ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.796-820

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 517.977.58+517.957.6+519.632.4

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СТАРШИМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В НЕДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

Рассматриваются задачи оптимального управления процессами, описываемыми первой

краевой задачей для эллиптических уравнений со смешанными производными и неограни-

ченной нелинейностью. Управления содержатся в коэффициентах при старших производ-

ных уравнения состояния. Построены и исследованы разностные аппроксимации нелиней-

ных моделей оптимизации, причём для нахождения приближённого решения нелинейной

краевой задачи для состояния построен реализующий её итерационный процесс. Проведено

строгое исследование сходимости итерационного процесса, с помощью которого доказаны

существование и единственность решения нелинейной разностной схемы, аппроксимирую-

щей исходную краевую задачу для состояния. Установлены согласованные с гладкостью

искомого решения оценки скорости сходимости разностных схем в сеточной W22,0(ω)-нор-

ме, аппроксимирующих нелинейное уравнение для состояния. Исследована сходимость ап-

проксимаций задач оптимального управления по состоянию, функционалу и управлению,

проведена регуляризация аппроксимаций.

DOI: 10.31857/S0374064121060078

Введение. В статье разрабатываются и исследуются разностные аппроксимации задач оп-

тимального управления для систем, описываемых нелинейными эллиптическими уравнениями

с обобщёнными решениями (состояниями) и неограниченной нелинейностью. Здесь функции,

входящие в главную часть основного дифференциального оператора (в старшие коэффициен-

ты), рассматриваются как управляемые параметры. В случае неограниченной нелинейности

при исследовании фундаментальных свойств разностных схем (устойчивость, сходимость) для

нелинейных уравнений предполагается, что коэффициенты уравнений, зависящие от точного

решения u, удовлетворяют нужным свойствам (положительная определённость, ограничен-

ность производных по переменной u) не для всех возможных значений, а лишь на множестве

значений точного решения или в его малой окрестности.

Отметим, что модели, описываемые стационарными уравнениями со смешанными произ-

водными и неограниченной нелинейностью, имеют важное прикладное значение (к примеру,

дифференциальные уравнения со смешанными производными возникают, в частности, в за-

дачах о распределении тепла в анизотропной среде, о потоках подземных вод, в финансовой

математике при оценке опционов в моделях стохастической волатильности или в численной

математике при преобразовании координат и т.д.) и потому являются объектом пристального

изучения, см., например, [1-5], в том числе с позиций теории оптимального управления [6-8].

Среди работ, посвящённых исследованию сходимости конкретных разностных схем для

нестационарных задач с неограниченными нелинейностями, отметим работы В.Н. Абрашина

(см., например, [1, 2] и приведённую в них библиографию). В работах [4, 5] впервые (для

одномерного случая) исследована сходимость разностных схем к обобщённым решениям од-

номерных квазилинейных уравнений эллиптического типа с нелинейностью неограниченного

роста и получены согласованные оценки скорости сходимости. Из публикаций за последние

годы следует, прежде всего, выделить работы [9-17]. В частности, в работе [16] впервые при-

менена новая методика исследования сходимости решения разностных схем, аппроксимирую-

щих дифференциальные задачи с неограниченной нелинейностью. Дело в том, что решения

монотонных разностных схем принадлежат окрестности точного решения, и в этом случае не

796

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

797

нужно доказывать сходимость в равномерной норме, что позволяет проводить анализ точно-

сти разностных схем для задач с существенно обобщёнными решениями. В работе [17] выве-

дены согласованные оценки скорости сходимости разностных схем к решениям нелинейных

двумерных уравнений математической физики (УМФ) эллиптического типа со смешанными

производными с обобщёнными решениями и неограниченной нелинейностью. Отметим, что

оптимизационные аспекты в этих работах не рассматривались.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости

заменить (аппроксимировать) их задачами более простой природы - конечномерными зада-

чами. Соответственно, ключевыми проблемами здесь являются разработка алгоритмов кон-

струирования аппроксимаций, анализ их сходимости для задач оптимизации по состоянию,

функционалу и управлению, а также регуляризация аппроксимаций (см., например, [18-22]).

К настоящему времени проведено достаточно большое число исследований, посвящённых

изучению задач оптимального управления с ограничениями на состояние и управление. Сре-

ди недавних работ на эту тему укажем, например, статьи [6-8] (см. в них же библиографию).

В отличие от настоящей работы, в этих работах не изучаются вопросы сходимости задач оп-

тимального управления старшими коэффициентами уравнений состояния с нелинейностями

неограниченного роста в коэффициентах. В статье [6] авторы занимаются анализом погреш-

ности вариационной аппроксимации для задачи управления, описываемой полулинейным эл-

липтическим уравнением вида - △ y + θ(y) = f, x ∈ Ω, в котором на нелинейное слагаемое

θ уравнения состояния накладываются некоторые условия роста, а управление содержится в

правой части уравнения. Статья [7] посвящена разработке жадных и слабых жадных алгорит-

мов в контексте задач оптимального управления.

Данная работа дополняет и развивает результаты, установленные в статье [8] для задач оп-

тимального управления, описываемых нелинейными двумерными УМФ эллиптического типа

со смешанными производными с обобщёнными решениями и неограниченной нелинейностью.

Результаты работы [8] и настоящей работы отличаются друг от друга, в частности, тем, что,

получены для задач оптимального управления с разными множествами допустимых управ-

лений, при этом разница в ограничениях на допустимые управления существенно влияет на

характер и методику доказательства сходимости аппроксимаций. Кроме того, в работе [8] по-

лучены оценки только для точности дискретизаций по состоянию. Авторам неизвестны другие

результаты о сходимости разностных схем для задач оптимального управления, описываемых

уравнениями математической физики в недивергентной форме с нелинейностями неограни-

ченного роста в коэффициентах. Постановки задач и результаты о сходимости аппроксимаций

являются новыми.

В настоящей работе для задач оптимального управления коэффициентами эллиптических

уравнений со смешанными производными и неограниченной нелинейностью построены конеч-

но-разностные аппроксимации. Сначала доказывается корректность аппроксимаций (п. 3) и

анализируется их точность по состоянию (п. 4). Доказательство сходимости разностных схем

проводится в предположении, что само точное решение краевой задачи существует в классе

Wm2,0(Ω),

3 < m ≤ 4, и множество его значений принадлежит некоторому отрезку и толь-

ко при значениях независимой переменной, принадлежащих этому отрезку, функции, входя-

щие в уравнение, удовлетворяют требуемым свойствам. Исследования сходимости разностных

схем для данного класса задач показали, что даже для гладких решений вопрос о сходимости

представляет собой довольно сложную техническую проблему. Это связано с тем, что анализ

точности разностных схем сильно усложняется, так как задача для погрешности метода явля-

ется уже нелинейной. В п. 3 мы, таким образом, доказываем, что решение разностной краевой

задачи принадлежит области (либо её малой окрестности) значений точного решения, что в

свою очередь требует обязательного исследования скорости сходимости разностной схемы в

норме C(ω) [3-5].

Отметим, что при исследовании сходимости аппроксимаций по состоянию техника, при-

меняемая в [21] при получении оценок скорости сходимости задач оптимизации по состоянию

для полулинейных эллиптических уравнений, оказывается неприменимой. Поэтому приходит-

ся разрабатывать специальные подходы. В частности, техника, развитая в [17] для доказатель-

ства корректности разностной схемы для нелинейной краевой задачи с обобщённым решением

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

798

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

и неограниченной нелинейностью, адаптируется для задачи оптимального управления состоя-

нием и установления оценок точности по состоянию. А именно, для доказательства существо-

вания и единственности решения исследуемой нелинейной разностной задачи, аппроксимирую-

щей исходную дифференциальную задачу, используется итерационный процесс, который мож-

но рассматривать и как эффективный метод реализации этой нелинейной разностной схемы.

Проводится строгое исследование сходимости итерационного метода для нелинейной сеточной

задачи без каких-либо предположений о свойствах нелинейной разностной схемы. В п. 4 по-

лучена также шкала априорных оценок скорости сходимости в сеточной W22,0(ω)-норме для

разностного решения. Другим важным результатом настоящего исследования является по-

лучение оценок скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, доказательство слабой

сходимости по управлению и регуляризация аппроксимаций по Тихонову (п. 5). Отметим,

что процесс регуляризации позволяет построить минимизирующие последовательности для

функционала, которые сильно сходятся в пространствах управлений ко множеству миниму-

мов исходных функционалов.

1. Постановка задачи оптимального управления. Пусть Ω = {x = (x₁,x₂) ∈ R² : 0 <

< x_α < l_α, α = 1,2} - прямоугольник в R² с границей Γ = ∂Ω, где l_α ∈ R, α = 1,2,

фиксированы. Пусть управляемый процесс для нелинейного дифференциального уравнения

второго порядка эллиптического типа в недивергентной форме описывается следующей зада-

чей Дирихле:

∑

∂²u

Lu(x) ≡ -

k_α,β(x)

+ q(u)u = f(u), x = (x₁,x₂) ∈ Ω,

(1)

∂x_α∂x_β

α,β=1

u(x) = 0, x ∈ Γ.

(2)

Здесь k₁₂(x) = k₂₁(x), x ∈ Ω, т.е. выполняется условие симметрии; q(η), f(η) - заданные

функции аргумента η ∈ Ω; g = (g₁₁, g₂₂, g₁₂, g₂₁) = (k₁₁, k₂₂, k₁₂, k₂₁) - управление.

Так же, как и в работе [17], априори предположим, что задача (1), (2) однозначно раз-

⋂ ◦

решима в классе Wm2,0(Ω) = Wm2(Ω)

W²(Ω), 3 < m ≤ 4. Обозначим через Mu область

значений точного решения задачи (1), (2) (которая, в силу предположения о гладкости реше-

ния, является ограниченным множеством), т.е. M_u = [M₁, M₂], где M₁ = min{u(x) : x ∈ Ω},

M₂ = max{u(x) : x ∈ Ω}. Определим δ-окрестность области значений M_u точного решения

D_u =

M₁

M₂], где

M₁ = M₁ - δ,

M₂ = M₂ + δ, здесь δ > 0 - произвольная постоянная,

которая может быть достаточно малой.

Относительно заданных функций будем предполагать выполнение следующих условий на

решении задачи (1), (2):

0 ≤ q₀ ≤ q(η) ≤ q₀ и

|f(η)| ≤ f₀ для любого η ∈ D_u;

(3)

|q(η₁) - q(η₂)| ≤ L_q|η₁ - η₂| и

|f(η₁) - f(η₂)| ≤ L_f |η₁ - η₂| для всех η₁, η₂ ∈ D_u,

(4)

где q₀,

q₀, f₀

и L_q, Lf - некоторые постоянные. Подчеркнём, что условия (3), (4), на-

кладываемые на коэффициенты q(u) и f(u) уравнения в настоящей работе, предполагают-

ся выполненными лишь в окрестности значений точного решения, что обусловлено наличи-

ем нелинейностей неограниченного роста и даёт возможность расширить классы допустимых

нелинейностей.

Относительно управлений g = (g₁₁, g₂₂, g₁₂, g₂₁) = (k₁₁, k₂₂, k₁₂, k₂₁) будем предполагать,

что имеют место следующие ограничения: g = (k₁₁, k₂₂, k₁₂, k₂₁) ∈ U ⊂ B, где B = (W1∞(Ω))⁴ -

пространство управлений, а U - множество допустимых управлений, оно состоит из управле-

ний g ∈ B, которые удовлетворяют условиям

U = {k_α,β = g_α,β ∈ W1∞(Ω), α,β = 1,2 :

0 < ν ≤ k_αα(x) ≤ ν, α = 1,2; k₁₂(x) = k₂₁(x),

|k₁₂(x)| ≤ ν_∗ = ν - δ_∗,

0<δ_∗ <ν,

|∂k_αβ (x)/∂x_i| ≤ R_i, α, β, i = 1, 2, п.в. x ∈ Ω},

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

799

где ν,

ν, δ_∗ и R₁, R₂ - некоторые постоянные. Пусть, кроме того, выполняются условия

{

}

2ν(max l_α)²

νf₀L_q(max l_α)²

L_f +

=q∗0,

(6)

νδ_∗ -

q₀(max l_α)²

νδ_∗ -

q₀(max l_α)²

νδ_∗ -

q₀(max l_α)² > 0, q∗1 = q∗0/2 < 1.

(7)

Зададим функционал цели в виде

∫

J (g) =

|u(x, g) - u₀(x)|² dx,

(8)

где u₀(x) ∈ W¹²(Ω) - заданная функция.

Поставим задачу оптимального управления: найти управление g_∗ ∈ U такое, что J(g_∗) =

= inf J(g), где функционал цели имеет вид (8) на решениях краевой задачи (1), (2).

g∈U

Исходное уравнение (1) в более подробной записи выглядит следующим образом:

∑

∂²u

k_αα(x)

- (k₁₂(x) + k₂₁(x))

+ q(u)u = f(u), x ∈ Ω, k₁₂(x) = k₂₁(x).

(9)

∂x2α

∂x₁∂x₂

α=1

Заметим, что условия, накладываемые на коэффициенты при производных уравнения (1):

0 < ν ≤ k_αα(x) ≤ ν, α = 1,2, k₁₂(x) = k₂₁(x),

|k₁₂(x)| ≤ ν_∗ = ν - δ_∗, где 0<δ∗ <ν,

обеспечивают выполнение двусторонних оценок

∑

C₁

ξ²

≤

k_α,βξ_αξ_β ≤ C₂

ξ2α, x ∈ Ω, ξ ∈ R²,

α=1

α,β=1

α=1

с константами C₁ = δ_∗, C₂ = 2ν, означающих эллиптичность уравнения (1).

В дальнейшем будем использовать пространства вещественнозначных функций, заданных

в области Ω, введённые в работе [17]. В частности, определим скалярное произведение двух

управлений g и g следующим образом:

(g, g)_H = (g₁₁, g₁₁)_W 1

+ (g₂₂, g₂₂)_W 1

+ (g₁₂, g₁₂)_W 1

+ (g₂₁, g₂₁)_W 1

(Ω)

В результате получим гильбертово пространство управлений (W¹²(Ω))⁴ = H с нормой

∥g∥_H = ((g, g)_H )1/2 = (∥g₁₁∥2W1

+ ∥g₂₂∥2W1

+ ∥g₁₂∥2W1

+ ∥g₂₁∥2W1

)1/2.

(Ω)

Замечание 1. При постановке нелинейной краевой задачи (1), (2) мы априори предпола-

гали, что для любого g ∈ U решение u(x) = u(x, g) задачи (1), (2) существует, единственно

и принадлежит пространству Wm2,0(Ω),

3 < m ≤ 4. В связи с этим и с учётом вложения

Wm2(Ω) → C²(Ω) при m > 3 под решением краевой задачи (1), (2) можно понимать функцию

u = u(x), x = (x₁,x₂) ∈ Ω ⊂ R², u ∈ Wm2,0(Ω), m > 3, удовлетворяющую уравнению (1) в

классическом смысле. Будем предполагать, что выполнена оценка

sup

∥u(g)∥_W m

(10)

(Ω) ≤ M, M = const, m > 3.

g∈U

Через M и C в дальнейшем будем обозначать положительные константы, не зависящие от

управления g, шагов вводимых сеток и от сеточного управления Φ_h ∈ U_h.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

6^∗

800

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

Лемма 1. Пусть выполнены условия, сформулированные при постановке экстремальной

задачи (1)-(10). Тогда отображение g → u(x; g) является усиленно непрерывным из U в

Wm2(Ω), т.е. оно переводит слабо сходящуюся в U последовательность в последователь-

ность, сильно сходящуюся в C(Ω).

Доказательство. Пусть {g(n)}∞n=1 = {g(n)1, g(n)2, g(n)3, g(n)4}∞n=1 = {k(n)11, k(n)22, k(n)12, k(n)21}∞n=1 ⊂

⊂ U - произвольная последовательность такая, что она слабо в H = (W¹²(Ω))⁴ сходится

к некоторому элементу g⁽⁰⁾ = (g⁽⁰⁾¹, g⁽⁰⁾², g⁽⁰⁾³, g⁽⁰⁾⁴) = (k⁽⁰⁾¹¹, k⁽⁰⁾²², k⁽⁰⁾¹², k⁽⁰⁾²¹) ∈ H. В силу одно-

значной разрешимости краевой задачи каждому элементу g(n) ∈ U ставится в соответствие

единственное решение u(n) ≡ u(ξ, g(n)) задачи (1) при g = g(n)(ξ). Согласно замечанию 1

◦

обобщённое решение u(ξ, g(n)) задачи (1) из

W²(Ω), отвечающее элементу g(n) ∈ U, удо-

влетворяет уравнению (1) в классическом смысле, кроме того, последовательность {uⁿ(ξ)}∞n=1

равномерно ограничена в норме пространства Wm2(Ω),

3 < m ≤ 4, т.е. ∥u(g(n))∥_Wm(Ω) ≤ M

для любого g ∈ U и всех n.

Покажем, что u⁽⁰⁾(ξ) - решение задачи (1) при g = g⁽⁰⁾(ξ) = (k⁽⁰⁾¹¹, k⁽⁰⁾²², k⁽⁰⁾¹², k⁽⁰⁾²¹), т.е. с

учётом введённых обозначений

∑

Lu⁽⁰⁾(x) ≡ -

k(0)α,β(x)∂2u⁽⁰⁾(x) + q(u⁽⁰⁾)u⁽⁰⁾ = f(u⁽⁰⁾), x ∈ Ω,

∂x_α∂x_β

α,β=1

u⁽⁰⁾ = 0, x ∈ Γ.

(11)

Очевидно, что каждый элемент последовательности {u(nk )} удовлетворяет краевой задаче

∑

Lu(nk)(x) ≡ -

k(nk)_α,β(x)∂2u(nk)(x) + q(u(nk⁾)u(nk⁾ = f(u(nk⁾), x ∈ Ω,

∂x_α∂x_β

α,β=1

u(nk) = 0, x ∈ Γ.

(12)

Перейдём к пределу при k → ∞ в уравнении (12). В силу того, что Wm2(Ω) компактно

вкладывается в C²(Ω), m > 3, имеем

u(nk)(x) → u⁽⁰⁾(x) сильно в C(Ω),

(n_k)

∂²u

∂²u⁽⁰⁾

D(αβ)u(nk) ≡

→D(αβ)u⁽⁰⁾ ≡

α, β = 1, 2, сильно в C(Ω).

∂x_α∂x_β

Далее, поскольку k_αβ (x) ∈ W1∞(Ω), то k_αβ (x) ∈ C(Ω), α, β = 1, 2. Функция h(x) = f(u(x)),

x ∈ Ω, непрерывна как сложная функция. Аналогично получаем, что q(u(x)) ∈ C(Ω). Тогда

сильно в C(Ω) имеют место при n → ∞ сходимости: q(u(nk )(x))u(nk )(x) → q(u⁽⁰⁾(x))u⁽⁰⁾(x),

k(nk)_αβ(x)∂²u(nk⁾(x)/∂x_α∂x_β → k(0)αβ(x)∂²u⁽⁰⁾(x)/∂x_α∂x_β и f(u(nk⁾(x)) → f(u⁽⁰⁾(x)).

Покажем далее, что lim

u(nk)

≡ u⁽⁰⁾ принадлежит окрестности D_u значений точного

k→∞

решения. Так как u(nk) ∈ S_u, то ∥u(nk) - u∥C(Ω) ≤ δ. Переходя к пределу при k → ∞, имеем

lim

∥u(nk ) - u∥C(Ω) = ∥u⁽⁰⁾ - u∥C(Ω) ≤ δ, т.е. u⁽⁰⁾ ∈ S_u, следовательно, u⁽⁰⁾ ∈ D_u.

k→∞

Теперь, переходя в (12) к пределу при k → ∞, получаем (11), значит u⁽⁰⁾(x) - решение

краевой задачи (11) при g = g⁽⁰⁾(x), т.е. u⁽⁰⁾(x) = u(x, g⁽⁰⁾).

Таким образом, установлено, что из сходимости g(n) → g⁽⁰⁾ в H = (W¹²(Ω))⁴ следует,

что u(n)(x) = u(x, g(n)) → u⁽⁰⁾(x) = u(x, g⁽⁰⁾) сильно в C(Ω). Следовательно, g → u(x, g) -

усиленно непрерывное отображение. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

801

Теорема 1. Функционал цели g → J(g) задачи оптимального управления слабо в H

непрерывен на множестве U.

Доказательство. Пусть g(n) → g⁽⁰⁾ слабо в H. Поскольку в норм∫рованном пространстве

его норма непрерывна, то в силу леммы 1 в функционале J(g(n)) =_Ω |u(ξ, g(n)) - u₀(ξ)|² dΩ

можно осуществить предельный переход

J (g(n)) = ∥u(g(n)) - u₀∥_L

2(Ω) ---→n→∞ ∥u(g(0))^-u0^∥L2(Ω)=J(g(0))^.

Теорема 2. Задача оптимального управления (1)-(10) корректно поставлена в слабой

топологии пространства H, т.е. J_∗ = inf{J(g) : g ∈ U} > -∞, U_∗ = {g_∗ ∈ U : J(g_∗) = J_∗} =

= ∅, U - слабо компактно в H = (W¹²(Ω))⁴ и любая минимизирующая последовательность

{g(n)} ⊂ U функционала J(g) слабо в H сходится ко множеству U_∗.

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что функционал J(u) слабо полунепрерывен

снизу на U. Кроме того, легко убедиться, что множество U слабо компактно в H. Далее,

применяя результат из [18, с. 505], убеждаемся в справедливости теоремы 2.

2. Некоторые обозначения и оценки для сеточных функций. Постановка се-

точной задачи и её корректность. Для аппроксимации задачи (1)-(10) и исследования

сходимости разностных аппроксимаций нам понадобятся сетки на [0, l_α], α = 1, 2, и в Ω :

ω_α = {x_α = xαiα) = i_αh_α ∈ [0,l_α] : i_α = 0,N_α,N_αh_α = l_α}, α = 1,2; ω_α = ω_α ⋂(0,l_α); ω+α =

= ω_α

^⋂ (0, l_α], ω^-α = ω_α ⋂ [0, l_α), α = 1, 2; ω = ω₁ × ω₂; ω(±1) = ω±1 × ω₂, ω(±2) = ω₁ × ω±2;

γ = ω\ω; |h|² = h²¹+h²². По аналогии с работами [17, 23] обозначим: V - множество сеточных

◦

функций, заданных на сетке ω = ω₁ × ω₂, и

V - его подмножество, состоящее из сеточных

◦

функций, обращающихся в нуль на γ = ω \ω. Для сеточных функций из множества

V введём

скалярные произведения, нормы и полунормы:

∑

h₁h₂y(x)v(x),

∥y∥2L

h₁h₂y²(x),

(y, v)L2(ω) =

(ω)

∥y∥C(ω) = ∥y∥L∞(ω) = max |y(x)|,

∑

∥y∥2◦

= ∥yx1 ∥²

+ ∥yx2 ∥²

= |y|2W1

h₁h₂y2¯x

= ∥∇y∥2L

L₂(ω⁺¹×ω₂)

L₂(ω₁×ω⁺²)

(ω)

2(ω)

W¹²(ω)

α=1_ω(+α)

∥y∥2W2

(ω)

= ∥yx1x₁ ∥L2(ω) + ∥yx2x2 ∥L2(ω) + 2∥yx1 x2 ∥L2(ω+1 ×ω+2 ) ⁼

2,0

∑∑

∑

h₁h₂y2¯x

= |y|2W2

αxα

1x¯2

(ω)

α=1

ω⁺¹×ω⁺

Здесь символами |·|_W 1

и |·|_W2

обозначены полунормы в W¹²(ω) и W²²(ω) соответственно.

(ω)

Для полноты изложения приведём для сеточных функций так называемые разностные

аналоги теорем вложения Соболева с вычисляемыми (конструктивными) константами и ряд

вспомогательных априорных оценок, используемых при установлении оценок скорости сходи-

мости аппроксимаций.

Лемма 2. Для любой сеточной функции y(x), x ∈ ω, обращающейся в нуль на границе

γ = ∂ω, справедливы следующие разностные аналоги теорем вложения:

(l₁l₂)

(max l_α)²

∥y∥C(ω) ≤ C₂∥y∥_W 2

C²¹ =

;

C₂ =

√

;

(13)

∥y∥L2(ω) ≤ C1∥y∥ ◦

(ω)

W¹²(ω)

2,0

8(l²¹ + l²²)

l₁l₂

√

∥y∥L2(ω) ≤ C3∥y∥W22,0(ω)^,C3=C2

l₁l₂ = (max l_α)²/2;

(14)

√

∥y∥ ◦

≤ C₄∥y∥_W2

C₄ = (l²¹ + l²²)/32.

(15)

2,0

(ω)

W¹²(ω)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

802

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

Доказательство оценок (13) можно найти в [24-27]. Справедливость оценки (14) непо-

средственно следует из оценки в (13). По поводу доказательства оценки (15) см. [17].

Поставим в соответствие задаче оптимального управления (1)-(10) следующие разностные

аппроксимации: минимизировать сеточный функционал

∑

J_h(Φ_h) =

|y(x, Φ_h) - u0h(x)|²ℏ₁ℏ₂ = ∥y(Φ_h) - u0h∥2L

(16)

2(ω)

x∈ω

◦

при условиях, что сеточная функция y(x, Φ_h) ∈V , называемая решением разностной краевой

задачи для дифференциальной задачи (1), (2), удовлетворяет следующей сеточной задаче на

сетке ω = ω₁ × ω₂ :

∑

(17)

- Φ_αα(x)yxαxα - (Φ12(x) + Φ21(x))Q(y) + q(y)y = f(y), x ∈ ω,

α=1

y(x) = 0, x ∈ γ,

(18)

где Φ₁₂(x) = Φ₂₁(x),

yx1x₂(x) + yx₁x₂(x) + yx₁x₂(x) + yx₁x₂ (x)

y(x₁ + h₁, x₂ + h₂)

Q(y)(x) =

y(x₁ - h₁, x₂ + h₂) + y(x₁ + h₁, x₂ - h₂) + y(x₁ - h₁, x₂ - h₂)

(19)

4h₁h₂

= y^◦x₁x (x1,x2),2

а сеточные управления Φ_h = (Φ₁₁, Φ₂₂, Φ₁₂, Φ₂₁) принадлежат множеству допустимых сеточ-

ных управлений:

U_h = {Φ_αβ(x) ∈ W1∞(ω) : 0 < ν ≤ Φ_ααh(x) ≤ ν, α = 1,2, Φ₁₂(x) = Φ₂₁(x),

|Φ₁₂(x)| ≤ ν_∗ = ν - δ_∗,

0<δ_∗ <ν, x∈ω,

|Φαβx1 (x)| ≤ R₁,

x ∈ [ω₁ \ l₁ - h₁] × ω₂,

|Φαβx2 (x)| ≤ R₂, x ∈ ω₁ × [ω₂ \ l₂ - h₂], α, β = 1, 2}.

(20)

Здесь u0h(x) - сеточная аппроксимация функции u₀(ξ), определяемая с помощью операции

усреднения по Стеклову

∫

u0h(x) = Sx1Sx2 (u₀)(x) =

u₀(ξ₁,ξ₂)dξ₁ξ₂, x ∈ ω.

ℏ₁ℏ₂

e(x)

Введём сеточный оператор A(θ)v, зависящий от параметра θ = θ(x):

∑

(21)

A(θ)v ≡ - Φ_αα(x)vxαxα (x) - 2Φ12(x)Q(v)(x) + q(θ)v(x), x ∈ ω,

α=1

на множестве сеточных функций v(x), x ∈ ω; v(x) = 0, x ∈ γ, где θ(x), x ∈ ω, - произволь-

ная сеточная функция, играющая роль функционального параметра, а под A(θ)v понимается

результат применения сеточного оператора A(θ) к элементу v.

Для полноты изложения приведём ряд вспомогательных результатов, связанных с уста-

новлением априорных оценок для оператора A(θ), которые далее будут использованы при

исследовании разностной схемы (17)-(19). При доказательстве этих результатов используем

методику из [4, 17].

Лемма 3. Пусть θ(x), x ∈ ω, - произвольная сеточная функция, заданная на сетке ω,

такая, что θ(x) ∈ D_u для любого x ∈ ω. Тогда оператор A(θ), задаваемый соотношением

(21), обладает следующими свойствами:

νδ_∗

∥v∥_W 2

(22)

(ω)

- C₃q₀∥v∥L2(ω) ≤ ∥A(θ)v∥L₂(ω),

2ν

2,0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

803

∥v∥_W 2

(23)

(ω)

≤ C₀∥A(θ)v∥L2(ω)

2,0

при любых v(x), x ∈ ω_h, v(x) = 0, x ∈ γ; θ(x) ∈ D_u, x ∈ ω, где

2ν

C₀ =

νδ_∗ - νq₀(maxl_α)² > 0.

(24)

νδ_∗ - 2νC₃q₀

νδ_∗ - νq₀(maxl_α)²

Доказательство. В силу определения (21) имеет место равенство

Φ₁₁(x)vx1x₁ + 2Φ12(x)Q(v) + Φ22(x)vx₂x₂ = q(θ)v - A(θ)v ≡ F(θ;v),

(25)

умножив которое на Φ-122(x)vx1x₁ , получим

Φ-122(x)[Φ₁₁(x)v2¯x

+ 2Φ₁₂(x)vx1x₁ Q(v) + Φ22(x)Q²(v)] = Φ

(x)vx1x₁ F (θ; v) + I(v),

(26)

1x1

где

I(v) = Q²(v) - vx1x₁ vx₂x₂ = (vx₁x₂ + vx₁ x₂ + vx₁x₂ + vx₁ x₂ )²/16 - vx₁x₁ vx₂x₂ .

Учитывая условие равномерной эллиптичности

∑

δ_∗

ξ2α ≤

Φ_αβ(x)ξ_αξ_β ≤ 2ν

ξ2α

α=1

α,β=1

α=1

для ξ₁ = vx1x₁ , ξ2 = Q(v), будем иметь

δ_∗

[Φ₁₁(x)v2¯x

+ 2Φ₁₂(x)vx1x₁ Q(v) + Φ22(x)Q²(v)]Φ

(x) ≥

v²

(27)

1x1

x₁x₁

так как Q²(v) ≥ 0. Тогда из равенства (26) с учётом неравенства (27) следует, что

[

]

δ_∗

|F (θ, v)|

v2¯x

≤

|vx1x₁ | + I(v) ≤

F²(θ,v) + ε|vx1x₁|2 + I(v), ε > 0.

1x1

4ε

Далее, выбирая ε = δ_∗ν/(2ν), получаем

δ_∗

v2¯x

≤

F²(θ,v) + I(v).

(28)

1x1

2ν

2δ_∗ν²

Умножим неравенство (28) на h₁h₂ и просуммируем по сетке ω = ω₁ × ω₂. В результате

получим

2ν^∑

∥F (θ, v)∥2L

I(v)h₁h₂.

(29)

∥vx1x₁ ∥L2(ω) ≤

2(ω)

δ2∗ν²

δ_∗

Используя неравенство (a₁ +a₂ +. . .+a_n)² ≤ n(a²¹ +a²² +. . .+a2n) и формулу суммирования

по частям (дважды), несложно показать, что

∑

◦

h₁h₂I(v) ≤ 0 для всех v ∈V .

(30)

В силу (30) из неравенства (29) вытекает оценка

∥F (θ, v)∥2L

∥vx1x₁ ∥L2(ω)^≤

2(ω)

δ2∗ν²

складывая которую с такой же оценкой для ∥vx2x₂ ∥2L

, будем иметь

2(ω)

2ν

∥F (θ, v)∥2L

(31)

∥vx1x₁ ∥L2(ω)+∥vx2x2∥L2(ω)^≤

2 (ω)

ν²δ2∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

804

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

∑

(v2¯x

+v2¯x

)h₁h₂ = 2

h₁h₂vx1x₁vx₂x₂ ≤

h₁h₂(v2¯x

+v2¯x

2∥vx1 x₂ ∥L2(ω)^≤

1x2

1x1

2x2

ω⁺¹×ω⁺

откуда

∥v∥2W2

(32)

(ω)

≤ 2(∥vx1x₁ ∥L2(ω) ⁺∥vx2x2∥L2(ω)),

2,0

и вследствие (32) и (31) заключаем, что

2ν

∥v∥_W 2

≤

∥F (θ, v)∥L2(ω).

(33)

2,0

(ω)

νδ_∗

Оценим теперь правую часть неравенства (33). Из равенства (25) и сделанного выше пред-

положения 0 ≤ q₀ ≤ q(η) ≤ q₀, η ∈ D_u, следует, что

∥F (θ, v)∥L2 (ω) ≤ ∥q(θ)v∥L₂(ω) + ∥A(θ)v∥L₂(ω) ≤ q0∥v∥L₂(ω) + ∥A(θ)v∥L₂(ω).

(34)

Тогда в силу неравенств (33), (34) получаем оценку

νδ_∗

∥v∥_W 2

(ω)

≤ ∥F (θ, v)∥L2 (ω) ≤ q0∥v∥L₂(ω) + ∥A(θ)v∥L₂(ω),

2,0

2ν

из которой непосредственно вытекает справедливость оценки (22).

Отсюда вследствие неравенства ∥v∥L2(ω) ≤ C3∥v∥W22,0(ω)^имеем

)

⁽νδ_∗

-C₃q₀

∥v∥_W 2

≤ ∥A(θ)v∥L2(ω).

2,0

(ω)

2ν

Зададим условие

νδ_∗

(max l_α)²

q₀ > 0,

2ν

тогда для любой функции v(x), x ∈ ω, такой, что v(x) = 0, x ∈ γ, получаем

∥v∥_W 2

(ω)

≤ C₀∥A(θ)v∥L2(ω), θ(x) ∈ Du, x ∈ ω,

где константа C₀ определена в (24). Лемма доказана.

Для нахождения приближённого решения нелинейных разностных уравнений (17)-(19) по-

строим итерационный процесс, в котором коэффициенты сеточного оператора A(y) берутся с

предыдущей итерации, так что новое приближение y(s+1)(x), x ∈ ω, находится как решение

линейной задачи:

∑

A(y(s))y(s+1) = -

Φ_αα(x)y(s+1)¯x

- 2Φ₁₂(x)Q(y(s+1)) + q(y(s))y(s+1) = f(y(s)), x ∈ ω,

(35)

αxα

α=1

y(s+1)(x) = 0, x ∈ γ_h,

(36)

где y⁽⁰⁾(x), x ∈ ω, принадлежит малой окрестности D_u области значений точного решения

(более того, см. далее теорему 4, y⁽⁰⁾ ∈ S^∗u = {v : ∥v - u∥_C ≤ δ(1 - q∗1)/(2(1 + q∗1))}).

Лемма 4. Пусть y(s) ∈ D_u, x ∈ ω. Тогда сеточная функция y(s+1)(x), x ∈ ω, опре-

деляемая из итерационного процесса (35), (36), ограничена в сеточных нормах пространств

◦

W22,0(ω), C(ω), L₂(ω),

W²(ω):

∥y(s+1)∥_W 2

≤C₅;

(37)

2,0

(ω)

∥y(s+1)∥C(ω) ≤ C₂C₅,

∥y(s+1)∥_L

∥y(s+1)∥ ◦

≤C₄C₅,

(38)

2(ω) ≤^C3^C5^,

W¹²(ω)

где C₅ = C₀f₀(l₁, l₂)1/2, а постоянные C₂, C₃ и C₄ определены в лемме 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

805

Доказательство оценки (37) следует из [17]. Доказательство оценок (38) непосредственно

следует из леммы 3 и оценок (13)-(15) леммы 2.

В дальнейшем при доказательстве корректности разностной схемы (17)-(19) нам понадо-

бится оценка погрешности первого приближения z⁽¹⁾(x) = y⁽¹⁾(x)-u(x), x ∈ ω, в равномерной

метрике. Обозначим через ψ(x), x ∈ ω, - невязку разностного уравнения (17) (погрешность

аппроксимации уравнения (17) на решении исходного уравнения (1)):

[

]

∑

ψ(x) = f(u) -

= f(u) - A(u)u, x ∈ ω.

(39)

- Φ_αα(x)uxαxα - 2Φ12(x)Q(u) + q(u)u

α=1

Складывая уравнения (35) при s = 0 с невязкой ψ(x) = f(u(x)) - A(u(x))u(x), x ∈ ω,

после некоторых очевидных преобразований получим следующую задачу для погрешности

z⁽¹⁾(x), x ∈ ω :

A(u)z⁽¹⁾ = [q(u) - q(y⁽⁰⁾)]y⁽¹⁾ + [f(y⁽⁰⁾) - f(u)] + ψ(x), x ∈ ω, z⁽¹⁾ = 0, x ∈ γ,

∑₂

где A(u)z⁽¹⁾ = -

Φ_αα(x)z(1)¯x

- 2Φ₁₂(x)Q(z⁽¹⁾) + q(u)z⁽¹⁾, x ∈ ω, а сеточная функция

α=1

αxα

ψ(x), x ∈ ω, имеет вид (39).

Лемма 5. Пусть y⁽⁰⁾(x), x ∈ ω, - начальное приближение итерационного процесса (35),

(36), а u(ξ) - точное решение задачи (1), (2). Тогда при y⁽⁰⁾ ∈ D_u имеют место оценки

∥y⁽¹⁾ - u∥_W 2

= ∥z⁽¹⁾∥_W 2

≤ C₀C₆∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀∥ψ∥_L

(40)

(ω)

2(ω),

2,0

∥z⁽¹⁾∥C(ω) ≤ C₀C₂C₆∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ∥_L

2(ω) ≤(1+q1)∥z(0)∥C(ω)+C0^C2^∥ψ∥L2(ω)=β,

где C₀C₂C₆ = q∗1 (см. (7), (8)), C₆ = C₃C₅L_q + L_f (l₁l₂)1/2.

Доказательство. Имеем

∥A(u)z⁽¹⁾∥_L

(41)

2(ω) ≤∥[q(u)-q(y(0))]y(1)∥L2(ω)+∥[f(y(0))-f(u)]∥L2(ω)+∥ψ∥L2(ω)^.

Далее, так как y⁽⁰⁾(x), u(x) ∈ D_u, то в силу условий на входные данные задачи

|q(u) - q(y⁽⁰⁾)| ≤ L_q|z⁽⁰⁾(x)|,

|f(u) - f(y⁽⁰⁾)| ≤ L_f |z⁽⁰⁾(x)|

из оценки (41) следует, что

∥A(u)z⁽¹⁾∥_L

2(ω) ≤^Lq∥z(0)∥C(ω)∥y(1)∥L2(ω)+Lf∥z(0)∥L2(ω)+∥ψ∥L2(ω)^.

Очевидна оценка ∥z⁽⁰⁾∥L2(ω) ≤ (l1l2)1/2∥z⁽⁰⁾∥C(ω). Тогда

∥A(u)z⁽¹⁾∥_L

2(ω) ≤^Lq∥z(0)∥C(ω)∥y(1)∥L2(ω)+Lf(l1^l2)1/2∥z(0)∥C(ω)+∥ψ∥L2(ω)^.

В силу неравенств (38) имеем

∥A(u)z⁽¹⁾∥_L

(42)

2(ω) ≤^C6∥z(0)∥C(ω)+∥ψ∥L2(ω)^.

Принимая во внимание оценку (23) из леммы 3 при v = z⁽¹⁾, вследствие неравенства (42)

получаем

∥z⁽¹⁾∥_W 2

≤ C₀C₆∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀∥ψ∥_L

(43)

2,0

(ω)

2(ω).

В силу оценки ∥z⁽¹⁾∥C(ω) ≤ C₂∥z⁽¹⁾∥_W 2

из неравенства (43) следует, что

(ω)

2,0

∥z⁽¹⁾∥C(ω) ≤ C₀C₂C₆∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ∥_L

2(ω),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

806

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

откуда

∥z⁽¹⁾∥C(ω)(1 - C₀C₂C₆) ≤ C₀C₂∥ψ∥_L

2(ω).

Поэтому справедлива оценка

∥z⁽¹⁾∥C(ω) ≤ q∗1∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ∥_L

2(ω) ≤(1+q1)∥z(0)∥C(ω)+C0^C2^∥ψ∥L2(ω)=β.

Лемма доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 5. Тогда имеет место оценка

∥Δy⁽¹⁾∥C(ω) ≤ (1 + q∗1)∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ(x)∥_L

2 (ω) =^β.

Теорема 3. Пусть y(k)(x) ∈ D_u, k = 0, s, - приближения, построенные при помощи

итерационного процесса (35), (36). Тогда справедлива оценка

∥Δy(s+1)∥C(ω) = max|y(s+1)(x) - y(s)(x)| ≤ q∗1∥Δy(s)∥C(ω) ≤ β(q∗1)s,

x∈ω

где константы β > 0 и q∗1 определены в лемме 5 и в соотношении (8) соответственно.

Доказательство. Рассмотрим итерационный процесс (35), (36). Получим задачу для раз-

ности соседних итераций Δy(s+1) = y(s+1) - y(s). Для этого вычтем из (35) это же уравнение,

записанное для предыдущей итерации. В результате получаем задачу

A(y(s))△y(s+1) = -[q(y(s)) - q(y(s-1))]y(s) + [f(y(s)) - f(y(s-1))],

Δy(s+1)(x) = 0, x ∈ γ,

(44)

где

∑

A(y(s))△y(s+1) = -

Φ_αα(x)△y(s+1)¯x

- 2Φ₁₂(x)[Q(y(s+1)) - Q(y(s))] + q(y(s))△y(s+1).

(45)

αxα

α=1

Рассмотрим теперь задачу (44), (45). Имеем

∥A(y(s))△y(s+1)∥_L

(46)

2(ω) ≤∥[q(y(s))-q(y(s-1))]y(s)∥L2(ω)+∥f(y(s))-f(y(s-1))^∥L2(ω)^.

Оценим правую часть неравенства (46). Поскольку y(k) ∈ D_u, k = 0, s, x ∈ ω, то, учиты-

вая ограничения на входные данные задачи, получаем

|q(y(s)) - q(y(s-1))| ≤ L_q|△y(s)|,

|f(y(s)) - f(y(s-1))| ≤ L_f |△y(s)|,

откуда следует, что

∥A(y(s))△y(s+1)∥_L

(47)

2(ω) ≤^Lq∥△y(s)∥C(ω)∥y(s)∥L2(ω)+Lf∥△y(s)∥L2(ω)≤C6∥△y(s)∥C(ω)^.

Далее, так как y(k) ∈ D_u, k = 0, s, то справедлива оценка

∥△y(s+1)∥_W 2

≤ C₀∥A(y(s))△y(s+1)∥_L

(48)

2,0

(ω)

2(ω).

Принимая во внимание неравенства (47) и (48), будем иметь

∥△y(s+1)∥_W 2

≤ C₀C₆∥△y(s)∥C(ω).

(49)

(ω)

2,0

Наконец, используя разностный аналог теоремы вложения ∥△y(s+1)∥C(ω) ≤C₂∥△y(s+1)∥_W 2

(ω)

2,0

вследствие (49) получаем оценку

∥△y(s+1)∥C(ω) ≤ C₀C₂C₆∥△y(s)∥C(ω) = q∗1∥△y(s)∥C(ω).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

807

Откуда, учитывая приведённое выше следствие, заключаем, что

∥△y(s+1)∥C(ω) ≤ q∗1∥△y(s)∥C(ω) ≤ . . . ≤ (q∗1)^s∥△y⁽¹⁾∥C(ω) ≤

≤ (q∗1)^s[(1 + q∗1)∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ∥_L

2(ω)]=β(q1)^s.

Теорема доказана.

Под δ-окрестностью точного решения u(x) задачи (1), (2) будем понимать множество S_u =

= {v : ∥v - u∥_C ≤ δ}. Вопрос о сходимости итерационного процесса (35), (36) и разрешимости

нелинейной разностной задачи (17)-(19) изучается в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть выполнены условия, сформулированные при постановке краевой задачи

(1), (2), а выбор начального приближённого y⁽⁰⁾(x) в итерационном процессе (35), (36) для

нелинейной сеточной краевой задачи (17)-(19) подчинён условию

{

}

1-q∗1

y⁽⁰⁾ ∈ S^∗u = v : ∥v - u∥_C ≤

< δ,

1+q^∗

1-q∗1

где константа β определена в лемме 5.

Тогда в δ-окрестности S_u точного решения u(x) дифференциальной задачи существу-

ет и притом единственное решение y(x) нелинейной разностной схемы (17)-(19), которое

может быть получено при любом фиксированном управлении g ∈ U как предел последо-

вательности {y(s)}∞s=1, определяемой итерационным процессом (35), (36), причём скорость

сходимости последовательности итераций {y(s)}∞s=1 к решению y(x) задачи (17)-(19) удо-

влетворяет неравенству

∥y(s) - y∥C(ω) ≤

(q∗1)^s.

1-q^∗

Кроме того, справедливы следующие оценки:

∥y∥_W 2

≤C₅,

∥y∥C(ω) ≤ C₂C₅,

∥y∥ ◦

≤C₄C₅.

2,0

(ω)

∥y∥L2(ω) ≤ C3C5,

(50)

W¹²(ω)

Доказательство. Прежде всего докажем, что все последовательные приближения y⁽¹⁾,

y⁽²⁾, ..., определяемые итерационным процессом (35), (36), содержатся в множестве S_u, т.е.

y(s) ∈ S_u, s = 1,2,... (не выходят из S_u).

Доказательство проведём методом математической индукции. По условию теоремы y⁽⁰⁾ ∈

∈ S^∗u, откуда очевидно следует, что y⁽⁰⁾ ∈ S_u. Значит, y⁽⁰⁾ ∈ D_u, а в силу леммы 5 и условия

β/(1 - q∗1) < δ имеем

∥z⁽¹⁾∥C(ω) = ∥y⁽¹⁾ - u∥C(ω) ≤ β < β/(1 - q∗1) < δ.

Откуда y⁽¹⁾ ∈ S_u. Основание индукции доказано. Допустим теперь, что y⁽⁰⁾, y⁽¹⁾, . . . , y(s) ∈ S_u,

и покажем, что y(s+1) ∈ S_u. Применяя неравенство треугольника, получаем

∥y(s+1) - u∥C(ω) ≤ ∥y⁽¹⁾ - u∥C(ω) + . . . + ∥y(s+1) - y(s)∥C(ω) = ∥y⁽¹⁾ - u∥C(ω) +

∑

∥△y(k+1)∥C(ω) ≤ β + βq∗1 + β(q∗1)² + . . . + β(q∗1)^s =

β(q∗1)^k < β

< δ.

(51)

1-q^∗

k=1

k=0

Следовательно, y(s) ∈ S_u. Таким образом, y(m) ∈ S_u, m = 0, 1, 2, . . . , т.е. метод итераций не

выводит за пределы множества S_u.

Далее, возьмём отрезок y(s), y(s+1), . . . , y(s+p) последовательности {y(m)}∞m=1. Так как эле-

менты y(s+k), k = 0, p, принадлежат S_u, то, последовательно применяя неравенство тре-

угольника и оценку из теоремы 3, получаем цепочку неравенств

∑

∥y(s+p) - y(s)∥C(ω) ≤

∥△y(s+p)∥C(ω) ≤ β(q∗1)(s) + β(q∗1)(s+1) + . . . + β(q∗1)(s+p-1) =

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

808

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

∑

β(q∗1)^s

= β(q∗1)(s)[1 + q∗1 + (q∗1)⁽²⁾ + .. + (q∗1)(p-1)] = β(q∗1)(s)

(q∗1)(k-1) <

(52)

1-q^∗

k=1

Это означает, что последовательность {y(s)}∞s=1 является фундаментальной (Коши). Так как

пространство C(ω) с нормой ∥·∥C(ω) полное, то существует предел данной последовательности

lim y(s+1) = y. Переходя к пределу в (51) при s → ∞, получаем, что предел y последова-

s→∞

тельности {y(s)}∞s=1 принадлежит S_u. Затем, переходя к пределу при s → ∞ в (35), (36),

убеждаемся, что сеточная функция y является решением сеточной краевой задачи. Следова-

тельно, решение разностной краевой задачи существует.

Оценка скорости сходимости метода итераций (35), (36) вытекает из (52) при p → ∞:

lim

∥y(s+p) - y(s)∥C(ω) = ∥y - y(s)∥C(ω) ≤ β(q∗1)^s/(1 - q∗1).

p→∞

Поскольку y ∈ S_u, то аналогично лемме 4 показывается, что решение y разностной схемы

удовлетворяет первой оценке в (50). Далее, принимая во внимание оценку из леммы 4, убеж-

даемся в справедливости остальных оценок в теореме 4.

Докажем единственность решения нелинейной разностной схемы (17). Допустим против-

ное: кроме y ∈ S_u существует другое решение y ∈ S_u разностной схемы (17)-(19). Вычитая

из (17) это же уравнение при y = y, получаем задачу для △y = y(x) - y(x):

A(y)△y = [q(y) - q(y)]y + [f(y) - f(y)], x ∈ ω,

△y = 0, x ∈ γ,

(53)

∑₂

где A(y)△y = -

α=1

Φ_αα(x)△yxαxα - 2Φ12(x)[Q(y) - Q(y)] + q(y)△y. Нетрудно видеть (про-

водя для задачи (53) рассуждения, аналогичные тем, что и при доказательстве леммы 5, и

принимая во внимание оценку из леммы 3), что справедливо неравенство

∥△y∥C(ω) ≤ C₂∥△y∥_W 2

≤ C₀C₂C₆∥△y∥C(ω) = q∗1∥△y∥C(ω).

2,0

(ω)

Откуда (1 - q∗1)∥△y∥C(ω) ≤ 0. Поскольку q∗1 < 1, то ∥△y∥C(ω) = 0. Следовательно, y(x) =

= y(x). Теорема доказана.

Замечание 2. В дальнейшем будем предполагать, что условия теоремы 4 выполнены.

3. Погрешность сеточной задачи по состоянию. Перейдём к изучению погрешности

разностной схемы (17)-(19) на сетке ω = ω₁ × ω₂.

Теорема 5. Для любых управлений g ∈ U и Φ_h ∈ U_h при достаточно малом h < h₀

справедлива следующая оценка погрешности метода сеток z(x,g,Φ_h) = y(x,Φ_h) - u(x,g) в

сеточной W22,0(ω)-норме:

C₀

∥z∥_W 2

= ∥y - u∥_W 2

≤

∥ψ∥L2(ω),

(54)

2,0

(ω)

2,0

(ω)

1-q^∗

где ψ(x) - невязка разностного уравнения (17)-(19):

[

]

∑

ψ(x) = f(u) - A(u)u = f(u) -

- Φ_αα(x)uxαxα - 2Φ12(x)Q(u) + q(u)u

α=1

[

]

[

]

∑

∂²u

∂²(u)

+ 2 Φ₁₂(x)Q(u) - k₁₂(x)

(55)

Φ_αα(x)uxαxα - kαα(x)

∂x2α

∂x₁∂x₂

α=1

Доказательство. Прежде всего заметим, что при достаточно малом h < h₀ неравенство

β/(1 - q∗1) < δ в теореме 4, где β = (1 + q∗1)∥z⁽⁰⁾∥C(ω) + C₀C₂∥ψ∥L2(ω), будет выполнено, так

как β = β(h). Действительно, во-первых, если y⁽⁰⁾ ∈ S^∗u, т.е.

1-q∗1

∥z⁽⁰⁾∥C(ω) = ∥y⁽⁰⁾ - u∥C(ω) ≤

(56)

1+q^∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

809

то y⁽⁰⁾ ∈ S_u. Для y⁽⁰⁾ ∈ S^∗u имеем

C₀C₂

δ-

=δ-

(1 + q∗1)∥z⁽⁰⁾∥C(ω) -

∥ψ∥L2(ω).

1-q∗1

(1 - q∗1)

В силу (56) получаем

C₀C₂

δ-

≥

∥ψ∥L2(ω).

1-q∗1

1-q^∗

Тогда при достаточно малых h < h₀ имеем C₀C₂∥ψ∥L2(ω)/(1 - q¹) ≤ δ/2, так что β/(1 -

- q∗1) ≤ δ при достаточно малых h > 0.

Таким образом, условия теоремы 4 выполнены и, следовательно, y ∈ S_u.

Установим теперь оценку (54), (55). Складывая уравнение (17) с невязкой ψ(x) = f(u(x))-

- A(u(x))u(x), x ∈ ω, придём после некоторых очевидных преобразований к задаче для

погрешности z(x) = y(x) - u(x) разностной схемы (17)-(19):

A(u)z = [q(u) - q(y)]y + [f(y) - f(u)] + ψ(x), x ∈ ω,

z(x) = 0, x ∈ γ,

∑₂

где A(u)z = -

α=1

Φ_αα(x)zxαxα - 2Φ12(x)[Q(y) - Q(u)] + q(y)z, x ∈ ω.

Далее, рассуждениями, аналогичными приведённым при доказательстве оценки (40) лем-

мы 5, несложно показать, что для погрешности z справедлива оценка

∥z(x)∥_W 2

(ω)

≤ C₀C₆∥z∥C(ω) + C₀∥ψ∥L2(ω),

2,0

из которой в силу оценки (13) для функции z следует неравенство

C₀

∥z(x)∥_W 2

(ω)

≤

∥ψ∥L2(ω) =

∥ψ∥L2(ω).

2,0

1-C₀C₂C₆

1-q^∗

Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что для получения оценки скорости сходимости разностной схемы

(17)-(19) достаточно установить оценку для сеточной функции ψ(x).

Лемма 6. Пусть u ∈ Wm2(Ω), где 3 < m ≤ 4, и y ∈ W22,0(ω) - соответственно реше-

ния дифференциальной (1), (2) и разностной задач (17)-(19) при фиксированных управлениях

g ∈ U и Φ_h ∈ U_h. Тогда для погрешности аппроксимации схемы (17)-(19) справедлива оценка

∑

∥ψ∥L2(ω) ≤

∥k_αα - Φ_αα∥L∞(ω)∥u∥W22,0(ω)+M∗|h|m-2∥u∥Wm2(Ω) + 2∥k12 - Φ12∥L∞(ω)^∥u∥W 22,0(ω)^;

α=1

где 3 < m ≤ 4, а константа M_∗ не зависит от h и u(x).

Доказательство. Рассмотрим сеточную функцию ψ(x), x ∈ ω = ω₁ × ω₂. Её можно

представить в следующем виде:

∑

ψ(x) =

ψ(1)αα(x) + 2ψ⁽¹⁾¹²(x) +

ψ(2)αα(x) + 2ψ⁽²⁾¹²(x), x ∈ ω ∈ Ω,

α=1

где ψ_αα(x) = ψαα (x) + ψαα (x), ψαα (x) = kαα(x)(uxαxα - ∂2u/∂xα), ψαα (x) = Φαα(x)uxαxα -

− k_αα(x)uxαxα, ψ¹²⁾(x) = k12(x)(Q(u) - ∂²u/∂x1∂x2), ψ¹²⁾(x) = Φ12(x)Q(u) - k12(x)Q(u).

Тогда

[ (

)]₂

∑∑

∂²u

∥ψ∥2L

2(ω)

k_αα uxαxα -

1h2 +

[Φ_ααuxαxα - kααuxαxα ]²h1h2 +

∂x²

α=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

810

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

[

(

)]₂

}

{∑

∑

∂²u

[Φ₁₂(x)Q(u) - k₁₂(x)Q(u)]²h₁h₂ +

k₁₂(x) Q(u) -

h₁h₂

∂x₁∂x₂

∑

{∥ψ(1)αα∥_L

(57)

2(ω) +∥ψα

∥L₂(ω)} + 2{∥ψ¹²⁾∥L₂(ω) + ∥ψ¹²⁾∥L₂(ω)}.

α=1

Справедливы оценки

∑

[Φ_αα(x)uxαxα - kαα(x)uxαxα ]²h1h2 ≤ ∥Φαα(x) - kαα(x)∥L∞(ω)^∥uxαxα∥L2(ω)^;

∑

[Φ₁₂(x)Q(u) - k₁₂(x)Q(u)]²h₁h₂ ≤ ∥Φ₁₂(x) - k₁₂(x)∥²

(Q(u))²h₁h₂;

L∞(ω)

∑

Q²(u)h₁h₂ =

⁽ux1x₂ + ux₁x₂ + ux₁x₂ + ux₁x₂ )²h₁h₂ ≤

∑

≤

(u2x

+u2x

+u2¯x

)h₁h₂ ≤

u2¯x

h₁h₂,

1x2

ω⁺¹×ω⁺

вследствие которых имеем

∑∑

∑

[Φ_αα(x) - k_αα(x)]²u2¯x

h₁h₂ + 2

[Φ₁₂(x) - k₁₂(x)]²Q²(u)h₁h₂ ≤

αxα

α=1

}

{₂∑

≤

∥Φ_αα(x) - k_αα(x)∥2L

+ 2∥Φ₁₂ - k₁₂∥²

∥u∥2W2

(58)

∞(ω)

L∞(ω)

2,0

(ω)

α=1

В работе [17, с. 25-28] установлены оценки остальных слагаемых в (57); воспользовавшись

ими, получим

|ψ(1)αα(x)| ≤ νMMM₀|h|m-2(h₁h₂)-1/2|u|_W m

(e(x)),

α = 1,2, x ∈ ω;

|ψ⁽¹⁾¹²(x)| ≤ νMMM₀|h|m-2(h₁h₂)-1/2|u|_W m

(e(x)),

x ∈ ω, u ∈ Wm2 (e(x)),

3 < m ≤ 4.

(59)

Принимая во внимание неравенства (57)-(59), будем иметь

∥ψ∥2L

≤ ∥g - Φ_h∥2L

∥u∥2W2

+ M2∗(|h|m-2)²∥u∥_Wm

(Ω),

2(ω)

∞(ω)

2,0

(ω)

откуда

3 < m ≤ 4.

∥ψ∥L2(ω) ≤ ∥g - Φh∥L∞(ω)^∥u∥W22,0(ω)+M∗|h|m-2∥u∥Wm2(Ω)^,

Лемма доказана.

Теорема 6. Для любых управлений g ∈ U и Φ_h ∈ U_h экстремальных задач (1)-(8) и

(16)-(20) и при достаточно малом h < h₀ справедлива оценка погрешности z(Φ_h, g) =

= y(Φ_h) - u(g) метода сеток по состоянию в сеточной W22,0(ω)-норме:

∥z(Φ_h, g)∥_W 2

≤M∗|h|m-2∥u∥_Wm(Ω)

3 < m ≤ 4.

2,0

(ω)

C∥g - Φ_h∥L∞(ω)∥u∥W22,0(ω)^,

Доказательство. В силу теоремы 5 и леммы 6 получаем

C₀

∥z∥_W 2

≤

{M_∗|h|m-2∥u∥_W m

(ω)

∥ψ∥L2(ω) ≤

(Ω) + ∥g - Φh∥L∞(ω)^∥u∥W22,0(ω)}≤

2,0

1-q∗1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

811

≤M∗|h|m-2∥u∥_Wm(Ω)

3 < m ≤ 4,

C∥g - Φ_h∥L∞(ω)∥u∥W22,0(Ω)^,

где константы

M∗

C не зависят от h (шага сетки) и функции u(x). Теорема доказана.

4. Оценки погрешности сеточного функционала, сходимость аппроксимаций по

функционалу и управлению. Регуляризация аппроксимаций. Используя доказанные

выше утверждения, рассмотрим вопрос о сходимости аппроксимаций по функционалу и аргу-

менту (управлению).

Теорема 7. Для любых управлений g ∈ U и Φ_h ∈ U_h экстремальных задач (1)-(8)

и (16)-(20) соответственно при достаточно малом h < h₀ для погрешности сеточного

функционала J_h(Φ_h) задач (16)-(20) справедлива оценка

|J(g(ξ)) - J_h(Φ_h(x))| ≤ M₀{|h| + ∥g - Φ_h∥L∞(ω)},

где M₀ = const > 0, не зависящая от h, y, u, Φ_h, g.

Доказательство. Пусть g ∈ U и Φ_h ∈ U_h - произвольные управления, а u(ξ) = u(ξ; g)

и y(x) = y(x;Φ_h) - соответствующие им решения задач состояния в экстремальных задачах

(1)-(8) и (16)-(20). Принимая во внимание представления (8), (16) и проводя некоторые оче-

видные преобразования, приведём погрешность функционала θ_h(g, Φ_h) = J(g)-J_h(Φ_h) к виду

θ_h(g,Φ_h) = J(g) - J_h(Φ_h) = B(1)h + B(2)h,

где

B(1)h = ∥u(ξ,g) - u₀(ξ)∥2L

- ∥P_hu(ξ, g) - P_hu0h(ξ)∥2L

;

2(Ω)

B(2)h = ∥P_hu(ξ,g) - P_hu0h(ξ)∥2L

- ∥y(x, Φ_h) - u0h(x)∥2L

2(Ω)

2(ω)

Несложно показывается, что для величин B(k)h, k = 1, 2, справедливы оценки

|B(1)h| ≤ [∥u(ξ, g) - P_hu(ξ, g)∥_L

2 (Ω) +^∥u0(ξ)-Ph^u0h(ξ)∥L2(Ω)]×

× [∥u(ξ, g)∥L2 (Ω) + ∥Phu(ξ, g)∥L₂ (Ω) + ∥u0(ξ)∥L₂(Ω) + ∥Phu0h(ξ)∥L₂(Ω)],

(60)

|B(2)h| ≤ ∥y(x, Φ_h) - u(ξ, g)∥_L

2(ω)[∥u(x,g)∥L2 (ω)+∥y(x,Φh)∥L2(ω)+2∥u0h(x)∥L2(ω)].

Здесь через P_hν(ξ), ξ ∈ Ω, обозначено кусочно-постоянное восполнение на Ω сеточной функ-

ции ν(x), x ∈ ω, определяемое по формуле

P_hν(ξ) = ν(x), ξ ∈ e(x), x ∈ ω,

где e(x) = e₁(x₁) × e₂(x₂), x ∈ ω, e_α(x_α) = {ξ_α : x_α - 0.5h_α ≤ ξ_α ≤ x_α + 0.5h_α}, x_α ∈ ω_α,

e_α(0) = {ξ_α : 0 ≤ ξ_α ≤ 0.5h_α}, e_α(l_α) = {ξ_α : l_α - 0.5h_α ≤ ξ_α ≤ l_α}, α = 1,2.

Оценим величину ∥u(ξ) - P_hu(ξ)∥2L2(Ω).Имеем

∫

∑

∥u(ξ) - P_hu(ξ)∥2L

(u(ξ) - P_hu(ξ))² dξ =

(u(ξ) - u(x))² dξ =

2(Ω)

e(x)

ξ₁

ξ₂

∫

)₂

∑

∂u(ξ₁, τ)

∂u(ν, ξ₂)

∂²u(ν, τ)

dτ +

dν +

dνdτ dξ ≤

∂τ

∂ν

∂ν∂τ

e(x) x2

x₁

x₁ x₂

∫

[

( ∫



)1/2

( ∫



)1/2

∑

²

∂u(ξ1,τ)

1/2

∂u(ν,ξ2)



≤

h1/2



 d



 d

∂τ

∂ν

e(x)

e₂(x₂)

e₁(x₁)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

812

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

(∫



)1/2]₂

_∂2u(ν,τ)2

∑



+ (h₁h₂)1/2

νdτ

dξ₁ dξ₂ ≤

|h|²∥u(ξ)∥2W2



 d

(e(x))

∂ν∂τ

e(x)

Следовательно,

(61)

∥u(ξ) - P_hu(ξ)∥L2(Ω) ≤ |h|∥u∥W²²(Ω)^.

Оценим величину ∥u₀ - P_huh0∥2L2(Ω).Получаем

∫

[

∫

]₂

∑

∥u₀ - P_huh0∥2L

(u₀(t) - uh0(x))² dt =

(u₀(t) - u₀(ξ)) dξ dt =

2(Ω)

ℏ₁ℏ₂

e(x)

∫

{

∫

[∫t1

∫

t₂

]

}₂

∑

∂u₀(θ₁,t₂)

∂u₀(ξ₁,θ₂)

dθ₁ +

dθ₂

dξ dt ≤

ℏ₁ℏ₂

∂θ₁

∂θ₂

e(x)

e(x) ξ1

ξ₂

∫

{ ∫ [

∫



∫



]

}

∑

²

∂u0(θ₁,t₂)

∂u0(ξ₁,θ₂)

≤2

(ℏ₁ℏ₂)-1

ℏ₁



θ₁ + ℏ₂



θ₂

dξ dt ≤



 d



 d

∂θ₁

∂θ₂

e(x) e(x)

e₁(x₁)

e₂(x₂)

[

∫



∫



]

∑

²

∂u0(t₁,t₂)



≤2

h²

t+h²

≤ 2|h|²|u₀(t)|



 d



 d

W¹²(Ω)

∂t₁

∂t₂

e(x)

Поэтому

∥u₀ - P_huh0∥_L

(62)

2(Ω) ≤21/2|h|∥u0^∥W¹²(Ω)^.

Далее,

∫

∑

∥P_huh0(ξ)∥2L

(uh0(x))² dξ =

(uh0(x))²ℏ₁ℏ₂ = ∥uh0(x)∥2L

(Ω)

2(ω)

e(x)

(

∫

)₂

∫

∑

u₀(ξ)dξ ℏ₁ℏ₂ ≤

(u₀(ξ))² dξ = ∥u₀∥2L

(63)

2(Ω)

ℏ₁ℏ₂

e(x)

откуда вытекает, что

∥uh0(x)∥_L

(64)

2(ω) ≤^∥u0(ξ)∥L2(Ω)^.

Кроме того, имеем

∫

∑

∥P_hu(ξ)∥2L

u²(x)dξ = ∥u(x)∥_L

(65)

2(Ω)

2 (ω) ≤^C3^∥u∥W22,0(ω)^.

e(x)

Учитывая оценки (61)-(65), а также теоремы вложения и оценки (50), вследствие неравен-

ства (60) получаем

|B(1)h| ≤ {|h|∥u∥_W 2

+ 21/2|h|∥u₀∥_W1

(Ω)

}[∥u∥L2(Ω) + C3∥u∥W22,0(ω)+2∥u0^∥L2(Ω)]≤|h|C∗.

2,0

Используя априорную оценку для погрешности метода по состоянию (см. теорему 6), нера-

венства (50), (64) и теоремы вложения, получаем оценку для B(2)h :

|B(2)h| ≤ {M∗|h|m-2∥u∥_W 2

(Ω)

C∥g - Φ_h∥L∞(ω)∥u∥W22,0(Ω)^}×

2,0

C^∗∥g - Φ_h∥_L

× [∥u∥L2(ω) + ∥y∥L₂(ω) + 2∥u0∥L₂(Ω)] ≤ |h|m-2C^∗∗

∞(ω),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

2021

№6

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

813

откуда

|J(g) - J_h(Φ_h)| ≤ |h|C^∗ + |h|m-2C^∗∗

C^∗∥g - Φ_h∥_L

∞(ω) ≤^M0{|h|+∥g-Φh^∥L∞(ω)^}.

Теорема доказана.

Определим теперь некоторые восполнения сеточных управлений Φ_αβh(x), x ∈ ω, α, β =

= 1, 2, на Ω. Для построения кусочно-линейного восполнения сеточного управления Φ_αβh(x),

x ∈ ω, α,β = 1,2, на Ω каждую элементарную ячейку e⁺(x) ⊂ Ω, где e⁺(x) = e⁺(x₁,x₂) =

= {ξ = (ξ₁, ξ₂) : x_α ≤ ξ_α ≤ x_α + h_α, α = 1, 2} = e′1(x₁) × e′2(x₂), x ∈ ω-1 × ω-2, разобьём

диагональю, образующей тупой угол с осью ξ₁, на два треугольника. Треугольники, распо-

ложенные выше диагонали, будем обозначать через Δ_-(x), а нижние - через Δ₊(x). Здесь

x = (x₁,x₂) - узел, соответствующий вершине прямого угла треугольника Δ_±. Пусть r -

управляющий параметр, принимающий значения ±1. Если через Φ^′αβhr(ξ) обозначить функ-

цию, определённую в Δ_r(x), линейную по ξ₁ и ξ₂ и совпадающую в вершинах треугольника

с сеточной функцией Φ_αβh(x), то кусочно-линейное восполнение на Ω определится в виде

F(1)hΦ_αβh(ξ) = {Φ^′αβhr(ξ) : ξ ∈ Δ_r(x), r = -1,+1, Δ_r(x) ∈ Ω}:

{

F(1)hΦ_αβh(ξ)=Φαβh(x)+Φαβhx1(x)(ξ1 -x1)+Φαβhx2(x)(ξ2 -x2),ξ∈Δ+(x),x∈ω1 ×ω2,

Φ_αβh(x) + Φαβhx1(x)(ξ₁ - x₁) + Φαβhx2 (x)(ξ₂ - x₂), ξ ∈ Δ_-(x), x ∈ ω⁺¹ × ω⁺².

Далее, каждую ячейку e⁺(x) ⊂ Ω разобьём диагональю, образующей острый угол с осью

ξ₁, на два треугольника Δ^′-(x) (верхние) и Δ′+(x) (нижние). Аналогично найдём, что

{

F(2)hΦ_αβh(ξ)=Φαβh(x)+Φαβhx1(x)(ξ1 -x1)+Φαβhx2(x)(ξ2 -x2),ξ∈Δ+(x),x∈ω1 ×ω2,

Φ_αβh(x) + Φαβhx1(x)(ξ₁ - x₁) + Φαβhx2 (x)(ξ₂ - x₂), ξ ∈ Δ^′-(x), x ∈ ω-1 × ω⁺².

Положим

FhΦαβh(ξ) =

F(1)hΦ_αβh(ξ) +1F(2)hΦαβh(ξ), ξ ∈ Ω.

(66)

Пусть

∫∫

R_hg_αβ(x) ≡Rhk_αβ(x) = S^xk_αβ(x) =

k_αβ(ξ)dξ, α,β = 1,2, x ∈ ω,

(67)

h₁h₂

e(x)

- дискретизации на сетке ω управлений g_αβ (ξ) ≡ k_αβ (ξ).

Для исследования связи между экстремальными задачами (1)-(8) и (16)-(20) введём

отображения

R_h : H → H_h, N_h : H_h → H,

(68)

которые определим следующим образом:

R_hg = Φ_h, где g = (g₁,g₂,g₃,g₄) = (k₁₁,k₂₂,k₁₂,k₂₁), Φ_h = (Rhk₁₁,Rhk₂₂,Rhk₁₂,Rhk₂₁);

N_hΦ_h = g, где Φ_h = (Φ11h,Φ22h,Φ12h,Φ21h), g = (F_hΦ₁₁,F_hΦ₂₂,F_hΦ₁₂,F_hΦ₂₁).

Функции

R_h и F_h определены равенствами (67) и (66). Нетрудно показать, что для произ-

вольных управлений g ∈ U и Φ_h ∈ U_h экстремальных задач (1)-(8) и (16)-(20) соответственно

справедливы включения

R_hg ∈ U_h, N_hΦ_h ∈ U.

Лемма 7. Для кусочно-линейного восполнения F_hΦ_αβh(ξ) на Ω сеточных управлений

Φ_αβh(x), x ∈ ω, α,β = 1,2, и дискретизации

R_hg_αβ(x) управлений g_αβ(ξ) ≡ k_αβ(ξ) на

сетке ω справедливы оценки

∥N_hΦ_h∥_H ≤ ∥Φ_h∥Hh + γ_h, где

0 < γ_h = O(|h|) при

|h| → 0;

(69)

∥Rhg∥_H

≤ ∥g∥_H .

(70)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

814

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

Доказательство. Заметим, что

∥Rhg∥2H

=∥Rhg₁₁∥2W1

+ 2∥ Rhg₁₂∥2W1

+∥Rhg₂₂∥2W1

(ω)

∫

Очевидно неравенство ∥R_hk_αβ ∥2L2(ω)^≤ Ωkαβ(ξ)dξ.ВведёммножествоΩh={ξ=(ξ1^,ξ2):0≤

≤ξ₁ ≤l₁ -h₁, 0 ≤ ξ2 ≤ l2}. Применяя теорему Фубини [28, с. 317; 29, с. 55], получаем

∑

∥[Rhk_αβ (x)]x1 ∥2L

([Rhk_αβ (x)]x1 )²h₁h₂ =

2([ω1/{l1-h1}]×ω2)

[ω₁/{l₁-h₁}]×ω₂

(

∫

)₂

∑

∂k_αβ(τ,ξ₂)

dτ dξ h₁h₂ ≤

h²¹h₂

∂τ

[ω₁/{l₁-h₁}]×ω₂

x₁-0.5h₁ e₂(x₂) ξ2

∫

l₂

∫

⁽∂k_αβ(τ,ξ₂))2

≤

dτ dξ =

dτ dξ₁ dξ₂ =

h₁

∂τ

h₁

∂τ

ξ₁

Ω_h ξ₁

∫

h₁

)₂

∫

h₁

∫

⁽∂k_αβ(z₁ + ξ₁,ξ₂)

dξ₁ dξ₂

dz₁ =

dz₁

⁽∂k_αβ(z₁ + ξ₁,ξ₂))2 dξ1 dξ₂ =

h₁

∂z₁

h₁

∂z₁

Ω_h

h₁

l₂

h₁

l₁

l₂

∫

)₂

∫

⁽∂k_αβ(t₁,ξ₂)

dz₁

dt₁ dξ₂ ≤

dz₁

⁽∂k_αβ(ξ₁,ξ₂))2 dξ1 dξ₂.

h₁

∂t₁

h₁

∂ξ₁

z₁

Откуда

∫

⁽∂k_αβ(ξ)⁾

∥[Rhk_αβ (x)]x1 ∥2L

≤

dξ.

2([ω1/{l1-h1}]×ω2)

∂ξ₁

Аналогично имеем



∂kαβ



∥[Rhk_αβ (x)]x2 ∥2L

≤



2(ω1×[ω2/{l2-h2}])



 ∂ξ₂

L₂(Ω)

Следовательно,

∥Rhg∥2H

≤ ∥k₁₁∥2W1

+ ∥k₂₂∥2W1

+ 2∥k₁₂∥2W1

(Ω)

Оценка (70) доказана.

Установим оценку (69). Сначала заметим, что справедливо неравенство

∫

∥F_hΦ₁₁(ξ)∥2L

≤

(F(1)hΦ₁₁(ξ))² dξ +1

(F(2)hΦ₁₁(ξ))² dξ.

(71)

2(Ω)

Поскольку сеточная функция Φ_αβh(x), α, β = 1, 2, определена в точках сетки ω, то до-

определим сеточные функции Φ_αβh(x) на множестве узлов ω \ ω следующим образом: сна-

чала на прямых x₂ = 0 и x₂ = l₂ положим Φ_αβh(x₁, 0) = Φ_αβh(x₁, h₂), Φ_αβh(x₁, l₂) =

= Φ_αβh(x₁,l₂ - h₂), x₁ ∈ ω₁, затем на прямых x₁ = 0 и x₁ = l₁ положим Φ_αβh(0,x₂) =

= Φ_αβh(h₁,x₂), Φ_αβh(l₁,x₂) = Φ_αβh(l₁-h₁,x₂), x₂ ∈ ω₂, и, наконец, Φ_αβh(0,0) = Φ_αβh(h₁,h₂),

Φ_αβh(0,l₂) = Φ_αβh(h₁,l₂ - h₂), Φ_αβh(l₁,0) = Φ_αβh(l₁ - h₁,h₂), Φ_αβh(l₁,l₂) = Φ_αβh(l₁ - h₁,l₂ -

-h₂). При этом разностные производные (левые и правые) Φαβxm,Φαβxm, m = 1,2, занулятся

в точках границ ω \ ω.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

815

Рассмотрим первый интеграл в неравенстве (71). Имеем

∫

∑

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ =

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ +

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ,

△₊(x)∈Ω△+(x)

△_-(x)∈Ω△-(x)

при этом

∫

∑ ∫

∑

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ =

[Φ11h(x) + Φ11hx1 (x)(ξ₁ - x₁) + Φ11hx2 (x)(ξ₂ - x₂)]² dξ,

△₊(x)_△

ω-1×ω^-

+(x)

2 △+(x)

∫

∑ ∫

∑

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ =

[Φ11h(x) + Φ11hx1 (x)(ξ₁ - x₁) + Φ11hx2 (x)(ξ₂ - x₂)]² dξ,

△_-(x)_△

ω⁺¹×ω⁺

-(x)

2 △-(x)

∫

S₁(x) =

[Φ11h(x) + Φ11hx1 (x)(ξ₁ - x₁) + Φ11hx2 (x)(ξ₂ - x₂)]² dξ₂ dξ₁ =

△₊(x)

h₁h₂

[(Φ211h(x) + Φ211h(x₁ + h₁, x₂) + Φ211h(x₁, x₂ + h₂)) + (Φ11h(x) + Φ11h(x₁ + h₁, x₂) +

h₁h₂

+ Φ11h(x₁,x₂ + h₂))²] ≤

[Φ211h(x) + Φ211h(x₁, x₂ + h₂) + Φ211h(x₁ + h₁, x₂)], x ∈ △₊(x) ∈ Ω.

Совершенно аналогично получаем неравенство

∫

S₂(x) =

[Φ11h(x) + Φ11hx1 (x)(ξ₁ - x₁) + Φ11hx2 (x)(ξ₂ - x₂)] dξ ≤

△_-(x)

h₁h₂

≤

[Φ211h(x) + Φ211h(x₁ - h₁, x₂) + Φ211h(x₁, x₂ - h₂)], x ∈ △_-(x) ∈ Ω.

Таким образом,

∫

(F(1)hΦ11h(ξ))² dξ ≤

Ω_h

[

]

∑

≤

Φ211h(h₁h₂) +

Φ211hh₁h₂ + 2

Φ²

11h

h₁h₂

ω-1×ω^-

ω⁺¹×ω⁺

ω-1×ω⁺

ω⁺¹×ω^-

[

∑

= ∥Φ11h∥2L

h₁

Φ211h(h₁,x₂)h₂ + h₁h₂Φ²

11h

(h₁h₂) + h₂

Φ211h(x₁,h₂)h₁ +

2(ω)

ω₂

ω₁

]

∑

+h₁

Φ211h(l₁ - h₁,x₂)h₂ + h₁h₂Φ²

(l₁ - h₁, l₂ - h₂) + h₂

Φ²

(x₁, l₂ - h₂)h₁

11h

ω₂

ω₁

[

∑

h₁

Φ211h(h₁,x₂)h₂ + h₁h₂Φ²

(h₁, l₂ - h₂) + h₂

Φ211h(x₁,l₂ - h₂)h₁ +

11h

ω₂

ω₁

]

∑

+h₁

Φ211h(l₁ - h₁,x₂)h₂ + h₁h₂Φ²

(l₁ - h₁, h₂) + h₂

Φ²

(x₁, h₂)h₁

≤

11h

ω₂

ω₁

≤ ∥Φ11h∥2L

+ |h|ν²((l₂ - h₂) + (l₁ - h₁)) + |h|² ν².

2(ω)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

7^∗

816

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

Далее,

∫

)₂

∑(∂F(1)

Φ11h(ξ)

dξ =

∂ξ_α

α=1

∫

∑

⁽∂F(1)hΦ11h(ξ))2

dξ +

⁽∂F(1)hΦ11h(ξ))2 dξ,

∂ξ

∂ξ_α

α=1

△₊(x)∈Ω△+(x)

△_-(x)∈Ω△-(x)

∫

[

]₂

⁽∂F(1)hΦ11h(ξ))2

∂

dξ =

(Φ11h(x)+Φ11hx1 (x)(ξ₁ -x₁)+Φ11hx2 (x)(ξ₂ -x₂)) dξ₁ dξ₂ =

∂ξ_α

∂ξ₁

△_-(x)

x₂

∫x1

∫

h₁h₂

[Φ11hx1 (x)]² dξ₁ dξ₂ = Φ211h¯x

(x)

x₁-h₁

x₂-h₂-h₂(ξ₁-x₁)/h₁

Откуда после некоторых очевидных преобразований получаем

∫

∑

⁽∂F(1)hΦ11h(ξ))2

h₁h₂

dξ =

Φ211hx

(x)

Φ211h¯x

(x)

≤

∂ξ

ω-1×ω-2

α=1

ω⁺¹×ω⁺

α=1

Ω α⁼¹

≤ |Φ11h(x)|2W1

|h|{∥Φ11hx1 (x₁, h₂)∥2L

(ω₁×ω₂)

2(ω1/{l1-h1})

+ ∥Φ11hx1 (x₁, l₂ - h₂)∥2L

+ ∥Φ11hx2 (h₁, x₂)∥2L

2(ω1/{l1-h1})

2(ω2/{l2-h2})

+ ∥Φ11hx2 (l₁ - h₁, x₂)∥2L

} ≤ |Φ11h(x)|2W1

|h|{2R²¹(l₁ - h₁) + 2R²²(l₂ - h₂)}.

2(ω2/{l2-h2})

(ω)

В результате будем иметь

∥F(1)hΦ11h∥2W1

≤ ∥Φ11h∥2W1

+γ(1)h,

0 < γ(1)h = O(|h|) при

|h| → 0.

(Ω)

(ω)

Таким образом,

∥N_hΦ_h∥2H ≤ ∥Φ11h∥2W1

+ 2∥Φ12h∥2W1

+ ∥Φ22h∥2W1

+ γ(1)h + 2γ(2)h + γ(3)h = ∥Φ_h∥2H

+γ_h.

(ω)

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть g ∈ U и Φ_h ∈ U_h - произвольные управления в экстремальных задачах

(1)-(8) и (16)-(20). Тогда при достаточно малом h < h₀ справедливы оценки

|J(g) - J_h(Rhg)| ≤ M₁|h|,

|J(N_hΦ_h(ξ)) - J_h(Φ_h(x))| ≤

M₁|h|.

(72)

Доказательство леммы опирается на определения отображений

R_hg и N_hΦ_h и следу-

ет из теоремы 7 и леммы 7. Докажем справедливость первого неравенства в (72). Сначала

установим оценку



∫∫

[∫ξ2

x₁

∫

]



∂k₁₁(x₁,θ)

∂k(τ,ξ₂)



|k₁₁ -Rhk₁₁| = 

dθ +

dθ dξ

≤

^h₁h₂

∂θ

∂τ

e(x) x2

ξ₁

∫

ξ₂



∫∫

∫

x₁



}

∂k11(x₁,θ)



∂k(τ,ξ2)



≤

θ dξ₁ dξ₂ +

θ dξ ≤ R₂h₂ + R₁h₁.



^d



^d

h₁h₂

∂θ

∂τ

x₁-0.5h₁ x₂-0.5h₂ x2

e(x) ξ1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

817

Тогда

|J(g(ξ)) - J_h(Rhg(x))| ≤ M₀|h| + 4R₁h₁ + 4R₂h₂ ≤ M₁|h|.

Оценим теперь при x ∈ [ω₁/{l₁ - h₁, h₁}] × [ω₂/{l₂ - h₂, h₂}] разность

|N_hΦ11h(ξ) - Φ11h(x)| =

|(F(1)hΦ11h(ξ) - Φ₁₁(x)) + (F(2)hΦ11h(ξ) - Φ₁₁(x))| ≤

≤

R₁h₁ +

R₂h₂ +

R₁h₁ +

R₂h₂ ≤ (R₁ + R₂)|h|.

Следовательно, имеет место неравенство

|J(N_hΦ_h(ξ)) - J_h(Φ_h(x))| ≤ M₀|h| + 4(R₁ + R₂)|h| =

M₁|h|.

Лемма доказана.

Теорема 8. Пусть J_∗ и J_h∗ - нижние грани функционалов J(g) и J_h(Φ_h) в экстре-

мальных задачах (1)-(8) и (16)-(20) соответственно. Семейство сеточных задач (16)-(20),

зависящих от шага h = (h₁, h₂) сетки ω ⊂ Ω, при |h| → 0 аппроксимирует исходную экс-

тремальную задачу (1)-(8) по функционалу, т.е. lim J_h∗ = J_∗ при |h| → 0, и для скорости

сходимости справедлива оценка

|J_h∗ - J_∗| ≤ M|h|.

(73)

Доказательство. Согласно теореме 2 множество U_∗ не пусто. Возьмём какое-либо управ-

ление g_∗ ∈ U_∗. Тогда

R_h(g_∗) ∈ U_h. Отсюда и из леммы 8 следует, что

J_h∗ ≤ J_h(Rhg_∗) ≤ J(g_∗) + M₁|h|.

Так как функции конечного числа переменных Φ_h на слабо бикомпактных множествах U_h

достигают своей нижней грани, то J_h∗ > -∞, U_h∗ = 0. Выберем какое-нибудь управление

Φ_h∗ ∈ U_h∗. Тогда N_hΦ_h∗ ∈ U. В силу леммы 8 имеем

J_∗ ≤ J(N_hΦ_h∗) ≤ J_h(Φ_h∗) +M1|h|.

Из полученных неравенств вытекает, что lim J_h∗ = J_∗, т.е. семейство разностных задач

|h|→0

(16)-(20) при |h| → 0 аппроксимирует исходные экстремальные задачи (1)-(8) по функци-

оналу и справедлива оценка (73). Теорема доказана.

Предположим теперь, что при каждом h = (h₁, h₂) и соответствующей сетке ω с помощью

какого-либо метода минимизации получено приближённое значение J_h∗ +ϵ_h нижней грани J_h∗

функционала J_h(Φ_h) на U_h в задаче (16)-(20) и найдено сеточное управление Φhεh (x) ∈ U_h,

дающее приближённое решение задачи (16)-(20) в следующем смысле:

J_h∗ ≤ J_h(Φhεh) ≤ J_h∗ + ϵ_h, Φhεh ∈ U_h,

(74)

где последовательность ϵ_h такова, что ϵ_h ≥ 0 и ϵ_h → 0 при |h| → 0, и характеризует точность

решения задачи минимизации функционала J_h(Φ_h) на U_h.

Возникает вопрос, можно ли принять сеточное управление Φhεh (x) ∈ U_h из (74) в качестве

некоторого приближения оптимального управления задачи (1)-(8).

Теорема 9. Пусть последовательность сеточных управлений {Φhεh } ⊂ U_h определена

условиями (74). Тогда последовательность управлений {NhΦhεh (r)}, где Nh : Hh → H -

отображение, определяемое в (68), является минимизирующей для функционала J(g) ис-

ходной задачи (1)-(8), т.е. lim J(N_hΦhεh ) = J_∗ при |h| → 0, и для скорости сходимости

справедлива оценка

0≤J(N_hΦhεh)-J_∗ ≤

M₁ + M)|h| + ε_h.

(75)

Последовательность {N_hΦhεh (r)} слабо в H = (W¹²(Ω))⁴ сходится к множеству U_∗ = ∅

оптимальных управлений исходной экстремальной задачи (1)-(8).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

818

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

Доказательство. Пусть последовательности сеточных управлений {Φh(x)} ⊂ U_h опреде-

лены условиями (74). Тогда N_h Φ_h ∈ U и

0≤J(N_hΦ_h)-J_∗ ≤[J(N_hΦ_h)-J_h(Φh)]+[J_h(Φh)-J_h∗]+[J_h∗ -J_∗]≤

M₁ + M)|h| + ϵ_h,

т.е. справедлива оценка (75) скорости сходимости. При |h| → 0 имеем lim J(N_h Φ_h) = J_∗. По-

|h|→0

этому последовательности управлений {N_h Φ_h(ξ)} являются минимизирующими для функци-

оналов J(g) исходных задач (1)-(8) оптимального управления. Отсюда и из теоремы 2 следует

слабая сходимость минимизирующих последовательностей {N_h Φ_h} к соответствующим мно-

жествам U_∗ = ∅. Теорема 9 доказана.

Замечание 3. Из оценки (73) и неравенства (74) при условии, что начальное приближе-

ние в итерационном процессе (35), (36) принадлежит окрестности значений точного решения

исходной краевой задачи, нетрудно получить, что lim J_h(Φhεh ) = J_∗ при |h| → 0, причём

справедлива оценка скорости сходимости |J_h(Φhεh ) - J_∗| ≤ M|h| + ε_h.

Рассмотрим теперь вопрос о сильной сходимости в H по аргументу (управлению) раз-

ностных аппроксимаций (16)-(20). В силу теоремы 2 задача (16)-(20) корректно поставлена

в слабой топологии пространства H. Однако, вообще говоря, она является некорректно по

Тихонову поставленной задачей минимизации в сильной топологии пространства H, т.е. нет

основания ожидать, что любая минимизирующая последовательность (в том числе и последо-

вательность из теоремы 9) будет сходящейся в норме H ко множеству U_∗. Для разработки

устойчивых алгоритмов построения сильно сходящихся минимизирующих последовательно-

стей успешно применяется известный метод регуляризации Тихонова [18, 30].

Рассмотрим один вариант этого метода, позволяющий построить для исходной экстремаль-

ной задачи минимизирующую последовательность, которая получается с помощью разностной

аппроксимации и сильно сходится ко множеству “ Ω-нормальных решений” задачи оптималь-

ного управления (1)-(8). Будем допускать, что вычисления сеточных функционалов J_h(Φ_h)

ведутся приближённо, как в силу приближённой исходной информации, так и в силу того,

что счёт ведётся с округлениями, так что вместо функционала J_h(Φ_h) фактически исполь-

зуется приближённый функционал Jhδh (Φ_h), который связан с J_h(Φ_h) для всех Φ_h ∈ U_h

соотношениями

Jhδh(Φ_h) = J_h(Φ_h) + θδh (Φ_h),

|θδh (Φ_h)| ≤ δ_h, δ_h → +0 при

|h| → 0.

Для регуляризации семейства сеточных экстремальных задач (16)-(20) введём на U функ-

ционал-стабилизатор Ω(g) = ∥g∥2H , g ∈ U, и его сеточный аналог Ω_h(Φ_h) = ∥Φ_h∥2Hh , Φ_h ∈ U_h.

При каждом h = (h₁, h₂) рассмотрим на U_h сеточный функционал Тихонова задачи (16)-(20):

Thδhα_h (Φh) = Jhδ_h (Φh) + αhΩ(Φh), Φh ∈ Uh, где {αh} - произвольная последовательность

положительных чисел, сходящаяся к нулю при |h| → 0. Рассмотрим задачу минимизации

функционала Thδhα_h (Φh) на Uh: при каждом h = (h1, h2) определим сеточное управление

Φ_h = Φ_hδ

hαhνh ∈Uh,удовлетворяющееусловиям

Thδhα_h∗ = inf{Thδ_hα_h (Φh) : Φh ∈ Uh} ≤ Thδ_hα_h (Φh) ≤ Thδ_hα_h∗ + νh,

(76)

где ν_h ≥ 0 и ν_h → +0 при |h| → 0. Введём множество Ω-нормальных решений задачи

оптимального управления (1)-(8):

U_∗∗ = {g_∗∗ ∈ U_∗ : Ω(g_∗∗) = inf Ω(g_∗) : g_∗ ∈ U_∗}.

Теорема 10. Пусть последовательность сеточных управлений {Φh} определена услови-

ями (76). Тогда последовательность {N_h Φ_h(r)}, где отображение N_h : H_h → H определено

в (68), является минимизирующей для функционала J(g) исходной экстремальной задачи

(1)-(8), т.е. lim J(N_h Φ_h) = J_∗ при |h| → 0, и для скорости сходимости справедлива оценка

0 ≤ J(N_hΦ_h) - J_∗ ≤ M(|h| + δ_h + ν_h + α_h).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

819

Если, кроме того, последовательности {α_h},

{δ_h},

{ν_h} положительны и α_h, δ_h, ν_h → 0

при |h| → 0, причём {α_h} стремится к нулю согласовано с величинами |h|, δ_h, ν_h так, что

(|h| + ν_h + δ_h)/α_h → 0 при |h| → 0, то последовательность {N_h Φ_h} сильно в H сходится

к множеству Ω-нормальных (в смысле минимальной нормы) оптимальных управлений U_∗∗

задачи (1)-(8), т.е.

lim ρ(N_h Φ_h; U_∗∗) = lim inf{∥N_h Φ_h - g_∗∗∥_H : g_∗∗ ∈ U_∗∗} = 0 при

|h| → 0,

lim Ω(N_h Φ_h) = lim ∥N_h Φ_h∥2H = Ω_∗ = inf Ω(g_∗), g_∗ ∈ U_∗, при

|h| → 0.

Доказательство теоремы проводится с помощью методики из [18, гл. 9, § 4] и [30, гл. 2]

и опирается на полученные выше результаты.

Замечание 4. Можно показать, что lim Thδhα_h∗ = J∗ и lim Thδ_hα_h (Φh) = J∗ при |h| → 0,

причём справедливы следующие оценки скорости сходимости:

|Thδhα_h∗ - J∗| ≤ M[|h| + δh + αh],

|Thδhα_h (Φh) - J∗| ≤ M[|h| + νh + δh + αh].

Замечание 5. Полученные результаты не зависят от способа решения разностных задач

минимизации (16)-(20).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений // Дифференц. урав-

нения. 1975. Т. 11. № 2. C. 294-308.

2. Абрашин В.Н., Асмолик В.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазили-

нейных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 7. C. 1107-1117.

3. Матус П.П., Станишевская Л.В. О безусловной сходимости разностных схем для нестационарных

квазилинейных уравнений математической физики // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 7.

C. 1203-1219.

4. Матус П.П., Москальков М.Н., Щеглик В.С. Согласованные оценки точности метода сеток для

нелинейного уравнения второго порядка с обобщенными решениями // Дифференц. уравнения.

1995. Т. 31. № 7. C. 1249-1256.

5. Щеглик В.С. Анализ разностной схемы, аппроксимирующей третью краевую задачу для нелинейно-

го дифференциального уравнения второго порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

1997. Т. 37. № 8. С. 951-957.

6. Ali A.A., Deckelnick K., Hinze M. Error analysis for global minima of semilinear optimal control problems

// arXiv preprint. 2017. arXiv:1705.01201.

7. Hernández-Santamar´ıa V., Lazar M., Zuazua E. Greedy optimal control for elliptic problems and its

application to turnpike problems // Numer. Math. 2019. V. 141. № 2. P. 455-493.

8. Manapova A., Lubyshev F. About convergence of difference approximations for optimization problems

described by elliptic equations with mixed derivatives and unbounded nonlinearity // AIP Conf. Proc.

2018. V. 1997. P. 020011-1-020011-5.

9. Jovanovic B.S., Suli E. Analysis of Finite Difference Schemes. Springer Ser. in Comput. Math. V. 46.

London, 2014.

10. Jovanovic B.S. Finite difference scheme for PDEs with weak solutions and irregular coefficients

// Comput. Methods Appl. Math. 2004. V. 4. № 1. P. 48-65.

11. Berikelashvili G. On a nonlocal boundary-value problem for two-dimensional elliptic equation // Comput.

Methods Appl. Math. 2003. V. 3. № 1. P. 35-44.

12. Berikelashvili G., Gupta M.M., Mirianashvili M. Convergence of fourth order compact difference schemes

for three-dimensional convection-diffusion equations // SIAM J. Numer. Anal. 2007. V. 45. № 1. P. 443-

455.

13. Berikelashvili G., Mirianashvili M. On the convergence of difference schemes for generalized Benjamin-

Bona-Mahony equation // Numer. Methods for Partial Differ. Equat. 2014. V. 30. № 1. P. 301-320.

14. Jovanovich B.S., Matus P.P., Shchehlik V.S. The estimates of accuracy of difference schemes for the

nonlinear heat equation with weak solutions // Math. Model. and Anal. 2000. V. 5. P. 86-96.

15. Матус П.П. О корректности разностных схем для полулинейного параболического уравнения с

обобщенными решениями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 12. С. 2155-

2175.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

820

ЛУБЫШЕВ, МАНАПОВА

16. Matus P. On convergence of difference schemes for IBVP for quasilinear parabolic equations with

generalized solutions // Comp. Meth. Appl. Math. 2014. V. 14. № 3. P. 361-371.

17. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Согласованные оценки скорости сходимости в сеточной норме

W22,0(ω) разностных схем для нелинейных эллиптических уравнений со смешанными производными

и решениями из Wm2,0(Ω), 3 < m ≤ 4 // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2017. Т. 57.

№ 9. С. 1444-1470.

18. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М., 2002.

19. Потапов М.М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические

уравнения). М., 1985.

20. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.,

1999.

21. Лубышев Ф.В., Манапова А.Р. О некоторых задачах оптимального управления и их разностных

аппроксимациях и регуляризации для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в

коэффициентах // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2007. Т. 47. № 3. С. 376-396.

22. Лубышев Ф.В., Манапова А.Р. Аппроксимация задач оптимального управления коэффициентами

эллиптических уравнений конвекции-диффузии с условиями сопряжения неидеального контакта

// Журн. Средневолжского мат. о-ва. 2019. Т. 21. № 2. С. 187-214.

23. Manapova A. On convergence of difference approximations to problems of optimal control in the

coefficients of elliptic equations with mixed derivatives and unbounded non-linearity // J. Phys.: Conf.

Ser. 2019. V. 1391. P. 012140.

24. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики.

Казань, 1976.

25. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1989.

26. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные схемы для эллиптических уравнений. М., 1976.

27. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений

с обобщенными решениями. М., 1987.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.

29. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.

Башкирский государственный университет,

Поступила в редакцию 02.09.2020 г.

г. Уфа

После доработки 24.02.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021