспонентами e(m,τ) измерения |m| ≥ 2. Учитывая
определение в (7) оператора R0, выделим в P(1)(t, τ) выражение
P(1)(t,τ), не содержащее
экспоненты e(m,τ) измерения |m| ≥ 2:
∑
P(1)(t,τ) = -(α(0)0(t)ϕ0(t))•
+ A1(t)(α(0)0(t)ϕ0(t)) + F(α(0)0(t),t) -
(α(0)j(t)ϕj (t))•eτj +
j=1
)
∫
t
(2∑
∑
∑
∂F(α(0)0(t),t)
+A1(t)
α(0)j(t)ϕj (t)eτj
+
α(0)j(t)ϕj (t)eτj +
eτj
Gj (t, s)αj0)(s)ϕj (s) ds.
∂w
j=1
j=1
j=1
0
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
782
БОБОДЖАНОВ и др.
Теперь нетрудно записать условия ортогональности (12) для задачи (23) (при этом нужно
учесть, что
ϕ0(t) ≡ 0):
α(0)0(t) = (A1(t)ϕ0(t),χ0(t))α(0)0(t) + F(α(0)0(t)ϕ0(t),t),
∫t
α(0)1(t) = (A1(t)ϕ1(t) -ϕ˙1(t),χ1(t))α(0)1(t) + (G1(t,s)ϕ1(s),χ1(t))α(0)1(s)ds +
0
(
(0)
)
∂F(α
(t)ϕ0(t), t)
0
+
ϕ1(t),χ1(t) α(0)1(t),
∂w
∫t
α(0)2(t) = (A1(t)ϕ2(t) -ϕ˙2(t),χ2(t))α(0)2(t) + (G2(t,s)ϕ2(s),χ2(t))α(0)2(s)ds +
0
(
)
(0)
∂F(α
(t)ϕ0(t), t)
0
+
ϕ2(t),χ2(t) α(0)2(t).
(24)
∂w
Начальные условия для этой системы находим из равенства w0(0, 0) = w0, т.е. равенства
∑
α(0)j(0)ϕj(0) + α(0)0(0)ϕ0(0) = w0,
j=1
из которого следует, что
α(0)0(0) = (w0,χ0(0)) = y0, α(0)j(0) = (w0,χj(0)) = 0, j = 1,2.
Поскольку интегро-дифференциальные уравнения (24) для функций α(0)j(t) (j = 1, 2) явля-
ются однородными, получаем тождества α(0)j(t) ≡ 0 (j = 1, 2). Для функции α(0)0(t), учиты-
вая вид A1(t) и равенство ϕ0(t) = {1, 0, 0}, приходим к нелинейной задаче Коши
)
(2∑
Kj(t,t)
α(0)0(t) = -
α(0)0(t) + f(α(0)0(t)ϕ0(t),t), α(0)0(0) = y0,
(25)
μj(t)
j=1
вопрос о разрешимости в целом которой на отрезке [0, T ] представляет собой самостоятельную
и весьма нетривиальную задачу. Поэтому введём ещё одно предположение:
6) задача (25) разрешима на отрезке [0, T ].
В этом случае решение (22) первой итерационной задачи (100) будет найдено в простран-
стве U в виде
w0(t,τ) = α(0)0(t)ϕ0(t).
Оно, как сказано выше, не содержит функций пограничного слоя. Что же касается следующих
итерационных задач (10k), k ≥ 1, то для них уравнения для функций α(k)j(t) (k = 1, 2, 3, . . . ,
j = 0,1,2) будут линейными и поэтому разрешимыми в целом на отрезке [0,T].
Замечание 2. Для задачи (1) в действительном случае предположение 6) будет выполнено
(см. [6, с. 412-413]), если потребовать, чтобы существовала постоянная γ такая, что при всех
(t, y) ∈ [0, T ] × R имеет место неравенство
)
(2∑
Kj(t,t)
∂f(y,t)
-
+
≤ γ.
(26)
μj(t)
∂y
j=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
783
Это неравенство выполняется, например, для задачи (1), в которой μ1(θ) = -1, μ2(θ) =
√
=-
2 и f(y,t) = -2y3. В этом случае неравенство (26) принимает вид m(t) - 6y2 ≤ γ, где
√
обозначено m(t) = K1(t, t) + K2(t, t)/
2. Оно выполняется, если взять постоянную γ такой,
чтобы γ > max{m(t) : t ∈ [0, T ]}.
При этом задача (25) будет иметь следующее решение:
(( (∫ t
)
)
)1/2( (∫ t
)
)-1
α(0)0(t) =
4
e(s) ds (y0)2 + 1 e(t)y0
4
e(s) ds y20 + 1
,
0
0
∫s
где e(s) ≡ exp(2
m(θ) dθ).
0
При выполнении предположений 1)-6) можно построить ряд (8) с коэффициентами
wk(t,τ) ∈ U. Так же, как и в [7], доказывается следующий результат.
Теорема 3. Пусть для системы (2) выполнены предположения 1)-6). Тогда при ε ∈ (0, ε0]
(ε0 > 0 - достаточно мало) система (2) имеет единственное решение w(t,ε) ∈ C1([0,T],C3)
и имеет место оценка
∥w(t, ε) - wεN (t)∥C[0,T] ≤ cN εN+1, N = 0, 1, 2, . . . ,
где wεN (t) - сужение (при τ = ψ(t)/ε) N -й частичной суммы ряда (8) (с коэффициентами
wk(t,τ) ∈ U, удовлетворяющими итерационным задачам (10k)), а постоянная cN > 0 не
зависит от ε при ε ∈ (0, ε0].
Поскольку решение y(t, ε) исходной задачи (1) является первой компонентой вектор-функ-
ции w(t, ε), то для него (при предположениях 1)-6)) также справедлива оценка
∥y(t, ε) - yεN (t)∥C[0,T] ≤ cN εN+1, N = 0, 1, 2, . . . ,
в которой постоянная cN > 0 не зависит от ε при ε ∈ (0, ε0].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.
2. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.
3. Бободжанова М.А. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные системы с нулевым опе-
ратором дифференциальной части // Вестн. Моск. энергетич. ин-та. 2010. № 6. С. 63-72.
4. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродиф-
ференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части // Дифференц. уравнения.
2011. Т. 47. № 4. С. 519-536.
5. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и
метод регуляризации. М., 2012.
6. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М., 1994.
7. Бободжанова М.А. Обоснование метода регуляризации для нелинейных интегродифференциаль-
ных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части // Вестн. Моск. энергетич. ин-та.
2011. № 6. C. 85-95.
Национальный исследовательский университет
Поступила в редакцию 04.02.2021 г.
“Московский энергетический институт”
После доработки 11.04.2021 г.
Принята к публикации 27.04.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
5∗
