ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.821-829
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.63
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
© 2021 г. П. П. Матус
Для абстрактных нелинейных разностных схем с операторами, действующими в конечно-
мерных банаховых пространствах, формулируется и доказывается критерий устойчивости:
при наличии аппроксимации корректно поставленной дифференциальной задачи решение
разностной схемы сходится тогда и только тогда, когда она безусловно устойчива. В из-
вестном смысле этот критерий обобщает теорему эквивалентности Лакса на нелинейные
дифференциальные задачи. Полученные результаты применяются для исследования устой-
чивости разностных схем, аппроксимирующих квазилинейные параболические уравнения
с нелинейностями неограниченного роста.
DOI: 10.31857/S037406412106008X
Введение. Основными понятиями теории разностных схем являются аппроксимация, ус-
тойчивость и сходимость. Связь между этими понятиями даётся теоремой Филиппова-Рябень-
кого [1, с. 16; 2, с. 764], которая за рубежом известна как теорема эквивалентности Лакса [3,
с. 54]: для согласованного конечно-разностного метода для корректно поставленной линейной
начально-краевой задачи для уравнений в частных производных разностный метод сходит-
ся тогда и только тогда, когда он устойчив. Под согласованностью понимается требование
аппроксимации корректно поставленной дифференциальной задачи. В нелинейном случае из
сходимости, вообще говоря, не следует устойчивость [4].
Многими авторами предпринимались попытки по перенесению сформулированного утвер-
ждения на нелинейные разностные задачи [5-7]. Обзор некоторых результатов в этом направ-
лении представлен в [4] и связан в основном с другими определениями устойчивости - типа
слабой устойчивости или слабой обобщённой устойчивости. Следует отметить цикл работ [8-
12], посвящённых исследованию устойчивости разностных схем, аппроксимирующих квазили-
нейные параболические и гиперболические уравнения специального вида. Все исследования
в этих работах проводятся лишь в предположениях, относящихся только к свойствам вход-
ных данных дифференциальной задачи. Устойчивость в общем случае удаётся доказать лишь
до некоторого конечного момента времени t ≤ t0, величина которого обусловлена примене-
нием сеточного аналога леммы Бихари. В [13, 14] аналогичные результаты получены и для
вычислительных методов для уравнений политропного газа с дозвуковыми течениями.
В настоящей работе теорема эквивалентности Лакса обобщается на абстрактные нелиней-
ные разностные задачи с операторами, действующими в конечномерных банаховых простран-
ствах. В нелинейном случае такой критерий удаётся установить лишь для безусловно устой-
чивых вычислительных методов, когда соответствующие априорные оценки имеют место при
достаточно малом |h| ≤ h0. При этом величина h0 зависит как от согласованности дискрет-
ных и непрерывных норм в банаховых пространствах, так и от величины возмущения входных
данных задачи. Проведённые исследования позволяют сделать вывод о тесной и неразрывной
связи понятий устойчивости в дискретном и непрерывном случаях.
1. Формулировка проблемы. Пусть Hk - банахово пространство с нормой ∥ · ∥k, k =
= 1, 2, L : H1 → H2 - нелинейный неограниченный дифференциальный оператор и задан
элемент f ∈ H2. Рассмотрим операторное уравнение
Lu = f.
(1)
Далее предполагаем, что задача (1) поставлена корректно по Адамару, т.е. что выполня-
ются следующие условия:
821
822
МАТУС
1) решение существует и единственно при всех входных данных f ∈ H2;
2) решение непрерывно зависит от входных данных, т.е. существует такая положительная
постоянная c0 > 0, при которой справедливо следующее неравенство:
∥ũ-u∥1 ≤c0
f -f∥2,
(2)
где ũ ∈ H1 - решение задачи (1) с возмущёнными входными данными
f ∈H2.
Свойство решения дифференциальной задачи, выражаемое неравенством (2), называется
устойчивостью решения по отношению к малому возмущению входных данных.
Для приближённого решения задачи (1) будем использовать разностную схему (абстракт-
ная запись)
Lhy = ϕh.
(3)
Здесь Lh : H1h → H2h и ϕ ∈ H2h аппроксимируют L и f соответственно, Hkh, k =
= 1, 2, - конечномерные банаховы пространства, зависящие от положительного параметра h,
являющегося вектором некоторого нормированного пространства с нормой |h|.
В работе будем придерживаться основных определений теории разностных схем, данных в
[7, 15].
Под аппроксимацией разностной схемы (3) на решении дифференциальной задачи (1) бу-
дем понимать невязку
ψh = Lhuh - ϕh = Lhuh - (Lu)h + fh - ϕh,
(4)
для которой
∥ψh∥2h ≤ Mhk3 , k3 = const > 0.
(5)
Мы говорим, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если
∥Lhuh - (Lu)h∥2h → 0 и
∥fh - ϕh∥2h → 0 при |h| → 0.
(6)
Для всех элементов из Hm и Hmh полагаем, что Πmhg = gh, где Πmh - проектор. В случае
непрерывных функций оператор Πmh является единичным (тождественным), т.е.
gmh(x) = Πmhgm(x) = gm(x), m = 1,2; x ∈ ωh.
Будем предполагать также, что введённые в Hkh сеточные нормы ∥ · ∥kh согласованы с
соответствующими нормами ∥ · ∥k в пространствах Hk, k = 1, 2, т.е.
|∥gh∥mh - ∥g∥m| ≤ cm|h|km , m = 1, 2,
для всех gh ∈ Hmh, g ∈ Hm, где km > 0.
Кроме того, будем предполагать, что разностная схема (3) аппроксимирует корректно по-
ставленную задачу (1) в смысле выполнения соотношений (5), (6).
Напомним также, что решение разностной схемы сходится к решению дифференциальной
задачи со скоростью O(|h|k3 ), если выполнено неравенство
∥y - uh∥1h ≤ c3|h|k3 .
2. Критерий сходимости. Сформулируем и докажем главный результат данной работы.
Теорема. Если корректно поставленная задача (1) и её конечно-разностная аппроксима-
ция удовлетворяют условию согласованности, то безусловная устойчивость необходима и
достаточна для сходимости разностной схемы.
Доказательство. Необходимость доказана ранее (см., например, [7, с. 107]). Для пол-
ноты изложения мы повторим здесь это доказательство. Итак, пусть разностная схема (3)
является безусловно устойчивой. Это означает, что существует такая постоянная c4, не зави-
сящая от h, y, y, что при всех достаточно малых |h| ≤ h0 имеет место априорная оценка
∥y-y∥1h ≤c4
ϕh - ϕh∥2h,
(7)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
823
где y - решение задачи (3) с входными данными
ϕh ∈ H2h. Напомним также, что если нера-
венство (7) выполнено для произвольных |h|, то такая схема называется абсолютно устой-
чивой [7, с. 286].
Из равенства (4), определяющего невязку ψh, выразим
Lhuh = ψh + ϕh =
ϕh,
откуда в силу определения устойчивости и неравенств (5), (7) получаем
∥y - uh∥1h ≤ c4∥ϕh - ϕh∥2h = c4∥ψh∥2h → 0 при |h| → 0.
Необходимость доказана.
Достаточность. Докажем, что из сходимости следует безусловная устойчивость схемы,
т.е. существует такая положительная константа c4, что при достаточно малом
|h| ≤ h0, h0 = c5∥
(8)
ϕh - ϕh∥1hk42,k4=min{k1,k2,k3},
имеет место оценка (7).
Вследствие сделанных выше предположений, воспользовавшись неравенством треугольни-
ка для норм, получаем
∥y - y∥1h = ∥y - ũh - (y - uh) + (ũh - uh)∥1h ≤ ∥y - ũh∥1h + ∥y - uh∥1h + ∥ũ - uh∥1h ≤
≤c5|h|k3 + c1|h|k1 + ∥ũ - u∥1 ≤ c5|h|k3 + c1|h|k1 + c0
f -f∥2,
а значит,
∥y-y∥1h ≤c5|h|k3 +c1|h|k1 +c0c2|h|k2 +c0
fh - fh∥2h.
Отсюда, поскольку
fh - fh∥2h =
fh -ϕh - (fh - ϕh) +
ϕh - ϕh∥2h ≤ ∥ψh∥2h + ∥ϕh - ϕh∥2h ≤ M|h|k1 + ∥ϕh - ϕh∥2h,
приходим к оценке (7), означающей безусловную устойчивость разностной схемы (3) в пред-
положении (8).
Теорема доказана.
3. Устойчивость разностных схем, аппроксимирующих квазилинейное парабо-
лическое уравнение.
3.1. Случай существования классического решения. Теория разностных схем для
нелинейных уравнений математической физики с нелинейностями неограниченного роста яв-
ляется одной из наиболее сложных и актуальных областей вычислительной математики. Во-
просы сходимости и корректности разностных схем для данного класса задач исследовались
многими авторами [16-19].
Несмотря на полученные оценки точности решений разностных схем, аппроксимирующих
нелинейные уравнения математической физики, вопрос об их устойчивости оставался долгое
время открытым. На наш взгляд, главная причина отсутствия научных результатов в этом
направлении связана с необходимостью предварительного получения априорных оценок не
только для разностного решения в задаче для возмущения δy = y - y, но и для его производ-
ных в сильной равномерной метрике.
Доказанный в настоящей работе критерий сходимости нелинейных разностных схем поз-
воляет доказать безусловную устойчивость разностных методов, для которых уже доказана
сходимость.
В прямоугольнике QT = Ω × [0 ≤ t ≤ T ], где Ω = {x : 0 ≤ x ≤ l}, рассмотрим первую
краевую задачу для квазилинейного уравнения теплопроводности
(
)
∂u
∂
∂u
=
k(u)
,
(9)
∂t
∂x
∂x
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω; u(0, t) = μ1(t), u(l, t) = μ2(t), t ∈ [0, T ].
(10)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
824
МАТУС
Введём область значений точного решения
D = {u : m ≤ u ≤ M, u0 > 0, (x,t) ∈ QT}, m = inf u(x,t), M = sup u(x,t),
(x,t)∈QT
(x,t)∈QT
и определим её окрестность
D1 = {ũ : |ũ - u| < r, u ∈ D, r > 0}.
В задачах с неограниченной нелинейностью предполагается, что существует постоянная
r0 > 0 такая, что
k(u) ≥ r0 для всех u ∈ D,
и, кроме того, функция k(ũ) имеет все ограниченные производные в D1.
Будем предполагать, что задача (9), (10) корректно поставлена в следующем смысле:
а) существует единственное её решение u(x, t) ∈ C2+λ,1+β(QT ),
0.5 < λ, β < 1, при-
чём функция ∂2u/∂x2 липщиц-непрерывна по переменной t. Здесь Cm1+λ,m2+β(QT ) - класс
функций, имеющих в QT непрерывные производные по x до порядка m1 включительно и по
t до порядка m2 включительно, которые удовлетворяют условию Гёльдера с показателями λ
и β соответственно;
б) решение устойчиво в равномерной норме для всех u,
ũ ∈ C2+λ,1+β(QT) по отношению
к малому возмущению начальных данных
∥ũ - u∥C(Q
≤c0∥ũ0 - u0∥C(Ω),
T
)
где ∥ · ∥C(Q
= max
| · |, ∥ · ∥C(Ω) = max| · |, а
ũ - решение задачи (9), (10) с возмущённым
T
)
(x,t)∈QT
x∈Ω
начальным условием ũ0.
На равномерной сетке ωhτ = ωh × ωτ , ωh = {xi = ih, i = 0, N , hN = l}, ωτ = {tn = nτ,
N = 0,N0, τN0 = T} исходную дифференциальную задачу аппроксимируем консервативной
чисто неявной разностной схемой
yt = (k(ŷ(0.5))ŷx)x, y(0.5) = (yi-1 + yi)/2,
(11)
y0i = u0i, i = 0,N; yn+10 = μn+11, yn+1N = μn+1N.
(12)
Здесь использованы стандартные обозначения теории разностных схем [7, с. 12]:
y = yni = y(xi,tn), yt = (ŷ- y)/τ,
ŷ = yn+1i, yx = (yi - yi-1)/h,
yx = (yi+1 - yi)/h, (ayx)x = (ai+1yx,i+1 - aiyx,i)/h.
Вопросы точности разностной схемы (11), (12) подробно изучались в работе [18]. В частно-
сти, для погрешности аппроксимации ψ = -ut +(k(û(0.5))ûx)x на решении дифференциальной
задачи была получена оценка ∥ψ∥C(ωhτ ) ≤ M(hλ +τβ), M = const > 0, и доказана следующая
оценка точности:
∥y - u∥C(ωhτ ) ≤ c3(hλ-0.5 + τβ-0.5),
где, как обычно, ∥ · ∥C(ωh) = max| · |,
∥ · ∥C(ωhτ) = max
| · |.
x∈ωh
(x,t)∈ωhτ
Очевидно, что и для возмущённой разностной схемы справедлива аналогичная оценка
0.5 < λ, β < 1.
∥y - ũ∥C(ωhτ) ≤ c3(hλ-0.5 + τβ-0.5);
На основании изложенного заключаем, что
∥y - y∥C(ωhτ) ≤ ∥y - u∥C(ωhτ) + ∥y - ũ∥C(ωhτ) + ∥ũ - u∥C(ωhτ) ≤
≤ 2c3(hλ-0.5 + τβ-0.5) + ∥ũ0 - u0∥C(Ω).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
825
Очевидно, что при достаточно малых h ≤ h0, τ ≤ τ0, удовлетворяющих неравенству
2c3(hλ-0.5 + τβ-0.5) ≤ ∥ũ0 - u0∥C(Ω),
разностная схема (11), (12) безусловно устойчива в C-норме по начальным данным и имеет
место неравенство
∥y- y∥C(ωhτ) ≤ 2∥ũ0 - u0∥C(Ω).
3.2. Устойчивость разностных схем для задач с обобщёнными решениями. В пря-
моугольнике QT рассмотрим задачу (10) для несколько более общего уравнения
(
)
∂u
∂
∂u
=
k(x, t, u)
,
(x, t) ∈ QT ,
(13)
∂t
∂x
∂x
коэффициент k(x, t, u) которого удовлетворяет следующим свойствам:
∂k(x,t,u)
k(x, t, u) ∈ C(QT × D),
∈ C(QT × D),
∂u
k(x, t, u) ≥ k1 > 0 при всех (x, t) ∈ QT , u ∈ D.
В соответствии с [20] функцию u(x, t) назовём обобщённым решением задачи (13), (10),
если для каждой бесконечно дифференцируемой функции ϕ(x, t) с компактным носителем
выполнено следующее равенство:
∫∫ (
)
∂ϕ
∂u ∂ϕ
-u
+ k(x,t,u)
dx dt = 0.
(14)
∂t
∂x ∂x
QT
Если u(x, t) ∈ C(QT ) и ∂u/∂x - кусочно-непрерывная функция, тогда требование (14) равно-
сильно равенству
∮
∂u
u dx + k(x, t, u)
dt = 0
(15)
∂x
C
вдоль любого контура, ограничивающего подобласть Q′ ∈ QT . Это обычная формулировка
для консервативных законов [20]. С помощью тождества (14) мы можем определить обобщён-
ное решение задачи (13), (10) из пространства L2(0, T ; H10(Ω)). Такое решение, когда суще-
ствование производной ∂u/∂t не требуется ни в каком смысле, часто называют слабым обоб-
щённым решением. Однако равенство (14) неявно содержит информацию о производной [21],
именно,
∂u
∈ L2(0,T;H-1(Ω)).
∂t
Мы не можем использовать определение в форме (14), потому что, во-первых, в рассматри-
ваемом случае функция u(x, t) не равна нулю на границе, а во-вторых, мы строим теорию,
которая была бы верна в случае несамосопряжённых операторов и для задач произвольной
размерности.
Согласно (15) на линии разрыва ∂x/∂t = D(t) справедливо равенство
[
]
∂u
uD - k(x, t, u)
= 0;
(16)
∂x
здесь и ниже через [·] обозначается разность между значениями функции слева и справа от
линии разрыва.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
826
МАТУС
Физические законы, утверждающие непрерывность решения и потока, являются частным
случаем соотношения (16):
[
]
∂u
[u] = 0,
k(x, t, u)
= 0.
(17)
∂x
Поскольку мы предположим, что u(x, t) ∈ C(QT ), далее ограничимся случаем, когда
∂u/∂x на линиях разрыва xk = vk(t), k = 1, m, имеет разрывы только первого рода.
Отметим, что в случае линейных задач второе условие в (17) имеет вид
[
]
∂u
k(x, t)
= 0.
∂x
Поэтому, если ∂u/∂x - разрывная функция, то это влечёт за собой разрыв коэффициента
k = k(x,t). В нелинейном случае это не является необходимым. Непрерывность потока может
быть обеспечена вырождением коэффициента k = k(x, t, u) на слабых линиях разрыва, как
мы можем наблюдать это в случае бегущих температурных волн вдоль нулевого фона для
степенных нелинейностей k = uσ, σ > 0 (см. [7, с. 450]).
В случае разрывных коэффициентов вдоль прямых x = ξ А.А. Самарский в [7, с. 417]
доказал, что наилучшая консервативная схема с шаблонным функционалом вида
xi
∫
)-1
(1
dx
ai =
h
k(x, t)
xi-1
сходится в L2-норме со вторым порядком по пространственной переменной. Более сложный
случай, когда линия разрыва не параллельна координатным осям, не рассматривался. В об-
щем случае для получения соответствующих оценок погрешности аппроксимации наряду с
негативной нормой по пространству требуется использовать также и негативные нормы по
временной переменной.
На введённой равномерной сетке ωhτ дифференциальную задачу (13), (10) аппроксимиру-
ем линеаризованной разностной схемой
yt = (aŷx)x,
(18)
y(x, 0) = u0(x), x ∈ ωh; yn+10 = μ1(tn+1), yn+1N = μ2(tn+1), tn ∈ ωτ .
(19)
Шаблонный функционал
1
a = a(y) = 0.5[k(x(0.5),tn,yni-1) + k(x(0.5),tn,yni )], x(0.5) =
(xi-1 + xi),
2
как обычно, выбирается из условия аппроксимации второго порядка для эллиптического опе-
ратора [7, с. 409]:
(
)
∂
∂u
(aûx)x -
k
= O(h2 + τ).
∂x
∂x
Укажем некоторые свойства решения разностной схемы (18), (19). Определим область зна-
чений обобщённого решения задачи (13), (10):
D = {m1 ≤ u(x,t) ≤ m2, (x,t) ∈ QT},
m1 = min
{μ1(t), μ2(t), u0(x)}, m2 = max
{μ1(t), μ2(t), u0(x)}.
(x,t)∈QT
(x,t)∈QT
Далее будем использовать доказанную в [22] двустороннюю оценку для разностного решения
m1 ≤ yni ≤ m2, i = 0,N, n = 0,N0,
(20)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
827
т.е. y(x, t) ∈ Du для всех (x, t) ∈ ωhτ . Доказательство основывается на установленном в [22,
23] принципе максимума для разностных схем со знакопеременными входными данными.
Следствием двусторонней оценки (20) является априорная оценка [22]
∥yn∥C(ω
{|μ1(t)|, |μ2(t)|},
hτ ) ≤max{maxt∈ω
∥u0∥C(ωh)}.
τ
Получим теперь задачу для погрешности метода z = y - u. В силу нелинейности иссле-
дуемой схемы эта задача будет заведомо нетривиальна. Фактически, вычитая из разностного
уравнения (18) уравнение для погрешности аппроксимации ut = (aûx)x, мы получаем две
эквивалентные формы для уравнения для погрешности метода z :
zt = (a(y)zx)x + ((a(y) - a(u))ûx)x + ψ,
(21)
zt = (a(y)zx)x + ((a(y) - a(u))ŷx)x + ψ.
(22)
К этим уравнениям следует добавить соответствующие начальные и граничные условия:
z(x, 0) = 0, x ∈ ωh, z(0, t) = z(l, t) = 0, t ∈ ωτ .
Хотя эти задачи эквивалентны, в постановке (22) нам нужно иметь предварительную инфор-
мацию о локальном поведении разностной производной от приближённого решения yx. Полу-
чение такой априорной оценки для производной yx не является простой задачей. Аналогичные
проблемы возникают при непосредственном изучении устойчивости. Задача для возмущения
δy = y - y в этом случае имеет вид
δyt = (a(y)δŷx)x + ((a(y) - a(y))yx)x,
δy(x,0) = ũ0 - u0, x ∈ ωh; δy(0, t) =μ1 - μ1, δy(l, t) = μ2 - μ2, t ∈ ωτ .
Так как y, u ∈ Du и k(u) ∈ C1(Du), то
max |a(y) - a(u)| ≤ Lz(0.5), L = const > 0.
(x,t)∈ωhτ
Далее будем использовать скалярные произведения и нормы в пространстве сеточных
функций L2(ωh), W12(ωh):
∑
√
∑
(v, g) =
hvigi,
∥v∥h =
(v, v),
∥vx]|2 =
hv2x,i.
i=1
i=1
Умножая разностное уравнение (21) скалярно в L2(ωh) на 2τz и используя формулу сум-
мирования по частям
(u, vx) = -(ux, v] + uN vN - u0v1,
а также тождество
zn+1 = 0.5(zn + zn+1) + 0.5τzt,
получаем энергетическое соотношение
τ2∥zt∥2h + ∥zn+1∥2h + 2τ(a(y), z2x] = ∥zn∥2h + 2τ(a(y) - a(u), ûxzx] + 2τ(z,ψ).
Далее, следуя работе [19] с использованием техники негативных норм, приходим к следу-
ющей оценке точности метода в сеточной L2-норме:
√
∥yn - un∥h ≤ c6(
h+
√τ), n = 0,N0,
означающей безусловную сходимость разностного решения к обобщённому решению диффе-
ренциальной задачи (13), (10).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
828
МАТУС
Очевидно, что аналогичная оценка имеет место и для решения y разностной схемы (18),
(19) с возмущённым начальным условием
√
∥yn -ũn∥h ≤c7(
h+
√τ), n = 0,N0.
Для применения доказанной в работе теоремы мы должны предположить, что обобщён-
ное решение задачи (13), (10) существует, единственно и непрерывно зависит от начального
условия
max
∥ũ - u∥L2(0,l) ≤ c8∥ũ0 - u0∥L2(0,l).
0≤t≤T
Так как мы не возмущаем граничное условие (δu(0, t) = δu(l, t) = 0), то ошибка
R(u) = ∥u∥2h - ∥u∥L
2(0,l)
представляет собой погрешность аппроксимации обобщённой квадратурной формулы трапе-
ций. В силу отсутствия существования второй производной ∂2u/∂x2 условие согласования
норм выглядит следующим образом:
|R(u)| ≤ c8h.
Применяя теперь такие же оценки, как и в доказательстве достаточности теоремы, получаем
оценку устойчивости
max∥y(t) - y(t)∥h ≤ c9∥ũ0 - u0∥L2(0,l),
t∈ωτ
которая имеет место при всех достаточно малых h ≤ h0, τ ≤ τ0, удовлетворяющих условию
√
h+
√τ ≤ c10∥ũ0 - u0∥L
2(0,l).
Автор выражает благодарность профессору Б.С. Йовановичу за обсуждение работы и по-
лезные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных схем. М., 1956.
2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.; Ижевск, 2002.
3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., 1972.
4. Guo Ben-Yu (Kuo Pen-Yu). Generalized stability of discretization and its applications to numerical
solutions of non-linear partial differential equations // Журн. вычислит. математики и мат. физики.
1992. Т. 32. № 4. P. 530-541.
5. Якут Л.И. Теоремы Лакса для нелинейных эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1964.
Т. 156. № 6. С. 1304-1307.
6. Якут Л.И. К вопросу обоснования сходимости разностных схем // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151.
№ 1. С. 76-79.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.
8. Matus P. Stability of difference schemes for non-linear time-dependent problems // Comput. Meth. Appl.
Math. 2003. V. 3. № 2. P. 313-329.
9. Матус П.П. О корректности разностных схем для полулинейного параболического уравнения с
обобщенными решениями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 12. С. 2155-
2175.
10. Matus P.P., Lemeshevsky S.V. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar
conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations // Comput. Meth. Appl. Math.
2009. V. 9. № 3. P. 253-280.
11. Матус П.П. Устойчивость по начальным данным и монотонность неявной разностной схемы для
однородного уравнения пористой среды с квадратичной нелинейностью // Дифференц. уравнения.
2010. Т. 46. № 7. С. 1011-1021.
12. Якубук Р.М. Устойчивость по входным данным и монотонность неявной разностной схемы для
одного квазилинейного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 2.
С. 274-285.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
829
13. Матус П.П., Чуйко М.М. Исследование устойчивости и сходимости разностных схем для полит-
ропного газа с дозвуковыми течениями // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 7. С. 1053-1064.
14. Марцинкевич Г.Л., Матус П.П., Чуйко М.М. Устойчивость разностных схем в инвариантах Римана
для политропного газа // Журн. вычислит. математики и мат. физ. 2010. Т. 50. № 6. С. 1078-1091.
15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями.
Минск, 1998.
16. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений. I // Дифференц.
уравнения. 1973. Т. 9. № 11. С. 2029-2040.
17. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Исследование нелинейных двухслойных операторно-разностных схем с
весами // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 7. С. 1217-1227.
18. Матус П.П., Станишевская Л.В. О безусловной сходимости разностных схем для нестационарных
квазилинейных уравнений математической физики // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 7.
С. 1203-1219.
19. Matus P. On convergence of difference schemes for IBVP for quasilinear parabolic equations with
generalized solutions // Comput. Meth. Appl. Math. 2014. V. 14. № 3. P. 361-371.
20. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики
// Мат. сб. 1959. Т. 47 (89). № 3. С. 271-306.
21. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Уравнения математической физики. Дополнительные главы. Ка-
зань, 2008.
22. Matus P., Hieu L.M., Vulkov L.G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for
quasilinear parabolic equations // J. of Comput. and Appl. Math. 2017. V. 310. P. 186-199.
23. Матус П.П., Утебаев Б.Д. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических урав-
нений // Мат. моделирование. 2021. Т. 33. № 4. С. 60-78.
Институт математики НАН Беларуси,
Поступила в редакцию 05.11.2020 г.
г. Минск,
После доработки 05.11.2020 г.
Католический университет им. Иоанна-Павла II,
Принята к публикации 27.04.2021 г.
г. Люблин, Польша
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
