ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.784-795

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.4

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ОПЕРАТОРОМ ГАММЕРШТЕЙНА-НЕМЫЦКОГО

Исследуется класс нелинейных интегральных заданных на всей прямой уравнений с неком-

пактным оператором Гаммерштейна-Немыцкого. Некоторые частные случаи таких урав-

нений имеют конкретные приложения в различных областях естествознания. Сочетание

метода построения инвариантных конусных отрезков для соответствующего нелинейного

монотонного оператора с методами теории функций вещественной переменной позволяет

доказать конструктивную теорему о существовании ограниченных положительных реше-

ний у уравнений рассматриваемого класса. Изучается также асимптотическое поведение

решения в ±∞. В частности, доказывается, что построенное решение является суммируе-

мой функцией на отрицательной части числовой оси и разность между пределом в +∞ и

решением также интегрируема на положительной полуоси. В одном частном случае пока-

зано, что построенное решение порождает однопараметрическое семейство ограниченных

положительных решений. В конце работы приводятся конкретные прикладные примеры

нелинейностей, иллюстрирующие полученные результаты.

DOI: 10.31857/S0374064121060066

1. Введение и постановка задачи. Рассмотрим следующий класс заданных на всей

прямой нелинейных интегральных уравнений с оператором типа Гаммерштейна-Немыцкого:

∫

f (x) = G₀(x, f(x)) + K(x - t)G(f(t)) dt, x ∈ R := (-∞, +∞),

(1)

относительно искомой измеримой неотрицательной и ограниченной на R функции f(x).

В уравнении (1) нелинейности G₀(x,u) и G(u) определены соответственно на множествах

R×R⁺ и R⁺ (здесь и далее R⁺ := [0,+∞)) принимают вещественные значения и удовлетво-

ряют условиям, сформулированным ниже.

Ядро K обладает следующими основными свойствами:

∫

K(x) > 0, x ∈ R,

K(x) dx = 1,

(2)

∫

K ∈ M(R),

x²K(x)dx < +∞,

(3)

∫

ν(K) := xK(x) dx > 0,

(4)

где M(R) - пространство существенно ограниченных функций на множестве R.

Нелинейность G на множестве R⁺ удовлетворяет следующим условиям:

1) G(0) = 0, G(u) выпукла вверх и монотонно возрастает;

2) существует число η₀ > 0 такое, что G(η₀) = η₀, причём G(u) > u при u ∈ (0, η₀) и

G(u) < u при u ∈ (η₀, +∞);

784

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

785

3) существует lim G(u) =: γ < +∞;

u→+∞

4) существует конечная производная в нуле G^′(0) > 1, при этом

G(u) ≤ G^′(0)u для всех u ≥ 0;

5) существуют числа c > 0 и ε > 0 такие, что G(u) ≥ G^′(0)u - cu1+ε, u ∈ [0, η₀].

На рисунке приведена графическая иллюстрация условий 1)-5).

Уравнение (1) возникает во многих областях естество-

знания при математическом моделировании различных

процессов. В частности, такие уравнения встречаются в

математической теории пространственно-временного рас-

пространения эпидемии с учётом возникновения второй

волны, в кинетической теории газов, в теории переноса

излучения в спектральных линиях (см. [1-6] и приведён-

ную в них библиографию). В том частном случае, когда

G₀ ≡ 0, уравнение (1) подробно исследовалось в рабо-

тах [1-3]. В случае ν(K) ≤ 0 уравнение (1) изучалось в

работах [7-9]. Следует отметить, что в этих работах су-

щественно использовались методы линейной теории инте-

гральных уравнений типа свёртки.

В настоящей работе мы, накладывая на нелинейности

G₀

и G другие ограничения и используя методы тео-

рии нелинейных монотонных операторов, с помощью спе-

Рисунок.

циально выбранных итераций доказываем существование

положительных и ограниченных решений у уравнения (1). Из соответствующих априорных

оценок следует, в частности, свойство суммируемости решения на отрицательной части число-

вой оси. Далее, для одного важного частного случая, используя выпуклость нелинейности G

и некоторые геометрические неравенства, устанавливаются существование предела решения

в бесконечности f(+∞) и включение f(+∞) - f(x) ∈ L₁(R⁺). В конце работы приведены

частные прикладные примеры функций G₀ и G. Прежде чем накладывать условия на функ-

цию G₀(x, u), введём несколько обозначений и приведём нужные в дальнейшем следствия,

вытекающие из свойств функции G(u).

2. Обозначения, вспомогательные факты и основные условия на функцию G₀.

2.1. Обозначения и вспомогательные факты. Обозначим

∫0

α₀ :=

K(t) dt > 0.

(5)

−∞

Наряду с уравнением (1) рассмотрим следующее вспомогательное уравнение типа Гаммер-

штейна на всей прямой:

∫

ϕ(x) = K(x - t)G(ϕ(t)) dt, x ∈ R,

(6)

относительно искомой непрерывной положительной и ограниченной на R функции ϕ(x).

В работе [3] доказано, что необходимым условием существования такого решения у урав-

нения (6) является выполнение неравенства

G′(0)α₀ < 1.

(7)

В дальнейшем, если не будет оговорено противное, считаем, что условие (7) выполняется.

Определим на множестве R⁺ функцию

χ(u) := (uG^′(0) - G(u))α₀ + G(u) - u, u ≥ 0.

(8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

786

ХАЧАТРЯН и др.

Так как, согласно условию 4), существует конечная производная G^′(0) и в силу свойства (2)

величина α₀ конечна, то функция χ определена корректно. Из равенства в условии 1) следует,

что χ(0) = 0, а из определения числа η₀ в условии 2) и неравенства G^′(0) > 1 в условии 4) -

что χ(η₀) = η₀(G^′(0) - 1)α₀ > 0. В силу условия 3) и неравенства (7) имеем χ(+∞) = -∞.

Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, существует число η > η₀ такое, что

χ(η) = 0.

(9)

Убедимся, что число η > η₀ определяется из уравнения χ(u) = 0 единственным образом.

Предположим обратное: пусть существует также η > η₀,

η = η, такое, что χ(η) = 0. Тогда

из определения (8) функции χ(u) вытекает равенство

G(η) - G(η)

1 - G^′(0)α₀

(10)

η-η

1-α₀

С другой стороны, в силу выпуклости вверх функции G(u) на R⁺ для любых η, η ∈ R⁺

справедливо неравенство

G(η) - G(η)

G(η)

(11)

η-η

Действительно, обозначим принадлежащие графику функции G(u) точки O(0, 0), A(η, G(η))

A(η, G(η)). Если η-η > 0, то неравенство (11) очевидно равносильно неравенству G(η)/η <

< G(η)/η. Но последнее неравенство верно, так как в силу выпуклости вверх функции G точка

A лежит над отрезком

A, а значит, тангенс угла наклона G(η)/η к оси абсцисс отрезка

меньше тангенса угла наклона G(η)/η к оси абсцисс отрезка OA. Точно так же, если η -

- η > 0, то неравенство (11) очевидно равносильно неравенству G(η)/η > G(η)/η, которое

верно, поскольку в этом случае в силу выпуклости вверх функции G точка

A лежит над

отрезком OA.

Как следует из определения функции χ (или можно положить η = 0 в (10)), справедливо

равенство

G(η)

1 - G^′(0)α₀

1-α₀

которое противоречит соотношениям (10), (11). Поэтому уравнение χ(u) = 0 имеет единствен-

ное решение при u ∈ (η₀, +∞).

2.2. Основные условия на функцию G₀. Теперь мы можем привести условия, которым

должна удовлетворять функция G₀(x, u):

a) на множестве R × [0, η] она удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу u, т.е.

функция G₀(x, u) при всяком u ∈ [0, η] измерима по x на R и почти при всех x ∈ R

непрерывна по u на [0, η];

b) при каждом x функция G₀(x, u) монотонно возрастает по u на множестве R⁺;

c) существует число ξ ∈ (η₀, η) такое, что

∫x

G₀(x,u) ≥ u K(y)dy, u ∈ [0,ξ], x ∈ R;

-∞

d) имеет место оценка сверху

∫

G₀(x,η) ≤ (ηG^′(0) - G(η))α₀

K(y) dy, x ∈ R,

-∞

где число η > η₀ - единственный корень уравнения χ(u) = 0, а число α₀ определяется

равенством (5).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

787

3. Построение положительного и ограниченного решения уравнения (1).

3.1. Функция Дикмана. Рассмотрим следующую функцию Дикмана (см. [2]):

∫

L(λ) := G^′(0) K(t)e^-λt dt, λ ≥ 0,

при условии, что данный интеграл сходится для λ ∈ [0, λ₁], λ₁ > 0. Из свойств (2)-(4) с

учётом того, что G^′(0) > 1, следуют неравенства

L(0) = G^′(0) > 1,

(12)



∫

dL



= -G^′(0) K(t)tdt < 0,

(13)



dλ

λ=0

∫

d²L

= G^′(0) K(t)t²e-λt dt > 0

(14)

dλ²

(данный интеграл может быть равным и бесконечности).

Из (14) следует, что функция L(λ) выпукла вниз на [0, λ₁]. Так как функция L(λ) непре-

рывна, то в силу неравенства (13) по теореме Коши существует число λ₀ ∈ (0, λ₁] такое, что

при всех λ ∈ [0, λ₀] имеет место неравенство

< 0.

(15)

dλ

Предположим, что

L(λ₀) < 1.

(16)

Тогда с учётом неравенств (12) и (16) в силу теоремы Больцано-Коши существует единствен-

ное σ ∈ (0, λ₀), при котором

L(σ) = 1.

(17)

Рассмотрим теперь вспомогательное уравнение (6). Из результатов работы [3] следует, что

при условиях 1)-5) уравнение (6) имеет положительное ограниченное непрерывное и неубы-

вающее решение ϕ со свойствами:

ϕ(-∞) = 0, ϕ(+∞) = η₀,

(18)

ϕ ∈ L₁(-∞,0), η₀ - ϕ ∈ L₁(0,+∞).

(19)

Более того, для решения ϕ имеет место следующая оценка сверху:

{

η₀e^σx при x ≤ 0,

ϕ(x) ≤

(20)

η₀

при x > 0.

Свойства (18)-(20) нам существенно понадобятся в дальнейших рассуждениях.

3.2. Последовательные приближения для решения уравнения (1). Пусть ψ(x) -

любая измеримая “тестовая” функция, определённая на множестве R и удовлетворяющая

следующим условиям:

∫x

0 ≤ ψ(x) ≤ ϕ(x) K(y)dy, x ∈ R;

(21)

-∞

существует число r > 0 такое, что

inf

ψ(x) > 0.

(22)

x∈[r,+∞)

Напомним, что ϕ(x) - решение нелинейного уравнения (6).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

788

ХАЧАТРЯН и др.

Введём следующие специальные итерации для уравнения (1):

∫

fn+1(x) = G₀(x,f_n(x)) + K(x - t)G(f_n(t))dt,

f₀(x) = εψ(x) + ϕ(x), n ∈ Z₊ := {0,1,2,...}, x ∈ R,

(23)

где

ε := min{1, (η - η₀)/η₀, (ξ - η₀)/ sup ψ(x)}.

(24)

x∈R

Индукцией по n убедимся, что последовательность {f_n(x)}n∈Z+ функций обладает следую-

щими свойствами:

{f_n(x)}n∈Z+ не убывает, т.е. f_n(x) ≤ fn+1(x), n ∈ Z₊, x ∈ R,

(25)

f_n(x) ≤ η, n ∈ Z₊, x ∈ R.

(26)

Неравенство f₀(x) ≤ η, x ∈ R, непосредственно следует из (23), (24) и (20), (21):

(

)

η-η₀

f₀(x) ≤ (ε + 1)ϕ(x) ≤ η₀(ε + 1) ≤ η₀

= η.

η₀

Докажем теперь, что

f₁(x) ≥ f₀(x), x ∈ R.

Учитывая условия b) и 1) свойство (2), условие c), неравенство (21), равенство (24), а также

то, что функция ϕ(x) является решением нелинейного уравнения (6), и воспользовавшись

определением (23), получаем

∫

f₁(x) ≥ G₀(x,εψ(x) + ϕ(x)) + K(x - t)G(ϕ(t))dt ≥

∫x

∫

≥ (εψ(x) + ϕ(x)) K(y) dy + ϕ(x) ≥ εψ(x) K(y) dy + ψ(x) + ϕ(x) ≥ εψ(x) + ϕ(x) = f₀(x).

-∞

Предположим, что для некоторого натурального n выполняются следующие неравенства:

f_n(x) ≥ fn-1(x), x ∈ R,

f_n(x) ≤ η, x ∈ R.

Тогда снова вследствие монотонности функций G₀ и G, а также свойств (2) и условия d) из

определения (23) с учётом равенств (8) и (9) вытекает, что

∫

fn+1(x) ≥ G₀(x,fn-1(x)) + K(x - t)G(fn-1(t))dt = f_n(x),

fn+1(x) ≤ G₀(x,η) + G(η) ≤ (ηG^′(0) - G(η))α₀ + G(η) = η.

Используя условие Каратеодори для функции G₀ и непрерывность функции G, индукцией

по n несложно убедиться в том, что каждый элемент последовательности {f_n(x)}n∈Z+ пред-

ставляет собой измеримую функцию на R. Из доказанных свойств (25) и (26) вытекает, что

последовательность измеримых функций {f_n(x)}n∈Z+ имеет при n → ∞ поточечный пре-

дел: lim

f_n(x) = f(x). С учётом условий 1), a) в силу предельных теорем Красносельского

n→∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

789

(см. [10, с. 340]) и Б. Леви (см. [11, с. 303]) функция f(x) удовлетворяет уравнению (1). Из

свойств (25) и (26) следует также, что имеет место двойное неравенство

εψ(x) + ϕ(x) ≤ f(x) ≤ η, x ∈ R.

(27)

3.3. Асимптотическое поведение решения в -∞. В этом пункте докажем, что для

построенного нами решения f(x) выполняется следующее неравенство:

f (x) ≤ ηe^σx, x ≤ 0,

(28)

где число σ определяется из уравнения (17) и σ ∈ (0, λ₀). С этой целью сначала индукцией

по n докажем неравенство

f_n(x) ≤ ηe^σx, x ≤ 0, n ∈ Z₊.

(29)

При n = 0 это неравенство непосредственно вытекает из (24), (20) и определения нулевого

приближения:

( ∫x

)

f₀(x) = εψ(x) + ϕ(x) ≤ ϕ(x) ε K(y)dy + 1

≤

-∞

(

)

η-η₀

≤ η₀e^σx(ε + 1) ≤ η₀e^σx

= ηe^σx, x ≤ 0.

η₀

Предположим, что f_n(x) ≤ ηe^σx, x ≤ 0, при некотором натуральном n. Тогда, используя

условие d), монотонность функций G₀(x, u) и G(u) по u, а также условие 4) и равенство

(17), вследствие определения (23) для x ≤ 0 получаем

∫

fn+1(x) ≤ G₀(x,ηe^σx) + K(x - t)G(f_n(t))dt ≤

∫0

∫

∞

≤ G₀(x,η) + K(x - t)G(ηe^σt)dt + K(x - t)G(η)dt ≤

-∞

∫

≤ (ηG^′(0) - G(η))α₀ K(y) dy + ηG^′(0) K(x - t)e^σt dt + G(η) K(y) dy ≤

-∞

∫x

∫

∞

∫

≤ (ηG^′(0) - G(η)) K(y) dy + ηG^′(0) K(y)eσ(x-y) dy + G(η) K(y) dy =

-∞

∫x

∫

∞

= ηG^′(0) K(y)dy + ηG^′(0)e^σx K(y)e^-σy dy =

-∞

∫x

(

∫

)

= ηG^′(0) K(y)dy + ηe^σx G^′(0) K(y)e^-σy dy - G^′(0) K(y)e^-σy dy

-∞

∫x

∫

= ηG^′(0) K(y)dy + ηe^σxL(σ) - ηe^σxG^′(0) K(y)e^-σy dy =

-∞

∫x

= ηe^σx - ηG^′(0) K(y)(eσ(x-y) - 1)dy ≤ ηe^σx.

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

790

ХАЧАТРЯН и др.

Неравенство (29) доказано. Переходя в обеих его частях к пределу при n → ∞, приходим к

оценке (28). Из (28), в частности, следует, что

lim

f (x) = 0 и f ∈ L₁(-∞, 0).

(30)

x→-∞

Итак, на основе изложенного выше заключаем, что справедлива

Теорема 1. При выполнении свойств (2)-(4), условий 1)-5) и a)-d), неравенств (7) и (16)

уравнение (1) обладает положительным существенно ограниченным решением f, причём

имеют место соотношения (30). Более того, справедлива следующая двусторонняя оценка:

{

ηe^σx при x ≤ 0,

εψ(x) + ϕ(x) ≤ f(x) ≤ Φ(x) :=

при x > 0,

где число ε определяется равенством (24), ψ(x) - любая “тестовая” измеримая функция,

удовлетворяющая условиям (21), (22), а ϕ(x) - непрерывное монотонно неубывающее поло-

жительное и ограниченное на R решение уравнения (6) со свойствами (18), (19).

В следующем параграфе в одном частном случае мы докажем, что решение f обладает

некоторыми дополнительными свойствами.

4. Асимптотическое поведение решения в +∞ в одном частном случае.

4.1. Основные условия. Формулировка теоремы. В этом пункте предположим, что

нелинейность G₀(x, u) допускает представление вида

∫x

G₀(x,u) = G₁(u) K(y)dy, x ∈ R, u ∈ R⁺,

(31)

-∞

где G₁(u) - определённая на R⁺ вещественная непрерывная функция, удовлетворяющая сле-

дующим условиям:

A) G₁(u) выпукла вверх на R⁺ и монотонно возрастает;

B) G₁(u) ≥ u, u ∈ [0, ξ], ξ ∈ (η₀, η),

C) G₁(η) = (G^′(0)η - G(η))α₀.

Замечание 1. Несложно убедиться в том, что если функция G₀ допускает представление

(31), а функция G₁ обладает свойствами A)-C), то условия a)-d) автоматически выполнены.

Ниже, используя выпуклость вверх функций G₁ и G₀, с помощью некоторых геометри-

ческих неравенств докажем, что имеет место

Теорема 2. Пусть ядро K и нелинейность G удовлетворяют свойствам (2)-(4), нера-

венствам (7) и (16) и условиям 1)-5), а функция G₀(x, u) допускает представление (31), в

котором функция G₁(u) обладает свойствами A)-C). Тогда для решения f(x) справедливы

следующие дополнительные свойства:

lim

f (x) = η и η - f ∈ L₁(0, +∞).

x→+∞

4.2. Доказательство теоремы 2. Заметим, что из (18) следует существование такого

числа r₀ > 0, что при x ≥ r₀ имеет место неравенство

η₀ - ϕ(x) < ε inf ψ(x).

x≥r

Обозначим r^∗ := max(r, r₀). Тогда в силу неравенства (27) решение f(x) будет удовлетворять

при всех x ∈ [r^∗, +∞) следующей оценке снизу:

f (x) ≥ ε inf

ψ(x) + ϕ(x) ≥ ε inf

ψ(x) + ϕ(x) > η₀.

(32)

x≥r^∗

x≥r

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

791

Из уравнения (1) в силу соотношений (31), (2), (9) и условия C) вытекает, что

∫x

∫

0 ≤ η - f(x) = η - K(y)dy · G₁(f(x)) - K(x - t)G(f(t))dt =

-∞

= (ηG^′(0) - G(η))α₀ + G(η) - G₁(f(x)) +

∫∞

∫

∞

+ K(y)dy · G₁(f(x)) - K(x - t)G(f(t))dt - K(x - t)G(f(t))dt ≤

-∞

∫∞

≤ G₁(η) K(y)dy + G₁(η) - G₁(f(x)) +

∫0

∫

∞

+ K(x - t)(G(η) - G(f(t)))dt + K(x - t)(G(η) - G(f(t)))dt ≤

-∞

∫∞

∫

∞

≤ G₁(η) K(y)dy + G(η) K(y)dy + G₁(η) - G₁(f(x)) +

∫r^∗

∫

∞

+ K(x - t)(G(η) - G(f(t)))dt + K(x - t)(G(η) - G(f(t)))dt ≤

r^∗

∫∞

∫

∞

≤ η K(y)dy + G(η)

K(y) dy + G₁(η) - G₁(f(x)) + K(x - t)(G(η) - G(f(t))) dt.

x-r^∗

r^∗

Заметим, что при всех x ≥ r^∗ в силу оценки (32) и условий A) и 1), 2) имеют место

неравенства

G₁(η)

0 ≤ G₁(η) - G₁(f(x)) ≤

(η - f(x)),

(33)

G(η) - η₀

0 ≤ G(η) - G(f(x)) ≤

(η - f(x)).

(34)

η-η₀

В самом деле, в силу оценки (32) справедливы неравенства η₀ < f(x) < η. Так как функция

G₁, согласно условию A), выпукла вверх, то то в силу условия B) неравенство (33) доказыва-

ется точно так же, как и неравенство (11). Взяв в (11) η = η₀, получим неравенство

G(η) - G(η₀)

G(η)

(35)

η-η₀

Докажем неравенства (34). Так как в силу условия 1) функция G монотонно возрастает,

то левое неравенство в (34) очевидно. Для доказательства его правой части заменим, согласно

условию 2), в числителе дроби η₀ на G(η₀) и учтём, что η > f(x), тогда правое неравенство

в (34) примет вид

G(η) - G(f(x))

G(η) - G(η₀)

≤

(36)

η - f(x)

η-η₀

Записывая числитель дроби в левой его части в виде (G(η)-G(η₀))+(G(η₀)-G(f(x))), видим,

что неравенство (36) равносильно неравенству

(G(η) - G(η₀))(η - η₀) + (G(η₀) - G(f(x)))(η - η₀) ≤ (G(η) - G(η₀))(η - f(x)),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

792

ХАЧАТРЯН и др.

т.е. неравенству (G(η₀) - G(f(x)))(η - η₀) ≤ (G(η) - G(η₀))(η₀ - f(x)), или

G(f(x)) - G(η₀)

G(η) - G(η₀)

≥

(37)

f (x) - η₀

η-η₀

Неравенство (37) верно и доказывается так же, как и неравенство (11). Действительно, обозна-

чим точки E(η₀, G(η₀)), A(η, G(η)) и F (f(x), G(f(x)). Так как точки E, A и F принадлежат

графику функции G(u) и эта функция выпукла вверх, то точка F лежит над отрезком EA,

поэтому тангенс угла наклона к оси абсцисс отрезка EF больше тангенса угла наклона к

оси абсцисс отрезка EA, т.е. выполнено неравенство (37), а тогда и равносильное ему правое

неравенство в (34).

Учитывая оценки (33) и (34) в полученном выше неравенстве

∫∞

∫

0 ≤ η - f(x) ≤ η K(y)dy + G(η)

K(y) dy +

x-r^∗

∫∞

+ G₁(η) - G₁(f(x)) + K(x - t)(G(η) - G(f(t)))dt,

(38)

r^∗

приходим для x ≥ r^∗ к следующей оценке:

∫∞

∫

0 ≤ η - f(x) ≤ η K(y)dy + G(η)

K(y) dy +

x-r^∗

∫

∞

G₁(η)

G(η) - η₀

(η - f(x)) +

K(x - t)(η - f(t)) dt, x ≥ r^∗,

(39)

η-η₀

r^∗

или

∫

∞

∫

η - G₁(η)

0≤

(η - f(x)) ≤ η K(y) dy + G(η)

K(y) dy +

x-r^∗

∞

∫

G(η) - η₀

K(x - t)(η - f(t)) dt, x ≥ r^∗.

(40)

η-η₀

r^∗

Из неравенства (37) следует, что η - f ∈ L^loc1(R⁺). Ниже убедимся, что η - f ∈ L₁(r^∗, +∞).

Пусть δ > r^∗ - произвольное число. Проинтегрируем обе части неравенства (38) в пределах

от r^∗ до δ. Тогда, учитывая свойства (2)-(4), в силу теоремы Фубини (см. [11, с. 317]) будем

иметь

∫δ

∫

∞

∫

∞

)

0 ≤ (η - f(x))dx ≤ η

K(y) dy dx + G(η)

K(y) dy - K(y) dy

r^∗

r^∗ x

r^∗ x-r^∗

∞

∫

G₁(η)

G(η) - η₀

(η - f(x)) dx +

K(x - t)(η - f(t)) dt dx ≤

η-η₀

r^∗

r^∗ r^∗

∞

∫∞

∫

G₁(η)

≤ η yK(y)dy + G(η) yK(y)dy +

(η - f(x)) dx +

r^∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

793

∫

∞

G(η) - η₀

K(x - t)(η - f(t)) dt dx +

K(x - t)(η - f(t)) dt dx ≤

η-η₀

r^∗ r^∗

r^∗ δ

∫∞

∫

G₁(η)

≤ (η + G(η)) yK(y) dy +

(η - f(x)) dx +

r^∗

∞

∫

G(η) - η₀

(η - f(t)) dt + η

K(x - t) dt dx =

η-η₀

r^∗

r^∗ δ

∫∞

∫

G₁(η)

= (η + G(η)) yK(y) dy +

(η - f(x)) dx +

r^∗

∫

G(η) - η₀

(η - f(t)) dt + η

K(y) dy dx ≤

η-η₀

r^∗

-∞

∫∞

)∫δ

∫

⁽G₁(η)

G(η) - η₀

≤ (η + G(η))

yK(y)dy +

(η - f(x)) dx + η

K(y)(-y) dy,

η-η₀

r^∗

-∞

или

(

)∫δ

G₁(η)

G(η) - η₀

(η - f(x)) dx ≤

η-η₀

r^∗

∫∞

∫

G(η) - η₀

≤ (η + G(η))

yK(y)dy + η

K(y)(-y) dy.

η-η₀

-∞

В силу неравенства (35) и соотношения G₁(η) + G(η) = η имеем

G₁(η)

G(η) - η₀

G₁(η) + G(η)

λ₀ := 1 -

>1-

= 0.

η-η₀

Следовательно,

∫

(

∫

∞

∫

)

G(η) - η₀

(η - f(x)) dx ≤

(η + G(η))

yK(y)dy + η

K(y)(-y) dy

η-η₀

r^∗

−∞

Устремляя в этом неравенстве δ к бесконечности, получаем, что f ∈ L₁(r^∗, +∞) и

∫

∞

(

∫

∞

∫

)

G(η) - η₀

(η - f(x)) dx ≤

(η + G(η))

yK(y)dy + η

K(y)(-y) dy

η-η₀

r^∗

−∞

Для завершения доказательства осталось убедиться, что lim f(x) = η. Действительно,

x→+∞

так как K ∈ L₁(R)

^⋂M(R) и η - f ∈ L₁(R⁺)^⋂M(R⁺), то

в силу леммы 5 из работы [12]

справедливо равенство

∞

∫

lim

K(x - t)(η - f(t)) dt = 0.

(41)

x→+∞

r^∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

794

ХАЧАТРЯН и др.

Учитывая неравенство (40) и предельное соотношение (41), получаем, что lim f(x) = η.

x→+∞

Теорема 2 доказана.

Приведём важное

Замечание 2. Если функция G₀(x, u) является периодической по x с основным периодом

T > 0 и непрерывной на R × R⁺ по совокупности своих аргументов, то построенное решение

f (x) порождает однопараметрическое семейство новых решений вида {f(x + cT )}c∈R.

Это утверждение вытекает из очевидного равенства

∫

G₀(x,f(x + cT)) + K(x - t)G(f(x + cT))dt =

∫

= G₀(x + cT,f(x + cT)) + K(x + cT - y)G(f(y))dy = f(x + cT).

5. Примеры. В качестве применения и иллюстрации полученных результатов приведём

прикладные примеры нелинейностей G₀ и G. Известными примерами в математической тео-

рии пространственно-временного распространения эпидемии являются следующие функции

(см. [2, 3]):

∫x

G₀(x,u) =

K(y) dy · q

√u, x ∈ R, u ∈ R⁺,

(42)

−∞

G(u) = γ(1 - e^-u), u ∈ R⁺,

(43)

где q := α₀(ηG^′(0) - G(η))/√η, а γ > 1 - числовой параметр. В данной теории неравен-

ство γ > 1 называется “пороговым условием” и представляет собой критическое значение

числа заражённых лиц, при превышении которого эпидемию невозможно остановить без се-

рьёзных медицинских вмешательств. С математической точки зрения если γ ≤ 1, то в рамках

рассматриваемой модели О. Дикмана (см. [2]) соответствующее нелинейное уравнение в клас-

се ограниченных функций обладает только тривиальным решением. Последнее означает, что

эпидемия с течением времени не угасает.

Для примера (42) в качестве ξ можно выбрать, например, число

ξ := max{α²⁰(ηG^′(0) - G(η))²/η, η₀ + ε₀},

где ε₀ > 0 - произвольный достаточно малый параметр.

Приведём также прикладной пример ядра K, для которого выполняются свойства (2)-(4),

а также связанные с ним неравенства (7) и (16). В качестве такого ядра K выберем следующее

антисимметрическое гауссовское распределение:

K(x) =

(44)

√πe-(x-1)2 .

Очевидно, что для ядра (44) выполняются свойства (2)-(4). В этом случае функция Дикмана

L(λ) имеет вид

∫

L(λ) = G^′(0) K(t)e^-λt dt = G^′(0)eλ2/4-λ.

В качестве нелинейности G(u) выберем функцию вида (43) и предположим, что γ ∈ (1, e).

Очевидно, что L(λ) убывает на отрезке [0, 2], выпукла вниз на R⁺ и если в качестве числа

λ₀

выбрать λ₀ = 2, то L(λ₀) = γ/e < 1, т.е. условие (16) выполнено. Теперь проверим

условие (7). В силу выбора (44) имеем

∫0

∫

(1 - erf(1))

G′(0)α₀ = γ K(y) dy =

≈ 0, 079γ < 1,

√πe-(y-1)2 dy=γ

−∞

-∞

поскольку γ ∈ (1, e). Условие (7) выполнено.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

795

Небезынтересно отметить, что ответ на вопрос о единственности решения в конкретно

выбранном конусном отрезке для уравнения (1) до сих пор остаётся открытой проблемой.

Исследования Хачатряна Х.А. и Петросян А.С. выполнены при финансовой поддержке

Российского научного фонда (проект 19-11-00223).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Barbour A.D. The uniqueness of Atkinson and Reuter’s epidemic waves // Math. Proc. of the Cambridge

Phil. Soc. 1977. V. 82. № 1. P. 127-130.

2. Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biol.

1978. V. 6. № 2. P. 109-130.

3. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных урав-

нений Гаммерштейна-Стилтьеса на всей прямой // Тр. Матем. института им. В.А. Стеклова РАН.

2020. Т. 308. С. 253-264.

4. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. О разрешимости нелинейного модельного уравнения Больцмана в

задаче плоской ударной волны // Теор. и мат. физика. 2016. Т. 189. № 2. С. 239-255.

5. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О точной линеаризации задач скольжения разреженного газа в

модели Бхатнагара-Гросса-Крука // Теор. и мат. физика. 2000. Т. 125. № 2. С. 339-342.

6. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2. № 1.

С. 31-36.

7. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О построении суммируемого решения одного класса нелинейных

интегральных уравнений типа Гаммерштейна-Немыцкого на всей прямой // Тр. Ин-та математики

и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. С. 278-287.

8. Хачатрян Х.А. О решении одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей-

на-Немыцкого на всей оси // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2013. Т. 21. № 2. С. 154-161.

9. Хачатрян Х.А. О положительной разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных

уравнений типа Гаммерштейна на полуоси и на всей прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79.

Вып. 2. С. 205-224.

10. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операто-

ры в пространствах суммируемых функций. М., 1966.

11. Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1976.

12. Арабаджян Л.Г., Хачатрян А.С. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки // Мат.

сб. 2007. Т. 198. Вып. 7. С. 45-62.

Национальный аграрный университет Армении,

Поступила в редакцию 28.02.2021 г.

г. Ереван,

После доработки 16.04.2021 г.

Ереванский государственный университет,

Принята к публикации 27.04.2021 г.

Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021